Post on 28-Sep-2020
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
1 / 22
U P C
Calcul I
M. Carme Leseduarte
M. Dolors Llongueras
Antoni Magana
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
2 / 22
Index
1 Els nombres 3
1.1 Distintes classes de nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Els nombres reals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Representacio sobre una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Desigualtats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Intervals i semirectes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Valor absolut i distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Els nombres complexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Representacio grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Modul i argument. Diferents maneres d’expressar un nombre complex. . . . 14
Operacions amb complexos en forma polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Descomposicio d’un polinomi en factors primers. . . . . . . . . . . . . . . 21
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
3 / 22
1 Els nombres
1.1 Distintes classes de nombres
Necessitat de comptar ↪→ nombres naturals: N = {1,2,3,4, . . .}
Insuficiencia deN : quantitat de diners que devem, una temperatura sota zero...↪→ nombres enters: Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}
Insuficiencia deZ : per exemple, repartir equitativament un litre de llet entre 3 persones...↪→ nombres racionals:
Q = {x =pq
: p,q∈ Z,q 6= 0}.
Insuficiencia deQ per realitzar mesures tan simples com potesser la longitud del costat d’un trian-gle.
1
1x
Quant fa exactament la hipotenusa? Tin-dremx =
√2. Pero resulta que
√2 no es
racional. Com ampliem el conjunt de nom-bres?
1-2-3-
4- 3/ 1 2/
0 1 2 3
e π. . .. . .
origen unitat
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
4 / 22
La reuni o de tots ↪→ nombres reals: R = Q ∪ I, on I s’anomena conjunt delsnombresirracionals
N⊂ Z⊂Q⊂ R
1.2 Els nombres reals
Representacio sobre una recta
x nombre real
punt
recta realba
infinits irracionalsinfinits racionals
1-2-3-
4- 3/ 1 2/
0 1 2 3
e π. . .. . .
origen unitat
Expressio decimal finita o infinita peri odica (racional):
4,3 =4310
, 3, 4 =319
, 54′678=9022165
Expressio decimal infinita no periodica (irracional) :
π =3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749
44592307816406286208998628034825342117068. . .
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
5 / 22
Desigualtats
Si a i b son nombres reals direm quea es menor que b, a < b, si b−a es positiu.
Propietats
Per a qualssevol nombres realsa,b,c es compleix
• a < b i b < c =⇒ a < c.
• a < b =⇒ a+c < b+c i a−c < b−c.
• a < b i c < d =⇒ a+c < b+d.
• a < b =⇒
ac< bc si c > 0
ac> bc si c < 0.
En particular,a < b =⇒−b <−a.
• 0 < a < b =⇒ 1a
>1b
> 0.
• a < 0 < b =⇒ 1a
< 0 <1b.
• a < b < 0 =⇒ 0 >1a
>1b.
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
6 / 22
Intervals i semirectes
• Interval obert(a,b) = {x : a < x < b}
ba
• Interval tancat[a,b] = {x : a≤ x≤ b}
ba
• Intervals mixtos[a,b) = {x : a≤ x < b}
ba
(a,b] = {x : a < x≤ b}ba
• Semirectes obertes(a,+∞) = {x : a< x< +∞}
a
(−∞,b) = {x :−∞ < x< b}b
• Semirectes tancades[a,+∞) = {x : a≤ x< +∞}
a
(−∞,b] = {x :−∞ < x≤ b}b
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
7 / 22
Valor absolut i distancia
Definicio 1.1 Per a cada numero realx definim elvalor absolut de xcom
|x|=
{x si x≥ 0
−x si x < 0
Observem que
|x|= max{x,−x}
|x|=√
x2
y =|x |y =|x |
x
y
0 x
y
0
Geometricament|x| representa la distancia dex a 0:
xx
xx0 0
Analogament, per a totx,y∈ R la distancia entrex i y es
d(x,y) = |x−y|= |y−x| .
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
8 / 22
Propietats del valor absolut
Per a totx,y∈ R:
• |x| ≥ 0, |x|= 0⇐⇒ x = 0.
• |x|= |−x|.
•
Si c > 0, |x|< c⇐⇒−c < x < c.
Si c≥ 0, |x| ≤ c⇐⇒−c≤ x≤ c.
Si c≥ 0, |x| ≥ c⇐⇒ x≤−c o x≥ c.
• −|x| ≤ x≤ |x|.
• |xy|= |x||y|.
• |x+y| ≤ |x|+ |y| (desigualtat triangular).
• |x−y| ≤ |x|+ |y|.
• |x−y| ≥ ||x|− |y||.
•∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ =|x||y|
si y 6= 0.
• |xn|= |x|n.
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
9 / 22
Exemples 1.2Resol les inequacions seguents:
(a) (x+2)(x−3) > 0 [(−∞,−2)∪ (3,+∞)]
(b) −9x2−3x+2≥ 0 [[−23, 1
3]]
(c) 5x2 +2x+1 < 0 [No te solucio]
(d) x3−9x2 +11x+21< 0 [(−∞,−1)∪ (3,7)]
(e)x−1x+1
≥ 3 [[−2,−1)]
(f) 1x + 1
1−x > 0 [(0,1)]
(g) |x2−5x+5| ≥ 1 [(−∞,1]∪ [4,+∞)∪ [2,3]]
(h) |x+4|< |x| [(−∞,−2)]
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
10 / 22
1.3 Els nombres complexos
Introducci o
Gerolamo Cardano (1501-1576):resolucio de l’equacio cubica mitjancant arrels.
ax3 +bx2 +cx= d
fent la substitucio, x = y− b3a, s’obte l’equacio y3 +my= n, d’on
y =3
√n2
+
√n2
4+
m3
27− 3
√−n
2+
√n2
4+
m3
27.
Finalment desfem el canvi i determinen lax.
A l’equacio 2x3−30x2 +162x = 350 obtenimy3 +6y−20= 0 i es te:
y =3√
10+√
108− 3√−10+
√108= 2, x = 7.
I perx3−15x = 4:
x =3√
2+√−121− 3
√−2+
√−121, ↪→
√−121 ??pero x = 4 es una solucio!
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
11 / 22
Bombelli (1526-1573)decidı treballar amb les arrels quadrades de nombres negatius, aplicant-li lesmateixes regles que les dels nombres reals.
El fet que les solucions d’una equacio de segon grau, com per exemple,
2x2−3x+5 = 0
siguin
x =34±√
31√−1
4ens condueix a considerarnombresde la forma
x = a+bi on a,b∈ R amb i2 =−1 ,
anomenatscomplexos.
Definicio 1.3 Anomenemnombre complexde part reala i part imaginariab, a unsımbol de la forma
z= a+bi on a,b∈ R amb i2 =−1.
Designem perC al conjunt dels nombre complexos.
Observem que tot nombre real,a, es complex ja quea = a+0i. Per tant,
N⊂ Z⊂Q⊂ R⊂ C .
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
12 / 22
Definicio 1.4 Donats els nombres complexosz1 = a+ bi i z2 = c+ d i, definimla suma, el producte:
z1 +z2 = (a+bi)+(c+d i) = a+c+(b+d) i
z1 ·z2 = (a+bi) · (c+d i) = ac−bd+(ad+bc) i ,
i el quocient:
z1
z2=
a+bic+d i
=(a+bi)(c−d i)(c+d i)(c−d i)
=ac+bdc2 +d2 +
bc−adc2 +d2 i sempre quec,d 6= 0.
Exemple 1.5Calcula:
(a) (4+3i)(3−2i) . [18+ i]
(b)3−2i1+3i
. [− 310−
1110i]
Representacio grafica
Podem establir una relacio entre els nombres complexos i els punts del pla, analoga a la corres-pondencia entre els punts d’una recta i els nombres reals.
x+y i ⇐⇒ (x,y)
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
13 / 22
Aix ı, representem un nombre complex com un vector dirigit des de l’origen fins al punt(x,y). Aquestenfocament fa que puguem treballar amb els nombres complexos seguint les mateixeslleis que lesquantitats vectorials utilitzades en la fısica i en la mecanica: forces, velocitats, acceleracions...
Donat el nombre complexz= x+y i anomenem
conjugat a z= x−y i
oposat a −z=−x−y i
-z
zcomplex
conjugatoposat
x
-y
y-x
z
Exemple 1.6Determina els conjugats i els oposats de:
(a) z1 = 3+2i . [3−2i; −3−2i]
(b) z2 =−4−2i . [−4+2i; 4+2i]
(c) z3 = 10. [10;−10]
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
14 / 22
Modul i argument. Diferents maneres d’expressar un nombre complex
Donat el nombre complexz= x+y i, anomenemmodul de z, |z| o ρ, a la longitud del vector associat.es a dir,
|z|=√
x2 +y2
|z|=√
z·zz
z
0
y
x
z
0
y
αx
L’angle α, format per la direccio positiva del’eix real i el vectorOZ (mesurat en sentitposi-tiu, es a dir, en sentit contrari a les agulles delrellotge) s’anomenaargument dez.
Observem que α no es unic ja queα + 2π, α + 32π, α− 2π... tambe son validsper representar l’argument. En endavantconsiderarem:α ∈ [0,2π)α ∈ [0,2π)α ∈ [0,2π).
Fixem-nos que
cosα =x|z|
, sinα =y|z|
.
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
15 / 22
Tot nombre complex,z, es pot expressar en alguna de les formes:
z= x+y i binomica
z= (x,y) cartesiana
z= |z|(cosα+ i sinα) trigonometrica
z= |z|α polar
z= |z|eiα exponencial
on el pas de cartesianes a polars, o a l’inreves, es fa aixı:
si x 6= 0
(x,y)(x,y)(x,y) ↪→ r =√
x2 +y2
α = arctanyx
si x > 0
α = arctanyx
+ π si x < 0
↪→ (r,α)(r,α)(r,α)
(r,α)(r,α)(r,α) ↪→ x = r cosαy = r sinα ↪→ (x,y)(x,y)(x,y)
0
αx
yr
(x,y)
si x = 0 α =
{π2 si y > 03π2 si y < 0
03π/2
y
y
0
π/2
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
16 / 22
Exemple 1.7
(a) Expressa de forma polar el nombrez=−√
2+√
2i . [23π4
]
(b) Escriu de forma binomica el nombrez=(1
2
)5π6
. [−√
34 + 1
4 i]
Operacions amb complexos en forma polar
Considerem els complexosz i z′ tals que
z= |z|(cosα+ i sinα), z′ = |z′|(cosβ+ i sinβ)
Producte
z·z′ = (|z|(cosα+ i sinα)) · (|z′|(cosβ+ i sinβ)) = · · ·= |z| · |z′|(cos(α+β)+ i sin(α+β))
per tant,z·z′ = (|z| · |z′|)α+β
Quocient
zz′
=|z|(cosα+ i sinα)|z′|(cosβ+ i sinβ)
= · · · (multiplicant i dividint pel conjugat)=|z||z′|
[cos(α−β)+ i sin(α−β)]
per tant,zz′
=(|z||z′|
)α−β
sempre que |z′| 6= 0.
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
17 / 22
Exemple 1.8Donats els nombres complexos
z=√
2−√
2i, z′ =−12−√
32
i,
calculem en forma polar:z·z′ izz′
.
z
21
z’
z·z’
z/z’
[213π12
; 25π12
]
Potencia
zn = [|z|(cosα+ i sinα)]n = |z|n(n︷ ︸︸ ︷
(cosα+ i sinα) · · ·(cosα+ i sinα))
= |z|n(cosnα+ i sinnα), on n∈ Z .
Per tant,zn = (|z|α)n = (|z|n)nα.
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
18 / 22
En particular siz te modul 1, sera
(cosα+ i sinα)n = cosnα+ i sinnα
igualtat coneguda com aformula de de Moivre(F. de Moivre (1667–1754))
Exemple 1.9Calculem:
(a) i94 [−1]
(b) (−4+4i)12 [1073741824π]
Radicacio
Donatz∈C i n∈N, anomenemarrel enesima de za un altre nombrew∈C tal quewn = z. Denotaremtotes les arrels enesimes pern
√z.
Si z= |z|α es compleix que n√
z=(
n√|z|
)α+2πk
n
, k = 0,1,2, · · · ,n−1
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
19 / 22
Exemple 1.10Donat el nombre complexz=−8+8√
3i calculem 4√
z.k = 0 ⇒ w0 = 2π
6= 2(cosπ
6 + i sinπ6) =
√3+ i
k = 1 ⇒ w1 = 22π3
= 2(cos2π3 + i sin2π
3 ) = −1+√
3i
k = 2 ⇒ w2 = 27π6
= 2(cos7π6 + i sin7π
6 ) = −√
3− i
k = 3 ⇒ w3 = 210π6
= 2(cos10π6 + i sin10π
6 ) = 1−√
3i .
Graficament tenim:0
x
y
π/6
π/2
w1
w0
w3
w2
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
20 / 22
En general,els afixos de les arrels enesimes d’un nombre complexz son els vertexs d’un polıgonregular inscrit en una circumferencia de centre l’origen i radi n
√|z|.
x
y
0
2π/3x
y
0
π/2
x
y
0
2π/5
x
y
0
π/3
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
21 / 22
Descomposicio d’un polinomi en factors primers
En aquesta seccio utilitzarem elteorema fonamental de l’algebra que ens permet assegurar la des-composicio d’un polinomi en factors primers.
Un numeroα es unaarrel d´un polinomiP(z) si es solucio de l’equacio P(z) = 0, es a dir, si compleixP(α) = 0P(α) = 0P(α) = 0.
Teorema 1.11(Teorema fonamental de l’algebra) Un polinomi de grau n (n≥ 1)amb coeficients complexos
P(z) = a0 +a1z+a2z2 + · · ·+anzn, an 6= 0,
te alguna arrel a C.
Corol.lari 1.12 Aplicant n vegades el Teorema fonamental de l’algebra s’obte:
P(z) = an(z−α1)(z−α2) · · ·(z−αn)
on α1,α2, . . . ,αn son les arrels del polinomi P(z).
Observem que les arrelsα1,α2, . . . ,αn no son necessariament diferents. Una arrel que apareix mesd’una vegada s’anomenamultiple i la que nomes ho fa un copsimple.
U P C
Cal
culI
ET
SE
IAT
JJ
II
J
I
Imp.
Sortir
22 / 22
Per exemple, donat el polinomi:
P(z) = 3(z−1)2(z+2i)(z−2i)(z+4)3
α1 = 1 es una arrel multiple amb multiplicitat 2,α2 =−2i es una arrel simple (o be amb multiplicitat 1),α3 = 2i es una arrel simple,α4 =−4 es una arrel multiple amb multiplicitat 3.
Propietat. Si una equacio amb coeficients reals te una arrel complexa, amb multiplicitats, ales-horeste tambe la seva arrel conjugadaamb la mateixa multiplicitat.Es a dir, les arrels complexesapareixen a parells.
Exemple 1.13Donat el polinomiP(z) = z4−1, determinen
(a) les seves arrels,
(b) la descomposicio en factors primers a coeficients complexos,
(c) la descomposicio en factors primers a coeficients reals.
(a) 1, i,−1,−i
(b) z4−1 = (z−1)(z+1)(z− i)(z+ i)
(c) z4−1 = (z−1)(z+1)(z2 +1)