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Funciones Abiertas
Migue Angel Gonzalez Gutıerrez
Universidad del Tolima
Facultad de Ciencias Basicas
Departamento de Matematicas y Estadıstica
Programa de Maestrıa en Matematicas
Ibague
Noviembre 1 de 2015
1. Funciones Abiertas
Definicion 1.
Sea X y Y son espacios metricos. Entonces T : D(T ) −→ Y con dominio D(T ) es
llamado un mapa abierto si para cada conjunto abierto en D(T ) la imagen de el es un
conjunto abierto en Y
Proposicion 1.
Sea T : X −→ Y un operador lineal donde X y Y son espacios normados y A ⊂ X
entonces
T
( ∞⋃k=1
kA
)=∞⋃k=1
kT (A) donde kA = {x ∈ x | x = ka ∃ a ∈ A} y k > 0
Proposicion 2.
Sea X un espacio normado y A ⊂ X entonces el conjunto kA es cerrado en X y ademas
Si A ⊂ B entonces kA ⊂ kB con k > 0 y A+ k ⊂ B + k.
Lema 1. (Bola abierta unitaria)
Un operador lineal acotado de un espacio de Banach X sobre un espacio de Banach Y
tiene la propiedad de que la imagen T (B0) de una bola abierta unitaria B0 = B(0, 1) ⊂
X contiene una bola abierta cerca del 0 ∈ Y
Demostracion
Procedimiento para realizar la prueba.
a) La clausura de la imagen de una bola abierta B1 = B(0, 12
) contiene una bola abierta
B∗
b) T (Bn) contiene una bola Vn cerca 0 ∈ Y , donde Bn = B(0, 2−n) ⊂ X.
c) T (B0) contiene una bola abierta cerca 0 ∈ Y .
a)
Consideremos la bola abierta B1 = B(0, 1
2) ⊂ X. Entonces para cualquier x ∈ X fijo
2
(k > 2||x||). Por tanto tenemos
X =
∞⋃k=1
kB1.
Por ser T sobreyectiva, linear y por las proposiciones 1,2 tenemos
Y = T (X) = T
( ∞⋃k=1
kB1
)=∞⋃k=1
kT (B1) =∞⋃k=1
kT (B1)
Notemos que no necesitamos anadir mas punto ala union porque la union es todo el
espacio Y , y tambien notemos que Y es un conjunto de segunda categorıa o no magro
porque es uniones de algunos conjuntos no raro y como Y es completo por ser Y un
espacio de Banach tenemos por el teorema 4,7 − 2 (categorıa de Baire), que kT (B1)
contiene una bola abierta V lo cual implica que T (B1) contiene una bola abierta1
kV y
a esa bola abierta la llamamos B∗ = B(y0, ε) ⊂ T (B1) de donde tenemos
(1) B∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B1)− y0
b)
Ahora se probara B∗ − y0 ⊂ T (B0) donde B0 = B(0, 1) en efecto.
Sea y ∈ T (B1) − y0. Entonces y + y0 ∈ T (B1 y por lo anterior tenemos y0 ∈ T (B1),
tambien por el teorema 1.4-6 [clausura] parte (a) entonces existe sucesiones (un) y (vn)
tal que
un = Twn ∈ T (B1) donde un −→ y + y0,
vn = Tzn ∈ T (B1) donde vn −→ y0,y ademas tenemos wn, zn ∈ B1 y B1 tiene
radio1
2, luego tenemos
||wn − zn|| ≤ ||wn||+ ||zn|| <1
2+
1
2= 1
Lo que implica wn − zn ∈ B0. Lo cual cuando n −→∞ se tiene
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T (wn − zn) = Twn − Tzn = un − vn −→ y + y0 − y0 = y
lo cual vemos y ∈ T (B0). y ası vemos que T (B1)− y0 ⊂ T (B0)
luego por (1)y propiedad transitiva tenemos lo que querıamos probar es decir
(2) B∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B0)
Ahora sea Bn = B(0, 2−n) ⊂ X. Como T es linear, tenemos T (Bn) = 2−nT (B0) por
(2) obtenemos
(3) Vn = B(0, ε
2n) ⊂ T (Bn)
c)
Ahora para terminar debemos probar que
V1 = B(0, ε2) ⊂ T (B0)
En efecto Sea y ∈ V1 cualquiera entonces por (3) en n = 1 tenemos V1 ⊂ T (B1) lo
cual implica que y ∈ T (B1) luego por definicion de la clausura tenemos que existe un
v ∈ TB1) tal que para cualquier ε > 0 se tiene ||y − v|| < ε en particular tenemos
||y − v||| < ε
4y como v ∈ TB1) implica que v = Tx1 para algun x1 ∈ B1, de donde
obtenemos
||y − Tx1|| <ε
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Luego por (3) con n = 2 tenemos y − Tx1 ∈ v2 ⊂ T (B2) lo cual por nuevamente por
definicion de clausura tenemos que existe un x2 ∈ B2 talque
||(y − Tx1)− Tx2|| <1
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4
de donde obtenemos y−Tx1−Tx2 ∈ V3 ⊂ T (B3) y repitiendo el razonamiento n veces
utilizando (3) llegamos a que existe un xn ∈ Bn talque
(4) || y −n∑
k=1
Txk || < ε
2n+1
Sea zn =n∑
k=1
xk donde cada Bk ∈ Bk luego por hipotesis tenemos ||xk|| <1
2k. Entonces
si n > m tenemos
||zn − zm|| ≤n∑
k=m+1
||xk|| ≤∞∑
k=m+1
||xk|| <∞∑
k=m+1
1
2k−→ 0
cuando m −→ 0 ya que la serie geometrica converge en1
2y ademas tenemos
∞∑k=1
1
2k= 1
de donde∞∑
k=m+1
1
2k= 1−
m∑k=1
1
2k
Por tanto (zn) es de Cauchy y como X es completo tenemos que (zn) es convergente y
ası zn −→ x donde x ∈ X y por otro lado tenemos que
||zn|| ≤n∑
k=1
||xk|| <n∑
k=1
1
2k
y de aquı se ve por la serie geometrica y zn −→ x que
||x|| < 1 luego x ∈ B0 y como T es acotado entonces es continua luego Tzn −→ Tx y
por (4) se ve claro que tx = y, de donde concluimos que y ∈ T (B0)
Teorema 1. Un operador lineal acotado T que va de un espacio de Banach X sobre
un espacio de Banach Y entonces T es abierto, y ademas si T es biyectiva entonce T−1
es continua y es acotada.
Demostracion Sea T un operador acotado lineal que va de un espacio de Banach X
sobre un espacio de Banach Y , debemos ver que T es un mapa abierto, en efecto
Sea A un conjunto abierto y supongamos que y ∈ T (A) entonces existe x ∈ A tal que
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Tx = y, como A es un conjunto abierto tenemos que existe un bola abierta B centrada
en x que esta totalmente contenido en A, y su pongamos sin perdida de generalidad
que el radio de esa bola abierta sea r es decir B = B(x, r) entonces el conjunto1
rA−x
contiene la bola abierta B0 = B(0, 1) =1
rB(x, r)− x, luego por el lema 1 tenemos que
T (B0) contiene una bola abierta B∗ cerca del cero y como T (B0) ⊂ T (1
rA − x), por
lo que T (1
rA − x) =
1
kT (A) − T (x) contiene una bola abierta B∗ y por tanto T (A)
contiene un bola abierta cerca de y que es kB∗ + y lo que implica que T (A) es un
conjunto abierto y por tanto T es un mapa abierto.
Si T es una funcion biyectiva tenemos que G = T−1 existe y sea B un abierto de X
como T es un mapa abierto tenemos que T (A) es un abierto y por otro lado tenemos
G−1(A) = T (A), lo cual tenemos que la imagen reciproca de G es abierta y por teorema
de continuidad tenemos que G es continua y como T es un operador lineal entonces G
tambien lo es y por ser G continua tenemos por teorema 2.7-9 tenemos que acotada.
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