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Matemticas I. Grado en Qumica. Curso 2013/2014

Examen global (21-1-2014)

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En las preguntas tipo test: slo hay que marcar la respuesta correcta; adems, una respuesta incorrectaresta el 25 % de la puntuacin de la pregunta, y una respuesta en blanco ni suma ni resta.

Cuestiones

(0,8 pt) 1. Sea f : R3 R2 la funcin definida por f(x, y, z) =(x2 + y + z, x

)para todo (x, y, z) R3. Cul

es la derivada direccional de f en el punto p = (1, 1, 1) segn la direccin del vector v = (1, 2, 1)?

Dvf(p) = 5 Dvf(p) = (5, 1) Dvf(p) = (, 1) Dvf(p) = (5, 1, 1)

(0,8 pt) 2. Sea F : R R la integral indefinida dada por F (x) = x0

1 + t2 dt para todo x R. Cul es la

derivada de F?

F (x) =1 + x2 F (x) = x

1 + x2 F (x) =

1 + x21 F no es derivable

(0,8 pt) 3. Sea D = {(x, y) R2 : x [0, 1], 0 y x}. La integral doble

D(x+ y) d(x, y) es igual a:

1 1/2 /2 0

Problemas

(1,2 pt) 4. Sea f : R2 R3 la aplicacin lineal definida por f(x, y) = (x, x+ y, x y) para todo (x, y) R2.

a) Calcule una base y las ecuaciones cartesianas de la imagen de f .

b) Pertenece el vector (1, 1, 0) a la imagen de f?

(1,6 pt) 5. Estudie si el endomorfismo f : R3 R3, definido por f(x, y, z) = (5x 4z, 3y, 2x z) para todo(x, y, z) R3, es diagonalizable. En caso afirmativo, realice el proceso de diagonalizacin propor-cionando: una base Baut de R3 formada por autovectores de f , la matriz asociada a f respecto deBaut y la matriz P de cambio de base de Baut a la base cannica Bc.

(1,6 pt) 6. Sea f : [2, 0] R la funcin definida por f(x) = xex para todo x [2, 0].

a) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .

b) Compruebe si existen el mximo absoluto y el mnimo absoluto de f , y calclelos en caso deque existan.

c) Use el teorema del valor intermedio y los resultados obtenidos sobre los extremos absolutos def para hallar la imagen de f .

(1,6 pt) 7. Sea f : R+ R la funcin definida por f(x) = ln(x) para todo x R+.

a) Obtenga el polinomio de Taylor de f en a = 1 de orden 2, P2(x).

b) Dado x ]0, 1[ , aplique el teorema de Taylor en el intervalo [x, 1] y escriba la expresin delresto f(x) P2(x) que nos da dicho teorema.

c) Para x = 1/2, obtenga la aproximacin P2(1/2) de f(1/2) = ln(1/2), y pruebe que el errorcometido en dicha aproximacin es menor que 1/3.

(1,6 pt) 8. Sea f : [0, 1] R la funcin definida por f(x) = 1x3 + x2 + 4x+ 4

para todo x [0, 1]. Calcule elrea de la regin del plano limitada por la grfica de f , el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 1.

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