Unidad III. Movimiento en dos o tres dimensiones
Cinemática del movimiento en dos
dimensiones
Cinemática del movimientobidimensional o en el plano
El movimiento en la direcciòn x es independiente del
movimiento en la dirección y. Utilizaremos las
mismas ecuaciones definidas para el movimiento en
una dimensiòn, pero de manera separada para cada
dimensiòn.
Vector posición rEn dos dimensiones:
En tres dimensiones:
r xi y j
r xi y j zk
• Desplazamiento
2 1r r r
2 2 2 1 1 1
2 1 2 1 2 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
r x i y j z k x i y j z k
r x x i y y j z z k
r xi y j zk
Donde: (x1,y1,z1) corresponden a las coordenadas del vector posición r1 y (x2, y2, z2) corresponden a las coordenadas del vector posición r2
• Velocidad mediadesplazamiento
velocidad mediaintervalo de tiempo
med
med
rv
t
xi y j zk x y zv i j k
t t t t
La dirección de la velocidad media es la misma que la del desplazamiento.
Velocidad instantánea
• Donde las componentes escalares del vector v son
( )
x y z
d rv
dt
d dx dy dzv xi y j zk i j k
dt dt dt dt
v v i v j v k
, ,x y z
dx dy dzv v v
dt dt dt
La velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula
Aceleración
• Aceleración media
• Aceleración instantánea
med
va
t
yx z
x y z
dvdv dv dva i j k
dt dt dt dt
a a i a j a k
El vector posición para una partícula que se mueve en el plano
xy se puede escribir como:
r xi y j
La velocidad de una partícula está dada por:
Movimiento en dos dimensiones con aceleración
consante
(1)
(2)
x y
d r dx dyv i j
dt dt dt
v v i v j
Como la aceleración es constante sus componentes también son
constantes, asíq eu podemos aplicar las mismas ecuaciones que
el movimiento en una dimensión tanto para las componentes de
la velocidad en x como para y.
ta x0xx
ta y0yy
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
x x y y
x y x y
a t i a t j
i j a i a j t
0 a t
x yi j
Componente x de la velocidad
Componente y de la velocidad
(3)
De la Ec. (2)
(5)
(4)
Este resultado establece que la velocidad de una partícula en
cierto intervalo t es igual a la suma de su velocidad inicial v0 y y
una velocidad adicional at ,
De manera similar,
2
x21
0x0 tatvxx
2
y21
0y0 tatvyy
Sustituyendo en Ec. (1)
2
0 0 0 0
210 0 2
1( ) ( ) ( )
2x y x y
r
r x i y j v i v j t a i a j t
r r v t a t
(8)
(7)
(6)
Movimiento en 2 dimensiones con aceleraciónconstante
0x
2
0
2
x
2
x21
0x0
x0x21
0
x0xx
xxa2vv
tatvxx
tvvxx
tavv
“Horizontal” (x) “Vertical” (y)
0y
2
0
2
y
2
y21
0y0
y0y21
0
y0yy
yya2vv
tatvyy
tvvyy
tavv
x = coordenada x en el tiempo t
x0 = [coordenada x en el tiempo t=t0]
vx = Componente de la velocidad en la
dirección x en el tiempo t .
vx0 = Componente de la velocidad en
dirección x en el tiempo t=t0
y = coordenada y en el tiempo t
y0 = [coordenada x en el tiempo t=t0]
vy = componente de la velocidad en la
dirección y en el tiempo t .
vy0 = componente de la velocidad en la
dirección y en el tiempo t=t0
Ejemplo: Una partícula inicia en el origen en t = 0 con una
velocidad inicial con componentes x de 20 m/s y componente
en y de -15 m/s. La partícula se mueve en el plano xy sólo con
una componente de aceleración en x de ax = 4.0 m/s2.
s/m)t420(ta x0xx
s/m15ta y0yy
[(20 4 ) 15 ] /x yi j t i j m s
(A) Determine las componentes del vector veolcidad en cualquier
tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo.
Solución:
21v
vtan
x
y1
s/m43vvv 2
y
2
x
B) Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en t = 5.0 s.
(20 4 5) 15 (40 15 ) /v i j i j m s
El ángulo de v es, respecto al eje +vx
Y la rapidez es la magnitud de la
velocidad v
(C) Determine las coordenadas x e y de la partícula para
cualquier tiempo t y el vector posición en ese instante.
m)t2t20(x
t42
1t200x
tatvxx
2
2
2
x21
0x0
m)t15(y
0t150y
tatvyy 2
y21
0y0
2[(20 2 ) 15 ]r xi y j t t i j m
Entonces, el vector posición en cualquier tiempo es
Movimiento de un proyectil
• Suponga que la aceleración de la gravedad es constante, tiene dirección hacia abajo y magnitud de 9.8 m/s2
Ignore la resistencia del aire
Ignoere la rotación de la Tierra
Ignore la variacion de la gravedad en función de la distancia al centro de la Tierra.
La “aceleración de la gravedad” significa la aceleración d un objeto en caída libre, sólo debido a la aceleración de la gravedad.
La velocidad horizontal es constante, por tanto: ax = 0
El movimiento vertical está gobernado por la aceleraciónconstante debida a la gravedad.
Demostraremos que la trayectoria de un proyectil es
parabólica. Elijamos nuestro marco de referencia tal que la dirección y es
vertical y positiva hacia arriba. Además, tomemos en t = 0, que el proyectil
inicia con una velocidad en el origen de v0, tal como se muestra en la Figura.
El vector forma un ángulo con la horizontal..
cosvvv
vcos 00x
0
0x
0
0 0
0
sen seny
y
vv v
v
Ahora, el movimiento del proyectil puede analizarse como compuesto de dos
componentes independientes : Componente horizontal con velocidad uniforme
y componente vertical con movimiento uniformemente variado (aceleración
constante) debido a la gravedad de la Tierra.
La componente horizontal de la velocidad (permanece
constante en el tiempo y es igual a la componente x de la
velocidad inicial,ya que no hay aceleración horizonal)
0 0 cos constantex xv v v
La componente vertical de la velocidad es
0 0( sen )y yv v gt v gt
Usando (3)
Usando (4)
(9)
(10)
La componente horizontal de la posición
0 0( cos )xx v t v t
La componente vertical de la posición
2 2
0 0
1 1( sen )
2 2yy v t gt v t gt
de (11)
cosv
xt
0
Sustituyendo en (12)2
22
0
x)cosv2
g(tanxy
Que tiene la forma de2bxaxy Que es la ecuación de una parábola
Usando (6)
Usando (7)
(11)
(12)
Alcance horizontal y altura máxima del proyectil
La distancia R se denomina
alcance horizontal del proyectil,
y la distancia h es su máxima
altura.
De ec. (10) vy=0 en el pico0 senv
tg
El tiempo t para el cual el proyectil alcanza al pico:
Nota: el tiempo de vuelo es 02 sen2
vt
g
Sutituyendo en (12)
20 0max 0
2 2
0
s n 1 s n( s n ) ( )
2
sen
2
v e v eh y v e g
g g
vh
gLa máxima altura
El alcance R es la poición horizonal del proyectil en un tiemp
que es dos veces el tiempo que alcanza su pico. 2t.
Usando ec. (11)
entonces
)t2)(cosv(xR 0
00
2 2
0 0
2 sen( cos )( )
2 sen cos sen 2
vR v
g
v vR
g gSubstituya con el valor de t
Aplicando la identidad trigonométrica: sen 2 2sen cosa a a
Alcance
El alcance R de un proyectil es la distancia horizontal
de un proyecil a la que viaja antes de aterrizar.
2
0 sen 2v
Rg
El máximo valor R es
g
vR
2
0
max
Este resultado implica que el máximo valor del ángulo 2sin
Ocurre cuando 902 Por tanto, R es màximo para 45
PreguntaTres proyectiles (a, b y c) se lanzan con la misma rapidez
inicial con diferentes ángulos, como en la Figura. Liste los
proyectiles en orden de mayor a menor de la componente
horizontal de la velocidad inicial.
1. (a, b,c)
2. (c, b, a)
3. (b, a, c) o (b, c, a)
4. (a, c, b) o (c, a, b)
(de mayor a menor)
Problema: Un golfista golpea una pelota que adquiere una
velocidad inicial de 40.3 m/s en un ángulo de 32.0° respecto a la
horizontal. (a) ¿Cuánto tarda la bola en alcanzar su mayor altura?
(b) ¿Cuán lejos llega la pelota y cuánto tiempo dura en el aire (c)
¿Cuál es la máxima altura de la pelota de golf? (d) Cuál es la
velocidad cuando golpea al terreno?
Problema
Un aeroplano de rescate deja caer un paquete de raciones de
emergencia a unos exploradores. El aeroplano viaja
horizontalmente a 40.0 m/s y una altura de 100 m por
encima del terreno. ¿Dónde cae el paquete en relación al punto
desde el cual fue liberado?
Movimiento circular y & velocidad
relativa
Movimiento Circular
Considere un objeto que se mueve a rapidez constante en un
círculo. La dirección del movimiento está cambiando, por
tanto, la velocidad está cambiando (aunque se mantenga
constante la magnitud de la velocidad cambia la dirección)
En consecuencia, el objeto se está acelerando.
La dirección de la aceleración está dirigida al centro del
círculo. Y se denomina aceleración centrípeta (que significa
“busca el centro”).
La magnitud de la aceleraciónes igual a
r
vac
2
Aceleración centrípetaConsideremos una partícula que se mueve en un círculo de radio r en sentido antihorario, con el módulo de la velocidad uniforme. Aunque vcambia de dirección en todo momento, mantiene su magnitud idéntica.
En cierto instante, la partícula se encuentra en la posición P. Las coordenadas de P son: ( , )p px y
Observemos que el ángulo θ, que forma r y xp
es el mismo que forma v y yp, por ser mutuamente perpendiculares.
A
B 90º 180º
90º 180º
90º 90º
A
A B
A A B
B
• La velocidad es
• La aceleración es
sen cos
x y
P P
v v i v j
v i v j
y xv i v j
r r
xv
yvv
Px
Pyr
2 2
( cos ) ( sen )
cos sen
p P
y x
dydv v v dxa i j
dt r dt r r
v vv v j
r r
v vv i v j
r r
v vi j
r r
2 22 2
2 2
2
cos sen
x y
x y
a a i a j
v va a a
r r
va
r
2va
r
Aceleración centrípeta o radial (otrocamino para derivar la ecuación)
1
2
ˆ ˆ( cos ) ( sen )
ˆ ˆ( cos ) ( sen )
Distancia viajada 2
si se mide en radianes
v v x v y
v v x v y
r
• Podemos encontrar la aceleración en un punto P calculando la aceleraciónpromedio en el intervalo simétrico 1 2.
1v
1xv
1yv
2
2
El tiempo transcurrido es t d/v 2
Las componentes de la aceleración
cos cos0
2
sen
sen sen
2
son
xx
y
y
y
v vva
t θr / v
θr
v v v va
t θ
/
/
v
r v r
va
r
0si
r
vac
2Luego,
• El vector aceleración siempre apunta al centro del círculo
• El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria.
• Período T
Tiempo que tarda en dar una vuelta completa (distancia igual a )2 r
2 rT
v
Ejemplo: ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la Tierra al
moverse en su órbita alrededor del Sol?
Solution:
rac
2
2 r
TPero
23
2
45.93 10 /c
ra m s
T
Luego
11( ) 1.496 10
1
r Tierra m
t año
Aceleración tangencial
La componente tangencial de la aceleración
provoca el cambio en la velocidad de la
partícula. Esta componente es paralela a la
eolocidad instantánea. Y está dada por:
Aceleración Radial y Aceleración Tangencial
dt
dat
Nota: Si la velocidad es constante la aceleración tangencial
es cero (Movimiento Circular Uniforme)
raa cr
2
La aceleración radial es el cambio
de dirección en la vector velocidad
y es la componente radial de la
aceleración aparece por el cambio
en direcciòn del vector velocidad
dado por:
Aceleración radial
Aceleración total
La aceleración total es el vector suma de los vectores
componete radial y tangencial:
rt
rt
aaa
aaa
22
Ya que las componentes son perpendiculares entre sì
Movimiento circular no uniforme
• La rapidez varía• La componente radial de la
aceleración es
• La componente tangencial de la aceleración es
• La aceleración total es:
2
rad
va
r
tan
d va
dt
tanrada a a
Ejemplo: Un carro tiene aceleración constante de 0.300 m/s2
paralela al camino. El carro pasa por una subida que tiene forma
circular de radio de 500 m. En el momento que el carro se
encuentra en la cima de la subida, su vector velocidad es
horizontal y tiene una magnitud de 6.00 m/s. ¿Cuál es la
dirección de la aceleración total para el carro en este instante?
Si es el ángulo entre ar y at
22
/072.0500
36sm
rar
2 2 2 2 2 2
2
(0.30 / ) (0.072 / )
0.309 /
t ra a a m s m s
m s
5.13tan 1
t
r
a
a
Problema: Un tren se detiene a medida que gira en una vuelta
horizontal, pasando de 90km/h a 50km/h en 15s. El radio de la
curva es de 150m. Calcule la aceleración del tren.
Ejemplo: Una partícula se mueve en una trayectoria circular
con un radio de 0.4 m con velocidad constante. Si la
partícula ejecuta cinco revoluciones en cada segundo de su
movimiento, encuentre (a) la velocidad de la partícula y (b) su
aceleración.
(a) Como r =0.4 m, la partícula viaja una distancia de 2πr =
2.51 m en cada revolución. Por tanto, viaja una distancia de de
12.57 m en cada segundo (ya que realiza 5 rev. en el segundo).
v = 12.57m/1s = 12.6 m/s
2 22(12.6 / )
397 /0.4
m sa m s
r m
(b)
¿Qué ocurre si se
corta la cuerda?
La bola debe
moverse con
velocidad
constante.
Esto significa que
la bola continúa a
lo largo de la
tangente al círculo.
Problema
Usted conduce su carro con una velocidad constante de 12 m/s, y
encuentra una subida en el camino que tiene una sección transversal
circular. Si el radio de la curvatura de la subida es de 35 m,
encuentre la aceleración radial del carro cuando pasa por la subida
Componentes perpendicular y paralelas de la aceleración
a a a
Componentes perpendicular y paralelas de la aceleración
Componentes perpendicular y paralelas de la aceleración
Velocidad relativa• Dos observadores con movimiento relativo uno respecto al otro
generalmente no están de acuerdo en los resultados de un experimento.• Por ejemplo, los observadores A y B más abajo observan distintas
trayectorias para la bola.• Otro ejemplo, si vez una paloma que se mueve a 30 km/h al Este, para la
paloma que está al lado se encuentra estacionaria.
Marcos de referencia
• Marco de referencia: es el objeto en el cual colocamos nuestro sistema de coordenadas, y medimos el tiempo.
• Ejemplos de marco de referencia: la Tierra, un vehículo en movimiento, etc.
• Consideremos dos observadores que observan el mismo movimiento de una partícula P. Denominemos a los marcos de referencia de cada observador como Marco A y Marco B.
• En lo que sigue, el marco B tiene un movimiento relativo al marco A.
Marco A Marco B
xx
yy
OO
ABv
Movimiento relativo en una dimensión
• A partir del gráfico, la coordenada xPA de P medida por A es igual a la coordenada xPB de P medida por B más la coordenada xBA medida por A.
Marco A Marco B
x
y
O
ABv
PPAx
PBxBAx
PA PB BAx x x
Velocidad relativa
• Derivando la ecuación anterior, obtenemos la velocidad relativa:
• Es decir, “la velocidad vPA de P medida por A es igual a la velocidad vPB medida por B más la velocidad vBA de B medida por A”.
• Esta es la transformación galileana de la velocidad. • Solo consideraremos marcos de referencia que se
mueven a velocidad relativa constante uno respecto al otro, o sea vBA constante.
( ) ( ) ( )PA PB BAd x d x d x
dt dt dt
PA PB BAv v v
Aceleración relativa
• Derivando la ecuación anterior de las velocidades, obtenemos
• “Observadores en diferentes marcos de referencia que se mueven a velocidad constante relativa a otro marco medirán la misma aceleración para la partícula en movimiento”
BA
( ) ( ) ( )
ya que v es constante.
PA PB BA
PA PB
d v d v d v
dt dt dt
a a
Movimiento relativo en dos dimensiones
• Dos observadores en marcos de referencia A y B, y que se mueve el B con velocidad constante vBA, observan una partícula P en movimiento:
• La posición de la partícula respecto al marco A es la suma vectorial de la posición de la partícula respecto a B y la posición del marco B respecto al A.
PA PB BAr r r
P
Marco B
Marco A
x
x
yy
o
o
PAr
BAr
PBr
Velocidades relativas en dos o tres dimensiones
• Derivando la ecuación anterior
• Se denomina transformación galileana de la velocidad, “la velocidad de una partícula P con respecto al marco A es la suma vectorial de la velocidad respecto al marco B y la velocidad del marco B respecto al marco A”
( ) ( ) ( )PA PB BA
PA PB BA
d r d r d r
dt dt dt
v v v
Algunas notas importantes sobre los índices en el movimiento relativo
• El orden de los índices es relevante.Se pueden “multiplicar” los índices para verificar el
orden correcto:
• Para tres o más marcos se sigue el mismo orden:
En general, si A y B son dos marcos de referencia cualesquiera:
P P B
A B A
AB BAv v
PA PC CB BAv v v v
P P C B
A C B A
Concepto cental de resolución del problema del movimiento en el plano tratando las componentes
“x” y “y” de manera independiente Se lanza una bola hacia arriba desde un tren en movimiento
La vista de la trayectoria desde los dos marcos de referencia es:
Marco de referencia
en la Tierra
Marco de referencia
del tren.
Movimiento y(t) debido a
1) a = -g y
2) vy = v0y – g t
3) y = y0 + v0y – g t2/2
Movimiento x : x = vxt
Movimiento neto: R = x(t) i + y(t) j (vector)
Preguntas[1]Usted se encuenttra en un tren que viaja a 40 mph al Norte. Si usted
camina 5 mph hacia la parte frontal del tren,¿cuál es su velocidadrespecto al suelo?
A) 45 mph B) 40 mph C) 35 mph
[2]Usted viaja en un tren que viaja a 40 mph Norte. Si usted camina a 5 mph hacia la parte trasera del tren, ¿cuál es su velocidad relativarespecto al suelo?
A) 45 mph B) 40 mph C) 35 mph
[3]Usted está en un tren que viaja a 40 mph al Norte. Si camina a 5 mph hacia los lados de las ventajas del tren, ¿cuál es su velocidad respecto al suelo?
A) < 40 mph B) 40 mph C) >40 mph
Discusion
[1]: Un objeto sale de una rampa que forma un ángulo de 20º con
la horizontal y tiene una velocidad de 11m/s
(1) ¿Qué tan lejos llega el objeto?
s/m34.1020cos11cosvv 00x
0 0 sen 11sin 20 3.76 /yv v m s
s84.3t
t8.976.30
gtvv 0yy
Solución:
Las componentes x , y de la velocidad
inicial son
El tiempo t para el cual llega al pico es:
m94.7)768.0)(20)(cos11(R
)t2)(cosv(xR 0
(2) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
m72.0)384.0(8.92
1384.076.3y
gt2
1tvy
2
max
2
0y
El alcance es
[2]: Una piedra es lanzada desde la azotea de un edificio hacia
arriba con un ángulo de 30.0 ° respecto a la horizontal con una
velocidad inicial de 20.0 m/s, como se muestra en la Figura. Si la
altura del edificio es de 45.0 m,
(A) ¿Cuánto tardará la piedra en
llegar al suelo?
0 0 sen 20sen30 10 /yv v m s
s/m3.1730cos20cosvv 00x
s22.4t
045t10t9.4
t8.92
1t1045
gt2
1tvy
2
2
2
0y
Usando la ecuación:
(B) ¿Cúál es la velocidad de la piedra justo antes de golpear al
suelo?s/m3.17vv 0xx
s/m4.3122.48.910gtvv 0yy
s/m9.35vvv 2
y
2
x
[3]:
Una bola es lanzada desde una torre de 30 m de altura con un ángulo de
30° respecto a la horizontal con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuánto
tardará la bola en llegar al suelo?. (Considere g = 10 m/s2 ) :
0 0 sen 10sen 30 5 /yv v m s
st
tt
tt
gttvy y
3
06
102
1530
2
1
2
2
2
0Usando la ecuación:
No tomando en cuenta el valor negativo, t = -2 s
Solution:
[4]: En un verano caluroso una una niña se tira de una cuerda hacia
el agua como se muestra en la Figura. Cuando deja la cuerda su
velocidad inicial es 2.25 m/s en un ángulo de 35.0 respecto a la
horizontal. Si ella está en el aire por 1.60 s, ¿Desque qué altura se
lanzó?
v0 = 2.25 m/s
v0x = v0 cos(35) = 1.8 m/s
v0y = v0 sen(35) = 1.3 m/s
Solución:
y = y0 +v0y t – (1/2) g t2
y-y0 = - 10.5 m
y =0
y0 = +10.5 m
Usando:
[5]:
Un proyectil es lanzado horizontalmente con una velocidad inicial v0
desde una altura y0. Desprecie la fricción aerodinámica.
v0 = 3.5 m/s y0 = 4.0 m
(1) ¿En qué tiempo t el proyectil llegará al suelo?
v0
x
y
y0
2
0 0
0
0
1
2
4.0
0
y
y
y y v t gt
y m
v
2
2
0
10 4.0
2
2(4.0) / (9.81) 0.816
0.90
y
gt
t
t s
a)(2) ¿Cuál es la componente horizontal de la velocidad del proyectil
cuando golpea al suelo?
smv
a
smv
tavv
x
x
x
xxx
/5.3
0
/5.30
0
smv
smssmgtvv
smv
vvv
yy
x
yx
/53.9
/86.8)90.0)(/81.9(
/5.3
2
0
22
(3) ¿Cuál es la velocidad del proyectil cuando golpea al suelo?
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