Examfinal_21_1_2014
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A Matemáticas I. Grado en Química. Curso 2013/2014 Examen global (21-1-2014) Nombre: .......................................................................... En las preguntas tipo test: sólo hay que marcar la respuesta correcta; además, una respuesta incorrecta resta el 25 % de la puntuación de la pregunta, y una respuesta en blanco ni suma ni resta. Cuestiones (0,8 pt) 1. Sea f : R 3 → R 2 la función definida por f (x, y, z )= ( x 2 + y + z,x ) para todo (x, y, z ) ∈ R 3 . ¿Cuál es la derivada direccional de f en el punto p = (1, 1, 1) según la dirección del vector v = (1, 2, 1)? D v f (p)=5 D v f (p) = (5, 1) D v f (p)=(π, 1) D v f (p) = (5, 1, 1) (0,8 pt) 2. Sea F : R → R la integral indefinida dada por F (x)= Z x 0 p 1+ t 2 dt para todo x ∈ R. ¿Cuál es la derivada de F ? F 0 (x)= √ 1+ x 2 F 0 (x)= x √ 1+ x 2 F 0 (x)= √ 1+ x 2 - 1 F no es derivable (0,8 pt) 3. Sea D = {(x, y) ∈ R 2 : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ x}. La integral doble ZZ D (x + y) d(x, y) es igual a: 1 1/2 π/2 0 Problemas (1,2 pt) 4. Sea f : R 2 → R 3 la aplicación lineal definida por f (x, y)=(x, x + y,x - y) para todo (x, y) ∈ R 2 . a ) Calcule una base y las ecuaciones cartesianas de la imagen de f . b ) ¿Pertenece el vector (1, 1, 0) a la imagen de f ? (1,6 pt) 5. Estudie si el endomorfismo f : R 3 → R 3 , definido por f (x, y, z ) = (5x - 4z, 3y, 2x - z ) para todo (x, y, z ) ∈ R 3 , es diagonalizable. En caso afirmativo, realice el proceso de diagonalización propor- cionando: una base B aut de R 3 formada por autovectores de f , la matriz asociada a f respecto de B aut y la matriz P de cambio de base de B aut a la base canónica B c . (1,6 pt) 6. Sea f :[-2, 0] → R la función definida por f (x)= xe x para todo x ∈ [-2, 0]. a ) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . b ) Compruebe si existen el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f , y calcúlelos en caso de que existan. c ) Use el teorema del valor intermedio y los resultados obtenidos sobre los extremos absolutos de f para hallar la imagen de f . (1,6 pt) 7. Sea f : R + → R la función definida por f (x) = ln(x) para todo x ∈ R + . a ) Obtenga el polinomio de Taylor de f en a =1 de orden 2, P 2 (x). b ) Dado x ∈ ]0, 1[ , aplique el teorema de Taylor en el intervalo [x, 1] y escriba la expresión del resto f (x) - P 2 (x) que nos da dicho teorema. c ) Para x =1/2, obtenga la aproximación P 2 (1/2) de f (1/2) = ln(1/2), y pruebe que el error cometido en dicha aproximación es menor que 1/3. (1,6 pt) 8. Sea f : [0, 1] → R la función definida por f (x)= 1 x 3 + x 2 +4x +4 para todo x ∈ [0, 1]. Calcule el área de la región del plano limitada por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas x =0 y x =1. 1
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Matemticas I. Grado en Qumica. Curso 2013/2014
Examen global (21-1-2014)
Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En las preguntas tipo test: slo hay que marcar la respuesta correcta; adems, una respuesta incorrectaresta el 25 % de la puntuacin de la pregunta, y una respuesta en blanco ni suma ni resta.
Cuestiones
(0,8 pt) 1. Sea f : R3 R2 la funcin definida por f(x, y, z) =(x2 + y + z, x
)para todo (x, y, z) R3. Cul
es la derivada direccional de f en el punto p = (1, 1, 1) segn la direccin del vector v = (1, 2, 1)?
Dvf(p) = 5 Dvf(p) = (5, 1) Dvf(p) = (, 1) Dvf(p) = (5, 1, 1)
(0,8 pt) 2. Sea F : R R la integral indefinida dada por F (x) = x0
1 + t2 dt para todo x R. Cul es la
derivada de F?
F (x) =1 + x2 F (x) = x
1 + x2 F (x) =
1 + x21 F no es derivable
(0,8 pt) 3. Sea D = {(x, y) R2 : x [0, 1], 0 y x}. La integral doble
D(x+ y) d(x, y) es igual a:
1 1/2 /2 0
Problemas
(1,2 pt) 4. Sea f : R2 R3 la aplicacin lineal definida por f(x, y) = (x, x+ y, x y) para todo (x, y) R2.
a) Calcule una base y las ecuaciones cartesianas de la imagen de f .
b) Pertenece el vector (1, 1, 0) a la imagen de f?
(1,6 pt) 5. Estudie si el endomorfismo f : R3 R3, definido por f(x, y, z) = (5x 4z, 3y, 2x z) para todo(x, y, z) R3, es diagonalizable. En caso afirmativo, realice el proceso de diagonalizacin propor-cionando: una base Baut de R3 formada por autovectores de f , la matriz asociada a f respecto deBaut y la matriz P de cambio de base de Baut a la base cannica Bc.
(1,6 pt) 6. Sea f : [2, 0] R la funcin definida por f(x) = xex para todo x [2, 0].
a) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .
b) Compruebe si existen el mximo absoluto y el mnimo absoluto de f , y calclelos en caso deque existan.
c) Use el teorema del valor intermedio y los resultados obtenidos sobre los extremos absolutos def para hallar la imagen de f .
(1,6 pt) 7. Sea f : R+ R la funcin definida por f(x) = ln(x) para todo x R+.
a) Obtenga el polinomio de Taylor de f en a = 1 de orden 2, P2(x).
b) Dado x ]0, 1[ , aplique el teorema de Taylor en el intervalo [x, 1] y escriba la expresin delresto f(x) P2(x) que nos da dicho teorema.
c) Para x = 1/2, obtenga la aproximacin P2(1/2) de f(1/2) = ln(1/2), y pruebe que el errorcometido en dicha aproximacin es menor que 1/3.
(1,6 pt) 8. Sea f : [0, 1] R la funcin definida por f(x) = 1x3 + x2 + 4x+ 4
para todo x [0, 1]. Calcule elrea de la regin del plano limitada por la grfica de f , el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 1.
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