Repaso Temas 9 y 10 (limites y derivadas de funciones)
Ejercicio nº 1.-
Halla el límite cuando x →+∞ y cuando x →−∞∞ de la siguiente función y representalos resultados que obtengas:
Solución:
Ejercicio nº 2.-
Estudia la continuidad de la función:
Solución:
Si x ≠0 la función es continua.
Ejercicio nº 3.-
Halla las asíntotas de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
Solución:
La función no tiene asíntotas verticales porque Dom f R
La función tiene una asíntota oblicua, y 5x 1, porque
Estudiamos la posición de la curva respecto a la asíntota oblicua
Por tanto, la posición de la curva respecto a las asíntotas es
Ejercicio nº 4.-
Halla el valor de a y b para que las rectas x 2, y 5 sean asíntotas de la función:
Solución:
El denominador de f(x) se anula en
Para que x 2 pueda ser asíntota vertical de f x, debe ser:
Para que y 5 sea asíntota horizontal de f x debe ser
(Observamos que para x 2 se anula el denominador, pero no el numerador; luego, x 2 es una asíntota vertical de f x
Ejercicio nº 5.-
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
Solución:
Ejercicio nº 6.-
Calcula a para que la función fx sea continua en x 1:
Solución:
Ejercicio nº 7.-
Halla las asíntotas de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
Solución:
La función tiene asíntotas verticales en x 2 y x 2 Estudiamos la posición de la curva respecto a ella
La función tiene asíntota oblicua y 2x porque
Estudiamos la posición de la curva respecto a la asíntota oblicua
Por tanto, la posición de la curva respecto a las asíntotas es
Ejercicio nº 8.-
Calcula la derivada de las funciones siguientes:
Solución:
Ejercicio nº 9.-
Halla f´(x) para la función:
Solución:
Ejercicio nº 10.-
Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:
f(x) x3 6x2 15x
Solución:
Máximo en (5, 100) y mínimo en (1, 8).
Ejercicio nº 11.-
Estudia dónde crece y dónde decrece la función:
Solución:
Como f 'x < 0 siempre, la función es decreciente.
Ejercicio nº 12.-
Representa gráficamente una función f(x), de la que conocemos lo siguiente:
Su derivada se anula en (1, 4) y en (1, 4)
· No corta a los ejes.
· Tiene una asíntota oblicua, que es y 2x. Además:
Solución:
Ejercicio nº 13.-
Estudia y representa la función: f(x) x 4 2x 2 1
Solución:
· Puntos de corte con los ejes:
· Puntos singulares:
· Gráfica:
Ejercicio nº 14.-
Estudia y representa la función:
Solución:
· Dominio R {1, 1}
· Puntos de corte con los ejes:
· Asíntotas verticales: x 1, x 1
Asíntota horizontal: y 1
· Puntos singulares:
· Gráfica:
Ejercicio nº 15.-
Estudia y representa la siguiente función:
Solución:
· Dominio R
· Puntos de corte con los ejes:
· Asíntotas verticales: No tiene
Asíntota oblicua:
.
· Puntos singulares:
· Gráfica:
Ejercicio nº 16.-
Dada la función
estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.
Solución:
· Dominio R {0}
· Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y No corta el eje Y porque x 0, no está en el dominio.
· Asíntota vertical: x 0
Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.
· Puntos singulares:
· Gráfica:
Ejercicio nº 17.-
Deriva las siguientes funciones:
a f (x) arctg x2 3x 1
c f (x) 3 sen2 x 2
Solución:
c f ´(x) 6sen x 2 cos x 2
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