UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

VICE RECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

FÍSICA I

Prof.: Ing. Alejandra Escobar

UNIDAD I (30%)

Análisis Vectorial del Movimiento de una Partícula en el Plano y Espacio

Objetivo Terminal: Analizar vectorialmente el movimiento de una partícula en el

plano y el espacio, y el centro de gravedad de un sistema de partículas en el plano.

Objetivos Específicos Contenido

1. Operar con vectores.

2. Aplicar los conocimientos básicos de

estática y cinemática al movimiento.

Escalares y vectores.

Cuerpos rígidos.

Primera y tercera ley de newton.

Centro de gravedad.

Velocidad y aceleración.

Caída libre.

Lanzamiento de proyectil.

Movimiento general en el plano.

Movimiento circular.

ESCALARES Y VECTORES

Magnitudes

Una magnitud se puede definir como toda aquella propiedad que puede ser

medida. En física las magnitudes pueden ser clasificadas en escalares y vectoriales.

Se llaman magnitudes escalares a aquellas que quedan perfectamente definidas

por un valor numérico y su correspondiente unidad. La longitud, la temperatura, la

masa, la densidad, el tiempo el volumen, la superficie son ejemplos de magnitudes

escalares,

Se llaman magnitudes vectoriales a aquellas donde se tiene que especificar

además de su valor numérico, la dirección y el sentido. Son magnitudes vectoriales: la

fuerza, la velocidad, el desplazamiento, la cantidad de movimiento, la aceleración, etc.

Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores.

Vectores

Definición

Un vector se define como un segmento de recta orientado y dirigido, que tiene un

origen y un extremo. Un vector se caracteriza por la presencia de cuatro elementos

diferenciadores:

Magnitud o Modulo: es la longitud del segmento dirigido que contiene al vector.

Dirección o Línea de Acción: es la dirección de la recta que contiene a dicho

vector. La dirección puede ser horizontal, vertical o inclinada.

El punto de Aplicación u Origen: es el punto donde se considera aplicada la

magnitud a quien el vector está representando.

El Sentido: esta indicado por la punta de la flecha colocada en el extremo. El

sentido puede ser hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia abajo o hacia arriba.

Origen

Dirección

Magnitud

Sentido

Existen diversas clases de vectores, las más utilizadas y comunes en física son

las siguientes:

Vectores Opuestos: son aquellos que poseen igual módulo y dirección pero sentido

opuesto.

Vectores Unitarios: son vectores sin dimensión, cuya magnitud es igual a la unidad,

los cuales son empleados para especificar una dirección dada. Ellos no poseen otro

significado físico, simplemente se usan por conveniencia para describir una dirección

en el espacio.

Vectores Paralelos: son dos vectores tales que, teniendo la misma dirección y sentido

sus magnitudes son proporcionales.

Vectores Fundamentales: son los vectores unitarios cuyas direcciones y sentidos

coinciden con los ejes coordenados. Ellos constituyen un conjunto de vectores

mutuamente perpendiculares, los cuales serán representados de la manera siguiente: i

sobre el eje x, j sobre el eje y, y k sobre el eje z.

N

S

EO  

Dirección de un Vector en el Plano

La dirección de un vector es el ángulo que este forma con respecto a un eje de

referencia. El método utilizado en física para dar la dirección de un vector de refiere a

las direcciones convencionales norte, sur, este y oeste.

El vector A esta ubicado 45 ° al norte del este, el vector B esta ubicado 60 ° al

norte del oeste, el vector C esta ubicado 70° al sur del oeste y el vector D esta ubicado

30 ° al sur del este.

Componentes Rectangulares de un Vector

Consideremos el vector A en el plano xy, donde dicho vector tiene su origen

ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y forman un ángulo con

el eje positivo de las x. Si desde el extremo del vector A se trazan sus proyecciones

sobre los ejes, se obtienen dos componentes, Ax : componente de A en la dirección de

x, y A y : componente de A en dirección de y.

Las componentes x e y del vector A vienen dadas por:

Ax=|A|.cosθ , A y=|A|. sinθ

La magnitud o longitud de un vector en función de sus componentes viene dado

por:

|A|=√ ( Ax )2+ (A y )2

La dirección del vector viene dada por el ángulo que forma dicho vector con la

dirección positiva del eje x, medido en sentido contrario al avance de las manecillas del

reloj. Este ángulo puede calcularse por la relación:

tanθ=|Ax||A y|

⇒θ=tan−1 |Ax||A y|

En general, los signos de las componentes rectangulares de un vector dependen

del cuadrante donde el este localizado.

Ejemplos: Calcular las componentes de los siguientes vectores

1. Vector desplazamiento de magnitud 40 cm, ubicado a 35 ° al norte del este.

Ax=40 cm.cos35 °=32,77 cm

A y=40cm . sin 35°=22,94cm

2. Vector fuerza de magnitud 25Nw, ubicado a 60 ° con respecto al eje y negativo en

sentido anti horario.

F x=25Nw . sin 60°=21,65Nw

F y=25Nw .cos 60°=−12,5Nw

Expresión Analítica de un Vector en el Plano en función de los Vectores Unitarios

Consideremos el vector A, el cual esta ubicado en el plano xy como se muestra

en la figura.

El producto de la componente Ax y el vector unitario i es el vector Ax i, el cual es

paralelo al eje x con magnitud Ax. De la misma forma el producto de la componente A y

y el vector unitario j es el vector A y j, el cual es paralelo al eje y con magnitud A y. De

esta manera, en términos de los vectores unitarios se puede escribir el vector A así:

A=A x i+A y j

Esta última es la expresión analítica del vector en función de los vectores

unitarios i, j.

Expresión Analítica de un Vector en el Espacio

Un vector en el espacio viene representado por tres componentes sobre los ejes.

Sea V un vector que se encuentra en el espacio y sean α , β y θ los ángulos que forman

el vector con los semiejes positivos x, y, z.

Los cosenos de los ángulos α , β y θ los llamamos cosenos directores del vector,

llamados así porque fijan la dirección del vector V en el espacio. Ellos quedan

determinados a través de las relaciones siguientes:

cos α=V x

|V|,cos β=

V y

|V|,cosθ=

V z

|V|

El vector V puede ser escrito en función de los vectores unitarios de la siguiente

manera:

V=V x i+V y j+V z k

La magnitud del vector viene dada por la expresión:

|V|=√ (V x)2+(V y )2+ (V z )

2

La magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los

cuadrados de sus componentes.

Operaciones con Vectores

Suma de Vectores. Método Analítico: la suma analítica de varios vectores es

igual a la suma de las componentes de los vectores en cada eje.

A+B=( Ax+Bx ) i+( Ay+By ) j

Suma de Vectores. Método Gráfico: para sumar dos vectores se pueden aplicar

la regla del triangulo y la regla del paralelogramo.

Regla del Triangulo Regla del Paralelogramo

Resta de Vectores. Método Analítico: la resta analítica de varios vectores es

igual a la resta de las componentes de los vectores en cada eje.

A−B=(Ax−Bx ) i+( Ay−By ) j

Resta de Vectores. Método Gráfico: para retar dos vectores se pueden aplicar la

regla del triangulo.

Producto de un Escalar por un Vector: sea A un vector y m un escalar. El

producto del escalar m por el vector A es otro vector expresado como m A que cumple

los siguientes requisitos: m A tiene la misma dirección y sentido que A si m es positivo,

m A tiene la misma dirección y sentido opuesto de A si m es negativo, y el módulo de

m A es m veces el modulo de A.

Producto Escalar o Producto Punto de Vectores: es la cantidad escalar

obtenida, hallando el producto de las magnitudes de dos vectores por el coseno del

ángulo que se forma entre ellos.

A .B=|A|.|B|.cosα

Si conocemos las expresiones analíticas de dos vectores, el producto punto

entre ellos se obtiene aplicando la propiedad distributiva entre sus componentes y

haciendo uso de la siguiente tabla:

. i j k

i 1 0 0

j 0 1 0

k 0 0 1

Producto Vectorial o Producto Cruz de Vectores: dados dos vectores V y B, se

define el producto vectorial de los dos vectores y se denota como V × B, como otro

vector P que tiene las siguientes características:

a. El modulo es igual al producto de los módulos de V y B, multiplicado por el seno

del ángulo que forman sus direcciones.

|V × B|=|V|.|B|.sin α

b. La dirección es un ventor P, perpendicular al plano determinado por los vectores

V y B.

c. El sentido es viene dado por la regla de la mano derecha. La cual consiste en

Cuando se realiza un producto vectorial (V × B ), el vector resultante F se obtiene en la

dirección del dedo pulgar al cerrar la mano derecha desde el vector V hacia el vector B.

El vector resultante es perpendicular al plano formado por los vectores multiplicados.

d. El vector P se obtiene conociendo las expresiones analíticas de dos vectores, el

producto cruz entre ellos se obtiene aplicando la propiedad distributiva entre sus

componentes y haciendo uso de la siguiente tabla:

. i j k

i 0 k − j

j −k 0 i

k j −i 0

Ejercicios:

1. Sean los siguientes vectores: A=2 i+4 j−6 k y B=5 i−2 j−3 k, hallar:

a. A+ B

A+ B= (2 i+4 j−6 k )+(5 i−2 j−3 k )= (2+5 ) i+( 4−2 ) j+ (−6−3 ) k

A+ B=7 i+2 j−9 k

b. A−B

A−B=(2 i+4 j−6 k )−(5 i−2 j−3 k )=(2−5 ) i+( 4+2 ) j+(−6+3 ) k

A−B=−3 i+6 j−3 k

c. 4. A

4. A=4. (2 i+4 j−6 k )=(4.2 ) i+(4.4 ) j+(4. (−6 ) ) k

4. A=8 i+16 j−24 k

d. A . B

A . B=(2 i+4 j−6 k ) . (5 i−2 j−3 k )

A . B=2.5 ( i . i )+2. (−2 ) ( i . j )+2. (−3 ) ( i . k )+4.5 ( j . i )+4. (−2 ) ( j . j )+4. (−3 ) ( j . k )+ (−6 ) .5 ( k . i )+ (−6 ) . (−2 ) ( k . j )+ (−6 ) . (−3 ) ( k . k )

A . B=10 (1 )−4 (0 )−6 (0 )+20 (0 )−8 (1 )−12 (0 )−30 (0 )+12 (0 )+18 (1 )

A . B=10−8+18=20

e. A× B

A× B= (2 i+4 j−6 k )× (5 i−2 j−3 k )

A× B=2.5 ( i×i )+2. (−2 ) ( i× j )+2. (−3 ) ( i× k )+4.5 ( j ×i )+4. (−2 ) ( j × j )+4. (−3 ) ( j ×k )+(−6 ) .5 (k ×i )+(−6 ) . (−2 ) (k × j )+(−6 ) . (−3 ) (k × k )

A× B=10 (0 )−4 (k )−6 (− j )+20 (−k )−8 (0 )−12 ( i )−30 ( j )+12 (−i )+18 (0 )

A× B= (−12−12 ) i+(6−30 ) j+(−4−20 ) k=−24 i−24 j−24 k

2. Un esquiador viaja 7,4Km 45 ° al este del sur. Luego 2,8Km 30 ° al norte del oeste y

por ultimo 5,2Km 22 ° al oeste del norte. Hallar a que distancia y sentido esta el

esquiador de su punto de partida. Muestre los desplazamientos en un diagrama.

Ax=7,4Km. sin 45 °

Ax=5,25Km

A y=7,4Km.cos 45°

A y=−5,25Km

A=5,25 i−5,25 j

Bx=2,8Km.cos30 °

Bx=2,42Km

B y=2,8Km. sin 30 °

B y=1,4Km

B=2,42 i+1,4 j

C x=5,2Km. sin 22°

C x=−1,95Km

C y=5,2Km.cos22°

C y=4,82Km

C=−1,95 i+4,82 j

D= A+B+ C=(5,25 i−5,25 j )+(2,42 i+1,4 j )+(−1,95 i+4,82 j )

D=5,70 i+0,99 j

|D|=√ (5,70 )2+(0,99 )2=5,79Km

θ=tan−1(0,995,70 )=9,85 °

GUÍA DE EJERCICIOS

VECTORES

1. Determine mediante el método del paralelogramo, la magnitud del vector suma

(S=A+B ) y su dirección, y la magnitud del vector diferencia (D=A−B ) y su dirección.

2. Dado los vectores A=2i+2 j−k , B=6 i−3 j+2k y C=5 i−4 l+8k , calcular:

a. El vector ( A+B ) y su magnitud.

b. El vector ( A−B ) y su mangnitud.

c. El vector ( A+B )−C y su mangnitud.

d. El vector ( A−C )+B y su mangnitud.

3. Dado los vectores A=2i+6 j y B=3 i−2 j:

a. Representar cada vector gráficamente.

b. Siendo C=A+B y D=A−B, calcular la magnitud y dirección de C y D.

4. El vector A tiene componente x, y, z de 8, 12, -4 unidades respectivamente.

a. Escriba una expresión vectorial para A en notación de vectores unitarios.

b. Obtenga una expresión de vectores unitarios para el vector B con una longitir

de un cuarto de A apuntando en la misma dirección.

c. Obtenga una expresión de vectores unitarios para el vector C con 3 veces la a

longitud de A apuntando en dirección opuesta.

5. Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 5 Km, después hacia el norte

30 Km y luego en dirección 30º al este del norte 25 Km.

a. Realizar el diagrama de vectores.

b. Determinar el desplazamiento total del automóvil medido desde el punto de

partida al punto de llegada.

c. Determinar la dirección del desplazamiento.

196 Nw

69 Nw 37º

6. Una partícula experimenta 3 desplazamientos consecutivos en un plano como

sigue: 4 m al suroeste, 5 m al este, 6 m en una dirección a 60º al norte del este.

Determinar:

a. Las componentes de cada desplazamiento.

b. Las componentes del vector desplazamiento resultante.

c. La magnitud, dirección y sentido del vector desplazamiento resultante.

7. Determinar los valores de a, b y c, de manera que los vectores A=2ai+3 j+5k,

B=3 i+4 bj y C=i−−5 j+ck, sean perpendiculares.

8. De la siguiente figura calcular la fuerza resultante (Fr), su magnitud y sentido.

Realizar la representación en el plano.

ESTÁTICA

Cuerpos Rígidos

35º

50º

50 Nw30 Nw

15 Nw

20 Nw

Definición

Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto

de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no

cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios

de Cinemática. Un cuerpo rígido se deforma solo bajo la acción de fuerzas muy

grandes.

Cuerpos en Equilibrio

Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, la suma vectorial de todas las

fuerzas que actúan sobre él debe ser igual a cero. Esto significa que las fuerzas

actuantes no deben tener una resultante. Para que esto se cumpla debe existir dos

condiciones: la primera es que esté en equilibrio traslacional (la sumatoria de fuerzas

concurrentes tanto en el eje vertical como en el horizontal debe ser igual a cero), y la

segunda que esté en equilibrio rotacional (la sumatoria de los momentos de torsión

causados por fuerzas paralelas debe ser igual a cero).

Un cuerpo puede estar en equilibrio traslacional sin tener un equilibrio rotacional

y viceversa. Para que un cuerpo esté en completo equilibrio, debe cumplir las dos

condiciones antes mencionadas. Con respecto a lo anterior un cuerpo esta en equilibrio

cuando se encuentra en reposo o realizando un movimiento rectilíneo uniforme.

Estática

La estática es la rama de la mecánica clásica que analiza las cargas (fuerza, par /

momento) y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio

estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no

varían con el tiempo.

Fuerza

Es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento lineal

entre dos partículas o sistemas de partículas (en lenguaje de la física de partículas se

habla de interacción). Según una definición clásica, fuerza es todo agente capaz de

modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos materiales. No debe

confundirse con los conceptos de esfuerzo o de energía.

Si se quiere representar la fuerza como vector de desplazamiento, se puede decir

que cuando se aplica una fuerza a un sólido rígido se puede trasladar en la misma

dirección sobre su misma line de acción sin que esto varíe el efecto que produce.

Fuerzas que Actúan sobre un Cuerpo Rígido

Internas: son las fuerzas que mantienen unidas las partículas que forman un

cuerpo. Si el cuerpo rígido esta conformado por varias partes las fuerzas que

mantienen unidas esas partes también las llamamos fuerzas internas.

Externas: son representadas por la acción de otros cuerpos sobre el cuerpo

rígido en estudio generando un movimiento.

Movimiento

En mecánica, el movimiento es un cambio físico que se define como todo el

cambio de posición en el espacio. La descripción y estudio del movimiento de un

cuerpo exige determinar su posición en el espacio en función del tiempo. Para ello es

necesario un sistema de referencia o referencial. Existen dos tipos de movimientos

generales, los cuales son:

 

Traslación: cuando todos y cada uno de los puntos del cuerpo rígido realizan el

movimiento.

Rotación: cuando sus puntos redescriben circunferencias que tienen su centro

sobre una misma recta llamada eje de rotación.

Centro de Masa

Se llama centro de masa de un cuerpo, al punto en el cual se debe aplicar una

fuerza exterior para que solo se le produzca un movimiento de traslación. También se

define como el punto en el cual se cortan todas las líneas de acción de las fuerzas que

sólo le producen movimiento de traslación. El centro de masa de un cuerpo viene

expresado en coordenadas, para determinar dichas coordenadas se emplea lo

siguiente: consideremos un sistema de coordenadas rectangulares, y dos masas M 1 y

M 2, dadas por sus coordenadas M 1 (x1 , y1) y M 2 (x2 , y2 ).

X c=

M 1 x1+M 2 x2

M 1+M 2

Y c=M 1 y1+M 2 y2

M 1+M 2

Centro de Masa: (X c , Y c )

Ejemplo: Tres masas, de 2Kg, 3Kg y 6Kg, están localizadas en posiciones (3 ,0 ), (6 ,0 )

y (4 ,0 )respectivamente, en metros a partir del origen ¿En dónde está el centro de masa

de este sistema?

X c=M 1 x1+M 2 x2+M 3 x3

M 1+M 2+M 3

X c=2Kg .3m+3Kg .6m+6Kg .4m

2Kg+3Kg+6Kg=4,36m

Y c=M 1 y1+M 2 y2+M 3 y3

M 1+M 2+M 3

Y c=2Kg .0m+3Kg .0m+6Kg .0m

2Kg+3Kg+6Kg=0m

Centro de Masa: (X c , Y c )=( 4,36 ,0 )

Equilibrio

Definición y Tipos

Se puede decir que un cuerpo esta en equilibrio cuando todas las fuerzas que

actúan sobre él se equilibran. También un cuerpo esta en equilibrio cuando permanece

en reposo, o bien cuando se mueve en línea recta a velocidad constante. El equilibrio

solo puede producirse en dos casos: cuando no actúan fuerzas sobre un cuerpo o

cuando actúan varias fuerzas que se contrarrestaran anulándose su efecto.

Movimiento de rotación y traslación

Equilibrio Movimiento de rotación y Equilibrio

de traslación

Todo cuerpo tiene la tendencia a caer. Para evitar esa caída se le puede

suspender o apoyar. Este criterio nos ayuda a dar una clasificación de los cuerpos en

equilibrio de la siguiente manera:

Cuerpos Suspendidos: son aquellos que pueden girar alrededor de su eje. Un

cuerpo suspendido puede tener tres tipos de equilibrio, los cuales son estable,

inestable e indiferente.

Equilibrio Estable: un cuerpo suspendido esta en equilibrio estable cuando al

separarlo de su posición de equilibrio regresa a ella por si misma y el centro de

suspensión esta por encima del centro de gravedad.

Equilibrio Inestable: un cuerpo suspendido esta en equilibrio inestable cuando

al separarlo de su posición de equilibrio la pierde definitivamente y el centro de

suspensión está por debajo del centro de gravedad.

Equilibrio Indiferente: un cuerpo suspendido está en equilibrio indiferente

cuando al separarlo de su posición de equilibrio continua en equilibrio en la nueva

posición y el centro de gravedad coincide con el centro de masa.

Cuerpos Apoyados: son aquellos que descansas sobre una base fija. Un cuerpo

apoyado esta en equilibrio estable cuando la vertical que pasa por su centro de

gravedad caen dentro de la base de sustentación del cuerpo, que es la superficie sobre

la cual descansa dicho cuerpo. La estabilidad de los cuerpos apoyados depende de los

siguientes factores:

Magnitud de la base de sustentación.

Ubicación del centro de gravedad.

Peso del cuerpo.

Centro de Gravedad

El centro de gravedad es el punto donde se encuentra aplicada la resultante de

todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas partes del cuerpo.

También se puede definir cono el punto de aplicación del peso de un cuerpo o fuerza

gravitatoria resultante equivalente.

Trabajando con Peso

x=∑ w i x i

∑ wi

=w1 x1+w2 x2+…w1+w2+…

y=∑ wi yi

∑ wi

=w1 y1+w2 y2+…w1+w2+…

Trabajando con Área

x=∑ Ai xi

∑ A i

=A1 x1+A2 x2+…A1+A2+…

y=∑ Ai y i

∑ A i

=A1 y1+A2 y2+…A1+A2+…

Centro de Gravedad: ( x , y )

Centro de Gravedad de Figuras planas Conocidas

Triangulo Rectángulox=1

3base , y=1

3altura

ó

x=23base , y=2

3altura

Rectángulo

x=12base , y=1

2altura

a

b c

2 cm

3 cm

3 cm 3 cm4 cm

6 cm

1

2

3

Círculo

x=12diametro , y=1

2diametro

Cuadrado

x=12base , y=1

2altura

Triangulo General

a (x1 , y1 ) , b (x2 , y2 ) , c (x3 , y3 )

x=x1+x2+x3

3, y=

y1+ y2+ y3

3

Para realizar el cálculo del centro de gravedad de una figura plana no conocida se

deben seguir los siguientes pasos:

1. Colocar la figura plana sobre un eje de referencia.

2. Dividir la figura plana en áreas de figuras planas conocidas.

3. Determinar el centro de gravedad y el área de cada figura plana conocida.

4. Aplicar la formula de centro de gravedad para áreas.

Ejemplo: determinar el centro de gravedad de la siguiente figura geométrica.

Área

x i y i Ai Ai x i Ai y i

113

.3=1 ( 13

.3)+2=33.32

=4,5 4,5 13,5

212

.7=3,512

.2=1 7.2=14 49 14

3 ( 12

.3)+7=8,512

.6=3 3.6=18 153 54

∑ 36,5 206,5 81,5

x=A1 x1+A2 x2+A3 x3

A1+A2+A3

=4,5+49+1534,5+14+18

=206,536,5

=5,66cm

y=A1 y1+A2 y2+A3 y3

A1+A2+A3

=13,5+14+544,5+14+18

=81,536,5

=2,23cm

Diagrama de Cuerpo Libre

Es un dibujo esquematizado donde se representa un cuerpo aislado de todo lo

que lo rodea, indicando las fuerzas que actúan sobre él, debido a la acción de otros

cuerpos. Algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre son los siguientes:

1. Un bloque alado hacia la derecha sobre una superficie horizontal rugosa.

N = Normal, fuerza que ejerce el piso sobre el

bloque.

T = Tensión que se produce al alar el cuerpo.

W = Peso del cuerpo.

fr= Fuerza de roce que se opone al almacenamiento

2. Un bloque alado hacia arriba por una pendiente rugosa.

1

2

1

2

N = Normal, fuerza que ejerce el piso sobre el

bloque.

T = Tensión que se produce al alar el cuerpo.

W = Peso del cuerpo. Hay que determinar sus

componentes.

fr= Fuerza de roce que se opone al almacenamiento

3. Dos bloques en contacto sobre una superficie sin fricción.

F = Fuerza aplicada.

Q = Fuerza de contacto.

Cuerpo 1 Cuerpo 2

4. Dos masas conectadas por una cuerda ligera, la superficie es rugosa y la polea

sin fricción.

Cuerpo 1 Cuerpo 2

1ra Ley de Newton – “Ley de Inercia”

A

B C

“Un cuerpo en reposo permanecerá en reposo, y un cuerpo en movimiento

rectilíneo uniforme (velocidad constante) continuará con dicho movimiento, mientras no

actúe sobre él una fuerza no equilibrada“.

1ra Condición de Equilibrio

Esta condición de equilibrio enuncia, que un cuerpo está en equilibrio de

traslación cuando la suma de las fuerzas aplicada sobre él es igual a cero.

R x=∑ Fx ,R y=∑ F y

Para que se cumpla la primera condición de equilibrio, se debe cumplir que:

∑ F x=0 ,∑ F y=0

3ra Ley de Newton - “Ley de Acción y Reacción”

“Siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, el segundo cuerpo

ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud pero en sentido contrario”. A cada

acción se opone siempre una reacción igual, o sea, las accione mutuas entre dos

cuerpos son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias.

Ejemplos:

1. La figura muestra una piñata de 25 lbf de peso, que se halla sostenida por dos

cables AB y AC. Se pide:

a) Diagrama de cuerpo libre.

b) Tensión de las cuerdas AB y AC.

Diagrama de Cuerpo Libre

Calculamos y :

tang∝=2 pies6 pies

=¿∝=tang−1( 13 )=18,43

tang=2 pies4 pies

=¿=tang−1( 12 )=26,57

Aplicando la 1ra Condición de equilibrio: (separando las fuerzas en sus componentes)

Para X: ∑ Fx=0

T ACX−T ABX=0 (1)

Para Y: ∑ Fy=0

T ABY+T ACY –W=0 (2)

Por trigonometría tenemos que:

sen=T ACY

T AC

⇒T ACY=T AC∗sen sen=T ABY

T AB

⇒T ABY=T AB∗sen

cos=T ACX

T AC

⇒T ACX=T AC∗cos cos=T ABX

T AB

⇒T ABX=T AB∗cos

Sustituyendo estas ecuaciones en (1) y (2)

Para 1:

T ACX−T ABX=0

T AC∗cos∝−T AB∗cos β=0 (3)

Para 2:

T ABY+T ACY−W=0

T AB∗sen+T AC∗sen α−W=0 (4)

Despejando T AC de 3 y sustituyendo en (4)

T AC=T AB∗cos β

cosα sustituyendo en (4)

T AB∗sen β+T AB∗cos β

cos αsen α−W=0 despejando T AB

T AB(sen β+cos βcos α

senα)=W

T AB=

W

(sen β+cos βcos α

sen α)= 23 lbf

sen26,57+cos26,57cos18,43

∗sen 18,43=33,54 lbf

sustituyendo en

(3)

T AC∗cos18,43−33,54 lbf∗cos 26,57=0

T AC=33,54 lbf∗cos26,57

cos18,43 ¿31,62 lbf

 

A

B

   

2. Dos esferas idénticas, uniformes y de igual peso, se encuentran en el fondo de

un recipiente rectangular como se muestra en la figura. Determine las fuerzas que

actúan sobre las esferas en términos de W , según el

a. Por efecto de las paredes del recipiente.

b. Por acción de una esfera sobre la otra si los centros forman un ángulo de 45 °

respecto a la horizontal.

Diagrama de Cuerpo Libre

Esfera A Esfera B

Aplicando la 1ra Condición de equilibrio: (separando las fuerzas en sus componentes)

Para la Esfera A

Para X: ∑ Fx=0

P1−RX=0 (1)

Para Y: ∑ Fy=0

N−RY –W=0 (2)

Para la Esfera B

Para X: ∑ Fx=0

RX−P2=0 (3)

Para Y: ∑ Fy=0

RY –W=0 (4)

Por trigonometría tenemos que:

sen45 °=RY

R⇒RY=R∗sen45 ° cos 45 °=

R X

R⇒R X=R∗cos45 °

Sustituyendo RY en la ecuación 4

R∗cos 45°−W=0⇒R= Wcos 45°

=1,41W

Sustituyendo RX en la ecuación 1

P1−R∗cos 45 °=0⇒P1=R∗cos 45 ° (5)

Sustituyendo el valor de R en la ecuación 5

P1=1,41W∗cos 45°=0,99W

Sustituyendo RY en la ecuación 2

N−R∗sen45 ° –W=0⇒N=R∗sen45 °+W (6)

Sustituyendo el valor de R en la ecuación 6

N=1,41W∗sen45 °+W=1,99W

Sustituyendo RX en la ecuación 3

R∗cos 45°−P2=0⇒P2=R∗cos 45 ° (7)

Sustituyendo el valor de R en la ecuación 6

P2=1,41W∗cos 45°=0,99W

Así;

R=1,41W , N=1,99W , P1=0,99W , P2=0,99W

Fuerza de Rozamiento

La fuerza de roce tiene como definición la de ser la fuerza que siempre se opone

al movimiento de los cuerpos. Esta fuerza se genera en la superficie de contacto entre

dos cuerpos, y sucede cuando las imperfecciones de ambas coincidas o encajan. En si,

la fuerza de roce es la resistencia que se opone al movimiento de un cuerpo sobre otro.

Existen dos tipos de fuerzas de roce, las cuales son:

Fuerza de roce estático: es la fuerza que no te deja mover un cuerpo, pues es la

fuerza de oposición al inicio de cualquier movimiento de un objeto sobre otro

(superficie). El cuerpo tiene que estar en reposo sobre una superficie horizontal para

que se cumpla este roce. Matemáticamente el roce estático es menor o igual al

coeficiente de roce entre los dos objetos multiplicado por la fuerza normal.

fs=μs N

Fuerza de roce dinámico o fricción cinética: esta fuera ocurre cuando el cuerpo ya

está en movimiento. Este roce es igual al coeficiente de roce por la normal en todo

instante.

fr=μN

Ejemplo: Se tiene un bloque cuyo peso es de 25Nw y se encuentra colocado en una

superficie plana cuyo coeficiente de rozamiento estático es de μs=0,25. A dicho bloque

se le esta aplicando una fuerza externa horizontal hacia la derecha. Calcular cuanto

debe ser la fuerza aplicada para que el bloque no se mueva.

Aplicando primera condición de equilibrio

∑ F x=F−fr=0 (1) ∑ F y=N−W=0 (2)

De la ecuación 2 obtenemos N

N=W=25Nw

Se conoce que la fuerza de roce es:

fr=μN=0,25∗25Nw=6,25Nw

De la ecuación 1 obtenemos F

F=Fr=5 ,25Nw

Momento

También llamado torque de una fuerza F con respecto a un eje de giro o, a la

magnitud medida por el producto de la fuerza aplicada F perpendicular a la línea que

une el eje de rotación con el punto de aplicación de la fuerza, por la distancia b que

existen entre el eje de rotación y el punto de aplicación de la fuerza.

Rotación en sentido anti horario

M=F1b

Rotación en sentido horario

M=−F2b

2da Condición de Equilibrio

“Un cuerpo está en equilibrio de rotación cuando la suma algebraica de los

momentos de todas las fuerzas que actúan sobre el son cero”.

∑M=0 (respecto acualquier eje )

Ejemplo: Una barra rígida cuyo peso propio es despreciable esta atado en el punto O

y soporta en el extremo A un cuerpo de peso W 1=4Kg. Hallar el peso W 2 de un

segundo cuerpo atado al extremo B si la barra esta en equilirio, y calcular la fuerza

ejercida por el pivote situado en O.

Aplicando primera condición de equilibrio (para el eje y)

∑ F y=P−W 1−W 2=0 (1)

Aplicando la segunda condición de equilibrio

∑M=W 1b1−W 2b2=0 (2)

De la ecuación 2 obtenemos W 2

W 2=W 1b1

b2

=4Kg .3m4m

=3Kg

De la ecuación 1 obtenemos P

P=W 1+W 2=4Kg+3Kg=7Kg

GUÍA DE EJERCICIOS

CENTRO DE GRAVEDAD. 1RA Y 3RA LEY DE NEWTON

1. Encontrar las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo homogéneo

representado en la siguiente figura.

2. Determine la posición del centro de gravedad de la lámina en forma de T que se

muestra en la figura.

3. La lámina que se muestra en la figura representa la sección transversal de una

pieza de maquina que se compone de dos cilindros macizos homogéneos y coaxiales.

¿Dónde se encuentra su centro de gravedad de la sección transversal (figura plana)?

10 cm

3 cm

5,5 cm

2 cm

2 cm

6 cm

20 cm

5 cm

15 cm

5 cm

7,5 cm7,5 cm

30 cm

50 cm

4. Calcule la ubicación del centro de gravedad de la siguiente figura geométrica.

5. Dada la siguiente figura determine la tensión de la cuerda AC y BC si el peso del

bloque es de 178 N.

6. Los dos cilindros de la figura reposan en un poso con paredes lisas. Se pide:

a) Realizar el diagrama de cuerpo libre de los cilindros A y B.

b) Hallar las reacciones de las superficies sobre los cilindros, si el cilindro A tiene

una masa de 30,6 Kg y el B tiene una masa de 15,3 Kg.

7. El bloque A de la figura pesa 100 Kg. El coeficiente estático de rozamiento entre el

bloque y la superficie sobre la cual reposa es de 0,30. El peso W es de 20 Kg y el

sistema esta en equilibrio. Calcular:

a) La fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A.

60 mm

80 mm

x

y

120 mm

60 mm

40 mm

60˚30˚

40˚

b) Para que peso máximo W permanecerá en equilibrio el sistema.

8. Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura, y unidos por una cuerda

al bloque C. tanto A como B pesan 20 Kg y el coeficiente cinético de rozamiento entre

cada bloque y la superficie es de 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante.

Calcular:

a) Dibujar los diagramas de cuerpo libre para cada bloque.

b) Calcular la tensión de la cuerda que une a los bloques A y B.

c) Calcular el peso del bloque C.

9. Una escalera de 6 m de longitud y peso 80 Kg tuene un centro de gravedad en el

punto medio, se encuentra en equilibrio apoyada en una pared vertical sin rozamiento y

formando un angula de 53˚ con el suelo. Calcúlese los valores y direcciones de las

fuerzas F1 y F2.

45˚ A

W

A

B C

37˚

10. Se tiene una barra de 14 m de longitud de la cual penden de sus extremos cuerpos

de 36 N y 20 N de peso. Si no se considera el peso de la barra. ¿Dónde debe estar

aplicado el punto de apoyo para que la barra este en equilibrio de rotación?

11. En la figura se tiene que las fuerzas F1=50N , F2=5N , F3=10N y F4=40N. Hallar

la resultante de las fuerzas y el punto de aplicación.

12. Tres masas iguales se encuentran ubicadas en un eje de coordenadas de la

siguiente manera: una en el origen otra sobre el eje x situada a L metros del origen en

x, y la tercera en el punto ( L2 , h). Hallar el centro de masa del sistema.

13. Un sistema de partículas consta de tres masa puntuales cuyos valores son:

m1=1Kg, m2=2Kg y m3=3Kg, ubicadas en los vértices de un triangulo equilátero de 1m

de lado. Determinar las coordenadas del centro de masa del sistema.

F1

F2

W

4,80 m

1,80 m 1,80 m

0,6 m 0,4 m

0,8 m

F1 F2 F3

F4

Cinemática

Definición

La cinemática es la rama de la física mecánica que se encarga del estudio de las

leyes del movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las causas que producen

dicho movimiento, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del

tiempo.

Movimiento de un Cuerpo

Se dice que un cuerpo se encuentra en movimiento con respecto a un p unto fijo

(sistema de referencia), cuando su posición varia con el tiempo, con respecto a dicho

punto. Para entender el movimiento, es necesario hacer una descripción de las

distintas magnitudes que intervienen en su desarrollo. Dichas magnitudes se conocen

como los elementos del movimiento, los cuales son:

El móvil o partícula material: un móvil es todo cuerpo capaz de moverse. Por

otra parte una partícula se puede definir como un elemento de tamaño diferencial (muy

pequeño) cuyas dimensiones pueden despreciarse.

La trayectoria: la trayectoria de un cuerpo en movimiento son los puntos del

espacio que ocupa el cuerpo o partícula en movimiento a través del tiempo. Este

conjunto de puntos originan una línea, por lo tanto la trayectoria se puede decir que es

la línea formada por todos y cada uno de los puntos ya ocupados por el móvil o

partícula a medida que transcurre el tiempo.

La posición: es el punto donde se localiza el móvil o partícula con respecto a un

sistema de referencia en un determinado instante de tiempo.

Sistema o punto de referencia: es el punto que toma el analista como referencia

(punto guía) para realizar el estudio del movimiento.

El tiempo: es el intervalo de duración de un fenómeno.

Reposo: es la posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia que

no presenta cambios con respecto al tiempo.

Desplazamiento: es la diferencia entre dos vectores posición, o también, es el

cambio del vector posición de la partícula con respecto a un sistema de referencia. El

desplazamiento es una magnitud vectorial, porque a demás de módulo esta dotada de

dirección y sentido.

Distancia recorrida: es el valor absoluto del desplazamiento.

Para realizar el estudio del movimiento (cinemática) se puede clasificar el

movimiento de dos maneras, según su trayectoria y desplazamiento, y según su

dimensión.

El Movimiento según su Trayectoria y Desplazamiento

Según su Trayectoria:

Rectilíneo (Traslación): un cuerpo se encuentra en movimiento rectilíneo o

de traslación en line recta, cuando un segmento de él se mantiene paralelo a si

mismo durante todo el movimiento.

Curvilíneo (Rotación): un cuerpo se encuentra en movimiento curvilíneo o de

rotación cuando sus puntos describen una trayectoria curva o circular, la cual

posee un centro sobre una recta llamada eje de rotación.

Los Movimientos

Según su Trayectoria

Rectilineo (Traslación)

Curvilineo (Rotación)

Según su Desplazamiento

Uniforme

Acelerado (Variado)

Según su Desplazamiento:

Uniforme: un cuerpo esta en movimiento uniforme cuando realiza

desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales.

Acelerado (Variado): un cuerpo esta en movimiento acelerado o variado

cuando realiza desplazamientos desiguales en intervalos de tiempo iguales.

El Movimiento según sus Dimensiones

Movimiento en una Dimensión: un movimiento en una dimensión es aquel que

ocurre a lo largo de un solo eje, es decir sobre el eje x o el eje y. Para estudiar los

movimientos en una dimensión hay que conocer las siguientes definiciones:

Velocidad Media ( vm ): es la rapidez de cambio del desplazamiento en un

instante de tiempo.

vm=∆ x∆ t

=x f− xot f−t o (ms )

Los Movimientos

Una Dimención

Sobre el eje X

Movimiento Rectilineo

Uniforme (MRU)

Movimiento con aceleración constante

Movimiento con aceleración

variable

Sobre el eje Y

Caida libre

Lanzamiento vertical

Dos Dimenciones

Lanzamiento de Proyectil

Movimiento Circular

Rapidez Media (V m ): se define como la distancia total recorrida entre el

intervalo de tiempo requerido para recorrer dicha distancia.

V m=∑|∆ x|

t (ms ) Velocidad Instantánea ( v ): velocidad de la partícula en cualquier instante o

punto específico de su trayectoria.

v= lim∆t→0

vm= lim∆t →0

∆ x∆ t

= lim∆t →0

x f− xot f−t o

=d xdt (ms )

Rapidez Instantánea (V ): es la magnitud de la velocidad instantánea.

V=|v|=|d xdt |(ms ) Aceleración Media (am ): es la rapidez de cambio de la velocidad en un

intervalo de tiempo determinado.

am=∆ v∆t

=v f− vot f−t o (ms2 )

Aceleración Instantánea ( a ): es la variación de la velocidad en un instante de

tiempo determinado o en un punto específico de la trayectoria.

a= lim∆t →0

∆ v∆ t

=d vdt (ms2 )

Los movimientos en una dimensión se dividen según el eje en donde se

desarrolla el movimiento, esta clasificación es la siguiente:

Sobre el eje x: tenemos los siguientes movimientos:

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU): un cuerpo se mueve con un

movimiento rectilíneo uniforme cuando la trayectoria que describe es un a línea

recta (sobre el eje x) y la partícula realiza desplazamientos iguales en intervalos

de tiempo iguales. Este movimiento se caracteriza por poseer velocidad constante

y aceleración cero.

v=d xdt⇒ v . dt=d x ; integ rando

v∫0

t

dt=∫xo

x f

d x⇒ v . t=x f−xo

x f= xo+v . t∎

Movimiento con Aceleración Constante: un cuerpo se dice que se

encuentra desarrollando un movimiento con aceleración constante cuando las

variaciones de la velocidad son iguales en intervalos de tiempo iguales. Este

movimiento se caracteriza por poseer velocidad variable y aceleración constante.

a=d vdt

⇒ a .dt=d v ; integrando

a∫0

t

dt=∫vo

v f

d v⇒ a .t=v f−vo

v f= vo+a . t∎

v=d xdt⇒ v . dt=d x ;si v=vo+ a .t

(vo+a . t )dt=d x ,integrando

∫0

t

(vo+a . t )dt=∫xo

x f

d x⇒ vo . t+a .t 2

2=x f−xo

x f= xo+vo . t+ a .t 2

2∎

a=d vdt

.d xd x

⇒ v .d vd x

⇒ a . d x= v . d v , integrando

a∫xo

x f

d x=∫vo

v f

v . d v⇒ a ( x f− xo )=v f

2− vo2

2

v f2= vo

2+2 a ( x f− xo )∎

V m=∆ x∆ t

=x f− xot f−to

;si t f=t y to=0

V m=x f− xot

; (Ec .1)

V m=v f+ vo

2; (Ec .2)

Igualando Ec .1 y Ec .2

x f− xot

=v f+v o

2⇒ x f= xo+

t (v f+vo )2

∎

Movimiento con Aceleración Variable: se dice que un cuerpo se

encuentra en un movimiento con aceleración variable cuando las variaciones de

velocidad son diferentes en intervalos de tiempo iguales. Este movimiento se

caracteriza por poseer tanto velocidad como aceleración variable.

a=d vdt

⇒ a .dt=d v⇒∫0

t

a . dt=∫vo

v f

d v∎

v=d xd t

⇒ v . dt=d x⇒∫0

t

v . dt=∫xo

x f

d x∎

Sobre el eje y: tenemos los siguientes movimientos:

Caída Libre: se dice que un cuerpo se encuentra realizando un movimiento

en caída libre cuando este se deja caer libremente desde el reposo por acción de

la gravedad. Este movimiento se caracteriza por poseer una velocidad inicial igual

a cero y la aceleración de la gravedad es igual a g=9,8m /s2.

v f=−g . t∎

y f= yo−g .t2

2∎

v f2=−2 g ( y f− yo )∎

y f= yo+t ( v f )

2∎

Lanzamiento Vertical: se dice que un cuerpo se encuentra realizando un

movimiento de lanzamiento vertical cuando este se mueve verticalmente hacia

arriba impulsado por una velocidad inicial para luego caer libremente desde el

reposo por acción de la gravedad. Este movimiento se caracteriza por poseer una

velocidad inicial diferente a cero, pero al alcanzar su altura máxima su velocidad

en ese punto se igual a cero y la aceleración de la gravedad es igual a g=9,8m /s2.

v f= vo−g . t∎

y f= yo+ vo .t−g .t 2

2∎

v f2= vo

2−2 g ( y f− yo )∎

y f= yo+t ( v f+ vo )

2∎

Ejercicios. Movimientos en una Dimensión:

1. Un cuerpo se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la siguiente ecuación

x=2 t3+5 t 2+5, donde x se expresa en pies y t en segundos. Encontrar:

a. La expresión para la velocidad y la aceleración en cualquier instante.

b. La posición, la velocidad y aceleración cuando t=2 s y t=3 s.

c. La velocidad y aceleración promedio a los t=2 s y t=3 s.

Parte a.

v=d xdt

= ddt

(2 t3+5 t2+5 )=2.3 t 2+5.2 t=6 t 2+10 t pie / s

a=d vdt

= ddt

( 6 t2+10 t )=6.2 t+10¿12 t+10 pie /s2

Parte b.

x (2 )=2 (2 )3+5 (2 )2+5=41 pie

x (3 )=2 (3 )3+5 (3 )2+5=104 pie

v (2 )=6 (2 )2+10 (2 )=44 pie / s

v (3 )=6 (3 )2+10 (3 )=84 pie /s

a (2 )=12 (2 )+10=34 pie /s2

a (3 )=12 (3 )+10=46 pie /s2

Parte c.

V m=x f− xot f−t o

=x (3 )− x (2 )t3−t 2

=104 pie−41 pie3 s−2 s

=63 pie / s

am=v f− votf−t o

=v (3 )− v (2 )

3 s−2 s=40 pie / s2

2. Un automóvil viaja con una rapidez de 8m /s durante 60 s, luego entra en calor

corriendo otros 60 s con una rapidez de24m / s. Calcular:

a. La rapidez media a los 120 s.

b. Suponga que la rapidez de 8m /s se mantiene durante 480m seguida de la

rapidez de 24m / s durante otros 480m, cual es la velocidad media en toda la

distancia.

Parte a.

Datos:

v1=8m /s v2=24m / s

x1= x2=480m

V m=∑|∆ x|

t;∆ x i= v i . t i

V m=∆ x1+∆ x2

t1+t 2

=v1 .t 1+ v2 .t 2

t 1+ t2=8m/ s .60 s+24m / s .60 s

60 s+60 s=16m /s

Parte b.

Datos:

v1=8m /s v2=24m / s

x1= x2=480m

vm=x f− xot f−t o

; xo=0 , to=0⇒ vm=x ft f; (Ec .1 )

x f=∆ x1+∆ x2=2∆ x , (Ec .2 )

t f=t1+t 2; ∆ x i= v i .t i⇒ ti=∆ x iv i

t f=∆ x1

v1

+∆ x2

v2

=∆ x (v1+v2 )

v1 v2

, (Ec .3 )

Sustituyendo Ec .2 y Ec .3 en Ec .1

vm=2∆ x

(∆ x (v1+v2 )v1 v2

)=

2 v1 v2

v1+ v2

=2.8m /s .24m/ s8m /s+24m / s

=12m /s

3. Un automóvil que parte del reposo, posee una aceleración constante y tarda 2 s

en pasar por 2 puntos distantes 24m. Su velocidad cuando pasa por el segundo es de

14,4m / s. Calcular:

a. Su aceleración.

b. Su velocidad cuando pasa por el primer punto.

c. Distancia desde el punto de partida hasta el primer punto.

Datos:

v0=0m /s

v i=24m /s

v f=14,4m /s

x i=d

x if=24m

x f=d+24m

t if=2 s

Trabajando en el tramo if

v f= v i+a . tif⇒ v i=v f− a .t if (Ec .1 )

x f= x i+ v i .t if+ a .t if

2

2⇒d+24m=d+v i . tif+a .

tif2

2⇒ v i .t if+ a .

t if2

2=24m (Ec .2 )

Sustituyendo (Ec .1 ) en (Ec .2 )

( v f−a . tif ) . tif+ a .tif

2

2=24m⇒ v f . tif− a .t if

2+a .t if

2

2

⇒24m−v f .t if=a ( tif 2

2−t if

2)⇒24m− v f . tif=−t if

2

2a

⇒ a=2 ( v f . t if−24m )

t if2 =

2 (14,4m /s .2 s−24m )(2 s )2

=2,4m /s2

De la (Ec .1 )

v i=v f− a. t if=14,4m / s−2,4m /s2.2 s=9,6m /s

Trabajando en el tramo oi

v i=vo+ a .t oi=a . t oi⇒ t oi=v ia= 9,6m /s

2,4m /s2 =4 s

x i= xo+ vo . t oi+ a .t oi

2

2⇒ x i=a .

t oi2

2=2,4m /s2.

(4 s )2

2=19 ,2m

4. En una carrera de 100m Ana y Julia en un empate muy apretado, ambas en un

tiempo de 10,2 s aceleraron uniformemente. Ana tarda 2 s en alcanzar su velocidad

máxima la cual mantiene durante el resto de la competencia, en cambio Julia tarda 3 s

en alcanzar esa velocidad máxima. Calcular:

a. Cual fue la aceleración de cada velocista.

b. Cual fue la rapidez máxima de cada velocista.

c. Cual de las velocistas va adelante en la marca de 6 s y por cuanta distancia.

Datos:

t 1A=2 s

t 1J=3 s

x f=100m

t f=10,2 s

De manera general:

Trabajando de OA (mov. con aceleración constante)

vmax= vo+a . t 1=a . t1 (Ec .1 )

x A= xO+ vo . t1+a .t 1

2

2=a .

t 12

2(Ec .2 )

Trabajando de AB (mov. con velocidad constante)

xB= xA+vmax .t 2 (Ec .3 )

Con respecto al tiempo:

t f=t1+t 2⇒ t 2=t f−t 1 (Ec .4 )

Sustituyendo (Ec .4 ) en (Ec .3 )

xB= xA+vmax . (t f−t 1) (Ec .5 )

Sustituyendo (Ec .1 ) y (Ec .2 ) en (Ec .5 )

xB=a .t 1

2

2+a . t 1 . (t f−t1 )= a( t 1

2

2+t1 t f−t 1

2)=a( t1 t f− t12

2 )⇒ a=

xB

t1 t f−t 1

2

2

(Ec .6 )

Parte a.

a A=xB

t 1A t f−t1 A

2

2

= 100m

2 s .10,2 s−(2 s)2

2

=5,43m/ s2

aJ=xB

t 1J t f−t1J

2

2

= 100m

3 s .10,2 s−(3 s )2

2

=3,83m /s2

Parte b.

vmaxA= aA . t1 A=5,43m /s2.2 s=10,86m /s

vmaxB=aJ .t 1J=3,83m/ s2 .3 s=11,49m / s

Parte c. (t=6 s)

x A (6 s)= aA .t 2

2+ aA . t=5,43m/ s2 .

(6 s)2

2+5,43m /s2 .6 s=54,3m

xJ (6 s)= aJ .t 2

2+ aJ . t=3,83m /s2 .

(6 s )2

2+3,83m /s2.6 s=51,705m

xd= xA (6 s )− xJ (6 s)=54,3m−51,705m=2,595m

5. Un porrón de flores cae del borde de una azotea y pasa frente a una ventana

que esta por debajo (ignore la resistencia del aire). El porrón tarda 0,48 s en pasar

desde el borde superior hasta el inferior de la ventana, cuya altura es de 1,9m. ¿A que

distancia por debajo de la azotea se encuentra la ventana?

Datos:

vc=0

t AB=0,48 s

yB=1,9m

yBC=?

Trabajando entre A y B

y A= yB+ vB . tAB−g .tAB

2

2⇒ yB+ vB . tAB−g .

tAB2

2=0⇒ vB=

g .t AB

2

2− yB

t AB

⇒ vB=9,8m / s2 .

(0,48 s)2

2−1,9m

0,48 s=−1 ,61m /s

NOTA: la velocidad da negativa porque el cuerpo va bajando.

Trabajando entre B y C

vB2=−2 g ( yB− yC )⇒ yC= y B+

vB2

2g⇒ yC=1,9m+

(−1,61 )2

2.9,8m / s2 =2,03m

yBC= yC− yB=2,03m−1,9m=0,132m

6. Se lanza un cuerpo hacia arriba en dirección vertical con una velocidad de 98m / s

desde el techo de un edificio de 100mde altura. Calcular:

a. La altura máxima alcanzada.

b. La velocidad al llegar al suelo.

c. El tiempo total del movimiento.

Datos:

vo= vB=98m /s

vC=0

vA=?

yB=100m

yC=?

t A=?

vC2=v B

2−2g ( yC− yB )⇒ vB2−2g ( yC− yB )=0⇒ yC= y B+

vB2

2g

⇒ yC=100m+(98m /s )2

2.9,8m /s2=590m

Trabajando entre C y A

vA2=−2 g ( y A− yC )⇒ v A

2=2g yC⇒ v A=±√2g yC

⇒ v A=±√2g yC=−√2.9,8m /s2 .590m=−107,54m / s

Para calcular el tiempo total del movimiento tenemos que calcular el tiempo de

subida y el tiempo de bajada.

t=tBC+tAC

Trabajando entre B y C

vC=v B−g . tBC⇒ vB−g .tBC=0⇒ tBC=vBg

= 98m/ s9,8m /s2 =10 s

Trabajando entre C y A

vA=−g . tAC⇒ t AC=−v A

g=−−107,54m/ s

9,8m /s2 =10 ,97 s

t=tBC+tAC=10 s+10,97 s=20,97 s

Movimiento en Dos Dimensiones: un movimiento en dos dimensiones es aquel

que ocurre a lo largo de los ejes x y y simultáneamente.

Lanzamiento de Proyectil: también conocido como movimiento parabólico.

Una partícula (proyectil) realiza un movimiento parabólico denominado así ya que

su trayectoria es una parábola, cuando es proyectado con una velocidad inicial

que forma un ángulo con la horizontal. Este movimiento se caracteriza por ser

uniforme sobre el eje x y con aceleración constante sobre el eje y.

Velocidad Inicial:

vo=vox i+voy j⇒ {vox=vo cosθvoy=v osin θ }⇒ vo=vo cosθ i+vo sinθ j∎

Velocidad Instantánea:

v=v x i+v y j⇒{vx=vox=vo cosθv y=vosinθ−¿ }⇒ v=vo cosθ i+(vo s∈θ−¿ ) j∎

Posición:

r=rx i+r y j⇒ { r x=vo cosθ t

r y=v osinθ t−gt 2

2 }⇒r=vo cosθ ti+(v osinθ t−gt 2

2 ) j∎

Altura Máxima: máxima altura alcanzada por el proyectil durante el

movimiento.

ymax=V o

2sin2θ2 g

∎

Tiempo máximo: tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la altura

máxima.

tmax=V o sinθ

g∎

Tiempo de vuelo: es el tiempo que tarda el proyectil en pasar por el nivel

por el nivel desde donde salió.

t v=2V osinθ

g=2tmax∎

Alcance horizontal: es la máxima distancia que recorre el proyectil a lo

largo del eje x, hasta que vuelve a pasar por el nivel de donde salió.

R=V o

2sin 2θg

∎

Ecuación de la Trayectoria:

y=tan θ x− g

2V o2 sin2θ

x2∎

Movimiento Circular Uniforme (MCU): un cuerpo se encuentra en

movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia, este movimiento

posee un eje de giro y radio constantes. Para ser uniforme la velocidad de giro es

constante (módulo de ésta), con radio y centro fijos y velocidad angular constante.

En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos que serían

básicos para la descripción cinemática y dinámica del mismo:

Eje de Giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación,

este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante

concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación

infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro

de giro de la trayectoria descrita.

Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido

en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el

desplazamiento angular. Su unidad es el radián (espacio recorrido dividido entre

el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional

por tanto).

s=R ∆θ=R (θ f−θo )∎

Período: es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa.

T= tn

( s)∎

Frecuencia: es el número de vueltas que da una partícula en una unidad

de tiempo.

f= 1T

(s−1 )∎

Velocidad Angular: es la variación del desplazamiento angular por unidad

de tiempo. También definida como la magnitud medida por el cociente entre el

ángulo descrito por el radio vector y el tiemplo empleado en describirlo.

ω=θt⇒ω=2π

t(rad /s )∎

ω=2πT⇒ω=2π f (rad /s )∎

Velocidad Lineal: es el vector velocidad, tangente en un punto especifico

de la trayectoria que describe la partícula (circunferencia).

v=Rω⇒ v=2π RT

⇒ v=2 π Rf ∎

Aceleración Centrípeta: es la variación de la dirección del vector

velocidad lineal. Su dirección es el radio apuntando siempre al centro de la

circunferencia.

ac=v2

R⇒ ac=ω2 R∎

Ejercicios. Movimientos en dos Dimensiones:

1. Un proyectil tiene una velocidad inicial de 24m / s que forma un ángulo de 53 ° por

encima de la horizontal. Calcular:

a. La altura máxima.

b. La distancia horizontal a la que se encuentra del punto de partida a los 3 s

después de ser disparado.

c. La distancia vertical por encima del punto de partida a los 3 s.

d. Las componentes horizontales y verticales de su velocidad a las 3 s.

Datos:

vo=24m/ s

θ=53°

x (3 s )=?

y (3 s)=?

vx (3 s )=?

v y (3 s )=?

ymax=V o

2sin2θ2 g

=(24m / s )2 sin253 °

2.9,8m /s2 =18,74m

x (3 s )=vocos θ t=24m /s .cos53 ° .3 s=43,33m

y (3 s)=vo sinθ t−gt2

2=24m /s . sin 53 ° .3 s−9,8m /s2 .

(3 s)2

2=13,40m

v=v ocosθ i+(vo sinθ−¿ ) j=(24m/ s .cos53 ° )i+(24m /s . sin 53 °−9,8m / s2 .3 s ) j

⇒ v=(14,44 i−10,23 j )m / s

La componente en y de la velocidad da negativa porque el proyectil ya viene en

descenso.

2. Una rueda de 9m de diámetro esta girando de manera que da 15 vueltas en

0,5min. Calcular:

a. Velocidad lineal.

b. Velocidad angular.

c. Frecuencia.

d. Aceleración centrípeta.

e. Cuantas vueltas da 1,5min.

f. Cuanto tarda en dar 80 vueltas.

T= tn=0,5min

15.

60 s1min

=2 s

R=D2

=9m2

=4,5m

v=2πRT

=2.π .4,5m2 s

=14,14m /s

ω=2πT

=2.π2 s

=3,14 rad /s

f= 1T

= 12 s

=0,5 s−1

ac=v2

R=

(14,14m/ s )2

4,5m=44,43m /s2

T= tn⇒ n= t

T=1,5min

2 s.

60 s1min

=45vueltas

T= tn⇒ t=nT=80.2 s=160 s

GUÍA DE EJERCICIOS

1. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1200cm /s durante 9 s, y

luego con velocidad media de 480 cm /s durante 7 s, siendo ambas velocidades del

mismo sentido. Calcular:

a. ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?

b. ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?

2. Una persona camina del punto A al punto B a una velocidad de5m /s a lo largo de

una línea recta y después regresa a lo largo de la línea B a A con una velocidad de

promedio de 3m /s.

a. ¿Cuál es su rapidez promedio en el recorrido completo?

b. ¿Cuál es su velocidad promedio en el recorrido completo?

3. Dos móviles A y B parten de un mismo punto para moverse en la misma dirección

y sentido. En el móvil A con una rapidez de 80Km /h y el B con 60Km/h. Calcular la

distancia que los separa cuando hayan transcurridos 180min.

4. Un auto parte del reposo y se desplaza con una aceleración de 1m /s2 durante 1 s.

Luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la fricción, durante 10 s a un

promedio de 5cm /s. Entonces se aplican los frenos y en el auto se detiene en 5 s más.

Calcular la distancia total recorrida por el auto.

5. Una mujer camina 4min en dirección norte a una velocidad media de 6Km /h

después camina 10min hacia el este a 4 Km/hdurante 10min. ¿Cuál es su rapidez

media durante el recorrido?

6. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación

s=2t 4+3 t 3+ t−4donde x esta en metros y t en segundos. Calcule la velocidad

instantánea y la aceleración instantánea en a los tres segundos.

7. Un disco de hockey que se desliza sobre un lago congelado se detiene después de

recorrer 200m si su velocidad inicial es 3m /s.

a. ¿Cuál es su aceleración si se supone constante?

b. ¿Cuánto dura su movimiento?

c. ¿Cuál es su velocidad después de recorrer 150m?

8. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde la parte alta de un precipicio

de 152m de altura, con una velocidad inicial de 30,5m /s. Determine:

a. ¿Cuál será su velocidad después de 3 sde lanzada?

b. ¿Cuánto tiempo tardara en llegar a su máxima altura.

c. ¿Cuánto tardara la pelota en llegar al fondo del precipicio

9. Una paracaidista, después de saltar del avión, desciende 50m sin fricción del aire.

Cuando se abre el paracaídas se retarda su caída a razón de 2m /s, alcanzando el

suelo con rapidez de 3m /s.

a. ¿Cuánto tiempo está el paracaidista en el aire?

b. ¿Desde qué altura salió del avión?

10. En un bar local un cliente hace deslizar un tarro de cerveza vacío sobre la barra

para que lo vuelvan a llenarlo, el cantinero esta distraído y no ve el tarro, el cual cae de

la barra y golpea el piso a 1,40m de la base de la misma. Si la altura de la barra es

0,860m. Calcular:

a. La velocidad de tarro al abandonar la barra.

b. ¿Cuál fue la dirección de la velocidad del tarro justo antes de chocar con el piso?

11. Un pateador de lugar debe patear un balón de futbol americano desde un punto a

36m de la zona de gol y la bola deber librar los postes que están a 3,05m de alto.

Cuando patea el balón abandona el suelo con una velocidad de 20m /s y un ángulo de

53 ° respecto a la horizontal. Calcular:

a. ¿Por cuanta distancia el balón libra o no los postes?

b. ¿El balón se aproxima a los postes mientras continúa ascendiendo o cuando

está descendiendo?

12. Un proyectil se dispara de tal manera que su alcance máximo horizontal es tres

veces su altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de disparo?

13. Un proyectil es disparado haciendo un ángulo de 35 °, llega al suelo a una distancia

de 4 Km del cañón. Calcular:

a. La velocidad inicial.

b. El tiempo de vuelo.

c. La máxima altura.

d. Modulo de la velocidad a los 15 s del lanzamiento.

14. Si la tierra da un a vuelta completa alrededor del sol en 365 días (movimiento de

traslación). Si su distancia media al sol es 1,49 x108 Km. Calcular:

a. Velocidad angular.

b. Velocidad lineal.

c. Aceleración centrípeta

15. Se tienen dos ruedas cuyas frecuencias son f 1=20min−1 y f 2=10min−1. Si el radio

de la primera es R1=2m, ¿Cuál debe ser el radio de la segunda rueda para para que el

borde de la rueda gire con la misma velocidad lineal?

16. ¿Cuál es el periodo de revolución de un satélite artificial de la tierra, que se mueve

a una altura de 800Km sobre ella, sabiendo que el radio medio de la tierra es de

6370Km y la acelaración centrípeta del satélite a esa altura es de 3,2 x10−4m /s2?