Trabajo Se Series de Fourier

5/12/2018 Trabajo Se Series de Fourier - slidepdf.com

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INSTITUTO TECNOLOGICO SUDAMERICANO

Por: Xavier Jumbo

Fecha:18-12-2011

SERIES DE FOURIER

Las series de Fourier describen señales periódicas como una combinación de señalesarmónicas (sinusoides). Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica entérminos de su contenido frecuencial o espectro.

Nos permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia, de forma que operacionesrealizadas en el dominio temporal tienen su dual en el dominio frecuencial.

Se llama serie de Fourier de una funcion f(x) en el intervalo [] a:

A los coeficientes a0; a1,…..,an , b0, b1,…..bn, se les llama coeficientes de Fourier de f(x) en[]

Debido a que:

REPRESENTACIÓN ORTOGONAL DE SEÑALES

En muchas aplicaciones de ingeniería se utiliza la representación de señales en términos de

Componentes Ortogonales.

Por qué?:

Es muy conveniente matemáticamente representar cualquier señal arbitraria como una sumaponderada de señales ortogonales, ya que los cálculos que involucran señales se simplificanusando tales representaciones. Es posible visualizar la señal como un vector de "n"componentes, referidas a un sistema de "n" coordenadas ortogonales.



Un conjunto de señales øi (t), i = 0, ±1, ±2,…., forma un conjunto ortogonal sobre un intervalo(a,b) si:

En esta ecuación: la señal "øk* (t)" corresponde a la señal "øk (t)" compleja conjugada; Ek esuna constante real.

Si las constantes "Ek" son todas iguales a 1, se dice que el conjunto øi (t), i = 0, ±1, ±2, ..., esortonormal sobre el intervalo (a,b).

Cualquier Conjunto Ortogonal de Señales se puede normalizar, escalando en magnitud cadaseñal por el inverso de la raiz cuadrada de su correspondiente "Ek", convirtiéndolo asi en unConjunto Ortonormal de Señales:

DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER MEDIANTE EXPONENCIALES COMPLEJOS

Una señal es periódica si existe algún valor positivo T tal que

(3)

El valor de T para el que se verifica la ecuación(3) se denomina periodo fundamental y el valor se denomina frecuencia fundamental angular fundamental que denotaremos por W0. Siobservamos la ecuación(3) podemos ver que x(t) es periódica de periodo 2T,3T.



Como ejemplo de señales periódicas tenemos las funciones seno y coseno y exponencialcompleja. Nótese que una señal constante x(t) =c es también periódica en el sentido de ladefinición, ya que la ecuación (3) se satisface para todo positivo T.

Una señal periódica

Entonces:

CONDICIONES DE DIRICHLET

En matemáticas, Condiciones de Dirichlet sea suficientes condiciones para a verdadero-valorado, función periódica f(x) para ser igual la suma de su Serie de Fourier en cada puntodonde f es continuo. Por otra parte, el comportamiento de la serie de Fourier En los puntos dela discontinuidad se determina también. Estas condiciones se nombran después Johann PeterGustav Lejeune Dirichlet.

Para que un desarrollo en serie de Fourier converja la señal x(t) debe poseer en cualquierperiodo las siguientes propiedades, que se conocen como condiciones de dirichlet:

x(t) debe ser absolutamente integrable, es decir

x(t) solo debe tener un numero finito de máximos y de mínimos El número de discontinuidades de x(t) de be ser finito

Estas condiciones son suficientes pero no necesarias. Por tanto si una señal x(t) satisface lascondiciones de dirichlet, el correspondiente desarrollo en serie de Fourier es convergente y susuma vale x(t), excepto los puntos toen los que la señal sea discontinua. En los puntos dediscontinuidad la serie converge al valor medio de los limites por la derecha y por la izquierdade x(t) en to. Es decir



PROPIEDADES DE DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER

Supongamos que x(t) e y(t) son dos señales periódicas del mismo periodo. Sean sucorrespondiente desarrollo en serie de fourier

Y sea

Con k1 y k2 constantes arbitrarías. Entonces podemos escribir

PROPIEDAD DE APROXIMACIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS

Si deseamos construir una señal periódica x(t) utilizando un conjunto de exponencialespodríamos preguntarnos cuantos términos deberíamos usar para obtener una aproximaciónrazonable . Si x(t) es una señal de banda limitada, podemos utilizar un numero finito dexponenciales por ejemplo M, obtendremos solo una aproximación de x(t). La diferencia entrex(t) y su aproximación es el error de aproximación .Deseamos que la aproximación sea cercanaa x(t) es algún sentido. La mayor aproximación será la que minimice alguna medida de error.Un criterio útil y matemáticamente tratable que utilizaremos es el promedio en un periodo delerror. Este criterio de aproximación se conoce también con el nombre de aproximación de x(t)por mínimos cuadrados.

La propiedad de aproximación por mínimos cuadrados de la serie de Fourier, relacionacuantitativamente la energía de la señal diferencia con la diferencia de error entre la señal x(t)especificada y su aproximación mediante un desarrollo en serie de Fourier truncado.

Supongamos ahora que x(t) se puede aproximar mediante un desarrollo en serie deexponencial truncado de la forma



Deseamos seleccionar los coeficientes dn de forma que el error x(t)-Xn(t) tenga valorcuadrático medio mínimo. Si empleamos el desarrollo en serie de Fourier de x(t) podemosescribir la señal de error

(3.1)

Definamos los coeficientes

De forma de la ecuación (3.1) se puede escribir:

(3.2)

E(t) es una señal periódica de periodo T=2 /Wo ya que todos los términos son periódicos con

ese periodo. Por lo tanto la ecuación (3.2) representa el desarrollo en serie de Fourier de E(t).Como medida de lo bien que Xn(t) se aproxima a x(t) utilizamos el error cuadratico medio,definido así:

EFECTOS DE LA SIMETRÍA

Se puede evitar innecesario (fuente de posibles errores) al determinar los coeficientes defourier de señales periódicas si la señal posee algún tipo se simetría. Los tipos importantes de

simetría son Simetria par x(t)=x(-t)

Simetria impar x(t)=-x(-t)

Simetria impar en un semicírculo, x(t)= -x(t+T/2)

Estos casos se muestra en la figura:

Tipos de simetría:



Si conocemos la existencia de una o mas simetrías como las mencionadas el computo de loscoeficientes del desarrollo en serie de Fourier se simplifica. El desarrollo en serie de Fourier deuna señal x(t) par de periodo T se denomina “ serie de Fourier de cosenos”

Y los coeficientes valen:

El desarrollo en serie de Fourier de uns señal x(t) impar de periodo T de denomina “ serie deFourier de senos”

con coeficientes



LINEALIDAD

Supongamos que x(t) e y(t) son dos señales periódicas del mismo periodo. Sean suscorrespondientes desarrollos en serie de Fourier

Y sea

Con K1 y K2 constantes arbitrarias. Entonces podemos escribir

La ultima ecuación implica que los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de z(t) son

PRODUCTO DE DOS SEÑALESSi x(t) y y(t) son dos señales periódicas del mismo periodo su producto es:



(3.3)

La ecuación (3.3) indica que los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de la señalproducto z(t) son la convolucion de las secuencias generales por los coeficientes del desarrollode Fourier de x(t0 e y(t) es decir:

CONVOLUCIÓN DE DOS SEÑALES

Esta operación es muy usada en comunicaciones, análisis armónico, etc., permitiendoencontrar fácilmente muchos resultados importantes.

La integral del lado derecho, es decir la integral de convolución, la, podemos interpretar comoel área bajo la curva resultante del producto entre x(ح) y h( t - .(ح

Para esta integral, se han realizado los siguientes cambios de variable:

Para x( t ) se hace el cambio de variable independiente, t = .ح

Para h( t ) se hace el cambio de variable independiente, t = , además se refleja y se desplazaحla señal t unidades.

El cálculo de la integral se puede realizar de dos maneras, analíticamente (resolviendo lasintegrales planteadas) o gráficamente (calculando las áreas respectivas a partir de los gráficosrealizados para las señales).

La convolución con ɗ (t) se calcula valiéndose de la propiedad de separación de la función ɗ (t),que permite escribir la función x(t) como la suma de infinitos pulso pesados:



TEOREMA DE PARSEVAL

Demostramos en el capitulo 1 que la potencia media de la señal x(t) periódica es:

La raíz cuadrada de la potencia de la señal media o valor rms (root-maen square) de x(t) es

una medida útil para la amplitud se señales con formas de ondas complicadas.

Hemos visto que si x(t) e y(t) son señales periódicas con el mismo periodo T y coeficientes desu desarrollo es series de Fourier respectivamente el producto de dichas señales tiene undesarrollo en serie de Fourier con los siguientes coeficientes.

La componente continua o promedio temporal en un ciclo del producto es:



DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO

Si x(t) tiene un desarrollo en serie de Fourier cuyos coeficientes son Cn la señal x(t-ج) Tienecomo coeficientes de su desarrollo en serie de Fourier dn siendo.

INTEGRACIÓN DE SEÑALES PERIÓDICAS

Si una señal periódica tiene un valor medio no nulo Co=/0, la integracion de la senal produceuna componente que crece linealmente con el tiempo y, por tanto, la senal resultante no esperiodica . Sin embargo si Co=0 la señal integrada es periódica pero puede tener componentecontinua. Integrando los dos miembros de la ecuación obtenemos.

Las amplitudes relativas de loa armónicos de la señal integrada comparados con su frecuenciafundamental son menores que las de la señal original, antes de integrar. En otras palabras laseñal la integración atenúa el modulo de las componentes de alta frecuencia de la señal

SISTEMAS CON ENTRADAS PERIÓDICAS

Consideremos un sistema lineal e invariante con el tiempo cuya respuesta al impulso es h(t)

Si la entrada en una exponencial compleja de la forma:

La salida del sistema es:



Definiendo:

Podemos escribir:

(1)

H(w) se denomina función de transferencia(o respuesta en frecuencia) del sistema, y esconstante para un valor de w determinado. La ecuación (1) es de importancia fundamental, yaque nos dice que la respuesta del sistema a una exponencial compleja es también unaexponencial compleja de la misma frecuencia w, cuya amplitud del sistema y la fase H(w)

Para determinar la respuesta y(t) de un sistema LTI a una entrada periódica x(t) utilizando eldesarrollo en serie, utilizaremos la propiedad de linealidad y la ecuación (1) con lo que seobtiene

La ecuacion anterior nos indica que la senal de salida es una suma de coeficientes conexponenciales

EL FENÓMENO DE GIBBS

Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos , es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, lasumatoria se aproximará más a f(t).

Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no

tiende a cero a medida que agregamos armónicos.

Consideremos la señal donde ya hemos visto que x(t) se puede expresar asi:



Vamos a investigar que efecto se produce cuando truncamos la serie infinita. Para elloconsideremos la serie truncada:

Esta serie truncada se muestra en la figura siguiente para valores de N de 3,5:

Fig 1

Si aumentamos el valor de N hasta 39 obtenemos la aproximación que se muestra en lasiguiente figura:

Fig 2

EJERCICIO:

Encontrar los coeficientes y la serie de Fourier de la función:

-k cuando

f(x)=

k cuando



BIBLIOGRAFIA:

http://www.unet.edu.ve/~fcastell/Asenales/Unid01/Ort01.htm

http://www.unet.edu.ve/aula10c/Asenales/Unid01/cuarto05.htm

http://www.multilingualarchive.com/ma/enwiki/es/Dirichlet_condition


http://voltio.ujaen.es/mysite/profesores/jaguilar/tts/tutorial/capitulo3/3_3_5.htm

Señales y sistemas continuos y discretos









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