Post on 08-Jul-2018
8/19/2019 T3Examen resuelto
http://slidepdf.com/reader/full/t3examen-resuelto 1/5
Calculo infinitesimal
Prueba 3 (Solucion) 17-11-2011 (Grupo A-109)
Completa y lee esto antes de empezar
No de matrıcula:
Apellidos y Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La duracion del examen es de 1h. 30min.
Se debe entregar esta hoja correctamente cumplimentada.
No se puede utilizar ni lapiz ni bolıgrafo rojo.
1. Enuncia de la forma mas rigurosa posible la Condici´ on necesaria para la convergencia de unaserie numerica. (1 punto)
Soluci´ on:
Enunciado visto en clase.
2. Si la serie∞1
an es convergente ¿se cumple que la serie
∞1
1
1 + (an)2 tambien converge?
(1 punto)
Soluci´ on:
Se trata de aplicar la condici´ on necesaria para la convergencia a la serie
∞1
an. Por el enunciado
se sabe que es una serie convergente, por tanto la condici´ on necesaria asegura que lımn→∞
an = 0. De
esta manera, se tiene
lımn→∞
1
1 + (an)2 = 1
con lo cual, aplicando de nuevo condici´ on necesaria resulta que la serie
∞1
1
1 + (an)2
no converge.
3. Determina el caracter de las siguientes series numericas
a )∞2
lnn
n3 (0.5 puntos)
b)∞1
2n n!
nn
(1 punto)
c )∞1
(−1)n n
2n
(0.5 puntos)
d )∞1
(−1)n 1√ n +
√ n + 1
(0.5 puntos)
8/19/2019 T3Examen resuelto
http://slidepdf.com/reader/full/t3examen-resuelto 2/5
Soluci´ on:
a ) Puesto que se trata de una serie de terminos positivos, se aplica el criterio de comparaci´ on
pues:
lnn
n3 ≤ n
n3 =
1
n2 ∀n ≥ 2 y la serie
∞2
1
n2 es convergente
b) Puesto que se trata de una serie de terminos positivos, se aplica el criterio del cociente . En
efecto:
lımn→∞
an+1
an= lım
n→∞
2n+1 (n+1)!(n+1)n+1
2n n!nn
= lımn→∞
2
n
n + 1
n
= lımn→∞
2
1 − 1
n + 1
n
= 2 · e−1 < 1
por tanto converge.
c ) Se trata de una serie alternada. Primero se comprueba si es absolutamente convergente. Esdecir se estudia la serie de terminos positivos
∞1
|an| =∞1
n
2n
Se aplica el criterio del cociente . Con lo cual
lımn→∞
|an+1||an| = lım
n→∞
n+12n+1
n
2n= lım
n→∞1
2
n + 1
n =
1
2 < 1
Por tanto es convergente y esto implica que la serie inicial es absolutamente convergente y portanto converge.
d ) De nuevo se tiene una serie alternada. Primero se comprueba si es absolutamente convergente.Para ello se estudia la serie:
∞1
|an| =∞1
1√ n +
√ n + 1
En este caso si utiliza el criterio de comparaci´ on en el lımite resulta que tiene el mismo caracter
que la serie bn = 12√ n que es divergente, pues
lımn→∞
1√ n+
√ n+1
12√ n
= 1
Se aplica entonces el criterio de Leibnitz y como
lımn→∞
1√ n +
√ n + 1
= 0 y |an+1|
|an| =
1√ n+1+
√ n+2
1√ n+√ n+1
=
√ n +
√ n + 1√
n + 1 +√ n + 2
< 1 decrece
entonces se puede afirmar que converge pero condicionalmente.
4. Determina el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las siguientes series depotencias
a )∞1
xn
nn
(0.5 puntos)
b)∞1
4n
(2n)!(x + 2)n (1 punto)
c )∞1
−6
7
n 1
n2(x + 2)n (1 punto)
d )∞1
2n
2n − 1x2n (1 punto)
8/19/2019 T3Examen resuelto
http://slidepdf.com/reader/full/t3examen-resuelto 3/5
Soluci´ on:
a ) Se considera un x ∈ R entonces se estudia la convergencia de la serie:
∞1
|x|nnn
puesto que es de terminos positivos, se aplica el criterio de la raız con lo cual:
lımn→∞
n
|x|nnn
= lımn→∞
|x|n
= 0 ∀x ∈ R
por tanto siempre converge, con lo cual R = ∞ y el intervalo de convergencia esta formadopor R.
b) Se considera un x ∈ R entonces se estudia la convergencia de la serie:
∞1
4n
(2n)!|x + 2|n
puesto que es de terminos positivos, se aplica el criterio del cociente con lo cual:
lımn→∞
4n+1
(2n+2)! |x + 2|n+1
4n
(2n)!|x + 2|n = lım
n→∞4|x + 2|
(2n + 1)(2n + 2) = 0
por tanto, converge ∀x ∈ R y de esta manera R = ∞ y el intervalo de convergencia es R.
c ) Se considera un x ∈ R entonces se estudia la convergencia de la serie:
∞1
6
7
n1
n2|x + 2|n
puesto que es de terminos positivos, se aplica el criterio del cociente con lo cual:
lımn→∞
67
n+1 1(n+1)2
|x + 2|n+1
67n 1
n2 |x + 2|n
= lımn→∞
6
7 |x + 2
| n2
(n + 1)2
= 6
7 |x + 2
|< 1
de esta manera, para los x ∈ R tales que, cumplen
|x + 2| < 7
6 ⇐⇒ x ∈
−2 − 7
6,−2 +
7
6
se tiene convergencia absoluta. Con lo cual R = 76 . Para determinar el intervalo se estudia el
caracter sobre los extremos.
x = −2 − 76 en este caso:
∞
1
−6
7
n1
n2
−7
6
n
=∞
11
n2
converge.
x = −2 + 76 en este caso:
∞1
−6
7
n1
n2
+
7
6
n
=
∞1
(−1)n 1
n2
converge absolutamente y por tanto converge.
de esta manera:
I c =
−2 − 7
6,−2 +
7
6
8/19/2019 T3Examen resuelto
http://slidepdf.com/reader/full/t3examen-resuelto 4/5
d ) Se considera un x ∈ R entonces se estudia la convergencia de la serie:
∞1
2n
2n− 1|x|2n
puesto que es de terminos positivos, se aplica el criterio del cociente con lo cual:
lımn→∞
2(n+1)
2n+1|x|(2n+2)
2
n
2n−1 |x|2n = lım
n→∞2
2n− 1
2n + 1 |x
|2 = 2
|x
|2 < 1
⇐⇒ |x
|< 1
2
de esta manera, los x ∈−
12 ,
12
la convergencia es absoluta. Ası pues, R =
12 . Para
determinar el intervalo de convergencia se estudian los extremos:
x =
12 ası pues, sustituyendo resulta la serie numerica:
∞1
2n
2n− 1
1
2
2n
=
∞1
1
2n− 1
que es divergente, pues aplicando el criterio de comparaci´ on en el lımite con el termino12n resulta que tiene el mismo caracter que
∞1
12n que es divergente, pues
lımn→∞
1
2n−112n
= 1
x = −
12 ası pues, sustituyendo resulta la serie numerica:
∞1
2n
2n− 1
−
1
2
2n
=∞1
2n
2n− 1
1
2
2n
=∞1
1
2n− 1
que es la misma serie que en el caso anterior y por tanto por el mismo razonamiento esdivergente.
Ası pues, el intervalo de convergencia es:
I c =− 12 , 12
5. Determina el desarrollo de Taylor de la funcion sen x en x = π
2 de grado 4 y resto de orden 5
(1 punto)
Soluci´ on:
En este caso hay que calcular el Polinomio de Taylor de f (x) = senx en x = π
2 y anadir el Termino
complementario. Ası pues:
senx =
4k=0
f k) π2
k!x −
π
2k
+ f 5)
(t)5!x −
π
25
t ∈ π2 , x o t ∈ x, π2sustituyendo las derivadas:
f π
2
= 1; f
π2
= 0; f
π2
= −1; f
π2
= 0; f iv
π2
= 1; f v (t) = cos t;
Por tanto queda:
senx = 1 − 1
2!
x − π
2
2+
1
4!
x − π
2
4+
cos t
5!
x − π
2
5
8/19/2019 T3Examen resuelto
http://slidepdf.com/reader/full/t3examen-resuelto 5/5
6. Si el polinomio de grado 3 de la funcion f en x = 1 es
P (x) = 3 + 4(x − 1)2 − 2(x − 1)3
¿tiene la funcion un extremo en x = 1? ¿que tipo de extremo? (1 punto)
Soluci´ on:
Se sabe por definicion que el Polinomio de Taylor viene dado por:
P (x) =n
k=0
f k) (a)
k! (x − a)
k
siendo en este caso n = 3 y a = 1. Identificando terminos:
f (1) = 3; f (1) = 0; f (1) = 4 · 2! > 0
Por tanto al ser la primera derivada nula, y ser derivable la funci on, puede que haya un extremo.Ademas como f (1) > 0 resulta que existe extremo y debe ser un mınimo local.