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mientras hay deacutekit de energiacutea o sea illlerferellLIacutelI uacutee~1ructil(l en los punlos para los cuales
O=(211 iexcl)If 11=02 ONDAS EN OPOSICION DE FASE
211 Meacutetodo de fasores
Ilcmos encontrado la resultante Je la superposicioacuten dc dos ondas armoacutenicas progresivas
haciendo uso del principio de superposicioacuten y por 10 tanto sumando las ecuaciones horarias de
las dos ondas componcnts o lo que cs lo mismo suponiendo (para las ondas mecaacutenicas) que
el desplazamieHto de cualqnier la-tiacutecllla del medio de proplgacioacuten fuern la suma de los
Jcsplazamientos producidogt indepcndiclllemcnte por las dos ondas componentcs Es claro
que este procedimiento es viaLle y ruacutepido cuando solamente se SlIpel1omn dos perturbaciones
pero se vuelve engorroso cuando se quiereu superponer tres o maacutes ondas
En estos casos es prefclible utilizar el meacutetodo de fasores Aquiacute describiremos este meacutetodo
para obtcaer la superposicioacuten de dos olidas armoacutenicas de la misma frecuencia lo que pcrnlIacutete
resallar el hecho que este meacutetodo cunduce a los mismos resultados que hemos obtenido con el
meacutetodo anterior
Supongamos cntonces que quercmos obtener la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante
de la superposicioacuten de dos ondns annoacuteuicas de la mismiexcl frecuencia cuyas ecuaciones horarias
son
JJ (x 1) =aJ se (kx - (iexcl) 1+ fJ ) Y2 (x t) = ti 1seu (kx - (d I + fJ 2)
Calcllklllos las perturbaciones en X =O al tiempo t =O
JI I (00) = 11 J se fJ J] (00) -= tl2 tII lf2
y represenlemos lSIOS dsplazamicrILls en ~oordenaJas polares C0lTIO dos cctores Je
moacutedulos ti a2 luacutennUldo uacutengulo tp l fJ 2 nspectivamcnlc con el ejc horizontal
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y (~
iexcl------ shy
xo
iacuteigura 23 Meacutetodo de fasores Dctenninocioacuten vectorial de la amplitud y de la fase inicial de la onda resultante
Como puede verse de la Figura 23 las proyecciones verticales de estos vectores corresponden
exactiexclunentc a los valores YI (00) Y2 (00) entonces la amplitud de la perturbacioacuten
resultante podraacute detclminarse a traveacutes de la resultante de los vcctores represcntativos de las
amplitudes de tas dos ondas componentes y su f1Se inicial a traveacutes del aacutengulo que ese vector
fonnc con el eje horizontal
iquest
tpliclUldo el teorema del coseno al triaacutengulo OBC se obtiene inmediatamentc
o sea
(212)
ecuacioacuten en tuumldo ideacutentica a la (25)
Por otro latlo las componen les horizontal y vertical tlcl vector A tleben ~cr iguales a las
Sllmas de las componcntes horizolltaks y vcnicalcs de los vcctorc- f I J (12
~_----------------~--~~ ---~--~-------- ---__--- -
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Componenlts X Ax =A cos () = ti J COS tp J + (1] cos ffJ 2
Componentes y Ay =A sell O= aJ se rp J + a2 se rp 2
de donde
A sen O () aI se rp J + a2 sen rp 2---==tall (213)A cos O al cos rp I + a 2 cos rp 2
ecuacioacuten igual a la (26)
Esto implica que la perturhacioacuten resultante en X =O al tiempo 1 =O es igual a la suma de
las perturbaciones componentes en X == O al liellpo f =O
J (OO) )1 (00) + y 2 ( 00) o sea
A sen () =( I sen tp J + a2 seu rp 2
Qucda ahora por dcmostrar que el meacutetodo es vaacutelido para eualquiacute~r valor de X y en todo
momento lo cual es inmcdiato si se piensn que la variacioacuten de x o la variacioacuten de t produce
una rotacioacuten de los veclores al a2 y A sin alterar sus moacutedulos ni su muhla orientacioacuten 10
anterior implica que el moacutedulo del vector resultante no cambia cuando nos desplacemos a lo
largo del medio de propagacioacuten ni trunpoco con el tiempo dado que los tTes vectores rotan
solidariamente por consiguiente podemos concluir que la ecuacioacuten horariu de la perturbacioacuten
resultante es
) (x 1) =y I (x t) + J 2 (x t) o sea
)(xt) =11 J se (kx - (lJ + qJ 1) + 112 seu (k~ -1I) + qJ 2)
=A sen (kJ - (lJ t + e)
con r1 y O que pueden dctcnninarsc n traveacutes de las ecuaciones (2 12) (213)
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22 SllPERPOSICION OE DOS ONDAS ARMONICAS PUOGRESIVAS DE
fRECUENCIAS LIGERAMENTE DIFERENTES BATIMIENTOS
Como ohmiddoto ejemplo de superposicioacuten de onda consideremos ahora el caso de dos ondas
annoacutenicas progresiva de igu~1 amplitud a pero de frecuencias v J v 2 ligeramente
diferentes que se propagan en el mismo medio como en el caso anterior queremos determinar
la penurbatioacuten resultan le de la superposicioacuten de las dos pcnurhnciones que actuacutean
simuilallcamll1te sobre las parlIacutelulas del medio de propagacioacuten El principio de superposicioacuten
1I0S garantiza que si
JI (X) = fl se (klx -(tJ 11) (214)
son los dcsplallllllicllIOSI I ) producidos sobre las partiacuteculas del mcd io de propa~acioacuten en
cualquier instante t independientemente por las dos ondas entonces los desplazamientos de
estas partiacuteculas cuando las dos ondas actIacutelan simultaacuteneamente estaacuten dados por
Calculemos la resultante de las dos perturbaciones con el meacutetodo algebraacuteico
y (x l) == a [ sell (k IX - ro It) + iell (k2x - m 21)] =
[(kiexcl-k2) (mI -W2) ] [(kl +k) (MI +((2) ]= 2a cos x - 1 sen - x - 1 2 2 2 2
I I ) Noacutetese que si las fiexclmiddotccuellcias vI 11 2 son diferentes entonces las longitudes de ondas
A l A 2 son diferentes dado que dcben ser A lo V = A 2 v] == v siendo v la
velocidad de propagaiexclioacuten de las perturbaciones qne deJlende Iacutelnicamente del medio de
propagacioacuten Lo ltInterior implica qllc los valores kl k2 de los nUacutellllrOS de ondn scan
ligcnllllcntc di f~rclltcs
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k +k shy 2 _ rbullSi pOIlt1ll0S - 1
2
obtenemos
lk lW) (- -)y (x t) =2a cos ( 2 x - 2 t se kx - ro t (215)
Dado que las frecuell(middotins de las dos ondns componentes son soacutelo ligeramente diferentes AA y
kl(iexcl) son pequellas por lo tanto el teacutennino cos ( l2 x - vruiacutea lentamente middot en ell t) espacio yen d ticmpo esto nos pcnnitc considerar al tiquestrmillo la COl ( ~k x - l t) como
si fuera una amplitud A (x 1) lenlamentc variable en el espacio y en el tiempo y escribir
entonces la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante asiacute
y (x 1) = A (x 1) selt (Ix - (J) t) (216)
Yj
Fi~lInl 204 O)cilkiexcl~I1 ut IUiexcliexcl iexcl paniacutecula sometida a la perturbacioacuten JI (a)
a Il peI11Il biexcl~ (i Ol Y2(b) ya In pcrturblcioacuten y resultante de la
accioacuten sim lllL uacute ne~ de YY2(c)
x
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Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas
annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual
al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente
variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las
dos ondas componentes
La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea
desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una
frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento
En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se
obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que
se denomina batimiellto
23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE
PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA
Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en
sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten
resu liante
Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias
y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)
)2 (X) =a seu (k( + w 1)
Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten
rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute
y(xt) =) (-)+ y (x 1)
de donde
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y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I
o sea
y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)
El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante
liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma
frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten
horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas
El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de
propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl
Y una amplilud
A (x) = 2a se kx
lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la
amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de
Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l
Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en
las posiciones (hlllas por la condicioacuten
se k x m = plusmn 1
o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012
-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)
70
correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4
coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la
penurbacioacuten
Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten
de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas
en las posiciones XII dadas por la condicioacuten
se k XII =O
21l o sea --xlI =1ll 11=02
-=n=II 11=012 (219)
en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes
partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de
Isell kx Ien el intervalo entre O y J
Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos
71
Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se
propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos
opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama
ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con
amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A
apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5
x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4
Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la
ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda
obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a
sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias
Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en
los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la
altura
y
Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura
La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por
72
tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +
+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt
en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta
Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f
Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f
e 2
j(xO) =o y(O)=O
Condiciones al contOinO extrelllOs fijos
y(c) =deg
Apliquemos las condiciones al contorno
y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI
esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle
yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI
implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales
solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten
lIula
En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute
- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)
f f r
domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a
traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
64
y (~
iexcl------ shy
xo
iacuteigura 23 Meacutetodo de fasores Dctenninocioacuten vectorial de la amplitud y de la fase inicial de la onda resultante
Como puede verse de la Figura 23 las proyecciones verticales de estos vectores corresponden
exactiexclunentc a los valores YI (00) Y2 (00) entonces la amplitud de la perturbacioacuten
resultante podraacute detclminarse a traveacutes de la resultante de los vcctores represcntativos de las
amplitudes de tas dos ondas componentes y su f1Se inicial a traveacutes del aacutengulo que ese vector
fonnc con el eje horizontal
iquest
tpliclUldo el teorema del coseno al triaacutengulo OBC se obtiene inmediatamentc
o sea
(212)
ecuacioacuten en tuumldo ideacutentica a la (25)
Por otro latlo las componen les horizontal y vertical tlcl vector A tleben ~cr iguales a las
Sllmas de las componcntes horizolltaks y vcnicalcs de los vcctorc- f I J (12
~_----------------~--~~ ---~--~-------- ---__--- -
65
Componenlts X Ax =A cos () = ti J COS tp J + (1] cos ffJ 2
Componentes y Ay =A sell O= aJ se rp J + a2 se rp 2
de donde
A sen O () aI se rp J + a2 sen rp 2---==tall (213)A cos O al cos rp I + a 2 cos rp 2
ecuacioacuten igual a la (26)
Esto implica que la perturhacioacuten resultante en X =O al tiempo 1 =O es igual a la suma de
las perturbaciones componentes en X == O al liellpo f =O
J (OO) )1 (00) + y 2 ( 00) o sea
A sen () =( I sen tp J + a2 seu rp 2
Qucda ahora por dcmostrar que el meacutetodo es vaacutelido para eualquiacute~r valor de X y en todo
momento lo cual es inmcdiato si se piensn que la variacioacuten de x o la variacioacuten de t produce
una rotacioacuten de los veclores al a2 y A sin alterar sus moacutedulos ni su muhla orientacioacuten 10
anterior implica que el moacutedulo del vector resultante no cambia cuando nos desplacemos a lo
largo del medio de propagacioacuten ni trunpoco con el tiempo dado que los tTes vectores rotan
solidariamente por consiguiente podemos concluir que la ecuacioacuten horariu de la perturbacioacuten
resultante es
) (x 1) =y I (x t) + J 2 (x t) o sea
)(xt) =11 J se (kx - (lJ + qJ 1) + 112 seu (k~ -1I) + qJ 2)
=A sen (kJ - (lJ t + e)
con r1 y O que pueden dctcnninarsc n traveacutes de las ecuaciones (2 12) (213)
66
22 SllPERPOSICION OE DOS ONDAS ARMONICAS PUOGRESIVAS DE
fRECUENCIAS LIGERAMENTE DIFERENTES BATIMIENTOS
Como ohmiddoto ejemplo de superposicioacuten de onda consideremos ahora el caso de dos ondas
annoacutenicas progresiva de igu~1 amplitud a pero de frecuencias v J v 2 ligeramente
diferentes que se propagan en el mismo medio como en el caso anterior queremos determinar
la penurbatioacuten resultan le de la superposicioacuten de las dos pcnurhnciones que actuacutean
simuilallcamll1te sobre las parlIacutelulas del medio de propagacioacuten El principio de superposicioacuten
1I0S garantiza que si
JI (X) = fl se (klx -(tJ 11) (214)
son los dcsplallllllicllIOSI I ) producidos sobre las partiacuteculas del mcd io de propa~acioacuten en
cualquier instante t independientemente por las dos ondas entonces los desplazamientos de
estas partiacuteculas cuando las dos ondas actIacutelan simultaacuteneamente estaacuten dados por
Calculemos la resultante de las dos perturbaciones con el meacutetodo algebraacuteico
y (x l) == a [ sell (k IX - ro It) + iell (k2x - m 21)] =
[(kiexcl-k2) (mI -W2) ] [(kl +k) (MI +((2) ]= 2a cos x - 1 sen - x - 1 2 2 2 2
I I ) Noacutetese que si las fiexclmiddotccuellcias vI 11 2 son diferentes entonces las longitudes de ondas
A l A 2 son diferentes dado que dcben ser A lo V = A 2 v] == v siendo v la
velocidad de propagaiexclioacuten de las perturbaciones qne deJlende Iacutelnicamente del medio de
propagacioacuten Lo ltInterior implica qllc los valores kl k2 de los nUacutellllrOS de ondn scan
ligcnllllcntc di f~rclltcs
67
k +k shy 2 _ rbullSi pOIlt1ll0S - 1
2
obtenemos
lk lW) (- -)y (x t) =2a cos ( 2 x - 2 t se kx - ro t (215)
Dado que las frecuell(middotins de las dos ondns componentes son soacutelo ligeramente diferentes AA y
kl(iexcl) son pequellas por lo tanto el teacutennino cos ( l2 x - vruiacutea lentamente middot en ell t) espacio yen d ticmpo esto nos pcnnitc considerar al tiquestrmillo la COl ( ~k x - l t) como
si fuera una amplitud A (x 1) lenlamentc variable en el espacio y en el tiempo y escribir
entonces la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante asiacute
y (x 1) = A (x 1) selt (Ix - (J) t) (216)
Yj
Fi~lInl 204 O)cilkiexcl~I1 ut IUiexcliexcl iexcl paniacutecula sometida a la perturbacioacuten JI (a)
a Il peI11Il biexcl~ (i Ol Y2(b) ya In pcrturblcioacuten y resultante de la
accioacuten sim lllL uacute ne~ de YY2(c)
x
68
Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas
annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual
al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente
variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las
dos ondas componentes
La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea
desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una
frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento
En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se
obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que
se denomina batimiellto
23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE
PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA
Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en
sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten
resu liante
Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias
y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)
)2 (X) =a seu (k( + w 1)
Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten
rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute
y(xt) =) (-)+ y (x 1)
de donde
69
y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I
o sea
y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)
El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante
liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma
frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten
horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas
El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de
propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl
Y una amplilud
A (x) = 2a se kx
lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la
amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de
Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l
Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en
las posiciones (hlllas por la condicioacuten
se k x m = plusmn 1
o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012
-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)
70
correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4
coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la
penurbacioacuten
Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten
de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas
en las posiciones XII dadas por la condicioacuten
se k XII =O
21l o sea --xlI =1ll 11=02
-=n=II 11=012 (219)
en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes
partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de
Isell kx Ien el intervalo entre O y J
Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos
71
Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se
propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos
opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama
ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con
amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A
apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5
x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4
Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la
ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda
obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a
sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias
Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en
los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la
altura
y
Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura
La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por
72
tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +
+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt
en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta
Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f
Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f
e 2
j(xO) =o y(O)=O
Condiciones al contOinO extrelllOs fijos
y(c) =deg
Apliquemos las condiciones al contorno
y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI
esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle
yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI
implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales
solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten
lIula
En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute
- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)
f f r
domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a
traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
~_----------------~--~~ ---~--~-------- ---__--- -
65
Componenlts X Ax =A cos () = ti J COS tp J + (1] cos ffJ 2
Componentes y Ay =A sell O= aJ se rp J + a2 se rp 2
de donde
A sen O () aI se rp J + a2 sen rp 2---==tall (213)A cos O al cos rp I + a 2 cos rp 2
ecuacioacuten igual a la (26)
Esto implica que la perturhacioacuten resultante en X =O al tiempo 1 =O es igual a la suma de
las perturbaciones componentes en X == O al liellpo f =O
J (OO) )1 (00) + y 2 ( 00) o sea
A sen () =( I sen tp J + a2 seu rp 2
Qucda ahora por dcmostrar que el meacutetodo es vaacutelido para eualquiacute~r valor de X y en todo
momento lo cual es inmcdiato si se piensn que la variacioacuten de x o la variacioacuten de t produce
una rotacioacuten de los veclores al a2 y A sin alterar sus moacutedulos ni su muhla orientacioacuten 10
anterior implica que el moacutedulo del vector resultante no cambia cuando nos desplacemos a lo
largo del medio de propagacioacuten ni trunpoco con el tiempo dado que los tTes vectores rotan
solidariamente por consiguiente podemos concluir que la ecuacioacuten horariu de la perturbacioacuten
resultante es
) (x 1) =y I (x t) + J 2 (x t) o sea
)(xt) =11 J se (kx - (lJ + qJ 1) + 112 seu (k~ -1I) + qJ 2)
=A sen (kJ - (lJ t + e)
con r1 y O que pueden dctcnninarsc n traveacutes de las ecuaciones (2 12) (213)
66
22 SllPERPOSICION OE DOS ONDAS ARMONICAS PUOGRESIVAS DE
fRECUENCIAS LIGERAMENTE DIFERENTES BATIMIENTOS
Como ohmiddoto ejemplo de superposicioacuten de onda consideremos ahora el caso de dos ondas
annoacutenicas progresiva de igu~1 amplitud a pero de frecuencias v J v 2 ligeramente
diferentes que se propagan en el mismo medio como en el caso anterior queremos determinar
la penurbatioacuten resultan le de la superposicioacuten de las dos pcnurhnciones que actuacutean
simuilallcamll1te sobre las parlIacutelulas del medio de propagacioacuten El principio de superposicioacuten
1I0S garantiza que si
JI (X) = fl se (klx -(tJ 11) (214)
son los dcsplallllllicllIOSI I ) producidos sobre las partiacuteculas del mcd io de propa~acioacuten en
cualquier instante t independientemente por las dos ondas entonces los desplazamientos de
estas partiacuteculas cuando las dos ondas actIacutelan simultaacuteneamente estaacuten dados por
Calculemos la resultante de las dos perturbaciones con el meacutetodo algebraacuteico
y (x l) == a [ sell (k IX - ro It) + iell (k2x - m 21)] =
[(kiexcl-k2) (mI -W2) ] [(kl +k) (MI +((2) ]= 2a cos x - 1 sen - x - 1 2 2 2 2
I I ) Noacutetese que si las fiexclmiddotccuellcias vI 11 2 son diferentes entonces las longitudes de ondas
A l A 2 son diferentes dado que dcben ser A lo V = A 2 v] == v siendo v la
velocidad de propagaiexclioacuten de las perturbaciones qne deJlende Iacutelnicamente del medio de
propagacioacuten Lo ltInterior implica qllc los valores kl k2 de los nUacutellllrOS de ondn scan
ligcnllllcntc di f~rclltcs
67
k +k shy 2 _ rbullSi pOIlt1ll0S - 1
2
obtenemos
lk lW) (- -)y (x t) =2a cos ( 2 x - 2 t se kx - ro t (215)
Dado que las frecuell(middotins de las dos ondns componentes son soacutelo ligeramente diferentes AA y
kl(iexcl) son pequellas por lo tanto el teacutennino cos ( l2 x - vruiacutea lentamente middot en ell t) espacio yen d ticmpo esto nos pcnnitc considerar al tiquestrmillo la COl ( ~k x - l t) como
si fuera una amplitud A (x 1) lenlamentc variable en el espacio y en el tiempo y escribir
entonces la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante asiacute
y (x 1) = A (x 1) selt (Ix - (J) t) (216)
Yj
Fi~lInl 204 O)cilkiexcl~I1 ut IUiexcliexcl iexcl paniacutecula sometida a la perturbacioacuten JI (a)
a Il peI11Il biexcl~ (i Ol Y2(b) ya In pcrturblcioacuten y resultante de la
accioacuten sim lllL uacute ne~ de YY2(c)
x
68
Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas
annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual
al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente
variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las
dos ondas componentes
La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea
desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una
frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento
En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se
obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que
se denomina batimiellto
23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE
PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA
Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en
sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten
resu liante
Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias
y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)
)2 (X) =a seu (k( + w 1)
Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten
rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute
y(xt) =) (-)+ y (x 1)
de donde
69
y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I
o sea
y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)
El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante
liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma
frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten
horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas
El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de
propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl
Y una amplilud
A (x) = 2a se kx
lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la
amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de
Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l
Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en
las posiciones (hlllas por la condicioacuten
se k x m = plusmn 1
o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012
-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)
70
correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4
coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la
penurbacioacuten
Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten
de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas
en las posiciones XII dadas por la condicioacuten
se k XII =O
21l o sea --xlI =1ll 11=02
-=n=II 11=012 (219)
en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes
partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de
Isell kx Ien el intervalo entre O y J
Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos
71
Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se
propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos
opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama
ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con
amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A
apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5
x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4
Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la
ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda
obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a
sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias
Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en
los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la
altura
y
Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura
La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por
72
tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +
+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt
en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta
Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f
Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f
e 2
j(xO) =o y(O)=O
Condiciones al contOinO extrelllOs fijos
y(c) =deg
Apliquemos las condiciones al contorno
y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI
esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle
yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI
implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales
solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten
lIula
En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute
- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)
f f r
domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a
traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
66
22 SllPERPOSICION OE DOS ONDAS ARMONICAS PUOGRESIVAS DE
fRECUENCIAS LIGERAMENTE DIFERENTES BATIMIENTOS
Como ohmiddoto ejemplo de superposicioacuten de onda consideremos ahora el caso de dos ondas
annoacutenicas progresiva de igu~1 amplitud a pero de frecuencias v J v 2 ligeramente
diferentes que se propagan en el mismo medio como en el caso anterior queremos determinar
la penurbatioacuten resultan le de la superposicioacuten de las dos pcnurhnciones que actuacutean
simuilallcamll1te sobre las parlIacutelulas del medio de propagacioacuten El principio de superposicioacuten
1I0S garantiza que si
JI (X) = fl se (klx -(tJ 11) (214)
son los dcsplallllllicllIOSI I ) producidos sobre las partiacuteculas del mcd io de propa~acioacuten en
cualquier instante t independientemente por las dos ondas entonces los desplazamientos de
estas partiacuteculas cuando las dos ondas actIacutelan simultaacuteneamente estaacuten dados por
Calculemos la resultante de las dos perturbaciones con el meacutetodo algebraacuteico
y (x l) == a [ sell (k IX - ro It) + iell (k2x - m 21)] =
[(kiexcl-k2) (mI -W2) ] [(kl +k) (MI +((2) ]= 2a cos x - 1 sen - x - 1 2 2 2 2
I I ) Noacutetese que si las fiexclmiddotccuellcias vI 11 2 son diferentes entonces las longitudes de ondas
A l A 2 son diferentes dado que dcben ser A lo V = A 2 v] == v siendo v la
velocidad de propagaiexclioacuten de las perturbaciones qne deJlende Iacutelnicamente del medio de
propagacioacuten Lo ltInterior implica qllc los valores kl k2 de los nUacutellllrOS de ondn scan
ligcnllllcntc di f~rclltcs
67
k +k shy 2 _ rbullSi pOIlt1ll0S - 1
2
obtenemos
lk lW) (- -)y (x t) =2a cos ( 2 x - 2 t se kx - ro t (215)
Dado que las frecuell(middotins de las dos ondns componentes son soacutelo ligeramente diferentes AA y
kl(iexcl) son pequellas por lo tanto el teacutennino cos ( l2 x - vruiacutea lentamente middot en ell t) espacio yen d ticmpo esto nos pcnnitc considerar al tiquestrmillo la COl ( ~k x - l t) como
si fuera una amplitud A (x 1) lenlamentc variable en el espacio y en el tiempo y escribir
entonces la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante asiacute
y (x 1) = A (x 1) selt (Ix - (J) t) (216)
Yj
Fi~lInl 204 O)cilkiexcl~I1 ut IUiexcliexcl iexcl paniacutecula sometida a la perturbacioacuten JI (a)
a Il peI11Il biexcl~ (i Ol Y2(b) ya In pcrturblcioacuten y resultante de la
accioacuten sim lllL uacute ne~ de YY2(c)
x
68
Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas
annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual
al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente
variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las
dos ondas componentes
La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea
desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una
frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento
En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se
obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que
se denomina batimiellto
23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE
PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA
Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en
sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten
resu liante
Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias
y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)
)2 (X) =a seu (k( + w 1)
Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten
rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute
y(xt) =) (-)+ y (x 1)
de donde
69
y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I
o sea
y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)
El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante
liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma
frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten
horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas
El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de
propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl
Y una amplilud
A (x) = 2a se kx
lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la
amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de
Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l
Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en
las posiciones (hlllas por la condicioacuten
se k x m = plusmn 1
o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012
-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)
70
correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4
coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la
penurbacioacuten
Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten
de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas
en las posiciones XII dadas por la condicioacuten
se k XII =O
21l o sea --xlI =1ll 11=02
-=n=II 11=012 (219)
en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes
partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de
Isell kx Ien el intervalo entre O y J
Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos
71
Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se
propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos
opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama
ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con
amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A
apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5
x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4
Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la
ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda
obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a
sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias
Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en
los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la
altura
y
Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura
La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por
72
tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +
+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt
en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta
Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f
Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f
e 2
j(xO) =o y(O)=O
Condiciones al contOinO extrelllOs fijos
y(c) =deg
Apliquemos las condiciones al contorno
y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI
esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle
yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI
implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales
solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten
lIula
En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute
- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)
f f r
domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a
traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
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82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
67
k +k shy 2 _ rbullSi pOIlt1ll0S - 1
2
obtenemos
lk lW) (- -)y (x t) =2a cos ( 2 x - 2 t se kx - ro t (215)
Dado que las frecuell(middotins de las dos ondns componentes son soacutelo ligeramente diferentes AA y
kl(iexcl) son pequellas por lo tanto el teacutennino cos ( l2 x - vruiacutea lentamente middot en ell t) espacio yen d ticmpo esto nos pcnnitc considerar al tiquestrmillo la COl ( ~k x - l t) como
si fuera una amplitud A (x 1) lenlamentc variable en el espacio y en el tiempo y escribir
entonces la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante asiacute
y (x 1) = A (x 1) selt (Ix - (J) t) (216)
Yj
Fi~lInl 204 O)cilkiexcl~I1 ut IUiexcliexcl iexcl paniacutecula sometida a la perturbacioacuten JI (a)
a Il peI11Il biexcl~ (i Ol Y2(b) ya In pcrturblcioacuten y resultante de la
accioacuten sim lllL uacute ne~ de YY2(c)
x
68
Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas
annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual
al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente
variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las
dos ondas componentes
La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea
desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una
frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento
En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se
obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que
se denomina batimiellto
23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE
PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA
Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en
sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten
resu liante
Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias
y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)
)2 (X) =a seu (k( + w 1)
Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten
rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute
y(xt) =) (-)+ y (x 1)
de donde
69
y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I
o sea
y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)
El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante
liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma
frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten
horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas
El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de
propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl
Y una amplilud
A (x) = 2a se kx
lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la
amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de
Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l
Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en
las posiciones (hlllas por la condicioacuten
se k x m = plusmn 1
o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012
-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)
70
correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4
coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la
penurbacioacuten
Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten
de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas
en las posiciones XII dadas por la condicioacuten
se k XII =O
21l o sea --xlI =1ll 11=02
-=n=II 11=012 (219)
en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes
partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de
Isell kx Ien el intervalo entre O y J
Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos
71
Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se
propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos
opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama
ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con
amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A
apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5
x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4
Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la
ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda
obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a
sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias
Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en
los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la
altura
y
Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura
La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por
72
tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +
+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt
en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta
Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f
Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f
e 2
j(xO) =o y(O)=O
Condiciones al contOinO extrelllOs fijos
y(c) =deg
Apliquemos las condiciones al contorno
y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI
esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle
yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI
implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales
solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten
lIula
En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute
- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)
f f r
domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a
traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
68
Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas
annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual
al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente
variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las
dos ondas componentes
La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea
desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una
frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento
En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se
obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que
se denomina batimiellto
23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE
PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA
Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en
sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten
resu liante
Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias
y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)
)2 (X) =a seu (k( + w 1)
Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten
rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute
y(xt) =) (-)+ y (x 1)
de donde
69
y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I
o sea
y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)
El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante
liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma
frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten
horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas
El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de
propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl
Y una amplilud
A (x) = 2a se kx
lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la
amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de
Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l
Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en
las posiciones (hlllas por la condicioacuten
se k x m = plusmn 1
o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012
-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)
70
correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4
coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la
penurbacioacuten
Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten
de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas
en las posiciones XII dadas por la condicioacuten
se k XII =O
21l o sea --xlI =1ll 11=02
-=n=II 11=012 (219)
en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes
partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de
Isell kx Ien el intervalo entre O y J
Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos
71
Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se
propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos
opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama
ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con
amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A
apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5
x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4
Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la
ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda
obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a
sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias
Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en
los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la
altura
y
Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura
La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por
72
tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +
+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt
en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta
Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f
Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f
e 2
j(xO) =o y(O)=O
Condiciones al contOinO extrelllOs fijos
y(c) =deg
Apliquemos las condiciones al contorno
y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI
esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle
yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI
implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales
solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten
lIula
En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute
- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)
f f r
domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a
traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
69
y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I
o sea
y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)
El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante
liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma
frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten
horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas
El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de
propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl
Y una amplilud
A (x) = 2a se kx
lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la
amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de
Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l
Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en
las posiciones (hlllas por la condicioacuten
se k x m = plusmn 1
o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012
-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)
70
correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4
coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la
penurbacioacuten
Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten
de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas
en las posiciones XII dadas por la condicioacuten
se k XII =O
21l o sea --xlI =1ll 11=02
-=n=II 11=012 (219)
en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes
partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de
Isell kx Ien el intervalo entre O y J
Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos
71
Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se
propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos
opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama
ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con
amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A
apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5
x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4
Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la
ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda
obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a
sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias
Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en
los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la
altura
y
Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura
La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por
72
tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +
+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt
en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta
Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f
Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f
e 2
j(xO) =o y(O)=O
Condiciones al contOinO extrelllOs fijos
y(c) =deg
Apliquemos las condiciones al contorno
y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI
esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle
yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI
implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales
solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten
lIula
En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute
- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)
f f r
domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a
traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
70
correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4
coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la
penurbacioacuten
Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten
de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas
en las posiciones XII dadas por la condicioacuten
se k XII =O
21l o sea --xlI =1ll 11=02
-=n=II 11=012 (219)
en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes
partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de
Isell kx Ien el intervalo entre O y J
Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos
71
Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se
propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos
opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama
ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con
amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A
apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5
x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4
Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la
ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda
obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a
sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias
Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en
los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la
altura
y
Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura
La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por
72
tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +
+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt
en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta
Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f
Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f
e 2
j(xO) =o y(O)=O
Condiciones al contOinO extrelllOs fijos
y(c) =deg
Apliquemos las condiciones al contorno
y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI
esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle
yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI
implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales
solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten
lIula
En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute
- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)
f f r
domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a
traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
71
Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se
propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos
opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama
ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con
amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A
apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5
x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4
Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la
ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda
obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a
sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias
Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en
los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la
altura
y
Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura
La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por
72
tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +
+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt
en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta
Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f
Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f
e 2
j(xO) =o y(O)=O
Condiciones al contOinO extrelllOs fijos
y(c) =deg
Apliquemos las condiciones al contorno
y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI
esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle
yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI
implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales
solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten
lIula
En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute
- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)
f f r
domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a
traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
72
tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +
+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt
en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta
Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f
Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f
e 2
j(xO) =o y(O)=O
Condiciones al contOinO extrelllOs fijos
y(c) =deg
Apliquemos las condiciones al contorno
y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI
esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle
yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI
implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales
solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten
lIula
En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute
- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)
f f r
domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a
traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
73
Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O
( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f
Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan
perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna
~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)
-n n e t
ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In
superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de
onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones
1l7C 27C = (222)
Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)
de donde obtenemos
A = 2~ (224)
IlV V =-2e (225)
1
Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f
2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p
3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t
v
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
74
Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con
la misma velocidad
v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n
ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia
v J _eS decir
V = l V
mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In
longitud de onda A
Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular
v - vn = v (226)
En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de
11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes
de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27
La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras
Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)
La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un
inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde
norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es
d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de
ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc
i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
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CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
75
11=1 vI =vle Al =2f
Jl=2
V2 =ve~ A2 =e 11 2
11=3
Vj =3vU
AJ =2e3n 3
Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos
Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas
cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de
las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias
tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la
Figura 28
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
-- -
76
(a) (b)
n=l -gtE
11=2
11=3
Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres
Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas
sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias
que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los
extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I
--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden
producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
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CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
79
Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los
armoacutenicos considerados $Cparadtullente
E
Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu
para una onda estacionaria
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
78
(227)
donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno
Por otro lado
r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e
2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (
2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene
y por lo tanto pnrn In energiacutea total
(2 29)
L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal
dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada
uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo
(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO
son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y
viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
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CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
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cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
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fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
79
Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los
annoacutenicos considerados scparadruncnlc
E
Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI
para una amIa estacionaria
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
--
-- -- ----
--- -- -- --
82
fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
-
_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
-~
-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
80
CAPITULO 3
OPTICA GEOIVIETRICA
En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el
vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis
tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia
estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1
e = A v (31)
la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad
de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)
Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de
variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra
31 tn escnla logariacutetmica
FrcclIcnciJ Hz -
10110deg l
Curriente alierna
10 G
~ I
AM
I
10]1110ZI 10 Z4
-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~
_oO_-shy Longitud le Olida m
Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea
Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a
la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels
-------------------------
81
cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
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fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
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_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
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-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
-------------------------
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cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14
Hz
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo
----1I I
1000
iexcl 5000
-+ 6000
I 7000
1
Longitud de onda -_ ~ j en Q
A
Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk
La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo
humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla
En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del
espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca
normalmente lIamaua plica
Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en
nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se
propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas
por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un
hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los
( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica
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fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
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_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
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-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
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Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
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fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el
principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz
Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas
con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda
La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas
planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito
-
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_____o _--l~-
--r--shy
_ _ shy
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-+shy
Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones
31 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas
electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs
expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y
mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio
piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
84
Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
83
nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i
v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca
IlV=C Oacute ll=cv p 2)
Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi
podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc
(3 3)
lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl
velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111
AB =S = Y (34)
En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S
dada por
(35)
Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)
AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)
A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico
El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas
recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada
mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria
pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)
truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo
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Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
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Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes
SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc
(Figura 34)
Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos
en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li
La longitud tolal de la trayectoria seraacute
(37)
pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por
(38)
El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio
en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de
iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj
Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ
atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible
imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio
de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle
efectivamente ncorre el haz elc luz
El principio de FCffiHI afirma qlll
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con
S5
La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o
estacionario
Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las
trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la
perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten
Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1
32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin
cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat
Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ
reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano
A
~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz
de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo
Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts
dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si
dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con