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Matemticas I. Grado en Qumica. Curso 2013/2014

Primer examen parcial (31-10-2013)

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En las preguntas tipo test: slo hay que marcar la respuesta correcta; adems, una respuesta incorrectaresta el 25% de la puntuacin de la pregunta, y una respuesta en blanco ni suma ni resta.

Cuestiones

(0,8 pt) 1. Si sabemos que dim(W1) = dim(W2) = dim(W1 W2), podemos afirmar que W1 = W2? S, pues, W1 W1 + W2, W2 W1 + W2 y de la frmula de las dimensiones obtendramosdim(W1) = dim(W1 + W2) = dim(W2).

S, pues en tal caso, siempre se tiene W1 + W2 {0} y de la frmula de las dimensiones resultadim(W1) = dim(W2) = 0.

No lo podemos afirmar si no tenemos ms informacin sobre W1 y W2. No, es ms, en esas condiciones siempre se tendra W1 6= W2.

(0,8 pt) 2. Es el conjunto W = {(k, k 1) : k R} un subespacio vectorial de R2? S, pues, para cualesquiera v, w W y , R, se tiene que v + w W . No, pues, (1, 0) W y, sin embargo, 2 (1, 0) / W . No, pues, (1, 0), (1, 1) W y tenemos (1, 0) + (1, 1) W . S, pues, para cualesquiera v, w W , se tiene que v + w W .

(0,8 pt) 3. Sea f : R2 R3 la aplicacin lineal definida por f(x1, x2) = (x1, 0, x1 + x2). Cul es la dimensinde la imagen de f?

dim (f (R2)) = 0 dim (f (R2)) = 1 dim (f (R2)) = 2 dim (f (R2)) = 3

Problemas

(2 ptos) 4. Sea B = {u1, u2, u3, u4} una base de R4 y sean v1 = u1, v2 = u1 + u2, v3 = u2 + u3 + u4,v4 = u1 + u2 + u3 u4.a) Escriba las coordenadas de los vectores v1, v2, v3, v4 respecto de la base B, y pruebe que

B = {v1, v2, v3, v4} tambin es base de R4.b) Escriba la matriz de cambio de base de la base B a la base B.c) Calcule la matriz de cambio de base de la base B a la base B.

(1,6 pt) 5. Dados los vectores v1 = (1, 0, 2), v2 = (0,1, 1) R3, proporcione una base de R3 que los contenga.

(2 ptos) 6. Considere el subespacio vectorial W = lin({(1, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1, 1)}) deR5. Obtenga una base, unas ecuaciones paramtricas y unas ecuaciones cartesianas de W .

(2 ptos) 7. Sea f : R3 R3 la aplicacin lineal definida por f(x1, x2, x3) = (x1, 0, x2 + x3).a) Obtenga la matriz asociada a f respecto la base cannica de R3, A = M(f,Bc, Bc).b) Calcule el polinomio caracterstico de A y los autovalores de f .c) Halle unas ecuaciones cartesianas de los subespacios propios asociados a los autovalores de f .d) Estudie si f es diagonalizable. En caso afirmativo, complete el proceso de diagonalizacin

dando: una base Baut de R3 formada por autovectores de f , la matriz asociada a f respectode Baut y la matriz P de cambio de base de Baut a la base cannica Bc.

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