DISEÑO DE ELEMENTO DE MAQUINAS I

Agenda Semana 7

RESULTADOS APRENDIZAJE

CIRCULO DE MOHR

ECUACIONES CIRCULO DE MOHR

CONSTRUCCION Y APLICACIÓN

RESULTADOS DE APRENDIZAJE

EL ESTUDIANTE:

Calcula esfuerzos principales con ayuda de lasecuaciones generadas del círculo de Mohr.

HABILIDADES:

Aplica las ecuaciones correctas para calcular losesfuerzos de trabajo.

METODOLOGÍA

Taller grupal y práctico, consulta fuera del aula base datos.

Circulo de Mohr

HISTORIA:

El círculo de Mohr se llama así en honor del famoso ingeniero civil alemán Otto Christian Mohr (1835-1918), quien la desarrolló en 1882

Circulo de Mohr

Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano se pueden representar en forma gráfica mediante un trazo conocido como círculo de Mohr.

Circulo de Mohr

Esta representación gráfica es muy útil ya que permite visualizar las relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre varios planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos.

Circulo de Mohr

También proporciona un medio para calcular esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos y esfuerzos sobre planos inclinados.

Circulo de Mohr

Además, el círculo de Mohr es válido no sólo para esfuerzos sino también para otras cantidades de naturaleza matemática similar, incluyendo deformaciones unitarias y momentos de inercia.

Ecuaciones Circulo de Mohr

El esfuerzo plano se produce cuando el material en un punto está sometido a dos componentes de esfuerzo normal y una de esfuerzo cortante

Ecuaciones Circulo de Mohr

Siempre que estas componentes seanconocidas, las componentes de esfuerzo queactúan sobre un elemento con unaorientación diferente pueden determinarseusando las dos ecuaciones de equilibrio defuerzas o las ecuaciones para latransformación de esfuerzos.

Ecuaciones Circulo de Mohr

Ecuaciones Circulo de MohrPara el diseño, es importante determinar laorientación del elemento que produce los esfuerzosnormales principales máximos y el es-fuerzo cortantemáximo en el plano. Al usar las ecuaciones para latransformación de esfuerzos, se comprueba queningún esfuerzo cortante actúa sobre los planos deesfuerzo principal. Los esfuerzos principales son:

Ecuaciones Circulo de Mohr

Los planos de esfuerzo cortante máximo enel plano se orientan a 45° de esta dirección,y sobre estos planos cortantes existe unesfuerzo normal promedio asociado.

Ecuaciones Circulo de Mohr

Construcción Circulo de Mohr

El círculo de Mohr proporciona un método semigráfico para encontrar el esfuerzo sobre cualquier plano, los esfuerzos normales principales y el esfuerzo cortante máximo en el plano.

Construcción Circulo de Mohr

Para dibujar el círculo, se establecen los ejes se grafican el centro del círculo y el punto de referencia

El radio R del círculo se extiende entre estos dos puntos y se determina mediante la trigonometría.

Construcción Circulo de Mohr

Ecuaciones Circulo de MohrSi son del mismo signo, entonces elesfuerzo cortante máximo absoluto seencuentran fuera de plano.

En el caso de esfuerzo plano, el esfuerzocortante máximo absoluto será igual al esfuerzocortante máximo en el plano siempre que losesfuerzos principales tengan signocontrario.

Construcción Circulo de MohrPaso a Paso

PASO 1. Construya los ejes del plano de Mohr, como se indica en la fi gura y desígnelos σ y τ.

PASO 2 Trace el esfuerzo

aplicado σx (como la línea OA)

a una escala conveniente a lo

largo del eje de esfuerzo

normal (horizontal). Observe

que σx es un esfuerzo de

tensión (positivo) en este

ejemplo.

Construcción Circulo de MohrPaso a Paso

PASO 3. Trace a escala el esfuerzo aplicado σy (como la línea OB), a lo largo del eje del esfuer-zo normal. Observe que σy es un esfuerzo de compresión (negativo) en este ejemplo.

PASO 4. La figura muestra

que el par de esfuerzos

cortantes τxy crea un par en

sentido contrario a las

manecillas del reloj (ccw)

sobre el elemento. Este par se

compensa con el par en

sentido de las manecillas del

reloj (cw) proporcionado por

los esfuerzos cortantes τyx.

NOTA: usando la convención de signos de Mohr de la mano izquierda para el sentido de las manecillas del reloj (cw +) y en sentido contrario a las manecillas del reloj (ccw -).

Construcción Circulo de MohrPaso a Paso

PASO 5. Trace una línea vertical hacia abajo (ccw-) desde la punta de σx(como línea AC) para representar la magnitud a escala de τxy. Trace una línea vertical hacia arriba (cw+) desde la punta de σy (como línea BD) para representar la magnitud a escala de τyx.

PASO 6. El diámetro de uno de los círculos de Mohr es la distancia del punto C al punto D. La línea AB biseca CD. Trace el círculo usando esta intersección como centro.

Construcción Circulo de MohrPaso a Paso

PASO 7. Dos de los tres esfuerzos normales principales se obtienen en las dos intersecciones. que este círculo de Mohr hace con el eje del esfuerzo normal en los puntos P1 y P3: σ1 = 52 426 psi en P1 y σ3 = -32 426 psi en P3.

PASO 8 Puesto que en este

ejemplo no existen esfuerzos

aplicados en la dirección z, se

trata de un estado de

esfuerzo bidimensional y el

tercer esfuerzo principal, σ2,

es igual a cero y está

localizado en el punto O, el

cual también está identificado

como P2.

Construcción Circulo de MohrPaso a Paso

PASO 9. Deben dibujarse otros dos círculos de Mohr. Los tres círculos de Mohr están definidos por los diámetros (σ1 - σ3), (σ1 - σ2) y (σ2 - σ3), los cuales son las líneas P1P3, P2P1 y P2P3. Los tres círculos se muestran en la figura.

PASO 10 Trace líneas tangentes

horizontales desde los extremos

superior e inferior de cada círculo de

Mohr hasta interceptar el eje de corte

(vertical). Esto define los valores de los

esfuerzos cortantes principales

asociados con cada par de esfuerzos

normales principales; es decir, τ13 = 42

426, τ12 = 26 213 y τ23 = 16 213 psi.

Observe que a pesar de tener sólo dos

esfuerzos normales principales

diferentes de cero, hay tres esfuerzos

cortantes principales diferentes de cero.

Sin embargo, sólo el más grande e éstos,

τmáx = τ13 = 42 426 psi, es de interés

para el diseño.

Construcción Circulo de MohrPaso a Paso

PASO 11. También se pueden determinar los ángulos (con respecto a sus ejes x y z originales) e los esfuerzos normal principal y cortante principal, a partir del círculo de Mohr.

JOSE LEONARDO GOMEZ RAMIREZIngeniero Mecánico

Docente TC Ingeniería Electromecánica.

joseleonardogomez@correo.uts.edu.cojose.gomezr@upb.edu.co

Actividad Final – Consulta

1. Resolver los ejercicios enviados a su correo

aplicando Circulo de Mohr.

2. Traer para la próxima clase resueltos. Taller en

clase.

Referencias

• Robert L. Norton (2011). Diseño de Máquinas. Un enfoque integrado, pag76-81