1.-+Mat2+-GEMETRIA+Y+TRIGONOMETRIA-OAX_dic_04

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Diciembre de 2004

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INTRODUCCIN

El presente trabajo enfocado a Matemticas II (Geometra y Trigonometra), tiene

como intencin fundamental auxiliar al docente en la difcil tarea de guiar al alumno del

nivel medio superior en el estudio razonado y significativo de esta rea, con mayor

relevancia en el conocimiento cientfico, en donde el alumno podr construir sus propios

conocimientos bajo las siguientes consideraciones:

Sus conocimientos previos sobre el rea de matemticas formales y/o empricos.

Situaciones o escenarios didcticos que motiven al estudiante, siendo retos que

requieren de actividad intelectual y permite al estudiante alcanzar metas y

soluciones posibles.

Nuestro trabajo pretende a travs de la resolucin de problemas acercar an ms

al binomio, enseanzaaprendizaje, a la dinmica construccional en donde el alumno

pueda apropiarse del conocimiento y aprender de manera significativa y trascendente.

Por esta razn, este material es interactivo y constituye un canal de

comunicacin entre los actores del proceso de la enseanza y el aprendizaje, para

hacerlo adecuado, oportuno y dinmico, retroalimentado a los elementos que participan:

docente, alumno, currculo y evaluacin para una mejor toma de decisiones y posibilitar

una permanente validacin de los mismos.

Es importante sealar que la resolucin de problemas ha sido ampliamenteestudiada por investigadores de todo el mundo; y se reconoce hasta el momento como

un mtodo eficaz para propiciar un aprendizaje efectivo de largo plazo, susceptible de

extenderse y aplicarse en situaciones diversas.

Cabe sealar que la enseanza contextual y de grupos operativos de las

matemticas, tiene como objetivos fundamentales ampliar y consolidar los

conocimientos, habilidades y capacidades matemticas para aplicarlas en el

planteamiento y resolucin de problemas cotidianos mediante un efectivo

procesamiento de la informacin.

El enfoque del trabajo en el aula a travs de grupos operativos, propone trabajar

con los alumnos en un ambiente, donde las respuestas a problemas propuestos,

principalmente son generadas por los alumnos en tres tiempos:


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a) Convencerse as mismos de su solucin.

b) Convencer a los miembros de su equipo (de 3 a 5 integrantes)

c) Convencer al grupo, socializando las soluciones para enriquecer la visin del

problema a travs de las mltiples respuestas.

Parafraseando a Piaget; lo que requerimos es una actitud intelectual y moral,

hecha de comprensin y cooperacin que sin salir de lo relativo, alcance la objetividad,

relacionando entre s los diversos puntos de vista particulares de los alumnos.


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HISTORIA DE LA ELABORACIN DEL PROGRAMA ANALTICO

Al considerar el propsito fundamental de la estructuracin de los programas de

estudio, para el nivel medio superior de la SEIT, en el que se pretende la construccin

de aprendizajes significativos por parte de los estudiantes, misma que se facilita con la

implementacin de estrategias educativas centradas en el aprendizaje; se trabaj en el

diseo de los programas de estudio de matemticas.

En ello participaron profesores de secundarias tcnicas, escuelas del nivel medio

superior y escuelas de nivel superior pertenecientes a la SEIT; as como expertos del

rea pedaggica y de matemticas.

Esto con la finalidad de considerar la opinin de los profesores que participan

como guas en la construccin de los conocimientos antecedentes al bachillerato y los

requerimientos exigidos por los docentes del nivel superior.

Para la elaboracin de estos programas se ha partido del anlisis de los

programas vigentes, rescatando de stos los conceptos fundamentales y subsidiarios

que permitan con su desarrollo el logro del propsito general del campo de matemticas

consistente en que:

El estudiante, a partir de la apropiacin de los contenidos

fundamentales de las matemticas, desarrollar habilidades de

pensamiento, comunicacin y descubrimiento; que le permitan usarlas enla resolucin de problemas cotidianos y sea partcipe del desarrollo

sustentable de su entorno.

Esta propuesta lejos de aumentar los contenidos contemplados en los programas

actuales, no incluye los temas de aritmtica por considerar esta parte de las

matemticas como un antecedente para cursar el nivel medio superior; as como otros

temas que no guardan relacin o bien que se aleja del propsito de las matemticas en

este nivel.

Se cree que la propuesta, bajo la gua consciente de los docentes en las aulas

puede contribuir a formar estudiantes que sepan: aprender a conocer, aprender a ser,

aprender a hacer y aprender a convivir con sus semejantes.


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Esto sin duda alguna presenta grandes retos a los diversos actores del proceso

educativo, pero principalmente al docente, al requerir de ste, el hacer propio el

proyecto y contribuir con su experiencia a la implementacin del proyecto en las aulas.

Probablemente en esta propuesta no exista mucha diferencia con los contenidos

programticos actuales. La diferencia estriba en cmo el docente logre el acercamiento

del estudiante a estos contenidos.

Al desarrollar los contenidos de la presente propuesta mediante temas

integradores, tanto de la disciplina como de otras reas del conocimiento, los

estudiantes lograrn comprender que los contenidos de matemticas no son ajenos a

su vida cotidiana, ni son propios de seres superdotados. De esta manera podrn

encontrar aplicacin a los conocimientos que van construyendo en otras reas del

saber.La implementacin de estrategias centradas en el aprendizaje, ya sean temas

integradores, aprendizaje basado en la solucin de problemas o las que el docente

proponga, permite recuperar los conocimientos previos y concepciones existentes.

En el caso de la aritmtica u otros temas omitidos, el docente podr decidir las

actividades a realizar, con el fin de que los estudiantes recuperen los conocimientos

requeridos o corregir las concepciones errneas y utilizar estos conceptos como

herramientas para la construccin de otros. Al mismo tiempo, esta forma de trabajobasado en el aprendizaje colaborativo, estar contribuyendo a la formacin de los

valores de libertad, solidaridad y justicia, que se pretenden promover.

Los contenidos de la disciplina estn estructurados en forma de asignaturas

como lgebra, geometra y trigonometra, geometra analtica, probabilidad y estadstica

y en un taller de matemticas aplicadas, en el cual se orienta hacia el manejo de los

conceptos y las herramientas indispensables para abordar el clculo diferencial e

integral, ms que la ejercitacin en el uso de los algoritmos.

En este sentido, se podra pensar que se encuentran estacionados en el mismo

orden que la propuesta curricular anterior, sin embargo en el enfoque que se propone

basado en la solucin de problemas y el tratamiento de lo bsico bajo un eje integrador

(temas integradores) permite distinguir un uso diferente de los contenidos.


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Presentar a la disciplina y a sus asignaturas en un mapa de contenidos no es

gratuito. Esto responde a una movilidad del mismo, de acuerdo a su uso en la

resolucin de problemas; lo que permite al docente hacer diferentes organizaciones del

contenido, dependiendo de la problemtica que se trate de resolver.

El tratamiento de algn o algunos problemas que se encuentran circunscritos en

un tema integrador, hace que se puedan explicar y tomar una postura respecto a los

mismos desde la matemtica, la qumica, entre otras asignaturas. As tambin se debe

considerar que la matemtica, dentro de los objetivos que persigue, es una herramienta

que brinda elementos para hacer el anlisis de problemas que se encuentran

relacionados con otras reas especficas del conocimiento.


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ESTRUCTURA DE LA DISCIPLINA

La matemtica es una disciplina que requiere secuencia en el tratamiento del

contenido, es decir, hay temas antecedentes que permiten abordar conceptos que se

encuentran ubicados posteriormente. En este sentido se organiza el rea del

conocimiento mediante asignaturas que guardan un orden lgico para su tratamiento,

por ejemplo el lgebra es un antecedente para la solucin de problemas que se

presentan en la geometra, trigonometra y materias subsecuentes.

Los conceptos subsidiarios que aparecen en la organizacin de cada una de las

asignaturas permiten dos cosas, ayudar a la formulacin de un concepto supraordinado

y hacer un tratamiento de otros contenidos, con diversos problemas que se presentan

en una realidad cargada de sucesos sociales, cientficos y tecnolgicos, es decir

permite acercarse al tratamiento de situaciones problemticas o complejas. Por

ejemplo, en la geometra analtica el tratamiento de lo unidimensional y bidimensional

permite localizar y representar en un sistema de coordenadas un determinado problema

para su anlisis.

El campo de aplicacin de la matemtica es muy amplio. Siendo as, esto nos da

la pauta para abordar los contenidos con temas integradores en el tratamiento de las

diversas disciplinas, por ejemplo, fsica, qumica, biologa, economa y de otras reas de

la vida cotidiana dentro del mbito tecnolgico.


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ESTRATEGIA METODOLGICA

Se propone que los estudiantes sean personas crticas, propositivas y que por

medio del trabajo colaborativo asuman los valores de solidaridad, libertad y justicia,

para que sean parte de su forma de ser y los lleven a cabo en sus actividades diarias

tomando en cuenta su bagaje cultural. Adems, que sean conscientes de que

pertenecen a una sociedad globalizada.

As mismo, consideren el conocimiento como un proceso mediante el cual

reencuentren la relacin de la matemtica con otras disciplinas y con su entorno.

Las estrategias centradas en el aprendizaje no sern a partir de conceptos

abstractos o de algoritmos que no son parte de la realidad de los estudiantes, esto

permitir que se apropien del conocimiento, que aprendan a aprender, a razonar y a

pensar. Esto es, transiten de decir permteme recordar a permteme pensar cuando

se les presente un problema. Todo ello a partir de ejemplos modelados, sean estos

relacionados con otras materias o de su propio contexto.

El papel del docente, ser entonces, el de ser mediador del aprendizaje, un

facilitador en ese proceso y llevar a los alumnos hacia la construccin de su

conocimiento, mediante la seleccin de temas integradores que les permitan establecer

una relacin al interior de la disciplina y con otras disciplinas involucradas.


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PROPSITOS DE LA DISCIPLINA

1. Utilizar las formas de pensamiento lgico en los distintos mbitos de la actividad

humana.

2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemticas adquiridas a

situaciones de la vida diaria.

3. Utilizar correctamente el lenguaje matemtico con el fin de comunicarse de

manera clara, concisa, precisa y rigurosa.

4. Utilizar con soltura y sentido crtico los distintos recursos tecnolgicos

(calculadoras, programas informticos e Internet) que constituyan una ayuda

para el aprendizaje y las aplicaciones de la matemtica.

5. Resolver problemas matemticos utilizando diferentes estrategias,

procedimientos y recursos, desde la intuicin hasta los algoritmos.

6. Aplicar los conocimientos geomtricos para comprender y analizar el mundo

fsico que nos rodea.

7. Utilizar los mtodos y procedimientos estadsticos y probabilsticos para obtener

conclusiones y hacer inferencias a partir de datos recogidos en el mundo de la

informacin.

8. Integrar los conocimientos matemticos en el conjunto de saberes que el alumno

debe adquirir a lo largo del bachillerato.9. Desarrollar tcnicas y mtodos relacionados con los hbitos de trabajo, la

curiosidad y el inters para investigar y resolver problemas.

10.Desarrollar la responsabilidad y colaboracin en el trabajo en equipo, con la

flexibilidad suficiente para cambiar el propio punto de vista en la bsqueda de

soluciones.


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RECOMENDACIONES AL PROFESOR

Se recomienda al maestro que inicie con una actividad motivadora, para cambiar

la predisposicin de algunos alumnos a no usar la mayora de los sentidos en el

proceso enseanzaaprendizaje.

Es conveniente elaborar una evaluacin diagnostica del curso de matemticas I

con la finalidad de determinar si el alumno posee los conocimientos necesarios para

iniciar el curso de matemticas II y en su caso realizar la retroalimentacin de los temas

respectivos.

Cuando sea necesario inyecte alegra al grupo utilizando dinmicas

motivacionales dependiendo del estado de nimo en que se encuentre el grupo y

horario en que se imparta la clase.

Algunos ejercicios necesitan materiales para su elaboracin, por lo que ser

necesario leer con anticipacin las listas de necesidades de material, para construir los

modelos de apoyo en el aprendizaje.

Es importante utilizar los instrumentos y el software de evaluacin

proporcionados por la Direccin General de Educacin Tecnolgica Industrial, ya que su

elaboracin esta basndose en la metodologa, tcnica y temtica de este texto.

Es necesaria la cooperacin del profesor en el anlisis de este material con el fin

de realizar propuestas que lo enriquezcan especialmente en lo que se refiere a

aumentar el nmero de ejercicios contextuales y as mejorar continuamente la calidad

de este material.


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RECOMENDACIONES AL ALUMNO

Este material est elaborado para que se trabaje en equipo los cuales se

recomienda sean de 3 a 5 integrantes con el fin de que se conserve el espritu de

trabajo, el equipo debe tener un responsable que transfiera las diversas tareas a cada

integrante con la finalidad de que exista interrelacin personal y grupal, tratando de

intercambiarlo a un tiempo determinado para promover la responsabilidad de liderazgo

en cada uno de ellos.

Se recomienda que se lea el enunciado del problema tantas veces sea

necesario, para que lo comprenda cada integrante del equipo y que

mantengan una disposicin positiva en todas las actividades a desarrollar

en clase y en las tareas asignadas durante el curso, lo cual facilitar un

aprendizaje ms eficaz y dinmico en grupos cooperativos con sus

compaeros.


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FUNDAMENTACIN

En este material se utiliza la metodologa contextual y el aprendizaje cooperativo

de grupos para facilitar el aprendizaje de los estudiantes, permitindoles realizar una

reflexin individual primero y grupal despus, sobre el tema a estudiar.

La Direccin General de Educacin Tecnolgica Industrial ha buscado mtodos y

tcnicas de enseanza que eficiente el proceso Enseanza-Aprendizaje; as por

ejemplo se implement el proyecto piloto denominado Matemtica Aplicada a

contextos tecnolgicos, sin embargo debido a que ste modelo fue creado para un

grupo social determinado, se generaron nuevos problemas en el subsistema.

Ante esta situacin se propone a los docentes crear un modelo acorde a lascondiciones de nuestra idiosincrasia, incorporando el Aprendizaje contextual que

considera que el aprendizaje es un proceso complejo que va ms all de los mtodos

orientados a la ejercitacin y a la relacin estmulo - respuesta.

Esta metodologa dice que el aprendizaje ocurre, cuando el estudiante procesa la

informacin o el conocimiento, de tal manera que lo que aprende tiene sentido dentro

de su marco de referencia, siempre y cuando le sea til. Por lo cual se recomienda

estimular al educando, para que elija entornos de aprendizaje, tales como, laboratorios,

aulas o alguna actividad al aire libre, de manera tal, que vaya adquiriendo experiencias

sociales, culturales, fsicas y psicolgicas.

En estos medios los estudiantes aprenden a relacionar ideas abstractas y a

aplicarlas al mundo real, a travs de la resolucin de problemas.

Es importante la disposicin del docente, para cambiar la forma tradicional de

ensear, por una enseanza ms participativa en relacin con lo cotidiano, que permita

el desarrollo de habilidades, de expresin oral y escrita del estudiante; as como de sus

habilidades mentales y manuales.

Cmo podemos lograr ms con menos?, no se duda que en el transcurso del

tiempo hemos aprendido ms sobre tcnicas de enseanza y todas logran un objetivo,


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pero, por qu regresamos en matemticas a lo tradicional? (gis, pizarrn, borrador,

apuntes etc.); sin duda porque las matemticas las aprendimos por medio del uso del

pizarrn, sin reflexionar ni razonar, quiz porque nuestros maestros no saban utilizar un

retroproyector o un software y no usaban tcnicas y metodologas innovadoras que

permitieran construir nuestro propio conocimiento.

Se ha demostrado que el estudiante aprende ms cuando construye, explora,

descubre e inventa, que cuando acta como receptor nicamente o utiliza mtodos

memorsticos, por lo cual en ste trabajo se trata de guiar al estudiante a que construya

en su razonamiento, los pasos y metodologa propias para resolver el problema

mediante una reflexin del planteamiento del problema.

Las habilidades actuales requeridas por los estudiantes son: Personalidad,

Razonamiento, Lectura de comprensin, Escritura y Aritmtica. La Personalidad es la

habilidad de relacionarse con otros individuos dentro y fuera del aula, el desarrollo de la

autoestima y la responsabilidad individual. El razonamiento es la habilidad de pensar y

resolver un problema vindolo como un sistema y no como un conjunto de problemas y

tareas aisladas.

Para que los estudiantes desarrollen habilidades personales, se requiere que

ellos mismos les enseen a otros, que aprendan a ser lideres y a trabajar con diversa

gente de otras culturas; as sern ms creativos, tomarn decisiones, resolvern

problemas y aprendern a razonar. Cuando un estudiante logra transferir el

conocimiento del aula a la prctica profesional se logra la retencin del conocimiento.

Adems de relacionar las distintas materias del plan de estudios, los docentes

pueden reforzar el proceso de Aprendizaje, involucrando a los estudiantes en

actividades manuales y experiencias concretas, como otro mtodo para reforzar dicho

proceso, con prcticas de laboratorio, experimentos, proyectos que requieran de los

estudiantes participacin activa, que les estimule el inters y la motivacin por aprender.


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APRENDIZAJE COOPERATIVO DE GRUPOS.

Es el proceso que maximiza el aprendizaje cooperativo en pequeos grupos mediante:

1. El compartir conceptos

2. El apoyo mutuo

3. La celebracin del xito en conjunto

Este mtodo tiene 5 caractersticas bsicas

1. Equipos de aprendizaje heterogneo cara a cara

2. Interdependencia positiva

3. Responsabilidad individual

4. Entrenamiento en habilidades interpersonales

5. Reflexin

La siguiente tabla muestra la diferencia que hay entre los dos modelos del proceso

Enseanza-aprendizaje.

Modelo tradicional Nuevo modelo

Propsito Transmisin de informacinfctica Encontrar, desarrollar y aplicarel conocimientoOrganizacin Aula aislada del mundo y del

trabajo, maestros y estudiantestrabajan solos.

Estudiantes vinculados con lacomunidad, maestros yestudiantes trabajan enequipo.

Funcin delmaestro

Transmisor de conocimientos Facilitador, coordinador, gua

Funcin delestudiante

Receptor de informacin fctica Compromiso activo para elaprendizaje

Contenido Materias acadmicas tradicionales,

para inteligencias verbales y lgicomatemticas.

Programas integrados,

adaptados para mltiplesinteligencias.

Mtodo Clase pregunta y respuesta, pocaatencin a estilos de aprendizaje

Cuestionamiento,descubrimiento aprendizajecontextual y mtodosaplicados.

Evaluacin Prueba de informacin fctica Basada en el desempeo y laresolucin de problemas.


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Para obtener un mayor grado de aprovechamiento se recomienda:

1. Que el estudiante aprenda a ensear y a aprender de sus compaeros.

2. Evitar distracciones de los estudiantes cuando trabajen en equipo.

3. Empezar formando equipos de 3 elementos, despus incrementar el nmeropoco a poco hasta un mximo de 5.

4. Integrar el aprendizaje cooperativo, invitando a los estudiantes a que lean el

material de manera individual y luego trabajen en equipo. El maestro podr

calificar uno de los trabajos en presencia del grupo, para que los alumnos

aprendan a calificar los dems.

5. Asignar a cada integrante de equipo una tarea especifica ( leer, anotar, verificar

etc. ), estimulando con esto la participacin activa del estudiante, motivndolo a

que haga las preguntas pertinentes o sugiera soluciones a los problemas,

elogindole sus buenas ideas u opiniones.

6. Indicar claramente, que espera como resultado del trabajo en grupo.

7. Observar el funcionamiento de los equipos mientras ellos trabajan, estimulando

la responsabilidad individual.

8. Mencionar los detalles que observ en el transcurso de la actividad, y como

pudieran mejorarlos, recompensando tambin el buen comportamiento de los

estudiantes.


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Nota:

Este trabajo est en proceso de conformacin, por lo que se aceptan todo tipo de

sugerencias y modificaciones conforme se est aplicando en los distintos planteles del

subsistema.

Representa una actividad de motivacin

Representa una actividad de estudio

Representa Trabajo en equipo

Representa una actividad complementaria

Smbolos utilizados en el desarrollo de ste material


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GEOMETRAY TRIGONOMETRA

OBJETIVO: Los estudiantes desarrollarn las habilidades necesarias para

aplicar los conocimientos geomtricos y trigonomtricos a travs de situaciones

problemticas, para comprender el mundo fsico que lo rodea y resolver los problemas

relacionados y que como tcnicos enfrenten

CATEGORAS: ESPACIO Y DIVERSIDAD

VALORES: LIBERTAD, JUSTICIA, SOLIDARIDAD

PROCEDIMENTALES:Representar, comparar, trazar, abstraer, identificar,relacionar, formular, deducir, demostrar, aplicar, conjeturar,comprobar.

TRIGONOMETR A

RELACIONESTRIGONOMTRICAS

FUNCIONESTRIGONOMTRICAS

IDENTIDADESTRIGONOMTRICAS

ECUACIONESEXPONENCIALES

RAZONESTRIGONOMTRICAS

ECUACIONELOGARTMIC

Concepto detrigonometra

Razntrigonomtrica

Relacintrigonomtrica

Funcionestrigonomtricasde ngulosagudos

Resolucin detringulos

El crculo unitarioSigno de las

funcionesIdentificacin de

las funciones enel crculo unitario

Funciones denguloscuadrantalescuadrangulares

Graficacin defunciones

Ley de senosLey de cosenosSolucin de

tringulosoblicungulos

Identidadesfundamentales

Demostracinde Identidades

ngulo Doblengulo mitad

ConceptoProcedimiento

de solucin.

ConceptoProcedimiento

de solucin.

ConceptoProcedim

de soluci

ECUACIONESTRIGONOMTRICAS


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NNDDIICCEE GGEENNEERRAA LL

I GEOMETRA

Introduccin 21

Antecedentes histricos 23

Conceptos bsicos 25

Proposiciones verdaderas 29

Sistema lgico 34

Mtodo deductivo 34

Recta

Nomenclatura y notacin de rectas. 38

Unidades de medida 41

Sub conjuntos 41

Posicin en el plano 44

ngulos 45

Definicin, clasificacin, notacin y medida de ngulos 46

Unidades de medida 57

Conversiones 60Teoremas 62

Tringulos 66

Definicin, notacin y clasificacin 68

El triangulo 68

Rectas y puntos notables de un tringulo 70

Teoremas 75

Teorema de Pitgoras 75

Teorema de Tales 79

Polgonos 84

Definicin, notacin y clasificacin 86

Cuadrilteros clasificacin 88

Diagonales y ngulos internos de un polgono 92


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Permetro y rea 96

Circunferencia y Crculo

Definicin, notacin 109

Elementos 110

ngulos en la circunferencia 113

rea del crculo 115

Permetro 115

rea de figuras circulares 117

IITRIGONOMETRA

Razones trigonomtricas en el trianguloConcepto de trigonometra 120

Razn trigonomtrica 120

Relacin trigonomtrica 120

Funcin trigonomtrica de ngulos agudos 123

Resolucin de tringulos rectngulos 125

Funciones trigonomtricas

El circulo unitario 137

Signo de las funciones 137

Identificacin de las funciones en el circulo unitario 137

Funciones trigonomtricas de ngulos de cualquier magnitud 140

Graficacin de funciones 147

Solucin de triangulo oblicungulo 150

Ley de senos 150

Ley de cosenos 153

Identidades trigonomtricasIdentidades fundamentales 166

ngulo doble 168

ngulo mitad 169

Demostracin de identidades 171


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Ecuaciones trigonomtricas

Concepto 174

Procedimiento de solucin 174

Ecuaciones exponenciales

Concepto 177


Ecuaciones logartmicas.

Concepto 178


III APNDICE 185

IV BIBLIOGRAFA 191


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1 . GEOMETRA EUCL ID IANA

Introduccin a la geometra euclidiana.

En cumplimiento con el objetivo de sistematizar los procedimientos empleados,para impartir la asignatura de GEOMETRA Y TRIGONOMETRA, se crea el siguiente

material basado en una metodologa contextual y aprendizaje de grupos cooperativos.

El contenido del material resulta de la experiencia docente apegada totalmente a la

planeacin curricular y a las necesidades del estudiante.

Se inicia trabajando con la Geometra Euclidiana, desde su historia, recta,

ngulos, tringulos, polgonos y circunferencia.

Posteriormente se trabaja con el estudio de la Trigonometra, sus relaciones,

funciones, identidades trigonomtricas, Ecuaciones trigonomtricas, Ecuaciones

exponenciales y Ecuaciones exponenciales en tringulos oblicungulos.

El material contenido en esta obra, tiene bien jerarquizado el contenido de cada

tema, bajo un enfoque contextual, buscando siempre que el aprendizaje se de en un

proceso menos complejo y ms natural, en donde el alumno va construyendo su propio

conocimiento.

En este esquema, el aprendizaje ocurre cuando el estudiante procesa la

informacin o el conocimiento, de tal manera que lo que aprende tiene sentido dentro

de su marco de referencia y sea til para su vida y su ingreso al nivel superior.


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Prctica: La circunferencia formada por rectas

Desarrollo:

1. - Marca en una hoja cuadriculada un rectngulo de doce cuadrados de lado.2. - Numera los puntos (como aparece en el dibujo)3. - Une los puntos iguales (4 con 4, 1 con 1, etc.)

6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6

4. - Qu figura obtuviste?

_________________________________________________________________

12

3

6

4

4

3

5

2

1

5


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Antecedentes histricos de la geometra.

Actividad de Apertura

Lectura:

La geometra se desarrolla al parecer, por lo que sabemos, debido a problemas

eminentemente prcticos, que tuvieron algunas civilizaciones desde la antigedad. Por

ejemplo, han llegado hasta nosotros algunas tablillas de arcilla, de la antigua Babilonia,en las cuales aparecen problemas estrictamente matemticos y en particular de

geometra. Uno de ellos dice lo siguiente: Un trapecio issceles con bases 14 y 50 y de

lados 30, tiene por rea 768 Podras verificar si es correcto lo que se afirma en este

problema? Qu conocimientos geomtricos necesitaras?

Tambin en Egipto se resolvieron problemas geomtricos que quedaron para la

posteridad en sus papiros. En el papiro de Rhing aparece, repetidamente lo siguiente:

El rea de un crculo es tomada como igual a la del cuadrado del 8/9 del

dimetro. Sin embargo, si t obtienes el rea de un crculo utilizas una constante

llamada p, representada por la letra griega y que aproximadamente vale 3.1416,

ahora, por la informacin que aparece en el papiro qu valor le daban ellos a ?

Por otro lado, en oriente aparecieron civilizaciones que tambin se ocuparon de

la Geometra, como China, con problemas anlogos a los ya mencionados, pero en

pocas posteriores a Babilonia y Egipto.

Damos un salto en el tiempo y nos ubicamos en el siglo VI a.c., en la ciudad griega

de Mileto, situada en la costa del Asia Menor. Por primera vez en la matemtica, as


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como en otros campos, los hombres comienzan a hacerse preguntas fundamentales,

como por qu el dimetro de un crculo bisecta al crculo?. Se atribuye a Tales de

Mileto, uno de los 7 sabios de Grecia el haber inventado la Geometra demostrativa,

es decir, que las propiedades de tringulos, cuadrilteros, etc. no son entre s

independientes sino que guardan ciertas relaciones entre ellas, porque partiendo de

unas cuentas, las dems se deducende ellas. Por ejemplo, a Tales se le acreditan los

siguientes resultados elementales:

1. Un crculo es bisectado por cualquier dimetro.

2. Los ngulos en la base de un tringulo issceles son iguales.

3. Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

4. Dos tringulos son congruentes si ellos tienen un lado igual, adyacente a ngulosrespectivamente iguales.

5. El ngulo inscrito en un semicrculo es un ngulo recto.

El valor de estos resultados, no est en los resultados mismos, sino en la

creencia de que Tales los demostr por algn razonamiento lgico, en lugar de la

intuicin y la experimentacin. Adems, debe sealarse que la formulacin de ellos es

completamente general, no limitndose a casos particulares, como suceda en Babilonia

y Egipto.

CONTENIDO FCTICO A TRATAR

Antecedentes histricos de la geometra.

Actividad de desarrollo

El docente entregar a los alumnos material bibliogrfico, para que en equipo lean ysinteticen las aportaciones de los siguientes protagonistas:

Tales de Mileto. Pitgoras de SamosEuclides de Alejandra. Arqumedes de Siracusa. Apolonio de Perga. Platn de Atenas. Hiparco. Ptolomeo de Alejandra.


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Actividad de cierre

Subraya cules de los siguientes descubrimientos no fueronhechos por los griegos.

Teorema de Tales. Para la semejanza de tringulos. Teorema de Pitgoras. Para conocer las dimensiones de un tringulo. Las propiedades de tringulos, cuadrilteros y crculos. Las caractersticas de los cuerpos platnicos o poliedros regulares.

Elaborar un mapa conceptual por equipo de las aportaciones que hicieron los griegos yexpngalo al grupo.

Contenido fctico:Conceptos Bsicos: Punto, Recta y Plano

Situacin Problemtica:El papel que ensea la geometra

En hoja blanca realiza los dobleces y las iluminaciones que se indican y observaque es lo que generas:

Doblez hacia arriba Doblez hacia abajo Te lleva a

A.- Ilumina el borde de los dobleces.

Qu formaste sobre el doblez?


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B.- Ilumina el lugar por donde pasan todos los dobleces.

Qu logras observar en el lugar donde coinciden los dobleces?Cmo lo generaste?

Los griegos abordaron el estudio de la Geometra con poco inters por susaplicaciones. Les interesaba como tema, aquel en el que se poda aplicar fcilmente losprincipios de razonamiento lgico. Se preocuparon por definir trminos, listarsuposiciones bsicas y organizar sistemticamente las conclusiones basadas enaquellas definiciones.Los conceptos bsicos en la Geometra Euclidiana son:

Punto Recta Plano

Es muy comn que usemos las palabras punto y recta; estos conceptos no estndefinidos sino que slo se tiene la idea, por lo que trataremos de acercarnos a unadefinicin de dichos trminos.

Punto: Un punto se representa grficamente por la marca de la punta de unlpiz, un punto no tiene dimensin pero s tiene posicin, por esta razn no se mencionael tamao del punto. La representacin del punto se hace con una letra mayscula.Ejemplo:


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Recta:Es una sucesin de puntos que se prolonga indefinidamente en dossentidos opuestos. Ejemplo:

y como un estricto complemento a ello estn los conceptos de:

Plano:Un plano es una superficie, que se extiende indefinidamente. Por ejemploun campo de foot ball es un plano, la representacin de planos se puede representarpor medio de figuras geomtricas.

Y como un estricto complemento a ello estn los conceptos de:

Superficie: Se le conoce como la cara de los cuerpos que limita con el espacio.


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Cuerpo fsico: Objetos o cosas que nos rodean y que presentan forma, color,peso, dureza, etc.

Cuerpo geomtrico: Objetos o cosas que nos rodean y que presentan formas ydimensiones como esfera, cono, prisma, cilindro, etc.

Espacio: Todo lo que nos rodea, factible de ser ocupado por un cuerpo fsico.

Semiplano: Toda recta AB de un plano lo divide en dos regiones llamadassemiplanos.


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Contenido fctico:

Proposiciones verdaderas

Actividad de desarrollo

Materiales:

1 hoja blanca1 lpiz

Procedimiento:

1.- El facilitador organizar equipos y pedir a los integrantes de cada equipoque elaboren algunas proposiciones verdaderas.

2.- Cada equipo leer sus proposiciones y determinar cuales de ellas seaceptan con mayor facilidad que otras.

3.- El facilitador concluye realizando la clasificacin de cada una de ellas.

Proposiciones matemticas:

Los Griegos abordaron el estudio de la Geometra con poco inters por susaplicaciones. Les interesaba como tema en el que se poda aplicar fcilmente losprincipios de razonamiento lgico. Se preocuparon por definir trminos, listarsuposiciones bsicas y organizar sistemticamente las conclusiones basadas enaquellas definiciones.


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Actividad de cierre.

La proposicin matemtica es el enunciado de una verdad.

Las proposiciones matemticas como el postulado, axioma, teorema, etc., seutilizan para una mejor comprensin de la geometra euclidiana.

Investiga en textos de geometra y/o diccionario la definicin de las siguientesproposiciones:

Postulado______________________________________________________________

Axioma________________________________________________________________

Teorema_______________________________________________________________

______________________________Corolario_______________________________________________________________

Teorema recproco

Lema_________________________________________________________________

A partir de estas definiciones, se pueden establecer los siguientes enunciados.

Ejemplo:

La distancia mas corta entre dos puntos es la recta: Postulado

El todo es igual a la suma de sus partes: Axioma

Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales: Teorema

El polgono de menor nmero de lados es el tringulo: Teorema

Un polgono de tres lados tiene tres ngulos: Corolario

Un prisma triangular se puede descomponer en 3 tetraedros Lema


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Equivalentes:1. - Escribe cinco postulados (Si es necesario realiza un esquema):

2.-Escribe cinco axiomas:

3.- Escribe dos teoremas:

4. - Escribe dos teoremas recprocos:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5- Escribe dos corolarios:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. - Escribe dos lemas:

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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Demostracin de diferentes teoremas.

Actividad de apertura:El facilitador con anticipacin motivar al alumno que investigue el porqu la culturaBabilnica eligi el nmero 360 como el nmero de grados en una rotacin

completaalrededor de un crculo.Socializaran la investigacin por equipos, identificando las coincidencias y diferencias.

El facilitador recuperar saberes de los alumnos y alumnas.

Teoremas

Teorema 1: Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

Actividad de desarrolloMaterial

1 hoja blanca tamao carta.1 transportador.

Procedimiento:

1.- En una hoja tamao carta doblarla en tres partes iguales.2.- Trazar una diagonal doblando la hoja que representar la transversal que corta a lasdos lneas paralelas.

3.- Con el transportador medir cada uno de los ngulos formados y determinar querelacin guardan entre ellos.


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Actividad de cierre

Acude a la cancha de bsquetbol y fjate en las lneas que tienen pintadas la canchaabajo del tablero para delimitar el tiro libre , mide el ngulo ACB y proyecta una lineacomo se muestra en la figura. Para determinar la medida de los otros ngulos

Teorema 2: En todo tringulo la suma de los ngulos interiores es igual a 1800.

Material1 hoja blanca tamao carta1 lpiz1 regla o escuadra.

Procedimiento:

1.- Se traza un tringulo cualquiera y se corta.

2.- Se hace coincidir el vrtice opuesto con la base mayor del tringulo.

3.- Los dos vrtices restantes se hacen coincidir con el otro vrtice en la base mayor.

4.- Cada equipo comentar al grupo su conclusin.


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Contenido fctico a tratar:Sistema lgico y mtodo deductivo

Actividad de apertura.

Lectura: Mtodo deductivo.El avance del progreso de la humanidad como producto del sabercientfico, se da a travs de descubrimientos que nos permiten pasar de loconocido a lo desconocido por medio del anlisis (induccin) y de lasntesis (deduccin).

El pensamiento analtico (inductivo) se manifiesta cuando a partir dehechos, experiencias u observaciones de casos particulares se llega aestablecer una ley general. Por lo que se define como el proceso de

encontrar una conclusin principio general, tomando como base laevidencia de casos especficos , es decir , va de lo particular a lo general.Como la induccin se basa en una suposicin, su proceso no siempre conduce aresultados vlidos, aunque s es una valiosa herramienta para descubrir conclusionesposibles.El mtodo inductivo se aplica preferentemente en las ciencias experimentales como laqumica, la fsica, la biologa, etc

Actividad de desarrollo.Ejemplo:

Observe las expresiones2

2

2

) 1 1 1

) 1 3 4 2

) 1 3 5 9 3

a

b

c

Se concluye la ley

21 3 5 ... 2 1n n

n impares consecutivos /n N Si cada unidad representa por un cuadrado

DeduccinEl pensamiento sinttico (deductivo) parte del establecimiento y aceptacin de ciertoselementos que se consideran indispensables para construir una estructura o unsistema, a partir de esos elementos se deducen nuevas proposiciones que seincorporan y enriquecen al sistema. Euclides llam a esos elementos nociones


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comunes, en virtud de que no existe la menor duda en cuanto a su significado. Elmtodo sinttico va de lo general a lo particular y se utiliza en lgica,lgebra, geometra, y otras reas de las matemticas

Ejemplo:

a) Si se admite que la suma de los ngulos interiores es igual a 180, se deduceque ;en un tringulo rectngulo sus ngulos agudos suman 90b) Si se establece que 4 20 0x , se deduce que 5x

Modus ponen

El razonamiento deductivo se usan mucho las proposiciones del tipo si entonces ...donde la expresin que est precedida de si se conoce como hiptesis y a la que est

precedida de entonces se llama conclusin. Una proposicin de este tipo recibe elnombre deproposicin condicional o implicacin. Representando por p a la hiptesis oantecedente y por q a la conclusin o consecuente, la implicacin se simbolizap q .sta slo es falsa cuando p es verdadera y q es falsa, como se puededemostrar con las herramientas de la lgica .En el razonamiento deductivo se hacehuso de una regla de inferencia llamada ley de la separacin modus ponens ( del latnponere, afirmar). El esquema parte de una suposicin del tipo si p entonces q (p q )para deducir q en un caso particular.De la verdad de p q y la verdad de p se infiere la verdad de q, o sea, que elrazonamiento consiste en la afirmacin de la hiptesis. Esto se expresa en la forma:

p q

p

q

Ejemplos:

1. premisas Si Juan se va caminando, llegar tarde.Juan se va caminando.

Conclusin: llegar tarde2. Si los ngulos a y b son opuestos por el vrtice,

Entonces los ngulos a y b tienen la misma medida.Los ngulos a y b son opuestos por el vrtice.Los ngulos a y b tienen la misma medida.

3. Si las rectas m y n son perpendiculares a una recta r.Las rectas m y n son paralelas.


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Modus tollens

Otro esquema de razonamiento consiste en negar la conclusin y se le conoce como

modujs tollens (del latn tollere, negar). En este esquema negando el consecuente sepuede negar el antecedente de la condicional. Esta forma se expresa as:

p q

q

p

( q es falsa)

Ejemplos:

1. Si Pedro juega, el equipo gana.El equipo perdi.Pedro no jug2. Si obtengo el dinero, saldr de viaje.No sal de viaje.No obtuve el dinero.3. Si un astro tiene luz propia entonces es una estrella.El astro no es una estrella.El astro no tiene luz propia.

Ley del silogismo

Es frecuente que en la demostracin geomtrica se aplique varias veces la vley deseparacin o modus ponens, de manera que de la verdad de p q y q r si p esverdadera entonces:

p q

p

q

Una vez conocida q se puede deducir r a partir de q r::

p r

p

r


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A esta cadena de razonamiento se le conoce como ley del silogismo.

Ejemplos:1. Si una figura es un tringulo equiltero entonces tiene sus lados congruentes.

Si una figura es un triangulo issceles entonces tiene dos lados congruentes.

Un tringulo equiltero tambin es issceles.Esta afirmacin es verdadera, mientras que su recproca, un tringulo issceles tambines equiltero, es falsa.

2. Si ABCD es un cuadrado entonces tiene sus lados congruentes.Si ABCD tiene sus lados congruentes entonces es un rombo.

Actividad de cierreEn cada caso considere los hechos particulares para enunciar el principio general.

3 es un nmero primo mayor que 2 y es impar5 es un nmero primo mayor que 2 y es impar.7 es un nmero primo mayor que 2 y es impar11 es un nmero primo mayor que 2 y es imparenuncie el principio general.

Haga la construccin geomtrica que se indica y verifique si se cumple que:Al unir 2 puntos diferentes de una circunferencia, el crculo queda dividido en

1

2 2 .regiones Al unir 3 puntos diferentes de una circunferencia, el crculo queda dividido en24 2 .regiones

Al unir 4 puntos diferentes de una circunferencia, el crculo queda dividido en38 2 .regiones

Al unir 5 puntos diferentes de una circunferencia, el crculo queda dividido en416 2 .regiones

Si llueve entonces llevar el paraguas.No llev el paraguas.

Si el cuadrado de un nmero entero es un nmero impar entonces entonces elnmero entero es impar.

El cuadrado del nmero es par.


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RECTA.

Nomenclatura y notacin de rectas

Prctica: Doblando una hoja de papel

Material:

1 hoja blanca tamao carta.1 caja de colores

Desarrollo:

Toma una hoja de papel y observa las caractersticas de la misma, respecto asus lados opuestos

Responde en tu cuaderno las preguntas que se te formulan:

Cmo definiras una recta?

Cules son sus caractersticas?

Cmo son sus ngulos?

Cmo la podras representar?

Cuntos vrtices tiene?

Realiza un doblez en tu hoja en forma arbitraria

Qu observas?

Ahora realiza un segundo doblez, procurando que se corte con el anterior y marca contu bolgrafo el punto de interseccin de las rectas que se forman.

De cuntos ngulos es vrtice este punto?

De los ngulos que observaste, cules son iguales y porqu?

Discute con tus compaeros y comparen las respuestas con las de los dems equipos.


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Lnea.

La lnea se define como una sucesin infinita de puntos .

Lnea recta: es aquella que tiene sus puntos orientados en una misma direccin.

Clasificacin de las rectas:

a).- Recta geomtrica: Es aquella que parte de un punto y se prolonga en dossentidos opuestos indefinidamente.

Se denota AB

b).- Semirrecta o rayo: Es aquella que parte de un punto y se prolongaindefinidamente en un sentido.

Se denota AB

c).- Segmento: Es la parte de la recta que contiene como puntos extremos el puntoA y el punto B.

Se denota AB

d).- Curva: Actualmente se considera que una lnea curva puede ser abierta ocerrada, y tener algn trazo recto.

e).- Mixta: Est formadacon rectas y curvas.


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Propiedades de la recta:

La distancia ms corta entre dos puntos, es el segmento de recta que los une.

Por dos puntos pasa una recta y slo una. Por un punto pueden pasar infinidad de rectas.

Dos rectas no pueden tener ms de un punto comn.

Ejercicio: De la siguiente figura, subraya con diferentes colores los siguientesconceptos.

De azul un segmento, de verde una recta, de rojo un rayo.

En cada intercepto de dos rectas asgnales un punto, y utiliza la notacin conliterales mostrada por el maestro.


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Operaciones con Segmentos.

a).-Suma de segmentos: Para sumar segmentos, debemos colocar uno a continuacindel otro en un sentido, y la suma sern los puntos extremos; por ejemplo:

Ejemplo:

Sumar: ADCDBCAB

A B B C C D

A B C D

A D

b).-Resta de segmentos: Para restar los segmentos ABAC se procede as:

Sobre el segmento minuendo AC se sobrepone el segmento sustraendo AB ,de tal manera que coincida A y A, y el segmento resultante, representa la diferencia.

Restar: BCABAC

A C

A BB C

c) - Multiplicacin de un segmento por un nmero real:

Ejemplo: ABAB 33

El producto del nmero 3 por el segmento MN:

MNMN 33 A partir de un punto cualquiera de una recta, se divide o se anexa el segmento

MNtantas veces como indica el nmero 3 en este caso, por el segmento que se va amultiplicar.


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As: ABMN3

M NM N

M N M N

A B

d).-Divisin de un segmento en un nmero de partes iguales.

Prctica:

Por los extremos A y B de la recta dada, se trazan las lneas AX y BX paralelasentre s, con ayuda de las escuadras y sin interesar el ngulo que formen con AB, ni sulongitud. A continuacin se abre el comps arbitrariamente y esta distancia se lleva Nveces sobre ambas paralelas, partiendo de los extremos A y B. Enseguida, con auxiliode una escuadra, se unen puntos iguales(es decir, el punto 1 de la recta AX con elpunto 1 de BX; el punto 2 de una con el 2 de la otra, etc). Estas lneas al cruzar AB, ladividen como se desea.

Aplicando los conceptos estudiados con anterioridad, resuelve la siguiente actividad.


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Caminos diferentes

Paco, Lalo y Luis decidieron apostar quien llegara primero a la escuela al dasiguiente, si los tres salieron simultneamente de sus casas para dirigirse a la escuela.

Basndose en el diagrama siguiente, responde las preguntas que se formulan.

Quin gan la apuesta?

Por qu ese resultado?

Cmo demostraras matemticamente quien fue el ganador?

Ahora qu recomendaciones les haras a los perdedores, para ganar la competencia,si se realizara otra vez?


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Posicin de dos rectas en un plano

1.- Rectas Paralelas.- Son aquellas que se encuentra en el mismo plano y que por masque se prolonguen no se intersectan. El smbolo de rectas paralelas es .

2.- Rectas Perpendiculares.- Se dice que una recta es perpendicular a otra o que lasrectas son perpendiculares entre s, cuando los ngulos que forman entre ellas sonrectos. El smbolo es .

3.- Rectas Oblicuas.- Dos rectas son oblicuas cuando al cortarse forman ngulosdiferentes de 90.


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NGULOS

Si eres adivinador, adivina.

Hazme una figuradijo Andrs a Pedro -;Esta debe tener sus lados comosegmentos rectilneos.

Pedro piensa que hay muchas opciones para formar la figura.

T que crees?

Cmo cuntas te puedes imaginar?

Me puedes dar otra pista?- dice Pedro; Claro tiene cuatro lados. As el nmerode figuras en estas condiciones se limita a cuatro lados rectos, sin embargo, Pedropiensa que las opciones todava son muchas.

Dame otra pista, porque todava no puedo adivinar dice Pedro.

Bueno, sus ngulos opuestos son iguales.

Ahora hay menos opciones.

Pero sern suficientes los datos para saber cual es la figura que quiere Andrs?

Por donde empezaras?

Cuntas figuras existen?

Ser acaso una?

Qu elementos utilizaras para trazar la figura?

Intntalo!

Comenta con tus compaeros y facilitador las diferentes formas que se utilizaronen el grupo para trazar las figuras y anota cuantas opciones surgieron.


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Definicin, notacin, clasificacin y medida de ngulos.

ngulo: Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen

llamado vrtice.

Se denota AOB AOBComo se observa en la siguiente figura:

A

Tambin puede denotarse por BOA o BOA

Otra forma de denotar o nombrar un ngulo es poniendo dentro de sus aberturasun nmero, una letra mayscula un smbolo griego:

1, A,

En tu cuaderno, copia los puntos siguientes y luego lee las preguntas realizandolas actividades que se te sugieren:

AC

B

E

D


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1.-Trazar la recta AB

2.-Trazar la recta CD

3.- Se interceptan las rectas AB y CD ?

4.- Dibuja la recta AC5.- Se interceptan las rectas? Si es as cul es el punto de interseccin.

6.- Cules son los lados del ngulo trazado?

7.- Cul es su notacin?

8.- Ahora traza la recta BD

Para comprender los ngulos coloquemos sobre la mesa de trabajo dos lpicesunidos en uno de sus extremos. Si giramos a uno de ellos manteniendo los extremosunidos Cuntos ngulos diferentes se pueden formar?

Medidas de ngulos

Para obtener la medida de un ngulo se divide el crculo en 360 partes iguales(Grados), cada parte equivale a un grado. As, un crculo completo representa unngulo de 360 llamado Pergono, la mitad de ese crculo tiene 180, el cul se llamangulo llano. Un cuarto del mencionado crculo tendr un ngulo de 90 conocido comongulo recto.


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Clasificacin de los ngulos

Los ngulos son nombrados de acuerdo a su abertura de la siguiente manera:

a) Los menores de 90 se llaman agudos.

b) Los mayores de 90 y menores de 180 les llamamos obtusos.

c) Los mayores de 180 y menores de 360 se llaman entrantes.


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d). Los ngulos que tienen una abertura de 90, se llaman rectos.

e). Los ngulos que tienen una abertura de 180, se llaman llanos.

f). ngulos complementarios: son aquellos que sumados nos dan 90.

sientrearioscomplementsony

deocomplementes JOBAOJ

g). Complemento de un ngulo: es aquel que sumado con otro nos da 90

53es complemento de 37


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h). ngulos suplementarios, son aquellos que sumados nos dan 180

sentreriossuplementasonydesuplementoes JOBAOJ

i). Suplemento de un ngulo: es aquel que sumado con otro nos da 180.

j). ngulos adyacentes: son aquellos que tiene un lado comn, y los otros dos formanparte de una misma recta.

J

JOBAOJ aadyacentees

B O A

k). ngulos opuestos por el vrtice: son aquellos en que los lados de un ngulo sonprolongacin del otro ngulo; y son iguales entre s.

AOJ = 114 JOB = 66

143es complemento de 37


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BEC es opuesto a AED

BEC es consecutivo de AED

CDA es consecutivo de DAB

C B

E

A D

AECDEB aopuestoes

l). ngulos consecutivos: son aquellos que tienen un lado comn.

B

C A

D

BACDAB deoconsecutives

NOTA: Se debe considerar que los ngulos se pueden generar en sentido contrario alas manecillas del reloj (que se considera +) o sentido de las manecillas del reloj (que seconsidera -).

BEC = 127

CEA = 53

AED = 127

DEB = 53

DAB = 91

BAC = 129

CAD = 140


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Ejemplos:

1.- Si AOC es recto y AOB y BOC estn en relacin de 2:4. Hallar sus valores

90BOCAOB

904x2 x

906 x

156

90 x

30AOB

60BOC

2.- Si 25, COByDOCAOD , segn la figura Cunto mide cadangulo?

D C

5XA X 2X B

O

03225.228

1801808

18025

180

x

COBDOCAOD

AOD = 2230DOC = 11230COB = 45

C4x

2x

O

A

B


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3.- Hallar los complementos de los siguientes ngulos:

a) 27b) 42 25c) 37 12 15

Las soluciones a dichos ejercicios son:

B

a) X +27 = 90 CX = 90 - 27X = 63 X

27

0 A

B

b) X +42 25` = 90 CX = 90 - 42 25`X = 47 35 X

42 25` A

0

B

c) X +37 12`15 = 90 CX = 90 - 37 12`15``X = 52 47`45``

O A

4.- Hallar los suplementos de los siguientes ngulos.a) 75b) 147 25`c) 120 30 42``

X

37 12`15``


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Las soluciones son:

B

a) X +75 = 180

X = 180 - 75 X 75X = 105 A C0

C

b) X +147 25` = 180X = 180 - 147 25`X = 32 35` X 147 25`

A 0 B

C

c) X +120 30`42 = 180X = 180 -120 30`42``X = 59 29`18`` X 120 30`42 ``

A 0 B

5.- Si AOC = 3x y el AOB = x ; hallar el valor de los ngulos de la figura.

A C

O

B D

AOB + 3 AOB = BOC4 AOB = 180

AOB 00

454

180

. : AOB = 45AOC = 135

3X


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6.- Si AOB = 3X y BOC = 8X; ver figura. Cunto vale cada ngulo?

A B

3XO

C D

AOB + BOD = 180

3X + 5X = 1808X = 180

X =8

180= 2230

. : AOB = 6730BOD = 11230COD = 6730AOC = 11230

5X


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Reafirmacin del aprendizaje:

Contesta cada pregunta, y al terminar analiza tus respuestas con tus compaeros de tugrupo.

1) Cunto mide un ngulo entrante?2) Cmo se llama al ngulo de 180?3) Cul es el suplemento del 90?4) Cul es el complemento del 20?5) Si el suplemento del A es 100 Cunto mide el A?

6) Cunto mide el ngulo Pergono?7) Cmo se llama a cada una de las 360 partes en que se divide el crculo?8) Cmo se llaman los ngulos menores de 90?9) Si el complemento del A mide 35 Cunto mide el ngulo A?10) A cuantos grados equivale 3/6 de un crculo?11) Son ngulos que tiene un lado comn y los otros dos lados forman parte de una

misma recta?12) Son ngulos en los cuales los lados de uno son prolongacin de los lados del

otro?13) Son ngulos que tienen un lado comn?14) Hallar el ngulo que es igual ala mitad de su suplemento.

15) Un ngulo y su complemento estn en relacin de 6:1 Hallar el valor de los ngulos.16) Hallar los complementos de los siguientes ngulosa) 37 b) 17 25` c) 62 32`16``

17) Hallar los suplementos de los siguientes ngulos.a) 20 b) 45 17` c) 150 32`19``

RESPUESTAS:

1. Ms de 180 y menos de 360. 10.- 180.2. Colineal o llano. 11.- Adyacentes.3. 90. 12.- Opuestos por el vrtice.4. 70. 13.- Consecutivos.5. A = 80 14.- 60.

6. 360 . 15.-7

612.;.

7

177 y .

7. Grados. 16.- a) 53 , b) 72 35` c) 27 27`44.8. Agudos. 17.- a) 160 b) 134 43` c) 29 27` 419. A = 55 .


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Unidades de medicin de ngulos

Medicin de ngulos:

Para medir ngulos se utiliza un instrumento llamado transportador, el cualrepresenta una semicircunferencia, si sabemos que la circunferencia mide 360entonces el transportador tendr una medida de 180.

90

180 0

La mayora de los transportadores tienen una lnea impresa en el lado recto,normalmente es una lnea que cruza un orificio pequeo, o en su defecto alguna marcao punto medio. Observa esto en tu transportador.

Para usar el transportador, primero se alinea un lado del ngulo con la lnearecta, luego desplaza el transportador por el lado del ngulo hasta que la marcapequea del punto medio coincida con el vrtice del ngulo. Luego observa donde elsegundo lado del ngulo cruza el borde del transportador y lee la medida de dichongulo. Observa el ejemplo:

90

50

0

Con tu transportador, mide cada uno de los ngulos mostrados a continuacin, yescribe dentro de su abertura, la medida de cada uno.


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Trazo de ngulos

Para trazar un ngulo debemos observar los siguientes pasos:

Para trazar un ngulo de 70, primero dibujamos una semirrecta que es uno de loslados del ngulo.

Marcamos un punto en esta lnea para representar el vrtice. Hacemos una marca pequea con el lpiz al lado del transportador que indica el

ngulo de 70. Tracemos una lnea recta a partir de la marca de los 70 hasta el punto querepresenta el vrtice del ngulo.

Las semirrectas que hemos dibujado representan el ngulo de 70.

Ahora en tu cuaderno, sigue el procedimiento descrito en el ejemplo anterior y dibujangulos que contenga las siguientes medidas:

25 75 125 80 150


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Para medir ngulos aparte del sistema sexagesimal que hemos expuesto endonde la circunferencia mide 360 (grados), y que cada grado a su vez tiene unamedida de 60 (minutos), y cada minuto consta de 60 (segundos); Existe otro sistemallamado circular en el cual la circunferencia tiene una medida de 2radianes, en dondeun radian es un ngulo cuyo vrtice se encuentra en el centro de la circunferencia, y

cuyos lados contienen un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Ejemplo:

Si el radio AB = 10 cm, entonces la longitud del arco AC = 10 cm por lo tanto la rectaAB = arcAC, esto es un radin.

C

A

Como hemos expuesto en este sistema la circunferencia tiene una medida de 2

radianes, entonces podemos hacer la siguiente comparacin:

2radianes = 360 por lo tanto: radianes = 180

y si = 3.1416, tenemos que 2radianes = 6.2832

Por lo que al dividir 360 entre 6.2832 obtenemos: 57.29

es decir: 1Rad= 360/6.2832 = 57.29

B


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Este valor representa la medida de un radian expresado en grados sexagesimales.Construir la tabla de relacin entre grados sexagesimal y circular.

Sistemacircular

Sistemasexagesimal

Sistemacircular

Sistemasexagesimal

Conversin de sistemas de unidades de medidas de ngulos.

Sea S un ngulo cualquiera medido en grados sexagesimales y R un ngulocualquiera medido en radianes; as tenemos la siguiente relacin:

.23600 rad

RS

.2

3600

rad

RS

.

1800

rad

RS

0

360

2 radSR

0

180

radSR

Ejemplos:

a).- Convertir 38 a rad.

Sea S=38 R = 38 rad / 180 = 0.6632 rad

b).- Convertir 72 15 40 a rad.

Sea S=72 15 40 R = 72 15 40 rad. / 180 = 1.2612 rad

c).- Convertir 1.83 rad a grados sexagesimales.

Sea R=1.83 rad S = 1.83 rad 180 / rad = 104 51 04

d).-Convertir 3/5 rad a grados sexagesimales

Sea R=(3/5)rad S = (3

/5)rad 180 / rad = 108


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Partiendo de la base que: rad. = 180, convierte las siguientes expresiones aradianes o viceversa.

a).871502 R= 1.5228 rad. f) /2 Rad R= 90

b) 1753007 R= 3.0631 rad g) 1.5 Rad R= 85 56 37

c) 420 R= 7.3304 rad h) 3.2 Rad R= 183 20 47

d) 30 R= 0.5236 rad i) 3/9 Rad R = 60

e) 2505010 R = 4.3779 rad. j) 0.7 Rad R = 40 06 25

Contesta cada pregunta y al terminar analiza tus respuestas con las de tus compaeros.

Cunto mide un ngulo entrante?

Cmo se llama el ngulo de 180?

Cul es el suplemento del ngulo de 90?

Cul es el complemento de 20?

Si el suplemento del ngulo A es 100 Cunto mide el ngulo A?

Cunto mide el ngulo Pergono?

En cuntas partes llamadas grado se divide al crculo?

Cmo se llaman los ngulos menores de 90?

Si el complemento de A mide 35 Cunto mide el ngulo A?

A cuntos grados equivale 3/6 de un crculo?Relacin:

1 = 60 1 = 60 90 = 89 60 90 = 89 59 60


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Los smbolos para estas unidades son: Grado (), minuto (), y segundo ( )

Teoremas

Antecedentes:

a) Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatrongulos iguales cada uno de 90 y su smbolo es

La notacin es: CDAB

b) Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas no tienenningn punto en comn y su smbolo es

La notacin es: AB CD

Dadas dos rectas paralelas cortadas por una secante, se genera la relacinsiguiente con sus ngulos:

Sea AB CD las rectas paralelas y ,QQ la secante.

0

90

180

270


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Como se puede observar en la figura anterior se generan 8 ngulos, 4 en cadapunto de interseccin, los cuales se relacionan de la siguiente forma:

Internos 3, 4, 5, 6

Externos 1, 2, 7, 8

Alternos Internos 3 y 5 ; 4 y 6

Alternos Externos 1 y 7 ; 2 y 8

Correspondientes 1 y 5, 4 y 8 ; 2 y 6 ; 3 y 7

Conjugados Internos 4 + 5 = 180 ; 2 + 6 = 180

Conjugados Externos 1 + 8 = 180 ; 2 + 7 = 180

AB

C D

1 2

4 3

5 6

8 7

Q

Q1

M N

A B

S

S

1 24 3

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1.- Si CDAB y ,QQ es secante y M = 70, encontrar el valor de los dems ngulos

2.- Si AB II CD y MN PQ y PFB = 110, hallar el NGH.

3.- Si MN II PQ, AB es secante, OL es bisectriz del MOG y MOL = 25 Cuntovale BGQ?

M

GP Q

B

A

C

M P

O

G

F

H

B

D

N Q

A B

C D

K

I

L

M N

O P

J

O

A

L

N


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4.- De la figura. AB MN y AOC = 138. Cunto vale el NMC?


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TRIANGULOS.ACTIVIDAD DE APERTURA.

Actividad previa para recordar algunas caractersticas del tringulo y sudiversificacin en nuestro contexto:

Problemas de iluminacin, otra vez Jos el brujo, pero no el de los cuentos,

porque ese se llama Pepito, quiere que le ayudes a formar ciertas figuras usando una

lmpara incandescente (foco de los que usamos en la casa), cmo sugeriras a Pepe el

brujo, para que con una lmpara y una hoja de cartoncillo forme las siguientes figuras:

Un punto.

Una lnea recta.

Un cono.

Un cilindro.

Una circunferencia.

Una elipse.

Un cuadriltero.

Un tringulo.

Una vez que has logrado construir las figuras anteriores, explica lo que

aprendiste a tu equipo y compartan con sus compaeros de grupo estas experiencias.


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Otra vez Pepe el brujo y no Pepe el grillo, dijo que podra construir cualquier tipo

de tringulos y Rene Cruz el norteo lo ret y le propuso que si era cierto le

construyera los tringulos de manera que los lados dados en centmetros fueran de lasiguiente forma:

1) 12, 14 y 18.

2) 12, 14 y 26.

3) 7, 9 y 16.

4) 6, 9 y 17.

5) 3,4 y 5.

6) 10,10 y 10.

7) 15, 15 y 18.

Verifica si lo que propuso el norteo, hace que Pepe el brujo cambie de parecer,

te sugerimos que construyas los tringulos con tiras de papel de tu libreta haciendo que

cada cuadro equivalga a un centmetro o mediante popotes.

Te proponemos tambin que una vez que haz construido los tringulosanteriores, Qu nombre les daras a cada tringulo y porque?, por la forma que tienen

estos cmo los agruparas?

Una vez que has construido con los materiales antes mencionados las figuras,

intercambia lo que aprendiste de esto con tus compaeros de equipo y hagan una

presentacin para todo el grupo permitiendo el intercambio de experiencias, reguladas

por el facilitador.


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Definicin, notacin y clasificacin de tringulos

Definicin de tringulo: Es una figura cerrada, formada por tres rectas que se

cortan dos a dos.

Tambin se considera como el polgono ms sencillo que consta de tres lados

que forman entre s tres ngulos y tres vrtices.

La notacin de un tringulo es:

ABC

Investigar: cul es la clasificacin de los tringulos?

B

C

A


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ACTIVIDAD DE APERTURA

Para lograr hacer esta actividad te sugerimos que investigues en el medio

que tengas a la mano (libros, Internet, biblioteca, etc.) los puntos y rectas

notables del tringulo.

Materiales: Hoja de papel tamao carta y Colores.

Procedimiento:

Con una hoja de papel forma un cuadrado, dobla el cuadrado en sus diagonales,formando cuatro tringulos. Encuentra los puntos notables del tringulo, utilizando un

tringulo para cada uno de ellos.

Cul es tu conclusin?

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


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Rectas y puntos notables del tringulo

Armando tiene un jardn en forma de tringulo rectngulo y un perro el cual cuida

la casa; Armando desea comprar una cadena que le permita al perro desplazarse por

todo el jardn. En qu parte del jardn debe fijar la cadena para comprar la menor

cantidad?

R = Circuncentro

S el tringulo del jardn no fuera rectngulo, En donde colocara Armando el

amarre de la cadena?

R = Circuncentro

Escribe en que otros lugares aplicaras los razonamientos anteriores para

resolver otros problemas parecidos.

Glosario de trminos.

A continuacin definiremos algunas rectas que pueden ser asociadas a

diferentes figuras geomtricas pero en este momento las asociaremos al tringulo.

Mediat rz: Es una lnea recta que es perpendicular a un segmento en su punto

medio.

Circuncentro: Punto de interseccin de las tres mediatrices en un tringulo.


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Mediana: Es el segmento de recta que parte de un vrtice al punto medio del lado

opuesto de un tringulo.

Bar icentro: Punto de interseccin de las tres medianas en un tringulo.

Altura: Es la perpendicular trazada desde el vrtice al lado opuesto su prolongacin.

Ortocentro: Punto donde concurren las alturas en un tringulo.

Bisectr iz: Es un rayo que parte de un vrtice a lado opuesto, dividiendo al ngulo en

dos partes iguales.

Incentro: Punto de interseccin de las bisectrices de los ngulos interiores del tringulo.

En los siguientes tres tringulos, como quedaran trazados los ortocentros,

E


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En los siguientes tres tringulos traza las medianas, y menciona el punto de

interseccin de ellas.

En los siguientes tres tringulos traza las mediatrices y nombra el punto de interseccin

de ellas.

En los siguientes tres tringulos traza las bisectrices y ubica el punto de interseccin de

ellas y determina la circunferencia.


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Utilizando tu juego de geometra realiza los siguientes trazos:

De la actividad anterior realiza las anotaciones correspondientes, que te permitan

determinar sus caractersticas, ubicaciones y adems su similitud y diferencias.

Puntos Notables Tringulo Equiltero Tringulo Issceles Tringulo Obtusngulo

Ortocentro

Baricentro

Circuncentro


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Incetro


En una estacin de bomberos estn realizando los clculos para determinar la

longitud de una escalera telescpica considerando la altura del edificio ms grande de

esa ciudad, se recopilaron los siguientes datos: tiene 7 pisos, una altura de 2.5 metrospor nivel, para esto te pedimos les ayudes a determinar las dimensiones para cada nivel

s el vehculo queda separado del edificio una distancia de 4 metros.


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Demostracin de Teoremas

Demostracin del teorema de Pitgoras

Prctica.

Material:

Cartulina de colores

Tijeras

Pegamento

b a

b ab b2 ab/2 ab/2 b

a

a ab c2

c aa

b ab/2 ab/2

a b a b

Cuadro 1 Cuadro 2

Recortar en cartulina el cuadro 1

Divide los rectngulos ab a la mitad, mediante una diagonal.

Pgalos en el cuadro 2.

Como el cuadro 1 y 2 son congruentes se obtiene que a2+ b2 = c2

a c


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b

Teorema de Pitgoras

En todo tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos.

Del teorema anterior se deduce los siguientes corolarios.

1.- En todo tringulo rectngulo la hipotenusa es igual a la raz cuadrada de la suma de

los cuadrados de los catetos 222 bac

B

a c

C b A

Sacando raz cuadrada en ambos miembros.

22 bac

2.- En todo tringulo rectngulo cada cateto es igual a la raz cuadrada de la diferencia

entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto.

222 bac

Despejando a de 222 bca

Se tiene que 22 bca

Despejando b de 222 acb


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Se tiene que 22 acb

Aplicacin de lo aprendido.

Calcula el valor de la hipotenusa del tringulo rectngulo, considerando el valor

de los catetos.

a=?b=4c=6

R= 7.2

Un poste de 20 metros de altura esta sujetado de la parte superior con un cable, el cual

est anclado a una distancia de 21 metros del pie del poste:

20m x=?

21m

Cuntos metros de cable se utilizaran? R= 29 m.

En el mago de oz pelcula clasica de 1939, el espanta pajaros, al adquirir un

cerebro dice los siguiente: La suma de la raz cuadrada de cualquiera de los dos

lados de un tringulo isceles es igual a la raz cuadrada del lado restante . De un

ejemplo que demuestre que este enunciado es incorrecto.

A

C

B

a

c

b


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Elabora mensajes para describir alguna relacin o comportamiento de cada

tringulo, s trazas lneas paralelas a uno de los lados:

Anota tus observaciones en el espacio dejado a proposito: ________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

____________________________________


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Teorema de Tales

El teorema de Tales afirma que todo sistema de paralelas divide a dos

transversales en segmentos proporcionales.

Casos de semejanzas en tringulos.

Primer caso:

Dos tringulos son semejantes si dos ngulos de uno de ellos son

respectivamente congruentes con dos ngulos del otro.

Analicemos los ngulos de los siguientes tringulos.

A A

C C

G G

70 50 70 70 50

C G C G

Si medimos con el transportador los ngulos A y A obtenemos en cada caso 60

Por lo tanto : A C G ~ ACG

De lo anterior podemos deducir:

1.- Todos los tringulos equilteros son semejantes.

2.- Dos tringulos issceles son semejantes si tienen iguales un ngulo de la base.


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3.- Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen congruente un ngulo

agudo.

Segundo caso:

Dos tringulos son semejantes si dos ngulos de un tringulo son proporcionales

a los lados de otro y los ngulos comprendidos entre ellos son iguales.

Ahora analicemos dos lados y el ngulo comprendido:

Comparando los lados tenemos:

llll GE

EG

FE

EF

Si medimos con transportador los ngulos F y F, G y G, comprobamos que son

congruentes.

F F = 30 G G= 90

Por lo tanto:

E F G EFG

Deduciendo, podemos afirmar lo siguiente:

GG

E

EF

F

60

60


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Dos tringulos rectngulos son semejantes si los catetos de uno de ellos son

proporcionales a los del otro tringulo.

Tercer caso:

Dos tringulos son semejantes si los tres lados de uno de ellos son

proporcionales a los lados del otro.

La homlogos son las que se oponen a un mismo ngulo

Analicemos los lados de los siguientes tringulos

M

K L K L

Comparando los lados proporcionales:

MK

KM

ML

LM

LK

KL porque

15

10

3

2

6

4

Midiendo con el transportador los ngulos 1KyK , 1LyL

1MyM comprobamos que son congruentes.

^ ^ ^ ^ ^ ^K K= 52 ; L L = 90 ; M M= 38

Por lo tanto:

K L M ~ KLM

102

4

3

6

15

M


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Problema No. 1.- El rbol mas frondoso del estado de Veracruz se encuentra en el

jardin de la ciudad de San Andrs Tuxtla. Calcule su altura si proyecta una sombra de28 m. en el momento que un poste de 6m de altura proyecta una sombra de 8m.

Problema No. 2.- Calcular la altura del edificio.

6

h

28 8 m

h= 21 m.

7 m

10 m

42 m

h= 60 m.


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3.- La sombra de un poste es de 10m en el instante en que la sombra de una varilla de

2 mmide 5 m, colocados poste y varilla como se indican en la figura Cul sera la

altura del poste ?

4.- Calcula la anchura del ro, segn la figura.

8 mD

A 28 m C 15 m

E

R = 52.5 m

Varilla de 2 m

Poste

h

10 m

5 m

h = 4 m


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Polgonos

Prctica:

Estimar visualmente reas y permetros

Materiales:

1 Objetos (puertas, pizarrn, cuadernos, escritorio, etc.)2 Cinta mtrica

3 Rota folio

4 Plumones o marcadores

Procedimiento:

a) Formar equipos de (cinco) estudiantes

b) Nombrar un coordinador

c) Cada equipo elegir su objeto

d) El responsable preguntar a cada integrante cual es el rea y permetro estimado de

l.

e) Registrar los datos en el cuadro dado.

f) Despus el equipo utilizando una cinta mtrica, mide sus lados para obtener

permetro y el rea y compara los resultados


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Cuadro de datos

Equipo Permetro rea ObservacionesEstimado Real Estimada Real

Obeto

Promedio


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Definicin, notacin y clasificacin de polgonos.

Qu es un polgono?

Polgono es la figura plana cerrada, limitada por rectas, llamadas lneas

poligonales o contorno.

La palabra polgonosignifica por sus races: Poli(muchos) y gonos (ngulos),

es decir, figura de muchos lados.

Poligonal: son los segmentos que no pertenecen a una misma recta, ordenados de

manera que los segmentos intermedios tengan un extremo en comn.

Poligonal cerrada: es una poligonal en la que el extremo del ltimo segmento y el

origen del primero coinciden.

Las figuras siguientes nos muestran algunos polgonos


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Notacin:

Los polgonos se clasifican por el nmero de lados.

3 Lados.- Tringulo

4 Lados.- Cuadriltero

A partir de cinco lados se nombra con el nmero de lados en griego y el sufijo gono(lado).

Ejemplo

Pentgono.- Cinco lados

Octgono.- Ocho lados

Atendiendo al nmero de lados, los polgonos, se clasifican de la siguiente manera:

Numero de Lados Nombre

3 Tringulo

4 Cuadriltero5 Pentgono

6 Hexgono

7 Heptgono

8 Octgono

9 Enegono

10 Decgono

11 Undecgono

12 Dodecgono

15 Pentadecgono

20 Icosgono


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Los polgonos de n lados se llaman por el nombre de la cantidad de lados, as, el

polgono de 22 lados se llama polgono de veintids lados .

A ste tipo de polgonos se les conoce como polgonos regulares (tringulos

equilteros, cuadrados, pentgono, etc.), cuyas caractersticas son:

a. Tener lados y ngulos iguales.

b. Ser una lnea poligonal cerrada.

c. La suma de los ngulos exteriores miden 4 rectos (360).

Polgonos irregulares.

Tringulos: issceles y escaleno.

Cuadrilteros: rectngulo, rombo, romboide, trapecio, trapezoide y cuadrilteros

irregulares.

Poligonales.- Figuras de ms de cinco lados desiguales.

CLASIFICACIN DE CUADRILATEROS

ACTIVIDAD INTEGRADORA DE APERTURA.

Observa en tu entorno las figuras de cuatro lados que se encuentran all y haz unlistado de ellos indicando porque son cuadrilteros, si estos tienen algn elemento ms,haz tus anotaciones, comntalas con tu equipo, hagan una presentacin hacia el grupocomentando todas las caractersticas que encontraron en la identificacin de estos.

En equipo hagan un esquema o cuadro sinptico de las caractersticas que nospermiten clasificar los cuadrilteros:


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Dentro de lo que hiciste en el prrafo anterior llena la siguiente tabla:

Nombre yfigura

Caractersticasde los lados

Medida delos ngulosinteriores y

exteriores

Suma dengulos

interiores

Caractersticasde las

diagonales

Ladosparalelos


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TEOREMAS

Discute con tus compaeros Cunto da por resultado la suma de los ngulos

internos de todo cuadriltero? ______________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Cuntas diagonales tienen todos los cuadrilteros? ______________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Cunto da por resultado la suma de los ngulos perigonales de todo

cuadriltero? ___________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Analiza con tus compaeros de equipo Qu cuadrilteros tienen sus lados

paralelos? antalos en este espacio: ________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

En los paralelogramos cmo son sus lados opuestos, los ngulos opuestos y

los ngulos contiguos?: ___________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________


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Analiza con tus compaeros en qu punto se cruzan las diagonales de todo

paralelogramo?, escribe la conclusin del equipo en este espacio: _________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Analiza con tus compaeros de equipo cmo son los ngulos contiguos de los

lados no paralelos de los trapecios?: escribe la opinin en este espacio: ____________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Comenta con tus compaeros cmo son ngulos internos contiguos a una

misma base y las diagonales en todo trapecio issceles?, escribe en este espacio la

conclusin: ________________

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