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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA II

LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA II – ING. EN ENERGÍA

0 -

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA

FÍSICA II

CUADERNO Nº 01

PRIMERA UNIDAD

h2

h1 dS1

V1

V2

F1 A1

A2 F2

dS2

a b

c d

CICLO:

� III CICLO

E.A.P. :

� INGENIERÍA EN ENERGÍA

DOCENTE:

� LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY

NUEVO CHIMBOTE – PERÚ

2 0 0 9



1

1. ELASTICIDAD

1.1. SÓLIDOS

Se llaman sólidos a los cuerpos que se distinguen por tener forma y volumen definido, esto es

apreciado a nivel macroscopico.

A demás de las fuerzas que unen a las partículas de un sólido, el movimiento de dichas

partículas es muy importante. Las partículas de un sólido se mantienen en posiciones

relativamente fijas, debido a las fuerzas de enlace; sin embargo, poseen un movimiento de

vibración en torno a sus posiciones fijas. La amplitud de su vibración y la energía vibratoria

resultante se relacionan con la temperatura del sólido. Cuando la temperatura es baja, la

energía cinética es pequeña y cuando sube, ésta aumenta.

La capacidad de conservar la forma se llama Elasticidad de la forma , y viene a ser la

diferencia exterior principal entre los sólidos, los líquidos y los gases.

1.2. CLASES DE SÓLIDOS

Científicamente los sólidos se clasifican como cristalinos y amorfos

a) Sólidos cristalinos: sus partículas están distribuidas en estructuras regulares.

En los sólidos cristalinos, los átomos u otras partículas (moléculas) que los constituyen se

colocan en forma regular (obedeciendo a un orden) y periódica. Este orden es

determinado y característico para cada sustancia y se extiende a todo el volumen del

cuerpo (ordenamiento lejano).

Entre los sólidos cristalinos tenemos a los monocristales y policristales.

Monocristales: La características principal es su anisotropía, según el cual, posee

diferentes propiedades en diferentes direcciones.

Ejemplo: la anisotropía de las propiedades térmicas da como consecuencia de que los

coeficientes de dilatación lineal y de la conductividad térmica alcancen diversos valores

en diferentes direcciones.

Policristales: constituyen la mayoría de los sólidos, poseen estructura cristalina fina, es

decir, están formados por un gran número de cristales estrechamente unidos y dispuestos

caóticamente. Debido a la arbitraria orientación de los cristales un policristales no revela

propiedades anisotrópica, sino isotrópica, según la cual, sus propiedades son las mismas

en todas las direcciones.

Ejemplo: poseen estructura policristalina: las piedras, arena, metales, sales, etc.

b) Sólidos amorfos: sus partículas están distribuidas al azar

Son sustancias que no poseen estructura cristalina, aunque, a diferencia de los líquidos

tienen elasticidad (presenta módulo de rigidez). La característica principal consiste en

que carecen de un punto determinado de fusión; al aumentar la temperatura estos

cuerpos gradualmente se emblandecen su viscosidad disminuye y comienzan a

comportarse como líquidos viscosos corrientes.

Ejemplo: vidrio, resinas, etc.

ELASTICIDAD



2

1.3. PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS:

Los sólidos presentan las siguientes propiedades

a) Propiedades Físicas:

Tenemos:

a.1) Propiedades escalares: se determinan dando los valores numéricos de las

magnitudes físicas, ejemplo: la densidad, la capacidad calorífica, etc.

a.2) Propiedades Vectoriales: se determinan dando los valores que caracterizan sus

magnitudes en cada una de las tres direcciones características del cristal, ejemplo:

la constante dieléctrica relativa, las propiedades elásticas, etc.

b) Propiedades Mecánicas

Estas propiedades están relacionadas con la capacidad del material de soportar esfuerzos

mecánicos, entre las que tenemos:

b.1) Elasticidad: es propiedad que tienen los cuerpos de recuperar su forma y

dimensiones originales cuando la fuerza aplicada cesa de actuar.

b.2) Plasticidad: cuando al cesar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, este no

recupera su forma o dimensiones originales, parcial o totalmente.

b.3) Resistencia: es la medida del esfuerzo requerido para deformar (romper) un

material. La resistencia de un material para soportar deformaciones elásticas, se

llama resistencia a la tensión

b.5) Ductibilidad: es la cantidad de deformación plástica en el punto de ruptura. Una

medida de la ductibilidad de un material después de la fractura la suministra el

porcentaje de un alargamiento y también de la reducción del área.

b.6) Dureza: es la resistencia que ofrece el material a la penetración local, al rayado, al

trabajo de máquina, al desgaste o abrasión.

b.7) Fragilidad: es la propiedad opuesta a la plasticidad, y consiste en la capacidad que

posee el material para destruirse sin presentar deformaciones residuales.

b.8) Maleabilidad: es la propiedad que permite un material soportar deformaciones

plásticas bajo esfuerzos de comprensión. Los materiales maleables son aquellos

que se pueden convertir en láminas

Tº

Sólido cristalino

t

Tf Sólido amorfo



3

Cohesión y Adhesión:

El término general para designar a la fuerza de atracción entre moléculas del mismo

tipo es cohesión. Esta es la fuerza que mantiene unidas y muy compactadas a las

moléculas de un sólido; además es de corto alcance. Si se rompe un sólido, algunas

capas moléculas gaseosas del aire se enlazarán a las superficies rotas, con lo cual

impedirán que se vuelvan a unir las superficies del sólido. Las fuerzas de atracción

entre moléculas de tipos diferentes se denominan adhesión. Las fuerzas de cohesión y

adhesión tienen valores definidos para moléculas específicas.

1.4. DIAGRAMA DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN

Las propiedades elásticas se explican por lo común en términos de tensión y esfuerzo.

Tensión es una medida de la fuerza que causa una deformación. Esfuerzo es una

medida relativa de la deformación que causa una tensión. Cuantitativamente, tensión es

la fuerza aplicada por unidad de área transversal.

área

FuerzaTensión =

Donde F, es la magnitud de la fuerza normal (perpendicular) aplicada al área transversal.

La ecuación muestra que las unidades son Newton / metro2.

Como se ilustra en la figura anterior una fuerza aplicada en los extremos de una varilla da

lugar a una tensión de alargamiento, tensión que puede ser tensil o comprensional,

dependiendo de la dirección de la fuerza.

ESFUERZO:

Se define como una relación entre las fuerzas (tracción o comprensión) entre el área de

la sección transversal. Su notación es.

S

F=σ σ : tracción F: fuerza S :superficie

Deformación:

Son todas las variaciones que se producen en su longitud, superficie, volumen y forma.

- Deformación Unitaria ( ∆∆∆∆)

Es la relación entre la deformación lineal, superficial y volumétrica (∆L, ∆S, ∆V) y su

dimensión lineal (L0, S0, V0). Así tendremos deformación unitaria longitudinal,

superficial y volumétrica:

L0

Lf

∆L

F F

A

(a) Fuerza de tensión

L0

Lf

∆L

F F

A

(b) Fuerza de Comprensión



4

Deformación unitaria longitudinal: 0L

LL

∆=∆

Deformación unitaria superficial: 0S

SS

∆=∆

Deformación unitaria volumétrica: 0V

VV

∆=∆

- Deformación longitudinal o unilateral (E)

Para el caso de deformación longitudinal, se define el Módulo de Young:

allongitudinunitariandeformació

ncomprensióotensiónporesfuerzoE =

LS

FL

LL

SF

LE

∆=

∆=

∆= 0

0/

/σ

- Deformación Multilateral o volumétrica ( ββββ)

Si el cuerpo se somete a iguales esfuerzos de tracción o comprensión por todos los

lados, entonces el cuerpo sufrirá deformación volumétrica. En este caso se define el

módulo de comprensibilidad ( ββββ ) y el coeficiente de comprensibilidad ( χχχχ ).

Donde:

volumendeunitariadefor

presióndeiación

volumendeunitariandeformació

ovolumétricesfuerzo

.

var==β

L0

∆∆∆∆L

F S



5

∆∆=

∆∆=

0V

V

P

V

Pβ y β

χ 1=

- Deformación por Cizalladura o elasticidad de forma (ηηηη)

Esta deformación se produce cuando se aplican fuerzas opuestas a dos caras

contrarias del cuerpo, produciéndose un desplazamiento de planos paralelos en la

dirección de la fuerza:

η : módulo de rigidez

φση T

tecorndeformació

tecoresfuerzo ==tan

tan

desplazasequeer

gencialfuerza

.sup

tan=η

0. Lcarasdoslasentredist

ocorrimient γφ ==

La proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria es cierto por debajo de cierto

límite de proporcionalidad y depende de las propiedades del material. Por encima de éste

límite, la relación entre la deformación unitaria y el esfuerzo es más complicado. La siguiente

gráfica representa la relación entre el esfuerzo y la deformación

0A: Zona Elástica AB: Límite elástico BC: Zona plástica D : punto ruptura

BA

Diagrama de esfuerzo - deformación de un resorte

C

D

σσσσ

0 εεεε

Z

Y X

F

F



6

En la gráfica esfuerzo – deformación de una varilla metálica, la curva es una línea recta

hasta el punto llamado límite de proporcionalidad . Más allá de este punto, el esfuerzo

empieza a incrementarse con mayor rapidez hasta otro punto crítico, llamado límite

elástico . Si la tensión se retira en este punto, el material regresará a su longitud original.

Si la tensión es aplicada más allá del límite elástico y se retira, el material recupera algo,

pero mantiene cierta deformación permanente.

Como vemos en la gráfica la parte de la línea recta muestra una proporcionalidad directa

entre la tensión y el esfuerzo. Esta relación fue formalizada por primera vez por Robert

Hooke en 1678, y ahora se conoce como la ley de Hooke.

El módulo elástico para una tensión o una comprensión se llama Módulo de Young ( γγγγ):

ndeformació

esfuerzo=γ = Al

lF

.

.

∆=γ

ll

AF

/

/

∆=γ

Modulo de elasticidad para varios materiales (N/ m2)

SUSTANCIA Módulo de

Young (γγγγ)

Módulo de corte

(S)

Módulo de volumen

(B) Sólido

Aluminio

Latón

Cobre

Vidrio

Hierro

Acero

Líquido

Alcohol etílico

Mercurio

Agua

7.0 x 1010

9.0 x 1010

11 x 1010

5.7 x 1010

15 x 1010

20 x 1010

2.5 x 1010

3.5 x 1010

3.8 x 1010

2.4 x 1010

6.0 x 1010

8.2 x 1010

7.0 x 1010

7.5 x 1010

12 x 1010

4.0 x 1010

12 x 1010

15 x 1010

1.0 x 1010

26 x 1010

2.2 x 1010



7

LEY DE HOOKE

Cuando un cuerpo sufre una deformación, la fuerza deformadora es proporcional a la

deformación del cuerpo siempre y cuando el estiramiento no supere el límite elástico.

En el caso particular de la deformación longitudinal de un resorte, la fuerza deformadora es

proporcional a la elongación, Al resorte; en tal caso se dice que la deformación es elástica:

F = KL (1)

Donde K es la constante de proporcionalidad llamada constante de fuerza o constante

elástica que depende de la naturaleza del material y de la forma del resorte, y L es el

desplazamiento medido desde la posición de equilibrio, llamado también elongación.

Aplicamos Fr

sin aceleración ( 0=ar )

El resorte a su vez reacciona con una fuerza igual y opuesta:

KXF ±=´ : Ley de Hooke

F = Fuerza deformadora

F´ = Fuerza restauradora

K = constante elasticidad resorte

La ecuación (1) se conoce como Ley de Hooke. Como la ecuación (1) representa la

relación lineal entre la fuente F y el desplazamiento. La constante K resulta ser la pendiente

de la recta representativa de F vs L∆ .

∆L(m)

F(N)

K= pendiente

X

´Fr

Fr



8

2. HIDROSTÁTICA

2.1. ESTÁTICA DE FLUIDOS

La estática o mecánica de fluidos, estudia los fluidos en reposo en situaciones de equilibrio,

basados en las condiciones de equilibrio de Newton (1ra y 3ra). Los fluidos controlan el clima.

Fluido: es cualquier sustancia que pueda fluir, puede ser líquido o gases.

La estática de fluidos consta de las siguientes partes:

� Hidrostática: Estudia a los líquidos en reposo relativo.

� Neumostática: Estudia a los gases en reposo relativo

Los fluidos son substancias, idealizadamente un continuo de masa, donde su forma

puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas. Son

fluidos tanto los líquidos como los gases. Si se analizan las fuerzas que pueden actuar

sobre una porción de fluido, ellas son de dos tipos: causada por agentes exteriores,

típicamente el peso de él, y las causadas por el fluido que está en su exterior mediante

contacto. Es conveniente distinguir la parte de esa última fuerza que actúa normal a la

superficie, llamadas fuerzas debidas a la presión, de las fuerzas tangenciales o de

viscosidad. Estas fuerzas tangenciales actuando sobre la superficie del elemento de

fluido, no pueden ser equilibradas por fuerzas interiores, de modo que ellas causan

escurrimiento del fluido. Si nos limitamos a fluidos en reposo, las fuerzas tangenciales no

pueden existir.

2.2. Densidad ( ρ )

Es la característica principal de cualquier material y está definido como: su masa por

unidad de volumen:V

m=ρ ; kg/m3

La densidad depende de los factores ambientales: la temperatura y la presión.

2.3. Densidad relativa ( ρρρρr): Es un número adimensional, y es igual a la densidad de cualquier

sustancia entre la densidad del agua a 4ºC.

SUSTANCIA SÓLIDA

DENSIDAD (kg/m3)

SUSTANCIA LÍQUIDA

DENSIDAD (kg/m3)

SUSTANCIA GASEOSA

DENSIDAD (kg/m3)

Aluminio

Latón

Cobre

Vidrio

Oro

Hielo

Hierro

Plomo

Acero

Madera roble

2.7 x 103

8.7 x 103

8.9 x 103

2.6 x 103

19.3 x 103

0.92 x 103

7.9 x 103

11.4 x 103

7.8 x 103

0.81 x 103

Alcohol etílico

Alcohol metílico

Sangre

Plasma sanguíneo

Gasolina

Mercurio

Agua de mar (4 ºC)

Agua dulce (4 ºC)

0.79 x 103

0.82 x 103

1.05 x 103

1.03 x 103

0.68 x 103

13.6 x 103

1.03 x 103

1.00 x 103

Aire

Helio

Oxígeno

Vapor de

agua (100 ºC)

1.29 x 103

0.18 x 103

1.43 x 103

0.63 x 103

HIDROSTÁTICA



9

02H

sr ρ

ρρ =

2.4. Peso específico

El peso específico denotado por γ se define como el peso por unidad de volumen del

fluido, es decir:

gργ = ; donde la unidad S.I. será Nm−3

2.5. Presión (P)

Si una superficie se coloca en contacto con un fluido en equilibrio (en reposo) el fluido,

gas o líquido, ejerce fuerzas normales sobre la superficie.

Las fuerzas tangenciales que un fluido puede ejercer sobre una superficie se originan

cuando hay movimiento del fluido respecto a la superficie. Si sobre una superficie actúan

fuerzas normales distribuidas en forma continua, como se indica en la figura, se define la

presión actuando sobre algún punto de ella como la fuerza por unidad de área que actúa

sobre la superficie. Esta puede ser variable o constante de punto en punto de la

superficie. Por esa razón su definición involucra un elemento infinitésimo de área dA.

Fuerza de Presión

O sea la presión en el punto donde se ubica el elemento de área (infinitésimo) dA se define por

dA

dFP=

Como se verá más adelante, la presión en un fluido en equilibrio aumenta con la

profundidad, de modo que las presiones serán uniformes sólo en superficies planas

horizontales en el fluido. Si la fuerza total F está distribuida en forma uniforme sobre el

total de un área horizontal A como se indica en la figura, la presión en cualquier punto de

esa área será:

A

FP= (N/m2 = Pascal = Pa)

Fuerza distribuida uniformemente



10

Unidades: P0 = presión atmosférica = 1 atm. = 1.013 x 105 Pa

Bar = 1,0 × 105 Pa

1 mmHg = 133. 322Pa

Propiedades de la presión

La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones, esto es que

la fuerza que experimenta un elemento de área dentro de un fluido, no depende de la

orientación de ese elemento de área. Además la presión en un mismo plano horizontal en

el interior de un fluido en reposo, es la misma. Estas propiedades fueron enunciadas

como “principios” por Pascal, pero ahora pueden ser demostradas de modo muy simple

usando las leyes de la estática

Presión atmosférica

La atmósfera está constituida por aire, una mezcla en ciertas proporciones de Nitrógeno

y Oxígeno principalmente, que como toda substancia es atraída por el campo

gravitacional terrestre, es decir la atmósfera tiene peso. La atmósfera es un fluido de

varios kilómetros de altura, que producto de su peso, ejerce presión sobre todos los

objetos sumergidos en ella. Esta presión se denomina presión atmosférica y como

veremos, ella disminuye con la altura.

El famoso experimento de Torricelli, determinó por primera vez su valor. Considere un

tubo de vidrio de alrededor de 1m de longitud, cerrado en un extremo, lleno de mercurio,

un fluido el cual tiene una densidad de alrededor 13,6 g/cm−3. Tapando el extremo abierto

del tubo se invierte el tubo y se sumerge el extremo abierto en un recipiente que también

contiene mercurio. Si este experimento es realizado al nivel del mar, se logra una

situación de equilibrio como se indica en la figura, donde una altura de h = 76 cm de

mercurio (760mm) permanece equilibrada con vacío en su parte superior.

Barómetro de cubeta

F

F

F F

F F



11

0=∑ yF

( ) 0=−+− mgAdpPPA ; AhVm ρρ ==

( ) 0=−+− ghAAdpPPA ρ ; dyh=

0=−−− gAdyAdpPAPA ρ

0=−− gdydp ρ

gdy

dp ρ= o gdydp ρ−=

Un pequeño análisis de las fuerzas involucradas en el equilibrio de la columna

suspendida de mercurio, nos da el valor de la presión atmosférica Pa. Si A denota el área

basal de esa columna, la fuerza que actúa por abajo es PaA la cual equilibra el peso de la

columna de mercurio el cual es ρHg ghA de modo que Pa = ρHg gh = 760mmHg, puesto

que la altura suspendida es precisamente 760mmHg. Este experimento da origen al

llamado barómetro de mercurio y también a la unidad de presión llamada mmHg. Si la

presión atmosférica varía por cualquier razón, también lo hará la altura de la columna de

mercurio, constituyendo entonces este dispositivo, un aparato para medir la presión

atmosférica, directamente en mmHg

Presión de un Fluido

A

FP=

Vemos que la presión aumenta con la profundidad y disminuye con la altura.

P0 = 1 atm. = 1.013 x 105 Pa

Los aparatos para medir la presión atmosférica se llaman barómet ros , y los que

miden presión en general, se llaman manómetros

P1

h

Y1

dy

w PA

(P + dp)A

Y2

P2 = P0

12 yyh −= ; PP =1 ; 02 PP =

De: gdydp ρ−=

∫∫ −=2

1

2

1

y

y

p

p

gdydp ρ

( )120 yygPP −−=− ρ

( )120 yygPP −+= ρ

ghPP ρ+= 0



12

Manómetros

Son aparatos que sirven para medir la presión de los gases y de los líquidos. El tipo más

sencillo es el manómetro de tubo abierto, que es un tubo en forma de U.

Manómetro de mercurio

Barómetros

Son aparatos destinados a medir la presión atmosférica. El tipo más usual es el de

mercurio. Consiste esencialmente de un tubo cerrado en uno de sus extremos que

después de llenarse de Hg por el otro se invierte en una cubeta que contiene Hg.

Barómetro en U

2.6. Principio de Pascal

Cuando se aplica una presión en un punto de un líquido, ésta se transmite a todo el

líquido con rapidez y prácticamente sin disminuir su intensidad en todas las direcciones.

La prensa hidráulica se fundamenta en este principio: Tenemos dos recipientes

comunicados llenos de líquido, y tapados por sendos émbolos. En equilibrio, la presión



13

en el fondo de ambos recipientes debe ser la misma. Al ejercer una fuerza sobre el

primer émbolo, la presión añadida 1

1

1A

FP = , se transmite, según el principio de Pascal, al

resto del líquido, incluida la superficie del émbolo 2:

21 PP = →

2

2

1

1

A

F

A

F= →

1

1

2

2 FA

AF =

Como lo superficie del émbolo 2 es mayor que la del 1, conseguimos ejercer una fuerza

sobre 2 mayor que la que hemos hecho sobre 1. Así, ejerciendo poca fuerza, podemos

multiplicarla con este dispositivo.

Prensa Hidráulica

2.7. Vasos Comunicantes

Se denomina así, a los conocidos tubos en “U”, situación que se presenta similar, cuando

dos recipientes que contienen líquido, se comunican por su parte inferior.

Cuando los dos recipientes comunicados, tienen una sola clase de líquido, en ambas

ramas se alcanza la misma altura, independientemente de la forma de cada recipiente,

dado que la presión hidrostática en cualquier punto del fondo debe dar el mismo

resultado, cualquiera sea la rama por la que se calcule.

La paradoja hidrostática de la figura ilustra ésta situación:

De acuerdo al principio de vasos comunicantes todos los puntos a la misma altura tendrán la

misma presión. Es decir todos los puntos a la altura h1 tendrán la misma presión y las que se

encuentran a la altura h2 tendrán la misma presión. Para ambos casos deben estar los tubos en la

parte superior abierto.

P0 P0 P0 P0 P0 P0



14

La figura siguiente muestra un tubo con forma de “U”, conteniendo dos líquidos de

distinto peso específico

La diferente altura que los mismos alcanzan en cada rama del tubo por encima del nivel

de la interfase, está en relación inversamente proporcional a sus pesos específicos.

Estas alturas, las podemos relacionar entre sí, igualando la presión hidrostática en la

interfase:

aarr hh ρρ =

O bien como relación de alturas:

a

r

r

a

h

h

ρρ=

2.8. Principio de Arquímedes

Cuando un cuerpo sólido está en equilibrio en el interior de un fluido, él estará sometido a

fuerzas exteriores de dos tipos: su peso u otras fuerzas aplicadas, y además las fuerzas

distribuidas sobre su superficie causada por la presión dentro del fluido. Esas últimas

actúan normalmente a la superficie del cuerpo y su resultante vertical puede ser

fácilmente calculada. En efecto, si se considera la segunda de las figuras donde el

cuerpo no está presente, pero se ha marcado la región donde el cuerpo estaba, las

fuerzas sobre esa superficie imaginaria son naturalmente las mismas que actuaban sobre

el cuerpo. Pero ahora, ellas equilibran verticalmente al fluido encerrado por esa

superficie, de modo que la resultante vertical hacia arriba, debe igualar al peso del fluido

encerrado por dicha superficie. Se tiene entonces el llamado principio de Arquímides.

Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido, él experi menta una fuerza ascendente,

llamada fuerza de empuje, que es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.



15

En términos matemáticos, si V denota el volumen sumergido, ρL la densidad del líquido y

E la magnitud del empuje, entonces:

gVE Lρ=

CALCULO DEL EMPUJE:

Hay dos maneras de expresar el empuje (E), según los datos que se suministren:

a) En función del peso del cuerpo en el aire (WC) y de lo que aparenta pesar al

sumergirlo (WA); y

b) En función del peso específico del líquido Lρ y del volumen del cuerpo (VC).

a) Ac WWE −=

b) CLVE ρ=

Se presentan tres situaciones, según los valores relativos de peso y empuje referidas

a un cuerpo que se sumerge en un líquido:

1) E < WC El cuerpo se hunde.

2) E = WC El cuerpo permanece en equilibrio en el seno del líquido.

3) E > WC El cuerpo emerge parcialmente hasta que se equilibra: E = WC

En el caso en que el cuerpo sea macizo, podemos establecer para cada una de las

situaciones antes enunciadas, las siguientes relaciones:

1) Lρ < cρ (Peso específico del líquido menor que el del cuerpo).

2) Lρ = cρ (Peso específico del líquido igual que el del cuerpo).

3) Lρ > cρ (Peso específico del líquido mayor que el del cuerpo).



16

2.9. Tensión Superficial (N/m)

Las moléculas de un líquido ejercen pequeñas fuerzas de atracción, unas sobre las otras.

Aún cuando las moléculas son eléctricamente neutras. Dentro de un líquido, en el que cada

molécula está complemente rodeada de otras moléculas, la fuerza neta es cero.

A pesar de ello, para las moléculas de las superficies del líquido, no existen fuerzas de

atracción que actúen de arriba de la superficie hacia el interior del líquido (el efecto de las

moléculas de aire es pequeño y se considera despreciable). Como consecuencia las

moléculas de la capa superficial experimentan fuerzas netas debidas a las moléculas

vecinas, que están justo debajo de la superficie. Este impulso hacia abajo sobre las

moléculas de la superficie causa que el líquido se contraiga y resista ser estirado o roto,

propiedad que se llama tensión superficial.

(a) La fuerza neta sobre una molécula en el interior de un líquido es cero, debido a que está rodeada por otras moléculas. No obstante, una molécula en la superficie experimenta una fuerza neta que no vale cero, y que se debe a las fuerzas de atracción de las moléculas vecinas que están justo debajo de la superficie.

(b) Para formar una depresión superficial, se debe realizar un trabajo, ya que las moléculas que están más hacia el interior deben traerse a la superficie para incrementar el área. Como resultado, el área superficial actúa como una membrana elástica estirada, y la fuerza del peso de un objeto, como una aguja, es soportada por los componentes de la tensión superficial hacia arriba.

(c) Las patas del insecto hacen una depresión similar, y los componentes de la fuerza resultante hacia arriba permiten que el insecto camine sobre el agua.

(d) Debido a la tensión superficial, las gotitas de agua tienden a asumir la forma que haga mínima su área superficial; es decir, una esfera.

Si una aguja para coser se coloca cuidadosamente sobre la superficie de un cuenco de

agua, la superficie actúa como una membrana elástica bajo tensión. Hay una ligera

depresión en la superficie, y las fuerzas moleculares a lo largo de la depresión forman un

ángulo con la superficie (figura b). Los componentes verticales de estas fuerzas

equilibran el peso (mg) de la aguja y ésta flota" sobre la superficie. Similarmente la

tensión superficial soporta el peso de un andador en agua (figura c).

El efecto neto de la tensión superficial es hacer que el área de la superficie de un líquido

sea tan pequeña como sea posible. Esto es, un volumen dado de líquido tiende a

adoptar la forma que tiene el área superficial menor. Como resultado, las gotas de agua

y las burbujas de jabón tienen formas esféricas, porque la esfera es la forma con el área

(a)

Gota de agua

(b)

F

mg

F

(c)

(d)



17

superficial menor para un volumen dado (figura d). Al formarse una gota o una burbuja,

la tensión superficial tira de las moléculas a reunirías para minimizar el área superficial.

Cuantitativamente, la tensión superficial (γ) en una película líquida se define como la

fuerza por unidad de longitud que actúa a lo largo de una línea (por ejemplo, a lo largo de

un alambre) cuando se estira la superficie:

L

F=γ (Tensión superficial)

En el cuadro se dan las tensiones superficiales de algunos líquidos. Como se puede

esperar, la tensión superficial es dependiente en grado elevado de la temperatura.

En la figura se muestra un aparato que se utiliza para medir la tensión superficial.

Básicamente, el dispositivo mide la fuerza que se requiere para superar la tensión

superficial. Para un aro circular de alambre, L es la longitud de la circunferencia y

γγγγ = F/2L, debido a que hay dos superficies de película (una de cada lado del alambre).

Otra forma de estudiar la tensión superficial es en términos del trabajo o la energía

necesarios para estirar el área superficial. Si se utiliza un pedazo recto de alambre de

longitud L para estirar una superficie una distancia paralela Ax, el trabajo hecho contra la

tensión superficial es:

AXLXFW ∆=∆=∆=∆ γγ

Dado que

LF γ= y XLA ∆=∆ ( el cambio en el área superficial). Así tenemos que:

A

W

∆∆=γ

La tensión superficial, o fuerza por unidad de longitud, es equivalente al trabajo por

unidad de cambio en el área de la superficie, con unidades de J/m2.



18

Cuadro. Tensiones superficiales de algunos líquidos (N /m)

Líquido Temperatura Tensión superficial

(γγγγ) Al c oho l e t í l i c o Sang re en te ra P l asm a s a ngu íneo M erc u r i o Agua j ab onos a Agua Agua Agua

(20 ºC ) (37 ºC ) (37 ºC ) (20 ºC ) (20 ºC ) (0 ºC)

(20 ºC ) (100 ºC )

0 .022 0 .058 0 .072 0 .45

0 .025 0 .076 0 .073 0 .059

2.10. ADHESIÓN, COHESIÓN Y ACCIÓN CAPILAR

Observe la tensión superficial relativamente baja que se presenta en el cuadro 1.2 para el

agua jabonosa. Los jabones y los detergentes tienen el efecto de abatir la tensión

superficial. Tales sustancias se denominan tenso activas. La tensión superficial

relativamente elevada del agua simple tiende a evitar que se introduzca en lugares

pequeños, como entre las fibras de la ropa. (También puede ver en el cuadro por qué

generalmente se utiliza agua caliente para lavar.)

Los jabones y los detergentes también actúan como agentes humectantes. El que

un líquido "humedezca", se adhiera, o no a una superficie, depende de las tensiones

relativas de las fuerzas adhesivas y cohesivas entre las moléculas. Las fuerzas

adhesivas (o de cohesión) son fuerzas de atracción entre moléculas diferentes. Las

fuerzas cohesivas (o de cohesión) son fuerzas atrayentes entre moléculas semejantes.

Las fuerzas cohesivas mantienen reunida una sustancia, y las fuerzas adhesivas

mantienen juntas a sustancias diferentes. (Fuerzas adhesivas como las de la cola

que se usa como pegamento, mantienen juntas las cosas.)

Si las fuerzas adhesivas entre las moléculas de un líquido y las de la superficie

son mayores que las fuerzas cohesivas entre las moléculas del líquido, el líquido

mojará la superficie. Por otro lado, si las fuerzas cohesivas son mayores que las

fuerzas adhesivas, el líquido no humedecerá la superficie. Las gotas de agua sobre

un automóvil recién encerado son un buen ejemplo de esto último. El agua no se adhiere

bien a las ceras ni a los aceites sobre una superficie.

(Este fenómeno, así como la tensión superficial, ayuda a los insectos zapateros a

caminar sobre el agua. Las patas de los insectos están cubiertas de una sustancia

parecida a la cera, que evita que se mojen.)



19

Aunque las fuerzas cohesivas y las adhesivas son difíciles de analizar, una

medida relativa de sus efectos es el ángulo de contacto (Φ). Éste es el ángulo entre

la superficie y una línea que se traza tangente al líquido (figura 1). Observe

en la figura que (Φ es menor de 90° si el líquido moja la superficie, y m ayor de 90° si

no la moja. El agua sobre un vidrio limpio tiene un ángulo de contacto de

aproximadamente de 0° (se esparce en una capa delga da), y el agua sobre parafina tiene

un ángulo de contacto de 107°. Un poco de detergent e en la parafina causa que el agua

se esparza, o que moje la superficie, y el ángulo de contacto decrece. La acción

limpiadora de los jabones y los detergentes se debe en gran parte al refuerzo que causan

sobre la capacidad del agua para mojar las partículas de suciedad de modo que se

puedan quitar.

En un recipiente, la superficie libre de líquido se curva hacia arriba (es cóncava)

si el líquido moja la pared del recipiente y se curva hacia abajo (es convexa) si no la

moja (figura 2).La forma curva de la superficie del líquido recibe el nombre de

menisco (de una palabra griega que significa "Luna creciente"). Si un tubo con un

diámetro pequeño se coloca verticalmente con un extremo sumergido en un líquido

que moje sus paredes, el líquido subirá por el tubo cierta distancia sobre la superficie

del líquido que lo rodea. Esto se denomina acción capilar (o capilaridad) y es una

consecuencia de la tensión superficial y de la adhesión. En esencia, la adhesión

atrae las moléculas de agua a los lados del tubo, y la cohesión (tensión superficial)

empuja esta columna hacia arriba.

Fig. 1. Angulo de contacto. Una medida relativa de fuerzas adhesivas y cohesivas es el ángulo de contacto. (a) un ángulo φ menor que 90º significa que

el líquido moja la superficie, e indica que las fuerzas adhesivas son mayores que las fuerzas cohesivas.

(b) cuando φ es igual a 90º la gota forma

un hemisferio. (c) un ángulo φ mayor que 90º significa

que el líquido no moja la superficie, e indica que las fuerzas adhesivas son mayores que la fuerzas de cohesión.



20

Fig 2. Acción capilar.

(a) Los líquidos ascienden por los

tubos pequeños (capilares) debido

a la adhesión (humectación) y la

tensión superficial. La fuerza hacia

arriba (equilibrada por el peso de

la columna líquida) y el ángulo de

contacto se muestran en un tubo.

(b) Si un líquido no moja un tubo

capilar, hay una depresión en la

columna .

Como era de esperarse, la altura a la cual se eleva el líquido por el tubo capilar

depende del diámetro. (Capilar viene de una palabra latina que significa "como

cabello". Los vasos sanguíneos más delgados se llaman capilares y son tan angostos

que las células sanguíneas pasan a través de ellos en una sola fila.) En el equilibrio, el

componente de la fuerza de la tensión superficial y la fuerza del peso hacia abajo de la

columna del líquido deben ser de igual magnitud. La fuerza de la tensión superficial es

( )rLF πγγ 2==

en donde L = 2π r dado que el líquido está en contacto con el tubo en todos los puntos

de la circunferencia. El componente vertical de esta fuerza tiene una magnitud de:

( )( )φπγφ cos2cos rF =

El peso de la columna de líquido está dado por

( )ghrgVgmw 2πρρ ===

En donde la masa en términos de la densidad es m = ρV, y el volumen del cilindro del

líquido es V = π r2 h. (La presión atmosférica no se toma en consideración debido a que

es la misma en ambas superficies). Al igualar las magnitudes de estas fuerzas (F cos Φ

= w) y resolviendo para h, tenemos:

rg

hρ

φγ cos2=



21

Un análisis similar para la depresión capilar, se presenta cuando el líquido no moja la

superficie del tubo, da la misma ecuación. En este caso, Φ es mayor que 90º, y h es

negativa.

Cuadro. Angulo de contacto para algunos líquidos so bre sólidos

Líquido-Sólido Ángulo de contacto

(Φ) (aproximado)

Alcohol-Vidrio

Queroseno-Vidrio

Mercurio-Vidrio

Agua-Vidrio

Agua-Plata

Agua-Parafina

0º

26º

140º

0º

90º

107º

Ejemplos

1) Las densidades del aire, helio o hidrógeno (en condiciones normales) son respectivamente 0.00129

gr/ cm3, 0.000178 gr/cm3 y 0.0000899 gr/cm3.

a) ¿Cuál es el volumen en metros cúbicos desplazado por un dirigible lleno de hidrógeno que

tiene una fuerza ascensional total de 10 toneladas?

b) ¿Cuál sería la fuerza ascensional si se utilizara el helio en vez de hidrógeno?

Solución:

F = Fuerza ascensional resultante = Empuje hidrostático – Peso dirigible

Además V = 107 x 980 dinas (0.00129 – 0.0000899) gr/cm3 980 cm/s2

= 107 cm3 = 8.33 x 109 cm3

1.2x10-3

= 8330 m3

b. FHe = ρa g V - ρHe g V

= (0.00129 – 0.000178) gr/cm3 x 980 cm/sg2 x 109 cm3 = 9.0776 x 109 dinas = 9.26 x 106 gr-f

= 9.26 tonelada

a. Fh = E – W

= ρ a gV - ρH g V = 107 gr f

(10 toneladas: 104 kg : 10

7 gr)

W

E



22

2) En un tubo hay capa de aceite de oliva de 2m de espesor, que flota sobre una capa de agua de 1.5

m de espesor. La cual a su vez esta sobre una capa de mercurio de 0.5 m. La superficie libre del

aceite esta sujeto a la presión atmosférica. ¿Cuál será el valor de la presión absoluta en la

superficie interior del mercurio?. La densidad relativa del aceite de oliva es 0.92 y la del mercurio

13.6

Solución:

P3 = P0 + ρac g hac + ρH2o g hH2o + ρHg g hHg

P3 = Po + g( ρac hac + ρH20 h H20 + ρHg hHg)

= 1.01 x 105 N/m2 + 9.8 m/sg2 (0.92 x 2 x 1 x 1,5 + 13.6 x 0.5) x 103 Kg/m3

P3 = 2 x 105 N/m2

3) A un estudiante se le asigna la tarea de diseñar un globo esférico cuya capacidad bruta de carga

sea de 4 900 N, lo que corresponde a una masa de 500 kg que incluye la masa del propio

aeróstato. El globo se llenará con hidrógeno. Hallar el radio mínimo que deberá tener el globo

para levantar esa carga total. (ρaire = 1.293 kg/m3 ), (ρH = 0.090 kg/m3)

Solución:

0.5m ρHg

P3 = P2 ρg g h Hg

2m ρac

1.5 m ρH20

P0

P1 = P0 + ρac g hac

P2 = P1 + ρH2o g hH2o P2 = P0 + ρac g hac + ρH2o hH2o

m Hg

4 900 N

E aire

r

F = 4 900 N

Eaire – mHg = 4 900 N

Ρaire g A V - ρH g V = 4 900 N

Vg (ρaire - ρH) = 4 900 N ; V = 4 πr3

3

mg

xr

Hgaire

63.4)(4

490033 =

−=

ρρπ



23

3. HIDRODINÁMICA

3.1. Fluidos: es cualquier sustancia que pueda fluir, puede ser líquido o gases.

El flujo de los fluidos puede ser de régimen estacionario o de régimen variado.

- Flujo estacionario: Cuando la velocidad del fluido vr

en cualquier punto dado se

conserva constante en el transcurso del tiempo.

Cuando el movimiento es de tipo estacionario, cada partícula que pasa por un punto

tal como P; sigue exactamente la misma trayectoria que las partículas precedentes

que pasaron por dicho punto.

Para hacer una descripción de la dinámica de fluido se trabaja con flujos ideales, los

cuales se toman cuatro características:

a) Flujo Uniforme: Todas las partículas del fluido tienen la misma velocidad al pasar

por un punto.

b) Flujo Irrotacional: Significa que un elemento de fluido (un volumen pequeño del

fluido) no tiene velocidad angular neta ( ω = 0) eliminando corrientes remolinos (el

flujo no es turbulento).

c) Flujo No viscoso: La viscosidad se desprecia. La viscosidad se refiere a una

fracción interna del fluido donde no existe fricción entre el fluido y paredes internas

del recipiente, donde la velocidad del centro del recipiente es mayor y menor en las

paredes del recipiente por fricción. (no se pierde energía)

d) Flujo Incomprensible: La densidad del flujo es constante (líquidos). Los gases son

incomprensibles, se basa en el principio de conservación de la masa y

conservación de la energía.

HIDRODINÁMICA

Líneas de flujo

Tubo de Flujo

b

a

A



24

3.2. Ecuación de Continuidad

Si no perdidas de fluido dentro de un tubo uniforme, entonces la masa del fluido que fluye

dentro del tubo en un momento dado debe ser igual a la masa que fluye fuera del tubo en

el mismo tiempo. (Conservación de la masa )

Como Vm ∆=∆ ρ ; pero LAV ∆=∆ . y tvL .=∆ , entonces ( )tvAm ∆=∆ ,,ρ

Entra : ( )tvAm ∆=∆ ,, 1111 ρ

Sale : ( )tvAm ∆=∆ ,, 2222 ρ

Por el Principio de conservación de la masa:

21 mm ∆=∆

tvAtvA ∆=∆ 222111 ρρ

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

.constAv =ρ

Como el fluido es incomprensible , es decir: .const=ρ

ECUACIÓN DE GASTO: (m3/s) o (vol/seg)

La razón de flujo de volumen dV/dt. Es la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo.

h2

h1 ∆L1

V1

V2

F1 = P1A1

F2 = P2A2

∆L2

222111 vAvA ρρ =

2211 vAvA =



25

3.3. Ecuación de Bernoulli

Tenemos: dtvdS 11 = dtvdS 22 =

El fluido es incomprensible

2211 vAvA =

2211 dSAdSAdV ==

Entonces: el trabajo P1 y P2

111 APF = y 222 APF =

FdSdw=

222111 dSAPdSAPW −=∆ ( )dVPPW 21 −=∆ (1)

Por Conservación de la Energía Cinética.

a y b c y d

111 dSAdV =

222 dSAdV =

11 dsAdm ρ=

22 dsAdm ρ=

2

111 )(2

11

vdsAEk ρ= 2

222 )(2

12

vdsAEk ρ=

)(2

1 2

1

2

2 vvdVEk −=∆ ρ (2)

Por Conservación de la Energía Potencial

a y b c y d

11 ygdVygdm ρ=

22 ygdVygdm ρ=

)( 12 yygdVE p −=∆ ρ (3)

Por el Principio de Conservación de la Energía,

De las ecuaciones (1), (2) y (3), tenemos: pk dEdEdW +=

( )dVPP 21 − )(2

1 2

1

2

2 vvdV −= ρ )( 12 yygdV −+ ρ

21 PP − 2

1

2

22

1

2

1vv ρρ −= 12 gyyg ρρ −+

ECUACIÓN DE BERNOULLI

h2

h1 dS1

V1

V2

F1 A1

A2 F2

dS2

a b

c d

2

2

221

2

112

1

2

1hgvPhgvP ρρρρ ++=++



26

3.4. Teorema de Torricelli

De acuerdo a la gráfica, la sección A1 >> A2,

Aplicándole la ecuación de Bernoulli en los puntos (1) y (2) se tiene:

2

2

221

2

112

1

2


Como el deposito está en contacto con el aire se tiene que:

P1 = P2 = P0 , luego

2

2

201

2

102

1

2


ghvv 22

1

2

2 =−

Como 21 AA >> , entonces

21 vv << ⇒ 2

2

2

1

2

2 vvv =−

ghv 22

2 = ⇒ ghv 22 =

1

2

h1

h2

h

)(2 21

2

1

2

2 hhgvv −+=



27

3.5. Medidor de Venturi

Este dispositivo sirve para determinar la velocidad de un fluido en un tubo. También

se usa para medir la velocidad de flujo de un líquido.

Aplicando la ecuación de Bernoulli tenemos:

2

2

221

2

112

1

2


Si el tubo esta horizontal: h1 = h2 tenemos:

2

22

2

112

1

2

1vPvP ρρ +=+ (3)

De la ecuación (3) si

12 vv > ⇒ 21 PP > (4)

Fig 4.

De la relación (4) nos permite afirmar que la figura 2.40: h1 > h2

P1 =P0 + ρ g h1; (5)

P2 =P0 + ρ g h2

Sustituyendo (5) en (3) tenemos:

h

h1

h2

1

2

P1 , A1 P2 , A2 V1 V2

1 V1 2 V2

h1 h2

Según el gráfico sabemos que V2 > V1 (Por ecuación de continuidad)



28

2

2

201

2

102

1

2


hghhgvv ρρρ =−=− )()(2

121

2

1

2

2 (6)

De la ecuación (3) obtenemos:

)(2

1 2

1

2

221 vvPP −=− ρ (7)

De las ecuaciones (6) y (7) resulta que:

hgPP ρ=− 21 (8)

De la ecuacion (7) determinamos la velocidad del fluido que es:

)(2

21

2

1

2

2 PPvv −+=ρ

Aplicando la ecuación de continuidad tenemos:

2/1

21

2

122211 )(2

−+== PPvAvAvAρ

Elevando al cuadrado tenemos:

)(2

21

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1 PPAvAvA −+=ρ

( ) )(2

21

2

2

2

1

2

2

2

1 PPAvAA −=−ρ

( )

( )( )( )2

2

2

1

2122

2

2

1

21

2

21

22

AA

PPA

AA

PPAv

−−=

−−=

ρρ (9)

Sustituyendo la ecuación (8) en (9) se tiene:

( )2

2

2

1

21

2

AA

ghAv

−= (10)

CAUDAL : El caudal en el punto (1) según el gráfico tenemos:

( )2

2

2

1

2111

2

AA

ghAAvAC

−== (11)

OBSERVACIONES

2.7.1 La presión es mayor en la parte ancha del tubo

2.7.2 La velocidad es mayor en el estrechamiento.



29

3.6. Tubo de Pitot

Se usa para medir la velocidad de un gas.

Consiste en un tubo manométrico abierto que se conecta a la tubería dentro del cual

circula el gas.

2

2

221

2

112

1

2


De la ecuación de Bernoulli a los puntos (1) y (2) del gráfico:

h1 = h2 = 0 (si la tubería es horizontal)

v1 = v y v2 = 0 (El gas dentro del tubo de Pitot se encuentra estático)

P1 + ½ ρ V1

2 = P2 (12)

2P1 + ρ V12 = 2 P2

ρ V12 = 2 P2 - 2 P1

( )

ρ21

1

2 PPv

−= (13)

Como el líquido ρ esta en reposo: P1 + ρ’ g h = P2 + ρ g h (14)

Y ρ’ > ρ.

P1 + ρ’gh = P2 (15)

De (15) en (12) tenemos:

ρ

ρ hgv

'21 = (16)

• Además la diferencia de presiones puede medirse por la deflexión del líquido

manométrico en el tubo Pitot.

1 2

V1 ρ V2

ρ’

h

H



30

P4 = P3 + ρ’ g h (17)

• Debido a que el peso específico de un gas es muy pequeño, es posible despreciar

las variaciones de presión en un gas debido a las variaciones de altura.

P1 = P3 y P2 = P4

� P2 = P1 + ρ’ g h P2 - P1 = ρ’ g h

ρ’: Densidad del líquido manométrico.

3.7. Viscosidad

Todos los fluidos reales tienen resistencia interna al flujo, que se describen como

viscosidad, se puede considerar que la viscosidad es una fricción entre las

moléculas de un fluido.

• En los líquidos es ocasionada por las fuerzas cohesivas de corto alcance.

• En los gases, por las colisiones entre las moléculas. Por lo tanto el arrastre

viscoso o de líquidos y gases depende de la velocidad y puede ser

directamente proporcional a ella en algunos casos. La fricción interna causa

que las capas de fluido se muevan unas con respecto a otras en respuesta a

una tensión corte.

Fig. Flujo laminar (a)Una tensión al corte causa que las capas de fluido se muevan una sobre otra en flujo laminar.

La fuerza de cizalla y la velocidad de flujo dependen de la viscosidad del fluido. (b)Para el flujo laminar a través de un tubo, la velocidad del flujo es menor cerca de las paredes debido al arrastre friccionar entre las paredes y el fluido.

• Este movimiento en capas, llamado fluido laminar es característico del flujo

uniforme a velocidades bajas de los líquidos viscosos. A velocidades mayores

el flujo se convierte en rotacional, o turbulento.

La magnitud de la tensión cortante por un coeficiente de viscosidad, η.

Se define como relación entre el esfuerzo cortante, F/A, y la razón de

deformación:

1/

/tan

v

AF

ndeformaciódeRazón

tecorEsfuerzo ==η



31

FLUJO DE LOS FLUIDOS VISCOSOS

La viscosidad en los fluidos se debe a atracciones entre las moléculas del líquido y la

de los sólidos que están en contacto con el.

El efecto de la viscosidad es hacer más lento el flujo y producir resistencias al

movimiento de objetos a través del fluido.

La fricción de un fluido aumenta conforme la velocidad aumenta y depende de las

formas de los objetos en contacto con el fluido y del fluido mismo (su densidad). El

coeficiente de viscosidad (η) aumenta con el aumento de temperatura para gases y en

líquidos la relación es inversa con la temperatura.

La ley fundamental de la viscosidad es que el valor de la fuerza de viscosidad es

proporcional al área y al gradiente de velocidad ( �

V/ �

y), que existe en lugar donde

esta situada el área de contacto (A) según la figura

∂∂−=y

vAF η

[ ] Poisesegcm

g ==.

η

l

vAF η=

OBSERVACIONES

1. Los fluidos fluyen con facilidad, como el agua y la gasolina, tienen menor

viscosidad que los líquidos “espesos” como la miel o el aceite de motor.

2. Las viscosidades de todos los fluidos dependen mucho de la temperatura,

aumentando para los gases y disminuyendo para los líquidos a medida que

aumenta la temperatura.

3. Un objetivo importante del diseño de aceites para lubricar motores es reducir la

variación de la viscosidad con la temperatura lo mas posible.

4. Unidades:

• La unidad de viscosidad es la fuerza por distancia, dividida entre la rapidez.

• La unidad en el S.I. es: 1 N.m / [ m/s] = 1N.s/m2 = 1 Pa.s

• La unidad en cgs, es: 1 din.s/cm2, es la unidad de viscosidad. Llamado Poise

1 Poise = 1 din.s/ cm2 = 10-1 N. s/m2

• También se usan el centipoises y el micropoise. La viscosidad del agua es de

1.79 centipoise a 0º C y de 0.28 centipoise a 100 ºC

• Los aceites lubricantes suelen tener viscosidades de 1 a 10 Poise, y la del aire a

20 ºC es de 181 micropoise.



32

3.8. Ecuación de Poiseuille y Ley de Stokes

Fig. Perfil de velocidad para un fluido viscoso en un tubo de cilindro.

La figura muestra el perfil de rapidez de flujo para el flujo laminar de un fluido viscoso

en un tubo cilíndrico largo. La rapidez es máxima a lo largo del eje y cero en las

paredes.

El movimiento es como muchos tubos concéntricos deslizándose entre si, donde el

tubo central se mueve más rápidamente y el más exterior esta en reposo.

• Si aplicamos la ecuación:

===v

l

A

F

Av

lF

lv

AFH

/

/

( ) ( )2221

4vR

l

PP

A

lFv −−==

ηη

Donde P1 y P2, son las presiones en los dos extremos de un tubo de longitud L. La

rapidez en cualquier punto es proporcional al cambio de presión por unidad de

longitud, (P2 – P1)/L o dP/dX , llamado gradiente de presión.

Para calcular la razón de flujo total de volumen a través de un tubo, consideramos un

anillo con radio interior r, radio exterior r + dr y área transversal dA = 2π r.

• La razón de flujo de volumen a través de este elemento es v dA; la razón de

flujo total de volumen se obtiene integrando desde γ = 0 a r =R.

−

=

l

PPR

dt

dv 214

8 ηπ

que es la llamada ecuación de Poiseuille .

• Una esfera de radio r que se mueve con una rapidez v a través de un fluido con

viscosidad η experimenta una fuerza de resistencia viscosa F dada por la ley de

STOKES:

vrF ηπ6−=

R

L



33

3.9. Número de Reynolds

Cuando la velocidad de flujo de un fluido excede cierto valor, el flujo deja de ser laminar y

se convierte en turbulento.

El número de Reynolds sirve para determinar si el fluído de que se desplaza a través

de un tubo es o no laminar. Se define:

η

ρ LvR =

Donde ρρρρ es la densidad del fluido, v la rapidez promedio de flujo, L el diámetro de un

tubo o conducto cilíndrico y ηηηη la viscosidad.

R ≤ 2000 (Reynolds laminar)

R ≥ 3000 (Reynolds turbulento)

η : Viscosidad dinámica

ρη=v : Viscosidad cinemática

Matemáticamente, el Re es un parámetro adimensional que expresa la relación entre

las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad o de fricción en el interior de una

corriente.

Las fuerzas de inercia que actúan sobre un volumen L3 de corriente vienen dadas por

la ecuación de Newton: maF = 3.Lm ρ=

T

va=

Por lo tanto, T

vLF .. 3ρ= y como: ⇒=

T

Lv 22 .. vLF ρ= (*)

La fuerza de viscosidad tiene por ecuación: Sl

vFv ..η=

Por lo tanto, LvLL

vFv .... 2 ηη == (*)

El cociente entre las dos fuerzas es el Re:

η

ρη

ρ vL

vL

vL ..

..

..Re

22

==

2 3

0.5

0.7 0.8

máxv

v

Re

Régimen laminar

Régimen turbulento

Régimen transición



34

La importancia del número de Reynolds no sólo radica en el hecho de poder determinar

la velocidad crítica que caracteriza el régimen de una corriente de líquido. También se

utiliza, para el cálculo de pérdidas de carga en conducciones

Ejemplos:

1) El cilindro y el tubo mostrado en la figura, contienen aceite de densidad relativa 0.902. Para una

lectura manométrica de 2.2 Kg-f/cm2, ¿Cuál es el peso total del pistón y el peso de la placa?

Presión en B = Presión en C

hPA

Wm

T γ+=

pistónmT WWW +=

Despejando WT y reemplazando los datos tenemos.

WT = 61 000kg-f.

2) Determinar la presión en el punto A para el manómetro inclinado mostrado en la figura.

Presión en B = Presión en C

0PhPA =+ γ

hPPA γ−= 0

85010033.1 4 −= xPA

2/948.0 cmfkgPA −=

El nivel en el tubo está mas bajo que el recipiente porque en éste está hacia el vacío.

B

1.8m

Pistón

W

1.8m

C

D

12.5cm

30º

Recipiente de Hg

B

Abierto a la atmósfera

C

A

A la cámara de vacío

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