CIRCUITOS ELECTRICOS EN D.C. Y LEYES DE KIRCHHOFF

1. OBJETIVOS:

Resolver el circuito dado (hallar la matriz solución) Resolver el circuito dado aplicando las deyes de Ohm y Kirchhoff (hallar la

matriz solución) Verificar que se cumplen las leyes de Kirchhoff

2. FUNDAMENTO TEORICO:

Nodo

Un nodo es un punto en donde se encuentran tres o más elementos de circuitos.

Malla

Una malla es una trayectoria cerrada. Comenzando en un nodo seleccionado arbitrariamente,

trazamos una trayectoria cerrada en un circuito a través de elementos básicos de circuitos

seleccionados del circuito y regresamos al nodo original sin pasar por ningún nodo intermedio

más de una vez.

Ley de Kirchhoff de la corriente

La ley de corrientes de Kirchhoff, enuncia lo siguiente: La suma algebraica de todas las

corrientes en cualquier nodo de un circuito es igual a cero.

Para usar la ley de corrientes de Kirchhoff, debe asignarse a cada corriente en el nodo un signo

algebraico según una dirección de referencia. Si se otorga un signo positivo a una corriente

que sale del nodo, debe asignarse uno negativo a una corriente que entra al nodo. Por el

contrario, si se determina un signo negativo a una corriente que sale del nodo, debe darse uno

positivo a una corriente que entra al nodo.

Ley del voltaje de Kirchhoff

La ley del voltaje de Kirchhoff, enuncia lo siguiente: La suma algebraica de todos los voltajes

alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es igual a cero.

Para emplear la ley de voltaje de kirchhoff, debemos asignar un signo algebraico (una

dirección de referencia) a cada voltaje en el lazo. Si se asignan valores positivos a las

elevaciones de voltaje, deben asignarse valores negativos a las caídas de voltaje. Por el

contrario si se determinan valores negativos a las elevaciones de voltaje, se deberán otorgar

valores positivos a las caídas de tensión.

Aplicando las leyes de Kirchhoff en un circuito simple tenemos

Datos:

V = 120 [V]

I = 6 [A]

R1 = 10 [Ω]

R2 = 50 [Ω]

Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff en la malla 1, se tiene:

V−V R1−V R2=0

Por ley de Ohm, se tiene:

120−10∗I R1−50∗IR2=0 (1)

Aplicando la ley de corriente de Kirchhoff en el nodo A, se tiene

IR1+ I−I R2=0

6+ I R1−I R2=0 (2)

Entonces resolviendo el sistema de ecuaciones:

(1) 10∗IR1+50∗IR2=120

(2) IR1−IR2=− 6 , de (2), se tiene: I R1=IR2−6 (3)

Sustituyendo (3), en (1), se tiene:

10∗( I R2− 6)+50∗IR2=120

Entonces IR2 = 3 [A]

Sustituyendo IR2, en (3), IR1= -3[A]

Entonces, los voltajes en cada resistor son:

VR1 = -30 [V]

VR2 = 150 [V]

Entonces, la potencia disipada por cada resistor es:

PR1 = 90 [W]

PR2 = 450 [W]

Para poder calcular la potencia en un resistor existen dos caminos:

Conociendo la corriente que pasa por el resistor

P=I 2∗R [W ] Conociendo el voltaje que existe en el resistor.

P=V2

R[W ]

Para poder conectar un amperímetro. En un circuito DC, se deben tener los siguientes

cuidados:

Estar conectado en serie al circuito.

Tener la escala apropiada para el circuito.

3. MATERIALES Y MONTAJE EXPERIMENTAL:

Se utilizó el siguiente equipo y/o material:

Una fuente de tensión regulada.

4 Resistencias.

Multímetro.

Voltímetro.

Amperímetros.

Cables.

4. TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS:

Medir con el óhmetro las 4 resistencias y armar el siguiente circuito

E = 10 [V]

R1 = 10[Ω]

R2 = 87.6 [Ω]

R3 = 506 [Ω]

R4 = 5 [Ω]

Resolver el circuito es completar la siguiente matriz

Resistencia

s

Corriente

s

Voltaje

s

Potencia

s

R1 IR1 VR1 PR1

R2 IR2 VR2 PR2

R3 IR3 VR3 PR3

R4 IR4 VR4 PR4

Aplicando la Ley de Ohm, cuya expresión es:

V=I*R

Las dos leyes de Kirchhoff

Sumatoria de corrientes en un nodo ∑ I = 0

Sumatoria de voltajes en una malla ∑ V = 0

Es posible resolver el circuito por dos métodos.

Midiendo una corriente.

Midiendo un voltaje.

Resolución del circuito midiendo una corriente

Entonces, aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff, en el circuito se tiene:

E−V R1−V R2−V R 4=0 , de donde se tiene:

V R2=E−V R1−V R 4

E−V R1−V R3−V R 4=0 , de donde se tiene:

V R3=E−V R1−V R 4

Entonces, por comparación se tiene:

VR2 = VR3

Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff, en el circuito se tiene:

Nodo A : IR1−IR2−IR3=0 , de donde se tiene:IR1=IR2+ I R3

Nodo B : IR2+ I R3−IR4=0 , de donde se tiene:IR 4=IR2+ I R3

Entonces, por comparación se tiene: IR1 = IR4

Con estas relaciones encontradas y aplicando la ley de Ohm, la matriz de fórmulas será:

Resistencias

[Ω]

Corrientes [A] Voltajes [V] Potencias [W]

R1 IR1 = IR4 VR1 = IR1*R1 PR1 = IR12 * R1

R2 IR2= VR2 /R2 VR2 = ℇ- VR1- VR4 PR2 = IR22 * R2

R3 IR3 = VR3 / R3 VR3 = VR2 PR3 = IR32 * R3

R4 IR4 VR4 = IR4* R4 PR4 = IR42 * R4

Para este método se midió la corriente IR4.

Entonces, reemplazando los valores, tenemos:

Resistencias

[Ω]

Corrientes

[A]

Voltajes [V] Potencias [W]

R1 = 10 IR1 = 0.107 VR1 = 1.07 PR1 = 0.11449

R2 =37.6 IR2 = 0.223 VR2 = 8.395 PR2 = 1.86981

R3 = 502 IR3 = 0.017 VR3 = 8.395 PR3 = 0.14508

R4 = 5 IR4 = 0.107 VR4 = 0.535 PR4 = 0.05725

6.1. Resolución del circuito midiendo un voltaje

Entonces, aplicando la ley de voltajes de kirchhoff, en el circuito se tiene:

E−V R1−V R2−V R 4=0 , de donde se tiene:V R2=E−V R1−V R 4

E−V R1−V R3−V R 4=0 , de donde se tiene:V R3=E−V R1−V R 4

Entonces, por comparación se tiene:

VR2 = VR3

Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff, en el circuito se tiene:

Nodo A : IR1−IR2−IR3=0 , de donde se tiene:IR1=IR2+ I R3

Nodo B : IR2+ I R3−IR4=0 , de donde se tiene:IR 4=IR2+ I R3

Entonces, por comparación se tiene:

IR1 = IR4

Con estas relaciones encontradas y aplicando la ley de Ohm, la matriz de fórmulas será:

Resistencias

[Ω]

Corrientes [A] Voltajes [V] Potencias [W]

R1 IR1 = IR4 VR1 = IR1* R1 PR1 = IR12 * R1

R2 IR2 = VR2 / R2 VR2 = ℇ- VR1- VR4 PR2 = VR22

/ R2

R3 IR3 = VR3 / R3 VR3 = VR2 PR3 = VR32 / R3

R4 IR4 = VR4/ R4 VR4 PR4 = IR42 * R4

Para este método se midió el voltaje VR4.

Entonces, reemplazando los valores, tenemos:

Resistencias Corrientes Voltajes [V] Potencias [W]

[Ω] [A]

R1 = 10 IR1 = 0.1120 VR1 = 1.12 PR1 =0.1254

R2 =37.6 IR2 = 0.2213 VR2 = 8.32 PR2 = 1.8410

R3 = 502 IR3 = 0.0166 VR3 = 8.32 PR3 = 0.1379

R4 = 5 IR4 = 0.1120 VR4 = 0.560 PR4 = 0.0627

Conclusiones

A través de los dos métodos se pudo obtener los valores de las corrientes, los voltajes y las

potencias, utilizando las leyes de Kirchhoff, y la ley de Ohm. De esta forma cumpliendo con

nuestros objetivos trazados en un principio.

5. CUESTIONARIO:

1. Demuestre que la corriente IR1 = IR4

Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff, en el circuito se tiene:

Nodo A : IR1−IR2−IR3=0 , de donde se tiene:IR1=IR2+ I R3

Nodo B : IR2+ I R3−IR4=0 , de donde se tiene:IR 4=IR2+ I R3

Entonces, por comparación se tiene:

IR1 = IR4

2. Demuestre que VR2 = VR3

Entonces, aplicando la ley de voltajes de kirchhoff, en el circuito se tiene:

E−V R1−V R2−V R 4=0 , de donde se tiene:

V R2=E−V R1−V R 4

E−V R1−V R3−V R 4=0 , de donde se tiene:

V R3=E−V R1−V R 4

Entonces, por comparación se tiene:

VR2 = VR3

3. ¿Qué medidas son necesarias para calcular la potencia total del circuito?

Existen dos formas de poder calcular:

PT = PR1 + PR2 + PR3 + PR4

PT = E * I; donde I = IR4 = IR1

4. Demuestre que PT = PR1 + PR2 + PR3 + PR4

PT=PR1+PR2+PR3+PR 4

E∗I=IR1∗V R1+ IR2∗V R2+ IR3∗V R3+ I R4∗V R4

Pero, el circuito, I=IR1=IR4 ; VR2 = VR3; entonces:

E∗IR4=I R4∗V R1+ I R2∗V R2+ I R2∗V R2+ IR4∗V R 4

E∗IR4=I R4 (V R1+V R 4 )+V R2( IR2+ I R3 )

Pero, en el circuito, IR4 = IR2 + IR3, entonces:

E∗IR4=I R4 (V R1+V R 4 )+V R2∗I R4

E∗IR4=I R4 (V R1+V R 4+V R2 )

Pero, en el circuito E = VR1 + VR2 + VR4, entonces:

E∗IR4=E∗I R4