UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIAS

FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL 520142

Solucion Listado 5 (Funciones II)

2. a) Dom(f) = R − {1} y Rec(f) = R − {0}.b) Dom(f) = [−3,+∞[ y Rec(f) = [0,+∞[.c) Dom(f) = R − {1,−3} y Rec(f) = R − {1, 1

2}.d) Dom(f) = R y Rec(f) = [0,+∞[.e) Dom(f) =]1,+∞[ y Rec(f) = [−∞, 0[.

3. a) Llamando f a la funcion obtenida restringiendo su codominio se tiene:

f−1

: R − {1

2} → R − {2}, f

−1(x) =

4x + 3

2x − 1.

b) Llamando f a la funcion obtenida restringiendo su codominio se tiene:

f−1

: [

√13

3,√

5] → [2, 10], f−1

(x) =x2 + 3

x2 − 1.

c) No es invertible.

4. a) Es biyectiva salvo que a = 0, y en tal caso su inversa es: la−1,−ba−1 . Es estrictamentecreciente si a > 0 y estrictamente decreciente si a < 0. Es impar si y solo si b = 0.Es par e impar si a = b = 0.

b) Es inyectiva pero no sobreyectiva y si se restringe su codominio la inversa de surestriccion es: r−1 : [0,+∞[→ [0,+∞[, definida por r−1(x) = x2. No se puede definirparidad pues su dominio no es simetrico. Es estrictamente creciente.

c) No es ni inyectiva ni sobreyectiva. Es par. No es monotona.

d) Es inyectiva pero no sobreyectiva. No es ni par ni impar. No es monotona. La inversade su restriccion es: g−1 :] −∞,−1]∪]0, 1[ definida por:

g−1(x) =

1

x+ 2 si x ∈]0, 1[,

x + 4 si x ≤ −1.

1

5. Presentamos el dominio y la forma de cada funcion en la siguiente tabla.

f + g f · ga) 1 + x2 +

√x − 1 (1 + x2)

√x − 1

Dom [1,+∞[ [1,+∞[

b) x+2x

x+1x2

Dom R − {0} R − {0}

c)

5x2 − 1 x ≤ 0

2x2−2x+1x

0 < x ≤ 1

2x−1x2

−xx > 1

(x + 2)(x − 1) x ≤ 0

2x−2x

0 < x ≤ 1

1x2−x

x > 1

Dom R R

d) (a + c)x + b + d acx2 + (ad + bc)x + b + dDom R R

f/g f ◦ g g ◦ f

a) 1+x2

√

x−1x |x|

Dom ]1,+∞[ [1,+∞[ R

b) x + 1 x + 1 x1+x

Dom R − {0} R − {0} R − {−1, 0}

c)

x+24x−4 x ≤ 0

1x(2x−2) 0 < x < 1

x−1x

x > 1

x x ≤ 1

x − 1 x > 1

x x ≤ 0

x1−x

1 > x > 0

2x− 2 x ≥ 1

Dom R − {1} R R

d) ax+bcx+d

acx + ad + b acx + cb + d

Dom R − {−dc} R R

6. a) V; b) F; c) F; d) V; e) V; f) V; g) F; h) F.

7. a) f = v ◦ l1,1 ◦ v.b) Hay dos formas: f = l1,1 ◦ r ◦ l3,0 = l√3,1 ◦ r.c) f = r ◦ r.

RRS/RNG/JMS/AGS/LNB/JSA/BBM/LRS/ags (pueden haber errores)semestre otono 2006.

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