Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son números reales con adiferente de cero.

Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son números reales con adiferente de cero.

DefiniciónDefinición

2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5

3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0

8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1

2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5

3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0

8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1

Ejemplo 1: Ecuaciones linealesEjemplo 1: Ecuaciones lineales

Definición de una ecuación lineal

5x2 + 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado

6x3 + 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado

5x2 + 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado

6x3 + 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado

Contraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones linealesContraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones lineales

Definición de una ecuación lineal

También podemos decir que ax + b = ces una ecuación de primer grado en x.También podemos decir que ax + b = ces una ecuación de primer grado en x.

NotaNota

Decimos que la solución o raíz de una ecuación es elvalor que satisface a la ecuación, es decir, la convierteen una proposición cierta.

Decimos que la solución o raíz de una ecuación es elvalor que satisface a la ecuación, es decir, la convierteen una proposición cierta.

Solución o raíz de una ecuaciónSolución o raíz de una ecuación

Si en la ecuación 2x + 5 = 19 sustituimos x por 7obtenemos:

2(7) + 5 = 19 14 + 5 = 19 Proposición Cierta

Por lo tanto x = 7 es una solución o raíz de la ecuación2x + 5 = 19

Si en la ecuación 2x + 5 = 19 sustituimos x por 7obtenemos:

2(7) + 5 = 19 14 + 5 = 19 Proposición Cierta

Por lo tanto x = 7 es una solución o raíz de la ecuación2x + 5 = 19

Ejemplo 2Ejemplo 2

Raíz o solución de una ecuación

Si en la ecuación 7x - 5 = 16 sustituimos x por 3obtenemos:

7(3) - 5 = 16 21 - 5 = 16 Proposición Cierta

Por lo tanto x = 3 es una solución o raíz de la ecuación7x - 5 = 16

Si en la ecuación 7x - 5 = 16 sustituimos x por 3obtenemos:

7(3) - 5 = 16 21 - 5 = 16 Proposición Cierta

Por lo tanto x = 3 es una solución o raíz de la ecuación7x - 5 = 16

Ejemplo 3Ejemplo 3

Raíz o solución de una ecuación

Si en la ecuación 4x - 9 = 31 sustituimos x por 8obtenemos:

4(8) - 9 = 31 32 - 9 = 31 Proposición Falsa

Por lo tanto x = 8 no es solución de la ecuación 4x - 9 = 31

Si en la ecuación 4x - 9 = 31 sustituimos x por 8obtenemos:

4(8) - 9 = 31 32 - 9 = 31 Proposición Falsa

Por lo tanto x = 8 no es solución de la ecuación 4x - 9 = 31

Contraejemplo 2Contraejemplo 2

Raíz o solución de una ecuación

Decimos que dos o más ecuaciones son equivalentes sitienen las mismas soluciones o raíces.Decimos que dos o más ecuaciones son equivalentes sitienen las mismas soluciones o raíces.

Ecuaciones equivalentesEcuaciones equivalentes

Ecuaciones equivalentes

Ecuaciones equivalentes

Las ecuaciones 6x - 4 = 20 y 6x = 24 son equivalentesporque las dos tienen la misma solución, x = 4.Veamos:

6(4) - 4 = 20 24 + 4 = 20 6(4) = 24

20 = 20 Cierto 24 = 24 Cierto

Por lo tanto son ecuaciones equivalentes.

Las ecuaciones 6x - 4 = 20 y 6x = 24 son equivalentesporque las dos tienen la misma solución, x = 4.Veamos:

6(4) - 4 = 20 24 + 4 = 20 6(4) = 24

20 = 20 Cierto 24 = 24 Cierto

Por lo tanto son ecuaciones equivalentes.

Ejemplo 4Ejemplo 4

Resolver una ecuación significa encontrar la solución através de la obtención de ecuaciones equivalentesutilizando las reglas básicas de las igualdades queestudiaremos a continuación.

Resolver una ecuación significa encontrar la solución através de la obtención de ecuaciones equivalentesutilizando las reglas básicas de las igualdades queestudiaremos a continuación.

Resolver una ecuaciónResolver una ecuación

Solución de una ecuación

Reglas Básicas de las igualdades

Si A, B, C son números reales tales que A = B entonces:

A + C = B + C A - C = B - C

Podemos sumar o restar una misma cantidad a amboslados de una misma ecuación obteniendo una ecuaciónequivalente a la ecuación original.

Si A, B, C son números reales tales que A = B entonces:

A + C = B + C A - C = B - C

Podemos sumar o restar una misma cantidad a amboslados de una misma ecuación obteniendo una ecuaciónequivalente a la ecuación original.

Regla 1Regla 1

Reglas Básicas de las igualdades

Resuelva x + 5 = 18

x + 5 - 5 = 18 - 5 Restamos 5 a ambos lados

x = 13 Solución

Resuelva x + 5 = 18

x + 5 - 5 = 18 - 5 Restamos 5 a ambos lados

x = 13 Solución

Ejemplo 5Ejemplo 5

Reglas Básicas de las igualdades

Resuelva x - 6 = 19

x - 6 + 6 = 19 + 6 Sumamos 6 a ambos lados

x = 25 Solución

Resuelva x - 6 = 19

x - 6 + 6 = 19 + 6 Sumamos 6 a ambos lados

x = 25 Solución

Ejemplo 6Ejemplo 6

Reglas Básicas de las igualdades

Resuelva 7 = -3 + x

7 + 3 = -3 + 3 + x Sumamos 6 a ambos lados

10 = x Solución

Resuelva 7 = -3 + x

7 + 3 = -3 + 3 + x Sumamos 6 a ambos lados

10 = x Solución

Ejemplo 7Ejemplo 7

Reglas Básicas de las igualdades

Si A, B, C son números reales tales que A = B y C ≠ 0 entonces:

A · C = B · C

Podemos multiplicar o dividir una misma cantidad(diferente de cero) a ambos lados de una mismaecuación obteniendo una ecuación equivalente a laecuación original.

Si A, B, C son números reales tales que A = B y C ≠ 0 entonces:

A · C = B · C

Podemos multiplicar o dividir una misma cantidad(diferente de cero) a ambos lados de una mismaecuación obteniendo una ecuación equivalente a laecuación original.

Regla 2Regla 2

C

B

C

A =

Reglas Básicas de las igualdades

Resuelva 7x = 56

Dividimos por 7 a ambos lados

x = 8 Solución

Resuelva 7x = 56

Dividimos por 7 a ambos lados

x = 8 Solución

Ejemplo 8Ejemplo 8

7

56

7

7 =x

Reglas Básicas de las igualdades

Resuelva

Multiplicamos por 6 a ambos lados

x = 180 Solución

Resuelva

Multiplicamos por 6 a ambos lados

x = 180 Solución

Ejemplo 9Ejemplo 9

)30(66

6 =

x

306

=x

Reglas Básicas de las igualdades

Resuelva -4x = -28

Dividimos por 4 a ambos lados

x = 7 Solución

Resuelva -4x = -28

Dividimos por 4 a ambos lados

x = 7 Solución

Ejemplo 10Ejemplo 10

4

28

4

4

−−=

−− x

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las dosreglas para resolver la misma ecuación.Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las dosreglas para resolver la misma ecuación.

NotaNota

Reglas Básicas de las igualdades

Resuelva 3x + 5 = 8Resuelva 3x + 5 = 8

Ejemplo 11Ejemplo 11

13

3

3

3

33

58553

=

=

=−=−+

x

x

x

x Restamos 5 a ambos lados

Simplificamos

Dividimos por 3 a ambos lados

Solución

Reglas Básicas de las igualdades

Resuelva

Prueba:

Resuelva

Prueba:

Ejemplo 12Ejemplo 12

54

)18(33

3

183

61266

=

=

=

+=+−

x

x

x

x Sumamos 6 a ambos lados

Simplificamos

Multiplicamos por 3 a ambos lados

Solución

1263

=−x

12618

1263

54

=−

=−

Cierto

Reglas Básicas de las igualdades

Resuelva 120 – 80x = 50

Prueba:

Resuelva 120 – 80x = 50

Prueba:

Ejemplo 13Ejemplo 13

8

780

70

80

80

7080

1205080120120

=

−−=

−−

−=−−=−−

x

x

x Restamos 120 a ambos lados

Simplificamos

Dividimos por -80 a ambos lados

Solución (Simplificada)

5070120

508

780120

=−

=

−

Cierto

Ver Respuestas

1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41

2) x - 3 = 25 7)

3) 5x = 110 8) 3 = 8 + 3x

4) 9) 6 = 5x - 4

5) 5x - 6 = 48 10)

1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41

2) x - 3 = 25 7)

3) 5x = 110 8) 3 = 8 + 3x

4) 9) 6 = 5x - 4

5) 5x - 6 = 48 10)

Post-pruebaPost-prueba

486

=x

204

5 =+ x

843

2 =−x

1) x + 8 = 12 x = 4 6) 7x + 4 = 41 x =

2) x - 3 = 25 x = 28 7) x = 60

3) 5x = 110 x = 22 8) 3 = 8 + 3x x =

4) x = 288 9) 6 = 5x - 4 x =2

5) 5x - 6 = 48 x = 10) x = 18

1) x + 8 = 12 x = 4 6) 7x + 4 = 41 x =

2) x - 3 = 25 x = 28 7) x = 60

3) 5x = 110 x = 22 8) 3 = 8 + 3x x =

4) x = 288 9) 6 = 5x - 4 x =2

5) 5x - 6 = 48 x = 10) x = 18

Post-prueba - RespuestasPost-prueba - Respuestas

486

=x

204

5 =+ x

843

2 =−x5

54

7

37

3

5−