Universidad Nacional ExperimentalFrancisco de Miranda

Decanato de Acción SocialEspecialización Enseñanza de la Matemática

FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA

Lcdo. Luís Eduardo Arias Hernández (MSc))

T LR O I SÁ N G U L O S

TRIÁNGULOS

Es un polígono formado por la unión de tres segmentos de recta

ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO.

abc

LADOS

ÁNGULOS

Lo rojo es la región interior del triángulo

Lo azul es la región exterior del triángulo

El triángulo mismolas dos regiones

es la frontera separadora entre

¿Cómo pueden ser los lados de un triángulo?

abc

IGUALES

CASO I

LOS TRES ÁNGULOS

IGUALES

¿Cómo son los ángulos de un triángulo con lados iguales?

LOS TRES ÁNGULOSAGUDOS

LADOS IGUALESEQUILATERO

abc

abc

DOS IGUALES

CASO II

LOS TRES ÁNGULOSAGUDOS, DOS DE

ELLOS IGUALES

¿Cómo son los ángulos de un triángulo con dos lados iguales?

DOS ÁNGULOS AGUDOS IGUALES Y

UNO OBTUSO

DOS ÁNGULOS AGUDOS Y UNO RECTO

DOS LADOS IGUALES

ISOSCELES

DOS AGUDOS Y UNO OBTUSO

+DOS LADOS

IGUALES

OBTUSÁNGULO=

ISORECTANGULO

DOS AGUDO Y UN RECTO +

DOS LADOS IGUALES =

abc

DISTINTOS

CASO III

¿Cómo son los ángulos de un triángulo con dos lados distintos?

DOS AGUDOS Y UN RECTO +

TRES LADOS DISTINOS

RECTANGULO

=

DOS AGUDOS Y UN OBTUSO

+

TRES LADOS DISTINOS

ESCALENO

=

TRES ÁNGULOS AGUDOS

+TRES LADOS

DISTINOSACUTÁNGULOS

=

TeoremaEs una verdad que necesita ser demostrada

Hipótesis Tesis Demostración

Es lo que conocemos mediante el enunciado del teorema

Es la que dice que es lo que vamos a demostrar

Es un razonamiento basado en definiciones, axiomas y teoremas

AxiomaEs una verdad evidente por si misma

Axioma No necesita demostración

TEOREMA: LA SUMA DE LOS 3 ANGULOS INTERIORES DE TODO TRIÁNGULO ES 1800

Dibujamos un triángulo cualquiera y por C; trazamos una paralela a AB

C R

A B

α β

α ‘ β ‘ χ

Hipótesis

ABC es un triángulo cualquiera

R // AB

Tesis α + β + χ = 1800

α ‘ + χ + β ‘ = 1800 Ángulos

Suplementarios

α = α ‘ Ángulos alterno interno entre rectas paralelas

β = β ‘ Ángulos alterno interno entre rectas paralelas

α + β + χ = 1800

Demostración

TEOREMA EL ÁNGULO EXTERIOR DEL VERTICE, ES IGUAL A LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES NO ADYACENTES A EL.

Dibujamos un triángulo cualquiera y por C; trazamos una paralela a AB

A B

α β

ε β ‘

C α ‘ ε ‘ R

Hipótesis

ABC es un triángulo cualquiera

R // AB

Tesis ε ‘ = α + β

Demostración

α = α ‘

β = β ‘

α + β = β ‘ + α‘

β ‘ + α ‘ = ε ‘

ε ‘ = α + β

ALTURAS DE UN TRIÁNGULO. P

A B

Perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto

Cuantas alturas tiene un triángulos?

Los puntos de intersección de las alturas de todo triángulo se llaman ORTOCENTRO.

Donde se ubica el Ortocentro en un triángulo acutángulo?

Como las tres alturas se intersectan en un sólo punto dentro del triángulo.

El Ortocentro se ubica dentro del triángulo

Donde se ubica el Ortocentro en un triángulo rectángulo?

Como las tres alturas se intersectan en un solo punto, el vértice del ángulo recto.

El Ortocentro se ubica en ese vértice

Donde se ubica el Ortocentro en un triángulo obtusángulo?

Si prolongamos las alturas, se intersectan en un punto fuera del triángulo.

El Ortocentro se ubica fuera del triángulo

Mediana de un triángulos

Es un trazo que une los puntos medios de los lados.

Cada mediana es paralela a uno de los lados

Es equivalente a 1/2 de dicho lado

Que podemos concluir de sobre las medianas?

EJEMPLO: SEA EL TRIÁNGULO ABC, DONDE DE, DF, y FE SON MEDIANAS, ADEMÁS AB =24 cm, BC = 20 cm y AC = 27 cm. DETERMINE: DE, EF y FD.

A D B

F E

C

AB =24 cm, BC = 20 cm y AC = 27 cm.

Solución

SABEMOS QUE DE, DF, y FE SON MEDIANAS

AD = DB = 12 cm. D es el punto medio del

segmento AB

AF = FC = 10 cm. E es el punto medio del

segmento BC

CE = EB = 13,5 cm. F es el punto medio del

segmento AC

AF // ED , AD// EF ;FD // EB , EF // DB yED // AF , EF // AD

EF , FD y ED son medianas del triángulos ABC

ED = AF = 13,5 cmFD = EB = 10 cmEF = AD = 12 cm

Distancias entre rectas paralelas son iguales

ED = 13,5 cm; FD = 10 cm y EF = 12 cm

EJEMPLO: SEA EL TRIÁNGULO ABC, DONDE DE, DF, y FE SON

MEDIANAS, ADEMÁS α = 75º y β = 46º. DETERMINE: , , y γ ,

A D B

F E

C γ

α β

α = 75º y β = 46º.

Solución

SABEMOS QUE DE, DF, y FE SON MEDIANAS

α+ β + γ = 180º

= α = 75º

= 75º

γ = 59º

= = 75º

= 75º

+ + β = 180º

= 65º

= 65º

= = 65º

GRACIAS.....