UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA II
LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA II – ING. EN ENERGÍA
0 -
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA
FÍSICA II
CUADERNO Nº 01
PRIMERA UNIDAD
h2
h1 dS1
V1
V2
F1 A1
A2 F2
dS2
a b
c d
CICLO:
� III CICLO
E.A.P. :
� INGENIERÍA EN ENERGÍA
DOCENTE:
� LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY
NUEVO CHIMBOTE – PERÚ
2 0 0 9
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1. ELASTICIDAD
1.1. SÓLIDOS
Se llaman sólidos a los cuerpos que se distinguen por tener forma y volumen definido, esto es
apreciado a nivel macroscopico.
A demás de las fuerzas que unen a las partículas de un sólido, el movimiento de dichas
partículas es muy importante. Las partículas de un sólido se mantienen en posiciones
relativamente fijas, debido a las fuerzas de enlace; sin embargo, poseen un movimiento de
vibración en torno a sus posiciones fijas. La amplitud de su vibración y la energía vibratoria
resultante se relacionan con la temperatura del sólido. Cuando la temperatura es baja, la
energía cinética es pequeña y cuando sube, ésta aumenta.
La capacidad de conservar la forma se llama Elasticidad de la forma , y viene a ser la
diferencia exterior principal entre los sólidos, los líquidos y los gases.
1.2. CLASES DE SÓLIDOS
Científicamente los sólidos se clasifican como cristalinos y amorfos
a) Sólidos cristalinos: sus partículas están distribuidas en estructuras regulares.
En los sólidos cristalinos, los átomos u otras partículas (moléculas) que los constituyen se
colocan en forma regular (obedeciendo a un orden) y periódica. Este orden es
determinado y característico para cada sustancia y se extiende a todo el volumen del
cuerpo (ordenamiento lejano).
Entre los sólidos cristalinos tenemos a los monocristales y policristales.
Monocristales: La características principal es su anisotropía, según el cual, posee
diferentes propiedades en diferentes direcciones.
Ejemplo: la anisotropía de las propiedades térmicas da como consecuencia de que los
coeficientes de dilatación lineal y de la conductividad térmica alcancen diversos valores
en diferentes direcciones.
Policristales: constituyen la mayoría de los sólidos, poseen estructura cristalina fina, es
decir, están formados por un gran número de cristales estrechamente unidos y dispuestos
caóticamente. Debido a la arbitraria orientación de los cristales un policristales no revela
propiedades anisotrópica, sino isotrópica, según la cual, sus propiedades son las mismas
en todas las direcciones.
Ejemplo: poseen estructura policristalina: las piedras, arena, metales, sales, etc.
b) Sólidos amorfos: sus partículas están distribuidas al azar
Son sustancias que no poseen estructura cristalina, aunque, a diferencia de los líquidos
tienen elasticidad (presenta módulo de rigidez). La característica principal consiste en
que carecen de un punto determinado de fusión; al aumentar la temperatura estos
cuerpos gradualmente se emblandecen su viscosidad disminuye y comienzan a
comportarse como líquidos viscosos corrientes.
Ejemplo: vidrio, resinas, etc.
ELASTICIDAD
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1.3. PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS:
Los sólidos presentan las siguientes propiedades
a) Propiedades Físicas:
Tenemos:
a.1) Propiedades escalares: se determinan dando los valores numéricos de las
magnitudes físicas, ejemplo: la densidad, la capacidad calorífica, etc.
a.2) Propiedades Vectoriales: se determinan dando los valores que caracterizan sus
magnitudes en cada una de las tres direcciones características del cristal, ejemplo:
la constante dieléctrica relativa, las propiedades elásticas, etc.
b) Propiedades Mecánicas
Estas propiedades están relacionadas con la capacidad del material de soportar esfuerzos
mecánicos, entre las que tenemos:
b.1) Elasticidad: es propiedad que tienen los cuerpos de recuperar su forma y
dimensiones originales cuando la fuerza aplicada cesa de actuar.
b.2) Plasticidad: cuando al cesar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, este no
recupera su forma o dimensiones originales, parcial o totalmente.
b.3) Resistencia: es la medida del esfuerzo requerido para deformar (romper) un
material. La resistencia de un material para soportar deformaciones elásticas, se
llama resistencia a la tensión
b.5) Ductibilidad: es la cantidad de deformación plástica en el punto de ruptura. Una
medida de la ductibilidad de un material después de la fractura la suministra el
porcentaje de un alargamiento y también de la reducción del área.
b.6) Dureza: es la resistencia que ofrece el material a la penetración local, al rayado, al
trabajo de máquina, al desgaste o abrasión.
b.7) Fragilidad: es la propiedad opuesta a la plasticidad, y consiste en la capacidad que
posee el material para destruirse sin presentar deformaciones residuales.
b.8) Maleabilidad: es la propiedad que permite un material soportar deformaciones
plásticas bajo esfuerzos de comprensión. Los materiales maleables son aquellos
que se pueden convertir en láminas
Tº
Sólido cristalino
t
Tf Sólido amorfo
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Cohesión y Adhesión:
El término general para designar a la fuerza de atracción entre moléculas del mismo
tipo es cohesión. Esta es la fuerza que mantiene unidas y muy compactadas a las
moléculas de un sólido; además es de corto alcance. Si se rompe un sólido, algunas
capas moléculas gaseosas del aire se enlazarán a las superficies rotas, con lo cual
impedirán que se vuelvan a unir las superficies del sólido. Las fuerzas de atracción
entre moléculas de tipos diferentes se denominan adhesión. Las fuerzas de cohesión y
adhesión tienen valores definidos para moléculas específicas.
1.4. DIAGRAMA DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN
Las propiedades elásticas se explican por lo común en términos de tensión y esfuerzo.
Tensión es una medida de la fuerza que causa una deformación. Esfuerzo es una
medida relativa de la deformación que causa una tensión. Cuantitativamente, tensión es
la fuerza aplicada por unidad de área transversal.
área
FuerzaTensión =
Donde F, es la magnitud de la fuerza normal (perpendicular) aplicada al área transversal.
La ecuación muestra que las unidades son Newton / metro2.
Como se ilustra en la figura anterior una fuerza aplicada en los extremos de una varilla da
lugar a una tensión de alargamiento, tensión que puede ser tensil o comprensional,
dependiendo de la dirección de la fuerza.
ESFUERZO:
Se define como una relación entre las fuerzas (tracción o comprensión) entre el área de
la sección transversal. Su notación es.
S
F=σ σ : tracción F: fuerza S :superficie
Deformación:
Son todas las variaciones que se producen en su longitud, superficie, volumen y forma.
- Deformación Unitaria ( ∆∆∆∆)
Es la relación entre la deformación lineal, superficial y volumétrica (∆L, ∆S, ∆V) y su
dimensión lineal (L0, S0, V0). Así tendremos deformación unitaria longitudinal,
superficial y volumétrica:
L0
Lf
∆L
F F
A
(a) Fuerza de tensión
L0
Lf
∆L
F F
A
(b) Fuerza de Comprensión
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Deformación unitaria longitudinal: 0L
LL
∆=∆
Deformación unitaria superficial: 0S
SS
∆=∆
Deformación unitaria volumétrica: 0V
VV
∆=∆
- Deformación longitudinal o unilateral (E)
Para el caso de deformación longitudinal, se define el Módulo de Young:
allongitudinunitariandeformació
ncomprensióotensiónporesfuerzoE =
LS
FL
LL
SF
LE
∆=
∆=
∆= 0
0/
/σ
- Deformación Multilateral o volumétrica ( ββββ)
Si el cuerpo se somete a iguales esfuerzos de tracción o comprensión por todos los
lados, entonces el cuerpo sufrirá deformación volumétrica. En este caso se define el
módulo de comprensibilidad ( ββββ ) y el coeficiente de comprensibilidad ( χχχχ ).
Donde:
volumendeunitariadefor
presióndeiación
volumendeunitariandeformació
ovolumétricesfuerzo
.
var==β
L0
∆∆∆∆L
F S
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∆∆=
∆∆=
0V
V
P
V
Pβ y β
χ 1=
- Deformación por Cizalladura o elasticidad de forma (ηηηη)
Esta deformación se produce cuando se aplican fuerzas opuestas a dos caras
contrarias del cuerpo, produciéndose un desplazamiento de planos paralelos en la
dirección de la fuerza:
η : módulo de rigidez
φση T
tecorndeformació
tecoresfuerzo ==tan
tan
desplazasequeer
gencialfuerza
.sup
tan=η
0. Lcarasdoslasentredist
ocorrimient γφ ==
La proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria es cierto por debajo de cierto
límite de proporcionalidad y depende de las propiedades del material. Por encima de éste
límite, la relación entre la deformación unitaria y el esfuerzo es más complicado. La siguiente
gráfica representa la relación entre el esfuerzo y la deformación
0A: Zona Elástica AB: Límite elástico BC: Zona plástica D : punto ruptura
BA
Diagrama de esfuerzo - deformación de un resorte
C
D
σσσσ
0 εεεε
Z
Y X
F
F
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En la gráfica esfuerzo – deformación de una varilla metálica, la curva es una línea recta
hasta el punto llamado límite de proporcionalidad . Más allá de este punto, el esfuerzo
empieza a incrementarse con mayor rapidez hasta otro punto crítico, llamado límite
elástico . Si la tensión se retira en este punto, el material regresará a su longitud original.
Si la tensión es aplicada más allá del límite elástico y se retira, el material recupera algo,
pero mantiene cierta deformación permanente.
Como vemos en la gráfica la parte de la línea recta muestra una proporcionalidad directa
entre la tensión y el esfuerzo. Esta relación fue formalizada por primera vez por Robert
Hooke en 1678, y ahora se conoce como la ley de Hooke.
El módulo elástico para una tensión o una comprensión se llama Módulo de Young ( γγγγ):
ndeformació
esfuerzo=γ = Al
lF
.
.
∆=γ
ll
AF
/
/
∆=γ
Modulo de elasticidad para varios materiales (N/ m2)
SUSTANCIA Módulo de
Young (γγγγ)
Módulo de corte
(S)
Módulo de volumen
(B) Sólido
Aluminio
Latón
Cobre
Vidrio
Hierro
Acero
Líquido
Alcohol etílico
Mercurio
Agua
7.0 x 1010
9.0 x 1010
11 x 1010
5.7 x 1010
15 x 1010
20 x 1010
2.5 x 1010
3.5 x 1010
3.8 x 1010
2.4 x 1010
6.0 x 1010
8.2 x 1010
7.0 x 1010
7.5 x 1010
12 x 1010
4.0 x 1010
12 x 1010
15 x 1010
1.0 x 1010
26 x 1010
2.2 x 1010
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LEY DE HOOKE
Cuando un cuerpo sufre una deformación, la fuerza deformadora es proporcional a la
deformación del cuerpo siempre y cuando el estiramiento no supere el límite elástico.
En el caso particular de la deformación longitudinal de un resorte, la fuerza deformadora es
proporcional a la elongación, Al resorte; en tal caso se dice que la deformación es elástica:
F = KL (1)
Donde K es la constante de proporcionalidad llamada constante de fuerza o constante
elástica que depende de la naturaleza del material y de la forma del resorte, y L es el
desplazamiento medido desde la posición de equilibrio, llamado también elongación.
Aplicamos Fr
sin aceleración ( 0=ar )
El resorte a su vez reacciona con una fuerza igual y opuesta:
KXF ±=´ : Ley de Hooke
F = Fuerza deformadora
F´ = Fuerza restauradora
K = constante elasticidad resorte
La ecuación (1) se conoce como Ley de Hooke. Como la ecuación (1) representa la
relación lineal entre la fuente F y el desplazamiento. La constante K resulta ser la pendiente
de la recta representativa de F vs L∆ .
∆L(m)
F(N)
K= pendiente
X
´Fr
Fr
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2. HIDROSTÁTICA
2.1. ESTÁTICA DE FLUIDOS
La estática o mecánica de fluidos, estudia los fluidos en reposo en situaciones de equilibrio,
basados en las condiciones de equilibrio de Newton (1ra y 3ra). Los fluidos controlan el clima.
Fluido: es cualquier sustancia que pueda fluir, puede ser líquido o gases.
La estática de fluidos consta de las siguientes partes:
� Hidrostática: Estudia a los líquidos en reposo relativo.
� Neumostática: Estudia a los gases en reposo relativo
Los fluidos son substancias, idealizadamente un continuo de masa, donde su forma
puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas. Son
fluidos tanto los líquidos como los gases. Si se analizan las fuerzas que pueden actuar
sobre una porción de fluido, ellas son de dos tipos: causada por agentes exteriores,
típicamente el peso de él, y las causadas por el fluido que está en su exterior mediante
contacto. Es conveniente distinguir la parte de esa última fuerza que actúa normal a la
superficie, llamadas fuerzas debidas a la presión, de las fuerzas tangenciales o de
viscosidad. Estas fuerzas tangenciales actuando sobre la superficie del elemento de
fluido, no pueden ser equilibradas por fuerzas interiores, de modo que ellas causan
escurrimiento del fluido. Si nos limitamos a fluidos en reposo, las fuerzas tangenciales no
pueden existir.
2.2. Densidad ( ρ )
Es la característica principal de cualquier material y está definido como: su masa por
unidad de volumen:V
m=ρ ; kg/m3
La densidad depende de los factores ambientales: la temperatura y la presión.
2.3. Densidad relativa ( ρρρρr): Es un número adimensional, y es igual a la densidad de cualquier
sustancia entre la densidad del agua a 4ºC.
SUSTANCIA SÓLIDA
DENSIDAD (kg/m3)
SUSTANCIA LÍQUIDA
DENSIDAD (kg/m3)
SUSTANCIA GASEOSA
DENSIDAD (kg/m3)
Aluminio
Latón
Cobre
Vidrio
Oro
Hielo
Hierro
Plomo
Acero
Madera roble
2.7 x 103
8.7 x 103
8.9 x 103
2.6 x 103
19.3 x 103
0.92 x 103
7.9 x 103
11.4 x 103
7.8 x 103
0.81 x 103
Alcohol etílico
Alcohol metílico
Sangre
Plasma sanguíneo
Gasolina
Mercurio
Agua de mar (4 ºC)
Agua dulce (4 ºC)
0.79 x 103
0.82 x 103
1.05 x 103
1.03 x 103
0.68 x 103
13.6 x 103
1.03 x 103
1.00 x 103
Aire
Helio
Oxígeno
Vapor de
agua (100 ºC)
1.29 x 103
0.18 x 103
1.43 x 103
0.63 x 103
HIDROSTÁTICA
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9
02H
sr ρ
ρρ =
2.4. Peso específico
El peso específico denotado por γ se define como el peso por unidad de volumen del
fluido, es decir:
gργ = ; donde la unidad S.I. será Nm−3
2.5. Presión (P)
Si una superficie se coloca en contacto con un fluido en equilibrio (en reposo) el fluido,
gas o líquido, ejerce fuerzas normales sobre la superficie.
Las fuerzas tangenciales que un fluido puede ejercer sobre una superficie se originan
cuando hay movimiento del fluido respecto a la superficie. Si sobre una superficie actúan
fuerzas normales distribuidas en forma continua, como se indica en la figura, se define la
presión actuando sobre algún punto de ella como la fuerza por unidad de área que actúa
sobre la superficie. Esta puede ser variable o constante de punto en punto de la
superficie. Por esa razón su definición involucra un elemento infinitésimo de área dA.
Fuerza de Presión
O sea la presión en el punto donde se ubica el elemento de área (infinitésimo) dA se define por
dA
dFP=
Como se verá más adelante, la presión en un fluido en equilibrio aumenta con la
profundidad, de modo que las presiones serán uniformes sólo en superficies planas
horizontales en el fluido. Si la fuerza total F está distribuida en forma uniforme sobre el
total de un área horizontal A como se indica en la figura, la presión en cualquier punto de
esa área será:
A
FP= (N/m2 = Pascal = Pa)
Fuerza distribuida uniformemente
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Unidades: P0 = presión atmosférica = 1 atm. = 1.013 x 105 Pa
Bar = 1,0 × 105 Pa
1 mmHg = 133. 322Pa
Propiedades de la presión
La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones, esto es que
la fuerza que experimenta un elemento de área dentro de un fluido, no depende de la
orientación de ese elemento de área. Además la presión en un mismo plano horizontal en
el interior de un fluido en reposo, es la misma. Estas propiedades fueron enunciadas
como “principios” por Pascal, pero ahora pueden ser demostradas de modo muy simple
usando las leyes de la estática
Presión atmosférica
La atmósfera está constituida por aire, una mezcla en ciertas proporciones de Nitrógeno
y Oxígeno principalmente, que como toda substancia es atraída por el campo
gravitacional terrestre, es decir la atmósfera tiene peso. La atmósfera es un fluido de
varios kilómetros de altura, que producto de su peso, ejerce presión sobre todos los
objetos sumergidos en ella. Esta presión se denomina presión atmosférica y como
veremos, ella disminuye con la altura.
El famoso experimento de Torricelli, determinó por primera vez su valor. Considere un
tubo de vidrio de alrededor de 1m de longitud, cerrado en un extremo, lleno de mercurio,
un fluido el cual tiene una densidad de alrededor 13,6 g/cm−3. Tapando el extremo abierto
del tubo se invierte el tubo y se sumerge el extremo abierto en un recipiente que también
contiene mercurio. Si este experimento es realizado al nivel del mar, se logra una
situación de equilibrio como se indica en la figura, donde una altura de h = 76 cm de
mercurio (760mm) permanece equilibrada con vacío en su parte superior.
Barómetro de cubeta
F
F
F F
F F
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0=∑ yF
( ) 0=−+− mgAdpPPA ; AhVm ρρ ==
( ) 0=−+− ghAAdpPPA ρ ; dyh=
0=−−− gAdyAdpPAPA ρ
0=−− gdydp ρ
gdy
dp ρ= o gdydp ρ−=
Un pequeño análisis de las fuerzas involucradas en el equilibrio de la columna
suspendida de mercurio, nos da el valor de la presión atmosférica Pa. Si A denota el área
basal de esa columna, la fuerza que actúa por abajo es PaA la cual equilibra el peso de la
columna de mercurio el cual es ρHg ghA de modo que Pa = ρHg gh = 760mmHg, puesto
que la altura suspendida es precisamente 760mmHg. Este experimento da origen al
llamado barómetro de mercurio y también a la unidad de presión llamada mmHg. Si la
presión atmosférica varía por cualquier razón, también lo hará la altura de la columna de
mercurio, constituyendo entonces este dispositivo, un aparato para medir la presión
atmosférica, directamente en mmHg
Presión de un Fluido
A
FP=
Vemos que la presión aumenta con la profundidad y disminuye con la altura.
P0 = 1 atm. = 1.013 x 105 Pa
Los aparatos para medir la presión atmosférica se llaman barómet ros , y los que
miden presión en general, se llaman manómetros
P1
h
Y1
dy
w PA
(P + dp)A
Y2
P2 = P0
12 yyh −= ; PP =1 ; 02 PP =
De: gdydp ρ−=
∫∫ −=2
1
2
1
y
y
p
p
gdydp ρ
( )120 yygPP −−=− ρ
( )120 yygPP −+= ρ
ghPP ρ+= 0
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Manómetros
Son aparatos que sirven para medir la presión de los gases y de los líquidos. El tipo más
sencillo es el manómetro de tubo abierto, que es un tubo en forma de U.
Manómetro de mercurio
Barómetros
Son aparatos destinados a medir la presión atmosférica. El tipo más usual es el de
mercurio. Consiste esencialmente de un tubo cerrado en uno de sus extremos que
después de llenarse de Hg por el otro se invierte en una cubeta que contiene Hg.
Barómetro en U
2.6. Principio de Pascal
Cuando se aplica una presión en un punto de un líquido, ésta se transmite a todo el
líquido con rapidez y prácticamente sin disminuir su intensidad en todas las direcciones.
La prensa hidráulica se fundamenta en este principio: Tenemos dos recipientes
comunicados llenos de líquido, y tapados por sendos émbolos. En equilibrio, la presión
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en el fondo de ambos recipientes debe ser la misma. Al ejercer una fuerza sobre el
primer émbolo, la presión añadida 1
1
1A
FP = , se transmite, según el principio de Pascal, al
resto del líquido, incluida la superficie del émbolo 2:
21 PP = →
2
2
1
1
A
F
A
F= →
1
1
2
2 FA
AF =
Como lo superficie del émbolo 2 es mayor que la del 1, conseguimos ejercer una fuerza
sobre 2 mayor que la que hemos hecho sobre 1. Así, ejerciendo poca fuerza, podemos
multiplicarla con este dispositivo.
Prensa Hidráulica
2.7. Vasos Comunicantes
Se denomina así, a los conocidos tubos en “U”, situación que se presenta similar, cuando
dos recipientes que contienen líquido, se comunican por su parte inferior.
Cuando los dos recipientes comunicados, tienen una sola clase de líquido, en ambas
ramas se alcanza la misma altura, independientemente de la forma de cada recipiente,
dado que la presión hidrostática en cualquier punto del fondo debe dar el mismo
resultado, cualquiera sea la rama por la que se calcule.
La paradoja hidrostática de la figura ilustra ésta situación:
De acuerdo al principio de vasos comunicantes todos los puntos a la misma altura tendrán la
misma presión. Es decir todos los puntos a la altura h1 tendrán la misma presión y las que se
encuentran a la altura h2 tendrán la misma presión. Para ambos casos deben estar los tubos en la
parte superior abierto.
P0 P0 P0 P0 P0 P0
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La figura siguiente muestra un tubo con forma de “U”, conteniendo dos líquidos de
distinto peso específico
La diferente altura que los mismos alcanzan en cada rama del tubo por encima del nivel
de la interfase, está en relación inversamente proporcional a sus pesos específicos.
Estas alturas, las podemos relacionar entre sí, igualando la presión hidrostática en la
interfase:
aarr hh ρρ =
O bien como relación de alturas:
a
r
r
a
h
h
ρρ=
2.8. Principio de Arquímedes
Cuando un cuerpo sólido está en equilibrio en el interior de un fluido, él estará sometido a
fuerzas exteriores de dos tipos: su peso u otras fuerzas aplicadas, y además las fuerzas
distribuidas sobre su superficie causada por la presión dentro del fluido. Esas últimas
actúan normalmente a la superficie del cuerpo y su resultante vertical puede ser
fácilmente calculada. En efecto, si se considera la segunda de las figuras donde el
cuerpo no está presente, pero se ha marcado la región donde el cuerpo estaba, las
fuerzas sobre esa superficie imaginaria son naturalmente las mismas que actuaban sobre
el cuerpo. Pero ahora, ellas equilibran verticalmente al fluido encerrado por esa
superficie, de modo que la resultante vertical hacia arriba, debe igualar al peso del fluido
encerrado por dicha superficie. Se tiene entonces el llamado principio de Arquímides.
Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido, él experi menta una fuerza ascendente,
llamada fuerza de empuje, que es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.
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En términos matemáticos, si V denota el volumen sumergido, ρL la densidad del líquido y
E la magnitud del empuje, entonces:
gVE Lρ=
CALCULO DEL EMPUJE:
Hay dos maneras de expresar el empuje (E), según los datos que se suministren:
a) En función del peso del cuerpo en el aire (WC) y de lo que aparenta pesar al
sumergirlo (WA); y
b) En función del peso específico del líquido Lρ y del volumen del cuerpo (VC).
a) Ac WWE −=
b) CLVE ρ=
Se presentan tres situaciones, según los valores relativos de peso y empuje referidas
a un cuerpo que se sumerge en un líquido:
1) E < WC El cuerpo se hunde.
2) E = WC El cuerpo permanece en equilibrio en el seno del líquido.
3) E > WC El cuerpo emerge parcialmente hasta que se equilibra: E = WC
En el caso en que el cuerpo sea macizo, podemos establecer para cada una de las
situaciones antes enunciadas, las siguientes relaciones:
1) Lρ < cρ (Peso específico del líquido menor que el del cuerpo).
2) Lρ = cρ (Peso específico del líquido igual que el del cuerpo).
3) Lρ > cρ (Peso específico del líquido mayor que el del cuerpo).
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2.9. Tensión Superficial (N/m)
Las moléculas de un líquido ejercen pequeñas fuerzas de atracción, unas sobre las otras.
Aún cuando las moléculas son eléctricamente neutras. Dentro de un líquido, en el que cada
molécula está complemente rodeada de otras moléculas, la fuerza neta es cero.
A pesar de ello, para las moléculas de las superficies del líquido, no existen fuerzas de
atracción que actúen de arriba de la superficie hacia el interior del líquido (el efecto de las
moléculas de aire es pequeño y se considera despreciable). Como consecuencia las
moléculas de la capa superficial experimentan fuerzas netas debidas a las moléculas
vecinas, que están justo debajo de la superficie. Este impulso hacia abajo sobre las
moléculas de la superficie causa que el líquido se contraiga y resista ser estirado o roto,
propiedad que se llama tensión superficial.
(a) La fuerza neta sobre una molécula en el interior de un líquido es cero, debido a que está rodeada por otras moléculas. No obstante, una molécula en la superficie experimenta una fuerza neta que no vale cero, y que se debe a las fuerzas de atracción de las moléculas vecinas que están justo debajo de la superficie.
(b) Para formar una depresión superficial, se debe realizar un trabajo, ya que las moléculas que están más hacia el interior deben traerse a la superficie para incrementar el área. Como resultado, el área superficial actúa como una membrana elástica estirada, y la fuerza del peso de un objeto, como una aguja, es soportada por los componentes de la tensión superficial hacia arriba.
(c) Las patas del insecto hacen una depresión similar, y los componentes de la fuerza resultante hacia arriba permiten que el insecto camine sobre el agua.
(d) Debido a la tensión superficial, las gotitas de agua tienden a asumir la forma que haga mínima su área superficial; es decir, una esfera.
Si una aguja para coser se coloca cuidadosamente sobre la superficie de un cuenco de
agua, la superficie actúa como una membrana elástica bajo tensión. Hay una ligera
depresión en la superficie, y las fuerzas moleculares a lo largo de la depresión forman un
ángulo con la superficie (figura b). Los componentes verticales de estas fuerzas
equilibran el peso (mg) de la aguja y ésta flota" sobre la superficie. Similarmente la
tensión superficial soporta el peso de un andador en agua (figura c).
El efecto neto de la tensión superficial es hacer que el área de la superficie de un líquido
sea tan pequeña como sea posible. Esto es, un volumen dado de líquido tiende a
adoptar la forma que tiene el área superficial menor. Como resultado, las gotas de agua
y las burbujas de jabón tienen formas esféricas, porque la esfera es la forma con el área
(a)
Gota de agua
(b)
F
mg
F
(c)
(d)
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17
superficial menor para un volumen dado (figura d). Al formarse una gota o una burbuja,
la tensión superficial tira de las moléculas a reunirías para minimizar el área superficial.
Cuantitativamente, la tensión superficial (γ) en una película líquida se define como la
fuerza por unidad de longitud que actúa a lo largo de una línea (por ejemplo, a lo largo de
un alambre) cuando se estira la superficie:
L
F=γ (Tensión superficial)
En el cuadro se dan las tensiones superficiales de algunos líquidos. Como se puede
esperar, la tensión superficial es dependiente en grado elevado de la temperatura.
En la figura se muestra un aparato que se utiliza para medir la tensión superficial.
Básicamente, el dispositivo mide la fuerza que se requiere para superar la tensión
superficial. Para un aro circular de alambre, L es la longitud de la circunferencia y
γγγγ = F/2L, debido a que hay dos superficies de película (una de cada lado del alambre).
Otra forma de estudiar la tensión superficial es en términos del trabajo o la energía
necesarios para estirar el área superficial. Si se utiliza un pedazo recto de alambre de
longitud L para estirar una superficie una distancia paralela Ax, el trabajo hecho contra la
tensión superficial es:
AXLXFW ∆=∆=∆=∆ γγ
Dado que
LF γ= y XLA ∆=∆ ( el cambio en el área superficial). Así tenemos que:
A
W
∆∆=γ
La tensión superficial, o fuerza por unidad de longitud, es equivalente al trabajo por
unidad de cambio en el área de la superficie, con unidades de J/m2.
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18
Cuadro. Tensiones superficiales de algunos líquidos (N /m)
Líquido Temperatura Tensión superficial
(γγγγ) Al c oho l e t í l i c o Sang re en te ra P l asm a s a ngu íneo M erc u r i o Agua j ab onos a Agua Agua Agua
(20 ºC ) (37 ºC ) (37 ºC ) (20 ºC ) (20 ºC ) (0 ºC)
(20 ºC ) (100 ºC )
0 .022 0 .058 0 .072 0 .45
0 .025 0 .076 0 .073 0 .059
2.10. ADHESIÓN, COHESIÓN Y ACCIÓN CAPILAR
Observe la tensión superficial relativamente baja que se presenta en el cuadro 1.2 para el
agua jabonosa. Los jabones y los detergentes tienen el efecto de abatir la tensión
superficial. Tales sustancias se denominan tenso activas. La tensión superficial
relativamente elevada del agua simple tiende a evitar que se introduzca en lugares
pequeños, como entre las fibras de la ropa. (También puede ver en el cuadro por qué
generalmente se utiliza agua caliente para lavar.)
Los jabones y los detergentes también actúan como agentes humectantes. El que
un líquido "humedezca", se adhiera, o no a una superficie, depende de las tensiones
relativas de las fuerzas adhesivas y cohesivas entre las moléculas. Las fuerzas
adhesivas (o de cohesión) son fuerzas de atracción entre moléculas diferentes. Las
fuerzas cohesivas (o de cohesión) son fuerzas atrayentes entre moléculas semejantes.
Las fuerzas cohesivas mantienen reunida una sustancia, y las fuerzas adhesivas
mantienen juntas a sustancias diferentes. (Fuerzas adhesivas como las de la cola
que se usa como pegamento, mantienen juntas las cosas.)
Si las fuerzas adhesivas entre las moléculas de un líquido y las de la superficie
son mayores que las fuerzas cohesivas entre las moléculas del líquido, el líquido
mojará la superficie. Por otro lado, si las fuerzas cohesivas son mayores que las
fuerzas adhesivas, el líquido no humedecerá la superficie. Las gotas de agua sobre
un automóvil recién encerado son un buen ejemplo de esto último. El agua no se adhiere
bien a las ceras ni a los aceites sobre una superficie.
(Este fenómeno, así como la tensión superficial, ayuda a los insectos zapateros a
caminar sobre el agua. Las patas de los insectos están cubiertas de una sustancia
parecida a la cera, que evita que se mojen.)
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19
Aunque las fuerzas cohesivas y las adhesivas son difíciles de analizar, una
medida relativa de sus efectos es el ángulo de contacto (Φ). Éste es el ángulo entre
la superficie y una línea que se traza tangente al líquido (figura 1). Observe
en la figura que (Φ es menor de 90° si el líquido moja la superficie, y m ayor de 90° si
no la moja. El agua sobre un vidrio limpio tiene un ángulo de contacto de
aproximadamente de 0° (se esparce en una capa delga da), y el agua sobre parafina tiene
un ángulo de contacto de 107°. Un poco de detergent e en la parafina causa que el agua
se esparza, o que moje la superficie, y el ángulo de contacto decrece. La acción
limpiadora de los jabones y los detergentes se debe en gran parte al refuerzo que causan
sobre la capacidad del agua para mojar las partículas de suciedad de modo que se
puedan quitar.
En un recipiente, la superficie libre de líquido se curva hacia arriba (es cóncava)
si el líquido moja la pared del recipiente y se curva hacia abajo (es convexa) si no la
moja (figura 2).La forma curva de la superficie del líquido recibe el nombre de
menisco (de una palabra griega que significa "Luna creciente"). Si un tubo con un
diámetro pequeño se coloca verticalmente con un extremo sumergido en un líquido
que moje sus paredes, el líquido subirá por el tubo cierta distancia sobre la superficie
del líquido que lo rodea. Esto se denomina acción capilar (o capilaridad) y es una
consecuencia de la tensión superficial y de la adhesión. En esencia, la adhesión
atrae las moléculas de agua a los lados del tubo, y la cohesión (tensión superficial)
empuja esta columna hacia arriba.
Fig. 1. Angulo de contacto. Una medida relativa de fuerzas adhesivas y cohesivas es el ángulo de contacto. (a) un ángulo φ menor que 90º significa que
el líquido moja la superficie, e indica que las fuerzas adhesivas son mayores que las fuerzas cohesivas.
(b) cuando φ es igual a 90º la gota forma
un hemisferio. (c) un ángulo φ mayor que 90º significa
que el líquido no moja la superficie, e indica que las fuerzas adhesivas son mayores que la fuerzas de cohesión.
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20
Fig 2. Acción capilar.
(a) Los líquidos ascienden por los
tubos pequeños (capilares) debido
a la adhesión (humectación) y la
tensión superficial. La fuerza hacia
arriba (equilibrada por el peso de
la columna líquida) y el ángulo de
contacto se muestran en un tubo.
(b) Si un líquido no moja un tubo
capilar, hay una depresión en la
columna .
Como era de esperarse, la altura a la cual se eleva el líquido por el tubo capilar
depende del diámetro. (Capilar viene de una palabra latina que significa "como
cabello". Los vasos sanguíneos más delgados se llaman capilares y son tan angostos
que las células sanguíneas pasan a través de ellos en una sola fila.) En el equilibrio, el
componente de la fuerza de la tensión superficial y la fuerza del peso hacia abajo de la
columna del líquido deben ser de igual magnitud. La fuerza de la tensión superficial es
( )rLF πγγ 2==
en donde L = 2π r dado que el líquido está en contacto con el tubo en todos los puntos
de la circunferencia. El componente vertical de esta fuerza tiene una magnitud de:
( )( )φπγφ cos2cos rF =
El peso de la columna de líquido está dado por
( )ghrgVgmw 2πρρ ===
En donde la masa en términos de la densidad es m = ρV, y el volumen del cilindro del
líquido es V = π r2 h. (La presión atmosférica no se toma en consideración debido a que
es la misma en ambas superficies). Al igualar las magnitudes de estas fuerzas (F cos Φ
= w) y resolviendo para h, tenemos:
rg
hρ
φγ cos2=
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21
Un análisis similar para la depresión capilar, se presenta cuando el líquido no moja la
superficie del tubo, da la misma ecuación. En este caso, Φ es mayor que 90º, y h es
negativa.
Cuadro. Angulo de contacto para algunos líquidos so bre sólidos
Líquido-Sólido Ángulo de contacto
(Φ) (aproximado)
Alcohol-Vidrio
Queroseno-Vidrio
Mercurio-Vidrio
Agua-Vidrio
Agua-Plata
Agua-Parafina
0º
26º
140º
0º
90º
107º
Ejemplos
1) Las densidades del aire, helio o hidrógeno (en condiciones normales) son respectivamente 0.00129
gr/ cm3, 0.000178 gr/cm3 y 0.0000899 gr/cm3.
a) ¿Cuál es el volumen en metros cúbicos desplazado por un dirigible lleno de hidrógeno que
tiene una fuerza ascensional total de 10 toneladas?
b) ¿Cuál sería la fuerza ascensional si se utilizara el helio en vez de hidrógeno?
Solución:
F = Fuerza ascensional resultante = Empuje hidrostático – Peso dirigible
Además V = 107 x 980 dinas (0.00129 – 0.0000899) gr/cm3 980 cm/s2
= 107 cm3 = 8.33 x 109 cm3
1.2x10-3
= 8330 m3
b. FHe = ρa g V - ρHe g V
= (0.00129 – 0.000178) gr/cm3 x 980 cm/sg2 x 109 cm3 = 9.0776 x 109 dinas = 9.26 x 106 gr-f
= 9.26 tonelada
a. Fh = E – W
= ρ a gV - ρH g V = 107 gr f
(10 toneladas: 104 kg : 10
7 gr)
W
E
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2) En un tubo hay capa de aceite de oliva de 2m de espesor, que flota sobre una capa de agua de 1.5
m de espesor. La cual a su vez esta sobre una capa de mercurio de 0.5 m. La superficie libre del
aceite esta sujeto a la presión atmosférica. ¿Cuál será el valor de la presión absoluta en la
superficie interior del mercurio?. La densidad relativa del aceite de oliva es 0.92 y la del mercurio
13.6
Solución:
P3 = P0 + ρac g hac + ρH2o g hH2o + ρHg g hHg
P3 = Po + g( ρac hac + ρH20 h H20 + ρHg hHg)
= 1.01 x 105 N/m2 + 9.8 m/sg2 (0.92 x 2 x 1 x 1,5 + 13.6 x 0.5) x 103 Kg/m3
P3 = 2 x 105 N/m2
3) A un estudiante se le asigna la tarea de diseñar un globo esférico cuya capacidad bruta de carga
sea de 4 900 N, lo que corresponde a una masa de 500 kg que incluye la masa del propio
aeróstato. El globo se llenará con hidrógeno. Hallar el radio mínimo que deberá tener el globo
para levantar esa carga total. (ρaire = 1.293 kg/m3 ), (ρH = 0.090 kg/m3)
Solución:
0.5m ρHg
P3 = P2 ρg g h Hg
2m ρac
1.5 m ρH20
P0
P1 = P0 + ρac g hac
P2 = P1 + ρH2o g hH2o P2 = P0 + ρac g hac + ρH2o hH2o
m Hg
4 900 N
E aire
r
F = 4 900 N
Eaire – mHg = 4 900 N
Ρaire g A V - ρH g V = 4 900 N
Vg (ρaire - ρH) = 4 900 N ; V = 4 πr3
3
mg
xr
Hgaire
63.4)(4
490033 =
−=
ρρπ
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23
3. HIDRODINÁMICA
3.1. Fluidos: es cualquier sustancia que pueda fluir, puede ser líquido o gases.
El flujo de los fluidos puede ser de régimen estacionario o de régimen variado.
- Flujo estacionario: Cuando la velocidad del fluido vr
en cualquier punto dado se
conserva constante en el transcurso del tiempo.
Cuando el movimiento es de tipo estacionario, cada partícula que pasa por un punto
tal como P; sigue exactamente la misma trayectoria que las partículas precedentes
que pasaron por dicho punto.
Para hacer una descripción de la dinámica de fluido se trabaja con flujos ideales, los
cuales se toman cuatro características:
a) Flujo Uniforme: Todas las partículas del fluido tienen la misma velocidad al pasar
por un punto.
b) Flujo Irrotacional: Significa que un elemento de fluido (un volumen pequeño del
fluido) no tiene velocidad angular neta ( ω = 0) eliminando corrientes remolinos (el
flujo no es turbulento).
c) Flujo No viscoso: La viscosidad se desprecia. La viscosidad se refiere a una
fracción interna del fluido donde no existe fricción entre el fluido y paredes internas
del recipiente, donde la velocidad del centro del recipiente es mayor y menor en las
paredes del recipiente por fricción. (no se pierde energía)
d) Flujo Incomprensible: La densidad del flujo es constante (líquidos). Los gases son
incomprensibles, se basa en el principio de conservación de la masa y
conservación de la energía.
HIDRODINÁMICA
Líneas de flujo
Tubo de Flujo
b
a
A
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24
3.2. Ecuación de Continuidad
Si no perdidas de fluido dentro de un tubo uniforme, entonces la masa del fluido que fluye
dentro del tubo en un momento dado debe ser igual a la masa que fluye fuera del tubo en
el mismo tiempo. (Conservación de la masa )
Como Vm ∆=∆ ρ ; pero LAV ∆=∆ . y tvL .=∆ , entonces ( )tvAm ∆=∆ ,,ρ
Entra : ( )tvAm ∆=∆ ,, 1111 ρ
Sale : ( )tvAm ∆=∆ ,, 2222 ρ
Por el Principio de conservación de la masa:
21 mm ∆=∆
tvAtvA ∆=∆ 222111 ρρ
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
.constAv =ρ
Como el fluido es incomprensible , es decir: .const=ρ
ECUACIÓN DE GASTO: (m3/s) o (vol/seg)
La razón de flujo de volumen dV/dt. Es la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo.
h2
h1 ∆L1
V1
V2
F1 = P1A1
F2 = P2A2
∆L2
222111 vAvA ρρ =
2211 vAvA =
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25
3.3. Ecuación de Bernoulli
Tenemos: dtvdS 11 = dtvdS 22 =
El fluido es incomprensible
2211 vAvA =
2211 dSAdSAdV ==
Entonces: el trabajo P1 y P2
111 APF = y 222 APF =
FdSdw=
222111 dSAPdSAPW −=∆ ( )dVPPW 21 −=∆ (1)
Por Conservación de la Energía Cinética.
a y b c y d
111 dSAdV =
222 dSAdV =
11 dsAdm ρ=
22 dsAdm ρ=
2
111 )(2
11
vdsAEk ρ= 2
222 )(2
12
vdsAEk ρ=
)(2
1 2
1
2
2 vvdVEk −=∆ ρ (2)
Por Conservación de la Energía Potencial
a y b c y d
11 ygdVygdm ρ=
22 ygdVygdm ρ=
)( 12 yygdVE p −=∆ ρ (3)
Por el Principio de Conservación de la Energía,
De las ecuaciones (1), (2) y (3), tenemos: pk dEdEdW +=
( )dVPP 21 − )(2
1 2
1
2
2 vvdV −= ρ )( 12 yygdV −+ ρ
21 PP − 2
1
2
22
1
2
1vv ρρ −= 12 gyyg ρρ −+
ECUACIÓN DE BERNOULLI
h2
h1 dS1
V1
V2
F1 A1
A2 F2
dS2
a b
c d
2
2
221
2
112
1
2
1hgvPhgvP ρρρρ ++=++
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26
3.4. Teorema de Torricelli
De acuerdo a la gráfica, la sección A1 >> A2,
Aplicándole la ecuación de Bernoulli en los puntos (1) y (2) se tiene:
2
2
221
2
112
1
2
1hgvPhgvP ρρρρ ++=++
Como el deposito está en contacto con el aire se tiene que:
P1 = P2 = P0 , luego
2
2
201
2
102
1
2
1hgvPhgvP ρρρρ ++=++
ghvv 22
1
2
2 =−
Como 21 AA >> , entonces
21 vv << ⇒ 2
2
2
1
2
2 vvv =−
ghv 22
2 = ⇒ ghv 22 =
1
2
h1
h2
h
)(2 21
2
1
2
2 hhgvv −+=
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27
3.5. Medidor de Venturi
Este dispositivo sirve para determinar la velocidad de un fluido en un tubo. También
se usa para medir la velocidad de flujo de un líquido.
Aplicando la ecuación de Bernoulli tenemos:
2
2
221
2
112
1
2
1hgvPhgvP ρρρρ ++=++
Si el tubo esta horizontal: h1 = h2 tenemos:
2
22
2
112
1
2
1vPvP ρρ +=+ (3)
De la ecuación (3) si
12 vv > ⇒ 21 PP > (4)
Fig 4.
De la relación (4) nos permite afirmar que la figura 2.40: h1 > h2
P1 =P0 + ρ g h1; (5)
P2 =P0 + ρ g h2
Sustituyendo (5) en (3) tenemos:
h
h1
h2
1
2
P1 , A1 P2 , A2 V1 V2
1 V1 2 V2
h1 h2
Según el gráfico sabemos que V2 > V1 (Por ecuación de continuidad)
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28
2
2
201
2
102
1
2
1hgvPhgvP ρρρρ ++=++
hghhgvv ρρρ =−=− )()(2
121
2
1
2
2 (6)
De la ecuación (3) obtenemos:
)(2
1 2
1
2
221 vvPP −=− ρ (7)
De las ecuaciones (6) y (7) resulta que:
hgPP ρ=− 21 (8)
De la ecuacion (7) determinamos la velocidad del fluido que es:
)(2
21
2
1
2
2 PPvv −+=ρ
Aplicando la ecuación de continuidad tenemos:
2/1
21
2
122211 )(2
−+== PPvAvAvAρ
Elevando al cuadrado tenemos:
)(2
21
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1 PPAvAvA −+=ρ
( ) )(2
21
2
2
2
1
2
2
2
1 PPAvAA −=−ρ
( )
( )( )( )2
2
2
1
2122
2
2
1
21
2
21
22
AA
PPA
AA
PPAv
−−=
−−=
ρρ (9)
Sustituyendo la ecuación (8) en (9) se tiene:
( )2
2
2
1
21
2
AA
ghAv
−= (10)
CAUDAL : El caudal en el punto (1) según el gráfico tenemos:
( )2
2
2
1
2111
2
AA
ghAAvAC
−== (11)
OBSERVACIONES
2.7.1 La presión es mayor en la parte ancha del tubo
2.7.2 La velocidad es mayor en el estrechamiento.
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29
3.6. Tubo de Pitot
Se usa para medir la velocidad de un gas.
Consiste en un tubo manométrico abierto que se conecta a la tubería dentro del cual
circula el gas.
2
2
221
2
112
1
2
1hgvPhgvP ρρρρ ++=++
De la ecuación de Bernoulli a los puntos (1) y (2) del gráfico:
h1 = h2 = 0 (si la tubería es horizontal)
v1 = v y v2 = 0 (El gas dentro del tubo de Pitot se encuentra estático)
P1 + ½ ρ V1
2 = P2 (12)
2P1 + ρ V12 = 2 P2
ρ V12 = 2 P2 - 2 P1
( )
ρ21
1
2 PPv
−= (13)
Como el líquido ρ esta en reposo: P1 + ρ’ g h = P2 + ρ g h (14)
Y ρ’ > ρ.
P1 + ρ’gh = P2 (15)
De (15) en (12) tenemos:
ρ
ρ hgv
'21 = (16)
• Además la diferencia de presiones puede medirse por la deflexión del líquido
manométrico en el tubo Pitot.
1 2
V1 ρ V2
ρ’
h
H
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30
P4 = P3 + ρ’ g h (17)
• Debido a que el peso específico de un gas es muy pequeño, es posible despreciar
las variaciones de presión en un gas debido a las variaciones de altura.
P1 = P3 y P2 = P4
� P2 = P1 + ρ’ g h P2 - P1 = ρ’ g h
ρ’: Densidad del líquido manométrico.
3.7. Viscosidad
Todos los fluidos reales tienen resistencia interna al flujo, que se describen como
viscosidad, se puede considerar que la viscosidad es una fricción entre las
moléculas de un fluido.
• En los líquidos es ocasionada por las fuerzas cohesivas de corto alcance.
• En los gases, por las colisiones entre las moléculas. Por lo tanto el arrastre
viscoso o de líquidos y gases depende de la velocidad y puede ser
directamente proporcional a ella en algunos casos. La fricción interna causa
que las capas de fluido se muevan unas con respecto a otras en respuesta a
una tensión corte.
Fig. Flujo laminar (a)Una tensión al corte causa que las capas de fluido se muevan una sobre otra en flujo laminar.
La fuerza de cizalla y la velocidad de flujo dependen de la viscosidad del fluido. (b)Para el flujo laminar a través de un tubo, la velocidad del flujo es menor cerca de las paredes debido al arrastre friccionar entre las paredes y el fluido.
• Este movimiento en capas, llamado fluido laminar es característico del flujo
uniforme a velocidades bajas de los líquidos viscosos. A velocidades mayores
el flujo se convierte en rotacional, o turbulento.
La magnitud de la tensión cortante por un coeficiente de viscosidad, η.
Se define como relación entre el esfuerzo cortante, F/A, y la razón de
deformación:
1/
/tan
v
AF
ndeformaciódeRazón
tecorEsfuerzo ==η
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31
FLUJO DE LOS FLUIDOS VISCOSOS
La viscosidad en los fluidos se debe a atracciones entre las moléculas del líquido y la
de los sólidos que están en contacto con el.
El efecto de la viscosidad es hacer más lento el flujo y producir resistencias al
movimiento de objetos a través del fluido.
La fricción de un fluido aumenta conforme la velocidad aumenta y depende de las
formas de los objetos en contacto con el fluido y del fluido mismo (su densidad). El
coeficiente de viscosidad (η) aumenta con el aumento de temperatura para gases y en
líquidos la relación es inversa con la temperatura.
La ley fundamental de la viscosidad es que el valor de la fuerza de viscosidad es
proporcional al área y al gradiente de velocidad ( �
V/ �
y), que existe en lugar donde
esta situada el área de contacto (A) según la figura
∂∂−=y
vAF η
[ ] Poisesegcm
g ==.
η
l
vAF η=
OBSERVACIONES
1. Los fluidos fluyen con facilidad, como el agua y la gasolina, tienen menor
viscosidad que los líquidos “espesos” como la miel o el aceite de motor.
2. Las viscosidades de todos los fluidos dependen mucho de la temperatura,
aumentando para los gases y disminuyendo para los líquidos a medida que
aumenta la temperatura.
3. Un objetivo importante del diseño de aceites para lubricar motores es reducir la
variación de la viscosidad con la temperatura lo mas posible.
4. Unidades:
• La unidad de viscosidad es la fuerza por distancia, dividida entre la rapidez.
• La unidad en el S.I. es: 1 N.m / [ m/s] = 1N.s/m2 = 1 Pa.s
• La unidad en cgs, es: 1 din.s/cm2, es la unidad de viscosidad. Llamado Poise
1 Poise = 1 din.s/ cm2 = 10-1 N. s/m2
• También se usan el centipoises y el micropoise. La viscosidad del agua es de
1.79 centipoise a 0º C y de 0.28 centipoise a 100 ºC
• Los aceites lubricantes suelen tener viscosidades de 1 a 10 Poise, y la del aire a
20 ºC es de 181 micropoise.
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32
3.8. Ecuación de Poiseuille y Ley de Stokes
Fig. Perfil de velocidad para un fluido viscoso en un tubo de cilindro.
La figura muestra el perfil de rapidez de flujo para el flujo laminar de un fluido viscoso
en un tubo cilíndrico largo. La rapidez es máxima a lo largo del eje y cero en las
paredes.
El movimiento es como muchos tubos concéntricos deslizándose entre si, donde el
tubo central se mueve más rápidamente y el más exterior esta en reposo.
• Si aplicamos la ecuación:
===v
l
A
F
Av
lF
lv
AFH
/
/
( ) ( )2221
4vR
l
PP
A
lFv −−==
ηη
Donde P1 y P2, son las presiones en los dos extremos de un tubo de longitud L. La
rapidez en cualquier punto es proporcional al cambio de presión por unidad de
longitud, (P2 – P1)/L o dP/dX , llamado gradiente de presión.
Para calcular la razón de flujo total de volumen a través de un tubo, consideramos un
anillo con radio interior r, radio exterior r + dr y área transversal dA = 2π r.
• La razón de flujo de volumen a través de este elemento es v dA; la razón de
flujo total de volumen se obtiene integrando desde γ = 0 a r =R.
−
=
l
PPR
dt
dv 214
8 ηπ
que es la llamada ecuación de Poiseuille .
• Una esfera de radio r que se mueve con una rapidez v a través de un fluido con
viscosidad η experimenta una fuerza de resistencia viscosa F dada por la ley de
STOKES:
vrF ηπ6−=
R
L
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LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA II – ING. EN ENERGÍA
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3.9. Número de Reynolds
Cuando la velocidad de flujo de un fluido excede cierto valor, el flujo deja de ser laminar y
se convierte en turbulento.
El número de Reynolds sirve para determinar si el fluído de que se desplaza a través
de un tubo es o no laminar. Se define:
η
ρ LvR =
Donde ρρρρ es la densidad del fluido, v la rapidez promedio de flujo, L el diámetro de un
tubo o conducto cilíndrico y ηηηη la viscosidad.
R ≤ 2000 (Reynolds laminar)
R ≥ 3000 (Reynolds turbulento)
η : Viscosidad dinámica
ρη=v : Viscosidad cinemática
Matemáticamente, el Re es un parámetro adimensional que expresa la relación entre
las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad o de fricción en el interior de una
corriente.
Las fuerzas de inercia que actúan sobre un volumen L3 de corriente vienen dadas por
la ecuación de Newton: maF = 3.Lm ρ=
T
va=
Por lo tanto, T
vLF .. 3ρ= y como: ⇒=
T
Lv 22 .. vLF ρ= (*)
La fuerza de viscosidad tiene por ecuación: Sl
vFv ..η=
Por lo tanto, LvLL
vFv .... 2 ηη == (*)
El cociente entre las dos fuerzas es el Re:
η
ρη
ρ vL
vL
vL ..
..
..Re
22
==
2 3
0.5
0.7 0.8
máxv
v
Re
Régimen laminar
Régimen turbulento
Régimen transición
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La importancia del número de Reynolds no sólo radica en el hecho de poder determinar
la velocidad crítica que caracteriza el régimen de una corriente de líquido. También se
utiliza, para el cálculo de pérdidas de carga en conducciones
Ejemplos:
1) El cilindro y el tubo mostrado en la figura, contienen aceite de densidad relativa 0.902. Para una
lectura manométrica de 2.2 Kg-f/cm2, ¿Cuál es el peso total del pistón y el peso de la placa?
Presión en B = Presión en C
hPA
Wm
T γ+=
pistónmT WWW +=
Despejando WT y reemplazando los datos tenemos.
WT = 61 000kg-f.
2) Determinar la presión en el punto A para el manómetro inclinado mostrado en la figura.
Presión en B = Presión en C
0PhPA =+ γ
hPPA γ−= 0
85010033.1 4 −= xPA
2/948.0 cmfkgPA −=
El nivel en el tubo está mas bajo que el recipiente porque en éste está hacia el vacío.
B
1.8m
Pistón
W
1.8m
C
D
12.5cm
30º
Recipiente de Hg
B
Abierto a la atmósfera
C
A
A la cámara de vacío
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