Post on 08-Jul-2015
NOMBRE DEEL ALUMNO: RAUL NOLASCO AVEDAO
SEMESTRE: 3
GRUPO: D
CARRERA: ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
TURNO: VESPERTINO
NOMBRE DE LA PROFESORA: LIC. NILA CANDELARIA DE LA CRUZ TADEO
ASIGNATURA: MATEMATICAS III
TEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1
INDICEIntroduccin Unidad 4: Funciones de varias variables
4.1 Definicin de Funcin de dos Variables 4.2 Grafica de Funciones de dos Variables 4.3 Curvas y Superficies de Nivel 4.4 Limites y Continuidad 4.5 Definicin de Derivadas Parciales de Funciones de dos Variables. Interpretacin Geomtrica. 4.6 Derivadas Parciales de Orden Superior 4.7 Incrementos Diferenciales y Regla de la Cadena 4.8 Derivacin Implcita 4.9 Coordenadas Cilndricas y Esfricas 4.10 Derivada Direccional, Gradiente, Divergencia y Rotacional 4.11 Aplicaciones Geomtricas y Fsicas de los Operadores Vectoriales.Conclusin Bibliografa
2
INTRODUCCION
En esta unidad se ver los conceptos bsicos de las funciones de varias variables desprendiendo las definiciones de las funciones de 2 variables con su respectiva grafica, curvas y superficies de nivel, limites y continuidad, derivadas parciales y de orden superior, incrementos diferenciales y regla de cadena, derivacin implcita, coordenadas cilndricas y esfricas,Derivada Direccional, Gradiente, Divergencia y Rotacional. Tambin se ver las aplicaciones que tiene cada una de ellas con sus respectivos problemas o ejercicios.
3
UNI
UNCI NES
EV
I SV
I
ES
I t M h i f
i it l z , i , l i l f t f i . El i l t i i l l . l f l i l t . P l ti l j lt j f ili l , lt ili f j i , t i liz l t l t
f
i
E i t S if l h t
t i l
i . S til i t f l
i t i t l tili l t i li t
t i i l l f
i l . f
t
t t
t : l i
f i
i i l.
i t l
l t i l : h
i
i i
l
l z . H i
t f
i
f:R> con su eje en el eje . si sustituimos x 2 obtenemos su ecuacin en cilndricas.2
es un cono
y2 por r2,
x2 y2 =4
2
ecuacin en coordenadas rectangulares.
r2 = 4
2
ecuacin en coordenadas cilndricas.
Solucin b) La superficie y2 = x es un cilindro parablico con generatrices paralelas al eje . Sustituyendo y 2 por r2 sen2 y x por r cos , obtenemos:
64
y2 = x
ecuacin rectangular.
r2 sen2
= r cos
sustituir y por sen , x por r cos .
r(r sen2
cos ) = 0
agrupar terminos y factori ar
r sen2
cos
=0
dividir los dos mienbros por r
r =cos
/ sen2
despejar r
r cosec
ctg
ecuacin en cilndricas.
Ntese que esta ecuacin incluye un punto con r = 0, as que no se perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r.
a
Ejemplo 3:
allar la ecuacin en coordenadas r ectangulares de la grafica determinada por la ecuacin en cilndricas:
r2 cos 2
2
1=0
Solucin:
65
r2cos2
2
1=0
ecuacin en cilndricas
r2 (cos2 sen2 )
2
=0
identidadtrigonometrica.
r2 cos2
r2 sen2
2
= -1
X2 y2 Y2 x2
2
= -1 =1
sustituir r cos
por x y r sen
por y
2
ecuacin rectangular.
Es un iperboloide de dos ojas cuyo eje es el eje y.
Coordenadas esfricas.
Es el sistema de coordenadas esfricas cada uno se representa por un tro ordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ngulos. Es un sistema similar al de longitud -latitud que se suele utili ar para locali ar puntos sobre la superficie terrestre. EL SISTE A DE COORDENADAS ESFERICAS. Es en sistema de coordenadas de sistemas esfricas un punto p del espacio viene representado por un tro ordenado ( p, , ).
1.- p es la distancia de P al origen, p> 0.
2.-
es el mismo Angulo utili ado en coordenadas cilndricas para r> 0.
3.-
es el Angulo entre el semieje
positivo y el segmento recto OP, 0 >
.
66
Ntese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.
La relacin entre las coordenadas rectangulares y las esfricas. Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes:
Esfricas a rectangulares:
X =psen
cos ,
y= psen
sen ,
= pcos
.
Rectangulares a esfricas :
P2= x2
y2
2
,
tg =y/x,
= arcos (z/ x2
y2 z2).
Para cambiar de coordenadas esfricas a cilndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes:
Esfricas a cilndricas (r > 0):
r2 =p2 sen2
,
= ,
z = pcos .
Cilndricas a esfricas (r> 0):
P= r2
z2,
= ,
= arcos (z / r2
z2).
Las coordenadas esfricas son especialmente apropiadas para estudiar superficies que tenga un centro de simetra.
67
Ejemplo 1:
allar una ecuacin en coordenadas esfricas parar las superficies
cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican.
a).- cono: x2
y2 = z2
b).- esfera: -4z = 0
Solucin: a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuacin dada se obtiene: x2 y2 = z2 cos2 (cos2 p2 sen2 sen2 =p2 cos2
p2 sen2 p2 sen2 p2 sen2 sen2 tg2
sen2 ) =p2 cos2
= p2 cos2 =1 p> 0 = = /4 o = 3 /4 =
/ cos2 =1
La ecuacin
/4 representa la mitad superior del cono y la ecuacin
3 /4 su mitad inferior.
b).-como p2 = x2 y2
z2 y z = p cos
, la ecuacin dada adopta la siguiente
forma en coordenadas esfricas. P2 4 pcos =0 p (p -4 cos )=0
Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecuacin en esfricas.
68
P - cos
=
o
p = cos
4.
E IV
I ECCI NAL,
ADIENTE, DIVE
ENCIA Y
TACI NAL. Gradi n de un vector rad , al vector
Se llama gradiente de una funci n, ue se representa por de dicha funci n.
cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las derivadas parciales
En esta expresi n observamos campo vectorial. Pro iedades 1.- Las componentes del vector ejes en
variaciones de la funci n y de la coordenada a lo largo de las direcciones de los dicho la Su direccin es la de mxima punto. 2.- Su mdulo, en cada punto, es el mximo valor de la variacin de la funcin con .distancia. variacin.
.- Su sentido es el de crecimiento de la funcin. Por lo tanto el gradiente de una funcin escalar puntual es una funcin vectorial puntual. Ejemplo: ada la funcin (x, y, z) =, calcular el gradiente en el punto (2, 1, -1).69
ue el gradiente de la funci n F define un
rad
, en cada punto, son la raz n de las
El
gradiente
de
una
funcin
escalar
es:
Ahora sustituimos el punto en la expresin obtenida: 212i+ ( 21- (-1)2) j- 1 (-1) k Luego rad = 2i + j + k.
Divergencia de un vector La operacin divergencia esta definida como:
En notacin de operador,
iv
es el producto punto de :
y .
tese ue
x
es un campo vectorial, mientras ue campo escalar. Leemos
como divergencia de
El significado fsico completo de la divergencia se puede explicar como: Si imaginamos como el campo de velocidad de un gas o fluido, entonces iv representa la tasa de expansin por unidad de volumen de gas o de fluido. Por ejemplo, si (x, y, z) = x i + y j + z k, entonces iv = ; esto significa ue
el gas se esta expandiendo a la tasa de volumen por unidad de tiempo. Esto es razonable, pues en este caso expande. Si iv