EcuacionesDiferencialesJoseVicenteRomeroBausetjvromero@mat.upv.esEcuacionesDiferencialesTema2:Ecuacionesdiferencialesordinariasdeorden1EcuacionesDiferencialesEcuacionesdiferencialesseparablesEDOseparableUnaEDOdeorden1F (t, y, y
)sediceseparablesipuedeserescritadelaformaA(t)dt = B(y)dy
y
=A(t)B(y), y
= C(t)D(y)
Resoluci on
A(t)dt =
B(y)dy +K
tt0A(t)dt =
yy0B(y)dyEjercicioElritmoalqueseenfrauncuerpocalienteesproporcionalaladiferenciadetemperaturaentre elyelambientequelorodea(leydeenfriamientodeNewton).Uncuerposecalientaa110oCyseexponealambienteaunatemperaturade10oC.Alcabodeunahorasutemperaturaesde60oC.Cuantotiempoadicionaldebetranscurrirparaqueseenfrea30oC?EcuacionesDiferencialesEDOhomogeneasFuncionhomogeneaf (x, y)esunafuncionhomogeneadegradonsif (x, y) = nf (x, y).EDOhomogeneaUnaEDOdeprimerordenM(x, y)dx +N(x, y)dy= 0eshomogeneasiMyNsonfuncioneshomogeneasdelmismogrado.NotaDenicionesequivalentesalaanteriorson: y
= f (x, y)eshomogeneasif (x, y)eshomogeneadegrado0 y
= f
yx
EcuacionesDiferencialesEDOhomogeneasResolucion1oConelcambiou =yx
y= uxy
= u
x +uSeobtieneE.D.Odevariablesseparables:y
= f (x, y) u
x +u = f (1, u)2oResolvemoslaE.D.Oseparable.3oDeshacemoselcambio.Ejerciciost3y
= t2y 2y3EncuentralaformadeunespejocurvoenelquelaluzdeunafuenteenelorigensesepareenunhazderayosparalelosalejeX.EcuacionesDiferencialesEcuacionesreduciblesaseparablesy
=ax +by +cdx +ey +f
y
= f
ax +by +cdx +ey +f
Casosposibles c = f = 0eshomogenea b = e = 0oa = d= 0esdevariablesseparables ae bd = 0 ae bd= 0EcuacionesDiferencialesEcuacionesreduciblesaseparablesy
=ax +by +cdx +ey +f
y
= f
ax +by +cdx +ey +f
Casoae bd = 01oSecalculaelpuntodecorte(x0, y0)delasrectas:
ax +by +c = 0dx +ey +f = 02oSeaplicaelsiguientecambioqueconduceaE.D.Ohomogenea:
X= x x0Y= y y0
x = X +x0y= Y +y0y
= Y
3oResolvemoslaE.D.Ohomogeneaydeshacemoselcambio.EcuacionesDiferencialesEcuacionesreduciblesaseparables:Ejemplo(6x +4y 8)dx +(x +y 1)dy= 0Lasrectas6x +4y 8 = 0yx +y 1 = 0nosonparalelasysecortanenelpuntox = 2ey=1.Sehaceelcambiodevariablex = X +2, y= Y 1.dYdX=6X +4YX Y, homogeneaY= uXu +XdudX=6X +4XuX Xu=6+4u1u 1uu2+5u +6 du =dXXlnCX=
1u +2 du +
2u +3 du = lnu +2(u +3)2C(x 2) =y+1x2 +2
y+1x2 +3
2=y +1+2x 4(3x +y 5)2= C, 2x +y 3 = C(3x +y 5)2EcuacionesDiferencialesEcuacionesreduciblesaseparablesy
=ax +by +cdx +ey +f
y
= f
ax +by +cdx +ey +f
Casoae bd= 0Secumplequeambasrectassonparalelas,portantosecumpliraque:k R/ax +by= k(dx +ey)1oSie = 0serealizaelcambio:t = t(x) = dx +ey
y=1e(t dx)y
=1e(t
d)2oSeresuelvelaE.D.Odevariablesseparablesalaqueconduceelcambio:1e(t
d) =tk +ct +f3oDeshacemoselcambio.NotaSie = 0sehaceelcambiot = ax +byEcuacionesDiferencialesEcuacionesreduciblesaseparables:Ejemplo(x +y +1)dx +(2x +2y 1)dy= 0Lasrectasx +y +1 = 0y2x +2y 1 = 0sonparalelas.Sehaceelcambiodevariablez = x +y 1+ dydx=dzdx.dzdx 1 =z +12z +1,dzdx=z +12z +112z12z2zdz = dx
232z
dz =
dx +C, 2z 3ln|2z| = x +C2(x +y) +3ln|2(x +y)| = x +CEcuacionesDiferencialesEcuacionesdiferencialesexactasEDOexactaUnaecuaciondiferencialM(t, y)dt +N(t, y)dy= 0esexactasiexisteunafunci onF(t, y),llamadafuncionpotencialdelaecuaciondiferencial,cuyadiferencialcoincideconM(t, y)dt +N(t, y)dy,esdecirFt= M(t, y)yFy= N(t, y)TeoremaSiM,N,My,NtsoncontinuasenunrectanguloRdelplano,entoncesMdt +Ndy= 0esexactaenRsiysolosiMy= NtenREcuacionesDiferencialesEcuacionesdiferencialesexactasResolucion(Sisabemoscalcular
M(t, y)dt)1oSecompruebaqueesexacta:My= Nt2oSecalculalafuncionpotencial:F(t, y) /Ft= M(t, y) yFy= N(t, y)(a) F(t, y) =
M(t, y)dt +(y)(b) Calculamos (y)utilizando:Fy= N(t, y) yFy=y
M(t, y)dt +
(y)=
(y) = N(t, y) y
M(t, y) dt (1)(c) Sustituimos (y)en(a)yseobtienelasoluciongeneraldelaE.D.O:F(t, y) = CEcuacionesDiferencialesEcuacionesdiferencialesexactasResolucion(Sisabemoscalcular
N(t, y)dy)1oSecompruebaqueesexacta:My=Nt2oSecalculalafuncionpotencial:F(t, y) /Ft= M(t, y) yFy= N(t, y)(a) F(t, y) =
N(t, y)dy +g(t)(b) Calculamosg(t)utilizando:Ft= M(t, y) yFt=t
N(t, y)dy +g
(t)=g
(t) = M(t, y) t
N(t, y) dy (2)(c) Sustituimosg(t)en(a)yseobtienelasoluciongeneraldelaE.D.O:F(t, y) = CEcuacionesDiferencialesFactorintegranteFactorintegranteSeaM(t, y)dt +N(t, y)dy= 0unaecuaciondiferencialnoexacta,y(t, y)unafuncionnonulaencadapuntodeunciertorectanguloRytalque (t, y)M(t, y)dt +(t, y)N(t, y)dy= 0esexacta.Entoncessediceque (t, y)esunfactorintegranteparaM(t, y)dt +N(t, y)dy= 0,ydeestaecuacionsedicequeesreducibleaexacta.B usquedadefactoresintegrantes: (M)y= (N)tesdecirMy+M y= Nt+N tEcuacionesDiferencialesFactorintegrante: = (t)My+M y=Nt+N t = (t)(t)My+M0 =(t)Nt+N (t)t(t)
MyNt
= Nd(t)dtd(t)(t)=
MyNt
Ndt a(t) =
MyNt
Nsolodependedetln(t) =
a(t)dt(t) = e
a(t)dtEcuacionesDiferencialesFactorintegranteB usquedadefactoresintegrantes = (t) MyNtNessolofunciondet = e
a(t)dt, a(t) =1N
MyNt
= (y) NtMyMessolofunciondey = e
b(y)dy, b(y) =1M
Nt My
= (), = at +by NtMybManessolofunciondeat +by = e
c()d, c() =Nt MybMaN = (), = ty NtMytMNyessolofunciondety = e
d()d, d() =Nt MytMNyEcuacionesDiferencialesEDOexactas:factorintegranteAlgunasformulas utilesd
xy
=y dx x dyy2d(xy) = x dy +y dxd
x2+y2
= 2x dx +2y dyd
arctanxy
=y dx x dyx2+y2d
log
xy
=y dx x dyxyEcuacionesDiferencialesEcuaci onLinealEDOlinealUnaEDOdeprimerordendelaformadydt= P(t)y +Q(t)esunaecuacionlineal.ResolucionSepuedeencontrarunfactorintegrante(t) = e
P(t)dt.e
P(t)dtdydt e
P(t)dtP(t)y= e
P(t)dtQ(t)ddt
e
P(t)dty
= e
P(t)dtQ(t)e
P(t)dty=
e
P(t)dtQ(t)dt +CEcuacionesDiferencialesEcuaci onLinealEjemplo
y +x2cosx
dx x dy= 0y
=yx+x cosxElfactorintegrantees(x) = e
1xdx=1xLaecuacionsepuedereescribircomoe
1xdxdydx e
1xdxyx= e
1xdxx cosxesdecird
e
1xdxy
dx= e
1xdxx cosxylasoluciondelaecuacionesyx=
1xx cosx
dx +C= sinx +CEcuacionesDiferencialesReducci ondelordenAusenciadevariabledependienteSinoaparecelay,laecuacionesdelaformaf
t, y
, y
= 0.ResolucionSehaceelcambioy
= p y
=dpdtylaecuaciondiferencialquedadelaformaf
t, p, dpdt
= 0.AusenciadevariableindependienteSinoaparecet,laecuacionesdelaformaf
y, y
, y
= 0.ResolucionSehaceelcambioy
= p y
=dpdt=dpdydydt= pdpdyylaecuaciondiferencialquedadelaformaf
y, p, pdpdy
= 0.EcuacionesDiferencialesReducci ondelorden:Ejemplosty
y
= 3t2Faltalay sepuedehacerelcambioy
= ptdpdt p = 3t2dpdt 1t p = 3t linealMultiplicandopore
1tdt=1tseobtieneddt
1t p
= 3pt= 3t +C p = 3t2+Cty= t3+ 12Ct2+DEcuacionesDiferencialesReducci ondelorden:Ejemplosy
+k2y= 0Faltalat sepuedehacerelcambioy
= p, y
= pdpdypdpdy+k2y= 0 pdp +k2y dy= 0p2+k2y2= k2a2p =dydt=k
a2y2dy
a2y2=k dtarcsenya=kt +by= asen(kt +b) y= Asen(kt +B) (oy= C1senkt +C2coskt)EcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonalesyoblicuasFamiliadecurvasEsunaexpresiondelaformaF(x, y, K) = 0enlaqueKesunparametroarbitrario.Ejemplox2+2kx +y2= 0TrayectoriaortogonalUnatrayectoriaortogonaldeunafamiliadecurvasesunacurvaquecruzaconcadaunadelascurvasdelafamiliadeformaortogonal.Enuncampoelectrostatico,laslineasdefuerzasonortogonalesalaslneasdepotencialconstante.EcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonalesyoblicuasEjemploy2+2ky +x2= 0sonortogonalesax2+2kx +y2= 0Calculotrayectoriaortogonal1Seobtienelaecuaciondiferencialy
= f (x, y)delafamiliadecurvasF(x, y, K) = 0(EliminandolaK).2LafamiliaortogonalaF(x, y, K) = 0tienecomoecuaciondiferencialy
=1f (x, y).Unvectorortogonal(1, v)es(1, 1v)3Seobtienelasoluciongeneraldelaecuaciondiferencialanterior.EcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonalesyoblicuasCalculotrayectoriaortogonal1x2+2kx +y2=0 derivando2x +2k +2yy
=0 k =x2+y22x2x x2+y2x+2yy
=0Laecuaciondiferencialdelafamiliadecurvasesy
= f (x, y) =x2y22yx2LafamiliaortogonalaF(x, y, K) = 0tienecomoecuaciondiferencialy
=1f (x, y)=2yxx2y2 .3y
=2yxx2y2y= uxu
x +u =2u1u2 .u
x =u +u31u2 du1u2u +u3=dxxdu
1u 2u1+u2
=dxxln|C| +ln|u| ln|1+u2| = ln|x| Au1+u2= x Ay= x2+y2EcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonalesyoblicuasxyy=f(x)y=g(x)tan=dfdxtan=dgdx= + tan= tan( +) =tan +tan1tan tanEcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonalesyoblicuasCalculotrayectoriaoblcua1Seobtienelaecuaciondiferencialy
= f (x, y)delafamiliadecurvasF(x, y, K) = 0.2LafamiliaoblicuaaF(x, y, K) = 0tienecomoecuaciondiferencialy
=f (x, y) +tg()1f (x, y)tg().3Seobtienelasoluciongeneraldelaecuaciondiferencialanterior.EjemploCalcularlastrayectoriasoblcuasconunangulode45gradosalafamiliadecurvasy= AexEcuacionesDiferencialesTrayectoriasortogonales(coordenadaspolares) = ()
x = ()cosy= ()sen
dxdy=
dxd
dyd
=
cos sen
sen +cosy
= f (x)( = ()) curvaortogonaly
=1f (x)(o = o())
ocos osen
osen +ocos=
sen + cossen
cos = o
o
= 2Trayectoriasortogonalesencoordenadaspolares1Seobtienelaecuaciondiferencialf (, ,
)delafamiliadecurvasF(, , K) = 0.2LafamiliaortogonalaF(, , K) = 0tienecomoecuaciondiferencialf
, , 2
.3Seobtienelasoluciongeneraldelaecuaciondiferencialanterior.EcuacionesDiferenciales
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