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•TRATAMIENTO MATEMATICO DE SEÑALES•TRATAMIENTO MATEMATICO DE SEÑALESSERIES DE FOURIER

Serie Trigonométrica y Exponencial.Propiedades de la Serie de Fourier

• Profesor: Néstor Fierro MorineaudProfesor: Néstor Fierro Morineaud

Objetivos

Presentar la serie de Fourier trigonómetrica que d ib ñ l iódi d describe una señal periódica como una suma de componentes armónicas.

l f l d l dPresentar la forma exponencial de la serie de Fourier.Mostrar la manera en que los coeficientes de Fourier para una señal dada se pueden calcular y presentar en la forma de un espectro discreto.Obtener la respuesta de un sistema lineal a pentradas periódicas.

Ejemplo de Señales Periódicas

Análisis del movimiento ondulatorio.La ecuación general de un movimiento ondulatorio se puede escribir: x = f(t) y al ser de carácter periódico verifica que:verifica que:

f(t) = f(t+T), siendo T el periodo.Tomado por ejemplo la ecuación de movimiento descrita por la p j p pecuación:x = A sen ωt + B sen 2ωt siendo ω la frecuencia que representa la superposición de dos movimientos ondulatorios representa la superposición de dos movimientos ondulatorios simples cuya gráfica es:

Desarrollo en serie de Fourier para señales periódicas

Sumando a [x = f(t) ] términos sen nωt ó cos nωt se obtiene un desplazamiento periódico en x, de periodo T y la forma exacta depende del número de funciones seno y coseno que se sumen y depende del número de funciones seno y coseno que se sumen y de sus amplitudes relativas.

Vemos así que sumando movimientos ondulatorios simples Vemos así que sumando movimientos ondulatorios simples cuyas frecuencias son múltiplos de una fundamental y cuyas amplitudes sean seleccionadas correctamente, se puede obtener cualquier función periódica arbitraria.

Una función periódica de periodo P = 2π / ω se puede expresar:x = f(t) f( )

= ao + a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + .... + an cos nωt +b1 sen ωt + b2 sen 2ωt +.....+ bn sen nωt

La frecuencia ω se llama frecuencia fundamental y las 2ω, 3ω, ..., nω se denominan armónicos.

Desarrollo en serie de Fourier para señales periódicas

Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica entérminos de su contenido frecuencial o espectro.Nos permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuenciaNos permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia,de forma que operaciones realizadas en el dominio temporaltienen su dual en el dominio frecuencial.Forma trigonométrica de las series de Fourier: se pretendedescribir una función periódica xp(t) de periodo T (frecuenciafundamental f=1/T, w0=2 pi f0).f / , p f )

D ll i d F i ñ l iódiDesarrollo en serie de Fourier para señales periódicas

La frecuencia ω se llama frecuencia fundamental y las 2ω, 3ω, ..., kω se denominan armónicos.

Para la obtención de los coeficientes ak. bk, llamados coeficientes de Fourier y el termino continuo av , se emplen las siguientes integrales:

EjemploEjemplo

EjemploEjemplo

Reconstrucción de una señal mediante: MATLABReconstrucción de una señal mediante: MATLAB

Efectos de la simetríaEfectos de la simetría

Efectos de la simetría

Forma compacta de la Serie trigonométrica de Fourier.

Ejemplo

Anteriormente

Nota: Encontrar el espectro de fase, de potencia y el valor RMS de la señal.

Efecto GibbsPara señales discontinuas, su reconstrucción a partir de las Para señales discontinuas, su reconstrucción a partir de las series de Fourier produce el llamado efecto Gibbs, que consiste en la aparición de un pico del 9% en el punto de discontinuidad. Este efecto se da incluso cuando se emplea un ú d d ó i l iónúmero grande de armómicos para la reconstrucción.

Si queremos aproximar una función periódica con di i id d i i fi i ó i d discontinuidades que tiene infinitos armónicos, tendremos que truncar la función hasta el armónico N. Esto nos va a producir el efecto Gibbs.

Para eliminarlo se utilizan las llamadas ventanas espectrales que suavizan la reconstrucción de la función.

Reconstrucción de una señal: MATLAB

Desarrollo en serie de Fourier mediante i l l jexponenciales complejas

Es importante saber cuantos armónicos serán cuantos armónicos serán necesarios para reconstruir

una señal dada. Para ello utilizaremos

la relación de Parsevalla relación de Parseval.

EjemploEjemplo

Series de Fourier

Un parámetro importante en la reconstrucción de señales es la l id d d i l l i l l id d velocidad de convergencia, o lo que es lo mismo la velocidad a

la cual los coeficientes de Fourier tienden a 0.Propiedadesp

Respuesta de un sistema a entradas periódicas

Tenemos un sistema cuya respuesta a impulso es h(t). Si sometemos esta sistema a una entrada armónica x(t)=exp(j wt), la respuesta y(t) será la convolución de h(t) con x(t):respuesta y(t) será la convolución de h(t) con x(t):

señal xp(t) puede ser expresada como una suma infinita de armónicos y aplicando el principio de superposición:

La respuesta del sistema a una señal periódica es también una La respuesta del sistema a una señal periódica es también una señal periódica de la misma frecuencia que la señal de entrada, pero con diferentes magnitudes y fases.L t d i t t d ó i d l La respuesta de un sistema a entradas armónicas nos da la respuesta estacionaria del sistema.

APLICACIONES CIRCUITOS (I)

Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada, se desea obtener la expresión temporal de vC(t).

APLICACIONES CIRCUITOS (II)Una onda cuadrada e[t] de 10 V peak y T= 1 seg., es aplicadaa un circuito RLC serie.Calcular:a) la tensión eficaz de e[t].b) amplitud de la armónica que más se aproxima al 10 % de lab) amplitud de la armónica que más se aproxima al 10 % de lafundamental en la resistencia.Si : R= 1 ohm; C= 1 fad. Y L= O.5 hen.

APLICACIONES CIRCUITOS (III)El filtro pasa-bajo de la figura esta diseñado para producir unacasi un voltaje constante a la salida cuando la entrada es x(t)(sinusoide rectificada de ½ onda).Si L= 1 h y R= 1000Ω determine el valor de C tal que el valorSi L= 1 h y R= 1000Ω, determine el valor de C tal que el valorpeak de fundamental en la salida es 1/20 de la componentecontinua.