Post on 21-May-2018
Definicion
Sea E una matriz de tamano n× n, decimos que E es una matriz elementalsi E se obtiene de la identidad al aplicar una operacion elemental de fila.
Ejemplo
Las siguientes matrices son matrices elementales: A =
0 1 01 0 00 0 1
,
B =
1 2 00 1 00 0 1
C =
1 0 00 −3 00 0 1
.
Definicion
Sea E una matriz de tamano n× n, decimos que E es una matriz elementalsi E se obtiene de la identidad al aplicar una operacion elemental de fila.
Ejemplo
Las siguientes matrices son matrices elementales: A =
0 1 01 0 00 0 1
,
B =
1 2 00 1 00 0 1
C =
1 0 00 −3 00 0 1
.
Observaciones
Como hay tres tipos diferentes de operaciones elementales, hay un numeroigual de tipos de matrices elementales entonces usaremos la siguientenotacion.
Eij denotara la matriz elemental que se obtiene al intercambiar lasfilas i y j de la matriz identidad.
Eij(c) denotara la matriz que se obtiene al sumar c veces la fila i a lafila j de la matriz identidad.
Ei(c) la matriz que se obtiene al multiplicar por la constante c la fila ide la matriz identidad.
Ejemplo
En el ejemplo anterior tenemos que A = E12, B = E21(2) y C = E2(−3).
Observaciones
Como hay tres tipos diferentes de operaciones elementales, hay un numeroigual de tipos de matrices elementales entonces usaremos la siguientenotacion.
Eij denotara la matriz elemental que se obtiene al intercambiar lasfilas i y j de la matriz identidad.
Eij(c) denotara la matriz que se obtiene al sumar c veces la fila i a lafila j de la matriz identidad.
Ei(c) la matriz que se obtiene al multiplicar por la constante c la fila ide la matriz identidad.
Ejemplo
En el ejemplo anterior tenemos que A = E12, B = E21(2) y C = E2(−3).
Ejemplo
Para ilustrar la invertibilidad de las operaciones elementales consideremos
la matriz A =
0 1 32 0 2−3 1 0
Teorema
Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas por
E−1ij = Eij , Eij(c)−1 = Eij(−c) y Ei(c)
−1 = Ei
(1
c
).
Teorema
Sea A una matriz de tamano m× n y E una matriz elemental de tamanom×m asociada a una operacion elemental de fila, el producto EA es lamatriz que se obtiene la aplicar la operacion elemental de fila a la matriz A.
Ejemplo
Para ilustrar la invertibilidad de las operaciones elementales consideremos
la matriz A =
0 1 32 0 2−3 1 0
Teorema
Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas por
E−1ij = Eij , Eij(c)−1 = Eij(−c) y Ei(c)
−1 = Ei
(1
c
).
Teorema
Sea A una matriz de tamano m× n y E una matriz elemental de tamanom×m asociada a una operacion elemental de fila, el producto EA es lamatriz que se obtiene la aplicar la operacion elemental de fila a la matriz A.
Ejemplo
Para ilustrar la invertibilidad de las operaciones elementales consideremos
la matriz A =
0 1 32 0 2−3 1 0
Teorema
Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas por
E−1ij = Eij , Eij(c)−1 = Eij(−c) y Ei(c)
−1 = Ei
(1
c
).
Teorema
Sea A una matriz de tamano m× n y E una matriz elemental de tamanom×m asociada a una operacion elemental de fila, el producto EA es lamatriz que se obtiene la aplicar la operacion elemental de fila a la matriz A.
Corolario
Toda matriz se puede expresar como el producto de un numero finito dematrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida. Masconcretamente, si A una matriz de tamano m× n, existen matriceselementales E1, . . . , Ek todas de tamano m×m y una matriz escalonadareducida A′ tal que
A = E1 · · ·EkA′.
Ejemplo
Expresar la matriz A =
1 1 01 1 22 2 2
como un producto de matrices
elementales por una matriz en forma escalonada reducida.
Corolario
Toda matriz se puede expresar como el producto de un numero finito dematrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida. Masconcretamente, si A una matriz de tamano m× n, existen matriceselementales E1, . . . , Ek todas de tamano m×m y una matriz escalonadareducida A′ tal que
A = E1 · · ·EkA′.
Ejemplo
Expresar la matriz A =
1 1 01 1 22 2 2
como un producto de matrices
elementales por una matriz en forma escalonada reducida.
Inplementacion al Matlab
Consideremos las siguientes matrices elementales:>> E1=[1 0 0;1 1 0;0 0 1]; E2=[1 0 0;0 1 0;2 0 1]; E3=[1 0 0;0 2 0;0 0 1];E4=[1 0 0;0 1 0;0 2 1]La matriz escalonada >> A′=[1 1 0;00 1;0 0 0]>> A = E1 ∗ E2 ∗ E3 ∗ E4 ∗A′.Obtendremos la matriz de el ejemplo anterior.
Lema
Sea A una matriz de tamano n× n en forma escalonada reducida, entoncesA es invertible si y solo si A = I.
Teorema
Sea A una matriz de tamano n× n, entonces A es invertible si y solo si Ase puede escribir como un producto de matrices elementales.
Inplementacion al Matlab
Consideremos las siguientes matrices elementales:>> E1=[1 0 0;1 1 0;0 0 1]; E2=[1 0 0;0 1 0;2 0 1]; E3=[1 0 0;0 2 0;0 0 1];E4=[1 0 0;0 1 0;0 2 1]La matriz escalonada >> A′=[1 1 0;00 1;0 0 0]>> A = E1 ∗ E2 ∗ E3 ∗ E4 ∗A′.Obtendremos la matriz de el ejemplo anterior.
Lema
Sea A una matriz de tamano n× n en forma escalonada reducida, entoncesA es invertible si y solo si A = I.
Teorema
Sea A una matriz de tamano n× n, entonces A es invertible si y solo si Ase puede escribir como un producto de matrices elementales.
Inplementacion al Matlab
Consideremos las siguientes matrices elementales:>> E1=[1 0 0;1 1 0;0 0 1]; E2=[1 0 0;0 1 0;2 0 1]; E3=[1 0 0;0 2 0;0 0 1];E4=[1 0 0;0 1 0;0 2 1]La matriz escalonada >> A′=[1 1 0;00 1;0 0 0]>> A = E1 ∗ E2 ∗ E3 ∗ E4 ∗A′.Obtendremos la matriz de el ejemplo anterior.
Lema
Sea A una matriz de tamano n× n en forma escalonada reducida, entoncesA es invertible si y solo si A = I.
Teorema
Sea A una matriz de tamano n× n, entonces A es invertible si y solo si Ase puede escribir como un producto de matrices elementales.
Ejemplo
Expresar la matriz A =
0 1 21 1 1−1 −2 −2
y su inversa como un producto de
matrices elementales.
Teorema (Algoritmo para calcular A−1)
Sea A una matriz invertible de tamano n× n, al aplicar reduccionGauss-Jordan a la matriz aunmentada
[A I
]obtenemos la matriz[
I A−1]. Mas aun, si B es una matriz de tamano n× q, al aplicar
reduccion Gauss-Jordan a la matriz aumentada[A B
]obtenemos la
matriz[I A−1B
].
Ejemplo
Expresar la matriz A =
0 1 21 1 1−1 −2 −2
y su inversa como un producto de
matrices elementales.
Teorema (Algoritmo para calcular A−1)
Sea A una matriz invertible de tamano n× n, al aplicar reduccionGauss-Jordan a la matriz aunmentada
[A I
]obtenemos la matriz[
I A−1]. Mas aun, si B es una matriz de tamano n× q, al aplicar
reduccion Gauss-Jordan a la matriz aumentada[A B
]obtenemos la
matriz[I A−1B
].
Inplementacion al Matlab
Sea A =
0 1 21 1 1−1 −2 −2
calcular A−1. Para hallar la inversa de la matriz
A en el Matlab se da por:>> AI = [0 1 2 1 0 0; 1 1 1 0 1 0;−1 − 2 − 2 0 0 1]; rref(AI)
Inplementacion al Matlab
Sean A =
0 1 21 1 1−1 −2 −2
y B =
1 22 30 1
, calcular A−1B. Inplementando
en Matlab :>> AB = [0 1 2 1 2; 1 1 1 2 3;−1 − 2 − 2 0 1]; rref(AB)
Inplementacion al Matlab
Sea A =
0 1 21 1 1−1 −2 −2
calcular A−1. Para hallar la inversa de la matriz
A en el Matlab se da por:>> AI = [0 1 2 1 0 0; 1 1 1 0 1 0;−1 − 2 − 2 0 0 1]; rref(AI)
Inplementacion al Matlab
Sean A =
0 1 21 1 1−1 −2 −2
y B =
1 22 30 1
, calcular A−1B. Inplementando
en Matlab :>> AB = [0 1 2 1 2; 1 1 1 2 3;−1 − 2 − 2 0 1]; rref(AB)
Observaciones
Si en el teorema anterior las columnas de la matriz B son los vectoresb1, . . . , bq, entonces al aplicar reduccion Gauss-Jordan a la matrizaumentada
[A B
]=[A b1 · · · bq
]obtenemos la matriz la
matriz A−1B =[A−1b1 · · · A−1bq
], obteniendo soluciones simultaneas a
los sistemas Ax = b1, . . . , Ax = bq.
Ejemplo
Usar la observacion anterior para resolver los sistemas
x2 + 2x3 = 1x1 + x2 + x3 = 2−x1 − 2x2 − 2x3 = 0
yx2 + 2x3 = 2
x1 + x2 + x3 = 3−x1 − 2x2 − 2x3 = 1
.
Observaciones
Si en el teorema anterior las columnas de la matriz B son los vectoresb1, . . . , bq, entonces al aplicar reduccion Gauss-Jordan a la matrizaumentada
[A B
]=[A b1 · · · bq
]obtenemos la matriz la
matriz A−1B =[A−1b1 · · · A−1bq
], obteniendo soluciones simultaneas a
los sistemas Ax = b1, . . . , Ax = bq.
Ejemplo
Usar la observacion anterior para resolver los sistemas
x2 + 2x3 = 1x1 + x2 + x3 = 2−x1 − 2x2 − 2x3 = 0
yx2 + 2x3 = 2
x1 + x2 + x3 = 3−x1 − 2x2 − 2x3 = 1
.
Definicion
Sea A una matriz de tamano m× n,
1. decimos que A tiene inversa a la izquierda si existe una matriz L detamano n×m tal que LA = In,
2. decimos que A tiene inversa a la derecha si existe una matriz R detamano n×m tal que AR = Im.
Teorema
Sea A una matriz de tamano m× n, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:
1. A tiene inversa a la derecha.
2. El sistema Ax = b tiene solucion para cada b ∈ Rm.
3. rango(A) = m = # de filas de A,
4. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es sobreyectiva.
Definicion
Sea A una matriz de tamano m× n,
1. decimos que A tiene inversa a la izquierda si existe una matriz L detamano n×m tal que LA = In,
2. decimos que A tiene inversa a la derecha si existe una matriz R detamano n×m tal que AR = Im.
Teorema
Sea A una matriz de tamano m× n, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:
1. A tiene inversa a la derecha.
2. El sistema Ax = b tiene solucion para cada b ∈ Rm.
3. rango(A) = m = # de filas de A,
4. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es sobreyectiva.
Ejemplo
Determine si la matriz A =
[1 2 2−1 0 4
]tiene inversa a la derecha y en
caso afirmativo calcular una inversa a la derecha de A.
Teorema
Sea A una matriz de tamano m× n, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:
1. A tiene inversa a la izquierda.
2. El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solucion para cada b ∈ Rm.
3. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es inyectiva.
4. El sistema Ax = θn tiene solucion unica.
5. rango(A) = n = # de columnas de A.
Ejemplo
Determine si la matriz A =
[1 2 2−1 0 4
]tiene inversa a la derecha y en
caso afirmativo calcular una inversa a la derecha de A.
Teorema
Sea A una matriz de tamano m× n, entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes:
1. A tiene inversa a la izquierda.
2. El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solucion para cada b ∈ Rm.
3. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es inyectiva.
4. El sistema Ax = θn tiene solucion unica.
5. rango(A) = n = # de columnas de A.
Observaciones
El teorema provee un algorimo para calcular dicha matriz, el cualdescribimos a continuacion
1. Se aplica reduccion Gauss-Jordan a la matriz
2. Se calculan las matrices elementales E1, . . . , Ek asociadas a cada unade las operaciones elementales aplicadas en el paso 1.
3. Se calcula el producto Ek · · ·E1.
4. La matriz L formada por las primeras n filas de la matriz Ek · · ·E1 esla inversa a la izquierda.
Inplementacion al Matlab
Determine si las matrices tienen inversa a la izquierda y encuentrela en casoafirmativo.
a. A =
2 −1−4 2−2 1
b. B =
[1 −1 02 −1 1
]c. C =
1 −10 12 1
.
Observaciones
El teorema provee un algorimo para calcular dicha matriz, el cualdescribimos a continuacion
1. Se aplica reduccion Gauss-Jordan a la matriz
2. Se calculan las matrices elementales E1, . . . , Ek asociadas a cada unade las operaciones elementales aplicadas en el paso 1.
3. Se calcula el producto Ek · · ·E1.
4. La matriz L formada por las primeras n filas de la matriz Ek · · ·E1 esla inversa a la izquierda.
Inplementacion al Matlab
Determine si las matrices tienen inversa a la izquierda y encuentrela en casoafirmativo.
a. A =
2 −1−4 2−2 1
b. B =
[1 −1 02 −1 1
]c. C =
1 −10 12 1
.
Inplementacion al Matlab
Calcular una inversa a la izquierda de C =
1 −10 12 1
.
>> Ct = [1, 0, 2;−1, 1, 1], e1 = [1; 0], e2 = [0; 1], r1 = Ae1, r2 = Ae2
Corollary (Caracterizacion de una matriz invertible)
Sea A una matriz cuadrada de tamano n× n, entonces las siguientesafirmaciones son equivalentes:
1. A es invertible.
2. A tiene inversa a la izquierda.
3. El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solucion para cada b ∈ Rm.
4. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es inyectiva.
5. El sistema Ax = θn tiene solucion unica.
6. rango(A) = n = # de columnas de A=# de filas deA.
7. A tiene inversa a la derecha.
8. El sistema Ax = b tiene solucion para cada b ∈ Rm.
9. rango(A) = m = # de filas de A,
10. La funcion TA : Rn −→ Rm definida por TA(x) = Ax es sobreyectiva.
11. La funcion TA : Rn −→ Rn definida por TA(x) = Ax es biyectiva.
12. At es invertible.
13. A es un producto de matrices elementales.