Post on 28-Jun-2015
I
LA RECTA EN EL PLANO:
* Sistema de referencia: Sea el conjunto de los puntos del plano. Un punto arbitrario del mismo
(O) y una base de vectores i, T forman un sistema de referencia del plano, que simbolizamos
l ^ l - : i l lcomo {O, I i, j }}.O recibe el nombre de origen de coordenadas del plano, en dicho sistema
de referencia.
Si tomamos un punto A del plano, dicho punto, con O,
determina un vector bA .( + l
El vector 1 OA l puede expresarse en función de los
l - : - .¡ l {- --" } ->vec to res 1 i , j i ' tOA i=x i+y . ;
"n { T, T } ," les llama coordenadas del punto A en elA las coordenadas (
sistema de referencia
t Distancia entre dos puntos
módulo del vector ÁB- +
l------+ Ix,y) de toAi
f ( + + ) )
to.t i . j i j
-v\\ A ' ? '\ -\\
* . - ' ) ' l ' " ' '- ' c t L '
Si tomamos dos puntos A(x ' , y r ) y B(xz , yz ) ,
f + ) t - - - - - > l { - - - - - = }observamosque tAB l : lOB i - {OA } =
f ---> l + ---> + --->
+ JAB i : ( * r i * y , j ) - ( x r i +y ' j ) +
- ) - >
AB l= ( xz - x r ) i + ( y t - y r ) j
"Las coordenadas de tÁÉ l se obtienen restando ordenadamente las coordenadas del extremo
menos las coordenadas del origen A ".
: Definimos distancia entre dos puntos A y B (d(A, B)) como el
d(4, B) : ( * z - * r ) 2 + ( yz - y r )2
"Para obtener la distancia entre dos puntos se calcula la raíz cuadrada de la diferencia de sus
abscisas al cuadrado, más la diferencia de sus ordenadas al cuadrado".
* Punto medio de un segmento: Sean A y B dos puntos del planoy M (x,,, y.) el
punto medio ¿" hÉ.
Se observa que {aÉ= } =,
{{ t .
ANrf I
( * r - x ' ) i * ( y z - y ) Í : z [ (x ,n - x r )T+ 0 - - y ' )T ]( - x r * X 2
l * r - ^ ' =2x r -2x t -+ * *= t -2
| ^ - 2 v , - + y ' . = Y t + Y zf l z
- Y t = t ! ¡ - . r - , , , 2
"Las coordenadas del punto medio, M, del segmento AB se obtienen como media aritmética de
las coordenadas de los extremos del segmento".
i"i
* Ecuación de la recta:
U n p u n t o P o ( x o , y o ) ) u n v e c t o r 7 : u " T * u u i d " f i n . n u n a r e c t a , r , c o m o e l l u g a r
geométrico de los puntos del plano alineados con Ps según la dirección de I .
Llamaremos ecuación de la recta a la expresron
analítica de esta propiedad.
Así, si P(x, y)e r = Ñ tt i
- t4É l: ^?, es decir,
(x - xe)T+ 0 - vo)J: 1,1v" T+ u, i ) ( l )
que es la Ecuación vectorial de la recta.
D e ( l ) : (2) = Ecuaciones paramétricas de r ->
j
f ¡
l x - x 0 = A v x
< ol ^
l V - V n = A V .
S iv *yv ,
De (3):
quedará
son no nulos =
v y x + ( - v . ) y + ( v
Ax+Bv+C:0
(3) = Ecuación de r en forma continua.
* y o - v v x o ) : 0 , d o n d e s i v v : A i - v , : B ; v * y o - v y x o : L
= Ecuación general (o implícita) de r
d) si despejamos "y" de la ecuación general de la recta 3
La ecuación general de la recta será pues, una ecuación de primer grado en X € y , y con vector--->
v : ( -B ,A ) .
* Inclinación. Pendiente:
Llamamos inclinación , g, de la recta al ángulo que forma con el semieje positivo de abscisas.
A la tangente trigonométrica de la inclinación le llamaremos pendiente (m) de la recta y será
conocida siempre que conozcamos alguno de los siguientes datos:
a) la inclinación -+ m : tg g
b) el vector director de la recta, ? -) tg q : vv
: mv x
c) la ecuación general de la recta, A x + B y + C:0AB
ACx - - : mx+b =.BB
= F +;Tbl = Ecuación explícita de r
lapendiente seráel coef ic ientede x, m, yel término independiente, b, el valorde la
"y" del punto de la recta con x : 0, al que llamaremos ordenada en el origen, de la recta.
+ l,v"
+ l"vnI"=*olv=voX - X o - Y - Y o
V ,
e ) s i c o n o c e m o s d o s p u n t o s P r ( x r , y r ) y P z ( x z , y z ) d e r : c a l c u l a m o s {r,tr}:: ( x 2 - x 1 ) I +(yu -y r )
* Ecuación de la recta a partir de un punto y la pendiente:
-2
-./t =
fY
P( ¡ i ' : '
(Ecuación punto-pendiente)
Sea una recta r de la que conocemos
un punto Po (x o , y o) y la pendiente m.
Un P(x , y) pertenecerá a esa recta si
la pendiente que define con Pq es,
precisamente, m :
= Ecuaciónpunto-pendiente.* V n : m f X - X
S i m :0
P ( x , y ) e r = -
- - X 0
- ) v y = 0 - +
Ecuación :
RECTA HOzuZONTAL
S i q : 9 0 o - + v , : 0 - )
_) RECTA VERTICAL.
no existe la pendiente de r
Ecuación :
. 3) Si m : I ó I decimos que la recta tiene la dirección de las bisectrices del primer y
tercer o del segundo y cuarto cuadrantes, respectivamente, (BPC ó BSC)
Sus ecuaciones serán:
BPC: y -0 : l ( x -0 ) = F :x l ó
x -y :0
BSC = y- 0: - I (x- 0) = lJ: l * - l
x *y :0
V v Y r - Y ,m - ' =:--:------:--:-
v x X z - X t
* Casos particulares:
* Ángulo entre dos rectas:
Sean dos rectas : rr = Ar
f z = A z
, B r 8 2l T l r : - - : \ '' A 1 A 2
x *B r y+C1 : 0 ( ?= -B rñA ' -ñ
x* Bz y+ C2:0 (ü: - Brñ nr-ñ de pendientesrespect ivas
- Llamamos ángulo de las dos rectas al ángulo agudoq
Z que forman. Se puede obtener a partir del coseno del
ángulo, e, que forman i t ü '
f,
+¿" 'll
I
c o s Q :
tg cr, - tg cr,
I + tg cr,2 ' tg cr,r
A,A , + B ,B ,
t g q :f f i z - f f i r
I + m r ' m ,
v r v z
v t v z
P o r o t r a p a r t e , e : 0 2 - 0 t - + t g q :
* S i 1 1 I 1 2 = c o s g : 0 e A rA : : -B rB r
"Dos rectas perpendiculares tienen sus pendientes, una inversa de la otra y cambiada de signo"
A, B, t---Tl- 4 - - : - = | I t l l t : - - |
Bt A2 | * r l
"Dos rectas paralelas tienen pendientes iguales"
* Distancia de un punto a una recta: "Es la longitud del segmento perpendiculartrazado del punto
a la recta".
Sea la rec ta r = Ax+By+C:0
de vector director ,' : -g i+ ni.
. J ^ - >S e o b s e r v a q u e n : A i + B j e s
perpendicul ar a r f? nt: ol.
* S i r l l l 1 2 + t g q = 0 = t * , : * ;
A(xo. yo)
La distancia de
cualquiera de r
r = A x + B y + C : 0
?-t-e, e.)
P a la recfa r será la proyección de ÁÉ sobre
(por lotanto A xo -| B yo + C : 0):
n siendo A un punto
d(P, r):A(x r - xe )+B(y r - yo ) t_
t-
d l+ t ) ef+ej
d (P . r )
l Ax ¡ +By ' +C l: t - l
l - |
I L ) ^ ) || \ / A - + r J - |
JA'z.#
"Para obtener la distancia se un punto a una recta, se sustituyen en la ecuación general de la recta
las coordenadas genéricas x, y por las coordenadas particulares del punto P(xr , yr) y el resultado,
en valor absoluto, se divide por el módulo del vecto, ? , normal a r , A 2 + 8 2
EJERCICIOS
Números complejos
1.- Escribir en forma polar'. z1: 3 , zz: - 4
2.- Escribir en forma binómica: 21: 2 ¡ ,3
3 . - S i 2 1 = 7 * 2 i , 2 2 : 3 - i : ¿ z t + 2 2 ,
. [1 i , r^=- 1 + JJ i , z5=- J i -
zt : 6 s t ,T
i , 4 : 1 -
2 2 : 4 5 n ,
6
z 1 - 2 2 2 ,
r= .v J l
2 1 1Z l ' 2 2 , j r Z l
z2
5.- Hallar las raíces : '4 -27
6 . - H a l l a r x , y s i = = y + z i1 + 2 i
7.- Hallar las coordenadas del afijo del complejo resultante de girar z:2 + 3 i un ángulo a :
a ) a :90o , b ) o :720o , c ) o :60o: 1 ) a favorde l re lo j 2 )encont rade l re lo j .
, , 3 2 ?
La recta en el plano
1.- Hallar: a) Ecuación de los lados.
b) Ecuación de las alturas y el ortocentro.
c) Ecuación de las medianas y el baricentro.
d) Ecuación de las mediatrices y el circuncentro.
e) Longitud de los lados. )t:'
| Área del triángulo.
2.- Si A(3,2), halla la ecuación de: a) recta horizontal por A
l l - ' -
b) recta vertical por A
c ) I I B P C p o r A d ) l l 5 x + 2 y - 1 3 = 0 p o r A e ) J _ 5 x + 2 y - 1 3 : 0 p o r A
3.- Halla la ecuación de la recta que pasa por P(4, 5) y que forma con los ejes un triángulo de
area 40 u2.
4.- ABCD es un paralelogramo donde A(- l, - 3) , 8(6, 0) , C(8" 2) : ¿D ? ¿Area?
5.- A(- 1, 3) y C(3, - 3) son los vértices de la base de un triángulo isósceles. Halla la posición
del tercervért ice si se sabe que estáen r : x+2y - 15 = 0.
6 . - a ) Ecuac iónde la rec taquepasapor P(2 , -3 ) y fo rma 45o con r = 3 x -4y+7:0 .
b) Ecuación de la recta que pasa por P y forma con r un ángulo ü,, con tg a : 2.
7.- La bisectriz de dos rectas como lugar geométrico. Aplícalo a :
f r = x + 2 y - 7 : 0 y r = 2 x + y - 1 7 = 0 .
8.- Halla las coordenadas del tercer vértice de un triángulo rectángulo isósceles, con vértice recto
en A(0, 0) y el otro vértice en B(3,4).
-z +zJ i i
2
9 . - E c u a c i ó n d e l a r e c t a p a r a l e l a a r = 2 x - y + 5 : 0 c u y a d i s t a n c i a a P ( l , l ) s e a 2 .
1 0 . - E c u a c i ó n d e l a r e c t a s p a r a l e l a s a r = 3 x - 4 y + 5 : 0 q u e d i s t a n d e e s t a r e c f a 2 u n i d a d e s .
1 1.- Ecuación de la rectas que pasan por A(2. 0) y distan J1 ¿"t origen.
12.- A(0,0) y B(2, l) son vértices consecutivos de un cuadrado. Halla la posición de los otros
dos vértices. (Dos soluciones)
1 3.- A(0, 0) y B( l, 3) son vértices opuestos de un cuadrado ¿Posición de los otros dos vértices?.
1 4 . - r , : 3 x + 4 y - 1 2 : 0 y r z = 5 x + 6 y - 3 0 : 0 f o m a n c o n l o s e j e s u n c u a d r i l á t e r o .
Halla su perímetro y su área.
15 . - A(0 ,0) , B(3 , 1 ) y C(1 ,k ) fo rmanunt r iángu lo deárea 3u2 ¿k?. (Dosso luc iones)
16. - A(3 ,5) y B(7 , 1 ) sonvér t i cesconsecut ivosdeunrec tángu lo ABCD. Cestáen lab isec t r i z
del 2o y 4o cuadrantes. ¿Posición de C y D? ¿Area?
17. - Ha l lae l s imét r i code P(3 ,2) respec tode la rec ta 2x+y -3 :0 .