UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
FÍSICA I
Prof.: Ing. Alejandra Escobar
UNIDAD I (30%)
Análisis Vectorial del Movimiento de una Partícula en el Plano y Espacio
Objetivo Terminal: Analizar vectorialmente el movimiento de una partícula en el
plano y el espacio, y el centro de gravedad de un sistema de partículas en el plano.
Objetivos Específicos Contenido
1. Operar con vectores.
2. Aplicar los conocimientos básicos de
estática y cinemática al movimiento.
Escalares y vectores.
Cuerpos rígidos.
Primera y tercera ley de newton.
Centro de gravedad.
Velocidad y aceleración.
Caída libre.
Lanzamiento de proyectil.
Movimiento general en el plano.
Movimiento circular.
ESCALARES Y VECTORES
Magnitudes
Una magnitud se puede definir como toda aquella propiedad que puede ser
medida. En física las magnitudes pueden ser clasificadas en escalares y vectoriales.
Se llaman magnitudes escalares a aquellas que quedan perfectamente definidas
por un valor numérico y su correspondiente unidad. La longitud, la temperatura, la
masa, la densidad, el tiempo el volumen, la superficie son ejemplos de magnitudes
escalares,
Se llaman magnitudes vectoriales a aquellas donde se tiene que especificar
además de su valor numérico, la dirección y el sentido. Son magnitudes vectoriales: la
fuerza, la velocidad, el desplazamiento, la cantidad de movimiento, la aceleración, etc.
Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores.
Vectores
Definición
Un vector se define como un segmento de recta orientado y dirigido, que tiene un
origen y un extremo. Un vector se caracteriza por la presencia de cuatro elementos
diferenciadores:
Magnitud o Modulo: es la longitud del segmento dirigido que contiene al vector.
Dirección o Línea de Acción: es la dirección de la recta que contiene a dicho
vector. La dirección puede ser horizontal, vertical o inclinada.
El punto de Aplicación u Origen: es el punto donde se considera aplicada la
magnitud a quien el vector está representando.
El Sentido: esta indicado por la punta de la flecha colocada en el extremo. El
sentido puede ser hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia abajo o hacia arriba.
Origen
Dirección
Magnitud
Sentido
Existen diversas clases de vectores, las más utilizadas y comunes en física son
las siguientes:
Vectores Opuestos: son aquellos que poseen igual módulo y dirección pero sentido
opuesto.
Vectores Unitarios: son vectores sin dimensión, cuya magnitud es igual a la unidad,
los cuales son empleados para especificar una dirección dada. Ellos no poseen otro
significado físico, simplemente se usan por conveniencia para describir una dirección
en el espacio.
Vectores Paralelos: son dos vectores tales que, teniendo la misma dirección y sentido
sus magnitudes son proporcionales.
Vectores Fundamentales: son los vectores unitarios cuyas direcciones y sentidos
coinciden con los ejes coordenados. Ellos constituyen un conjunto de vectores
mutuamente perpendiculares, los cuales serán representados de la manera siguiente: i
sobre el eje x, j sobre el eje y, y k sobre el eje z.
N
S
EO
Dirección de un Vector en el Plano
La dirección de un vector es el ángulo que este forma con respecto a un eje de
referencia. El método utilizado en física para dar la dirección de un vector de refiere a
las direcciones convencionales norte, sur, este y oeste.
El vector A esta ubicado 45 ° al norte del este, el vector B esta ubicado 60 ° al
norte del oeste, el vector C esta ubicado 70° al sur del oeste y el vector D esta ubicado
30 ° al sur del este.
Componentes Rectangulares de un Vector
Consideremos el vector A en el plano xy, donde dicho vector tiene su origen
ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y forman un ángulo con
el eje positivo de las x. Si desde el extremo del vector A se trazan sus proyecciones
sobre los ejes, se obtienen dos componentes, Ax : componente de A en la dirección de
x, y A y : componente de A en dirección de y.
Las componentes x e y del vector A vienen dadas por:
Ax=|A|.cosθ , A y=|A|. sinθ
La magnitud o longitud de un vector en función de sus componentes viene dado
por:
|A|=√ ( Ax )2+ (A y )2
La dirección del vector viene dada por el ángulo que forma dicho vector con la
dirección positiva del eje x, medido en sentido contrario al avance de las manecillas del
reloj. Este ángulo puede calcularse por la relación:
tanθ=|Ax||A y|
⇒θ=tan−1 |Ax||A y|
En general, los signos de las componentes rectangulares de un vector dependen
del cuadrante donde el este localizado.
Ejemplos: Calcular las componentes de los siguientes vectores
1. Vector desplazamiento de magnitud 40 cm, ubicado a 35 ° al norte del este.
Ax=40 cm.cos35 °=32,77 cm
A y=40cm . sin 35°=22,94cm
2. Vector fuerza de magnitud 25Nw, ubicado a 60 ° con respecto al eje y negativo en
sentido anti horario.
F x=25Nw . sin 60°=21,65Nw
F y=25Nw .cos 60°=−12,5Nw
Expresión Analítica de un Vector en el Plano en función de los Vectores Unitarios
Consideremos el vector A, el cual esta ubicado en el plano xy como se muestra
en la figura.
El producto de la componente Ax y el vector unitario i es el vector Ax i, el cual es
paralelo al eje x con magnitud Ax. De la misma forma el producto de la componente A y
y el vector unitario j es el vector A y j, el cual es paralelo al eje y con magnitud A y. De
esta manera, en términos de los vectores unitarios se puede escribir el vector A así:
A=A x i+A y j
Esta última es la expresión analítica del vector en función de los vectores
unitarios i, j.
Expresión Analítica de un Vector en el Espacio
Un vector en el espacio viene representado por tres componentes sobre los ejes.
Sea V un vector que se encuentra en el espacio y sean α , β y θ los ángulos que forman
el vector con los semiejes positivos x, y, z.
Los cosenos de los ángulos α , β y θ los llamamos cosenos directores del vector,
llamados así porque fijan la dirección del vector V en el espacio. Ellos quedan
determinados a través de las relaciones siguientes:
cos α=V x
|V|,cos β=
V y
|V|,cosθ=
V z
|V|
El vector V puede ser escrito en función de los vectores unitarios de la siguiente
manera:
V=V x i+V y j+V z k
La magnitud del vector viene dada por la expresión:
|V|=√ (V x)2+(V y )2+ (V z )
2
La magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de sus componentes.
Operaciones con Vectores
Suma de Vectores. Método Analítico: la suma analítica de varios vectores es
igual a la suma de las componentes de los vectores en cada eje.
A+B=( Ax+Bx ) i+( Ay+By ) j
Suma de Vectores. Método Gráfico: para sumar dos vectores se pueden aplicar
la regla del triangulo y la regla del paralelogramo.
Regla del Triangulo Regla del Paralelogramo
Resta de Vectores. Método Analítico: la resta analítica de varios vectores es
igual a la resta de las componentes de los vectores en cada eje.
A−B=(Ax−Bx ) i+( Ay−By ) j
Resta de Vectores. Método Gráfico: para retar dos vectores se pueden aplicar la
regla del triangulo.
Producto de un Escalar por un Vector: sea A un vector y m un escalar. El
producto del escalar m por el vector A es otro vector expresado como m A que cumple
los siguientes requisitos: m A tiene la misma dirección y sentido que A si m es positivo,
m A tiene la misma dirección y sentido opuesto de A si m es negativo, y el módulo de
m A es m veces el modulo de A.
Producto Escalar o Producto Punto de Vectores: es la cantidad escalar
obtenida, hallando el producto de las magnitudes de dos vectores por el coseno del
ángulo que se forma entre ellos.
A .B=|A|.|B|.cosα
Si conocemos las expresiones analíticas de dos vectores, el producto punto
entre ellos se obtiene aplicando la propiedad distributiva entre sus componentes y
haciendo uso de la siguiente tabla:
. i j k
i 1 0 0
j 0 1 0
k 0 0 1
Producto Vectorial o Producto Cruz de Vectores: dados dos vectores V y B, se
define el producto vectorial de los dos vectores y se denota como V × B, como otro
vector P que tiene las siguientes características:
a. El modulo es igual al producto de los módulos de V y B, multiplicado por el seno
del ángulo que forman sus direcciones.
|V × B|=|V|.|B|.sin α
b. La dirección es un ventor P, perpendicular al plano determinado por los vectores
V y B.
c. El sentido es viene dado por la regla de la mano derecha. La cual consiste en
Cuando se realiza un producto vectorial (V × B ), el vector resultante F se obtiene en la
dirección del dedo pulgar al cerrar la mano derecha desde el vector V hacia el vector B.
El vector resultante es perpendicular al plano formado por los vectores multiplicados.
d. El vector P se obtiene conociendo las expresiones analíticas de dos vectores, el
producto cruz entre ellos se obtiene aplicando la propiedad distributiva entre sus
componentes y haciendo uso de la siguiente tabla:
. i j k
i 0 k − j
j −k 0 i
k j −i 0
Ejercicios:
1. Sean los siguientes vectores: A=2 i+4 j−6 k y B=5 i−2 j−3 k, hallar:
a. A+ B
A+ B= (2 i+4 j−6 k )+(5 i−2 j−3 k )= (2+5 ) i+( 4−2 ) j+ (−6−3 ) k
A+ B=7 i+2 j−9 k
b. A−B
A−B=(2 i+4 j−6 k )−(5 i−2 j−3 k )=(2−5 ) i+( 4+2 ) j+(−6+3 ) k
A−B=−3 i+6 j−3 k
c. 4. A
4. A=4. (2 i+4 j−6 k )=(4.2 ) i+(4.4 ) j+(4. (−6 ) ) k
4. A=8 i+16 j−24 k
d. A . B
A . B=(2 i+4 j−6 k ) . (5 i−2 j−3 k )
A . B=2.5 ( i . i )+2. (−2 ) ( i . j )+2. (−3 ) ( i . k )+4.5 ( j . i )+4. (−2 ) ( j . j )+4. (−3 ) ( j . k )+ (−6 ) .5 ( k . i )+ (−6 ) . (−2 ) ( k . j )+ (−6 ) . (−3 ) ( k . k )
A . B=10 (1 )−4 (0 )−6 (0 )+20 (0 )−8 (1 )−12 (0 )−30 (0 )+12 (0 )+18 (1 )
A . B=10−8+18=20
e. A× B
A× B= (2 i+4 j−6 k )× (5 i−2 j−3 k )
A× B=2.5 ( i×i )+2. (−2 ) ( i× j )+2. (−3 ) ( i× k )+4.5 ( j ×i )+4. (−2 ) ( j × j )+4. (−3 ) ( j ×k )+(−6 ) .5 (k ×i )+(−6 ) . (−2 ) (k × j )+(−6 ) . (−3 ) (k × k )
A× B=10 (0 )−4 (k )−6 (− j )+20 (−k )−8 (0 )−12 ( i )−30 ( j )+12 (−i )+18 (0 )
A× B= (−12−12 ) i+(6−30 ) j+(−4−20 ) k=−24 i−24 j−24 k
2. Un esquiador viaja 7,4Km 45 ° al este del sur. Luego 2,8Km 30 ° al norte del oeste y
por ultimo 5,2Km 22 ° al oeste del norte. Hallar a que distancia y sentido esta el
esquiador de su punto de partida. Muestre los desplazamientos en un diagrama.
Ax=7,4Km. sin 45 °
Ax=5,25Km
A y=7,4Km.cos 45°
A y=−5,25Km
A=5,25 i−5,25 j
Bx=2,8Km.cos30 °
Bx=2,42Km
B y=2,8Km. sin 30 °
B y=1,4Km
B=2,42 i+1,4 j
C x=5,2Km. sin 22°
C x=−1,95Km
C y=5,2Km.cos22°
C y=4,82Km
C=−1,95 i+4,82 j
D= A+B+ C=(5,25 i−5,25 j )+(2,42 i+1,4 j )+(−1,95 i+4,82 j )
D=5,70 i+0,99 j
|D|=√ (5,70 )2+(0,99 )2=5,79Km
θ=tan−1(0,995,70 )=9,85 °
GUÍA DE EJERCICIOS
VECTORES
1. Determine mediante el método del paralelogramo, la magnitud del vector suma
(S=A+B ) y su dirección, y la magnitud del vector diferencia (D=A−B ) y su dirección.
2. Dado los vectores A=2i+2 j−k , B=6 i−3 j+2k y C=5 i−4 l+8k , calcular:
a. El vector ( A+B ) y su magnitud.
b. El vector ( A−B ) y su mangnitud.
c. El vector ( A+B )−C y su mangnitud.
d. El vector ( A−C )+B y su mangnitud.
3. Dado los vectores A=2i+6 j y B=3 i−2 j:
a. Representar cada vector gráficamente.
b. Siendo C=A+B y D=A−B, calcular la magnitud y dirección de C y D.
4. El vector A tiene componente x, y, z de 8, 12, -4 unidades respectivamente.
a. Escriba una expresión vectorial para A en notación de vectores unitarios.
b. Obtenga una expresión de vectores unitarios para el vector B con una longitir
de un cuarto de A apuntando en la misma dirección.
c. Obtenga una expresión de vectores unitarios para el vector C con 3 veces la a
longitud de A apuntando en dirección opuesta.
5. Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 5 Km, después hacia el norte
30 Km y luego en dirección 30º al este del norte 25 Km.
a. Realizar el diagrama de vectores.
b. Determinar el desplazamiento total del automóvil medido desde el punto de
partida al punto de llegada.
c. Determinar la dirección del desplazamiento.
196 Nw
69 Nw 37º
6. Una partícula experimenta 3 desplazamientos consecutivos en un plano como
sigue: 4 m al suroeste, 5 m al este, 6 m en una dirección a 60º al norte del este.
Determinar:
a. Las componentes de cada desplazamiento.
b. Las componentes del vector desplazamiento resultante.
c. La magnitud, dirección y sentido del vector desplazamiento resultante.
7. Determinar los valores de a, b y c, de manera que los vectores A=2ai+3 j+5k,
B=3 i+4 bj y C=i−−5 j+ck, sean perpendiculares.
8. De la siguiente figura calcular la fuerza resultante (Fr), su magnitud y sentido.
Realizar la representación en el plano.
ESTÁTICA
Cuerpos Rígidos
35º
50º
50 Nw30 Nw
15 Nw
20 Nw
Definición
Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto
de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no
cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios
de Cinemática. Un cuerpo rígido se deforma solo bajo la acción de fuerzas muy
grandes.
Cuerpos en Equilibrio
Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, la suma vectorial de todas las
fuerzas que actúan sobre él debe ser igual a cero. Esto significa que las fuerzas
actuantes no deben tener una resultante. Para que esto se cumpla debe existir dos
condiciones: la primera es que esté en equilibrio traslacional (la sumatoria de fuerzas
concurrentes tanto en el eje vertical como en el horizontal debe ser igual a cero), y la
segunda que esté en equilibrio rotacional (la sumatoria de los momentos de torsión
causados por fuerzas paralelas debe ser igual a cero).
Un cuerpo puede estar en equilibrio traslacional sin tener un equilibrio rotacional
y viceversa. Para que un cuerpo esté en completo equilibrio, debe cumplir las dos
condiciones antes mencionadas. Con respecto a lo anterior un cuerpo esta en equilibrio
cuando se encuentra en reposo o realizando un movimiento rectilíneo uniforme.
Estática
La estática es la rama de la mecánica clásica que analiza las cargas (fuerza, par /
momento) y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio
estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no
varían con el tiempo.
Fuerza
Es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento lineal
entre dos partículas o sistemas de partículas (en lenguaje de la física de partículas se
habla de interacción). Según una definición clásica, fuerza es todo agente capaz de
modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos materiales. No debe
confundirse con los conceptos de esfuerzo o de energía.
Si se quiere representar la fuerza como vector de desplazamiento, se puede decir
que cuando se aplica una fuerza a un sólido rígido se puede trasladar en la misma
dirección sobre su misma line de acción sin que esto varíe el efecto que produce.
Fuerzas que Actúan sobre un Cuerpo Rígido
Internas: son las fuerzas que mantienen unidas las partículas que forman un
cuerpo. Si el cuerpo rígido esta conformado por varias partes las fuerzas que
mantienen unidas esas partes también las llamamos fuerzas internas.
Externas: son representadas por la acción de otros cuerpos sobre el cuerpo
rígido en estudio generando un movimiento.
Movimiento
En mecánica, el movimiento es un cambio físico que se define como todo el
cambio de posición en el espacio. La descripción y estudio del movimiento de un
cuerpo exige determinar su posición en el espacio en función del tiempo. Para ello es
necesario un sistema de referencia o referencial. Existen dos tipos de movimientos
generales, los cuales son:
Traslación: cuando todos y cada uno de los puntos del cuerpo rígido realizan el
movimiento.
Rotación: cuando sus puntos redescriben circunferencias que tienen su centro
sobre una misma recta llamada eje de rotación.
Centro de Masa
Se llama centro de masa de un cuerpo, al punto en el cual se debe aplicar una
fuerza exterior para que solo se le produzca un movimiento de traslación. También se
define como el punto en el cual se cortan todas las líneas de acción de las fuerzas que
sólo le producen movimiento de traslación. El centro de masa de un cuerpo viene
expresado en coordenadas, para determinar dichas coordenadas se emplea lo
siguiente: consideremos un sistema de coordenadas rectangulares, y dos masas M 1 y
M 2, dadas por sus coordenadas M 1 (x1 , y1) y M 2 (x2 , y2 ).
X c=
M 1 x1+M 2 x2
M 1+M 2
Y c=M 1 y1+M 2 y2
M 1+M 2
Centro de Masa: (X c , Y c )
Ejemplo: Tres masas, de 2Kg, 3Kg y 6Kg, están localizadas en posiciones (3 ,0 ), (6 ,0 )
y (4 ,0 )respectivamente, en metros a partir del origen ¿En dónde está el centro de masa
de este sistema?
X c=M 1 x1+M 2 x2+M 3 x3
M 1+M 2+M 3
X c=2Kg .3m+3Kg .6m+6Kg .4m
2Kg+3Kg+6Kg=4,36m
Y c=M 1 y1+M 2 y2+M 3 y3
M 1+M 2+M 3
Y c=2Kg .0m+3Kg .0m+6Kg .0m
2Kg+3Kg+6Kg=0m
Centro de Masa: (X c , Y c )=( 4,36 ,0 )
Equilibrio
Definición y Tipos
Se puede decir que un cuerpo esta en equilibrio cuando todas las fuerzas que
actúan sobre él se equilibran. También un cuerpo esta en equilibrio cuando permanece
en reposo, o bien cuando se mueve en línea recta a velocidad constante. El equilibrio
solo puede producirse en dos casos: cuando no actúan fuerzas sobre un cuerpo o
cuando actúan varias fuerzas que se contrarrestaran anulándose su efecto.
Movimiento de rotación y traslación
Equilibrio Movimiento de rotación y Equilibrio
de traslación
Todo cuerpo tiene la tendencia a caer. Para evitar esa caída se le puede
suspender o apoyar. Este criterio nos ayuda a dar una clasificación de los cuerpos en
equilibrio de la siguiente manera:
Cuerpos Suspendidos: son aquellos que pueden girar alrededor de su eje. Un
cuerpo suspendido puede tener tres tipos de equilibrio, los cuales son estable,
inestable e indiferente.
Equilibrio Estable: un cuerpo suspendido esta en equilibrio estable cuando al
separarlo de su posición de equilibrio regresa a ella por si misma y el centro de
suspensión esta por encima del centro de gravedad.
Equilibrio Inestable: un cuerpo suspendido esta en equilibrio inestable cuando
al separarlo de su posición de equilibrio la pierde definitivamente y el centro de
suspensión está por debajo del centro de gravedad.
Equilibrio Indiferente: un cuerpo suspendido está en equilibrio indiferente
cuando al separarlo de su posición de equilibrio continua en equilibrio en la nueva
posición y el centro de gravedad coincide con el centro de masa.
Cuerpos Apoyados: son aquellos que descansas sobre una base fija. Un cuerpo
apoyado esta en equilibrio estable cuando la vertical que pasa por su centro de
gravedad caen dentro de la base de sustentación del cuerpo, que es la superficie sobre
la cual descansa dicho cuerpo. La estabilidad de los cuerpos apoyados depende de los
siguientes factores:
Magnitud de la base de sustentación.
Ubicación del centro de gravedad.
Peso del cuerpo.
Centro de Gravedad
El centro de gravedad es el punto donde se encuentra aplicada la resultante de
todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas partes del cuerpo.
También se puede definir cono el punto de aplicación del peso de un cuerpo o fuerza
gravitatoria resultante equivalente.
Trabajando con Peso
x=∑ w i x i
∑ wi
=w1 x1+w2 x2+…w1+w2+…
y=∑ wi yi
∑ wi
=w1 y1+w2 y2+…w1+w2+…
Trabajando con Área
x=∑ Ai xi
∑ A i
=A1 x1+A2 x2+…A1+A2+…
y=∑ Ai y i
∑ A i
=A1 y1+A2 y2+…A1+A2+…
Centro de Gravedad: ( x , y )
Centro de Gravedad de Figuras planas Conocidas
Triangulo Rectángulox=1
3base , y=1
3altura
ó
x=23base , y=2
3altura
Rectángulo
x=12base , y=1
2altura
a
b c
2 cm
3 cm
3 cm 3 cm4 cm
6 cm
1
2
3
Círculo
x=12diametro , y=1
2diametro
Cuadrado
x=12base , y=1
2altura
Triangulo General
a (x1 , y1 ) , b (x2 , y2 ) , c (x3 , y3 )
x=x1+x2+x3
3, y=
y1+ y2+ y3
3
Para realizar el cálculo del centro de gravedad de una figura plana no conocida se
deben seguir los siguientes pasos:
1. Colocar la figura plana sobre un eje de referencia.
2. Dividir la figura plana en áreas de figuras planas conocidas.
3. Determinar el centro de gravedad y el área de cada figura plana conocida.
4. Aplicar la formula de centro de gravedad para áreas.
Ejemplo: determinar el centro de gravedad de la siguiente figura geométrica.
Área
x i y i Ai Ai x i Ai y i
113
.3=1 ( 13
.3)+2=33.32
=4,5 4,5 13,5
212
.7=3,512
.2=1 7.2=14 49 14
3 ( 12
.3)+7=8,512
.6=3 3.6=18 153 54
∑ 36,5 206,5 81,5
x=A1 x1+A2 x2+A3 x3
A1+A2+A3
=4,5+49+1534,5+14+18
=206,536,5
=5,66cm
y=A1 y1+A2 y2+A3 y3
A1+A2+A3
=13,5+14+544,5+14+18
=81,536,5
=2,23cm
Diagrama de Cuerpo Libre
Es un dibujo esquematizado donde se representa un cuerpo aislado de todo lo
que lo rodea, indicando las fuerzas que actúan sobre él, debido a la acción de otros
cuerpos. Algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre son los siguientes:
1. Un bloque alado hacia la derecha sobre una superficie horizontal rugosa.
N = Normal, fuerza que ejerce el piso sobre el
bloque.
T = Tensión que se produce al alar el cuerpo.
W = Peso del cuerpo.
fr= Fuerza de roce que se opone al almacenamiento
2. Un bloque alado hacia arriba por una pendiente rugosa.
1
2
1
2
N = Normal, fuerza que ejerce el piso sobre el
bloque.
T = Tensión que se produce al alar el cuerpo.
W = Peso del cuerpo. Hay que determinar sus
componentes.
fr= Fuerza de roce que se opone al almacenamiento
3. Dos bloques en contacto sobre una superficie sin fricción.
F = Fuerza aplicada.
Q = Fuerza de contacto.
Cuerpo 1 Cuerpo 2
4. Dos masas conectadas por una cuerda ligera, la superficie es rugosa y la polea
sin fricción.
Cuerpo 1 Cuerpo 2
1ra Ley de Newton – “Ley de Inercia”
A
B C
“Un cuerpo en reposo permanecerá en reposo, y un cuerpo en movimiento
rectilíneo uniforme (velocidad constante) continuará con dicho movimiento, mientras no
actúe sobre él una fuerza no equilibrada“.
1ra Condición de Equilibrio
Esta condición de equilibrio enuncia, que un cuerpo está en equilibrio de
traslación cuando la suma de las fuerzas aplicada sobre él es igual a cero.
R x=∑ Fx ,R y=∑ F y
Para que se cumpla la primera condición de equilibrio, se debe cumplir que:
∑ F x=0 ,∑ F y=0
3ra Ley de Newton - “Ley de Acción y Reacción”
“Siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, el segundo cuerpo
ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud pero en sentido contrario”. A cada
acción se opone siempre una reacción igual, o sea, las accione mutuas entre dos
cuerpos son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias.
Ejemplos:
1. La figura muestra una piñata de 25 lbf de peso, que se halla sostenida por dos
cables AB y AC. Se pide:
a) Diagrama de cuerpo libre.
b) Tensión de las cuerdas AB y AC.
Diagrama de Cuerpo Libre
Calculamos y :
tang∝=2 pies6 pies
=¿∝=tang−1( 13 )=18,43
tang=2 pies4 pies
=¿=tang−1( 12 )=26,57
Aplicando la 1ra Condición de equilibrio: (separando las fuerzas en sus componentes)
Para X: ∑ Fx=0
T ACX−T ABX=0 (1)
Para Y: ∑ Fy=0
T ABY+T ACY –W=0 (2)
Por trigonometría tenemos que:
sen=T ACY
T AC
⇒T ACY=T AC∗sen sen=T ABY
T AB
⇒T ABY=T AB∗sen
cos=T ACX
T AC
⇒T ACX=T AC∗cos cos=T ABX
T AB
⇒T ABX=T AB∗cos
Sustituyendo estas ecuaciones en (1) y (2)
Para 1:
T ACX−T ABX=0
T AC∗cos∝−T AB∗cos β=0 (3)
Para 2:
T ABY+T ACY−W=0
T AB∗sen+T AC∗sen α−W=0 (4)
Despejando T AC de 3 y sustituyendo en (4)
T AC=T AB∗cos β
cosα sustituyendo en (4)
T AB∗sen β+T AB∗cos β
cos αsen α−W=0 despejando T AB
T AB(sen β+cos βcos α
senα)=W
T AB=
W
(sen β+cos βcos α
sen α)= 23 lbf
sen26,57+cos26,57cos18,43
∗sen 18,43=33,54 lbf
sustituyendo en
(3)
T AC∗cos18,43−33,54 lbf∗cos 26,57=0
T AC=33,54 lbf∗cos26,57
cos18,43 ¿31,62 lbf
A
B
2. Dos esferas idénticas, uniformes y de igual peso, se encuentran en el fondo de
un recipiente rectangular como se muestra en la figura. Determine las fuerzas que
actúan sobre las esferas en términos de W , según el
a. Por efecto de las paredes del recipiente.
b. Por acción de una esfera sobre la otra si los centros forman un ángulo de 45 °
respecto a la horizontal.
Diagrama de Cuerpo Libre
Esfera A Esfera B
Aplicando la 1ra Condición de equilibrio: (separando las fuerzas en sus componentes)
Para la Esfera A
Para X: ∑ Fx=0
P1−RX=0 (1)
Para Y: ∑ Fy=0
N−RY –W=0 (2)
Para la Esfera B
Para X: ∑ Fx=0
RX−P2=0 (3)
Para Y: ∑ Fy=0
RY –W=0 (4)
Por trigonometría tenemos que:
sen45 °=RY
R⇒RY=R∗sen45 ° cos 45 °=
R X
R⇒R X=R∗cos45 °
Sustituyendo RY en la ecuación 4
R∗cos 45°−W=0⇒R= Wcos 45°
=1,41W
Sustituyendo RX en la ecuación 1
P1−R∗cos 45 °=0⇒P1=R∗cos 45 ° (5)
Sustituyendo el valor de R en la ecuación 5
P1=1,41W∗cos 45°=0,99W
Sustituyendo RY en la ecuación 2
N−R∗sen45 ° –W=0⇒N=R∗sen45 °+W (6)
Sustituyendo el valor de R en la ecuación 6
N=1,41W∗sen45 °+W=1,99W
Sustituyendo RX en la ecuación 3
R∗cos 45°−P2=0⇒P2=R∗cos 45 ° (7)
Sustituyendo el valor de R en la ecuación 6
P2=1,41W∗cos 45°=0,99W
Así;
R=1,41W , N=1,99W , P1=0,99W , P2=0,99W
Fuerza de Rozamiento
La fuerza de roce tiene como definición la de ser la fuerza que siempre se opone
al movimiento de los cuerpos. Esta fuerza se genera en la superficie de contacto entre
dos cuerpos, y sucede cuando las imperfecciones de ambas coincidas o encajan. En si,
la fuerza de roce es la resistencia que se opone al movimiento de un cuerpo sobre otro.
Existen dos tipos de fuerzas de roce, las cuales son:
Fuerza de roce estático: es la fuerza que no te deja mover un cuerpo, pues es la
fuerza de oposición al inicio de cualquier movimiento de un objeto sobre otro
(superficie). El cuerpo tiene que estar en reposo sobre una superficie horizontal para
que se cumpla este roce. Matemáticamente el roce estático es menor o igual al
coeficiente de roce entre los dos objetos multiplicado por la fuerza normal.
fs=μs N
Fuerza de roce dinámico o fricción cinética: esta fuera ocurre cuando el cuerpo ya
está en movimiento. Este roce es igual al coeficiente de roce por la normal en todo
instante.
fr=μN
Ejemplo: Se tiene un bloque cuyo peso es de 25Nw y se encuentra colocado en una
superficie plana cuyo coeficiente de rozamiento estático es de μs=0,25. A dicho bloque
se le esta aplicando una fuerza externa horizontal hacia la derecha. Calcular cuanto
debe ser la fuerza aplicada para que el bloque no se mueva.
Aplicando primera condición de equilibrio
∑ F x=F−fr=0 (1) ∑ F y=N−W=0 (2)
De la ecuación 2 obtenemos N
N=W=25Nw
Se conoce que la fuerza de roce es:
fr=μN=0,25∗25Nw=6,25Nw
De la ecuación 1 obtenemos F
F=Fr=5 ,25Nw
Momento
También llamado torque de una fuerza F con respecto a un eje de giro o, a la
magnitud medida por el producto de la fuerza aplicada F perpendicular a la línea que
une el eje de rotación con el punto de aplicación de la fuerza, por la distancia b que
existen entre el eje de rotación y el punto de aplicación de la fuerza.
Rotación en sentido anti horario
M=F1b
Rotación en sentido horario
M=−F2b
2da Condición de Equilibrio
“Un cuerpo está en equilibrio de rotación cuando la suma algebraica de los
momentos de todas las fuerzas que actúan sobre el son cero”.
∑M=0 (respecto acualquier eje )
Ejemplo: Una barra rígida cuyo peso propio es despreciable esta atado en el punto O
y soporta en el extremo A un cuerpo de peso W 1=4Kg. Hallar el peso W 2 de un
segundo cuerpo atado al extremo B si la barra esta en equilirio, y calcular la fuerza
ejercida por el pivote situado en O.
Aplicando primera condición de equilibrio (para el eje y)
∑ F y=P−W 1−W 2=0 (1)
Aplicando la segunda condición de equilibrio
∑M=W 1b1−W 2b2=0 (2)
De la ecuación 2 obtenemos W 2
W 2=W 1b1
b2
=4Kg .3m4m
=3Kg
De la ecuación 1 obtenemos P
P=W 1+W 2=4Kg+3Kg=7Kg
GUÍA DE EJERCICIOS
CENTRO DE GRAVEDAD. 1RA Y 3RA LEY DE NEWTON
1. Encontrar las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo homogéneo
representado en la siguiente figura.
2. Determine la posición del centro de gravedad de la lámina en forma de T que se
muestra en la figura.
3. La lámina que se muestra en la figura representa la sección transversal de una
pieza de maquina que se compone de dos cilindros macizos homogéneos y coaxiales.
¿Dónde se encuentra su centro de gravedad de la sección transversal (figura plana)?
10 cm
3 cm
5,5 cm
2 cm
2 cm
6 cm
20 cm
5 cm
15 cm
5 cm
7,5 cm7,5 cm
30 cm
50 cm
4. Calcule la ubicación del centro de gravedad de la siguiente figura geométrica.
5. Dada la siguiente figura determine la tensión de la cuerda AC y BC si el peso del
bloque es de 178 N.
6. Los dos cilindros de la figura reposan en un poso con paredes lisas. Se pide:
a) Realizar el diagrama de cuerpo libre de los cilindros A y B.
b) Hallar las reacciones de las superficies sobre los cilindros, si el cilindro A tiene
una masa de 30,6 Kg y el B tiene una masa de 15,3 Kg.
7. El bloque A de la figura pesa 100 Kg. El coeficiente estático de rozamiento entre el
bloque y la superficie sobre la cual reposa es de 0,30. El peso W es de 20 Kg y el
sistema esta en equilibrio. Calcular:
a) La fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A.
60 mm
80 mm
x
y
120 mm
60 mm
40 mm
60˚30˚
40˚
b) Para que peso máximo W permanecerá en equilibrio el sistema.
8. Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura, y unidos por una cuerda
al bloque C. tanto A como B pesan 20 Kg y el coeficiente cinético de rozamiento entre
cada bloque y la superficie es de 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante.
Calcular:
a) Dibujar los diagramas de cuerpo libre para cada bloque.
b) Calcular la tensión de la cuerda que une a los bloques A y B.
c) Calcular el peso del bloque C.
9. Una escalera de 6 m de longitud y peso 80 Kg tuene un centro de gravedad en el
punto medio, se encuentra en equilibrio apoyada en una pared vertical sin rozamiento y
formando un angula de 53˚ con el suelo. Calcúlese los valores y direcciones de las
fuerzas F1 y F2.
45˚ A
W
A
B C
37˚
10. Se tiene una barra de 14 m de longitud de la cual penden de sus extremos cuerpos
de 36 N y 20 N de peso. Si no se considera el peso de la barra. ¿Dónde debe estar
aplicado el punto de apoyo para que la barra este en equilibrio de rotación?
11. En la figura se tiene que las fuerzas F1=50N , F2=5N , F3=10N y F4=40N. Hallar
la resultante de las fuerzas y el punto de aplicación.
12. Tres masas iguales se encuentran ubicadas en un eje de coordenadas de la
siguiente manera: una en el origen otra sobre el eje x situada a L metros del origen en
x, y la tercera en el punto ( L2 , h). Hallar el centro de masa del sistema.
13. Un sistema de partículas consta de tres masa puntuales cuyos valores son:
m1=1Kg, m2=2Kg y m3=3Kg, ubicadas en los vértices de un triangulo equilátero de 1m
de lado. Determinar las coordenadas del centro de masa del sistema.
F1
F2
W
4,80 m
1,80 m 1,80 m
0,6 m 0,4 m
0,8 m
F1 F2 F3
F4
Cinemática
Definición
La cinemática es la rama de la física mecánica que se encarga del estudio de las
leyes del movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las causas que producen
dicho movimiento, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del
tiempo.
Movimiento de un Cuerpo
Se dice que un cuerpo se encuentra en movimiento con respecto a un p unto fijo
(sistema de referencia), cuando su posición varia con el tiempo, con respecto a dicho
punto. Para entender el movimiento, es necesario hacer una descripción de las
distintas magnitudes que intervienen en su desarrollo. Dichas magnitudes se conocen
como los elementos del movimiento, los cuales son:
El móvil o partícula material: un móvil es todo cuerpo capaz de moverse. Por
otra parte una partícula se puede definir como un elemento de tamaño diferencial (muy
pequeño) cuyas dimensiones pueden despreciarse.
La trayectoria: la trayectoria de un cuerpo en movimiento son los puntos del
espacio que ocupa el cuerpo o partícula en movimiento a través del tiempo. Este
conjunto de puntos originan una línea, por lo tanto la trayectoria se puede decir que es
la línea formada por todos y cada uno de los puntos ya ocupados por el móvil o
partícula a medida que transcurre el tiempo.
La posición: es el punto donde se localiza el móvil o partícula con respecto a un
sistema de referencia en un determinado instante de tiempo.
Sistema o punto de referencia: es el punto que toma el analista como referencia
(punto guía) para realizar el estudio del movimiento.
El tiempo: es el intervalo de duración de un fenómeno.
Reposo: es la posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia que
no presenta cambios con respecto al tiempo.
Desplazamiento: es la diferencia entre dos vectores posición, o también, es el
cambio del vector posición de la partícula con respecto a un sistema de referencia. El
desplazamiento es una magnitud vectorial, porque a demás de módulo esta dotada de
dirección y sentido.
Distancia recorrida: es el valor absoluto del desplazamiento.
Para realizar el estudio del movimiento (cinemática) se puede clasificar el
movimiento de dos maneras, según su trayectoria y desplazamiento, y según su
dimensión.
El Movimiento según su Trayectoria y Desplazamiento
Según su Trayectoria:
Rectilíneo (Traslación): un cuerpo se encuentra en movimiento rectilíneo o
de traslación en line recta, cuando un segmento de él se mantiene paralelo a si
mismo durante todo el movimiento.
Curvilíneo (Rotación): un cuerpo se encuentra en movimiento curvilíneo o de
rotación cuando sus puntos describen una trayectoria curva o circular, la cual
posee un centro sobre una recta llamada eje de rotación.
Los Movimientos
Según su Trayectoria
Rectilineo (Traslación)
Curvilineo (Rotación)
Según su Desplazamiento
Uniforme
Acelerado (Variado)
Según su Desplazamiento:
Uniforme: un cuerpo esta en movimiento uniforme cuando realiza
desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales.
Acelerado (Variado): un cuerpo esta en movimiento acelerado o variado
cuando realiza desplazamientos desiguales en intervalos de tiempo iguales.
El Movimiento según sus Dimensiones
Movimiento en una Dimensión: un movimiento en una dimensión es aquel que
ocurre a lo largo de un solo eje, es decir sobre el eje x o el eje y. Para estudiar los
movimientos en una dimensión hay que conocer las siguientes definiciones:
Velocidad Media ( vm ): es la rapidez de cambio del desplazamiento en un
instante de tiempo.
vm=∆ x∆ t
=x f− xot f−t o (ms )
Los Movimientos
Una Dimención
Sobre el eje X
Movimiento Rectilineo
Uniforme (MRU)
Movimiento con aceleración constante
Movimiento con aceleración
variable
Sobre el eje Y
Caida libre
Lanzamiento vertical
Dos Dimenciones
Lanzamiento de Proyectil
Movimiento Circular
Rapidez Media (V m ): se define como la distancia total recorrida entre el
intervalo de tiempo requerido para recorrer dicha distancia.
V m=∑|∆ x|
t (ms ) Velocidad Instantánea ( v ): velocidad de la partícula en cualquier instante o
punto específico de su trayectoria.
v= lim∆t→0
vm= lim∆t →0
∆ x∆ t
= lim∆t →0
x f− xot f−t o
=d xdt (ms )
Rapidez Instantánea (V ): es la magnitud de la velocidad instantánea.
V=|v|=|d xdt |(ms ) Aceleración Media (am ): es la rapidez de cambio de la velocidad en un
intervalo de tiempo determinado.
am=∆ v∆t
=v f− vot f−t o (ms2 )
Aceleración Instantánea ( a ): es la variación de la velocidad en un instante de
tiempo determinado o en un punto específico de la trayectoria.
a= lim∆t →0
∆ v∆ t
=d vdt (ms2 )
Los movimientos en una dimensión se dividen según el eje en donde se
desarrolla el movimiento, esta clasificación es la siguiente:
Sobre el eje x: tenemos los siguientes movimientos:
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU): un cuerpo se mueve con un
movimiento rectilíneo uniforme cuando la trayectoria que describe es un a línea
recta (sobre el eje x) y la partícula realiza desplazamientos iguales en intervalos
de tiempo iguales. Este movimiento se caracteriza por poseer velocidad constante
y aceleración cero.
v=d xdt⇒ v . dt=d x ; integ rando
v∫0
t
dt=∫xo
x f
d x⇒ v . t=x f−xo
x f= xo+v . t∎
Movimiento con Aceleración Constante: un cuerpo se dice que se
encuentra desarrollando un movimiento con aceleración constante cuando las
variaciones de la velocidad son iguales en intervalos de tiempo iguales. Este
movimiento se caracteriza por poseer velocidad variable y aceleración constante.
a=d vdt
⇒ a .dt=d v ; integrando
a∫0
t
dt=∫vo
v f
d v⇒ a .t=v f−vo
v f= vo+a . t∎
v=d xdt⇒ v . dt=d x ;si v=vo+ a .t
(vo+a . t )dt=d x ,integrando
∫0
t
(vo+a . t )dt=∫xo
x f
d x⇒ vo . t+a .t 2
2=x f−xo
x f= xo+vo . t+ a .t 2
2∎
a=d vdt
.d xd x
⇒ v .d vd x
⇒ a . d x= v . d v , integrando
a∫xo
x f
d x=∫vo
v f
v . d v⇒ a ( x f− xo )=v f
2− vo2
2
v f2= vo
2+2 a ( x f− xo )∎
V m=∆ x∆ t
=x f− xot f−to
;si t f=t y to=0
V m=x f− xot
; (Ec .1)
V m=v f+ vo
2; (Ec .2)
Igualando Ec .1 y Ec .2
x f− xot
=v f+v o
2⇒ x f= xo+
t (v f+vo )2
∎
Movimiento con Aceleración Variable: se dice que un cuerpo se
encuentra en un movimiento con aceleración variable cuando las variaciones de
velocidad son diferentes en intervalos de tiempo iguales. Este movimiento se
caracteriza por poseer tanto velocidad como aceleración variable.
a=d vdt
⇒ a .dt=d v⇒∫0
t
a . dt=∫vo
v f
d v∎
v=d xd t
⇒ v . dt=d x⇒∫0
t
v . dt=∫xo
x f
d x∎
Sobre el eje y: tenemos los siguientes movimientos:
Caída Libre: se dice que un cuerpo se encuentra realizando un movimiento
en caída libre cuando este se deja caer libremente desde el reposo por acción de
la gravedad. Este movimiento se caracteriza por poseer una velocidad inicial igual
a cero y la aceleración de la gravedad es igual a g=9,8m /s2.
v f=−g . t∎
y f= yo−g .t2
2∎
v f2=−2 g ( y f− yo )∎
y f= yo+t ( v f )
2∎
Lanzamiento Vertical: se dice que un cuerpo se encuentra realizando un
movimiento de lanzamiento vertical cuando este se mueve verticalmente hacia
arriba impulsado por una velocidad inicial para luego caer libremente desde el
reposo por acción de la gravedad. Este movimiento se caracteriza por poseer una
velocidad inicial diferente a cero, pero al alcanzar su altura máxima su velocidad
en ese punto se igual a cero y la aceleración de la gravedad es igual a g=9,8m /s2.
v f= vo−g . t∎
y f= yo+ vo .t−g .t 2
2∎
v f2= vo
2−2 g ( y f− yo )∎
y f= yo+t ( v f+ vo )
2∎
Ejercicios. Movimientos en una Dimensión:
1. Un cuerpo se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la siguiente ecuación
x=2 t3+5 t 2+5, donde x se expresa en pies y t en segundos. Encontrar:
a. La expresión para la velocidad y la aceleración en cualquier instante.
b. La posición, la velocidad y aceleración cuando t=2 s y t=3 s.
c. La velocidad y aceleración promedio a los t=2 s y t=3 s.
Parte a.
v=d xdt
= ddt
(2 t3+5 t2+5 )=2.3 t 2+5.2 t=6 t 2+10 t pie / s
a=d vdt
= ddt
( 6 t2+10 t )=6.2 t+10¿12 t+10 pie /s2
Parte b.
x (2 )=2 (2 )3+5 (2 )2+5=41 pie
x (3 )=2 (3 )3+5 (3 )2+5=104 pie
v (2 )=6 (2 )2+10 (2 )=44 pie / s
v (3 )=6 (3 )2+10 (3 )=84 pie /s
a (2 )=12 (2 )+10=34 pie /s2
a (3 )=12 (3 )+10=46 pie /s2
Parte c.
V m=x f− xot f−t o
=x (3 )− x (2 )t3−t 2
=104 pie−41 pie3 s−2 s
=63 pie / s
am=v f− votf−t o
=v (3 )− v (2 )
3 s−2 s=40 pie / s2
2. Un automóvil viaja con una rapidez de 8m /s durante 60 s, luego entra en calor
corriendo otros 60 s con una rapidez de24m / s. Calcular:
a. La rapidez media a los 120 s.
b. Suponga que la rapidez de 8m /s se mantiene durante 480m seguida de la
rapidez de 24m / s durante otros 480m, cual es la velocidad media en toda la
distancia.
Parte a.
Datos:
v1=8m /s v2=24m / s
x1= x2=480m
V m=∑|∆ x|
t;∆ x i= v i . t i
V m=∆ x1+∆ x2
t1+t 2
=v1 .t 1+ v2 .t 2
t 1+ t2=8m/ s .60 s+24m / s .60 s
60 s+60 s=16m /s
Parte b.
Datos:
v1=8m /s v2=24m / s
x1= x2=480m
vm=x f− xot f−t o
; xo=0 , to=0⇒ vm=x ft f; (Ec .1 )
x f=∆ x1+∆ x2=2∆ x , (Ec .2 )
t f=t1+t 2; ∆ x i= v i .t i⇒ ti=∆ x iv i
t f=∆ x1
v1
+∆ x2
v2
=∆ x (v1+v2 )
v1 v2
, (Ec .3 )
Sustituyendo Ec .2 y Ec .3 en Ec .1
vm=2∆ x
(∆ x (v1+v2 )v1 v2
)=
2 v1 v2
v1+ v2
=2.8m /s .24m/ s8m /s+24m / s
=12m /s
3. Un automóvil que parte del reposo, posee una aceleración constante y tarda 2 s
en pasar por 2 puntos distantes 24m. Su velocidad cuando pasa por el segundo es de
14,4m / s. Calcular:
a. Su aceleración.
b. Su velocidad cuando pasa por el primer punto.
c. Distancia desde el punto de partida hasta el primer punto.
Datos:
v0=0m /s
v i=24m /s
v f=14,4m /s
x i=d
x if=24m
x f=d+24m
t if=2 s
Trabajando en el tramo if
v f= v i+a . tif⇒ v i=v f− a .t if (Ec .1 )
x f= x i+ v i .t if+ a .t if
2
2⇒d+24m=d+v i . tif+a .
tif2
2⇒ v i .t if+ a .
t if2
2=24m (Ec .2 )
Sustituyendo (Ec .1 ) en (Ec .2 )
( v f−a . tif ) . tif+ a .tif
2
2=24m⇒ v f . tif− a .t if
2+a .t if
2
2
⇒24m−v f .t if=a ( tif 2
2−t if
2)⇒24m− v f . tif=−t if
2
2a
⇒ a=2 ( v f . t if−24m )
t if2 =
2 (14,4m /s .2 s−24m )(2 s )2
=2,4m /s2
De la (Ec .1 )
v i=v f− a. t if=14,4m / s−2,4m /s2.2 s=9,6m /s
Trabajando en el tramo oi
v i=vo+ a .t oi=a . t oi⇒ t oi=v ia= 9,6m /s
2,4m /s2 =4 s
x i= xo+ vo . t oi+ a .t oi
2
2⇒ x i=a .
t oi2
2=2,4m /s2.
(4 s )2
2=19 ,2m
4. En una carrera de 100m Ana y Julia en un empate muy apretado, ambas en un
tiempo de 10,2 s aceleraron uniformemente. Ana tarda 2 s en alcanzar su velocidad
máxima la cual mantiene durante el resto de la competencia, en cambio Julia tarda 3 s
en alcanzar esa velocidad máxima. Calcular:
a. Cual fue la aceleración de cada velocista.
b. Cual fue la rapidez máxima de cada velocista.
c. Cual de las velocistas va adelante en la marca de 6 s y por cuanta distancia.
Datos:
t 1A=2 s
t 1J=3 s
x f=100m
t f=10,2 s
De manera general:
Trabajando de OA (mov. con aceleración constante)
vmax= vo+a . t 1=a . t1 (Ec .1 )
x A= xO+ vo . t1+a .t 1
2
2=a .
t 12
2(Ec .2 )
Trabajando de AB (mov. con velocidad constante)
xB= xA+vmax .t 2 (Ec .3 )
Con respecto al tiempo:
t f=t1+t 2⇒ t 2=t f−t 1 (Ec .4 )
Sustituyendo (Ec .4 ) en (Ec .3 )
xB= xA+vmax . (t f−t 1) (Ec .5 )
Sustituyendo (Ec .1 ) y (Ec .2 ) en (Ec .5 )
xB=a .t 1
2
2+a . t 1 . (t f−t1 )= a( t 1
2
2+t1 t f−t 1
2)=a( t1 t f− t12
2 )⇒ a=
xB
t1 t f−t 1
2
2
(Ec .6 )
Parte a.
a A=xB
t 1A t f−t1 A
2
2
= 100m
2 s .10,2 s−(2 s)2
2
=5,43m/ s2
aJ=xB
t 1J t f−t1J
2
2
= 100m
3 s .10,2 s−(3 s )2
2
=3,83m /s2
Parte b.
vmaxA= aA . t1 A=5,43m /s2.2 s=10,86m /s
vmaxB=aJ .t 1J=3,83m/ s2 .3 s=11,49m / s
Parte c. (t=6 s)
x A (6 s)= aA .t 2
2+ aA . t=5,43m/ s2 .
(6 s)2
2+5,43m /s2 .6 s=54,3m
xJ (6 s)= aJ .t 2
2+ aJ . t=3,83m /s2 .
(6 s )2
2+3,83m /s2.6 s=51,705m
xd= xA (6 s )− xJ (6 s)=54,3m−51,705m=2,595m
5. Un porrón de flores cae del borde de una azotea y pasa frente a una ventana
que esta por debajo (ignore la resistencia del aire). El porrón tarda 0,48 s en pasar
desde el borde superior hasta el inferior de la ventana, cuya altura es de 1,9m. ¿A que
distancia por debajo de la azotea se encuentra la ventana?
Datos:
vc=0
t AB=0,48 s
yB=1,9m
yBC=?
Trabajando entre A y B
y A= yB+ vB . tAB−g .tAB
2
2⇒ yB+ vB . tAB−g .
tAB2
2=0⇒ vB=
g .t AB
2
2− yB
t AB
⇒ vB=9,8m / s2 .
(0,48 s)2
2−1,9m
0,48 s=−1 ,61m /s
NOTA: la velocidad da negativa porque el cuerpo va bajando.
Trabajando entre B y C
vB2=−2 g ( yB− yC )⇒ yC= y B+
vB2
2g⇒ yC=1,9m+
(−1,61 )2
2.9,8m / s2 =2,03m
yBC= yC− yB=2,03m−1,9m=0,132m
6. Se lanza un cuerpo hacia arriba en dirección vertical con una velocidad de 98m / s
desde el techo de un edificio de 100mde altura. Calcular:
a. La altura máxima alcanzada.
b. La velocidad al llegar al suelo.
c. El tiempo total del movimiento.
Datos:
vo= vB=98m /s
vC=0
vA=?
yB=100m
yC=?
t A=?
vC2=v B
2−2g ( yC− yB )⇒ vB2−2g ( yC− yB )=0⇒ yC= y B+
vB2
2g
⇒ yC=100m+(98m /s )2
2.9,8m /s2=590m
Trabajando entre C y A
vA2=−2 g ( y A− yC )⇒ v A
2=2g yC⇒ v A=±√2g yC
⇒ v A=±√2g yC=−√2.9,8m /s2 .590m=−107,54m / s
Para calcular el tiempo total del movimiento tenemos que calcular el tiempo de
subida y el tiempo de bajada.
t=tBC+tAC
Trabajando entre B y C
vC=v B−g . tBC⇒ vB−g .tBC=0⇒ tBC=vBg
= 98m/ s9,8m /s2 =10 s
Trabajando entre C y A
vA=−g . tAC⇒ t AC=−v A
g=−−107,54m/ s
9,8m /s2 =10 ,97 s
t=tBC+tAC=10 s+10,97 s=20,97 s
Movimiento en Dos Dimensiones: un movimiento en dos dimensiones es aquel
que ocurre a lo largo de los ejes x y y simultáneamente.
Lanzamiento de Proyectil: también conocido como movimiento parabólico.
Una partícula (proyectil) realiza un movimiento parabólico denominado así ya que
su trayectoria es una parábola, cuando es proyectado con una velocidad inicial
que forma un ángulo con la horizontal. Este movimiento se caracteriza por ser
uniforme sobre el eje x y con aceleración constante sobre el eje y.
Velocidad Inicial:
vo=vox i+voy j⇒ {vox=vo cosθvoy=v osin θ }⇒ vo=vo cosθ i+vo sinθ j∎
Velocidad Instantánea:
v=v x i+v y j⇒{vx=vox=vo cosθv y=vosinθ−¿ }⇒ v=vo cosθ i+(vo s∈θ−¿ ) j∎
Posición:
r=rx i+r y j⇒ { r x=vo cosθ t
r y=v osinθ t−gt 2
2 }⇒r=vo cosθ ti+(v osinθ t−gt 2
2 ) j∎
Altura Máxima: máxima altura alcanzada por el proyectil durante el
movimiento.
ymax=V o
2sin2θ2 g
∎
Tiempo máximo: tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la altura
máxima.
tmax=V o sinθ
g∎
Tiempo de vuelo: es el tiempo que tarda el proyectil en pasar por el nivel
por el nivel desde donde salió.
t v=2V osinθ
g=2tmax∎
Alcance horizontal: es la máxima distancia que recorre el proyectil a lo
largo del eje x, hasta que vuelve a pasar por el nivel de donde salió.
R=V o
2sin 2θg
∎
Ecuación de la Trayectoria:
y=tan θ x− g
2V o2 sin2θ
x2∎
Movimiento Circular Uniforme (MCU): un cuerpo se encuentra en
movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia, este movimiento
posee un eje de giro y radio constantes. Para ser uniforme la velocidad de giro es
constante (módulo de ésta), con radio y centro fijos y velocidad angular constante.
En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos que serían
básicos para la descripción cinemática y dinámica del mismo:
Eje de Giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación,
este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante
concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación
infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro
de giro de la trayectoria descrita.
Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido
en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el
desplazamiento angular. Su unidad es el radián (espacio recorrido dividido entre
el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional
por tanto).
s=R ∆θ=R (θ f−θo )∎
Período: es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa.
T= tn
( s)∎
Frecuencia: es el número de vueltas que da una partícula en una unidad
de tiempo.
f= 1T
(s−1 )∎
Velocidad Angular: es la variación del desplazamiento angular por unidad
de tiempo. También definida como la magnitud medida por el cociente entre el
ángulo descrito por el radio vector y el tiemplo empleado en describirlo.
ω=θt⇒ω=2π
t(rad /s )∎
ω=2πT⇒ω=2π f (rad /s )∎
Velocidad Lineal: es el vector velocidad, tangente en un punto especifico
de la trayectoria que describe la partícula (circunferencia).
v=Rω⇒ v=2π RT
⇒ v=2 π Rf ∎
Aceleración Centrípeta: es la variación de la dirección del vector
velocidad lineal. Su dirección es el radio apuntando siempre al centro de la
circunferencia.
ac=v2
R⇒ ac=ω2 R∎
Ejercicios. Movimientos en dos Dimensiones:
1. Un proyectil tiene una velocidad inicial de 24m / s que forma un ángulo de 53 ° por
encima de la horizontal. Calcular:
a. La altura máxima.
b. La distancia horizontal a la que se encuentra del punto de partida a los 3 s
después de ser disparado.
c. La distancia vertical por encima del punto de partida a los 3 s.
d. Las componentes horizontales y verticales de su velocidad a las 3 s.
Datos:
vo=24m/ s
θ=53°
x (3 s )=?
y (3 s)=?
vx (3 s )=?
v y (3 s )=?
ymax=V o
2sin2θ2 g
=(24m / s )2 sin253 °
2.9,8m /s2 =18,74m
x (3 s )=vocos θ t=24m /s .cos53 ° .3 s=43,33m
y (3 s)=vo sinθ t−gt2
2=24m /s . sin 53 ° .3 s−9,8m /s2 .
(3 s)2
2=13,40m
v=v ocosθ i+(vo sinθ−¿ ) j=(24m/ s .cos53 ° )i+(24m /s . sin 53 °−9,8m / s2 .3 s ) j
⇒ v=(14,44 i−10,23 j )m / s
La componente en y de la velocidad da negativa porque el proyectil ya viene en
descenso.
2. Una rueda de 9m de diámetro esta girando de manera que da 15 vueltas en
0,5min. Calcular:
a. Velocidad lineal.
b. Velocidad angular.
c. Frecuencia.
d. Aceleración centrípeta.
e. Cuantas vueltas da 1,5min.
f. Cuanto tarda en dar 80 vueltas.
T= tn=0,5min
15.
60 s1min
=2 s
R=D2
=9m2
=4,5m
v=2πRT
=2.π .4,5m2 s
=14,14m /s
ω=2πT
=2.π2 s
=3,14 rad /s
f= 1T
= 12 s
=0,5 s−1
ac=v2
R=
(14,14m/ s )2
4,5m=44,43m /s2
T= tn⇒ n= t
T=1,5min
2 s.
60 s1min
=45vueltas
T= tn⇒ t=nT=80.2 s=160 s
GUÍA DE EJERCICIOS
1. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1200cm /s durante 9 s, y
luego con velocidad media de 480 cm /s durante 7 s, siendo ambas velocidades del
mismo sentido. Calcular:
a. ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?
b. ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?
2. Una persona camina del punto A al punto B a una velocidad de5m /s a lo largo de
una línea recta y después regresa a lo largo de la línea B a A con una velocidad de
promedio de 3m /s.
a. ¿Cuál es su rapidez promedio en el recorrido completo?
b. ¿Cuál es su velocidad promedio en el recorrido completo?
3. Dos móviles A y B parten de un mismo punto para moverse en la misma dirección
y sentido. En el móvil A con una rapidez de 80Km /h y el B con 60Km/h. Calcular la
distancia que los separa cuando hayan transcurridos 180min.
4. Un auto parte del reposo y se desplaza con una aceleración de 1m /s2 durante 1 s.
Luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la fricción, durante 10 s a un
promedio de 5cm /s. Entonces se aplican los frenos y en el auto se detiene en 5 s más.
Calcular la distancia total recorrida por el auto.
5. Una mujer camina 4min en dirección norte a una velocidad media de 6Km /h
después camina 10min hacia el este a 4 Km/hdurante 10min. ¿Cuál es su rapidez
media durante el recorrido?
6. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación
s=2t 4+3 t 3+ t−4donde x esta en metros y t en segundos. Calcule la velocidad
instantánea y la aceleración instantánea en a los tres segundos.
7. Un disco de hockey que se desliza sobre un lago congelado se detiene después de
recorrer 200m si su velocidad inicial es 3m /s.
a. ¿Cuál es su aceleración si se supone constante?
b. ¿Cuánto dura su movimiento?
c. ¿Cuál es su velocidad después de recorrer 150m?
8. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde la parte alta de un precipicio
de 152m de altura, con una velocidad inicial de 30,5m /s. Determine:
a. ¿Cuál será su velocidad después de 3 sde lanzada?
b. ¿Cuánto tiempo tardara en llegar a su máxima altura.
c. ¿Cuánto tardara la pelota en llegar al fondo del precipicio
9. Una paracaidista, después de saltar del avión, desciende 50m sin fricción del aire.
Cuando se abre el paracaídas se retarda su caída a razón de 2m /s, alcanzando el
suelo con rapidez de 3m /s.
a. ¿Cuánto tiempo está el paracaidista en el aire?
b. ¿Desde qué altura salió del avión?
10. En un bar local un cliente hace deslizar un tarro de cerveza vacío sobre la barra
para que lo vuelvan a llenarlo, el cantinero esta distraído y no ve el tarro, el cual cae de
la barra y golpea el piso a 1,40m de la base de la misma. Si la altura de la barra es
0,860m. Calcular:
a. La velocidad de tarro al abandonar la barra.
b. ¿Cuál fue la dirección de la velocidad del tarro justo antes de chocar con el piso?
11. Un pateador de lugar debe patear un balón de futbol americano desde un punto a
36m de la zona de gol y la bola deber librar los postes que están a 3,05m de alto.
Cuando patea el balón abandona el suelo con una velocidad de 20m /s y un ángulo de
53 ° respecto a la horizontal. Calcular:
a. ¿Por cuanta distancia el balón libra o no los postes?
b. ¿El balón se aproxima a los postes mientras continúa ascendiendo o cuando
está descendiendo?
12. Un proyectil se dispara de tal manera que su alcance máximo horizontal es tres
veces su altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de disparo?
13. Un proyectil es disparado haciendo un ángulo de 35 °, llega al suelo a una distancia
de 4 Km del cañón. Calcular:
a. La velocidad inicial.
b. El tiempo de vuelo.
c. La máxima altura.
d. Modulo de la velocidad a los 15 s del lanzamiento.
14. Si la tierra da un a vuelta completa alrededor del sol en 365 días (movimiento de
traslación). Si su distancia media al sol es 1,49 x108 Km. Calcular:
a. Velocidad angular.
b. Velocidad lineal.
c. Aceleración centrípeta
15. Se tienen dos ruedas cuyas frecuencias son f 1=20min−1 y f 2=10min−1. Si el radio
de la primera es R1=2m, ¿Cuál debe ser el radio de la segunda rueda para para que el
borde de la rueda gire con la misma velocidad lineal?
16. ¿Cuál es el periodo de revolución de un satélite artificial de la tierra, que se mueve
a una altura de 800Km sobre ella, sabiendo que el radio medio de la tierra es de
6370Km y la acelaración centrípeta del satélite a esa altura es de 3,2 x10−4m /s2?
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