Tema 1. Els nombres reals€¦ · Nombres realsErrors, aproximacions i acotaci oIntervalsNotaci o...
Transcript of Tema 1. Els nombres reals€¦ · Nombres realsErrors, aproximacions i acotaci oIntervalsNotaci o...
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Tema 1. Els nombres reals
Carlos Gimenez Canadas
19 de setembre de 2018
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Index
1 Nombres reals
2 Errors, aproximacions i acotacio
3 Intervals
4 Notacio cientıfica
5 Radicals
6 Logaritmes
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Nombres naturals i enters
Els nombres naturals son els que es fan servir per comptar.Es un conjunt que es representa per la lletra N
Exemple
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }
Els nombres enters son un conjunt que conte els nombres enterspositius, els negatius i el zero. Es representa per la lletra Z
Exemple
Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Nombres racionals
Els nombres racionals contenen:
Els decimals exactes son els que tenen un nombre finit dexifres decimals, es poden expressar com fraccions posantpotencies de 10 al denominador.
Els decimals periodics purs son aquells decimals infinits quetenen una part decimal que es repeteix indefinidament(perıode).
Els decimals periodics mixtes son aquells decimals infinitsque tenen una part no periodica abans del perıode.
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Nombres racionals
Tots aquests decimals es poden expressar com fraccio. El conjuntes representa per la lletra Q.Cada conjunt de fraccions representa el mateix nombre racional, ise’n diu representant a qualsevol d’elles. La fraccio irreductible esel representant canonic.
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Nombres racionals
Exemple
El nombre 3.47 es un decimal exacte.
3.47 =347
100
El nombre 2.17171717 . . . es decimal periodic pur.
2.17171717 · · · = 2.ı17 =217− 2
99=
215
99
El nombre 7.834512121212 . . . es decimal periodic mixt.
7.8312121212 · · · = 7.83ı12 =78312− 783
9900
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Nombres irracionals
El conjunt I dels nombres irracionals esta format pels nombresque no es poden expressar com a fraccio. L’expressio decimal te unnombre infinit de decimals no periodics.
Exemple
Alguns exemples son les arrels no exactes:√
2,√
7, . . . . Tambe enconeixem alguns irracionals caracterıstics: el nombre pi,
π = 3.14159265 . . . , el nombre auri Φ = 1+√
52 = 1, 6180339 . . . , o
be el nombre e e = 2.71828182 . . .
Un nombre irracional sumat per un nombre qualsevol, o multiplicatper un nombre racional qualsevol, tambe es irracional.
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Nombres reals
El conjunt dels nombres reals esta format pels irracionals i elsracionals, i esta representat per R. La recta que representa elsnombres reals s’anomena recta real.
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Index
1 Nombres reals
2 Errors, aproximacions i acotacio
3 Intervals
4 Notacio cientıfica
5 Radicals
6 Logaritmes
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Aproximacions
Per treballar amb alguns nombres, els aproximem a valors propersque simplifiquin els calculs. Podem fer:
Per truncament: S’eliminen les xifres a partir d’un certdecimal. Per exemple, si passem de 7.23546 a 7.23 (dosdecimals)
Per exces: S’eliminen les xifres a partir d’un cert decimalpero s’augmenta en una unitat el darrer decimal que deixem.Per exemple, si passem de 8.157 a 9 (enter)
Arrodoniment: S’agafa la millor aproximacio de les dues.Per exemple, amb el nombre 4.6, les dues possibilitats peraproximar a enters serien el 4 i el 5, pero el 5 esta mes proper.
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Errors
En fer aquestes aproximacions, es comet un error de representacio.Error absolut Es la diferencia, en valor absolut, entre el valor reali l’aproximacio.Error relatiu es el quocient entre l’error absolut i el valor real:
Ea = |Vreal − Vapr |
Er = | Ea
Vreal
Exemple
Per exemple, si fvolem aproximar el nombre 4.635, i ho fem perarrodoniment als centessims, agafem 4.64. L’error absolut EsEa = 4.64− 4.635 = 0.005, i l’error relatiu esEr = |0.005
4.635 | = 0.00108
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Acotacio d’errors
Ens interessa acotar l’error, es a dir, donar un valor maxim del’error de representacio. Quan arrodonim un nombre fins a ordre n,l’error absolut que es comet esta sempre per sota d’una cotad’error absolut εa
Ea <1
2 · 10n= εa
De la mateixa manera passa amb l’error relatiu, que sempre estaper sota de la cota d’error relatiu εr .
Er <εa
Vapr − εa= εr
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Acotacio d’errors
Exemple
Aproximem el nombre√
2 als centessims.
√2 = 1, 4142135623 · · · → 1, 41
Ea < |√
2− 1, 41| < 0, 005 =1
2 · 102
Er <εa
Vapr − εa= 0, 00356
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Index
1 Nombres reals
2 Errors, aproximacions i acotacio
3 Intervals
4 Notacio cientıfica
5 Radicals
6 Logaritmes
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Intervals
Un interval es un conjunt de nombres reals i es representenmitjancant un segment o una semirecta de la recta real. Cadainterval es representa els seus extrems, dos en cas dels segments iun en el cas de les semirectes. Si hi ha o no els extrems, es diu queels intervals son tancats, semioberts o oberts.
Interval obert: (a, b) = {x : a < x < b}Interval tancat: [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}Interval semiobert: (a, b] = {x : a < x ≤ b}Interval semiobert: [a, b) = {x : a ≤ x < b}Semirecta oberta: (a,+∞) = {x : a < x}Semirecta tancada: [a,+∞) = {x : a ≤ x}Semirecta oberta: (−∞, b) = {x : x < b}Semirecta tancada: (−∞, b] = {x : x ≤ b}
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Intervals
S’anomena entorn de centre a i radi r , i es representa per Er (a) al’interval obert d’extrems a + r i a− r .
Er (a) = (a− r , a + r)
La unio de dos conjunts A i B, es el conjunt format pels elementsque estan a A o a B, i es representa per A ∪ BLa interseccio de dos conjunts A i B, es el conjunt format pelselements que estan a A i tambe a B, i es representa per A ∩ BLa diferencia de dos conjunts A i B es el conjunt format pelselements que estan a A i no estan a B, i es representa per A \ B
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Index
1 Nombres reals
2 Errors, aproximacions i acotacio
3 Intervals
4 Notacio cientıfica
5 Radicals
6 Logaritmes
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Notacio cientıfica
Quan volem expressar nombres molt grans o be molt petits, femservir la notacio cientıfica. Aixo es fa fent servir un nombre entre 1i 10, multiplicat per una potencia de 10. Si es tracta d’un nombrepetit la potencia de 10 sera negativa.
Exemple
5.250.000.000.000 = 5, 25 · 1012
0, 000000000035 = 3, 5 · 10−11
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Notacio cientıfica
Per escriure un nombre en notacio cientıfica l’escrivim de la formaa · 10b, on a, es un nombre decimal de l’interval [1, 10), i b, es unnombre enter.
Exemple
Per exemple, escriure el nombre 354.000 en notacio cientıfica es3, 54 · 105, i escriure el nombre 0, 0027 es fa de la forma 2, 7 · 10−3.
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Operacions amb notacio cientıfica
Per sumar i restar nombres en notacio cientıfica, han de tenir lamateixa potencia de 10. Llavors, es sumen els nombres de davantde les potencies.
Exemple
6, 5 · 105 − 3 · 105 + 9, 25 · 105 = 12, 75 · 105 = 1, 275 · 106
Si no tenen el mateix exponent, s’han de posar de manera quetinguin el mateix, per poder sumar, posant zeros alla on calgui.
Exemple
3, 2·1010+1, 2·1012 = 3, 2·1010+120·1010 = 123, 2·1010 = 1, 232·1012
Fixeu-vos que, al final de tot, els nombres s’han de convertir anotacio cientıfica.
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Operacions amb notacio cientıfica
Per multiplicar i dividir, haurem de multiplicar els nombres perseparat i les potencies de 10 tambe, tot aplicant les propietats deles potencies.
Exemple
6, 5 ·105 ·−3 ·107 = 6, 5 ·(−3) ·105+7 = −19, 5 ·1012 = −1, 95 ·1013
3, 2 · 1010
1, 2 · 1012=
3, 2
1, 2· 1010−12 = 2, 66 · 10−2
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Index
1 Nombres reals
2 Errors, aproximacions i acotacio
3 Intervals
4 Notacio cientıfica
5 Radicals
6 Logaritmes
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Radicals. Definicio
Donat un nombre real a, la seva arrel n-essima, son els nombresreals b que compleixen que bn = a. S’escriu n
√a = b. Es l’operacio
inversa de la potencia.Quan calculem el valor numeric d’un radical, ens podem trobardiversos casos:
Si a > 0 i n es imparell, nomes tenim 1 arrel positiva.
Si a > 0 i n es parell, tenim dues arrels, una positiva i unanegativa oposada.
Si a = 0, aleshores l’arrel es 0.
Si a < 0 i n es imparell, nomes tenim 1 arrel negativa.
Si a < 0 i n es parell, no existeix cap arrel real.
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Radicals. Potencies fraccionaries
Una potencia d’exponent fraccionari es un radical d’ındex n iradicand am, s’escriu a
mn = n√am. Per tant, dos radicals son iguals
si, en expressar-los en exponent fraccionari, les fraccions sonequivalents i les bases iguals:
amn = a
pq ⇔ m
n=
p
q
Es poden simplificar els radicals si traiem de l’arrel els factorspossibles.
Exemple
Simplificar el radical 4√
64
4√
64 =4√
26 = 264 = 21+ 1
2 = 2√
2
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Radicals. Operacions
Per poder operar amb radicals, els reduirem a ındex comu. Aixo esfa trobant radicals equivalents amb el mateix ındex.
Exemple
Reduir a radical comu 6√
13 i 5√
5.En primer lloc, es calcula el mınim comu multiple dels ındexs:mcm(6, 5) = 30.Despres, s’expressen amb la forma equivalent: 6
√13 =
30√
135,5√
5 =30√
56.
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Radicals. Operacions
Per operar amb els radicals, ho farem de la manera seguent:
Per sumar i restar, han de tenir ındex i radicand comu.
Per multiplicar i dividir, els reduım a ındex comu.
Per fer la potencia o l’arrel, transformem el radical enpotencia i operem.
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Radicals. Operacions
Exemple
Operar i simplificar: 2√
12− 3√
75 +√
27
2√
12− 3√
75 +√
27 = 2√
22 · 3− 3√
3 · 52 +√
33 =
= 4√
3− 15√
3 + 3√
3 = −8√
3
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Radicals. Operacions
Exemple
Operar i simplificar:√
12 · 3√
36Reduırem a ındex comu dels dos radicals, que en aquest cas seraındex 6
√12 · 3√
36 =6√
123 · 6√
362 =6√
123 · 362 =
= 6»
(22 · 3)3 · (22 · 32)2 =6√
26 · 33 · 24 · 34 =
=6√
210 · 37 = 66√
24 · 3 = 66√
48
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Radicals. Operacions
Exemple
Operar i simplificar:3√
4√2
Reduırem a ındex comu que es el 6
3√
4√2
=6√
42
6√
23=
6√
24
6√
23=
6√
2
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Radicals. Racionalitzacio
Racionalitzar consisteix a transformar fraccions amb radicals aldenominador en fraccions que no en tinguin.Per racionalitzar fraccions del tipus a
n√b
, ho fem multiplicant
numerador i denominador pern√bn−1
Exemple
Racionalitzar 1√2
1√2
=1 ·√
2√2 ·√
2=
√2
2
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Radicals. Racionalitzacio
Per racionalitzar fraccions del tipus a√a+√b
, multipliquem i dividim
pel conjugat del denominador, on el conjugat d’una expressioa + b es a− b.
Exemple
Racionalitzar l’expressio 1√6−√
9
1√6−√
9=
√6 +√
9
(√
6−√
9) · (√
6 +√
9)=
=
√6 +√
9√62 −
√92
=
√6 +√
9
6− 9=
=
√6 + 3
−3= −1−
√6
3
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Index
1 Nombres reals
2 Errors, aproximacions i acotacio
3 Intervals
4 Notacio cientıfica
5 Radicals
6 Logaritmes
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Logaritmes. Definicio
Donats dos nombres reals positius a, b, amb a 6= 1, el logaritmeen base a de b es l’exponent pel qual s’ha d’elevar a perque elresultat sigui b:
loga b = c → ac = b
Si la base es 10, es diu logaritme decimal i no s’escriu la base. Si labase es el nombre e = 2, 718281 . . . , se’n diu logaritme neperia, is’escriu ln b.
Exemple
Aquı tenim alguns exemples de logaritmes:
log2 8 = 3, ja que 23 = 8
log 10000 = 4, perque 104 = 10000
ln e3 = 3
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Logaritmes. Propietats
El logaritme de 1 sempre es 0, i el logaritme de la base es 1:
loga 1 = 0, loga a = 1
El logaritme d’un producte es la suma de logaritmes:
loga(b · c) = logab + logac
El logaritme d’un quocient es la diferencia de logaritmes:
loga
Åb
c
ã= logab − logac
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Logaritmes. Propietats
El logaritme d’una potencia es l’exponent multiplicat pellogaritme de la base de la potencia:
loga bn = n · loga b
El canvi de base als logaritmes es aixı:
loga b =logc b
logc a
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Logaritmes. Propietats
Exemple
Si ln p = 3 ln a + ln b + 2 ln c − 4 ln d
5, quant es p?
ln p = 3 ln a+ ln b + 2 ln c − 4 ln d
5= ln a3 + ln b + ln c2− ln
5√d4 =
= ln(a3 · b · c2)− ln5√d4 −→ p =
a3 · b · c2
5√d4
Nombres reals Errors, aproximacions i acotacio Intervals Notacio cientıfica Radicals Logaritmes
Logaritmes. Propietats
Exemple
Fent un canvi de base, calcular log2 23Fent servir la propietat del canvi de base, podem fer servir algunlogaritme que poguem posar a la calculadora, com la base 10.Llavors,
log2 23 =log 23
log 2= 4.52