INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A.

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

GUIA E.T.S. DE CÁLCULO VECTORIAL

Prof. Sergio Flores Corona 1

FUNCIONES VECTORIALES DE UN ESCALAR

(1) Encuentre la velocidad, rapidez, aceleración, aceleración tangencial y aceleración normal de una partícula

con función de posición dada en el tiempo indicado. 2 2( ) (25 ) (10 16 ) ; t=0tr t te i t t j

( ) ( cos ) ( ) ; t=4

t t tr t e t i e sent j e k

2 2( ) 2 ln( ) ; t=er t t i tj t k

23( ) ( ) (2 ) ( ) ; t=42

r t t i t j t t k

(2) Calcule el valor de la longitud de arco de la curva en el intervalo o entre los puntos indicados

3 3 34 4( ) ( ) ( ) ; 2 1

3 3r t t i t j t k t

33 2 32

1 1 2( ) ( 4) ; 3 5

3 3 3r t t i t j t k t

1 2( ) 4 3 ( ) 3 (cos ) ; (0,0,0); (12.5664,0, 9.4248)r t ti t sent j t t k P P

2( ) (2 6) 2 6 ; 3 6r t ti t j k t

2 2

1 2( ) 2 ln( ) ; (1,1,1); ( ,2 ,1)r t t i tj t k P P e e

(3) Encuentre la curvatura del radio vector en el punto indicado.

( ) ( cos ) ( ) ; (1,0,0,)t t tr t e t i e sent j e k P

322( ) 4 ; (1,4, 1,)r t ti t j t k P

2 3( ) ; (2,4,8)r t ti t j t P

(4) Determine la función que representa la función posición de acuerdo a las ecuaciones y condiciones

iniciales dadas en cada ejercicio.

2 1'( ) ; (3) 2 5

2r t t i j r i j

t

2 2'( ) ( ) (2cos ) ; ( ) 0r t sen t i t j r

2 8'( ) 6cos(2 ) sec ( ) ; ( ) 3 2

4r t t i t j k r i j k

3"( ) ( ) ; '(0) 4 2 4 ; (0) 4 2tr t e i tj sen t k r i j k r j k

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (CAMPOS ESCALARES)

(1) La temperatura T en ºC, en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está dado

por la ecuación 2 23 2 4( , , ) 4 y xT x y z x y z xz e . Calcule en el punto (1, 2, 3)

a) La dirección, así como la razón del cambio máximo de temperatura

b) La razón de cambio de la temperatura en la dirección 2 2a i j k

indicando si aumenta,

disminuye o es invariante. (2) El campo magnético B (webers), en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está

dado por la ecuación 2( , , ) cos( ) ( )yB x y z xe x xy sen yz . Calcule en el punto (2, 0, --3)

a) La dirección, así como la razón del cambio máximo.

b) La razón de cambio del campo en la dirección 2 2a i j k

.

(3) Considere la función 3 2( , ) 3 4f x y x y y xy Determine en el punto P(1, 2)

a) La dirección, así como la razón de cambio de la máxima derivada direccional

b) La derivada direccional sobre el vector 4 3a i j

(4) Obtenga las ecuaciones para el plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto dado

a) 2 3 2 2 3( , , ) ; M(3,2,1)F x y z xy z x y yz xz

b) 2( , , ) 2 +10 ; M(-5,5,1)F x y z xy yz xz

c) ( , , ) 2 cos ; M(0, 3,1)xF x y z e y z

(5) Determine las coordenadas de los puntos máximos, mínimos y silla, si existen, de la función

3 2( , ) 48 32 24f x y xy x y

4 2( , ) 4 2 2f x y xy x y

3 3( , ) 3f x y x xy y 2 2( , ) 4 2 2 10 2f x y x y xy y x

2 2( , )f x y xy x y x y 3 2 2( , ) 4 2f x y y y xy x

(6) Utilizando la regla de la cadena determine las derivadas parciales ,z z

u t

a) 2 2 3 3cos(4 ); ; z x y x u t y u t ;cuando 1, 2u t

b) 2 2 2 2; ; t tz x y x e y e ;cuando 0t

c) 2ln( 2 ); ( ); cosz x x y x u sent y u t ;cuando 2,

3u t

d) 2 2ln( )z x y ; x u t , 2y ut ;cuando 2, 1u t .

(7) La altura de un cono circular recto crece a razón de 40 cm/min, el radio disminuye a razón de 15 cm/min.

Calcule la razón de cambio del volumen en el instante que la altura es de 2000 cm y el radio de 600 cm. (8) La longitud del cateto A un triángulo rectángulo crece a razón de 3 cm/min., la del cateto B decrece a

razón de 2 cm /min. Calcule la razón de cambio del ángulo agudo opuesto a B en el instante que A = 100 cm y B = 120 cm

(9) En un tanque elástico en forma de cilindro circular recto entra gua a razón de 2 m

3/min . El tanque se

expande pero conservando su forma, su radio crece a razón de 0.005 m/min. ¿Con qué rapidez sube el agua cuando el radio tiene 1.5 metros y el volumen del agua dentro del tanque es de 40m

3?

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INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS RECTANGULARES

(1) Evalúe la integral 2 2

R

x y dA sobre la región encerrada por las curvas 0x y , x y localizada

en el primer cuadrante

(2) Evalúe la integral (cos(2 )R

x y dA sobre la región encerrada por las curvas

; 3 0; y x x y y

(3) Evalúe1

( )R

dAx sobre la región en plano XY:

2y x , 24y x x

(4) Evalúe 2 x

R

ye dA

sobre la región en el plano XY: 2x y , 2y , 9x

(5) Cambia el orden de integración y evalúa la integral

a) 2

2

3 9

04 x

yye dxdy

b) 1 1

2

0( )

ysen x dxdy

c) 22 2

0

y

xe dydx

d) 2

2 4

0( )

yx senx dxdy

(6) Evaluar ( , )R

f x y dA sobre la región de la figura

2

2

2 0

3 6 0

y x y

y y x

( )

cos( )

y sen x

y x

4 3R

y dAR

xydA

2 2 50x y

y x

2 2

R

x y dA

2

2y x

y x

( )R

xsen y dA

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INTEGRALES MÚLTIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS

Determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones que se indican.

(1) Interior al cilindro 2 2 4x y , bajo la esfera

2 2 2 16x y z , sobre el plano 1z

(2) Paraboloide 2 2z x y , cilindro

2 2 25x y , planos 0; 36z z

a) Interior al cilindro b) Exterior al cilindro

(3) El cono horizontal 2 2x z y , el paraboloide

2 26x y z

INTEGRALES MÚLTIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS

Determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones que se indican.

(1) Cono 2 2z x y ; esfera

2 2 2 9x y z

(2) Esfera2 2 2 4x y z ¸ planos verticales

1

3y x ; 3y x

(3) Bajo el plano 3z , exterior al cono 2 2z x y , interior al cono

2 23 3z x y ,

(4) Dentro de la esfera 2 2 2 1x y z , fuera del doble cono

2 2 2z x y

(5) Determinar z

D

e dv donde D es el sólido en el primer octante bajo la superficie 2 2z x y , interior al

cilindro 2 2 9x y , sobre el plano XY

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FUNCIONES VECTORIALES DE UN VECTOR (CAMPOS VECTORIALES)

INTEGRALES DE LÍNEA

1) Evalúe la integral de línea 23

Cydx xdy xz dz donde C es la curva dada por las ecuaciones

cos x t y sent z t ; 0 t

2) Evalúe la integral de línea 2 2(6 2 ) 4

Cx y dx xydy donde C es la curva dada por las ecuaciones

3; ; 0 1x t y t t

3) Evalúe la integral de línea 3C

xydx xdy ydz donde C es la curva dada por

( ) cos( ) ( ) 2r t t i sen t j tk

; 02

t

TEOREMA DE GREEN

1) Por medio del Teorema de Green evalúa la integral de línea cerrada

2 3cosC

xy dx ydy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada

por las gráficas 2 3, y x y x

2) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada

2 2( 2 cos ) ( )C

xy x y dx x seny dy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada

por las gráficas: 2y x ,

3y x

3) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada

2 2 3( 3 ) ( )C

y x y dx xy x dy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada

por las gráficas 2y x , 2y x

4) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada 2 31

( )3C

xy xy dx y dy

donde C es la frontera encerrada por la gráficas x y , 21x y , 0y