63

mientras hay deacutekit de energiacutea o sea illlerferellLIacutelI uacutee~1ructil(l en los punlos para los cuales

O=(211 iexcl)If 11=02 ONDAS EN OPOSICION DE FASE

211 Meacutetodo de fasores

Ilcmos encontrado la resultante Je la superposicioacuten dc dos ondas armoacutenicas progresivas

haciendo uso del principio de superposicioacuten y por 10 tanto sumando las ecuaciones horarias de

las dos ondas componcnts o lo que cs lo mismo suponiendo (para las ondas mecaacutenicas) que

el desplazamieHto de cualqnier la-tiacutecllla del medio de proplgacioacuten fuern la suma de los

Jcsplazamientos producidogt indepcndiclllemcnte por las dos ondas componentcs Es claro

que este procedimiento es viaLle y ruacutepido cuando solamente se SlIpel1omn dos perturbaciones

pero se vuelve engorroso cuando se quiereu superponer tres o maacutes ondas

En estos casos es prefclible utilizar el meacutetodo de fasores Aquiacute describiremos este meacutetodo

para obtcaer la superposicioacuten de dos olidas armoacutenicas de la misma frecuencia lo que pcrnlIacutete

resallar el hecho que este meacutetodo cunduce a los mismos resultados que hemos obtenido con el

meacutetodo anterior

Supongamos cntonces que quercmos obtener la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante

de la superposicioacuten de dos ondns annoacuteuicas de la mismiexcl frecuencia cuyas ecuaciones horarias

son

JJ (x 1) =aJ se (kx - (iexcl) 1+ fJ ) Y2 (x t) = ti 1seu (kx - (d I + fJ 2)

Calcllklllos las perturbaciones en X =O al tiempo t =O

JI I (00) = 11 J se fJ J] (00) -= tl2 tII lf2

y represenlemos lSIOS dsplazamicrILls en ~oordenaJas polares C0lTIO dos cctores Je

moacutedulos ti a2 luacutennUldo uacutengulo tp l fJ 2 nspectivamcnlc con el ejc horizontal

64

y (~

iexcl------ shy

xo

iacuteigura 23 Meacutetodo de fasores Dctenninocioacuten vectorial de la amplitud y de la fase inicial de la onda resultante

Como puede verse de la Figura 23 las proyecciones verticales de estos vectores corresponden

exactiexclunentc a los valores YI (00) Y2 (00) entonces la amplitud de la perturbacioacuten

resultante podraacute detclminarse a traveacutes de la resultante de los vcctores represcntativos de las

amplitudes de tas dos ondas componentes y su f1Se inicial a traveacutes del aacutengulo que ese vector

fonnc con el eje horizontal

iquest

tpliclUldo el teorema del coseno al triaacutengulo OBC se obtiene inmediatamentc

o sea

(212)

ecuacioacuten en tuumldo ideacutentica a la (25)

Por otro latlo las componen les horizontal y vertical tlcl vector A tleben ~cr iguales a las

Sllmas de las componcntes horizolltaks y vcnicalcs de los vcctorc- f I J (12

~_----------------~--~~ ---~--~-------- ---__--- -

65

Componenlts X Ax =A cos () = ti J COS tp J + (1] cos ffJ 2

Componentes y Ay =A sell O= aJ se rp J + a2 se rp 2

de donde

A sen O () aI se rp J + a2 sen rp 2---==tall (213)A cos O al cos rp I + a 2 cos rp 2

ecuacioacuten igual a la (26)

Esto implica que la perturhacioacuten resultante en X =O al tiempo 1 =O es igual a la suma de

las perturbaciones componentes en X == O al liellpo f =O

J (OO) )1 (00) + y 2 ( 00) o sea

A sen () =( I sen tp J + a2 seu rp 2

Qucda ahora por dcmostrar que el meacutetodo es vaacutelido para eualquiacute~r valor de X y en todo

momento lo cual es inmcdiato si se piensn que la variacioacuten de x o la variacioacuten de t produce

una rotacioacuten de los veclores al a2 y A sin alterar sus moacutedulos ni su muhla orientacioacuten 10

anterior implica que el moacutedulo del vector resultante no cambia cuando nos desplacemos a lo

largo del medio de propagacioacuten ni trunpoco con el tiempo dado que los tTes vectores rotan

solidariamente por consiguiente podemos concluir que la ecuacioacuten horariu de la perturbacioacuten

resultante es

) (x 1) =y I (x t) + J 2 (x t) o sea

)(xt) =11 J se (kx - (lJ + qJ 1) + 112 seu (k~ -1I) + qJ 2)

=A sen (kJ - (lJ t + e)

con r1 y O que pueden dctcnninarsc n traveacutes de las ecuaciones (2 12) (213)

66

22 SllPERPOSICION OE DOS ONDAS ARMONICAS PUOGRESIVAS DE

fRECUENCIAS LIGERAMENTE DIFERENTES BATIMIENTOS

Como ohmiddoto ejemplo de superposicioacuten de onda consideremos ahora el caso de dos ondas

annoacutenicas progresiva de igu~1 amplitud a pero de frecuencias v J v 2 ligeramente

diferentes que se propagan en el mismo medio como en el caso anterior queremos determinar

la penurbatioacuten resultan le de la superposicioacuten de las dos pcnurhnciones que actuacutean

simuilallcamll1te sobre las parlIacutelulas del medio de propagacioacuten El principio de superposicioacuten

1I0S garantiza que si

JI (X) = fl se (klx -(tJ 11) (214)

son los dcsplallllllicllIOSI I ) producidos sobre las partiacuteculas del mcd io de propa~acioacuten en

cualquier instante t independientemente por las dos ondas entonces los desplazamientos de

estas partiacuteculas cuando las dos ondas actIacutelan simultaacuteneamente estaacuten dados por

Calculemos la resultante de las dos perturbaciones con el meacutetodo algebraacuteico

y (x l) == a [ sell (k IX - ro It) + iell (k2x - m 21)] =

[(kiexcl-k2) (mI -W2) ] [(kl +k) (MI +((2) ]= 2a cos x - 1 sen - x - 1 2 2 2 2

I I ) Noacutetese que si las fiexclmiddotccuellcias vI 11 2 son diferentes entonces las longitudes de ondas

A l A 2 son diferentes dado que dcben ser A lo V = A 2 v] == v siendo v la

velocidad de propagaiexclioacuten de las perturbaciones qne deJlende Iacutelnicamente del medio de

propagacioacuten Lo ltInterior implica qllc los valores kl k2 de los nUacutellllrOS de ondn scan

ligcnllllcntc di f~rclltcs

67

k +k shy 2 _ rbullSi pOIlt1ll0S - 1

2

obtenemos

lk lW) (- -)y (x t) =2a cos ( 2 x - 2 t se kx - ro t (215)

Dado que las frecuell(middotins de las dos ondns componentes son soacutelo ligeramente diferentes AA y

kl(iexcl) son pequellas por lo tanto el teacutennino cos ( l2 x - vruiacutea lentamente middot en ell t) espacio yen d ticmpo esto nos pcnnitc considerar al tiquestrmillo la COl ( ~k x - l t) como

si fuera una amplitud A (x 1) lenlamentc variable en el espacio y en el tiempo y escribir

entonces la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante asiacute

y (x 1) = A (x 1) selt (Ix - (J) t) (216)

Yj

Fi~lInl 204 O)cilkiexcl~I1 ut IUiexcliexcl iexcl paniacutecula sometida a la perturbacioacuten JI (a)

a Il peI11Il biexcl~ (i Ol Y2(b) ya In pcrturblcioacuten y resultante de la

accioacuten sim lllL uacute ne~ de YY2(c)

x

68

Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas

annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual

al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente

variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las

dos ondas componentes

La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea

desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una

frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento

En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se

obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que

se denomina batimiellto

23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE

PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA

Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en

sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten

resu liante

Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias

y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)

)2 (X) =a seu (k( + w 1)

Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten

rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute

y(xt) =) (-)+ y (x 1)

de donde

69

y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I

o sea

y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)

El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante

liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma

frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten

horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas

El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de

propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl

Y una amplilud

A (x) = 2a se kx

lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la

amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de

Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l

Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en

las posiciones (hlllas por la condicioacuten

se k x m = plusmn 1

o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012

-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)

70

correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4

coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la

penurbacioacuten

Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten

de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas

en las posiciones XII dadas por la condicioacuten

se k XII =O

21l o sea --xlI =1ll 11=02

-=n=II 11=012 (219)

en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes

partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de

Isell kx Ien el intervalo entre O y J

Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos

71

Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se

propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos

opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama

ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con

amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A

apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5

x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4

Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la

ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda

obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a

sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias

Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en

los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la

altura

y

Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura

La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por

72

tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +

+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt

en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta

Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f

Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f

e 2

j(xO) =o y(O)=O

Condiciones al contOinO extrelllOs fijos

y(c) =deg

Apliquemos las condiciones al contorno

y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI

esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle

yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI

implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales

solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten

lIula

En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute

- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)

f f r

domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a

traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares

64

y (~

iexcl------ shy

xo

iacuteigura 23 Meacutetodo de fasores Dctenninocioacuten vectorial de la amplitud y de la fase inicial de la onda resultante

Como puede verse de la Figura 23 las proyecciones verticales de estos vectores corresponden

exactiexclunentc a los valores YI (00) Y2 (00) entonces la amplitud de la perturbacioacuten

resultante podraacute detclminarse a traveacutes de la resultante de los vcctores represcntativos de las

amplitudes de tas dos ondas componentes y su f1Se inicial a traveacutes del aacutengulo que ese vector

fonnc con el eje horizontal

iquest

tpliclUldo el teorema del coseno al triaacutengulo OBC se obtiene inmediatamentc

o sea

(212)

ecuacioacuten en tuumldo ideacutentica a la (25)

Por otro latlo las componen les horizontal y vertical tlcl vector A tleben ~cr iguales a las

Sllmas de las componcntes horizolltaks y vcnicalcs de los vcctorc- f I J (12

~_----------------~--~~ ---~--~-------- ---__--- -

65

Componenlts X Ax =A cos () = ti J COS tp J + (1] cos ffJ 2

Componentes y Ay =A sell O= aJ se rp J + a2 se rp 2

de donde

A sen O () aI se rp J + a2 sen rp 2---==tall (213)A cos O al cos rp I + a 2 cos rp 2

ecuacioacuten igual a la (26)

Esto implica que la perturhacioacuten resultante en X =O al tiempo 1 =O es igual a la suma de

las perturbaciones componentes en X == O al liellpo f =O

J (OO) )1 (00) + y 2 ( 00) o sea

A sen () =( I sen tp J + a2 seu rp 2

Qucda ahora por dcmostrar que el meacutetodo es vaacutelido para eualquiacute~r valor de X y en todo

momento lo cual es inmcdiato si se piensn que la variacioacuten de x o la variacioacuten de t produce

una rotacioacuten de los veclores al a2 y A sin alterar sus moacutedulos ni su muhla orientacioacuten 10

anterior implica que el moacutedulo del vector resultante no cambia cuando nos desplacemos a lo

largo del medio de propagacioacuten ni trunpoco con el tiempo dado que los tTes vectores rotan

solidariamente por consiguiente podemos concluir que la ecuacioacuten horariu de la perturbacioacuten

resultante es

) (x 1) =y I (x t) + J 2 (x t) o sea

)(xt) =11 J se (kx - (lJ + qJ 1) + 112 seu (k~ -1I) + qJ 2)

=A sen (kJ - (lJ t + e)

con r1 y O que pueden dctcnninarsc n traveacutes de las ecuaciones (2 12) (213)

66

22 SllPERPOSICION OE DOS ONDAS ARMONICAS PUOGRESIVAS DE

fRECUENCIAS LIGERAMENTE DIFERENTES BATIMIENTOS

Como ohmiddoto ejemplo de superposicioacuten de onda consideremos ahora el caso de dos ondas

annoacutenicas progresiva de igu~1 amplitud a pero de frecuencias v J v 2 ligeramente

diferentes que se propagan en el mismo medio como en el caso anterior queremos determinar

la penurbatioacuten resultan le de la superposicioacuten de las dos pcnurhnciones que actuacutean

simuilallcamll1te sobre las parlIacutelulas del medio de propagacioacuten El principio de superposicioacuten

1I0S garantiza que si

JI (X) = fl se (klx -(tJ 11) (214)

son los dcsplallllllicllIOSI I ) producidos sobre las partiacuteculas del mcd io de propa~acioacuten en

cualquier instante t independientemente por las dos ondas entonces los desplazamientos de

estas partiacuteculas cuando las dos ondas actIacutelan simultaacuteneamente estaacuten dados por

Calculemos la resultante de las dos perturbaciones con el meacutetodo algebraacuteico

y (x l) == a [ sell (k IX - ro It) + iell (k2x - m 21)] =

[(kiexcl-k2) (mI -W2) ] [(kl +k) (MI +((2) ]= 2a cos x - 1 sen - x - 1 2 2 2 2

I I ) Noacutetese que si las fiexclmiddotccuellcias vI 11 2 son diferentes entonces las longitudes de ondas

A l A 2 son diferentes dado que dcben ser A lo V = A 2 v] == v siendo v la

velocidad de propagaiexclioacuten de las perturbaciones qne deJlende Iacutelnicamente del medio de

propagacioacuten Lo ltInterior implica qllc los valores kl k2 de los nUacutellllrOS de ondn scan

ligcnllllcntc di f~rclltcs

67

k +k shy 2 _ rbullSi pOIlt1ll0S - 1

2

obtenemos

lk lW) (- -)y (x t) =2a cos ( 2 x - 2 t se kx - ro t (215)

Dado que las frecuell(middotins de las dos ondns componentes son soacutelo ligeramente diferentes AA y

kl(iexcl) son pequellas por lo tanto el teacutennino cos ( l2 x - vruiacutea lentamente middot en ell t) espacio yen d ticmpo esto nos pcnnitc considerar al tiquestrmillo la COl ( ~k x - l t) como

si fuera una amplitud A (x 1) lenlamentc variable en el espacio y en el tiempo y escribir

entonces la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante asiacute

y (x 1) = A (x 1) selt (Ix - (J) t) (216)

Yj

Fi~lInl 204 O)cilkiexcl~I1 ut IUiexcliexcl iexcl paniacutecula sometida a la perturbacioacuten JI (a)

a Il peI11Il biexcl~ (i Ol Y2(b) ya In pcrturblcioacuten y resultante de la

accioacuten sim lllL uacute ne~ de YY2(c)

x

68

Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas

annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual

al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente

variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las

dos ondas componentes

La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea

desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una

frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento

En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se

obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que

se denomina batimiellto

23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE

PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA

Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en

sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten

resu liante

Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias

y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)

)2 (X) =a seu (k( + w 1)

Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten

rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute

y(xt) =) (-)+ y (x 1)

de donde

69

y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I

o sea

y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)

El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante

liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma

frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten

horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas

El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de

propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl

Y una amplilud

A (x) = 2a se kx

lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la

amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de

Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l

Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en

las posiciones (hlllas por la condicioacuten

se k x m = plusmn 1

o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012

-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)

70

correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4

coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la

penurbacioacuten

Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten

de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas

en las posiciones XII dadas por la condicioacuten

se k XII =O

21l o sea --xlI =1ll 11=02

-=n=II 11=012 (219)

en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes

partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de

Isell kx Ien el intervalo entre O y J

Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos

71

Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se

propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos

opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama

ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con

amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A

apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5

x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4

Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la

ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda

obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a

sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias

Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en

los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la

altura

y

Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura

La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por

72

tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +

+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt

en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta

Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f

Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f

e 2

j(xO) =o y(O)=O

Condiciones al contOinO extrelllOs fijos

y(c) =deg

Apliquemos las condiciones al contorno

y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI

esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle

yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI

implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales

solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten

lIula

En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute

- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)

f f r

domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a

traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares

~_----------------~--~~ ---~--~-------- ---__--- -

65

Componenlts X Ax =A cos () = ti J COS tp J + (1] cos ffJ 2

Componentes y Ay =A sell O= aJ se rp J + a2 se rp 2

de donde

A sen O () aI se rp J + a2 sen rp 2---==tall (213)A cos O al cos rp I + a 2 cos rp 2

ecuacioacuten igual a la (26)

Esto implica que la perturhacioacuten resultante en X =O al tiempo 1 =O es igual a la suma de

las perturbaciones componentes en X == O al liellpo f =O

J (OO) )1 (00) + y 2 ( 00) o sea

A sen () =( I sen tp J + a2 seu rp 2

Qucda ahora por dcmostrar que el meacutetodo es vaacutelido para eualquiacute~r valor de X y en todo

momento lo cual es inmcdiato si se piensn que la variacioacuten de x o la variacioacuten de t produce

una rotacioacuten de los veclores al a2 y A sin alterar sus moacutedulos ni su muhla orientacioacuten 10

anterior implica que el moacutedulo del vector resultante no cambia cuando nos desplacemos a lo

largo del medio de propagacioacuten ni trunpoco con el tiempo dado que los tTes vectores rotan

solidariamente por consiguiente podemos concluir que la ecuacioacuten horariu de la perturbacioacuten

resultante es

) (x 1) =y I (x t) + J 2 (x t) o sea

)(xt) =11 J se (kx - (lJ + qJ 1) + 112 seu (k~ -1I) + qJ 2)

=A sen (kJ - (lJ t + e)

con r1 y O que pueden dctcnninarsc n traveacutes de las ecuaciones (2 12) (213)

66

22 SllPERPOSICION OE DOS ONDAS ARMONICAS PUOGRESIVAS DE

fRECUENCIAS LIGERAMENTE DIFERENTES BATIMIENTOS

Como ohmiddoto ejemplo de superposicioacuten de onda consideremos ahora el caso de dos ondas

annoacutenicas progresiva de igu~1 amplitud a pero de frecuencias v J v 2 ligeramente

diferentes que se propagan en el mismo medio como en el caso anterior queremos determinar

la penurbatioacuten resultan le de la superposicioacuten de las dos pcnurhnciones que actuacutean

simuilallcamll1te sobre las parlIacutelulas del medio de propagacioacuten El principio de superposicioacuten

1I0S garantiza que si

JI (X) = fl se (klx -(tJ 11) (214)

son los dcsplallllllicllIOSI I ) producidos sobre las partiacuteculas del mcd io de propa~acioacuten en

cualquier instante t independientemente por las dos ondas entonces los desplazamientos de

estas partiacuteculas cuando las dos ondas actIacutelan simultaacuteneamente estaacuten dados por

Calculemos la resultante de las dos perturbaciones con el meacutetodo algebraacuteico

y (x l) == a [ sell (k IX - ro It) + iell (k2x - m 21)] =

[(kiexcl-k2) (mI -W2) ] [(kl +k) (MI +((2) ]= 2a cos x - 1 sen - x - 1 2 2 2 2

I I ) Noacutetese que si las fiexclmiddotccuellcias vI 11 2 son diferentes entonces las longitudes de ondas

A l A 2 son diferentes dado que dcben ser A lo V = A 2 v] == v siendo v la

velocidad de propagaiexclioacuten de las perturbaciones qne deJlende Iacutelnicamente del medio de

propagacioacuten Lo ltInterior implica qllc los valores kl k2 de los nUacutellllrOS de ondn scan

ligcnllllcntc di f~rclltcs

67

k +k shy 2 _ rbullSi pOIlt1ll0S - 1

2

obtenemos

lk lW) (- -)y (x t) =2a cos ( 2 x - 2 t se kx - ro t (215)

Dado que las frecuell(middotins de las dos ondns componentes son soacutelo ligeramente diferentes AA y

kl(iexcl) son pequellas por lo tanto el teacutennino cos ( l2 x - vruiacutea lentamente middot en ell t) espacio yen d ticmpo esto nos pcnnitc considerar al tiquestrmillo la COl ( ~k x - l t) como

si fuera una amplitud A (x 1) lenlamentc variable en el espacio y en el tiempo y escribir

entonces la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante asiacute

y (x 1) = A (x 1) selt (Ix - (J) t) (216)

Yj

Fi~lInl 204 O)cilkiexcl~I1 ut IUiexcliexcl iexcl paniacutecula sometida a la perturbacioacuten JI (a)

a Il peI11Il biexcl~ (i Ol Y2(b) ya In pcrturblcioacuten y resultante de la

accioacuten sim lllL uacute ne~ de YY2(c)

x

68

Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas

annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual

al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente

variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las

dos ondas componentes

La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea

desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una

frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento

En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se

obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que

se denomina batimiellto

23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE

PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA

Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en

sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten

resu liante

Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias

y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)

)2 (X) =a seu (k( + w 1)

Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten

rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute

y(xt) =) (-)+ y (x 1)

de donde

69

y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I

o sea

y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)

El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante

liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma

frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten

horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas

El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de

propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl

Y una amplilud

A (x) = 2a se kx

lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la

amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de

Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l

Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en

las posiciones (hlllas por la condicioacuten

se k x m = plusmn 1

o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012

-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)

70

correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4

coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la

penurbacioacuten

Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten

de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas

en las posiciones XII dadas por la condicioacuten

se k XII =O

21l o sea --xlI =1ll 11=02

-=n=II 11=012 (219)

en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes

partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de

Isell kx Ien el intervalo entre O y J

Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos

71

Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se

propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos

opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama

ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con

amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A

apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5

x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4

Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la

ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda

obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a

sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias

Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en

los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la

altura

y

Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura

La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por

72

tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +

+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt

en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta

Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f

Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f

e 2

j(xO) =o y(O)=O

Condiciones al contOinO extrelllOs fijos

y(c) =deg

Apliquemos las condiciones al contorno

y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI

esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle

yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI

implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales

solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten

lIula

En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute

- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)

f f r

domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a

traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares

66

22 SllPERPOSICION OE DOS ONDAS ARMONICAS PUOGRESIVAS DE

fRECUENCIAS LIGERAMENTE DIFERENTES BATIMIENTOS

Como ohmiddoto ejemplo de superposicioacuten de onda consideremos ahora el caso de dos ondas

annoacutenicas progresiva de igu~1 amplitud a pero de frecuencias v J v 2 ligeramente

diferentes que se propagan en el mismo medio como en el caso anterior queremos determinar

la penurbatioacuten resultan le de la superposicioacuten de las dos pcnurhnciones que actuacutean

simuilallcamll1te sobre las parlIacutelulas del medio de propagacioacuten El principio de superposicioacuten

1I0S garantiza que si

JI (X) = fl se (klx -(tJ 11) (214)

son los dcsplallllllicllIOSI I ) producidos sobre las partiacuteculas del mcd io de propa~acioacuten en

cualquier instante t independientemente por las dos ondas entonces los desplazamientos de

estas partiacuteculas cuando las dos ondas actIacutelan simultaacuteneamente estaacuten dados por

Calculemos la resultante de las dos perturbaciones con el meacutetodo algebraacuteico

y (x l) == a [ sell (k IX - ro It) + iell (k2x - m 21)] =

[(kiexcl-k2) (mI -W2) ] [(kl +k) (MI +((2) ]= 2a cos x - 1 sen - x - 1 2 2 2 2

I I ) Noacutetese que si las fiexclmiddotccuellcias vI 11 2 son diferentes entonces las longitudes de ondas

A l A 2 son diferentes dado que dcben ser A lo V = A 2 v] == v siendo v la

velocidad de propagaiexclioacuten de las perturbaciones qne deJlende Iacutelnicamente del medio de

propagacioacuten Lo ltInterior implica qllc los valores kl k2 de los nUacutellllrOS de ondn scan

ligcnllllcntc di f~rclltcs

67

k +k shy 2 _ rbullSi pOIlt1ll0S - 1

2

obtenemos

lk lW) (- -)y (x t) =2a cos ( 2 x - 2 t se kx - ro t (215)

Dado que las frecuell(middotins de las dos ondns componentes son soacutelo ligeramente diferentes AA y

kl(iexcl) son pequellas por lo tanto el teacutennino cos ( l2 x - vruiacutea lentamente middot en ell t) espacio yen d ticmpo esto nos pcnnitc considerar al tiquestrmillo la COl ( ~k x - l t) como

si fuera una amplitud A (x 1) lenlamentc variable en el espacio y en el tiempo y escribir

entonces la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante asiacute

y (x 1) = A (x 1) selt (Ix - (J) t) (216)

Yj

Fi~lInl 204 O)cilkiexcl~I1 ut IUiexcliexcl iexcl paniacutecula sometida a la perturbacioacuten JI (a)

a Il peI11Il biexcl~ (i Ol Y2(b) ya In pcrturblcioacuten y resultante de la

accioacuten sim lllL uacute ne~ de YY2(c)

x

68

Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas

annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual

al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente

variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las

dos ondas componentes

La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea

desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una

frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento

En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se

obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que

se denomina batimiellto

23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE

PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA

Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en

sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten

resu liante

Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias

y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)

)2 (X) =a seu (k( + w 1)

Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten

rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute

y(xt) =) (-)+ y (x 1)

de donde

69

y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I

o sea

y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)

El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante

liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma

frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten

horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas

El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de

propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl

Y una amplilud

A (x) = 2a se kx

lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la

amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de

Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l

Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en

las posiciones (hlllas por la condicioacuten

se k x m = plusmn 1

o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012

-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)

70

correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4

coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la

penurbacioacuten

Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten

de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas

en las posiciones XII dadas por la condicioacuten

se k XII =O

21l o sea --xlI =1ll 11=02

-=n=II 11=012 (219)

en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes

partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de

Isell kx Ien el intervalo entre O y J

Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos

71

Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se

propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos

opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama

ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con

amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A

apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5

x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4

Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la

ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda

obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a

sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias

Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en

los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la

altura

y

Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura

La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por

72

tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +

+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt

en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta

Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f

Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f

e 2

j(xO) =o y(O)=O

Condiciones al contOinO extrelllOs fijos

y(c) =deg

Apliquemos las condiciones al contorno

y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI

esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle

yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI

implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales

solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten

lIula

En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute

- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)

f f r

domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a

traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares

67

k +k shy 2 _ rbullSi pOIlt1ll0S - 1

2

obtenemos

lk lW) (- -)y (x t) =2a cos ( 2 x - 2 t se kx - ro t (215)

Dado que las frecuell(middotins de las dos ondns componentes son soacutelo ligeramente diferentes AA y

kl(iexcl) son pequellas por lo tanto el teacutennino cos ( l2 x - vruiacutea lentamente middot en ell t) espacio yen d ticmpo esto nos pcnnitc considerar al tiquestrmillo la COl ( ~k x - l t) como

si fuera una amplitud A (x 1) lenlamentc variable en el espacio y en el tiempo y escribir

entonces la ecuacioacuten horaria de la perturbacioacuten resultante asiacute

y (x 1) = A (x 1) selt (Ix - (J) t) (216)

Yj

Fi~lInl 204 O)cilkiexcl~I1 ut IUiexcliexcl iexcl paniacutecula sometida a la perturbacioacuten JI (a)

a Il peI11Il biexcl~ (i Ol Y2(b) ya In pcrturblcioacuten y resultante de la

accioacuten sim lllL uacute ne~ de YY2(c)

x

68

Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas

annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual

al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente

variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las

dos ondas componentes

La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea

desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una

frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento

En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se

obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que

se denomina batimiellto

23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE

PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA

Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en

sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten

resu liante

Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias

y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)

)2 (X) =a seu (k( + w 1)

Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten

rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute

y(xt) =) (-)+ y (x 1)

de donde

69

y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I

o sea

y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)

El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante

liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma

frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten

horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas

El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de

propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl

Y una amplilud

A (x) = 2a se kx

lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la

amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de

Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l

Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en

las posiciones (hlllas por la condicioacuten

se k x m = plusmn 1

o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012

-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)

70

correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4

coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la

penurbacioacuten

Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten

de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas

en las posiciones XII dadas por la condicioacuten

se k XII =O

21l o sea --xlI =1ll 11=02

-=n=II 11=012 (219)

en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes

partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de

Isell kx Ien el intervalo entre O y J

Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos

71

Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se

propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos

opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama

ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con

amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A

apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5

x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4

Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la

ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda

obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a

sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias

Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en

los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la

altura

y

Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura

La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por

72

tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +

+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt

en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta

Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f

Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f

e 2

j(xO) =o y(O)=O

Condiciones al contOinO extrelllOs fijos

y(c) =deg

Apliquemos las condiciones al contorno

y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI

esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle

yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI

implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales

solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten

lIula

En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute

- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)

f f r

domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a

traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares

68

Esta expresioacuten nos die que la perturbacioacuten r_esullnnte de la superposicioacuten de dos ondas

annoacutenicas de frecuencias ligeramente diferentes es una onda amloacutenica con una frecuencia igual

al promedio de las frecuencias de las dos ondas COl11pOlll~rites y con una amplitlld lentamente

variable en el espacio y en el ticmpo cuyo valor maacuteximo es igual al (llhlc de la amplitlld de las

dos ondas componentes

La onda resulhmtc tiene entonces una ampliud modulada en el sentido que Sil amplitud variacutea

desde cero hasta el vnlor maacuteximo 211 esta oscilacioacuten de Ilmplitud se product con una

frecucncia v IJ = vI - V2 lIamadafrecucllcia de hatimiento

En el caso en el cual se superponen dos ondas 501101115 de liecuellcias ligeramente diferente se

obtienc una onda con frecuencia intenncdia y se percibe un sonido con intcnsidad variable que

se denomina batimiellto

23 SllPEllPOSICION DE DOS ONDAS All10NICAS IGllALES QllE SE

PROPAGAN EN SENTIDOS OPllESTOS ONDA ESTACIONARlA

Consideremos ahora la supcrposicioacuten de dos ondas annoacutenicas iguJlcs que se propagan en

sentidos opucstos cn el mismo medio y veamos cuaacutel es cn este caso la perturbacioacuten

resu liante

Sean las dos Olidas viajcras COII Cuaciolcs horarias

y (x t) = tI sen (kx- -- w 1)

)2 (X) =a seu (k( + w 1)

Como en casos antriorcs el pnnclplO de superposicioacuten nos garantiza que la pertmbacioacuten

rcsultame puede cnlculars simplemcnte asiacute

y(xt) =) (-)+ y (x 1)

de donde

69

y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I

o sea

y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)

El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante

liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma

frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten

horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas

El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de

propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl

Y una amplilud

A (x) = 2a se kx

lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la

amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de

Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l

Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en

las posiciones (hlllas por la condicioacuten

se k x m = plusmn 1

o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012

-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)

70

correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4

coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la

penurbacioacuten

Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten

de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas

en las posiciones XII dadas por la condicioacuten

se k XII =O

21l o sea --xlI =1ll 11=02

-=n=II 11=012 (219)

en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes

partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de

Isell kx Ien el intervalo entre O y J

Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos

71

Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se

propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos

opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama

ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con

amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A

apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5

x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4

Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la

ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda

obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a

sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias

Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en

los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la

altura

y

Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura

La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por

72

tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +

+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt

en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta

Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f

Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f

e 2

j(xO) =o y(O)=O

Condiciones al contOinO extrelllOs fijos

y(c) =deg

Apliquemos las condiciones al contorno

y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI

esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle

yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI

implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales

solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten

lIula

En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute

- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)

f f r

domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a

traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares

69

y (x 1) =nsen (b - aacuteJ L) + ti sell (ky + (tJ 1) = n sell kx cos aacuteJ t - fl COS kx se aacuteJ t + n se k~ cos uacuteJ t + fl COS ky sen aacuteJ I

o sea

y(x)=2asekx COSaacuteJt (217)

El anaacutelisis de la cCuacioacuten (217) nos muestr~ inmediatamente que la pClturbacioacuten resultante

liene amplitud doble con respecto l las amplitudes de las ondas componentes la misma

frecuencia y la misma lonl~itud de onda de aqucllas tambiiquestn puedc obscrvarse que la ecuacioacuten

horaria de la olida rl-SlIhante es de la fomla ( 156) es decir con variables separadas

El teacuterlllino (os (iJl iexcllIdiea qlluacute por cICcto de esta perturbacioacuten cada pm1iacutecula del medio de

propagaciuacuten cjecula un 1113$ alrededor de su posicioacuten de eC]uilibrio con frccuencia v = ~Jl

Y una amplilud

A (x) = 2a se kx

lile depende de Sil posicioacuten o sea de la variable x Asiacute por ejemplo es faacutecil ver lile la

amplitud de la oscilacioacuten de las partiacuteculas variacutea entre O y 2a dependiendo de los valores de

Ise k I qll~ variacutean obviamente cntre O y l

Por lo tUlIlO las piexcl1I1i~ulas que oscihm eOIl la maacutexima amplitud 2(1 son aqllcllls situadas en

las posiciones (hlllas por la condicioacuten

se k x m = plusmn 1

o sea 2 -m =(2+ 1) ~ 11 = 012

-t =(2m + J) iquestiexcl = 012 (218)

70

correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4

coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la

penurbacioacuten

Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten

de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas

en las posiciones XII dadas por la condicioacuten

se k XII =O

21l o sea --xlI =1ll 11=02

-=n=II 11=012 (219)

en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes

partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de

Isell kx Ien el intervalo entre O y J

Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos

71

Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se

propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos

opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama

ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con

amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A

apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5

x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4

Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la

ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda

obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a

sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias

Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en

los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la

altura

y

Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura

La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por

72

tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +

+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt

en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta

Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f

Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f

e 2

j(xO) =o y(O)=O

Condiciones al contOinO extrelllOs fijos

y(c) =deg

Apliquemos las condiciones al contorno

y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI

esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle

yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI

implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales

solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten

lIula

En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute

- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)

f f r

domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a

traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares

70

correspondientes a las partlculas a las distancias l4 ~ l ~ A bullbull del ongen de las4 4

coordenadas en estas partiacuteculas se dice entonces que estaacuten localizadus los vientres de la

penurbacioacuten

Por otro lado hay pLutlculas del medio de propagacioacuten que nunca se desplazaIl de su posicioacuten

de equilibrio son aquellas CII las cuales la amplitud de la oscilacioacuten es nula y estaacuten localizadas

en las posiciones XII dadas por la condicioacuten

se k XII =O

21l o sea --xlI =1ll 11=02

-=n=II 11=012 (219)

en estas partiacuteculas estuacuteJI localizados los nodos de la p~rlurbacioacuten Evidentemente las demntildes

partiacuteculas tendraacuten aInpliludes intermedias entre O y 2a dependicndo de los valores de

Isell kx Ien el intervalo entre O y J

Figura 25 Onda estacionaria producto de la superposicioacuten de dos ondas armoacutenicas igual~ ljlle vinjun CIl sentidos opuestos

71

Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se

propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos

opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama

ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con

amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A

apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5

x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4

Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la

ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda

obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a

sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias

Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en

los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la

altura

y

Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura

La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por

72

tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +

+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt

en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta

Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f

Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f

e 2

j(xO) =o y(O)=O

Condiciones al contOinO extrelllOs fijos

y(c) =deg

Apliquemos las condiciones al contorno

y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI

esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle

yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI

implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales

solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten

lIula

En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute

- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)

f f r

domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a

traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares

71

Debido a los hechos anterionnente descritos la onda resultante aparece quieta o sea no se

propaga a lo largo dd medio aunque siacute lo haccn las dos ondas componentes en sentidos

opuestos con la misma velocidad v =A v por esta razoacuten la pe1urbacioacuten resultante se llama

ONDA ESTACIONARIA Si hacemos refereneia a una cuerda eacutesta se veriacutea oscilando con

amplitud vufiable de maJltTa que las partiacuteculas situadas en X =O ~ A ~ A

apareceriacutean siempre en su posicioacuten dc equilibrio (NODOS) mientras las partiacuteculas situadas en A 3 5

x =- - A - Abullbullbullbullbull oscilariacutean con la maacutexima IImplitud 2a (VJENTRES)4 4 4

Podemos ahora gcneralizar las conclusiones [1 las qlle hemos llegado obscrvmdo que la

ecuacioacuten (2 17) ticne la fonna de la solucioacuten (156) de la ecuacioacuten diferencial de la onda

obtenida con el meacutetodo de separacioacuten de variables lo cual indica que dicha solucioacuten aplicada a

sistemas de dimensiones finitas debe dar lugar a ondas estacionarias

Analicemos por ejemplo la vibracioacuten de una cuerda de longitud f con los extremos fijos en

los pumas x =O x =f cuando se suelte luego de haber levantado el punto central hasta la

altura

y

Figura 26 Configuracioacuten inicial de una cuerda con cxtremosfijos cuyo punto central se levanta una altura

La ecuacioacuten (1 56) nos dice que ellTlovilllicnto d~ la cuerda estaraacute regido por

72

tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +

+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt

en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta

Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f

Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f

e 2

j(xO) =o y(O)=O

Condiciones al contOinO extrelllOs fijos

y(c) =deg

Apliquemos las condiciones al contorno

y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI

esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle

yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI

implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales

solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten

lIula

En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute

- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)

f f r

domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a

traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares

72

tp (x t) = l sen px sell pvt + b sen px COl pvl +

+ C cos px sen pvt +( cos px cos pvt

en donde debemos detenninar las constantes a b e ti p tcnicndo en cuenta

Condiciones iniciale~ y 2 1 X para deg~ x S )0f

Y = 211 (f-x) para --f ~ x ~ f

e 2

j(xO) =o y(O)=O

Condiciones al contOinO extrelllOs fijos

y(c) =deg

Apliquemos las condiciones al contorno

y(oI)=csenpvt+dcospvt=O VI

esta cOJldicioacuten implica t =ti =O por olra parle

yft) =sell pi (a sell pvt + b os pvt) ~ O VI

implica dos posibilidades a =b =deg oacute pI = Illr cun 11 = 0]2 de las cuales

solamente potkmos escoger la segunda dado que II =b = O nos Ikvariacutea a nlla perturbacioacuten

lIula

En definitiva la ecuuiexclioacuten dd movimiento de las paniacuteculas de la ltIcrGa seraacute

- IIlrX ( Illrvl IllrVI) y (X)= gt sell-- asell---+b cos--- (220)

f f r

domk iexclada valor de JI tia lugur a UIIU solu(ioacuten parlicuhJr y la solucioacuten g~J1iexclral se obltndruacute a

traveacutes de la C0ll1binacioacutel1 lineal de dichas soluioncs particulares

73

Apliquemos ahora a la ecuacioacuten (220) la condicioacuten inicial jI (XO) =O

( ) oy I Il1CV Il1CXy XO = -11=1) = --Qn Sell-- = O tX01 n i f

Esta solamente puede satisfacerse con a =O por lo tanto la ecuacioacuten horruia de lan

perturbacioacuten tcnd-aacute la fonna

~ 1l1C X 1l1C 1Y (x I ) == l b sen --- cO --- (221)

-n n e t

ecuacioacuten que evidentemente es la suma de 11 perturbacioncs ue la forma (217) es decir es In

superposicioacutelI de ondas estacionarias de amplitudes bl b2 bullbullbull b cuyas longitudes de

onda A 11 Y cuyas frecuencias v estaacuten dndns por las relaciones

1l7C 27C = (222)

Il1CV 2 -r- -= 1CV (223)

de donde obtenemos

A = 2~ (224)

IlV V =-2e (225)

1

Se trata entonces tIe 11 ondas estacionarias con longitudes de onda A 1 =2r A 2= f

2f v A 11= -- sublllidliplns de 2e y cuyns freClltlIcins v 1= 2e v 2= p

3v v v j = middot2[middotmiddot VII =2t son muacutellipllls tle 2t

v

74

Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con

la misma velocidad

v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n

ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia

v J _eS decir

V = l V

mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In

longitud de onda A

Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular

v - vn = v (226)

En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de

11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes

de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27

La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras

Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)

La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un

inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde

norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es

d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de

ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc

i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )

75

11=1 vI =vle Al =2f

Jl=2

V2 =ve~ A2 =e 11 2

11=3

Vj =3vU

AJ =2e3n 3

Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos

Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas

cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de

las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias

tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la

Figura 28

-- -

76

(a) (b)

n=l -gtE

11=2

11=3

Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres

Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas

sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias

que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los

extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I

--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden

producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull

79

Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los

armoacutenicos considerados $Cparadtullente

E

Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu

para una onda estacionaria

78

(227)

donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno

Por otro lado

r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e

2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (

2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene

y por lo tanto pnrn In energiacutea total

(2 29)

L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal

dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada

uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo

(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO

son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y

viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la

79

Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los

annoacutenicos considerados scparadruncnlc

E

Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI

para una amIa estacionaria

80

CAPITULO 3

OPTICA GEOIVIETRICA

En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el

vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis

tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia

estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1

e = A v (31)

la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad

de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)

Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de

variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra

31 tn escnla logariacutetmica

FrcclIcnciJ Hz -

10110deg l

Curriente alierna

10 G

~ I

AM

I

10]1110ZI 10 Z4

-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~

_oO_-shy Longitud le Olida m

Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea

Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a

la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels

-------------------------

81

cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14

Hz

Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo

----1I I

1000

iexcl 5000

-+ 6000

I 7000

1

Longitud de onda -_ ~ j en Q

A

Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk

La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo

humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla

En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del

espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca

normalmente lIamaua plica

Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en

nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se

propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas

por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un

hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los

( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica

74

Es faacutecil constatar que todas las olidos que dWl lugar a las ondas cstncionarias se propagan con

la misma velocidad

v = A J = A l V 1 =A ) v 3 = = A v n

ademaacutes que la frecucncia v 11 de la II-eacutesimn onda es muacuteltip1n eJe orden 11 dc la fimiddotecuencia

v J _eS decir

V = l V

mientras la longitud de onda A dc la n-eacutesima onda es submuacuteltipll de orden 11 dc In

longitud de onda A

Tambieacuten es faacutecil ver que vn-vm =(11- m) v J yen particular

v - vn = v (226)

En definitiva la cuerda en cxamen (una vcz sca soltada) vibrnraacute bajo la accioacuten simultaacutenea de

11 ondas estacionarias de amplitudes b 1 bull bn _ frecucncias v_ v 2 V n y longihldes

de onda iacute J iacute 1 iacute n r cpreselltadas en la Figllfa 27

La Olida corrcspondicnte a 11 = I se Ilallla armtiacutenico fUlldameltal lIlicnt-ras las otras

Il =23 se llaman amloacutenicos de ordcll superior (2030 ctc)

La situacioacuten que se ha descrito ilustra bastante bien la vibrliexclioacuten de una cuerda dc un

inSlnnnento musical en donde la frecuencia del armoacutenico fllndamental corrcsponde

norrnaiwcnte a la Ilota musical pcrcibida(llauo que generalmentc el amloacutellico fundamcntal es

d de mayor amplitud) y la distrihucioacuten de las amplitudcs b] b3 bullbull b de los a1moacutenicos de

ordcn suprior ddcllllilla d timbre ltId instrumcnto o sca la clracleriacutestica que nos pemlilc

i ~ lear la clase de inslnllllcnlo que se CSIllocilndo (violiacuten uilana etc )

75

11=1 vI =vle Al =2f

Jl=2

V2 =ve~ A2 =e 11 2

11=3

Vj =3vU

AJ =2e3n 3

Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos

Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas

cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de

las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias

tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la

Figura 28

-- -

76

(a) (b)

n=l -gtE

11=2

11=3

Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres

Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas

sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias

que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los

extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I

--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden

producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull

79

Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los

armoacutenicos considerados $Cparadtullente

E

Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu

para una onda estacionaria

78

(227)

donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno

Por otro lado

r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e

2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (

2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene

y por lo tanto pnrn In energiacutea total

(2 29)

L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal

dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada

uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo

(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO

son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y

viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la

79

Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los

annoacutenicos considerados scparadruncnlc

E

Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI

para una amIa estacionaria

80

CAPITULO 3

OPTICA GEOIVIETRICA

En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el

vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis

tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia

estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1

e = A v (31)

la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad

de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)

Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de

variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra

31 tn escnla logariacutetmica

FrcclIcnciJ Hz -

10110deg l

Curriente alierna

10 G

~ I

AM

I

10]1110ZI 10 Z4

-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~

_oO_-shy Longitud le Olida m

Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea

Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a

la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels

-------------------------

81

cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14

Hz

Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo

----1I I

1000

iexcl 5000

-+ 6000

I 7000

1

Longitud de onda -_ ~ j en Q

A

Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk

La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo

humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla

En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del

espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca

normalmente lIamaua plica

Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en

nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se

propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas

por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un

hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los

( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica

75

11=1 vI =vle Al =2f

Jl=2

V2 =ve~ A2 =e 11 2

11=3

Vj =3vU

AJ =2e3n 3

Figura 27 Oscilacioacuten oc una cuerda eOIl extremos jijos Seacute representan las ondas estacionatias correspondientes a los tres primeros mnoacutenicos

Todo sistema dc dimensiones finitas vibra por electo de la superposicioacuten de ondas

cstacionarius el conjunto de tsas ondas depende de las condici1Ih~ inicialcs del sistema y de

las condiciones al contorno en d caso de un cuerda de IOllgitlld iJlila las OndiexclLi estacionarias

tenuruacuten Iiexcl[OS en los extnlllos lijogt y vientres en los extremos iibres COIllO se nHsIiexcl en la

Figura 28

-- -

76

(a) (b)

n=l -gtE

11=2

11=3

Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres

Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas

sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias

que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los

extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I

--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden

producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull

79

Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los

armoacutenicos considerados $Cparadtullente

E

Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu

para una onda estacionaria

78

(227)

donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno

Por otro lado

r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e

2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (

2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene

y por lo tanto pnrn In energiacutea total

(2 29)

L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal

dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada

uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo

(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO

son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y

viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la

79

Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los

annoacutenicos considerados scparadruncnlc

E

Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI

para una amIa estacionaria

80

CAPITULO 3

OPTICA GEOIVIETRICA

En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el

vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis

tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia

estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1

e = A v (31)

la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad

de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)

Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de

variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra

31 tn escnla logariacutetmica

FrcclIcnciJ Hz -

10110deg l

Curriente alierna

10 G

~ I

AM

I

10]1110ZI 10 Z4

-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~

_oO_-shy Longitud le Olida m

Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea

Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a

la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels

-------------------------

81

cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14

Hz

Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo

----1I I

1000

iexcl 5000

-+ 6000

I 7000

1

Longitud de onda -_ ~ j en Q

A

Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk

La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo

humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla

En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del

espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca

normalmente lIamaua plica

Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en

nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se

propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas

por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un

hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los

( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica

-- -

76

(a) (b)

n=l -gtE

11=2

11=3

Figunl 28 Reprcsentacioacuten de los tres primeros armoacutenicos cn a) cuerda con un extremo fijo y un cxtremo librc b) cuerda COII los dos extrcmos libres

Para los illstrumentos de vicnhgt la situacioacuten es similar aunquc en estos ccos se trata de ondas

sonoras longitudinales que se propagan en cl airc contllido ell UIl tubo las ondas estacionarias

que se superponen en el tubo tClldraacuten lodo en los extremos cerrados y viclllrcs en los

extremos abiacutecI10s como iluslnlt) en la rigura 29lt I

--____shy( 1) Los coeliciclllCS btl que son las amplitudes uacutee bs n onda estacionarias que pueden

producirse se dchrminarin a traveacutes de la cOlldicioacuten inicial rclJliva J la cOIIJigllrncioacutelI lid ~WlCIHl 1 licllljHI t - J bull

79

Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los

armoacutenicos considerados $Cparadtullente

E

Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu

para una onda estacionaria

78

(227)

donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno

Por otro lado

r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e

2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (

2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene

y por lo tanto pnrn In energiacutea total

(2 29)

L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal

dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada

uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo

(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO

son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y

viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la

79

Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los

annoacutenicos considerados scparadruncnlc

E

Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI

para una amIa estacionaria

80

CAPITULO 3

OPTICA GEOIVIETRICA

En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el

vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis

tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia

estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1

e = A v (31)

la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad

de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)

Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de

variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra

31 tn escnla logariacutetmica

FrcclIcnciJ Hz -

10110deg l

Curriente alierna

10 G

~ I

AM

I

10]1110ZI 10 Z4

-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~

_oO_-shy Longitud le Olida m

Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea

Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a

la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels

-------------------------

81

cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14

Hz

Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo

----1I I

1000

iexcl 5000

-+ 6000

I 7000

1

Longitud de onda -_ ~ j en Q

A

Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk

La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo

humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla

En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del

espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca

normalmente lIamaua plica

Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en

nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se

propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas

por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un

hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los

( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica

79

Figura 2 10 Y es uacutel ido lambieacuten para las energiacuteas cineacuteticl potellcial y total iexclj~ cada uno de los

armoacutenicos considerados $Cparadtullente

E

Figura 21Uuml Evolucioacuten temporal de Ec Ep Eu

para una onda estacionaria

78

(227)

donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno

Por otro lado

r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e

2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (

2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene

y por lo tanto pnrn In energiacutea total

(2 29)

L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal

dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada

uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo

(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO

son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y

viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la

79

Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los

annoacutenicos considerados scparadruncnlc

E

Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI

para una amIa estacionaria

80

CAPITULO 3

OPTICA GEOIVIETRICA

En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el

vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis

tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia

estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1

e = A v (31)

la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad

de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)

Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de

variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra

31 tn escnla logariacutetmica

FrcclIcnciJ Hz -

10110deg l

Curriente alierna

10 G

~ I

AM

I

10]1110ZI 10 Z4

-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~

_oO_-shy Longitud le Olida m

Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea

Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a

la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels

-------------------------

81

cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14

Hz

Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo

----1I I

1000

iexcl 5000

-+ 6000

I 7000

1

Longitud de onda -_ ~ j en Q

A

Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk

La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo

humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla

En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del

espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca

normalmente lIamaua plica

Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en

nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se

propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas

por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un

hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los

( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica

78

(227)

donde se ha tenido en cuenta la propiediexcld de ortononnalidaJ de la iexclilOcioacuten seno

Por otro lado

r(~ )2 r )2J~ 11J t) ti 1iexclJ(Ib Illl IlIlX ti11NIp =- -- = - n --COS-- -cos-- 2 () ox 2 () f P e

2 2 _I b 2 Il 2 Ilnvt - (0 (228)4f (

2tcniendo en cuenta qllc F =p v se obtiene

y por lo tanto pnrn In energiacutea total

(2 29)

L~s cCllacioncs (227) (2 28) (2 29) 1105 mucstnln qllc las encrgiacutens cineacutelica potcllcinl y lotal

dI la pCliurbacioacuten se obticnen C0l110 sUlllas tic las energiacuteas (cineacutetica potencial y total) de cada

uno de los armoacutenicos ademaacutes cl hecho qllc la cncrgiacutea tOlal sen COIlstnlltc en el tiempo

(eontTariamente a lo que ocurriacutea para una onda viajera) muestra quc para las omlJs estacionarias en todo momento y (n cualquier pll1I0 del medio de propngcioacuten E( y Elgt lO

son iglleacutelhs sino qlle hny lllla POrIlliexclllICIlh cOllvcrsioacuten de energiacutea cin0tica en cllergiacutea potencial y

viceversa de mamm que la ellcrgiacutea 10tiexcl1I pcnnullczca constante Lo anterior estaacute ilustrado cn la

79

Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los

annoacutenicos considerados scparadruncnlc

E

Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI

para una amIa estacionaria

80

CAPITULO 3

OPTICA GEOIVIETRICA

En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el

vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis

tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia

estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1

e = A v (31)

la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad

de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)

Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de

variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra

31 tn escnla logariacutetmica

FrcclIcnciJ Hz -

10110deg l

Curriente alierna

10 G

~ I

AM

I

10]1110ZI 10 Z4

-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~

_oO_-shy Longitud le Olida m

Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea

Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a

la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels

-------------------------

81

cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14

Hz

Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo

----1I I

1000

iexcl 5000

-+ 6000

I 7000

1

Longitud de onda -_ ~ j en Q

A

Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk

La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo

humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla

En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del

espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca

normalmente lIamaua plica

Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en

nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se

propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas

por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un

hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los

( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica

79

Figura 2 O Y 1$ vuacutelido Imnbieacuten para las energiacuteas cineacutetica potcllcial y total de cada uno de los

annoacutenicos considerados scparadruncnlc

E

Figura 21 uuml Evolucioacuten lCJporal ue EL Ef E IUI

para una amIa estacionaria

80

CAPITULO 3

OPTICA GEOIVIETRICA

En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el

vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis

tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia

estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1

e = A v (31)

la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad

de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)

Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de

variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra

31 tn escnla logariacutetmica

FrcclIcnciJ Hz -

10110deg l

Curriente alierna

10 G

~ I

AM

I

10]1110ZI 10 Z4

-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~

_oO_-shy Longitud le Olida m

Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea

Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a

la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels

-------------------------

81

cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14

Hz

Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo

----1I I

1000

iexcl 5000

-+ 6000

I 7000

1

Longitud de onda -_ ~ j en Q

A

Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk

La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo

humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla

En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del

espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca

normalmente lIamaua plica

Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en

nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se

propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas

por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un

hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los

( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica

80

CAPITULO 3

OPTICA GEOIVIETRICA

En el primer capiacutetulo hemos visto como una ptl1urbacioacuten dcctroll1uumlgneacutelica se propaga en el

vaciacuteo de acuerdo con la eCliacioacuten Jifcrcncial de la onda con una vclocidacl e == 3108 mis

tambieacuten sabemos quc vdocidad de propagacioacuten de la onda longitud dc onda y frecuencia

estH relacionadas cntre siacute a traveacutes dt la ecuacioacutel1

e = A v (31)

la cual permite obvitullcntc infinitos valores de A y v de IIIcho hay una gran varicdad

de ondas clectromaglleacutetica- cuyas caracteriacutesticas satisfacen la ecuacioacuten (3 1)

Al conjunto de csta5 omlas se le llama epcctro cCCt1011lfliexcl1l eacutetico dado el enorme fil11g0 de

variacioacuten de la longitud dc onda el espectro ekclTOmagneacutetico estaacute [(Presentado en la Fig1ra

31 tn escnla logariacutetmica

FrcclIcnciJ Hz -

10110deg l

Curriente alierna

10 G

~ I

AM

I

10]1110ZI 10 Z4

-1--1--1--1--iexcl--iexcl-l Rayos ga~

_oO_-shy Longitud le Olida m

Figura 31 Diagrama tlel espectro e11 e11 cscaia lugariacutetllliea

Como et5 sciacuteial-tda cn la Figura ]1 un1 mil) pequciia ponil)JI del cspcclro cm corresponde a

la luz visibLe (1 sea a las ondLlt CIB Cjue p1cdcn ser pcrcilJiult1 [JOI el ojo hUlllano son aquclleacutels

-------------------------

81

cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14

Hz

Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo

----1I I

1000

iexcl 5000

-+ 6000

I 7000

1

Longitud de onda -_ ~ j en Q

A

Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk

La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo

humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla

En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del

espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca

normalmente lIamaua plica

Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en

nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se

propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas

por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un

hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los

( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica

-------------------------

81

cuyas longitudes de onda cstm comprendidas en el iTllcrvalo 4000 A -7 7000 (l = 101 angsLrom == ]0- 111) Ycorrespondicntcmcutc sus frecuencias son del orden de 10 14

Hz

Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar Naranja Rojo Infrarrojo

----1I I

1000

iexcl 5000

-+ 6000

I 7000

1

Longitud de onda -_ ~ j en Q

A

Figura 32 Longitudcs oe olda de la porcioacuten del cspectro cm cones[londicnte n la luz visihk

La figura 32 m~csra un diagrJIlla de la luz visible y de los colores percibidos por el oJo

humano asoia 1 iJI 11 rl if rcl les ongilllcks ttlc ontla

En tste capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de los fenoacutemenos conexos a la porcioacuten del

espectro cm corrcspuumlndielc a la luz visible es (kcir desarrollaremos esa partc de la fisiacuteca

normalmente lIamaua plica

Si bin la luz SC1 una onda cm y por lo tanto s~a caplZ (c roue1f los obst1culos( l ) en

nuestras obsevaoacuteOIes cotidianas podemos ver que el la mayorliexcliexcl de los casos la luz se

propaga en flimla rectiliacutenCJ rara tnl fin basta observar h sombras bicn definidas proyectadas

por los ohjetos o la trnyGctori1i1 de la luz que entra en una hJbitacioacuten oscura a trJveacutes de un

hucco en los poacutes~igos de la ventalla La oacuteptica geomeacutetrica analiza precisamente los

( J) Lu capaciJaJ JI hl luz i~a Otkar h)s ohsiexcllcldos iexclle obscrvada por primera vez por ( iexclIlillJI Iyu s cuuiogt flllroll 11IhlicnJos 11 1lt65 sin cllIhargo la experiencia e - n lUacuteiexcl 1 1middot i )~r~ (I c~ la l~ rop~a ~~ ~~ riexcl4~ ll a ~ti~~~ ~ los lCnOacutelnl~ Cmiddot s en lo~ ctl1ie lmiddot rk~ ilIi01 de a luz (difraccioacuten) s iexclIICC ~idcntc ddlCIl tratarse medirulle un fOI1I1 o olldulalOrio y seiialan el limite enre la uacuteplica biexclOlli~lrica y la oacuteptica iiexclsica

--

-- -- ----

--- -- -- --

82

fenoacutemenos luminosos y iacuteos sistemas oacutepticos para los tuahs pueda considerarse vaacutelido el

principio de propagadaacute rectiliacutenea de la Iltz

Para estos fenoacutemenos y estos sistemas oacutepticos reemplazaremos clItonces las ondas luminosas

con los rayo entendiendo como rayos a las direcciolles de propagacioacuten de los frentes de onda

La Figura 33 lTIueslTa los frentes de onda y les correspondientes rayos para los casos de ondas

luminosas que se propagan por ondas esfeacutericas a pill1ir de una fucnte puntual o por ondas

planas a partir de una fuente pUlJrualloealil1da en ei infinito

-

-

_____o _--l~-

--r--shy

_ _ shy

-~

-+shy

Figura 33 Frentes de onclas y rayos luminosos para Jos diferentes situaciones

31 PRINCIPIO DE FERMAT

Como hemos d icho en repetidas ocasiones la velocidad de propagacioacuten de las ondas

electromaglldicas y por lo tUI ~O de la luz es e = 31 Omiddot~ mIs ell el vaciacuteo obstrvacioncs

expeacuterimclIlDlcs nalizadlls a p~rlir de los inicios dd siglo XIX (Fizc3Jl FOIIC3Ult etc ) y

mcoidlls po~t~~li()rcs hall dClIluumlslrado (lUC en diknnlcs lIletlios dt pmpagacioacuten (nguD vidrio

piaacutestico ) la luz lielle JilCnlltes vcluacuteliJath -- menores qne e podtllos cnlollces definir un

83

nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i

v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca

IlV=C Oacute ll=cv p 2)

Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi

podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc

(3 3)

lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl

velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111

AB =S = Y (34)

En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S

dada por

(35)

Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)

AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)

A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico

El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas

recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada

mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria

pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)

truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo

84

Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes

SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc

(Figura 34)

Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos

en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li

La longitud tolal de la trayectoria seraacute

(37)

pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por

(38)

El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio

en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de

iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj

Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ

atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible

imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio

de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle

efectivamente ncorre el haz elc luz

El principio de FCffiHI afirma qlll

S5

La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o

estacionario

Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las

trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la

perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten

Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1

32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION

Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin

cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat

Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ

reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano

A

~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz

de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo

Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts

dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si

dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con

83

nuacutemero 11 que IInmiircll10s iacutendice de refrlicdlIacutelI del mellin de propagacioacuten de manera lile $i

v es la velocidad de propngacioacuten de la luz en el medio ~ca

IlV=C Oacute ll=cv p 2)

Asiacute si tenemos difcrentes medios en los cllales la luz se propaga con velocidades v J v 2 bullbullbull vi

podrcmos asociar a C5gtOS medios difercntes iacutendices oc rcfraccioacuten de modo qllc

(3 3)

lonsidcrcmo5gt nhorn un haz de luz que se propaga en IIn medio de iacutendice de reraccioacuten 11 COIl

velocidad v =el despueacutes de un tiempo I habni recorrido IIna distallcia A ji = S dada por111

AB =S = Y (34)

En el mislllo tiempo t un 11m de luz en d vacil-o rewrreriacutea una distancia -ioR () =So gt S

dada por

(35)

Teniendo en cuenta la relacioacuten (32)

AtJJ 11 = So = 11 vi = JI A JJ = 11 S (3 6)

A la distancia JI S =iexcl hl denominamos camino ()ptico

El concepto ele camino oacuteptiiexclo cs obviamente uacutetil plra comparar trayectorias luminosas

recorridas en distintos medios quc de otra manera no scriacutenn comparables dado que en cada

mcdio la 11I~ se propaga con difercnte velocidnd en cambio los difercntes tramos dc trayectoria

pllld~ll COll1larlfSC l traveacutes de los lamill(ls oacutepticos asolildos dado (jite eacutestos lOrTCSponucll iexcl)

truycdorias lodl s r~c()ITida Cll d Vlliacuteo

84

Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes

SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc

(Figura 34)

Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos

en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li

La longitud tolal de la trayectoria seraacute

(37)

pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por

(38)

El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio

en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de

iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj

Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ

atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible

imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio

de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle

efectivamente ncorre el haz elc luz

El principio de FCffiHI afirma qlll

S5

La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o

estacionario

Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las

trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la

perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten

Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1

32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION

Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin

cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat

Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ

reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano

A

~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz

de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo

Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts

dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si

dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con

84

Asiacute por ejemplo si un haz de luz recorre trrllllOS de trayectoria de longitudes

SI S] S3 bullbullbullbull Siexcl cn mCluumlos de iacutendices d~ refraccioacuten ljgt 2 1I3 bullbullbullbull 1Iiexcl respectivamentc

(Figura 34)

Figura 34 Tmyccloria 9c 1Ul haz dc luz de tramos SIl Sl Si recorridos

en medios de iacutendices de rdraccioacuten 11iexcl 11] bullbullbull bull li

La longitud tolal de la trayectoria seraacute

(37)

pero el camino aoacuteptico lot] estarrdado por

(38)

El camino oacuteptico l corresponde a la longitud ele la trayectoria que la luz recorre en el vacio

en el mismo tiempo que empica para recorrer la trayectoria dc longitud 1 cn los medios de

iacutendices de rernlccioacuten 1l1 2 bullbullbull lIj

Volvmnos alloriexcl a considerar un haz de luz (ver Figura 34) que se propaga desde A hasta JJ

atravesando varios mcdios de diferenles iacutendices d~ refraccioacuten es evidente que es posible

imaginar muchas o maacutes bien inlinilas trayectorias que unen los puntos A y n el principio

de Fermllt nos permite Isiablccer cuaacutel de todus las trllycctorias imaginahles es la qlle

efectivamente ncorre el haz elc luz

El principio de FCffiHI afirma qlll

S5

La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o

estacionario

Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las

trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la

perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten

Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1

32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION

Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin

cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat

Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ

reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano

A

~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz

de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo

Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts

dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si

dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con

S5

La trayectoria real de Ull ha de luz es la IJUI se asoda al ClmillO oacuteptico 1uiximo miacutellimo o

estacionario

Con relacioacuten al caso ilustrado en la Figura 34 este prinCIpIO nos dice que de todas las

trayectorias que pu~den trazarse entre los plintos A y B In que realmente recorre la

perturbacioacuten luminosa es la que cumple con la rc1cioacuten

Dl=D) middotS=O (39)-1 1 1

32 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION

Las leyes de reflexioacuten y refraccioacuten de la luz ticncII indudables fundml1cntos experime1laJcs sin

cmblligo es posible obtemrlas por viacutea analiacutetica utilizmuo el prinipio de Fermat

Considerenogt por ejemplo un haz de luz ql~ se pro aga dcgtdc el punlo A hacia el punto JJ

reflejaacutendose sobre un Cpcjo plano

A

~ ---shyFi~url 35 iexclPB es ula de las posibles Inyectorias para IIn haz

de luz que se propaga desde A hacia n reJlejaacutenuosc sable el espejo

Evidnltlletltc pudernos itJlnginar infinita traytctori~ pnru el haz de IUL y es claro que eacuteSILts

dependen del punto uel espejo en el cual pltlicmos vaya a re 11 cjarse el haz de manera que si

dClcnnilluws la posicioacutelI dd pllulO l lliampgt(lH0S ddrntin ldo In trayectoria real Con