Exam1ºA_31_10_2013
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A Matemáticas I. Grado en Química. Curso 2013/2014 Primer examen parcial (31-10-2013) Nombre: .......................................................................... En las preguntas tipo test: sólo hay que marcar la respuesta correcta; además, una respuesta incorrecta resta el 25 % de la puntuación de la pregunta, y una respuesta en blanco ni suma ni resta. Cuestiones (0,8 pt) 1. Si sabemos que dim(W 1 ) = dim(W 2 ) = dim(W 1 ∩ W 2 ), ¿podemos afirmar que W 1 = W 2 ? Sí, pues, W 1 ⊆ W 1 + W 2 , W 2 ⊆ W 1 + W 2 y de la fórmula de las dimensiones obtendríamos dim(W 1 ) = dim(W 1 + W 2 ) = dim(W 2 ). Sí, pues en tal caso, siempre se tiene W 1 + W 2 ⊆{0} y de la fórmula de las dimensiones resulta dim(W 1 ) = dim(W 2 )=0. No lo podemos afirmar si no tenemos más información sobre W 1 y W 2 . No, es más, en esas condiciones siempre se tendría W 1 6= W 2 . (0,8 pt) 2. ¿Es el conjunto W = {(k,k - 1): k ∈ R} un subespacio vectorial de R 2 ? Sí, pues, para cualesquiera v,w ∈ W y α, β ∈ R, se tiene que αv + βw ∈ W . No, pues, (1, 0) ∈ W y, sin embargo, 2 (1, 0) / ∈ W . No, pues, (1, 0), (1, 1) ∈ W y tenemos (1, 0) + (1, 1) ∈ W . Sí, pues, para cualesquiera v,w ∈ W , se tiene que v + w ∈ W . (0,8 pt) 3. Sea f : R 2 → R 3 la aplicación lineal definida por f (x 1 ,x 2 )=(x 1 , 0,x 1 + x 2 ). ¿Cuál es la dimensión de la imagen de f ? dim ( f ( R 2 )) =0 dim ( f ( R 2 )) =1 dim ( f ( R 2 )) =2 dim ( f ( R 2 )) =3 Problemas (2 ptos) 4. Sea B = {u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 } una base de R 4 y sean v 1 = u 1 , v 2 = u 1 + u 2 , v 3 = u 2 + u 3 + u 4 , v 4 = u 1 + u 2 + u 3 - u 4 . a ) Escriba las coordenadas de los vectores v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 respecto de la base B, y pruebe que B 0 = {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } también es base de R 4 . b ) Escriba la matriz de cambio de base de la base B 0 a la base B. c ) Calcule la matriz de cambio de base de la base B a la base B 0 . (1,6 pt) 5. Dados los vectores v 1 = (1, 0, 2),v 2 = (0, -1, 1) ∈ R 3 , proporcione una base de R 3 que los contenga. (2 ptos) 6. Considere el subespacio vectorial W = lin({(1, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1, 1)}) de R 5 . Obtenga una base, unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianas de W . (2 ptos) 7. Sea f : R 3 → R 3 la aplicación lineal definida por f (x 1 ,x 2 ,x 3 )=(x 1 , 0,x 2 + x 3 ). a ) Obtenga la matriz asociada a f respecto la base canónica de R 3 , A = M (f,B c ,B c ). b ) Calcule el polinomio característico de A y los autovalores de f . c ) Halle unas ecuaciones cartesianas de los subespacios propios asociados a los autovalores de f . d ) Estudie si f es diagonalizable. En caso afirmativo, complete el proceso de diagonalización dando: una base B aut de R 3 formada por autovectores de f , la matriz asociada a f respecto de B aut y la matriz P de cambio de base de B aut a la base canónica B c . 1
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A
Matemticas I. Grado en Qumica. Curso 2013/2014
Primer examen parcial (31-10-2013)
Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En las preguntas tipo test: slo hay que marcar la respuesta correcta; adems, una respuesta incorrectaresta el 25% de la puntuacin de la pregunta, y una respuesta en blanco ni suma ni resta.
Cuestiones
(0,8 pt) 1. Si sabemos que dim(W1) = dim(W2) = dim(W1 W2), podemos afirmar que W1 = W2? S, pues, W1 W1 + W2, W2 W1 + W2 y de la frmula de las dimensiones obtendramosdim(W1) = dim(W1 + W2) = dim(W2).
S, pues en tal caso, siempre se tiene W1 + W2 {0} y de la frmula de las dimensiones resultadim(W1) = dim(W2) = 0.
No lo podemos afirmar si no tenemos ms informacin sobre W1 y W2. No, es ms, en esas condiciones siempre se tendra W1 6= W2.
(0,8 pt) 2. Es el conjunto W = {(k, k 1) : k R} un subespacio vectorial de R2? S, pues, para cualesquiera v, w W y , R, se tiene que v + w W . No, pues, (1, 0) W y, sin embargo, 2 (1, 0) / W . No, pues, (1, 0), (1, 1) W y tenemos (1, 0) + (1, 1) W . S, pues, para cualesquiera v, w W , se tiene que v + w W .
(0,8 pt) 3. Sea f : R2 R3 la aplicacin lineal definida por f(x1, x2) = (x1, 0, x1 + x2). Cul es la dimensinde la imagen de f?
dim (f (R2)) = 0 dim (f (R2)) = 1 dim (f (R2)) = 2 dim (f (R2)) = 3
Problemas
(2 ptos) 4. Sea B = {u1, u2, u3, u4} una base de R4 y sean v1 = u1, v2 = u1 + u2, v3 = u2 + u3 + u4,v4 = u1 + u2 + u3 u4.a) Escriba las coordenadas de los vectores v1, v2, v3, v4 respecto de la base B, y pruebe que
B = {v1, v2, v3, v4} tambin es base de R4.b) Escriba la matriz de cambio de base de la base B a la base B.c) Calcule la matriz de cambio de base de la base B a la base B.
(1,6 pt) 5. Dados los vectores v1 = (1, 0, 2), v2 = (0,1, 1) R3, proporcione una base de R3 que los contenga.
(2 ptos) 6. Considere el subespacio vectorial W = lin({(1, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1, 1)}) deR5. Obtenga una base, unas ecuaciones paramtricas y unas ecuaciones cartesianas de W .
(2 ptos) 7. Sea f : R3 R3 la aplicacin lineal definida por f(x1, x2, x3) = (x1, 0, x2 + x3).a) Obtenga la matriz asociada a f respecto la base cannica de R3, A = M(f,Bc, Bc).b) Calcule el polinomio caracterstico de A y los autovalores de f .c) Halle unas ecuaciones cartesianas de los subespacios propios asociados a los autovalores de f .d) Estudie si f es diagonalizable. En caso afirmativo, complete el proceso de diagonalizacin
dando: una base Baut de R3 formada por autovectores de f , la matriz asociada a f respectode Baut y la matriz P de cambio de base de Baut a la base cannica Bc.
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