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11/7/2015 LaRecta,LaLneaRecta,rectas,problemasresueltosWikimatematica.org

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1/3 La recta (Parte 1)

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Larecta,olnearecta,engeometra,eselenteidealquesloposeeunadimensinycontieneinfinitospuntos,sepuederepresentarcomounvectorestcompuestadeinfinitossegmentos.Elsegmentoeselfragmentomascortodeunalineaqueunedospuntos.Larectatambinsedescribecomolasucesincontinuaeindefinidadepuntosenunasoladimensin,esdecir,sinmostrarniprincipionifin.Tambinexistelarectanumricaqueesdelasmismascaractersticasperoestarepresentandoelordendelosnumero.



Contenido

1UNALINEARECTA2CaractersticasdelaRecta3EcuacionesdelaRecta

3.1EcuacinGeneraldelaRecta3.2EcuacindelaRecta(vertical)3.3EcuacindelaRecta(horizontal)3.4EcuacindelaRecta(puntopendiente)3.5EcuacindelaRecta(pendienteinterseccin)

4SolucinparaproblemasenquelaRectapasaporunpunto5Distanciaentrepuntos6PuntoMediodeunarecta7RectasParalelas8RectasPerpendiculares9AnguloentreRectas10Mediatrz11ProblemasResueltos

11.1Ejemplo#111.2Ejemplo#211.3Ejemplo#311.4Ejemplo#411.5Ejemplo#511.6Ejemplo#611.7Ejemplo#711.8Ejemplo#811.9Ejemplo#911.10Ejemplo#10

12Buscamastemas

UNALINEARECTA

Analticamente,esunaecuacinlinealodeprimergradoendosvariables.Recprocamente,larepresentacingrficadellugargeomtricocuyaecuacinseadeprimergradoendosvariablesesunarecta.

Unarectaquedadeterminadacompletamentesiseconocendoscondiciones,porejemplo,dosdesuspuntos,unpuntoysudireccin(pendienteocoeficienteangular),etc.

LapendientedeunarectacorrespondealcambioenYdivididoelcambioenXlacualcorrespondealaecuacin: .



Cuandolarectaseinclinahaciaarribadeizquierdaaderecha,sedicequeestarectatienependientepositiva.Cuandolarectaseinclinahaciaabajodeizquierdaaderecha,sedicequeestarectatienependientenegativa.Cuandolarectaeshorizontal,lapendientedelarectaes0.Cuandolarectaesvertical,lapendientedelarectanoestadefinida.

CaractersticasdelaRecta

Larectaseprolongaalinfinitoenambossentidos.Ladistanciamscortaentredospuntosestenunalnearecta,enlageometraeuclidiana.Larectaesunconjuntodepuntossituadosalolargodelainterseccindedosplanos.

EcuacionesdelaRecta

Tomadosdospuntosdeunarecta,lapendientemessiempreconstante.Secalculamediantelaecuacin:

EcuacinGeneraldelaRecta

EcuacindelaRecta(vertical)

EcuacindelaRecta(horizontal)

EcuacindelaRecta(puntopendiente)

Sepuedeobtenerlaecuacindelarectaapartirdelafrmuladelapendiente.Estaformadeobtenerlaecuacindeunarectasesueleutilizarcuandoseconocensupendienteylascoordenadasdeunodesuspuntos,ocuandoseconocenslolosdospuntos,porloquetambinselellamaecuacindelarectaconocidosdospuntos,yseledebeaJeanBaptisteBiot.LapendientemeslatangentedelarectaconelejedeabscisasX.

EjemploHallarlaecuacingeneraldelarectaquepasaporelpuntoA(4,8)yquetieneunapendientede3/2alsustituirlosdatosenlaecuacin,resultalosiguiente:

Deestaformahallamoslaecuacingeneraldelarectalacualesdelaforma:

EcuacindelaRecta(pendienteinterseccin)

Siseconocem(pendiente),yelpuntodondelarectacortaalejedeordenadases(0,b),podemosdeducir,partiendodelaecuacinpuntopendientedelarecta, :



Estaeslaecuacindelarectapendienteinterseccinopendienteintercepto.Seutilizacuandoseconocelapendienteylaordenadaalorigen,quellamaremosb.Tambinsepuedeutilizarestaecuacinparaconocerlapendienteylaordenadaalorigenapartirdeunaecuacindada.

SolucinparaproblemasenquelaRectapasaporunpunto

Determinarlasrectasdelplanoquepasanporelpunto(x0,y0).

Laecuacindelarectahadeser,comoyasesabe:

Yhadepasarporelpunto(x0,y0),luegotendrquecumplirse:

Despejandob,tenemosestaecuacin:

Sustituyendobenlaecuacingeneraldelarecta:

Ordenandotrminos:

Estaecuacindefineunhazderectasenelplanoquepasaporelpunto(x0,y0),elvalordemeslapendientedecadaunadelasrectasqueformanpartedelhaz,mpuedetomarunvalorrealcualesquiera.

Distanciaentrepuntos



Estaecuacinpartedetenerdospuntoscualesquieraenelplano,llamndoles(x1,y1)y(x2,y2)lacualesunaaplicacindelteoremadePitgorassiendoladistanciaentrelospuntosdecadaunodesusrespectivosejesloscatetos,ylahipotenusaladistanciafinal.

LadistanciaentrelospuntosP1yP2denotadapord=P1P2,entrevalorabsolutoestadadapor:

Demostracin:

Alwaysjh08:0618may2010(CST)

PuntoMediodeunarecta

RectasParalelas

SonParalelasalejecuandoambasrectastienenlamismapendiente

RectasPerpendiculares

SonPerpendicularesentreellascuandoelproductodeambaspendienteses1



AnguloentreRectas

Jorgetr04:3526jul2009(UTC)

Mediatrz

Lamediatrzdeunsegmentoeslarectaperpendicularalsegmentoenelpuntomedio

Lospuntosdelamediatrzestnaigualdistanciadelosextremosdelsegmento.

ProblemasResueltos

Ejemplo#1

EncontrarlaecuacindelamediatrzdelsegmentoformadoporlospuntosA(4,2)yB(2,10).



Ejemplo#2

Encontrarlaecuacindelarectaquepasaporlospuntos

Calculamoslapendiente.

Ahoraaplicamoslaecuacindelarecta sustituyendolosvaloresquetenemos

tomamoscualquierpuntoyloevaluamosparahallarelvalordeb

porlotantolaecuacindelarectaes

Ejemplo#3

encuentrelaecuacindelarectaquepasaporelpuntoA(1,3)yesparalelaalarecta2y6x=10

procedimiento:



luegoutilizamoslaecuacingeneraldelarectayllegamosa:

laecuacindelarectaquepasaporesepuntoes:

Pendiente=3

interseccinconelejeY=(0,6)"hacemosceroax"

interseccinconelejex=(2,0)"hacemosceroay"

Ejemplo#4

Hallelaecuacindelarectaquepasapor yesparalelaa

utilizamoslaecuacingeneraldelarecta:

laecuacindelarectaquepasaporesepuntoes:



Ejemplo#5

Hallelaecuacindelarectaquepasapor yesperpendiculara

utilizamoslaecuaciongeneraldelarecta:

lapendientedeunarectaperpendicularaellaeselreciproconegativo

laecuaciondelarectaquepasaporesepuntoes:

Ejemplo#6

EncontrarlaequaciondelarectaquepasaporxelpuntoP(5,7)enlarectaqueesparalelaa6x+3y=4



tenemosquelapendienteesparalelaa

Ejemplo#7

Encuentrelaecuaciondelarectaquepasaporlospuntos(3,2),(4,3)

Primeroencontramoselvalordelapendiente:

Entonces:

Yaquetenemoselvalordenuestrapendienteintroducimoslosvaloresenlaecuaciondelarecta

Acallegamosanuestrarespuestaypodemosverungraficodeella



Ejemplo#8

Encuentrelaecuaciondelarectaquepasaporlospuntos(5,1),(8,3)

Primeroencontramoselvalordelapendiente:

Entonces:

Yaquetenemoselvalordenuestrapendienteintroducimoslosvaloresenlaecuaciondelarecta

Acallegamosanuestrarespuestaypodemosverungraficodeella



Ejemplo#9

EncontrarlaecuacindelarectaquepasaporlospuntosA(1,3)yB(2,1).Determineelinterceptodelarectaconelejey.

SolucionesdeRectas

Ejemplo#10

DelsegmentoformadoporlospuntosA(5,2)yB(2,12),encontrarlamediatriz



Formapuntopendientedelamediatrizdelsegmento

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Selprimerodetusamigosenindicarquetegustaesto.

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4comentarios Ordenarpor:

LuisMadariagabienMegustaResponder23dejuliode201412:32

MarianaLopezHola,enelejercicio3tieneunerrorenlaecuacinpuso2y6y=10yenrealidades2y6x=10

MegustaResponder 23dejuniode201412:51

EmanuelPalmarTrabajaenNoTrabajoMisPadresAnMeMantienencallateperrasusia

MegustaResponder 216denoviembrede201410:53

KarenVictoriaOdioMateeMegustaResponder11defebrerode201416:17

LuisMadariagatetendraqueservirdealgoenlavidaMegustaResponder23dejuliode201412:32

ElPanteratachidoweiperoleacefaltaalgoMegustaResponder20denoviembrede201318:19

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