ESQUEMA DE LA UNIDAD
PRODUCTOS NOTABLES, DIVISIÓN ALGEBRAICA, COCIENTES NOTABLES
PRODUCTOS NOTABLES:DEFINICIÓNTABLA DE
IDENTIDADESCASOS
ESPECIALES
DIVISIÓN ALGEBRAICA:
ELEMENTOS CASOS
MÉTODOS DE DIVISIÓN
TEOREMA DEL RESTO
COCIENTES NOTABLES:
CONCEPTOCASOS
TÉRMINO GENERAL
APLICACIONES
22 12345671234568
¿Cómo calcularía el siguiente número?
Lo veremos al final de la clase…
PRODUCTOS NOTABLES
PR
OD
UC
TO
S
NO
TA
BL
ES
SUMA Y DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL
CUADRADO
SUMA Y DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL
CUBO
IDENTIDADES DE LEGENDRE, STEVEN
Y ARGAND
IDENTIDADES CONDICIONALES
IDENTIDADES ADICIONALES
• Son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado se puede obtener sin realizar la multiplicación.
¿Qué son los Productos Notables?
SUMA Y DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL CUADRADO
(x + y)² = x² + 2xy + y² (x - y)² = x² - 2xy + y²
Por ejemplo:• (x + 3)² = • (a - 2)² = • (4y + 1)² = • (5n - m)² =• (3+(-2b))2 =
x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9
a² - 2(a)(2) + 2² = a² - 4a + 4
(4y)² + 2(4y)(1) + 1² = 16y² + 8y + 1
(5n)² - 2(5n)(m) + (m)² = 25n²-10nm+m²
3² + 2(3)(-2b) + (-2b)²= 9 -12b + 4b²
SUMA Y DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL CUBO
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Por ejemplo:• (x+4)3 = • (x-1)3 =
= x3 + 3xy(x + y) + y3
= x3 - 3xy(x - y) - y3
x3 + 3(x)2(4) +3(x)(4)2 + 43 = x3 + 12x2+48x + 64
x3 - 3(x)2(1) +3(x)(1)2 - 13 = x3 - 3x2+3x - 1
IDENTIDADES DE LEGENDRE, STEVEN Y ARGAND
(x + y)² + (x – y)² = 2(x² + y²)(x + y)² – (x – y)² = 4xy
Identidad de Legendre
EJEMPLOS:
1) (x + 7)2 + (x - 7)2 = 2(x2 + 72) = 2(x2 + 49) = 2x2 + 98
2) (x + 5)2 - (x - 5)2 = 4(x)(5) = 20x
IDENTIDADES DE LEGENDRE, STEVEN Y ARGAND
Identidad de Steven
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ac)x + abc
EJEMPLOS:
1) (x + 2)(x - 9) = x2 + (2 - 9)x + (2)(-9)
2) (x + 1)(x + 3)(x + 5) = x3 + (1+3+5)x2 + [(1)(3)+(3)(5)+(1)(5)]x + (1)(3)(5)
= x3 + 9x2 + 23x + 15
= x2 - 7x - 18
IDENTIDADES DE LEGENDRE, STEVEN Y ARGAND
Identidad de Argand
(x² + xy + y²)(x² – xy + y²) = x4 + x²y² + y4
(x² + x + 1)(x² – x + 1) = x4 + x² + 1
EJEMPLO:
(x2 + 11x + 112) (x2 - 11x + 112) = x4 + (112) (x2) + 114
= x4 + 121x2 + 14641
IDENTIDADES CONDICIONALES
Si: a + b + c = 0
Se cumple:
a2 + b2 + c2 -2(ab + ac + bc)
a3 + b3 + c3 3abc
abcbcacabcbacbacba
bcacabcbacba
3))((3)(
)(2)(3333
2222
0 Si cba
Si: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc
Donde: a, b, c R
Se demuestra que:
cba
IDENTIDADES ADICIONALES
Diferencia de cuadrados
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Suma y diferencia de cubos
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1) Reducir:
2) Si:
Hallar
4) Si:
Hallar: M = x3 + 3x + 8
3) Si: a + b = 5 ab = 2
Calcular: a3 + b3
22 )2332()2332( A