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7/27/2019 06 REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE
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Captulo
REDUCCI N AL PRIMER CUADRANT6OBJETIVO:El objetivo del presente captulo es:
* C alcular las razones trigonomtricas de un ngulo que no es agudo, en funcin de otro que s lo sea; reconociendo
previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar.
* Simplificar correctamente expresiones del tipo: Zn;2
n.T.R
* Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ngulos cuya suma de medidas es 180 360
CASOS
I . ngu los cuyas medidas es tn en < 90 ; 360> :En este caso, el ngulo original " " se descompone como lasuma o resta de un ngulo cuadrantal ( 90 ; 180 ; 270 360) con un ngulo que sea agudo; para luego aplicar :
).(T.RC o220
90R
).(T.R360
180R
)(RT
D onde el signo )( que deber anteponerse al resultado depender del cuadrante al que pertenezca el ngulo original " "
Por ejemplo; calculemos:
* 2
3
30Cos)3090(Sen120Sen)(
* 2
160C os)60180(Cos120C os
)(
* 330Cot)30270(Tan240Tan
)(
* 230Csc)30360(Csc330Csc
)(
* )(Sen170Sen
* )(C os200C os
* )(T an260T an
* )(Sen320Sen
I I . ngu lo cuya medida es mayor que 360:En este caso, se procede de la siguiente manera:
R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360
q
Residuo
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Por ejemplo, calculemos:
*2
360Sen2580Sen * Tan 3285 = Tan45 = 1
2580 360
2520 7
60
3285 360
3240 9
45
* Sec1200 = Sec120 = Sec(90 + 30) = C sc30 = 2
1200 360
1080 3
120
( )
* Sen 3180 =
Si el ngulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera:
*
133 4
132 331
127 6
126 211
12
1Sen
2Sen133
2
1
3
1Cos
3127Cos *
Es decir, si fuese: 2ba;b
a.T.R
Se divide: a 2bq
r este residuo reemplaza al numerador "a"
*
1315 8
51 164
35
3
1345
31345Sen
*
4
3Tan
41315Tan
I I I . ngu los de medida negat iva:Se procede de la siguiente manera:
Sen(-x) = -Senx C sc(-x) = -C scx
C os(-x) = C osx Sec(-x) = Secx
T an(-x) = - T anx C ot(-x) = - C otx
Por ejemplo, calculemos:
*2
245Sen)45(Sen *
2
160C os)60(C os
* 3)30Cot()3090(Tan120Tan)120(Tan
)(
* Cos (- 200 ) =
IV. ngu los relacionados:
1.
TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
180yx:Si
2.
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TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360yx:Si
Por ejemplo, calculemos:
7
6C os
7
5C os
7
4C os
7
3C os
7
2C os
7
C osC
En esta expresin note que:
7
6C os
7C os
7
6
7
7
5C os
7
2C os
7
5
7
2
7
4C os
7
3C os
7
4
7
3
L uego:
7
6C os
7
5C os
7
4C os
7
4C os
7
5C os
7
6C osC
Reduciendo, quedara C = 0
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EJERCICIO S PROPUESTOS
01. Seale el valor de: Sen120
a) 1/2 b) -1/2 c)2
3
d) 2
3e) 2
2
02. H allar: Cos330
a) 1/2 b) -1/2 c)2
3
d)2
3 e)2
2
03. C alcule: E = T g150.Sen315
a)46 b)
46 c)
66
d)6
6 e)4
2
04. H allar el valor de: Sen1680
a) 1 b) -1 c) 1/2
d) -1/2 e)2
3
05. D eterminar el valor de: C os1200
a) 1 b) 0 c) 1/2
d) -1/2 e)2
3
06. Hallar: )45(T g)60(C osE
a) 1/2 b) -1/2 c) 0
d) 1 e) 2
07. H allar: E = Sen(-30)+ Tg(-53)
a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6
d) 0 e) 1
08. Seale el equivalente de: Cos(180+ x)
a) C osx b) -C osx c) Senx
d) -Senx e) -Secx
09. D eterminar el equivalente de: Sen(360-x)
a) -Senx b) Senx c) C osx
d) -C osx e) C scx
10. D etermina el equivalente de:2
].32]Sen
a) 1 b) -1 c) 0
d) 1/2 e) -1/2
11. H allar el valor de: C os1741
a) 1 b) -1 c) 0
d) 1/2 e) -1/2
12. H allar:3
.17T g
a) 1 b) -1 c) 3
d) 3 e)3
3
13. D el grfico, calcule: T g
A
C
BM
45
a) 1 b) 2 c) -1
d) -2 e) 3/4
14. D el grfico, hallar: Tg
A
C
B37
D
a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7
d) -3/7 e) -4/7
15. H allar el equivalente de:
)90x(C os
)180x(SenM
a) 1 b) -1 c) T gx
d) C tgx e) -T gx
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16. Si: Sen(-x) + 2Cos(-x) = 2Senx ;
x es agudo
C alcular: M = Sec(-x) + C sc(-x)
a)2
5b)
2
5 c)6
13
d) 6
13
e) 55
17. Reducir:
)x180(C ot)x360(Sec)x180(C os
)x270(C sc)x180(T an)x90(SenA
a) 1 b) 1 c) xT an2
d) xC ot2
e) xT an2
18. Simplificar:
)(T an2
3Sec)2(C ot)(Sen
C
a) 2T an b) 2T an c) 2C tg
d) 2C tg e) 1
19. Simplificar:
x
2
3C os)x(T an
x2
3T an)x(Sen
C
a) C otx b) xCot2 c) xCot
2
d) - C otx e) xCot3
20. Si :2
A0
Evaluar:
A
2
3T an)A(C osA
2SenF
)A(C sc)A2(C tgA2
Sec
a) 2 SenA b) 2SenA c) 2CscAd) 2C scA e) 2SecA
21. Calcular:
240T an31315T an4
1120Sec2M
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 2
22. Calcular:
300C os210C os
150T an240Sen135SenC
a)3
6b)
3
6 c)3
62
d) 3
62
e) 3
2
23. Calcular:
14920C os2
)13383Sen2) (13000Sec2(U
a)2
1b)
2
1 c)4
1
d)4
1 e)4
3
24. M arque Ud. la afirmacin correcta:
a) Sen ( 750) = 0,5
b) 35,0)1110(C os
c)3
3)1830(T an
d) 3)3270(C tg e) + Sen2534 = Cos14
25. H allar el valor numrico de:
225C tg330T an780T an
780Sen330T an225SenF
222
222
a)12
31b)
20
33c)
44
1
d)20
33 e)12
31
26. Sim plificar las expresiones:
)(Sen
)360(Sen
)180(C os
)(C osa
Sen
)90(C os
)(C os
)90(Senb
a) a = 0 y b = 2b) a = 1 y b = 2c) a = 2 y b = 2d) a = 0 y b = 0
e) a = 1 y b = 2
27. S i: x + y = 180 y + z = 270C alcule el valor de:
C tgz
T any
Seny
SenxJ
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a) 1 b) 0 c) - 3
d) 2 e) - 5
28. Si: Tanx + Ctgy = 2 ; yxH allar: C tgx
a) 12 b) 21 c)
2
12
d)2
21 e) 12
29. Simplificar la expresin:
)360(T an)450(Sen)540(C os
)2160(T an)90(Cos)180(SenE
Sabiendo que : 2Sec2
Entonces E es igual a :
a) 2 b) 1 c) 1d) 2 e) 0
30. El valor de la expresin:
2C sc)(Sec)2(C tg
6T an)(C os
2
3Sen
E
C uando :6
es:
a) 1 b) 1 c) 0d) 2 e) 2
31. C alcular el valor de:
C os10+ Cos30+ Cos50+ .... + Cos170
a)2
1b) 0 c)
2
3
d) 1 e)4
3
32. Calcular: trminos20
30
29C os.. .
30
3C os
30
2C os
30C osT
a) 0 b) 1 c) - 1
d) 2 e) - 2
33. El valor de la siguiente expresin:
12
7Cos
12Sen
12Cos
12
7Sen
Es igual a:
a) 0 b) 1 c) - 1
d) 2 e) - 2
34. Simplificar:
)9(C tg)7(Csc)5(Cos
2
9Sec
2
7Sen
2
5T an
K
a) 0 b) 1 c) 1d) 2 e) 2
35. En un tringulo ABC se cumple:
Sen (B + C) = CosC
D icho tringulo es :
a) Escaleno b) R ectngulo
c) I ssceles d) A cutngulo
e) Equi ltero
36. En un tringulo A BC , se cumple que:
Cos (A + B) = CosC
Entonces el valor de A + B es :
a)4 b) 3 c) 32
d)6
e)
2
37. Calcular:
BSenACo22
Si se sabe que A y B son ngulos suplementarios.
a) 1 b)2
1 c) 0
d)2
1e) 1
38. Si A y B son ngulos complementarios, al simplificar:
)B3A4(T an)BA2(C os
)B3A2(T an)B2A(SenE
Se obtiene:
a) 3 b) 2 c) 2
d) 1 e) 1
39. En un tringulo A B C , cuales de las siguientes
proposiciones se cumplen:
I. SenA = Sen( B+ C )
II. C osA = C os( B+ C )
I II . SenB = -Sen(A+ 2B+ C)
a) VVV b) VFV c) VFF
d) FVF e) FFF
40. Si :2
cba y Sen(a + b) = - Senc
Cul de los siguientes resultados es verdadero?
a) 04
c42C os
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7
b) 04
c4C os
c) 02
c4C os
d) 04
c4C os
e) 0)c4(C os
41. C alcule el valor de:
4
175Sec
4
37T anR
a) 21 b) 22 c) 2
d) 2 e) 21
42. El valor que asume la expresin:
6C sc)(Sec
2
3C tg
)(T an)2(C os2
Sen
C uando :3
es:
a)13
133 b)
13
331
c)3
133 d)
3
133
e)3
331
43. Sabiendo que:
12
77C os
2
55Senm
C alcular:
C tgT anEen trminos de m.
a) 2m b)2
m c) 2md) m e) m
44. Si : 1035360)k1( , Zk
El valor de : )5,22(Sen ser:
a)2
32 b)
2
32
c)2
22 d)
2
22
e)2
22
45. Q u relacin existe entre a y b sabiendo que:
04
b2a36C tg
8
b3a2T an
a)2
1b)
3
1c)
4
1
d)
5
1e)
6
1
46. S i : SenA 2CosA = 0Entonces el valor de:
)A180(C os)A180(C sc)A360(Sen
)A270(C tg)A180(Sec)A90(T anE
es:
a) 5 b) 5 c)4
5
d)4
5 e) 4
47. Ha llar sabiendo que est en el tercer cuadrante, espositivo, mayor que una vuelta y menor que dos vueltas
y:
11SenC os
a)22
75b)
22
73c)
22
71
d)22
69e)
22
67
48. Si es la medida de un ngulo agudo tal que:
Sen1996C osC alcular el valor de:
15Sen15C scE
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
49. Sabiendo que:
Zk;2
kT anM
Zn;(-1)nC scN n
C alcular:
M N
NME
22
a) SenT an b) SenT an
c) C osC tg d) C osC tg
e) 1
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50. D el grfico.
xa
b
y
D eterminar:
CosbCosa6
baCos6
SenbSena3
baSen3
K
a)2
1 b)3
1 c)4
1
d)2
1e)
3
1
51. Sabiendo que:
56
2n
nCotx2)x)1(!n(T an
D onde: ICx C alcule: W = Secx . Tanx
a) 32 b) 6 c) 23
d) 62 e)6
6
52. Si : ABCD : cuadradoC alcule: T anT anW
2630'
P
B C
A D
N
M
a) 2 b) 1 c) - 2
d) 1 e)2
3
53. D el grfico calcule:
55C ot3W Si: O A = O B
A
BO
2
3
4
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
54. D el grfico, hallar " C ot " en funcin de " ".Si : AB = BC
B
C
A x
y
a) 1T an b) 1T an c) 1T an
d) 1C ot e) 1C ot
55. D el grfico, calcule: C os
r
R
a)R2
rb)
R2
r c)r2
R
d)r2
R e)r4
R
56. En un tringulo ABC , se sabe que:
SenC)CB(C os2)BA(Sen C alcular:
C4SenB4SenA4Sen1
A2C osC2C osB2C os1W
a) 1 b) 2 c) 4
d) 1 e)2
1
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57. Cul es la medida del mayor ngulo " " que cumple:
C os7
2Sen
Si es mayor que 3 vueltas, pero menor que 4 vueltas.
a)14
97b)
14
101c)
14
103
d)1495 e)
1499
58. D e acuerdo al grfico, calcule:
6T an
4
3C os
3
2Sen
K
y
x
a)12
6b)
12
3c)
12
6
d)12
3 e)6
6
59. Reduzca:
2
79Cos5)82(Sen4
2
57Cot3)57(T an2
G
a) Sec9
5b) Sec
9
1c) Sec5
d) C sc e) C sc9
2
60. Seale el signo de cada una de las expresiones:
11
12T an1
7
36C os
7
20Sen
R
8
21C ot
7
27C sc
8
25SenH
5
9Sec9
44C scG
a) (+ ) ; () ; ( ) b) (+ ) ; () ; ( + )c) (+ ) ; (+ ) ; (+ ) d) () ; ( ) ; ( + )e) ( ) ; ( + ) ; ( + )
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avesClaves
c
c
c
e
d
b
e
b
a
a
b
d
d
d
b
d
e
d
b
d
d
b
a
c
c
c
d
e
b
d
b
a
a
c
b
e
e
e
b
b
e
a
e
d
c
a
a
b
a
a
b
d
b
e
b
b
d
c
c
b
01.
02 .
03 .
04 .
05 .
06 .
07 .
08 .
09 .
10 .
11 .
12 .
13 .
14 .
15 .
16 .
17 .
18 .
19 .
20 .
21 .
22 .
23 .
24 .
25 .
26 .
27 .
28 .
29 .
30 .
31 .
32 .
33 .
34 .
35 .
36 .
37 .
38 .
39 .
40 .
41 .
42 .
43 .
44 .
45 .
46 .
47 .
48 .
49 .
50 .
51 .
52 .
53 .
54 .
55 .
56 .
57 .
58 .
59 .
60 .