Post on 26-Jul-2015
Análisis y representación de funciones
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Definición de función
Una función f es una relación entre dos conjuntos numéricos A y B, de manera que a cada valor del conjunto A le hace corresponder un único valor del segundo, conjunto B.
f: A→Bx→f(x)
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2
3
6
4
36
9
A B
Seguimos analizando
¿Todas estas gráficas son funciones?
NO. De ellas, sólo tres
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Seguimos analizando
¿Todas estas gráficas son funciones?
NO. De ellas, sólo tres
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Analicemos un ejemplo
Esta curva muestra la audiencia de televisión de un canal determinado en un día cualquiera, donde la variable independiente es el tiempo y la variable dependiente son los televidentes.
a) ¿Cuáles son sus puntos con más televidentes? b) ¿En qué momento tuvo la menor audiencia?c) ¿En qué intervalos ha crecido la audiencia?
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El dominio de la función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x.
Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical se interseca con la curva más de una vez.
Dominio y recorrido
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Restricciones:
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Las restricciones de dominio se establecen en los siguientes casos:
Denominador no puede ser nuloRadicando positivo o nulo, si el índice de raíz es parEn caso de ser función logaritmo, su argumento debe ser positivo
Restricciones del dominio
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Imagen y recorrido
Imagen:
Es el conjunto de valores f(x) que toma la función. La leemos sobre el eje y
Recorrido: Es el conjunto de todos los pares (x;f(x)), que representamos en el plano.
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Raíces o puntos de corte con los ejes.
El eje de abscisas es la recta de ecuación y=0.
Para hallar los puntos de corte de una función y=f(x) con el eje de abscisas, debe ser f(x)=0.
El eje de ordenadas es la recta de ecuación x=0.
El punto de corte de una función con el eje de ordenadas, si existe, es (0,f(0)),
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Continuidad. Discontinuidad.
Una función f es continua cuando puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Cada vez que sea necesario levantarlo para seguir dibujando se produce una discontinuidad.En todos los puntos en los que f no está definida se produce una discontinuidad, un salto de su gráfica.Se basa en el estudio de los límites.
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Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a pegarse la gráfica de la función; esto es, la curva correspondiente a la función se acerca cada vez más a una recta. Pueden ser verticales, horizontales y oblicuas.
Las funciones de la forma P(x)/Q(x), pueden tener asíntotas verticales en aquellos puntos que anulen el denominador (Q(x)=0).
Asíntotas.
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Paridad o simetrías
Una función es par si f(x)=f(-x) para todo x de su dominio.
Las funciones pares son simétricas respecto del eje OY.
Una función es impar si f(x)=-f(-x) para todo x de su dominio.
Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.
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Máximos y mínimos relativos.
f(x) tiene un máximo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≤f(a) ≥ f(a+h) f(x) tiene un mínimo en un punto x=a ↔ f(a-h) ≥ f(a)≤f(a+h)
Los máximos y mínimos relativos existen, cuando la función pasa de ser creciente a decreciente o, a la inversa.
Su presencia se produce cuando la derivada primera se anula en algún x0.Para determinarlo y esta-blecer tipo, se reemplaza dicho x0 en derivada según-da.
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f(x) es creciente en un intervalo (X1, X2) cuando lo es para todo x entre X1 y X2.
En ese intervalo, su derivada es positiva
f(x) es decreciente en un intervalo (X1, X2) cuando lo es para todo x de él.En ese intervalo, su derivada es negativa
Crecimiento.
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Los puntos de inflexión se producen cuando una curva pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.Esto sucede cuando la derivada segunda se anula en algún x0.Para determinarlo y establecer tipo, se reemplaza dicho valor en la derivada tercera.
Punto de inflexión.
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Resumiendo:
Máximo relativo
Punto de inflexión
Mínimo relativo
Pendiente negativa: decrece
Pendiente positiva: crece
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Función impar