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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL 520142 Soluci´on Listado 5 (Funciones II) 2. a) Dom(f )= R −{1} y Rec(f )= R −{0}. b) Dom(f )=[−3, +∞[y Rec(f ) = [0, +∞[. c) Dom(f )= R −{1, −3} y Rec(f )= R −{1, 1 2 }. d) Dom(f )= R y Rec(f ) = [0, +∞[. e) Dom(f ) =]1, +∞[y Rec(f )=[−∞, 0[. 3. a) Llamando f a la funci´ on obtenida restringiendo su codominio se tiene: f -1 : R −{ 1 2 }→ R −{2}, f -1 (x)= 4x +3 2x − 1 . b) Llamando f a la funci´ on obtenida restringiendo su codominio se tiene: f -1 :[ √ 13 3 , √ 5] → [2, 10], f -1 (x)= x 2 +3 x 2 − 1 . c) No es invertible. 4. a) Es biyectiva salvo que a = 0, y en tal caso su inversa es: l a -1 ,-ba -1 . Es estrictamente creciente si a> 0 y estrictamente decreciente si a< 0. Es impar si y s´olo si b = 0. Es par e impar si a = b = 0. b) Es inyectiva pero no sobreyectiva y si se restringe su codominio la inversa de su restricci´ones: r -1 : [0, +∞[→ [0, +∞[, definida por r -1 (x)= x 2 . No se puede definir paridad pues su dominio no es sim´ etrico. Es estrictamente creciente. c) No es ni inyectiva ni sobreyectiva. Es par. No es monotona. d) Es inyectiva pero no sobreyectiva. No es ni par ni impar. No es mon´otona. La inversa de su restricci´on es: g -1 :] −∞, −1]∪]0, 1[ definida por: g -1 (x)= 1 x +2 si x ∈]0, 1[, x +4 si x ≤−1. 1
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL 520142
Solucion Listado 5 (Funciones II)
2. a) Dom(f) = R − {1} y Rec(f) = R − {0}.b) Dom(f) = [−3,+∞[ y Rec(f) = [0,+∞[.c) Dom(f) = R − {1,−3} y Rec(f) = R − {1, 1
2}.d) Dom(f) = R y Rec(f) = [0,+∞[.e) Dom(f) =]1,+∞[ y Rec(f) = [−∞, 0[.
3. a) Llamando f a la funcion obtenida restringiendo su codominio se tiene:
f−1
: R − {1
2} → R − {2}, f
−1(x) =
4x + 3
2x − 1.
b) Llamando f a la funcion obtenida restringiendo su codominio se tiene:
f−1
: [
√13
3,√
5] → [2, 10], f−1
(x) =x2 + 3
x2 − 1.
c) No es invertible.
4. a) Es biyectiva salvo que a = 0, y en tal caso su inversa es: la−1,−ba−1 . Es estrictamentecreciente si a > 0 y estrictamente decreciente si a < 0. Es impar si y solo si b = 0.Es par e impar si a = b = 0.
b) Es inyectiva pero no sobreyectiva y si se restringe su codominio la inversa de surestriccion es: r−1 : [0,+∞[→ [0,+∞[, definida por r−1(x) = x2. No se puede definirparidad pues su dominio no es simetrico. Es estrictamente creciente.
c) No es ni inyectiva ni sobreyectiva. Es par. No es monotona.
d) Es inyectiva pero no sobreyectiva. No es ni par ni impar. No es monotona. La inversade su restriccion es: g−1 :] −∞,−1]∪]0, 1[ definida por:
g−1(x) =
1
x+ 2 si x ∈]0, 1[,
x + 4 si x ≤ −1.
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5. Presentamos el dominio y la forma de cada funcion en la siguiente tabla.
f + g f · ga) 1 + x2 +
√x − 1 (1 + x2)
√x − 1
Dom [1,+∞[ [1,+∞[
b) x+2x
x+1x2
Dom R − {0} R − {0}
c)
5x2 − 1 x ≤ 0
2x2−2x+1x
0 < x ≤ 1
2x−1x2
−xx > 1
(x + 2)(x − 1) x ≤ 0
2x−2x
0 < x ≤ 1
1x2−x
x > 1
Dom R R
d) (a + c)x + b + d acx2 + (ad + bc)x + b + dDom R R
f/g f ◦ g g ◦ f
a) 1+x2
√
x−1x |x|
Dom ]1,+∞[ [1,+∞[ R
b) x + 1 x + 1 x1+x
Dom R − {0} R − {0} R − {−1, 0}
c)
x+24x−4 x ≤ 0
1x(2x−2) 0 < x < 1
x−1x
x > 1
x x ≤ 1
x − 1 x > 1
x x ≤ 0
x1−x
1 > x > 0
2x− 2 x ≥ 1
Dom R − {1} R R
d) ax+bcx+d
acx + ad + b acx + cb + d
Dom R − {−dc} R R
6. a) V; b) F; c) F; d) V; e) V; f) V; g) F; h) F.
7. a) f = v ◦ l1,1 ◦ v.b) Hay dos formas: f = l1,1 ◦ r ◦ l3,0 = l√3,1 ◦ r.c) f = r ◦ r.
RRS/RNG/JMS/AGS/LNB/JSA/BBM/LRS/ags (pueden haber errores)semestre otono 2006.
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