1 Medio - Matematica - McGraw - Estudiante

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MATEMÁTICATexto para el Estudiante

Andrés Ortiz JiménezProfesor de Matemática. Licenciado en Educación.Magister en Enseñanza de las Ciencias.Facultad de Educación, Universidad de Concepción.

Cristián Reyes ReyesDoctor en Matemática. Centro de Modelamiento Matemático, Universidad de Chile.

Marisol Valenzuela ChandíaProfesora de Matemática.Facultad de Filosofía y Humanidades.Licenciada en Matemática.Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.Coordinadora de Ciencias y Matemáticas EDUCAUC.

Eugenio Chandía MuñozProfesor de Matemática y Computación.Facultad de Educación, Universidad de Concepción. Estudios de Magíster en Matemática.Facultad Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Concepción. Estudios de Magíster en Educación.Facultad de Educación, Universidad de Concepción.

SANTIAGO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRIDMÉXICO • NUEVA YORK • SAN JUAN •SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SÂO PAULO

AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHISAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TORONTO

1er

Año Medio

Matemática 1˚ Año MedioTexto para el Estudiante

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otro método sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

DERECHOS RESERVADOS © 2009.

McGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE CHILE LTDA.

Carmencita 25 - Oficina 51, Las Condes.

Tel: 562- 661 3000

Santiago de Chile.

AutoresAndrés Ortiz Jiménez.Cristián Reyes Reyes.Marisol Valenzuela Chandía.Eugenio Chandía Muñoz.

EditoraPaola González M.

Correción de estiloPatricia Romero M.

Coordinadora de arte Pamela Madrid F.

PortadaPamela Madrid F.

IlustracionesFelipe Tapia R.Cristian “Chamán” González & Carlos “Vieje” Carrasco (Invasor Studio)

Archivo gráficoBanco de fotografía McGraw-Hill.

La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.

ISBN: 978-956-278-222-7

N˚ de Inscripción: 186.066

Impreso en Chile por: RR Donnelley Chile.

Se terminó de imprimir esta primera edición de 285.260 ejemplares, en el mes de noviembre de 2009.

Este libro pretende ayudarte a abrir las puertas al conocimiento matemático, pero la llaves de esas puertas

las tienes tú y son el trabajo, la reflexión, la investigación y la falta de temor a hacerse todas las preguntas por absurdas que parezcan en primera

instancia. Preguntas como: ¿es el cero un número par?, ¿puedo llenar con baldo-sas hexagonales todo el plano? Parecen triviales, pero sin duda te llevarán a definiciones

precisas y propiedades que al tenerlas claras podrás resolver las dudas.

Las matemáticas poseen verdad. Si los triángulos rectángulos los entendemos como hoy lo hacemos, entonces el teorema de Pitágoras es cierto; hoy y para siempre. Si tú demuestras un resultado mate-

mático, por ejemplo, que la suma de dos números pares es un número par, nadie puede decirte que ese resultado es falso, y si tu demostración alguien la entiende, no puede decirte no te creo, no es un asunto de fe,

es matemática. Esta es una razón para hacer o conocer las demostraciones, para dejar por sentada la veracidad de un resultado. Además, las demostraciones te permiten desarrollar habilidades de razonamiento matemático

referidas a la argumentación, para ello es necesario que tu comunicación sea clara. En este texto encontrarás varias invitaciones y pistas para hacer y seguir demostraciones. También te entregamos diferentes estrategias para enfren-tar estas pruebas.

La matemática además nos permite aproximarnos a la realidad y así lograr una mayor comprensión de la misma. Me-diante modelos matemáticos podemos inferir conclusiones referentes a procesos de la realidad, de las ciencias socia-les y naturales, además podemos anticipar resultados que nos ayuden a tomar decisiones con mayor certeza. En este libro encontrarás problemas que te invitan a presentar un modelo algebraico, reconociendo variables y sus relaciones que te ayudan a comprender el problema real.

Las actividades de este libro están dirigidas a lograr un conocimiento profundo de las ideas matemáticas que desarrollarás en él. Estas actividades están enmarcadas en contextos reales, informaciones obtenidas de dife-rentes medios: periódicos, Internet, artículos de organizaciones de salud, medioambientales, etc.

En definitiva, este texto lo hicimos pensando en ti, pensando en que logres un conocimiento significa-tivo de las matemáticas, para que descubras su belleza y utilidad. Motivados por el respeto y cariño

al conocimiento es que queremos que con esta obra descubras, a tu ritmo, los conocimientos y desarrolles las habilidades necesarias para hacer de ti un ciudadano crítico, investigador,

“preguntón”, y que, por sobre todo, intentes dar tus propias respuestas y argumentos. Esperamos que te sea útil y que con la ayuda de tu profesor, uses la llave para

abrir la puerta del conocimiento matemático, lo aprecies y lo utilices en diversas situaciones.

Los autores.

Estimado alumno, alumna

6

NÚMEROS . . . . . . . . . . . 10

Para recordar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1. Potencias de base positiva y exponente entero . 13 2. Propiedades de las potencias ........................... 15

Problema resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Notación decimal ............................................. 20 4. Notación científica ........................................... 21

Información en los medios . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Número racionales v/s números irracionales ..... 26 Suma y productos de números racionales ......... 27 Un número no racional .................................... 29 Notación decimal de los números racionales .... 31

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Transformación de notación decimal a fraccionaria ..................................... 34

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Un poco de historia:Los números irracionales ........................................ 39

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6. Aproximaciones ............................................... 44 7. Regularidades numéricas ................................. 46


Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Unidad

ÁLGEBRA . . . . . . . . . . . . . . 56

Para recordar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1. Variables .......................................................... 59

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2. Términos semejantes ....................................... 64

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3. Potencias en álgebra ........................................ 66

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4. Igualdades y ecuaciones ................................... 71



Información en los medios . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5. Generalidades numéricas ................................. 79

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6. Patrones .......................................................... 86



Un poco de historia: Los polinomios .................... 90 7. Producto de polinomios ................................... 91

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8. Factorización: primera parte ............................. 95 9. Sigamos distribuyendo ..................................... 97

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810. Productos notables: el cuadrado del binomio ... 9911. La suma por la diferencia ............................... 100

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112. Factorización: segunda parte ......................... 10213. El cuadrado es lo máximo .............................. 10314. Demostración del Teorema de Pitágoras ......... 105

Información en los medios . . . . . . . . . . . . . . . 10715. Función lineal y función afín .......................... 108

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11116. Función ......................................................... 112

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11517. Grafico de una función afín ........................... 11618. Interpretación de gráficos .............................. 120

Actividades finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

• INDICE DE CONTENIDOS•

Unidad

7MATEMÁTICA

GEOMETRÍA . . . . . . . . . . . 128

Para recordar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 1. Ubiquémonos en un sistema de referencia ..... 131 2. Figuras en el Plano Cartesiano ....................... 133 3. Visualización del Plano Cartesiano con Geogebra ................................................ 134

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4. Mingaco de traslado ...................................... 136 Composición de traslaciones .......................... 139

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5. Reflexiones .................................................... 142 6. Figuras simétricas ........................................... 144

Aplicado lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7. Rotaciones ..................................................... 146 8. ¿Cómo rotar un punto? ................................. 148 9. Composición de isometrías ............................ 14910. ¿Qué pasa con la composición de reflexiones? 151

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15211. Teselaciones regulares .................................... 15612. Vitral ............................................................. 159

Aplicado lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16013. Congruencias ................................................ 161

Aplicado lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16514. Triángulos congruentes .................................. 166

Aplicado lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16915. Aplicaciones geométricas ............................... 170

Problema resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17216. Programas computacionales .......................... 17317. Puzles geométricos ........................................ 174

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Un poco de historia:Euclides y sus elementos ...................................... 176

Información en los medios . . . . . . . . . . . . . . . 178


Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Unidad

DATOS Y AZAR . . . . . . . 184

Para recordar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 1. ¿Qué dice? .................................................... 187 2. Acumulado .................................................... 190 3. Si tengo información, ¿cómo la presento? ..... 191 4. ¿Qué se puede hacer con Excel? .................... 193

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5. ¿Quién debe representar a los datos? ............ 197 6. Medida de posición ....................................... 200

Problema resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7. ¿Se cumple para toda la población? ............... 203 Método de selección de la muestra ................ 204 8. El error muestral y el tamaño de la muestra ... 206 9. Simetría y dispersión de datos ........................ 20710. Variabilidad en los gráficos ............................. 20811. ¿Cuál es la probabilidad de la frecuencia? ...... 20912. Problemas complementarios con las probabilidades ................................... 21113. Árbol de probabilidades ................................. 21214. Contando las probabilidades .......................... 213

Un poco de historia:La estadística ....................................................... 214

Un poco de historia:Probabilidad en la historia .................................... 215

Aplicando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Información en los medios . . . . . . . . . . . . . . . 218


Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Unidad

8

88

Álgebra

problema resuelto

apliquemos

Solución:

El primer cuadrado está formado por 6 palos, que corresponden a cada lado y a las dos diagonales. El segundo en cambio, necesita un palo menos que antes, pues uno de los lados, el de la izquierda, ya se tiene del cuadrado anterior. Entonces para el segundo cuadrado se necesita 6 5 11+ = palos. Para el siguiente, son 5 palos más del paso anterior así son 6 5 5 6 2 5+ + = + ⋅ .

En general, para el cuadrado número n necesitamos:

6+5n cuadrados.

En particular, cuando n=110 se necesitará 6+5·110 = 556 palos.

Don Víctor en Ovalle está cerrando un terreno con una cerca de la siguiente forma:

Cada vez que necesita agrandar la cerca, agrega maderos para formar un nuevo cuadrado con sus dos diagonales. Don Víctor calculó que para cerrar todo el terreno necesita una cerca formada por 110 cuadrados.

Este señor le pide a su hijo Mateo que le ayude a cor-tar los palos. “¿Cuántos necesitamos?”, pregunta Ma-teo. “Corta, en el camino vamos viendo cómo anda la cosa”, responde su padre. Sin embargo, Mateo, de todos modos, decide hacer los cálculos de manera de no realizar trabajo de más. Veamos sus cálculos.

1. Considera la fórmula 3n + (n – 1)(n – 2) (n – 3) (n – 4). Evalúa esa fórmula para n=1,2,3,4. Sin calcular ¿cuál crees tú que será el término para n= 5? Ahora calcúlalo, ¿corresponde a lo que pensabas?

Si tienes la secuencia 1, 2, 3, 4, 5, ¿se puede saber cuál es el siguiente término?

14

Números

Recordemos que en octavo básico, para anotar la multiplicación repetida de un mismo factor, usábamos notación de potencias. Así por ejemplo, para denotar la multiplicación

10 .10 . 10 . 10 . 10

usábamos la notación 105,

es decir, multiplicamos el 10 por sí mismo 5 veces, que en la situación anterior, corresponde a los computadores que se infectan exactamente el día 5. Es decir, cien mil computadores resultan infectados el quinto día. Por lo general, si queremos anotar la multiplicación de n veces el mismo número a � �, lo hacemos así:

a a a a a an = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅...

Es importante notar que al decir n veces, estamos pensando en n como un número entero positivo. Ahora bien, piensa en la siguiente situación:

A Antonia le inyectan un millón de unidades de cierto antibiótico para curar una

amigdalitis que la tiene a mal traer. El antibiótico mata cada día los 45

de las bacte-

rias que están en el cuerpo de Antonia. Es decir, al segundo día, sólo tendrá 15

de las

bacterias que tenía el día que le inyectaron el medicamento.

Al tercer día tendrá 15

de las bacterias que tenía el día anterior,

es decir, 15

15

2

2

= de las que tenía el primer día.

¿Cuántas bacterias habrá en el cuerpo de Anto-nia el día n?

Tendrá... 15

15

1

1

=−

−

n

n

de las bacterias que tenía al inicio. ¿Puedes explicar por qué?

1. Completa en tu cuaderno la tabla que presentamos a continuación, respecto a las bacterias de Antonia:

DíAS 1 2 3 4 5 6

Fracción de la cantidad inicial de bacterias 115 ? ? ? ?

2. Explica cómo calcular 2412

2

, sin tener que calcular 242 ni 122.

actividades

notanLa notación que hoy usa-mos en matemáticas se ha desarrollado durante mu-chos años. Por ejemplo, la notación de potencias, que tú aprendes hoy se debe a: Stevin, S. (1598-1620); Viete, Francois (1540-1603) y Des-cartes, R. (1596-1650).

Antes de ellos se escribía 3x.x.x para denotar 3x3. Imagínate lo que sería ha-ber sido estudiante en esos tiempos.

Es importante destacar que el signo = se usa regular-mente en matemáticas con posterioridad a esta época.

24

Números

apliquemos

Para entender lo terrible que es la epidemia del SIDA en África, es necesario saber qué fracción del total de infectados pertenece a ese continente. Según los datos entregados por la OMS existen: 4 107⋅ personas in-fectadas de SIDA, esto signifi ca que 40 000 000 de habitantes del planeta padecen esta terrible enfermedad, de los cuales, 26 millones son africanos, esto es, utilizando notación científi ca: 2 6 107, ⋅ habitantes africanos sufren de esta enfermedad, es decir:

2 6 10

4 10

2 64

1320

65100

7

7

, ,⋅⋅

= = =

es la parte de africanos que tiene SIDA respecto del total mundial de enfermos. Por tanto, de cada 20 en-fermos de SIDA 13 son africanos, o lo que es lo mismo 65 de cada 100 pacientes de esa enfermedad son africanos.

SIDA Según el informe realizado por la Organización Mun-dial de la Salud y publicado en diciembre de 2004, has-ta ese año había alrededor de 4 107⋅ personas infecta-das con el virus del SIDA.

El continente africano es el más afectado, ya que 26 millones de habitantes de ese continente han contraí-do la enfermedad.

América Latina y el Caribe tienen alrededor de 1 8 106, ⋅ infectados. En cambio, en Europa Central y Occidental sólo 610 000 habitantes tienen el VIH.

La cobertura de tratamiento del SIDA en África Subs-ahariana es casi nula, por lo que se espera que en los próximos 2 años mueran entre 5 y 6 millones de perso-nas debido a la enfermedad en esas regiones.

1. Averigua con tus compañeros, cuántos enfermos de SIDA hay en Chile. La página www.vihsida.cl les puede servir o también www.minsal.cl ¿Qué parte de los enfermos de SIDA latinoamericanos y caribeños son chilenos? Y respecto al contexto mundial ¿cuántos enfermos de SIDA son chilenos? Reúnan sus averiguaciones y discútanlas en clase con el profesor.

2. ¿Qué parte del total de enfermos de SIDA representan los enfermos del centro y occidente de Europa?

3. El tratamiento del SIDA cuesta 5 000 dólares por enfermo al año si se realiza con medicamentos de marca y 800 dólares si se realiza con tratamientos genéricos. Si se tratara a toda la población africana contagiada con medicamentos genéricos en vez de medicamentos de marca, ¿cuánto dinero se aho- rraría? Responda en pesos chilenos utilizando notación científi ca.

información en los medios

54

Álgebra

1 Escribe como una sola potencia:

a) 73

73

2 5

⋅

−

b) 2 2

2

4 3

10

⋅ c) 6 25 5

2:( )−

2 Escribe a lo menos cinco múltiplos de:

a) 4 b) 15 c) 7 d) 23

3 Cuáles son los divisores de:

a) 36 b) 75 c) 120 d) 71

4 Calcula el área de las siguientes fi guras:

a)

2,5 cm

1,2 cm b)

3 cm

c) 4 cm

0,8 cm

d)

5 cm

2,1 cm

2 cm

5 Encuentra el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones:

a) 2 17 21x − = b) 8 3 5 36x x− = + c) x x+( ) = +4 5 100 d) 25

14

53

x + = −

6 Determina el volumen de los siguientes cuerpos geométricos:

a) 2 cm

2 cm

4,3 cm

b)

1,5 cm

3 cm

c)

2 cm

d)

1 cm

5 cm

para recordar

Álgebra

Al fi nalizar esta Unidad serás capaz de:

Temas que estudiaremos en esta Unidad:

Modelar situaciones o fenómeno mediante funciones lineales y afines.

Representar situaciones que involucren cantidades variables.

Ecuaciones de primer grado con coefi cientes numéricos y

literales.

Términos semejantes.

Factorización de polinomios.

Lenguaje algrebraico básico.Conjeturar y demostrar propiedades numéricas.

Resolver ecuaciones de primer grado con coefi cientes numéricos y literales..

Usar e interpretar convenciones algebraicas.

Productos notables.

Función afín y función lineal.

Unidad

En el 2005 se celebró el año mundial de la Física. En ese

año se cumplieron cien desde que Albert Einstein publicó

su Teoría Especial de la Relatividad. Al año 1905 se le de-

nomina Annus Marabilis debido a la gran revolución que

se produjo tanto en la física como en la Ciencia en ge-

neral por los descubrimientos de Einstein. La Teoría de la

Relatividad, utiliza resultados anteriores, debido a Loren-

tz, quien había defi nido transformaciones que involucran

las velocidades relativas de los observadores. La Teoría de

la Relatividad (TR) postula que la velocidad de la luz (que

es c m s= ⋅3 108 / en el vacío) es la velocidad límite, esto

es, nada se mueve más rápido que la luz. Otro de los

resultados de la TR es que la energía es proporcional a la

masa con constante el cuadrado de c, es decir, E mc= 2.

Un resultado sorprendente en la TR es que la masa no es

constante en el movimiento, es decir, la masa de un obje-

to depende de la velocidad con que se mueve, de hecho,

si m0 es la masa de un objeto en reposo, y m la masa

cuando se mueve con velocidad v, se tiene la siguiente

relación:

mvc

m22

021−

=

Lo que dice, por ejemplo, que si una partícula se mueve a

una velocidad de 0,9 c la masa aumenta a más del doble

que la masa del reposo.

2Unidad

• ESTRUCTURA GRÁFICA•

Inicio de Unidad

Desarrollo de contenidos

Esquema representativo de la relación entre los contenidos de la unidad y las metas de tu aprendizaje.

Nombre de la Unidad.

Texto introductorioa los contenidos de la unidad.

NotaDestaca ciertos conceptos que debes tomar en cuenta para una mejor comprensión.

Problema resueltoEs un ejemplo de solución de problemas propuestos, que entrega un método de resolución.

Número de la Unidad.

Para recordar Desarrollando estos ejercicios activarás tus conocimientos previos.

Información en los medios Extractada de diversos medios de comunicación, la que podrás comprender con la ayuda de la matemática.

ActividadesPropuesta de desarrollo de habilidades página a página.Encontrarás algunas marcadas con asterisco (*), que representarán un desafío para tí.

Álgebra

Al fi nalizar esta Unidad serás capaz de:



Ecuaciones de primer grado con coefi cientes numéricos y

literales.


Resolver ecuaciones de primer grado con coefi cientes numéricos y literales.

56




Productos notables.

Factorización de polinomios.Usar e interpretar convenciones algebraicas.

9MATEMÁTICA

2

81

Unidad

MATEMÁTICA

aplicando lo aprendido

1 La sucesión de fi guras parte con un primer diagrama de una fi la de 3 cuadrados; el segun-do diagrama toma el diagrama anterior y colo-ca 2 cuadrados sobre los 2 primeros; el tercer diagrama toma el diagrama anterior y coloca 2 cuadrados sobre las dos columnas mayores. Así continúa esta sucesión aumentando de a 2 cuadrados las dos primeras columnas.

a) ¿Cuántos cuadrados son necesarios para los diagramas séptimo, decimocuarto y vigési- mo?

b) En esta sucesión de fi guras, ¿es posible construir una que tenga 86 cuadrados?

c) Determina la cantidad de cuadrados para el diagrama n.

2 La fi gura siguiente muestra triángulos equiláte-ros formados por pequeños círculos, partiendo con uno de lado 2 círculos, el siguiente de lado 3 círculos y así continúan los triángulos aumen-tando consecutivamente la medida de su lado en un círculo.

a) Realiza una tabla relacionando el lado del trián- gulo (medido en círculos) y cantidad de círculos que lo conforman. Hazlo hasta la fi gura 10.

b) Con la ayuda de la tabla anterior conjetura la cantidad de círculos para la fi gura 16.

c) Expresa la fórmula que establece la cantidad de círculos para la n-ésima fi gura.

3 La fi gura muestra cuadrados ordenados de la si-guiente manera: la primera fi gura por tres fi las de uno, dos y un cuadrado, respectivamente; a la segunda fi gura se le agrega un cuadrado a todos los cuadrados que conforman el borde de la fi gura anterior. De esta manera se obtie-ne cada fi gura posterior tomando la anterior y pegándoles cuadrados a los que conforman el borde de dicha fi gura.

a) Construye la cuarta y quinta fi gura.

b) ¿Cuántos cuadrados necesito para cada una de las fi guras, desde la sexta hasta la décima?

c) ¿Cuántos cuadrados necesito para la fi gura n?

4 Si n es un número natural, evalúa 25 2− n, para valores de n entre 10 y 20.

5 La expresión 55

−+

nn

describe el término general

de una sucesión para n un número natural.Des-

cribe esta sucesión para los primeros 12 núme-

ros naturales. Conjetura y describe, sin calcular,

los siguientes 10 términos de esta sucesión.

1

37

Unidad

MATEMÁTICA

LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Un número real muy conocido es π que es el cuociente constante entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. Esta relación proporcional entre el diámetro y el perímetro de la circunferencia se conocía desde la antigüedad por los pueblos egipcio, babilonio, chino, sumerio y hebreo, entre otros. Además, todos ellos tenían estimacio-nes de π , por ejemplo, en el papiro de Rhind, que data del año 1800 antes de nuestra era, se lee:

el área de un círculo es como la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro

del círculo disminuido en 19

.

lo que en el fondo dice es que los egipcios aproximaban π como 25681

3 16049≈ , .

En la Biblia, en el Libro de los Reyes, se lee:

Hizo fundir, asimismo, un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos.

Si se lee con atención, se puede deducir que el pueblo hebreo consideraba a π como 3, de nuevo un número racional. En la antigua China se aproximaba π por 3,1724. En

Babilonia por 318

; siempre números racionales.

Sin embargo, fue Arquímides (287-212, a de C) quien describió un método para cal-cular el área de la circunferencia, y de paso, aproximar π . El método consiste en encajonar el área del círculo con polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia.

Arquímedes logró decir que π está entre 31071

y 317

.

Lo sorprendente es que recién en 1770 el ma-temático alemán de origen francés, Johann Heinrich Lambert (1728-1777), demostró que π es irracional, es decir, ¡a la humanidad le llevó miles de años demostrar que π no es una fracción! Esto muestra que, en ge-neral, es muy difi cil determinar si un número

real es o no irracional. El número 2 es irra-cional, pero su cuadrado no lo es, lo mismo se preguntó respecto de π , ¿será su cuadrado racional? Fue el matemático francés Andrie Marie Legendre (1752-1833) quien en 1794 demostró que π 2 no es racional.

ADRIEN-MARIE LEGENDRE(1752-1833)

Matemático y físico francés.

A él se le deben grandes avances en matemática, geometría, cálculo, teo-ría de números, funcio-nes elípticas, entre otras áreas que le deben a Le-gendre grandes resulta-dos. Legendre demostró en 1794 la irracionali-dad de π 2 .

Encajonamiento.

0

P= d�

un poco de historia

• ESTRUCTURA GRÁFICA•

Cierre de Unidad

Actividades finalesEjercicios graduados de transferencias de aprendizajes.Encontrarás algunos marcados con asterisco (*), que representarán un desafío para tí.

Un poco de historiaSección que te entrega una visión histórica de cómo se ha formado la mate-mática.

AutoevaluaciónPropuesta de evaluación de tus conocimientos de la Unidad.

Aplicando lo aprendidoProfundiza, apoya y confirma tus conocimientos por medio de la aplicación práctica de los contenidos.Encontrarás ejerci-cios marcados con asterisco (*), que representarán un desafío para tí.

3

137

Unidad

MATEMÁTICA 1o Medio

Las traslaciones las anotaremos T(a,b); donde el par ordenado (a,b) denota las com-ponentes del vector de traslado, lo que se entiende por trasladar a unidades en la dirección horizontal y b unidades en la dirección vertical. Así si a es positivo se traslada a lugares a la derecha, pero si a es negativo se traslada −a puestos a la iz-quierda. Del mismo modo, si b es positivo se traslada b puestos hacia arriba y si b es negativo se traslada −b puestos hacia abajo.

Por ejemplo, vemos abajo que hemos trasladado la casa de Lautaro según la trasla-ción T(−12,−3) o bien , Tv , donde v

= (−12,−3), es decir, 12 puestos a la izquierda

y 3 puestos hacia abajo.

investigai

¿Cuál es la acción de la traslación T(0,b)? y ¿dela traslación T(a,0)? y ¿de la traslación T(0,0)?

importantei

Lo que resulta al aplicar una traslación a una figura o un punto de llama la imagen de la traslación a esa figura o a ese punto.

actividades

1. ¿Cuál es la traslación que permite ir de A hacia A’? ¿Cuál es la traslación que permite ir de A’ a A? ¿Cuál es la relación entre estas dos traslaciones?

2. En general, ¿qué ocurre si aplicamos la traslación T(a;b) al plano y luego la traslación T(−a,−b)?

3. Traza los vectores de traslación de A hacia A’ y de B hacia B’. ¿Los vectores tienen la misma dirección? ¿Los vectores tienen el mismo sentido? ¿Los vectores tienen el mismo mo-dulo? ¿Qué fi gura geométrica determina los puntos ABB’A’? ¿Tiene alguna relación la fi gura geométrica con el sentido, orientación y módulo de los vectores antes determinados?

-6

-6

-7

A’

B’

A

12

3

Podemos pensar las traslaciones como movimientos de todo el plano, es decir, to-dos los puntos del plano se mueven según indica la traslación. Si la traslación dice que se muevan 3 puestos hacia arriba y 2 puestos hacia la izquierda, entonces todos los puntos se mueven en esa dirección.

¿Qué pasa si a la casa trasladada, le aplicamos la traslación T(−12, −3)?

CuidadoAlerta sobre posibles errores o ambivalencias respecto de un concepto.

RecuerdaSección que te ayuda a recordar lo que has visto en años anteriores.

92

Álgebra

1. Escribe el área de estas fi guras como suma de monomios:

a) b) c)

actividades

Vimos anteriormente que la ley distributiva, que aprendiste en la enseñanza básica, se puede representar geométricamente como muestra la fi gura a continuación:

a

b c

a a

b c

a

Es decir, el área del rectángulo grande es a(b+c), y por otro lado es la suma de las áreas de los rectángulos pequeños, es decir

a b c ab ac( )+ = + , para cualquier valor de a, b y c

Multiplicar un número por la suma de dos números es lo mismo que multiplicar el número por cada sumando y luego sumar los resultados, por ejemplo:

5 5 52 2( )xy x y xy x y+ = +

Recordemos que una propiedad de las potencias es, que si multiplicas potencias de igual base, los exponentes se suman, es decir, a a an m n m⋅ = + , esto será útil recor-dar cuando se distribuyan expresiones algebraicas, por ejemplo:

x y x y x y x x y y x y x y2 2 2 2 2 2 3 2 2 3( )+ = + = +

El paréntesis de la expresión a(b+c), signifi ca que a multiplica a la suma b+c. Si el paréntesis no estuviera, es decir, ab+c, a sólo multiplicaría a b. Por esto es impor-tante respetar los paréntesis.

Como la multiplicación es conmutativa, es lo mismo decir a(b+c) que (b+c)a, de modo que si el paréntesis está a la izquierda o a la derecha, para el resultado no es importante.

recuerdarEs importante recordar que x=x1, y que xnx=xn+1

cuidadocLa representación geo-métrica considera a,b,c números positivos, pero la ley distributiva es váli-da para cualquier trío de números reales.

InvestigaTe invita a indagar sobre diversos temas.

ImportanteSección que enfatiza algún concepto impor-tante tratado en la página.

Números

Al finalizar esta Unidad serás capaz de:

Multiplicar y dividir potencias.

Argumentar la veracidad de resultados.Resolver problemas.

Conjeturar acerca de la generalización. Regularidades numéricas.de

Describir y operar con números pequeños y grandes.

Comprender y emplear la relación entre el cambio de signo del exponente y el inverso multiplicativo de la potencia.

Potencias de base positiva y exponente entero.

Resolver problemas que impliquen el cálculo de operaciones con números racionales.

Estimar y aproximar resultados en la resolución de problemas.

Discriminar entre números racionales e irracionales.


utilizando Notación científica.

referentes a

Transformar de notación decimal a fraccionaria y viceversa.

Números racionales e irracionales.

10

1Unidad

Los virus computacionales constituyen la peor amenaza para la informática de los últimos tiempos. Actúan como plagas muy difíciles de eliminar y provocan daños irreversibles a nues-tros computadores.

Al 18 de diciembre del año 2005 el virus de-nominado Sober A.G, calificado como de alta peligrosidad logró, a través del correo elec-trónico, de los usuarios, infectar a 2 857 339 computadores en sólo 7 días.

¿Puedes imaginar cuántos de estos aparatos resultarían infectados en un mes o en un año si no encuentras el antivirus adecuado? ¿Cómo crees tú que ocurre esto?

11

12

1 Escribe los siguientes números en forma de notación decimal:

a) -5 b) 32

c) 23 d) 4 82, e)

−13

f) -52

2 Un día de invierno en la Antártica chilena el termómetro marcó una temperatura de 20oC bajo cero. El mismo día, en pleno verano caribeño, el termómetro marcó 35oC.

a) Ubica estas temperaturas en la recta numérica.

b) ¿Cuál es la diferencia de temperaturas entre estos dos lugares?

3 Analiza y determina, en cada caso, si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justifica tu respuesta.

a) 12

13

25

+ =

b) 78

1112

<

c) 200 es la quinta parte de 1 000

d) (-5)2 = -25

e) (22)3 = 25

f) En un cubo de arista 4 cm caben 64 cubitos de arista 1 cm.

g) Al dividir un número a por otro b resulta un número menor que a.

4 ¿Cómo encontrarías una fracción comprendida entre2135

2235

y ?

5 Se quiere construir un techo de 1 m de altura y 3 m de largo, como lo indica la figura de más abajo. ¿Cuál debe ser el largo de la viga si debe pasarse en 20 cm?

20 cm

3 m

1 m

6 Resuelve las siguientes operaciones:

a) − ⋅ +52

1534

9: b) 35

23

45

43

13

34

37

: :− ⋅ + − c) 32

1

14

+ d) 12

23

0 2538

−

+,

para recordar

1

13

Unidad


actividades

Potencias de base positiva y exponente entero

Un virus computacional es un fragmento de programa o un programa que se añade a un programa legítimo con la intención de infectar a otros. Existen virus compu-tacionales que llegan a tu computador mediante un correo electrónico, que incluso puede haber sido enviado desde el computador de un usuario conocido por ti. Éste ingresa a tu lista de direcciones y cada vez que abres tu correo, el intruso envía copias de sí mismo a las direcciones de tu lista. El virus llega al computador de tu amigo y se repite el proceso una y otra vez.

Acotemos el problema: imaginemos que el virus sale de tu computador en 10 co-rreos electrónicos, al día siguiente, de cada uno de los 10 computadores infectados salen 10 correos electrónicos con el virus y así sucesivamente; es decir, si el virus llega a mi computador hoy, mañana saldrían otros 10 correos infectados.

Si en el primer día el creador del virus lo envía a 10 usuarios, el día uno habría 10 computadores infectados. Cada computador infectado mandará diez correos electrónicos con virus y como tenemos 10 de esos aparatos, al segundo día habrá 10 . 10 = 100 computadores infectados. La tabla a continuación muestra los nuevos infectados en el día n.

1. Completa en tu cuaderno la tabla superior y extiéndela hasta n = 10.

2. En total, ¿cuántos computadores infectados hay al sexto día? Fíjate que la respuesta no es 100 000.

3. ¿Cuánto tiempo se requiere para infectar al menos un millón de computadores?

4. Explica por qué este modelo de propagación es real para valores pequeños de n, pero no se ajusta demasiado a la realidad para grandes valores de n.

5. Recuerda la notación de potencia que aprendiste en octavo básico y escribe, ¿cuántos nuevos contagiados habrá el día n?

día nNúmero

de nuevos infectados

1 10

2 100

3 1 000

4 10 000

5 ?

6 ?

14

Números

Recordemos que en octavo básico, para anotar la multiplicación repetida de un mismo factor, usábamos notación de potencias. Así por ejemplo, para denotar la multiplicación

10 .10 . 10 . 10 . 10

usábamos la notación 105,

es decir, multiplicamos el 10 por sí mismo 5 veces, que en la situación anterior, corresponde a los computadores que se infectan exactamente el día 5. Es decir, cien mil computadores resultan infectados el quinto día. Por lo general, si queremos anotar la multiplicación de n veces el mismo número a , lo hacemos así:

a a a a a an = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅...

Es importante notar que al decir n veces, estamos pensando en n como un número entero positivo. Ahora bien, piensa en la siguiente situación:

A Antonia le inyectan un millón de unidades de cierto antibiótico para curar una

amigdalitis que la tiene a mal traer. El antibiótico mata cada día los 45

de las bacte-

rias que están en el cuerpo de Antonia. Es decir, al segundo día, sólo tendrá 15

de las

bacterias que tenía el día que le inyectaron el medicamento.

Al tercer día tendrá 15

de las bacterias que tenía el día anterior,

es decir, 15

15

2

2

= de las que tenía el primer día.

¿Cuántas bacterias habrá en el cuerpo de Anto-nia el día n?

Tendrá... 15

15

1

1

=−

−

n

n

de las bacterias que tenía al inicio. ¿Puedes explicar por qué?

1. Completa en tu cuaderno la tabla que presentamos a continuación, respecto a las bacterias de Antonia:

DÍAS 1 2 3 4 5 6

Fracción de la cantidad inicial de bacterias 115 ? ? ? ?

2. Explica cómo calcular 2412

2

, sin tener que calcular 242 ni 122.

notanLa notación que hoy usa-mos en matemáticas se ha desarrollado durante mu-chos años. Por ejemplo, la notación de potencias, que tú aprendes hoy se debe a: Stevin, S. (1598-1620); Viete, Francois (1540-1603) y Des-cartes, R. (1596-1650).

Antes de ellos se escribía 3x.x.x para denotar 3x3. Imagínate lo que sería ha-ber sido estudiante en esos tiempos.

Es importante destacar que el signo = se usa regular-mente en matemáticas con posterioridad a esta época.

actividades

1

15

Unidad


recuerdarSi a > 0 y n,m se tiene que: an. am = an+m

Si n > m son números naturales y a > 0, entonces

aa

an

mn m= −

1. Calcula las siguientes potencias:

a) 32

4

b) −

13

3

c) 23

4

−

d) 63

2

e) 33

3

2. Explica por qué, sin hacer todos los cálculos, los resultados de a) y c), si se multiplican, resulta 1.

3. ¿Cuántos días deben transcurrir para que Antonia tenga sólo una millonésima de las bacterias que tenía al inicio?

2

cuidadocNo es cierto que 00 = 1, tampoco es 00 = 0

No está definida esa expresión.

Propiedades de las potencias

Como hemos visto en los problemas anteriores, hay situaciones en que surgen las potencias en problemas recursivos. Lo que ocurre en el paso n depende de lo que había en el paso anterior. Por ejemplo, en el problema de los virus computaciona-les, la cantidad de nuevos infectados es 10 veces mayor que de los que había en el caso anterior. En el caso de las bacterias en Antonia, cada día le quedan

15

de las que tenía el día anterior.

1o En general, si inicialmente se tiene una cierta cantidad a y en cada periodo si-guiente se considera la cantidad anterior multiplicado por a, entonces en el periodo n habrá an unidades de dicha cantidad.

Como hemos visto, a puede ser un número entero o una fracción positiva, en cual-quiera de estos casos tenemos que:

a a a a a a a a a a a an m⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅... ...

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = +a a a an m...

Nota que implícitamente estamos considerando n, m números naturales.

2o Del mismo modo, al considerar el cuociente de dos potencias se tiene:

aa

a a a aa a a a

aaaa

n

m =⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅......

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −... ...

aaa a a a an m

Cuando n es un número natural mayor que m.

Notemos que en el caso anterior, al tener n m= , se tiene que

aa

a an

nn n= = =−1 0

es por esta razón que es necesario notar que a0 1= cuando a ≠ 0

actividades

16

Números

3o Otra propiedad es una forma abreviada de calcular las potencias de una potencia,

es decir, ¿cómo calcular ( )an m , si a > 0 y n, m ?

Para responder esta pregunta basta recordar las definiciones de potencias: ( )an m es multiplicar m veces a n, esto es:

a a a a a an m n n n n n n n n( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + +... ...

= anm

Recordemos que al inverso multiplicativo de a lo anotamos por a−1 cuando a no es

cero. Es decir, aa

− =1 1.

Como 515

55

1nn

n

n⋅ = = , es decir, el número 5n y 15n son inversos multiplicativos, es

lógico anotar 515

1nn( ) =

−.

Además, si queremos extender la propiedad de potencias que acabamos de ver, para potencias de base un número positivo y exponente entero, se debería cumplir que:

5

15

− =nn

De hecho, es así como lo anotamos y se tiene en general:

aa

nn

− =1

con a > 0 y n

En resumen, podemos extender todas las propiedades de potencias de base positiva y exponente natural a propiedades de potencias de base cualquier fracción y expo-nente entero. Estas son: Si a es fracción y n,m se tiene:

aa

nn

− =1

a a an m n m⋅ = + aa

an

mn m= − a0 1=

1. Calcula las siguientes potencias: a) 3 2− b) 12

2

−

c) ( , )0 5 2 d) ( , )0 3 3− e) 23

2

−

2. Ordena de menor a mayor: 12

3

, 12

2

, 12

, 12

0

−

, 12

1

−

3. Si a > 0 y n > 0, ¿es cierto que an > a?

4. ¿Cuál es la última cifra de 624?

5. Una hoja cuadrada de papel de 1 m por lado, se dobla por la mitad, luego por la mitad y otra vez por la mitad y así sucesivamente. Confecciona una tabla donde en una columna se muestre el número de dobleces y en la otra el ancho del papel doblado. Otro alumno confeccionará una nueva tabla que en una columna muestre un número par de dobleces y en la otra el lado del cuadrado que resulta. ¿Qué pasa con la segunda columna en cada caso?, ¿van creciendo los valores?, ¿o se van achicando?, ¿cuántos cuadraditos quedan al octavo doblez?, ¿cuál es el grosor del papel que resulta al octavo doblez?, ¿cuál es el lado del cuadrado que resulta?

cuidadocCuando decimos que “po-demos extender” una pro-piedad queremos decir que es consecuencia de una propiedad anterior. Esta extensión es igual de válida y se puede de-mostrar. La demostración de ella se indicará en los ejercicios.

cuidadocNo es cierto que

anm= (an)

m

Por ejemplo, 1032 es un

número que tiene 9 ceros

después de un 1, es decir,

mil millones; en cambio,

(103)2

es un número for-

mado por 6 ceros des-

pués de un 1, es decir, un

millón.

actividades

1

17

Unidad


problema resuelto

En cierta localidad de un país vecino se está estudiando el efecto de administrar agua fluorada a la población, para disminuir la caries en las personas y mejorar la salud bucal. Varios estudios internacio-nales, recomiendan que el agua fluorada de consumo diario no debe tener una concentración menor a 0,5 miligramos por litro, ni más que 2,5 miligramos por litro. Sin embargo, hay otros estudios que dicen que el efecto no es mucho mejor respecto a los que no consumen agua fluorada. Por lo tanto, en cierto jardín infantil de ésta localidad se dispusieron tanques de 200 litros de capacidad cada uno, llenados con 180 litros de agua fluorada, con una concentración de 2,5 miligramos por litro, para ser administrados como consumo habitual a los niños del jardín que acuden al mismo en jornada comple-ta. Si éste consumo produce efectos positivos, respecto a un grupo control que continuará utilizando agua sin flúor, se implementará el agua fluorada de consumo público a toda la población.

Los investigadores capacitan a las parvularias, funcionarios y directivos del jardín infantil, para que rellenen los tanques de agua con agua pura, de modo de que la concentración va disminuyendo, pero sin bajar de los límites inferiores recomendados.

La indicación de los investigadores son las siguientes:

1. Llene el tanque con agua pura, hasta el tope y comience a dar a los niños en forma habitual. Además de preparar los alimentos con esta agua, en forma normal.

2. Cuando el nivel del agua llegue a los 180 litros vuelva a rellenar el tanque con agua pura. Y repita el proceso hasta que nosotros le indiquemos.

Los investigadores saben cuál es la cantidad que se puede rellenar el tanque sin disminuir la concentración de flúor a niveles inferiores de 0,5 miligramos por litro. ¿Puedes decidir ese momento?

Solución: Si suponemos que después de llenado el tanque la solución se distribuye homogéneamente en el tanque, podemos suponer que la concentración es constante en todo el tanque.

Entonces al principio había 2,5 · 180 = 450 miligramos de fluor en el tanque. Cuando se llena con agua

pura, hasta completar los 200 litros, de solución siguen habiendo 450 mg de flúor en el tanque. Pero

la concentración es 450200

mg litro/ = 2,25 mg por litro.

Como en el tanque de 200 litros solo puede haber una solución de flúor cuya concentración no se a menor que 0,5 mg por litro, entonces en el tanque de 200 litro no puede haber menos que 90 mg de flúor.

Es decir, tenemos que encontrar la cantidad de veces que se puede repetir el proceso de relleno, hasta que la cantidad de flúor en el tanque sea de 90 mg.

18

Números

Pues bien, cuando se saca 20 litros de solución del tanque, por primera vez, salen 2,25 mg por cada litro, es decir, cuando se sacan los primeros 20 litros, salen 2,25 x 20 = 45 mg de flúor, por lo tanto quedan en el tanque 450 – 45 = 405 mg. Al rellenar con agua la concentración es:

405200

2 025mg litro mg litro/ , /=

Cuando se sacan los segundos 20 litros, del tanque salen 2,025 x 20 = 40,5 mg de flúor, por lo tanto quedan en el tanque 405 – 40,5 = 364,5 mg. Al rellenar con agua la concentración es:

364 5200

1 8225, / , /mg litro mg litro=

Más generalmente, si en algún momento en el tanque lleno hay A mg de flúor en el tanque lleno, después de repetir el proceso, de quitar 20 litros de solución y rellenar con agua pura, se tendrá en el tanque:

A A A A A− × = − =20200

110

910

En el proceso siguiente se tendrá, 910

de lo que había, es decir 910

de 910

A. Por lo tanto en el paso

siguiente, se tendrá 910

2

A. En el paso siguiente de éste se tendrá 9

10

3

A. Y así sucesivamente. Es

decir, después de n procesos, desde que los investigadores dejaron los tanques en el jardín, se tendrá

910

n

A,, de miligramos de flúor en el tanque. Completando la tabla para diferentes valores de n se

tiene, con ayuda de una calculadora (o una planilla de cálculo) se obtiene:

n Cantidad de flúor en el tanque (mg)

1 405

2 364,5

4 295,245

6 239,14845

8 193,7102445

10 156,905298

12 127,0932914

14 102,945566

15 92,65100944

16 83,3859085

Por lo tanto se necesitan 15 procesos como los antes descritos, para mantener la concentración en los niveles sugeridos.

1

19

Unidad


4 Resuelve las siguientes operaciones:

a) 2 22 2− −

b) 3 3 3 12 0− ⋅ − +

c) 4 2

2

3 3

3

− −

−

+

d)

18

18

18

8 5

4

⋅

−

e) 12

23

1

+

−

f) 63

510

2 3

:

5 ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista 3 cm? Si ahora duplicamos su arista, ¿cuántas veces mayor es el volumen del nuevo cubo?, ¿qué ocurre si se triplica o cuadruplica el tamaño de la arista del cubo inicial?

6 Dibuja un diagrama que represente el árbol ge-nealógico de tu familia partiendo contigo, luego tus padres, tus abuelos, tus bisabuelos y así suce-sivamente. ¿Cuántos bisabuelos son?, ¿cuántos tatarabuelos?, ¿de cuántos miembros consta la quinta generación de tus antepasados?

7 * ¿Cuál es la cifra de las unidades de 284 ?, ¿y de 5100 ?

8 A Yael, su padre le presenta dos alternativas para juntar su dinero quincenal:

La primera consiste en abonarle $1 000 cada día hasta el día quince.

La segunda en que el primer día le abona un peso, el segundo día dos pesos, el tercer día el doble del anterior, y así sucesivamente, cada día duplica la cantidad del día anterior finalizando el día quince. ¿Cuál propuesta le conviene más a Yael?

1 Escribe como potencia:

a) 32

b) 27

c) 64 125⋅

d) 36 81⋅

2 Expresa como número decimal cada una de las siguientes potencias:

a) 5 3−

b) 2 2−

c) 32

2

d) 32

2

−

e) 17

3

−

f) 13

4

−

g) 3 4−

h) 611

0

3 Compara los siguientes números:

a) 42 y 24

b) 83 y 24

c) 63 y 2 43 3+

d) 7 52 2− y 22

e) 20 y 0

f) 2-2 y -22


20

Números

Notación decimal

Recordemos que la notación decimal que usamos tiene como base 10, esto quiere decir que el lugar que ocupa un dígito en un número está relacionado con una po-tencia de 10. Por ejemplo, el número 3 456 es la suma:

3 10 4 10 5 10 6 103 2 1 0⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅Esta notación se puede extender a los números decimales no enteros. Por ejemplo 3 456,432 es la suma:

3 10 4 10 5 10 6 10 4 10 3 10 2 103 2 1 0 1 2⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − −33

que es lo mismo que: 3 10 4 10 5 10 6 104

103

102

103 2 1 0

2 3⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + +

Como esto se puede hacer con cualquier decimal finito, entonces, cualquier deci-mal finito es una fracción de números enteros.

Sin embargo, hay fracciones que tienen un desarrollo decimal infinito; por ejemplo, 13

tiene un desarrollo que es una seguidilla infinita de 3, después de la coma, se

anota 0 3, , es decir, 13

es la suma que sigue:

13

310

310

310

310

310

310

310

3102 3 4 5 6 7 8= + + + + + + + + ⋅⋅⋅⋅

(1)

Otro ejemplo de lo mismo es 19

que es el decimal infinito

0 11111111111111111111111111111111111111111, .... ,= 0 1o escrito en sumas:

19

110

110

110

110

110

110

110

1102 3 4 5 6 7 8= + + + + + + + + ⋅⋅⋅⋅

Es importante destacar que si multiplicamos la relación (1) por 3, resulta:

313

910

910

910

910

910

910

910

9102 3 4 5 6 7 8⋅ = + + + + + + + ++ ⋅⋅⋅

pero el número de la izquierda es 1 y el de la derecha es 0 9, , es decir: 1 0 9= ,

1. Explica por qué los números 0 49, y 1

1010 0 49⋅ ⋅( ), son iguales.

2. Recurre a lo anterior para mostrar que 0 491

104 0 9, ,= ⋅ +( ).

3. Toma en cuenta que 0 9 1, = , para mostrar que 0 491

105 0 5, ,= ⋅( ) = .

3

cuidadocHemos demostrado que:

1 = 0,9

vale decir que esos dos nú-meros son exactamente el mismo. No estamos dicien-do que están cerquita, sino que están exactamente en el mismo lugar.

Es decir, la notación deci-mal no es única.

Por ejemplo 0,5 = 0,49 .

importantei

Cualquier decimal finito se puede escribir como una fracción de números enteros.

actividades

Edgar

Note

1

21

Unidad


Notación científica

Las siguientes imágenes presentan, en metros, la medida de varios objetos existentes en la naturaleza.

notan

Algunos prefijos usados en ciencias son:

• centi (c) para denotar 10-2, por ejemplo 1 cm denota un centímetro.

• mili (m) para denotar 10-3, por ejemplo 1 mm denota un milímetro.

• micro (µ) para denotar 10-6, por ejemplo 1 µ denota un micrómetro.

• nano (n) para denotar 10-9, por ejemplo 1 nm denota un nanómetro.

• hecto (h) para denotar 102, por ejemplo 1 hm denota un hectómetro.

• kilo (k) para denotar 103, por ejemplo 1 km denota un kilómetro.

• mega (M) para denotar 106, por ejemplo 1 Mb denota un megabyte.

• giga (G) para denotar 109, por ejemplo 1 Gb denota un gigabyte.

4

Tamaño de una molécula de HidrógenoMedida en metros (m):

10 10−

Tamaño de longitud de onda

de los rayos UVMedida en metros (m):

10 7−

El ancho de una manoMedida en metros (m):

10 1−

Tamaño de un piojoMedida en metros (m):

10 3−

Tamaño de una uñaMedida en metros (m):

10 2−

Tamaño del núcleo de alguna célula

Medida en metros (m):10 6−

Tamaño de algunos protozoos

Medida en metros (m): 10 4−

Tamaño de un átomo de Carbono

Medida en metros (m):

10 13−

Tamaño del diámetro del virus VIH

Medida en metros (m): 10 9−

22

Números

1. ¿Cuántas veces mayor es una molécula de Hidrógeno que un átomo de Carbono?

2. Aproximadamente, ¿cuál es el radio de la Tierra?

3. Si la velocidad de la Luz (en el vacío) es de aproximadamente 3 108⋅ m/s, ¿cuánto se demora un rayo de Sol a Mercurio en el momento en que están más alejados?

4. ¿Cuántas veces mayor es el radio de Júpiter que el de Plutón?

5. Averigua: ¿cuán lejos puede observar un astrónomo desde los telescopios que se encuentran en el norte de nuestro país?

Orden de la altura de la estatua de La

LibertadMedida en metros (m):

102

Largo del Estrecho de Gibraltar

Medida en metros (m): 104

Tamaño de radio de Plutón

(el de la Tierra es 6 veces más grande)Medida en metros (m):

106

Diámetro de JúpiterMedida en metros (m):

108

Máxima distancia de Mercurio al Sol

Medida en metros (m):

1010

Tamaño de un electrónMedida en metros (m):

10 15−

actividades

1

23

Unidad


Dado que nuestro sistema de numeración es decimal, estamos muy familiarizados con las potencias de 10 y cuando queremos tener una idea gruesa de una medida o cantidad usamos múltiplos de potencias de 10 para aproximar. Si a uno le preguntan con cuánto dinero cuenta en ese momento, uno responde: “ando con 2 mil pesos más o menos”, jamás dice “ando con 2 mil trescientos veinticuatro pesos”, aunque este dato sea más preciso.

Con frecuencia escuchamos frases como “uno de los hombres más ricos del mundo tiene 55 billones de dólares, algo así como $55 000 000 000 000” o la velocidad de la luz en el vacío es de 300 000 000 de metros por segundo, la verdad es que el dato es mucho más preciso, pero dar esa aproximación, para muchos fines, es suficiente.

Como en el mundo científico se trabaja con medidas muy pequeñas o muy grandes comparadas con el hombre, se suele denotar utilizando potencias de 10, o lo que los científicos llaman el orden de magnitud. Por ejemplo, la velocidad de la luz la de-nota por 3 108⋅ m/s y los físicos dicen que la velocidad de la luz medida en metros por segundo es del orden de 108 .

Si una medida se anota de la forma a n⋅10 , con 0 < a < 10 y n , decimos que ella está descrita en notación científica.

Por ejemplo la distancia de la Tierra a la Luna es, aproximadamente, 353 680 000 m y en notación científica sería: 3 5368 108, ⋅ m

La velocidad de la luz es aproximadamente de 3 108⋅ m/s, por esta razón, la luz de la Luna a la Tierra se demora:

3 5368 103 10

3 53683

1 178

8, ,

,⋅

⋅= ≈s s s

es decir, la luz que nos llega de la Luna lo hace con un poco más de un segundo de atraso. Para tener una idea de lo rápida que es la luz, realicemos el siguiente ejerci-cio imaginario: supongamos que existe un puente de la Tierra a la Luna y nos vamos en un automóvil a 100 km/h, nos demoraríamos 3 536,8 horas en hacer el trayecto, es decir, algo así como 4 meses y tres semanas. ¡A la luz le toma un segundo lo que a nosotros nos toma más de un semestre académico!

1. Si la luz se demora aproximadamente 8 segundos en llegar del Sol a la Tierra, ¿cuál es la distancia de la Tierra al Sol?

2. ¿Cuántos centímetros cúbicos tiene un metro cúbico?

3. Una cuenta de correo electrónico tiene 2,678 gigabytes de capacidad y hasta ahora, con 851 correos en la cuenta, tiene ocupados 344 megabytes. En promedio, ¿cuántos otros correos se pueden recibir en esa cuenta?

cuidadocEl concepto de cerca-no o lejano es relativo. Lo mismo que el de pequeño o grande. Por ejemplo, si dos átomos de Hidrógeno están a un metro de distan-cia, la interacción entre ellos es esencialmente nula, pero ¿te imaginas que pasaría si el Sol es-tuviese a esa distancia de la Tierra? La notación en po-tencias tampoco diría nada respecto de si se trata de tamaños pe-queños o grandes. Si no se mencionaran las unidades, por ejemplo, 10-3 no es grande ni pequeño si no se di-cen las unidades. Así si estamos hablando de megametros 10-3 se-ría un kilómetro, que a escala humana es grande.

actividades

24

Números

apliquemos

Para entender lo terrible que es la epidemia del SIDA en África, es necesario saber qué fracción del total de infectados pertenece a ese continente. Según los datos entre-gados por la OMS existen: 4 107⋅ personas infectadas de SIDA, esto significa que 40 000 000 de habitantes del planeta padecen esta terrible enfermedad, de los cuales, 26 millones son africanos, esto es, utilizando notación científica: 2 6 107, ⋅ habitantes africanos sufren de esta enfermedad, es decir:

2 6 10

4 10

2 64

1320

65100

7

7

, ,⋅⋅

= = =

es la parte de africanos que tiene SIDA respecto del total mundial de enfermos. Por tanto, de cada 20 enfermos de SIDA 13 son africanos, o lo que es lo mismo 65 de cada 100 pacientes de esa enfermedad son africanos.

SIDA Según el informe realizado por la Organización Mun-dial de la Salud y publicado en diciembre de 2004, has-ta ese año había alrededor de 4 107⋅ personas infecta-das con el virus del SIDA.

El continente africano es el más afectado, ya que 26 millones de habitantes de ese continente han contraí-do la enfermedad.

América Latina y el Caribe tienen alrededor de 1 8 106, ⋅ infectados. En cambio, en Europa Central y Occidental sólo 610 000 habitantes tienen el VIH.

La cobertura de tratamiento del SIDA en África Sub-sahariana es casi nula, por lo que se espera que en los próximos 2 años mueran entre 5 y 6 millones de perso-nas debido a la enfermedad en esas regiones.

1. Averigua con tus compañeros, cuántos enfermos de SIDA hay en Chile. La página www.vihsida.cl les puede servir o también www.minsal.cl ¿Qué parte de los enfermos de SIDA latinoamericanos y caribeños son chilenos? Y respecto al contexto mundial ¿cuántos enfermos de SIDA son chilenos? Reúnan sus averiguaciones y discútanlas en clase con el profesor.

2. ¿Qué parte del total de enfermos de SIDA representan los enfermos del centro y occidente de Europa?

3. El tratamiento del SIDA cuesta 5 000 dólares por enfermo al año si se realiza con medicamentos de marca y 800 dólares si se realiza con tratamientos genéricos. Si se tratara a toda la población africana contagiada con medicamentos genéricos en vez de medicamentos de marca, ¿cuánto dinero se aho- rraría? Responda en pesos chilenos utilizando notación científica.

Fuente: http://data.unaids.org/pub/Report/2008/chile_2008_country_progress_report_sp_es.pdf


1

25

Unidad


1 En el año 2003 en nuestro país se generó una cantidad de 5 990 064 toneladas de basura, ¿a cuántos kilogramos corresponde esta cantidad? Escribe en tu cuaderno el resultado, en notación científica.

2 La masa del planeta Marte es: 641 900 000 000 000 000 000 000 kg. Decide qué parte de la masa de Marte represen-

ta la masa de la Tierra que es 5,9736 x 1024 kg . Expresa tu respuesta en notación científica.

3 El dióxido de carbono emitido en el mun-do, como producto del uso de combustible, queda atrapado en la atmósfera causando el efecto de invernadero que se manifiesta en el calentamiento global de la Tierra. La cantidad anual de gas que se emite en el mundo es de 5 500 toneladas. Escribe esta cantidad de gas en kilogramos utilizando notación científica.

4 En el continente europeo sus habitantes gas-tan anualmente 50 mil millones de dólares en el consumo de cigarrillos anualmente. Expre-sa esa cantidad en pesos utilizando notación científica.

5 Calcula las siguientes operaciones utilizando notación científica:

a) 0 0000082 0 0003, ,⋅

b) 9 10 5 106 6⋅ − ⋅− −

c) 1 8 10 2 10

3 10

8 10

5

, ⋅ ⋅ ⋅⋅ −

d) 0 000027 300 000

0 009 0 3,

, ,⋅⋅

6 Una gota de agua contiene a lo menos 1 000 trillones de átomos. Considerando que diez go-tas equivalen a 0,5 mL y una taza tiene una ca-pacidad de 200 mL, ¿cuántos átomos contiene una taza de agua?

7 El aire presiona sobre cada centímetro cuadra-do de superficie terrestre con la fuerza de un kilogramo aproximadamente, es decir, el peso de una columna de aire que se apoya en 1 cm2 es igual a presionar ese centímetro cuadrado con una masa de 1 kg. Podríamos decir que la capa atmosférica de la Tierra se forma del con-junto de estas columnas de aire, que son tan-tas como centímetros cuadrados que forman la superficie de nuestro planeta que es de 510 millones de kilómetros cuadrados. De acuerdo con estos datos responde:

a) ¿Cuántas toneladas pesa el aire?

b) Una aproximación de la masa de la Tierra es6 1024⋅ kg. ¿Qué parte es la masa atmosfé-rica de la masa terrestre?

8 En cada caso, ¿cuál es la mínima potencia de 10, por la cual es necesario multiplicar al nú-mero decimal para que resulte un número en-tero?

a) 32,4456

b) 0,005903

c) 5,6008

d) 0,0006506


26

Números

Números racionales v/s números irracionales

En la Educación Básica estudiaste varios tipos de números, por ejemplo, conociste a los números naturales (). El 1 es un número natural, el sucesor del 1 es 2, que es un número natural y el sucesor del 2 es 3, que también es un número natural; entonces, podrías concluir que cada vez que tenemos un número natural su sucesor también es un número natural.

Conociste también los números enteros (). Cada número entero es un número natural o es el cero o es el opuesto de un número natural. Por ejemplo, −3 es un número entero que no es un número natural.

También conociste las fracciones de números enteros, es decir, números de la formaab

,

con a y b números enteros y además b no es cero. Por ejemplo: 12

es una fracción.

Un número racional es cualquier número que se puede escribir como el cuociente de dos números enteros de denominador no nulo.

Por ejemplo, 0,5 es un número racional, ya que es igual a 12

.

El número 1 es un número racional, porque lo podemos escribir como 55

que es el cuociente de números enteros de denominador no nulo.

Recordemos que una fracción conserva su valor si se amplifica o simplifica por un

número entero; por ejemplo, 12

amplificada por 3 resulta 36

es decir,

12

36

=

Entonces un número racional no tiene una escritura única como fracción; de hecho,

existen infinitas formas de escribir un número racional como fracción. Por ejemplo,

para cada entero n 0, el número racional 0 se puede escribir como 0n

.

5

importantei

Si n es un número entero, entonces lo podemos escribir como :

n

n=1

es decir, todo número entero es un número racional.

1. Escribe cada uno de los números siguientes como fracción en dos formas distintas:

a) −23

b) 0 3, c) 0 3,

2. Escribe cada par de números como fracciones con el mismo denominador y luego compara estos números.

a) 78

45

y b) 1427

1529

y c) 13

310

y

actividades

1

27

Unidad


Suma y productos de números racionales

Si tenemos dos números racionales, los podemos sumar y multiplicar, y el resultado sigue siendo un número racional; por ejemplo:

78

56

+−

se puede calcular encontrando dos fracciones iguales a las de arriba, pero con el mismo denominador, esto es; por ejemplo:

2124

2024

124

+−

=

En general si ab

y cd

son dos números racionales, siempre se pueden amplificar de

forma tal de obtener dos números racionales iguales a los de arriba, pero escritos

como fracciones del mismo denominador, por ejemplo:

a db d

⋅⋅

y b cb d

⋅⋅

entonces la suma ahora resulta: ab

cd

a db d

b cb d

a d b cb d

+ =⋅⋅

+⋅⋅

=⋅ + ⋅

⋅Como a, b, c y d son números enteros, el numerador es un número entero, y como b y d son no nulos, se tiene que bd es un entero no nulo; por lo tanto, tenemos que la suma de números racionales es un número racional.

De modo similar puedes demostrar que el producto de números racionales es un número racional.

importantei

La suma y producto de números racionales es un número racional.

importantei

Si a

by

c

d

son números racionales, el producto se define por

a c

b d

⋅⋅

Como a y c son números enteros se tiene que el numerador del produc-to es entero, y como b y d son no nulos se tiene que bd es no nulo, por lo tanto, el producto de números racionales es un número racional.

1. Considera los números racionales 13

y 14

.

a) Ubica los números en la recta numérica.

b) Encuentra el punto medio M entre esos números. ¿Es un número racional?

c) Encuentra el punto medio entre 13

y M y el punto medio entre M y 14

. ¿Son esos puntos números racionales?

2. ¿Es cierto que el punto medio entre dos números racionales es un nuevo número racional?

3. ¿Es cierto que entre dos números racionales siempre hay un número racional?

actividades

28

Números

Tomemos dos números racionales rab

= y scd

= y supongamos que r está a la iz-

quierda de s cuando se ubican en la recta numérica:

r s

Notamos que el punto medio es:

r sab

cd

a d b cb d a d b c

b d+

=+

=

⋅ + ⋅⋅ =

⋅ + ⋅⋅2 2 2 2

r s

el cual es también un número racional, por lo tanto:

Entre dos números racionales siempre hay un número racional.

Si se repite este proceso, es decir, encontrar un racional entre medio de dos núme-ros racionales, pero ahora considerando los puntos r, s y el punto medio, entonces tendremos tres racionales entre los puntos r y s.

r s

Ahora el punto medio para cada par de los puntos antes encontrados tendremos 7 racionales entre los puntos iniciales (r y s), y así podremos construir tantos racio-nales entremedio como queramos.

r s

Es decir, si se itera este proceso de partir por la mitad cada tramo, notamos que entre dos números racionales hay infinitos números racionales.

recuerdarEntre dos números racio-nales hay infinitos núme-ros racionales.

1

29

Unidad


Un número no racional

Consideremos un cuadrado de lado 1.

La diagonal del cuadrado divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos; si utili-zamos el Teorema de Pitágoras para calcular la medida de la diagonal resulta que:

d 2 2 21 1 2= + =entonces d es un número positivo cuyo cuadrado es 2.

Supongamos que ese número fuese racional, entonces se puede escribir de la forma

dab

= con a y b enteros positivos. Podemos asumir además, que esta fracción no

se puede simplificar, por lo tanto, si uno de ellos es par, el otro es impar.

Como d 2 2= se tiene que:

dab

22

2 2= =de donde se deduce que:

a b2 22= ⋅

lo que quiere decir que a es par porque es el doble deb2 , pero como a2 es par, necesariamente a también lo es. De esto se deduce que a es el doble de un número entero k, esto es, a k= ⋅2 .

Reemplazando en a b2 22= ⋅ se tiene:

4 22 2⋅ = ⋅k by dividiendo por 2 se tiene:

2 2 2⋅ =k b

por lo tanto, b2 es par y como dijimos antes, esto implica que b es par. Entonces, tanto a como b son pares, lo cual no puede ser pues, asumimos que la fracción no se puede simplificar y que no pueden ser ambos pares, lo que genera una contra-dicción.

Resumiendo, si suponemos que d es racional llegamos a algo imposible, por lo tanto, suponer que d es racional es un error. Lo correcto es:

La medida de la diagonal del cuadrado de lado 1 no es racional.

1. Explica por qué la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 2 no es racional.

2. Explica por qué la medida de la diagonal de un cuadrado de lado entero no es racional.

3.* Si a y b no son racionales, ¿puede serlo ab?, ¿puede serlo a + b?

1d

notanLa idea de la demostración que no existe un número racional que su cuadrado sea 2, está basada en el he-cho que algo falso no pue-de resultar de algo verda-dero. Es decir, si se supone algo y luego de pasos “ló-gicos” resulta algo eviden-temente falso, quiere decir que el supuesto primero es falso. En nuestro caso su-pusimos que un racional, escrito en su forma más reducida, al cuadrado, es 2, y resultó que no estaba en su forma reducida, lo cual es claramente falso, por lo tanto, la primera suposi-ción es falsa.

actividades

30

Números

Al número que es la medida de la diagonal del cuadrado de lado 1 se le llama la

raíz cuadrada de 2, o simplemente la raíz de 2, se anota 2 y es el único número

positivo cuyo cuadrado es 2. En este lenguaje, lo que se hizo antes fue demostrar

que 2 no es un número racional.

A los números que están en la recta, que no son racionales se les llama números irracionales.

En general, si tenemos un número no negativo a, la raíz de a es el único número

positivo o cero que al calcularle su cuadrado resulta a. Por ejemplo 49

23

= pues 23

es un número positivo tal que su cuadrado es 49

.

Tú puedes verificar que 1 1= 0 0= 4 2= 9 3=

En general, si a no es negativo, se tiene que a a2 = . Pero es muy importante tener claro que la igualdad anterior es cierta sólo para valores no negativos. De hecho, es falso para los valores negativos, por ejemplo si a = −1 , se tiene que a2 1= , y por lo tanto,

a a2 1 1= = ≠

Si tomamos un número mayor o igual a 2, se tiene que el cuadrado de ese número

es mayor que 4, por lo tanto, 2 2< . Como 1 12 = se tiene que 1 2 2< < .

Ahora bien, como 32

94

22

2 = > se tiene que 1 232

< <

Como 54

2516

3216

22

2 = < = se tiene que 54

232

< <

Tomando siempre el punto medio de los extremos de las desigualdades, podemos

encajonar 2mediante números racionales de forma tal, que cada vez obtendremos

una mejor aproximación de 2 .

1. Explica por qué 2 1+ es un número irracional.

2. Ordena los siguientes números, de menor a mayor.

1, 2, 0, 2 , 3 , 1

2, 3 2− , 3 2

2−

3. ¿Cuáles de los números de arriba son racionales? Explica tu respuesta.

notanEn general si a<0, se tie-

ne que a a2 = −

cuidado

Es falso que 4 2= ±Recuerda que la raíz es siempre un número no negativo.

notan¿Puedes tú explicar por-qué si 0 < x < y se tiene que x2< y2?

¿Qué relación tiene esto

con el encajonamiento

de 2 ?

c

actividades

1

31

Unidad


Notación decimal de los números racionales

Cuando dividimos dos números enteros, por ejemplo 5 7: , aparecen números ente-ros en el cuociente y números enteros en el resto. En el ejemplo, 5 7: , los números que aparecen en el resto son 5, 1, 3, 2, 6, 4 y 5. Como el resto es 5 al final y coincide con el primer valor de la división, no es necesario seguir dividiendo, ya que se repi-te el ciclo 714285. Es decir, bastó que en un momento apareciera un resto repetido para que el ciclo comenzara de nuevo.

5:7 = 0,714285714285714285714285714285714285714285... = 0,714285

Esto ocurre en cualquier división de enteros positivos: al dividir n en m , ( n m: ), los posibles valores para el resto son 0, 1, 2, 3, 4, . . . , m −1 , que son los valores meno-res que m y no negativos. Si en algún paso de la división el resto es cero, la división se acaba y se obtiene un decimal finito, pero si no, necesariamente se deberá repetir un valor del resto. Cuando eso ocurre se comienza a repetir el ciclo y se obtiene un número decimal periódico. En el caso en que uno de los enteros n o m sea negativo ocurre exactamente lo mismo.

Todo número racional se puede escribir como un decimal finito o como uno infinito en el cual se repite un periodo.

El resultado recíproco es cierto, es decir, “si un número se escribe como decimal fini-to o periódico, entonces ese número es racional”. De hecho, existe un regla que trans-forma un número decimal en fracción, que analizaremos en el siguiente apartado.

Dado cualquier número en la recta, este tiene su notación decimal, que puede ser fini-ta, periódica o no periódica. En los dos primeros casos el número es racional y en el último es irracional. En todos los casos decimos que el número es un número real.

1. Transforma a fracción los siguientes decimales:

a) 7 23, b) 14 28, c) 25 92461,

2. Resuelve las operaciones:

a) 3

50 15

2( )+ , b) 0 4 0 3, ,+

3.* ¿Es cierto que existen infinitos números irracionales?

4.* ¿Es el cuadrado de un número irracional un número irracional?

5.* Si el cuadrado de un número es irracional, ¿es cierto que el número es irracional?

6.* ¿Es 1 2

5+

un número irracional? Explícalo.

RICHARD DEDEKIND(1831-1916)

Matemático alemán.

Trabajó en ecuaciones diferenciales, teoría algebraica de números y en otras áreas de las matemáticas. Fue uno de los matemáticos que se preguntó, ¿qué es un número? y que trató de responder, tal como lo hicieron Peano y Fregue, en forma axiomática. A él se le debe una de las más conocidas defini-ciones, la denominada “Cortaduras de Dede-kind”, donde caracteriza cada número real como una colección de núme-ros racionales.

recuerdar5:7=0,71428550 10 30 20 60 40 5

actividades

32

Números


1 Expresa los siguientes números racionales en notación decimal.

a) 37

b) 73

c) 711

d) −−35

e) 1225

f) −313

g) 101100

h) 10110

i) 56−

j) 235990

k) 235999

l) 099

2 Considera el número racional

ε = 110 000 000 000

. Si divides el tramo de

recta real que parte en 0 y termina en 1, en pequeños intervalos de largo ε, es decir la pri-mera marca la haces en ε, la segunda en 2ε, la tercera en 3ε, y así sucesivamente en marcas del mismo tamaño hasta llegar a 1.

a) ¿Cuántas marcas tendrías que hacer?

b) Si la unidad de medida es el diámetro te-rrestre, es decir, si el 0 lo ponemos en al-guna parte de la Tierra y el 1 lo ponemos en el extremo opuesto de la Tierra, ¿cuán-to separaría a dos marcas consecutivas? (El diámetro terrestre es aproximadamente de 12,740 km).

c) ¿Cuántos números racionales hay entre 0 y ε?

3 Si x es un número real que no es ente-ro, entonces existe un entero n tal que n < x < n + 1. Al entero n se le llama la parte entera de x y se anota [x] = n, por ejemplo, [1/2] = 0, [−1,3] = −2, [ 2 ] = 1. Si x es un en-tero la parte entera de x es el mismo x, es decir, [x] = x sí y sólo sí x .

a) Calcula:

i) 34

ii) −

34

iii) 72

iv) −

249

v) 311

vi) −

6613

vii) 10

viii) [π]

ix) [−4]

1

33

Unidad


b) Si x es un número real cualquiera, ¿cuánto es [[x]] − [x]?

c) Si x es un número real cualquiera, ¿cuál es el máximo valor que puede tomar x − [x]?

d) Si x es un número real cualquiera, ¿cuál es el mínimo valor que puede tomar x − [x]?

e) ¿Es cierto que [x + y] = [x] + [y]?

f) Si x es un número real cualquiera y n es en-tero, ¿es cierto que [n + x] = n + [x].

4 Si x es un número real, entonces [x] x [x] + 1, por lo tanto [x] + 1 es un número entero ma-yor que x. Es decir, dado un número real fijo, siempre existe un número entero que es mayor que él. Use esta propiedad para responder las siguientes preguntas:

a) Si ε es positivo, entonces también lo es 1ε

.

Muestra que existe un número natural ma-

yor que 1ε

.

b) Si ε es positivo, demuestra que existe un nú-

mero natural N tal que 1N

< ε .

c) Considera el conjunto A de todos los inver-sos multiplicativos de números naturales. Muestra que no existe ningún número po-sitivo que sea menor que todos los elemen-tos de A.

5 Si x < y con x racional e y irracional.

a) Muestra que existe un número natural N,

que es mayor que 1

y x− .

b) Si k es natural y N es el natural destacado

del literal anterior, muestra que xN k

++1

es racional.

c) Si k es natural y N es el natural destacado del literal anterior, muestra que

x xN k

y< <++1 .

d) Muestra que existen infinitos números ra-cionales entre x e y.

6 Si x < y con x irracional e y irracional.

a) Si y − x 1, muestra que existe un entero entre x e y.

b) Si 0 < y − x < 1, muestra que existe un nú-mero natural N tal que Ny − Nx > 1.

c) Muestra que existe un número M entre Nx y Ny.

d) Muestra que MN

es un número racional en-tre x e y.

7 Demuestra que entre dos números reales siem-pre existe un número racional entre ellos. Esta propiedad se llama densidad de sobre .

Nota: Hay algunos textos que afirman que

la propiedad de densidad de es aquella

que dice que entre dos números racio-

nales hay un número racional. Lo cual es

falso, la densidad se mide respecto de un

conjunto más grande al estudiado.

34

Números

Transformación de notación decimal a fraccionaria

Si consideramos cualquier número decimal finito, este se puede multiplicar por una potencia de 10 y obtener un número entero. Por ejemplo,

43,567 · 103 = 43 567

En el caso de arriba también se puede multiplicar por 104 y todavía obtener un nú-mero entero, en este caso se obtendría 435 670, pero si multiplicamos por una po-tencia de 10 menor que 103, no obtendremos un número entero. En este caso el 3 es el exponente mínimo de una potencia de10 que permite obtener un número entero al multiplicar 43,567, que coincide con la cantidad de decimales de 43,567.

Ahora bien, si multiplicamos un número cualquiera por 1 obtenemos el mismo número, por lo tanto:

43,567 = 43,567 · 1= 43,567 · 1010

= 43 56710

3

3 3

Lo que muestra que 43,567 es el cuociente de dos números enteros de denomi-nador no nulo, por lo tanto es un número racional. Más generalmente, si tenemos un número decimal finito, x y digamos que tiene n decimales, entonces x se puede escribir como

x = m + 0, a1a2a3... an

donde m es un número entero.

Si 0,a1a2a3... an es un número racional y como m es un número racional y como la suma de dos racionales es un número racional, entonces x también sería un número racional.

Como 0, a1a2a3... an · 10n = a1a2a3... an ∈ se tiene que:

0,a1a2a3... an = 0,a1a2a3... an· 1010

n

n = a a a n

n1 2 3...

10 = ∈

Por lo tanto x es un número racional. Por lo tanto

Todo decimal finito es un número racional.

Además la demostración de arriba, muestra un método que permita encontrar una forma fraccionaria del decimal finito. Para transformar un número decimal finito a fracción, basta amplificar el número por la potencia de 10 que tiene por exponente la cantidad de decimales del número.

Por ejemplo, 456,87 tiene dos decimales, entonces basta amplificar por 102 = 100 para obtener su forma fraccionaria:

456, 87 = 456, 87 100100

= 45 687100

⋅⋅

recuerdarSi un número tiene tres cifras decimales, basta multiplicarlo por 103 para que el resultado sea en-tero, pero no es la única potencia de 10 que hace esa gracia, de hecho cual-quier potencia de 10, di-gamos 10n, con n ≥ 3 al multiplicar un número de tres cifras decimales, re-sulta un número entero. ¿Puedes generalizar este resultado?

1

35

Unidad


recuerdarLa propiedad distributiva dice que (b − c)a = ba − ca.Por lo tanto, si b = 100 y c = 1 y a = 3, 87, entonces(100 − 1) 3, 87 =100 × 3, 87 − 1 × 3, 87

Si el número decimal no es finito, entones es infinito. Si hay un período que se repite infinitamente distinguiremos dos casos. El primero es cuando el período co-mienza inmediatamente después de la coma. En este caso diremos que el número es periódico. Por ejemplo, 3, 87 , si multiplicamos ese número por 102 resulta:

3,878787878787... · 102 = 387,878787878787...

Ahora bien, si hacemos la resta entre el número anterior y 3,878787878787... se anulan todos los decimales, pues ambos números tienen exactamente los mismos decimales, es decir

387 , 8787878787... 3 , 8787878787...

384 , 0000000000...

Es decir, 3,87 · 102 −3,87 = 384

Pero 100 veces 3,87 menos una vez 3,87 es lo mismo que 99 veces 3,87 es decir

3,87 · 99 = 384 Es decir,

38499

= 3,87

1. Multiplica 34,567 por 103 .

2. Haz la resta del resultado anterior con 34,567. ¿Es cierto que es un número entero?

3. Explica por que 34,567 × 103 − 34,567 = 34,567 · 999

4. Muestra que 34,567 = 34 533999

5. Transforma de decimal a fracción:

a) 43,54

b) 393,101

c) 45,772

actividades

36

Números

notanNotemos que

101 − 1 = 9

102 − 1 = 99

103 − 1 = 999

¿Será cierto que para cada n ∈ se cumpla que 10n − 1 es un número entero de n cifras todas iguales a 9?

1. Multiplica 4,567 por 103.

2. Encuentra una potencia de 10 que al multiplicarse con 4,567 resulte un número con la misma parte deci-mal que el resultado en el ítem anterior.

3. Muestra que la resta de los productos que resultan de 1) y 2) es un número entero.

4. Considera un número real x y dos números enteros m y n, de tal suerte que la resta de mx con nx es un número entero no nulo, ¿es cierto que x es racional?

5. Considera un número real x y dos números racionales m y n, de tal suerte que la resta de mx con nx es un número racional no nulo, ¿es cierto que x es racional?

Como hemos visto si un número a que es decimal periódico cuyo periodo tiene n dígitos, es multiplicado por 10n se obtiene un número decimal, que tiene exacta-mente la misma parte decimal que el anterior. Por lo tanto, si restamos a × 10n − a las partes decimales se cancelan y se obtiene un número entero. Pero

a ×10n − a = a(10n −1) ∈

Denotemos por k el número entero que resulta de multiplicar a por 10n −1, es decir

a(10n −1) = k

Como 10n −1 es también un número entero se tiene que k an10 -1

= ∈ es un cuociente de números enteros. Es decir:

k an10 -1

= ∈

Por ejemplo, para el número periódico 45,678 el valor de k = 4 5678−45 = 45 633 y 103 − 1 = 999 por lo tanto

45,678 = 45 633999

El segundo caso es cuando el número tiene un periodo, pero este no comienza inmediatamente después de la coma, es decir hay dígitos que separan la coma del periodo, por ejemplo 4,567, a estos se les llama semiperiódicos. La idea es mul-tiplicar por potencias de 10 a este número de dos maneras distintas, de tal forma que resulten dos números de la misma parte decimal, y así restar y obtener un número entero.

actividades

1

37

Unidad


• Muestra que10n+m − 10m es un número compuesto por n 9 y m ceros.

Por ejemplo 103 + 2 − 102 = 99 900.

notanPor propiedad de las po-tencias sabemos que

10n+m = 10n · 10m

y por la propiedad dis-tributiva sabemos que

10n · 10m−10m =(10n − 1)10m

y si recordamos una ob-servación anterior, po-demos decir que 10n − 1 es un número de n cifras donde todas son iguales a 9.Entonces, ¿qué puedes decir de (10n − 1)10m?

De la página anterior podemos obtener que:

4,567 · 103 = 4 567,67676767...

4,567 · 10 = 45,67676767...

Ambos números tienen la misma parte decimal, por lo tanto la resta resulta un nú-mero entero. De hecho la resta es 4 567 − 45 = 4 522, es decir:

4,567 · 103 − 4,567 · 10 = 4 522

Pero mil veces 4,567 menos diez veces 4,567 es lo mismo que 990 veces 4,567, es decir:

4,567 · 990 = 4,567 · 103 − 4,567 · 10 = 4 522

Es decir,

4,567 · 990 = 4 522

Por lo tanto

4,567 = 4 522990

Por lo tanto 4,567 es un número racional.

El método anterior permite desarrollar una manera general de transformar un nú-mero decimal semiperiodico a decimal. Para describirlo, llamaremos a los números que están entre la coma y el periodo, como anteperiodo, en el caso de 4,567 el ante-periodo tiene un solo dígito y es 5. Entonces, si un número decimal semiperiodico a tiene n dígitos en el periodo y m dígitos en el anteperiodo, entonces a · 10m y a · 10n+m son números decimales periódicos que tienen la misma parte decimal. Por lo tanto, su resta es un número entero. Llamemos a ese entero k, en símbolos:

a · 10n+m − a · 10m = k ∈

Pero a · 10n+m − a · 10m = a(10n+m − 10m) y como 10n+m − 10m es un número entero se tiene que:

a kn+m m

=10 -10

∈

actividades

38

Números


1 Un número decimal cuyos primeros 30 decima-les son todos iguales a 4, ¿es cierto que es un número decimal periódico?

2 Si un número entero es dividido por 11 y re-sulta un decimal periódico (o semiperiodico), explica por qué el largo del periodo no puede ser más grande que 11.

3 Calcula 34,56856 · 105 − 34,56856 ·102.

a) ¿El resultado es un número entero?

b) Divide el resultado de a) por 99 900.

c) Escribe 34,56856 como fracción.

4 ¿Hay números decimales periódicos que se pueden escribir como decimales finitos?

5 ¿Hay números decimales semiperiódicos que se pueden escribir como decimales finitos?

6 ¿Cuántos números racionales hay entre 12

y 0,49?

7 Escribe los siguientes números racionales como fracción de números enteros.

a) 4,567

b) 6,789

c) −0,071

d) 0,9

e) 0,102308

f) 40,06340

g) 67,503212

h) 1,345

8 Resuelve las siguientes operaciones, escribe tu resultado como una fracción:

a) 35

+ 0,45

b) 4,56 + 4,56

c) −32990

· 0,45

d) 0,99 : 4,5

e) 1

990+ 0,324

f) 6,78 – 3,698

g) 0,12 + 0,88

h) 117

+ 0,4285715

9 Si al dividir el número natural m entre 3 resulta un número decimal finito, ¿es cierto que m es un múltiplo de 3?

1

39

Unidad


LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Un número real muy conocido es π que es el cuociente constante entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. Esta relación proporcional entre el diámetro y el perímetro de la circunferencia se conocía desde la antigüedad por los pueblos egipcio, babilonio, chino, sumerio y hebreo, entre otros. Además, todos ellos tenían estimacio-nes de π , por ejemplo, en el papiro de Rhind, que data del año 1800 antes de nuestra era, se lee:

el área de un círculo es como la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro

del círculo disminuido en 19

.

lo que en el fondo dice es que los egipcios aproximaban π como 25681

3 16049≈ , .

En la Biblia, en el Libro de los Reyes, se lee:

Hizo fundir, asimismo, un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos.

Si se lee con atención, se puede deducir que el pueblo hebreo consideraba a π como 3, de nuevo un número racional. En la antigua China se aproximaba π por 3,1724. En

Babilonia por 318

; siempre números racionales.

Sin embargo, fue Arquímides (287-212, a de C) quien describió un método para cal-cular el área de la circunferencia, y de paso, aproximar π . El método consiste en encajonar el área del círculo con polígonos inscritos y circunscritos a la circunferencia.

Arquímedes logró decir que π está entre 31071

y 317

.

Lo sorprendente es que recién en 1770 el ma-temático alemán de origen francés, Johann Heinrich Lambert (1728-1777), demostró que π es irracional, es decir, ¡a la humanidad le llevó miles de años demostrar que π no es una fracción! Esto muestra que, en ge-neral, es muy dificil determinar si un número

real es o no irracional. El número 2 es irra-cional, pero su cuadrado no lo es, lo mismo se preguntó respecto de π , ¿será su cuadrado racional? Fue el matemático francés Andrie Marie Legendre (1752-1833) quien en 1794 demostró que π 2 no es racional.

ADRIEN-MARIE LEGENDRE(1752-1833)

Matemático y físico francés.

A él se le deben grandes

avances en matemática,

geometría, cálculo, teo-

ría de números, funcio-

nes elípticas, entre otras

áreas que le deben a Le-

gendre grandes resulta-

dos. Legendre demostró

en 1794 la irracionali-

dad de π 2 .

Encajonamiento.

0

P= d

un poco de historia

40

Números

1. ¿Es π +1 racional? Explica tu respuesta.

2. Encuentra el inverso multiplicativo de φ .

3. Investiga cuántos decimales de π puede encontrar un computador moderno y cuánto demora en hacerlo. ¿Cuánta certeza aseguran los programadores computacionales de la justeza de los decimales de π?

4. Demuestra que si el cuadrado de un número es múltiplo de 5 entonces el número es múltiplo de 5.

5. Usa el ejercicio anterior para demostrar que φ es irracional.

6. Demuestra que φ φ2 − es racional.

7. Si α = −2 1. Encuentra una combinación entera de potencias de α que sea racional.

8. Explica cómo se deduce del papiro de Rhind que los egipcios aproximaban π como 25681

.

9. Explica cómo del relato del Libro de los Reyes se desprende que el pueblo hebreo aproximaba π por 3.

CARL LOUIS FERDINAND VON

LINDEMANN(1752-1839)


Realizó su tésis bajo la dirección de Klein sobre geometría no euclideana. Es famoso gracias a que fue el primero en demos-trar que cualquier combi-nación entera de poten-cias de π no es racional y con esto, responde sa-tisfactoriamente al pro-blema de la cuadratura del círculo, esto es, no se puede construir con regla y compás un cuadrado de área igual a la del círculo de radio 1.

El número irracional φ = +1 52

se conoce como sección áurea y nace de la propor-

ción que según los griegos debían tener las cosas bellas. Decían que un trazo está

dividido en proporción áurea si el trazo total es al trazo mayor como el mayor es al

pequeño.

A P B

ABAP

APPB

=

En una persona bella, decían los griegos, los ojos en el rostro están en proporción aúrea. Hoy todas las tarjetas, carnés, etc. cumplen con esta proporción.

Ese número áureo es irracional, como dijimos, pero además, cualquier potencia de él sigue siendo irracional, aunque φ φ2 − es racional.

Se preguntó lo mismo para π , ¿existe una combinación en-tera de potencias de π que sea racional? La respuesta es no y la dió el matemático alemán Ferdinand Lindemann (1852-1939) en 1882, hace aproximadamente 124 años. Esto con-firma que estudiar la irracionalidad de los números es un problema muy serio.

A continuación tenemos π aproximado a 50 decimales.

π ≈ 3 141592653589793238462643383279502884197, 116939937510

actividades

1

41

Unidad


1 Dados los siguientes pares de números deter-mina 2 números racionales entre ellos:

a) 0 1, y 1

10

b) −1112

y − 56

c) 0 31, y 0 3,

2 Ordena de manera creciente los siguientes nú-meros reales:

− 34

; − 5 ; −0 3, ; − 32

3 Resuelve las siguientes operaciones con núme-ros racionales:

a) 6 2 323

18

37, :+

b)

34

18

112

:

c) 1

14

1 3 112

34

12

⋅ ⋅

−

,

d) 34

12

34

1−

⋅ +

4 Aplica el Teorema de Pitágoras para encontrar la medida que falta en los triángulos siguientes y decide si se trata de números irracionales o racionales:

6 cm

6 cm

4 cm

9 cm

5 Estima entre qué números enteros se encuen-tran las siguientes raíces cuadradas:

a) 17

b) 93

c) 700

6 La siguiente figura muestra el tablero de un au-tomóvil y la medida que marca la cantidad de bencina que tiene el estanque:

a) ¿Entre qué números racionales se encuentra la medida que marca la cantidad de gasolina en el estanque del auto?

b) Usa la respuesta del ejercicio anterior para encontrar un par de racionales más cercanos a la medida de la aguja, sin olvidar que ésta se encuentra entre medio de dichos racionales.

c) Supongamos que el estanque del auto está lleno con 21 L de bencina. Si el estanque contiene en el momento de leer el tablero 18,3 L, expresa la medida leída como número racional.


42

Números


1 Considera el conjunto K de todos los números

reales de la forma α = a b+ 2 con a y b nú-meros racionales.

a) Muestra que K contiene a todos los núme-ros racionales.

b) Muestra que si b 0, entonces a b+ 2 es irracional.

c) Muestra que la suma de elementos de K es también un elemento de K.

d) Muestra que el producto de elementos de K es también un elemento de K.

e) Muestra que si a b+ 2 = c d+ 2 , enton-ces a = c y b = d.

f) Muestra que si a 0 b, entonces a2 − 2b2 no es cero.

g) Muestra que si a 0 b, entonces

β =−

+ −−

aa b

ba b2 2 2 22

2

2 es tal que αβ = 1.

2 Si r y r‘ son números irracionales y n es racio-nal pero distinto de cero, entonces, ¿cuál de los siguientes es en todos los casos un número irracional?

a) rn

b) r + r‘

c) rr‘

d) nr

3 Recuerda que [x] denota la parte entera de x.

a) Muestra que (−1)n es 1 cuando n es par y es −1 cuando n es impar.

b) Muestra que n2

es k cuando n = 2k+1 y

cuando n = 2k.

c) Muestra que si n es natural, entonces (−1)n n2

es entero.

d) Muestra que para cada entero M, existe un

único natural n tal que M = (−1)n n2

4 Los números naturales 2, 3 y 6 son tales que 12

13

16

+ + es un número natural. ¿Existe otro

trío de números naturales distintos, a, b, c tales

que 1 1 1a b c

+ + sea natural?

5 ¿Para cuáles números naturales n el número

racional 1672 5n −

es natural?

6 Considera la suma de potencias de 12

.

S = + + + + + + + +1

21

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22 3 4 5 6 7 8 9

a) Muestra que 12

S es

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22 3 4 5 6 7 8 9 10+ + + + + + + +

1

43

Unidad


b) Muestra que S S− = −12

12

1

210

c) Muestra que S = −1 1

29

d) ¿Es cierto que la suma de las 100 primeras potencias de 12

es igual a 11

2100−

e) ¿Es cierto que la suma de las primeras n potencias de 12

es menor que 1?

f) Si das un paso que mide medio metro, luego un paso de un cuarto de metro, luego un paso que mide la mitad del anterior, luego un paso que mide la mitad del anterior, y así sucesivamente cada paso mide la mitad del anterior. ¿Cuántos pasos tendrás que dar de esta forma para haber avan-zado un metro en total?

7 Cada lado de un triángulo equilátero de lado 1, se divide en tres partes iguales, en la parte central de

cada lado se construye otro triángulo equilátero de lado 13

y la base es borrada, en el siguiente paso

cada trazo de largo 13

se divide en tres partes iguales y se forma un triángulo equilátero y le borramos

la base y así sucesivamente.

a) ¿Cuánto mide el lado de la figura 4?

b) ¿Cuántos lados tiene la figura 10?

c) ¿Cuál es el perímetro de la figura que resulta del paso número 15?

d) ¿Cuál es el área de la figura 3?

44

Números

Aproximaciones

En el colegio “César Vallejo”, de Hualañé, el primero medio está a cargo de sem-brar pasto en la cancha de futbolito, que es de tierra. Se le pide a Ramón que mida las dimensiones de la cancha para comprar el pasto, y él les dice que la cancha es un rectángulo de 25 m de ancho y 60 m de largo.

60 m

25 m

El pasto lo venden a $2 550 el metro cuadrado ( m2), por lo tanto, como la cancha tiene una área de 1 500 m2 , el costo sería $3 825 000. Sin embargo, cuando la directiva del curso estaba haciendo la compra, el dependiente les sugirió comprar un poco más, ya que siempre se cometen errores en las mediciones. La directiva se reunió y Millaray, la presidenta de la directiva, consideró que era razonable estimar el error de 10 cm en las medidas lineales. Prácticamente todos estuvieron de acuer-do, sólo unos pocos difirieron, pero aceptaron finalmente.

¿Cuántos metros cuadrados era necesario aumentar a la compra inicial? ¿Cuánto dinero más es necesario invertir?

Entonces, lo máximo que podrán ser las dimensiones de la cancha, según la estima-ción de Millaray, serían 60,1 m de largo y 25,1 m de ancho. De modo que el área en este caso sería 1 508,51 m2 es decir, 8 metros cuadrados y medio más que el cálculo inicial. Esto se traduce en dinero a $21 700,5. Como en Chile no tenemos centavos, es necesario agregar $21 701 para comprar el pasto considerando un mar-gen de error en la medición.

1. Supón que Ramón midió mal. La cancha mide realmente 25,1 m de ancho y 59,9 m de largo, ¿el área real es distinta o igual que si la hubiésemos calculado con los datos de Ramón?, ¿cuán diferente es?, ¿nos hubiésemos pasado o nos hubiésemos que-dado cortos?

2. A los refrigeradores se les calcula su volumen en litros. Supón que un refrigerador tie-ne una base cuadrada de un metro de lado y su altura es de 1,7 m. Si las mediciones se hacen con un error de 1 cm, ¿cuál es el error que se comete en el volumen?

Si una tienda promociona el refrigerador diciendo que su capacidad es de 1 700 li-tros, ¿en cuántos litros puede estar esta información equivocada?

Si lo pintado de color es el error que se cometió, ¿cuál es el área del cua-dradito rojo?

6

1,7 m

1 m

actividades

1

45

Unidad


Para aproximar números en notación decimal existen esencialmente dos maneras de hacerlo. Una es truncando, esto es considerando sólo las primeras cifras decima-les. Por ejemplo, si truncamos el número π en los cuatro primeros decimales queda 3,1415.

La otra forma es aproximar al decimal más cercano o por redondeo, que es lo que se usa para calificar a los estudiantes en el colegio. Por ejemplo, si tu promedio es 6,34, tu nota oficial será un 6,3; en cambio, si tu promedio es 6,36, tu nota oficial será un 6,4.

En general, si quieres aproximar por redondeo, debes truncar el número al decimal que te interese. Para entender mejor, pensemos en el cuarto decimal, observas el dígito del siguiente decimal, en nuestro caso el quinto. Si ese dígito es menor que 5 tu aproximación será el número truncado, si el dígito es mayor o igual a 5 se cambia el último dígito del número truncado por su sucesor.

Por ejemplo, si aproximamos π al cuarto decimal por redondeo necesitamos cono-cer π al quinto decimal, esto es 3,14159. Como 9 es mayor que 5, el redondeo de π al cuarto decimal será 3,1416, distinto del truncamiento.

Un ejemplo:

Guillermina, que estudia en el colegio “El Monte”, tiene un profesor que, al fin de año, pone todos los promedios truncados al segundo decimal. Luego calcula el promedio final de todos los cursos, promediando de estas notas y el resultado lo redondea al primer decimal.

En cambio, el profesor del curso paralelo redondea el promedio final de cada ramo al primer decimal, luego promedia todas esas notas y, finalmente, redondea al pri-mer decimal de nuevo.

Si Guillermina estuviese en el curso paralelo, ¿tendría el mismo promedio que tiene ahora?, ¿tendría más o menos nota?

1. Una rueda de los camiones mineros de Chuquicamata tiene un diámetro que mide 3 m. Para algunas condiciones del terreno es necesario rodear las ruedas con cadenas. Como el perímetro de la rueda es 3π m y necesitamos no equivocarnos en la medida de la cadena en más de 1 cm, ¿con qué precisión necesitamos considerar a π ?

2. Estima el resultado de las siguientes operaciones, de modo de

cometer un error menor que 12

.

a) 3,14 · 4,8 b) 5,67 + 3,1234 c) π + 2

notanTruncando =3,1415

Redondeando =3,1416

actividades

46

Números

Regularidades numéricas

Consideremos las siguientes figuras:

Primero Segundo Tercero Cuarto

Partiendo de un cuadrado, se construye el siguiente agregando 2 cuadrados en la base. La figura siguiente se construye tomando la anterior y agregando en la base una hilera de 3 cuadrados. Cada vez que está construida una escalera, la siguiente se construye agregando una hilera en la base con un cuadrado más que la última fila de la anterior.

¿Cuántos cuadrados se necesitan en cada figura?

Vamos paso a paso: Para el primero 1, para el segundo 3, para el tercero 6, para el cuarto es 10.

Sin embargo, hacer este cálculo no nos dice nada respecto de cómo se va formando esta secuencia de números, es decir, hacer el cálculo cada vez no nos llevará a saber, por ejemplo, cuantos cuadrados se necesitan para el caso n.

Se hace necesario reconocer una regularidad, es decir, una forma general de descri-bir la cantidad de cuadrados necesarios.

Notemos que el segundo tiene 2 cuadrados más que el anterior, es decir, tiene 1 2+ . El siguiente tiene 3 más que el anterior, es decir, tiene 1 2 3+ + . El que sigue tiene 4 más que el anterior, es decir, tiene 1 2 3 4+ + + . En general, la figura del n-ésimo paso tiene:

1 2 3 4 5 6 7+ + + + + + + +... n cuadrados

Muy bien, pero saber esto no nos permite saber de manera eficaz cuantos cuadrados tiene la figura en el paso n. Notemos que si tenemos dos figuras idénticas del paso n y las acoplamos de una forma ingeniosa, podemos formar un rectángulo de lados n y n +1 , por ejemplo, a continuación mostramos el caso n = 3 .

7

1

47

Unidad


Como el rectángulo tiene n n⋅ +( )1 cuadrados, se tiene que dos veces la cantidad de cuadrados que se necesitan para la figura del paso n es igual a n n⋅ +( )1 . Es decir, la cantidad de cuadrados necesarios para construir la figura n-ésima es la mitad de n n⋅ +( )1 .

Pero como vimos antes, la cantidad de cuadrados es 1 2 3 4+ + + + ⋅⋅⋅+ n; juntando ambos resultados tenemos que el número de cuadrados necesarios para formar la figura del paso n es:

1 2 3 4 5 6

12

+ + + + + + + =⋅ +( )... nn n

Lo que hicimos en el estudio anterior fue calcular la cantidad de cuadrados de dos formas distintas y luego comparar los resultados. Esa idea es una estrategia muy utilizada en matemáticas para encontrar relaciones interesantes. En el desarrollo de esta parte de la Unidad la ocuparemos en varias ocasiones y tú le sacarás provecho cuando tengas que resolver los problemas.

Otra pregunta que nos podemos hacer respecto de las figuras que estamos estudian-do es, ¿cuál es el perímetro de la figura del paso n?

Lo que haremos esta vez será usar otra estrategia, bastante útil: conjeturar la ge-neralidad y luego que ya sospechamos el resultado, lo demostramos para asegurar que es cierta nuestra sospecha.

Construyamos una tabla donde, en una columna, colocaremos el número de lados de la figura y en la otra, el perímetro de la figura para algunos valores de n.

Figura número n Perímetro de la figura

n = 1 4

n = 2 8

n = 3 12

n = 4 16

n = 5 20

CARL FRIEDRICH GAUSS

(1777-1855)


Para muchos es el Matemático más im-portante de la histo-ria. Siendo un niño encontró la fórmula que presentamos en esta hoja, cuando el profesor le pidió que sumara todos los nú-meros del 1 hasta el 100. Se cuenta que rápidamente Gauss mostró el resultado 5 050, usando la rela-ción comentada.

1. Emplea la fórmula 1 2 3 4 5+ + + + + ... + =⋅ +( )

nn n 1

2 para encontrar la suma de los primeros 100 números

pares.

2. Conjetura cuál es el valor de la suma de los primeros números impares. (Ayuda: Utiliza una tabla como la anterior).

actividades

48

Números

Pero sólo hemos visto 5 casos, lo cual no nos puede dar certeza de que esto ocurra siempre.

Para asegurarnos de que nuestra conjetura es cierta, debemos pensar en un caso n cualquiera, es decir, pensar en total generalidad.

Si pensamos en la figura del caso n, ésta la podemos incrustar en un cuadrado, co-piando la idea del problema anterior. Es decir, la figura n la podemos inscribir en un cuadrado de lado n. Por ejemplo, mostramos el caso n = 4.

Notamos que hay dos lados de la figura que coinciden exactamente con dos lados del cuadrado. Falta medir los lados de la escalera que zigzaguean. Notamos que la parte zigzagueante (la que está pintada de rojo) tiene exactamente 4 lados vertica-les y 4 lados horizontales, que si los movemos los podemos hacer coincidir con los lados del cuadrado que no coinciden con la figura.

Así tenemos que el perímetro de la figura del paso n tiene el mismo perímetro que el cuadrado de lado n, pero sabemos que el perímetro del cuadrado de lado n es 4n . Por lo tanto hemos demostrado que nuestra conjetura es cierta, es decir, efectivamente el perímetro de la figura del paso n es 4n .

cuidadocEs importante notar que cuando se tiene una se-cuencia finita de térmi-nos, existen infinitas ma-neras de continuar esa secuencia, de modo que no se puede asegurar cuál es el término siguiente si uno no conoce la regla de formación de la secuen-cia. Por ejemplo, si tene-mos la secuencia 1,2,3,4 alguien podría decir que el siguiente es 5, pero eso no se puede saber. Por ejemplo, el que formó la secuencia estaba pen-sando en 1,2,3,4,1,2,34,1,2,3,4,1,2,3,4 y repite el ci-clo 1,2,3,4 o por ejemplo, puede indicar los pisos en que paró un ascensor:estaba en el 1 luego subió al 2, luego al 3, luego al 4, pero ¿quién puede decir donde parará después? Quizás volvió al 1 o subió directamente al 15, sin ha-cer paradas intermedias.

Según se observa en la tabla 1.4, en estos casos, el valor que hay en la columna de la derecha es 4 veces el valor que hay en la de la izquierda, entonces, si se mantiene un patrón, nuestra conjetura es:

El perímetro de la figura n-ésima es 4n

1

49

Unidad


Consideremos la tabla siguiente que tiene los primeros doscientos números na-turales pintados de azul y todos aquellos que son primos pintados de amarillo, salvo el 2 y el 3.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

Si notamos bien, a uno de los lados de cada número primo distinto de 2 y de 3 hay un múltiplo de 6. Sin embargo, hay múltiplos de 6 que no tienen un número primo al lado, por ejemplo el 186. ¿Por qué ocurre esto? ¿Será siempre así? Es decir, ¿es cierto que al lado de un número primo distinto de 2 y de 3 siempre hay un múlti-plo de 6?

Recordemos que un número primo positivo es un número distinto de 1 cuyos únicos divisores positivos son el 1 y el mismo. Por ejemplo, el 7 es primo, pero el 91 no lo es, pues el 13 es un divisor de 91.

Cualquier número par es divisible por 2 de modo que existe un único número primo que es par, el 2.

Como hemos visto antes, cuando dividimos un número natural por otro se obtie-ne un cuociente y un resto, que siempre es menor que el divisor. En particular, si dividimos cualquier número a por 6, resulta un cuociente q y un resto r. El resto r puede ser 0, 1, 2, 3, 4 y 5, y se cumple que a = 6q + r. Analizaremos cuáles son los posibles casos que permiten que a sea primo.

CASO 1Si r =2 se tiene que::

a = 6q + 2

pero ese número es par, por lo tanto, no es primo. Entonces, si el resto es 2, se tiene que a no es primo.

CASO 2Si r =3 se tiene que:

a = 6q + 3

importantei

Los números primos han sido un enigma desde la Antigüedad en la histo-ria del hombre. Se sabe que son infinitos. Tam-bién sabemos que entre un número y su doble siempre hay un número primo, pero también se sabe que hay intervalos tan largos cómo se quie-ra que no contienen nin-gún número primo. Hoy no se sabe como están distribuidos los números primos. Es un problema en matemática encon-trar fórmulas que permi-tan encontrar números primos. Por ejemplo, no se sabe en qué caso el vecino de un múltiplo de 6 es primo o no.

recuerdar22 : 7 = 3

1significa que

22 = 7 . 3 + 1

donde 1 es el resto y es menor que 7.

En general, si dividimos a : b, cuando b no es cero, se obtiene un cuo-ciente q y un resto r con 0 r < b, para los cuales se cumple:

a = bq + r

50

Números

Consideremos ahora el tablero de al lado. Para pintarlo, lo que hicimos fue pararnos en el 3 y luego fuimos sumando 3 cada vez y pintando de amarillo los números que resultaban de esta operación.

1. Si eliges cualquier número de la primera fila, luego vas sumando siempre un mismo número y pintas de algún color los números que vayan resultando, en algunos casos resultan diagonales y en otras, franjas verticales. ¿En cuáles casos resultan diagonales y en cuáles franjas verticales?

2. ¿Que relación tienen los números que forman franjas verticales con el tamaño del tablero?

3. Si se tiene un tablero de 12×12, y nos paramos en cualquier número de la primera franja, ¿cuáles son los valores constantes que si se suman permite que se formen diagonales?¿Cuáles números producen franjas verticales?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

notanSi tomamos un número n entero positivo, denota-mos por τ(n) al número de enteros positivos menores que n y que además son primos. Por ejemplo: τ(2)=0, τ(3)=1,τ(10)=4, etc.

Hoy nadie puede describir cuánto vale τ(n) para un n genérico. Es un tema muy vivo en matemáticas, mu-chos matemáticos hoy tra-bajan en este problema.

pero ese número es divisible por 3, por lo tanto no es primo. Entonces, si el resto es 3, se tiene que a no es primo.

CASO 3Si r = 4 se tiene que:

a = 6q + 4

pero ese número es divisible por 2 por lo tanto, no es primo. Entonces, si el r = 4, se tiene que a no es primo.

Entonces, los únicos posibles casos que permiten que a sea primo son los números de la forma 6q +1 o los de la forma 6q + 5. Como 6q + 1 es el sucesor de un múl-tiplo de 6 y

6q + 5 = 6q + 6 – 1 = 6(q + 1) – 1

es el antecesor de un múltiplo de 6, en ambos casos, se tiene que si a es primo, en-tonces está al lado de un múltiplo de 6.

La estrategia que usamos esta vez fue analizar exhaustivamente todos los casos, una estrategia válida y muy empleada en diversos problemas en matemáticas.

actividades

1

51

Unidad


1 En un criadero de conejos una hembra pare 5 crías cada tres meses, o sea que en el segundo periodo tendrá 5 crías más y así continuará cada periodo con 5 crías más que el anterior. ¿Cuántas crías ten-drá esta hembra, en condiciones normales, en su quinto periodo? Generaliza y escribe la cantidad de crías para su n-ésimo periodo.

2 A continuación se muestran unos triángulos equi-láteros a los que en cada etapa se les trazan sus medianas, subdividiendo cada triángulo en trián-gulos más pequeños. Construye el diagrama que corresponde a la cuarta etapa. ¿Cuántos triángu-los resultan en la quinta y sexta etapa?¿Cuántos triángulos pequeños hay en la n-ésima etapa?

3 * Observa las pirámides. La de la derecha corres-ponde a los cuadrados de los valores de la izquier-

da. ¿Cuál sería el valor de ( )99 999 2 y ( )999 999 2? Completa las filas de la pirámide. ¿Por qué se sa-tisface esta regularidad? Argumenta.

4 La red está formada por segmentos que van au-mentando a medida que la altura crece a 1 cm en cada periodo. ¿Cuántos segmentos se ne-cesitan para construir una red de 4 cm y 10 cm de altura? ¿Es posible construir una red con 56 segmentos? ¿Qué altura tendría? ¿Y con 66 segmentos? Explica tus respuestas.

5 Un maestro fue contratado para construir la de-fensa de una casa. Como muestra la figura de abajo, el primer diagrama consta de un hexá-gono regular al que se le agregan 2 triángulos equiláteros, obteniéndose el segundo diagrama. Luego a este diagrama se le agrega un hexágo-no regular obteniéndose el tercer diagrama. De esta forma, para obtener el diagrama posterior, al diagrama anterior se le agregan de manera alternada un hexágono regular y 2 triángulos equiláteros. Ayúdale al maestro para que pueda continuar la secuencia determinando la canti-dad de segmentos necesarios para construir la quinta, décima, decimoquinta y vigésima figura. Establece una fórmula que permita encontrar la cantidad de segmentos para la figura n.

6 ¿Cuál es la suma de los múltiplos de 3 hasta

300? Ayúdate con la fórmula demostrada de la suma de los primeros n términos.

7 1 2 2 12+ = − 1 2 2 2 12 3+ + = − 1 2 2 2 2 12 3 4+ + + = − 1 2 2 2 2 2 12 3 4 5+ + + + = − Conjetura cuál es el valor de:

1 2 2 2 2 2 2 2 22 3 4 5 6 7 8+ + + + + + + + ¿Cómo crees que será el caso general?


52

REF

UER

ZO

DE

LA U

NID

AD

1 Compara las siguientes potencias:

a) 5 1− y 4 1− b) 12

2

y 12

2

−

c) 1 3− y 1 7−

2 El animal volador más pequeño es la avispa parásita que mide 0,000139 m de largo. El macho de esta avispa es ciego y no vuela. Escribe su tamaño en centímetros empleando notación científica.

3 Entre los años 1940 y 1996, EE.UU ha gastado en armamento nuclear una suma cercana a los 5,8 millones de dólares. Transforma a pesos chilenos esta cifra y escríbela utilizando notación científica.

4 El virus del VIH es una partícula esférica con un diámetro menor a 0,000000110 m. Escribe esta medida en milímetros utilizando notación científica.

5 Durante el año 2002 en nuestro país asistieron 13 991 351 personas al cine. Expresa esta cantidad en no-tación científica.

6 Resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica:

a) ( )( )( )2 10 6 10 4 1010 7 4⋅ ⋅ ⋅ − c) 25 10 0 05 10

0 625 10

3 5

7

⋅ ⋅ ⋅⋅

− ,

,

b) 52 10 21 103 2⋅ + ⋅ d)4 000 0 016

0 000064 0 008⋅

⋅,

, ,

7 Resuelve:

a) − +3

2564

35

120 0416,

b) 11 2

34

234

18

+

: c)

6418

212

+

⋅ d)

58

110

25

214

−

−

8 Ordena los siguientes números reales de manera decreciente:

− 1 2, ; −1 2, ; − 12

; 0 12, ; 2 2

9 Estima entre qué par de racionales, hasta con un decimal, se encuentran las siguientes raíces:

a) − 27 b) 10 c) 82

10 Retomemos el problema de la amigdalitis de Antonia. Sabemos que las unidades del antibiótico que le

inyectaron mata 45

de las bacterias que están en su cuerpo cada día, o sea que al segundo día le quedan 15

de las bacterias que tenía inicialmente. Realiza en tu cuaderno una tabla que indique el día y fracción

de bacterias que mueren por día. ¿Qué fracción de ellas muere al tercer día, al cuarto y al octavo día? ¿Es posible que el antibiótico logre en un determinado número de días matar todas las bacterias? Fundamenta tu respuesta.

actividades finales

53

1Unidad


11 Se cuenta que el siguiente problema fue enviado por Wertheimer a Albert Einstein: “Una ameba se repro-duce por simple bipartición, cada división tarda 3 minutos en completarse. Cuando se coloca una ameba en un recipiente de cristal con un fluido de nutrientes, el recipiente se llena totalmente de amebas en una hora. ¿Cuánto tardaría en llenarse el recipiente si colocamos en el recipiente dos amebas en vez de una?”

12 Un biólogo toma una muestra de cierta colonia de bacterias para analizarlas; después de una ardua investi-gación descubre que éstas se duplican cada una hora. Si la muestra estaba conformada por 108 bacterias al mediodía:

¿Cuántas bacterias habrá a las 3 P.M. y a las 6 P.M.? ¿Cuántas bacterias habrá a las 12 P.M. del día siguiente?

13 El francés Leiton-Marliac obtuvo un excelente híbrido de planta acuática que hoy se extiende en todo el mundo: la Nynphaea se cultiva fácilmente utilizando sólo agua y buena tierra. En cortos periodos logra desarrollar gran cantidad de hojas grandes, protegiendo el agua de la luz solar, manteniéndola limpia, oxi-genada y libre de algas, además de proteger la fauna piscícola. Hay ciertos tipos de plantas acuáticas híbridas que tienen la capacidad de reproducirse duplicando la superficie que cubren, día a día. Si tenemos un terreno adecuado y se cultiva esta planta en una hectárea, ¿qué superficie tendrá cubierta después de una semana?, ¿y de un mes?

14 Un material radiactivo es aquél cuyos átomos se desintegran espontáneamente. Por lo tanto, con el trans-curso del tiempo la cantidad de material disminuye. En este contexto, se llama vida media de un material radiactivo al tiempo que tarda en reducirse a la mitad. Por ejemplo, el estroncio 90 es un isótopo radiactivo peligroso. Debido a su semejanza con el calcio, es fácilmente absorbido por los huesos del cuerpo humano. La vida media del estroncio 90 es de 28 años. Si una persona estuvo expuesta a una explosión nuclear y absorbió 100 gramos de estroncio 90:

¿Cuántos gramos de estroncio 90 le quedarán en el cuerpo de la persona al cabo de 56 años? ¿Cuántos años pasarán para que todavía quede menos de la décima parte del estroncio 90 inicial?

15 A mediados del siglo XVII el matemático inglés John Wallis demostró que el siguiente producto infinito de

racionales es igual a π2

:

21

23

43

45

65

67

87

89

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

En este producto sus términos se escriben de la siguiente forma: Los numeradores de las fracciones son números pares, que cambian cada dos fracciones de manera creciente, y los denominadores son números impares, los que cambian también cada dos fracciones a excepción del 1 que solo aparece en la primera fracción.

a) ¿Cuáles son los siguientes cinco términos de este producto infinito?

actividades finales

54

REF

UER

ZO

DE

LA U

NID

AD

b) Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

Término Producto de números racionales Notación decimal

121

221

23

⋅

321

23

43

⋅ ⋅

421

23

43

45

⋅ ⋅ ⋅

521

23

43

45

65

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

621

23

43

45

65

67

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

721

23

43

45

65

67

87

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

c) ¿Qué decimal de la tabla anterior aproxima de mejor forma π2

tomando a π con sus primeros 8 decimales?

16 El átomo de hidrógeno es el más ligero ya que tiene una masa de 17 10 27⋅ − g , ¿cuántos de estos átomos hay en 1 kg de hidrógeno?

17 La distancia del Sol al centro de la galaxia es de 27 000 años luz. Sabiendo que la velocidad de la luz es 300 000 km/s, ¿a cuántos kilómetros de distancia, aproximadamente, está el Sol del centro de nuestra galaxia?

18 La distancia de la Tierra a la Luna es de aproximadamente 353 680 km. Solo como un ejercicio de imaginación, para tener una idea de la velocidad de la luz, imagina, ¿cuánto demora una persona en llegar caminando a la Luna si lo hace a una velocidad de 1 m/s?

19 * Observa el caracol compuesto por una seguidilla de triángulos rectán-gulos. Calcula, empezando por el triángulo menor, la hipotenusa de dichos triángulos.

20 * Calcula el área del hexágono regular inscrito en la circunferencia de radio 1 cm y del hexágono regular circunscrito en la misma circunfe-rencia. Explica cómo esto puede dar aproximaciones de π .

21* ¿Siempre el cuadrado de un número es mayor que dicho número? ¿Por qué?

22 * Después de que Juan realizó una serie de cálculos, le apareció el siguiente resultado en la calculadora: 0,063583815028901734104046242774566.

¿Qué dirías tú acerca de este número? ¿Es racional o irracional?

En ese momento se acerca el hermano de Juan y le pregunta en qué ocupa ese número irracional que

aparece en la calculadora, pero Juan le comenta que es el racional 11

173 con sólo 33 decimales. Con

esto el hermano de Juan se percató que utilizando la calculadora es imposible verificar si un número

es irracional o no, ya que el periodo del número, en caso que lo tenga, puede aparecer muy tarde y

la calculadora no lo mostrará. Así, ambos se preguntaron: ¿después de cuántos decimales aparece el

periodo de 11

173? ¿Podrías ayudarlos a resolver su problema?

1cm

1cm

1cm

1cm1cm

1cm

1cm

Números

55

1Unidad


1 [Timss 1999] ¿Cuál de los siguientes números está entre 0,07 y 0,08?

a) 0,0075

b) 0,00075

c) 0,075

d) 0,75

2 0 00012

0 40 0027

900

2 2,

,:

,

=− −

a) 10 4−

b) 10 5−

c) 10 6−

d) 9 10 10⋅ −

3 La estación espacial Mir permaneció en órbita durante 15 años y en este tiempo dió aproxima-damente 86 500 vueltas alrededor de la Tierra a una altura de 400 km. Si el largo de la órbita de la Mir es de aproximadamente 40 000 km, ¿cuál es aproximadamente la distancia en no-tación científica recorrida por la Mir mientras estuvo en órbita?

a) 346 107⋅ km

b) 3 46 10 9, ⋅ − km

c) 3 46 109, ⋅ km

d) 0 346 1010, ⋅ km

4 Redondeado a la decena de kilogramo más próxi-ma, el peso de un delfín es 170 kg. ¿Cuál de las opciones siguientes no corresponde al peso del delfín?

a) 166 kg

b) 169 kg

c) 173 kg

d) 176 kg

5 El orden decreciente de

− − − − − ⋅ −5 2 2 21

10013 10 2; ; , ; ; , es:

a) − ⋅ − − − −−13 101

1002 2 2 52, ; ; ; , ;

b) − − ⋅ − − −−1100

13 10 2 5 2 22; , ; ; ; ,

c) − − ⋅ − − −−1100

13 10 2 2 2 52; , ; ; , ;

d) − − ⋅ − − −−1100

13 10 5 2 2 22; , ; ; , ;

6 En agua salada el sonido recorre 14 000 cm/s. Si las ondas sonoras tardan 3,5 s en llegar del sub-marino al buzo y tarda 5 s en llegar del mismo submarino al barco, ¿cuál es la distancia entre el buzo y el barco si los tres están sobre una línea vertical?

a) 1 190 m

b) 4 900 m

c) 7 000 m

d) 11 900 m

7 Tienes una sucesión de triángulos rectángulos, los que en cada paso aumentan su altura y base en una unidad, y se subdividen en triángulos rectán-gulos pequeños e iguales. ¿En cuántos triángulos pequeños se subdivide la novena figura?

a) 82

b) 80

c) 91

d) 81

autoevaluación

Álgebra




Ecuaciones de primer grado con coeficientes numéricos y

literales.


Resolver ecuaciones de primer grado con coeficientes numéricos y literales.

56




Productos notables.

Factorización de polinomios.Usar e interpretar convenciones algebraicas.

Unidad

En el 2005 se celebró el año mundial de la Física. En ese

año se cumplieron cien desde que Albert Einstein publicó

su Teoría Especial de la Relatividad. Al año 1905 se le de-

nomina Annus Marabilis debido a la gran revolución que

se produjo tanto en la física como en la Ciencia en ge-

neral por los descubrimientos de Einstein. La Teoría de la

Relatividad, utiliza resultados anteriores, debido a Loren-

tz, quien había definido transformaciones que involucran

las velocidades relativas de los observadores. La Teoría de

la Relatividad (TR) postula que la velocidad de la luz (que

es c m s= ⋅3 108 / en el vacío) es la velocidad límite, esto

es, nada se mueve más rápido que la luz. Otro de los

resultados de la TR es que la energía es proporcional a la

masa con constante el cuadrado de c, es decir, E mc= 2.

Un resultado sorprendente en la TR es que la masa no es

constante en el movimiento, es decir, la masa de un obje-

to depende de la velocidad con que se mueve, de hecho,

si m0 es la masa de un objeto en reposo, y m la masa

cuando se mueve con velocidad v, se tiene la siguiente

relación:

mvc

m22

021−

=

Lo que dice, por ejemplo, que si una partícula se mueve a

una velocidad de 0,9 c la masa aumenta a más del doble

que la masa del reposo.

2Unidad

57

58

1 Escribe como una sola potencia:

a) 73

73

2 5

⋅

−

b) 2 2

2

4 3

10

⋅ c) 6 25 5

2:( )−

2 Escribe a lo menos cinco múltiplos de:

a) 4 b) 15 c) 7 d) 23

3 Cuáles son los divisores de:

a) 36 b) 75 c) 120 d) 71

4 Calcula el área de las siguientes figuras:

a)

2,5 cm

1,2 cm b)

3 cm

c) 4 cm

0,8 cm

d)

5 cm

2,1 cm

2 cm

5 Encuentra el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones:

a) 2 17 21x − = b) 8 3 5 36x x− = + c) x x+( ) = +4 5 100 d) 25

14

53

x + = −

6 Determina el volumen de los siguientes cuerpos geométricos:

a) 2 cm

2 cm

4,3 cm

b)

1,5 cm

3 cm

c)

2 cm

d)

1 cm

5 cm

para recordar

2

59

Unidad


Variables

En variadas ocasiones se pueden establecer relaciones entre medidas, independien-temente del valor particular de los datos; por ejemplo, el perímetro de un cuadrado es cuatro veces la medida del lado, y esto es así para cualquiera que sea el valor del lado, así se tiene la relación siguiente:

Perímetro = 4 × (lado del cuadrado)

Por su parte, tenemos el área del cuadrado que se calcula multiplicando el lado del cuadrado por sí mismo, es decir,

Área = (lado del cuadrado) × (lado del cuadrado)

Desde la antigüedad se han utilizado símbolos para denotar las medidas variables y establecer fórmulas generales. Como los símbolos más utilizados son las letras se hace uso de ellas para denotar estas variables. Por ejemplo, si P es el perímetro del cuadrado y l es la medida de su lado, se tiene:

P = 4l

Recordemos que desde octavo básico denotamos la multiplicación escribiendo las letras y números, uno al lado del otro, es decir 4l es cuatro multiplicado por l.

Del mismo modo, si A denota el área del cuadrado de lado l, entonces la relación es:

A = l2

Para calcular el valor mensual de la cuenta de electricidad, se miden los Kilowatts hora consumidos en el mes. El valor de un KWH es de $68, además se cobra un cargo fijo de $509, independiente del con-sumo. Supongamos que en una casa se consumieran 181 KWH en el mes de enero:

1. ¿Cuál será el valor de la cuenta?

2. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla que relaciona los KWH consumidos con el valor de la cuenta.

Consumo (KWH) 180 200 220 250 280 300 330 350 370

Valor de la cuenta ($)

3. Nota que para cada valor del consumo C el valor de la cuenta es: V = 509 + 68C ¿Es consecuente esta fórmula con los datos encon-trados en la tabla anterior?

4. Si el valor de una cuenta fue de $23 629 ¿Cuál es el valor de con-sumo sin considerar el cargo fijo?, ¿cuál fue el consumo?

l

l

actividades

60

Álgebra

Las cantidades variables son denotadas por letras, y éstas en cada caso particular, ad-quieren valores numéricos. Las relaciones que se expresan usando letras son llama-das relaciones algebraicas y cuando le damos valores numéricos a esas expresiones decimos que estamos evaluando o valorando las relaciones algebraicas.

Por ejemplo, la relación algebraica de la introducción de esta Unidad es:

mvc

mo2

221−

=

donde m0 es la masa de un objeto en reposo, m es la masa del objeto cuando se mue-

ve con velocidad v y c es la velocidad de la luz en el vacío 3 108⋅

ms

Si evaluamos la expresión anterior para m0 1= mg, v = 0 9, c , se tiene que:

m2 21 0 9 1− ( )( ) =, mg2

o lo que es lo mismo:

m2 1 0 81 1−( ) =, mg2

0 19 12, m = mg2

Como m2 multiplicado por 0,19 resulta 1, se tiene que 1 dividido por 0,19 es m2 , es decir:

m2 1

0 19=

, mg2

= 5 263,

recordando la definición de raíces en la Unidad 1 se tiene que:

m = 5 263, mg = 2 294, mg

es decir, la masa aumentó a más del doble.

1. La fórmula vdt

= relaciona la velocidad media (v) con la distancia recorrida (d) en un tiempo (t). Evalúa esa

expresión para d = 100 km y t = 20 min, ¿cuál es la velocidad media expresada en km/h?

2. La fórmula h = −200 4,9 2t relaciona la altura h (medido en metros) de una piedra que se lanza desde un puente de 200 m de altura en el instante t medido en segundos. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla que para cada tiempo entrega la altura de la piedra.

Tiempo (s) 0 0,5 1 2 2,8 3,3 4,51 5,8 6,39

Altura (m)

¿Cuánto se demora, aproximadamente, la piedra en caer al suelo?

¿Demora más en recorrer la primera o la segunda mitad?

La velocidad de la piedra en cada instante t (medido en segundos) es v = 9 8, t medido en metros por segundo. ¿Cuál es la velocidad con que la piedra cae al suelo, aproximadamente?

mg2

actividades

2

61

Unidad


Existen varios paquetes computacionales, algunos gratuitos, que incluyen planillas de cálculo. Para utilizar esas planillas con eficiencia es necesario conocer algu-nos conceptos de relaciones algebraicas. A continuación te mostramos un ejemplo, donde evaluamos la expresión

V r h=

π3

2

que corresponde al volumen del cono de radio r y altura h.

En la primera columna, (columna A), introducimos los valores de r en centímetros, en la segunda columna agregamos los valores de h en centímetros y en la columna C, ponemos una fórmula en el lugar dispuesto para ello. En la imagen está marcado con un recuadro rojo donde se lee:

1 3 2 2 2 3 1416/ * * * ,( ) ∧A B

donde * significa multiplicar y ∧2 significa elevar al cuadrado, es decir, la ex-presión de arriba se lee: 1/3 multiplicado por el número que está en el lugar A2 al cuadrado, multiplicado por el número que hay en el lugar B2 y todo eso multipli-cado por 3,1416, que es el valor por el cual hemos aproximado aπ , el resultado de esto se guarda en el lugar C2. Si copias C2 en el resto de la columna C, la plantilla evaluará la fórmula en los valores de la fila correspondiente.

Supón que en una planilla de cálculo, en la primera columna in-gresas tus asignaturas, en la segunda columna la nota de la prime-ra prueba, en la tercera la nota de la segunda prueba y en la cuarta columna la nota de la tercera prueba. Entonces para calcular el

promedio de esas notas Nota Nota Nota1 2 33

+ + , deberíamos es-

cribir en el lugar de las fórmulas:

B C D2 2 2 3+ +( ) /

1. En el ejemplo de las notas, ¿cuál sería la fórmula si la tercera prueba fuera coeficiente 2?

2. En el mismo contexto, ¿cuál sería la fórmula si la primera valiera la mitad de cada una de las otras dos notas?

Usualmente, se anota la multiplicación escribien-do sólo los símbolos uno al lado del otro, es decir, ab. Esto es lo mismo que anotar a . b , que significa que a está multiplicado por b.

recuerda

r

h

r

actividades

62

Álgebra

En matemáticas las letras también sirven para denotar objetos matemáticos que no necesariamente son variables, de hecho, pueden ser números fijos, pero cualquiera dentro de un grupo, o pueden ser un único número. En ese caso, se utilizan para resolver ecuaciones o para representar generalidades

Por ejemplo, si m es la edad de mi madre y x es mi edad, es absolutamente cierto que: m x> Otro ejemplo es cuando no conocemos el valor de las letras pero no por ello po-demos afirmar que sean variables. Por ejemplo, si en mi bolsillo tengo solamente monedas de $50 y de $10 y en total tengo $230, denotamos por c la cantidad de monedas de $50 que tengo y denotemos por d la cantidad de monedas de $10; en-tonces, el dinero que tengo en el bolsillo es lo que tengo en monedas de $10, más lo que tengo en monedas de $50.

Como tengo d monedas de $10, entonces tengo 10d pesos en monedas de $10 y del mismo modo tengo 50 c pesos en monedas de $50. Es decir, el dinero que tengo en el bolsillo es 10d + 50c, pero como sabemos que el dinero total es $230, podemos asegurar que:

10 50 230d c+ =

Ya sea para encontrar valores desconocidos de las letras o para establecer relacio-nes generales de medidas o datos expresados con letras o símbolos, es necesario conocer las reglas que rigen las operaciones con letras y los convenios que facilitan la universal comunicación de las matemáticas. En lo que sigue nos dedicaremos a conocer estas reglas.

Una expresión algebraica es una cadena de letras, números y símbolos unidos por sumas, restas, multiplicaciones,

divisiones y potencias.

Por ejemplo:

43

3πr

es una expresión algebraica que denota volumen de una esfera de radio r.

La expresión algebraica vmxv

x m− +( )4 912

2 2, representa la altura (medida en me-

tros) de un proyectil lanzado con velocidad v desde el suelo. La letra m representa

un número relacionado con la inclinación del disparo y x es la distancia que ha

recorrido el proyectil en dirección horizontal.

•* ¿Qué significa que para algún valor de x la altura de un proyectil sea cero? ¿Qué pasa en la mitad de ese valor de x0?

x

actividades

2

63

Unidad


3 Para calcular la suma S de los ángulos interio-res de un polígono de n lados tenemos la fór-

mula S no= −( )180 2 .

a) Construye una tabla en la que aparezca la cantidad de lados de un polígono (desde n=3 hasta n=10) y la suma de sus ángulos interiores.

b) ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un pentágono regular?

c) ¿Cuál es la medida de un ángulo exterior de un heptágono regular?

4 La ley del flujo laminar descubierta por el médi-

co francés Jean Louis Marie Poiseuille, en 1840,

establece la velocidad a la que fluye la sangre a

través de un vaso sanguíneo considerado como

un tubo de largo l y radio R, viene dada por la

fórmula vP

R r= −( )42 2

η li , donde P es la dife-

rencia de presión en los extremos del vaso san-

guíneo, η representa la viscosidad de la sangre

y r la distancia que tiene el flujo desde el centro

del vaso sanguíneo a la pared del mismo.

a) Para un vaso sanguíneo pequeño conside-remos: η =0,027; R = 0,008 cm; l = 2 cm; r = 0,002 cm y P = 4 000 D cm/ 2 (dinas = D =g cm s/ 2

)

¿Cuál es la velocidad a la que fluye la san-gre? (recuerda utilizar notación científica para facilitar tus cálculos).

b) ¿Para qué valores de r la velocidad es mayor? ¿Qué significa este resultado en nuestro problema?

c) ¿Para qué valores de r la velocidad es menor? ¿Qué significa este resultado en nuestro problema?

1 La presión normal P sobre un cuerpo se defi-

ne a través de la siguiente fórmula: PFA

= , en

donde F es la fuerza que se ejerce por unidad

de superficie A. La presión que ejerce la atmós-

fera a nivel del mar es de 1,013 · 105N/m2,

entonces:

a) ¿Cuál es la presión que ejerce un elefante si su peso ejerce una fuerza de 40 000N y se mantiene en una pata sobre la superficie de una mesa de área 0,02 m2 ?

b) ¿Qué presión ejerce una mujer de 500N de peso sobre un zapato de tacón aguja de 0 0041, m2 de área?

2 La expresión algebraica F k x x= −( )0 corresponde a la

Ley de Hooke, que representa la relación entre el estiramiento de un resorte efectuado por una masa y la fuerza F (medida en Newton= N kg m s=

/ 2 aplicada por éste.

k es una constante propia de cada resorte, x la longitud final del resorte después de aplicarse la fuerza y x0 es la longitud inicial del resorte. En nuestro caso k=100 N/m y la longitud inicial xo = 0 5, m. ¿Qué fuerza debo aplicarle al resorte para que éste se estire 1,1 m? ¿Y para que se estire 2 m?


64

Álgebra

Términos semejantes

Una expresión algebraica en la que no hay sumas ni restas se llama término algebraico. Por ejemplo, la expresión del volumen del cono es un término algebraico, pero la ex-presión de la altura del proyectil no es un término algebraico, sino que es la resta de dos términos algebraicos. Los términos algebraicos son como las “moléculas de la expresión algebraica”. Un término algebraico tiene una parte literal (las letras con sus potencias) y una parte numérica (el número).

Como vimos en las páginas anteriores, un producto de variables se puede escribir de va-rias formas distintas, por ejemplo:

x y xyxy yx y yxyxy2 3 2 2 2= = =

pero no por eso diremos que sus partes literales son distintas, por el contrario, diremos que tienen la misma parte literal.

Cuando dos términos tienen la misma parte literal, esos términos se llaman semejantes.

Por ejemplo: 43

3πr y

323

3πr son semejantes,

en cambio 3 2 3xy z y 3 2 3x yz no son semejantes, pese a que tienen las mismas letras.

Cuando tenemos una expresión algebraica que contiene términos semejantes éstos se pueden reducir, es decir, sumar o restar términos semejantes según la operación que apa-rezca en la expresión. Además, la reducción es válida solo en el caso de existir términos semejantes

Si denotamos un objeto por una letra (x) y otro objeto con otra letra (y), entonces x y+ no es 2x ni tampoco 2y , pues son objetos distintos, por lo tanto no se pueden sumar. Si x es manzana e y es perro, entonces x y+ no es dos manzanas ni tampoco dos perros, es por esto que solo se pueden reducir términos semejantes. Solo los términos semejantes denotan los mismos objetos.

Por ejemplo 3 31 282 2 2xy xy xy− = −Recordemos que la multiplicación es conmutativa, es decir xy yx= para cualquiera que sean los valores de x e y. Por lo tanto, para reconocer términos semejantes, el orden en que aparezcan las letras no importa. Por ejemplo 3 3 32 3 3 2 2 3x z z x x z= = , sin embargo, es costumbre (es un convenio) escribir los números al inicio y luego las letras en or-den alfabético. De modo que el término 3 2x y es semejante con 4 2yx y por lo tanto, 3 4 12 2 2x y yx x y− = − .

Observemos que 1 multiplicado por cualquier número es el mismo número, por lo tanto 1 · x = x. De modo que cuando vemos un término algebraico sin mostrar explícitamente su parte numérica es 1.

2

recuerdarVolumen del

cono:

πr h2

3 Altura de un

proyectil:– 4,9 . t2 + vt

•* Reduce término semejantes: a) 5 12

72

2 2 2 2xy x y x x y− + + b) − − +21 7 35

2 2ab c abc acb

recuerdarRecuerda que cero multiplicado por cualquier número es 0, de modo que

0 · x = 0.

actividades

2

65

Unidad



1 Reduce términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:

a) a a a− +2 9

b) m m m2 2 22 7− −

c) 6 122 2 2 2 2 2x y x y x y− +

d) a b ab a b ab2 2 2 2

52

35

23

4− + +

e) − − + +316

47

52 2mn mn mn n m

f) 2 0 75 3 8 6 4 5 05p q pq p q+ − − +, , , ,

g) a b b a b a2 2 2 2 2 22 7 8 09 0 005 4+ − − + +, , ,

2 Para las siguientes figuras escribe una expre-sión algebraica que represente su perímetro:

a) 2ab

2ab

b) 5 3q p−

2p

p q−

c) 3 1y −

x y+

y

2 1x +

3 * Los punteros del reloj forman un ángulo recto a las 3 de la tarde. ¿Qué ángulo forman después de cada minuto?

Respondamos esto por pasos:

a) Notemos primero que por cada minuto el mi-nutero avanza una rayita pequeña. Es decir, por cada minuto avanza la sesentava parte de un ángulo completo. O lo que es lo mismo, cada 5 minutos recorre la 12-ava parte de un ángulo de 360o .

¿Cuánto mide el ángulo que el minutero logra en un minuto?

¿Cuánto avanza el minutero en t minutos?

b) El horario avanza 5 rayitas pequeñas en una hora, es decir, en 60 minutos recorre la duo-décima parte del ángulo completo, es decir, en 60 minutos recorre 30o .

¿Cuánto avanza el horario en 1 minuto?

¿Cuánto avanza el horario en t minutos?

c) Si el ángulo al principio era 90o. Entonces, después de t minutos habrá los 90o del principio, más lo que avanzó el horario y menos lo que avanzó el minutero. Escribe esto empleando el álgebra, reduce términos semejantes y describe el ángulo usando solo una vez t.

66

Álgebra

1. El volumen de un cubo es a3 , donde a denota lo que mide su arista. ¿Cuántas veces más grande es el volumen de un cubo de arista 2a que el volumen de un cubo de arista a?

2. El volumen de un cilindro de radio r y altura h es πr2h, ¿cuántas veces más peque-ño es el volumen de un cilindro que tiene la misma altura que otro pero la mitad del radio?

Potencias en álgebra

En la Unidad 1 vimos algunas propiedades de las potencias. Éstas fueron:

Si a > 0 y n,m se cumplen:

aa

an

mn m= −a a an m nm m n( ) = = ( )a a am n m n= +a0 1=

Pensemos ahora en dos números a y b y estudiemos las potencias de ambos. Con-

sideremos an y bn , números elevados a la misma potencia, ¿qué pasa si multipli-camos esos números? Revisemos primero el caso n y m positivos.

Ya que: a a a a an = ⋅ ⋅ + +. . .

y b b b b bn = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅. . .

Se tiene que: a b a a a ab b b bn n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅. . . . . .

Como la multiplicación es asociativa, podemos ordenar la multiplicación anterior como queramos, y la forma que escogeremos será escribir una b después de cada a:

a b ab ab ab ab ab abn n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅. . .

es decir, se multiplica n veces por sí mismo el número ab, por lo que se puede concluir que:

a b abn n n= ( )Es un ejercicio para ti verificar que la igualdad anterior también es cierta si n es negativo o cero, es decir, en general se tiene que:

Si n es entero, a > 0 y b > 0 se cumple que a b abn n n= ( )

El paréntesis en ab n( ) significa que la potencia es de todo el producto ab, en cam-

bio abn significará que sólo b está elevado a la potencia n.

3

Recuerda que an quiere

decir multiplicar n veces

a, cuando n es positivo

y significa multiplicar -n

veces 1

a cuando n es

negativo.

recuerdar

h

r

actividades

2

67

Unidad


Como la multiplicación es asociativa y también conmutativa, podemos agrupar los factores como queramos para multiplicarlos, por ejemplo:

xyx x yx x x y xx y x y2 2 2 2 3= ( ) = ( ) = ( ) =

Es decir, si en un término algebraico aparecen varias letras (algunas de ellas repe-

tidas) las podemos agrupar todas y luego aplicar la propiedad x x xn m n m+ = y dejar cada variable elevada a alguna potencia sólo una vez.

Por ejemplo: x y xyy x x xx y yy x y2 3 3 4 2 4 3 3 7 7= =

De nuevo, por la asociatividad y conmutatividad de la multiplicación, podemos juntar la parte literal de cada término y multiplicarlos entre sí, para tener una sola parte literal en el producto de dos términos, por ejemplo:

1413

1413

143

2 4 2 4 3x y xy x xyy x y( )

= ⋅

= 55

Hemos visto que a b abn n n= ( ) , estudiemos ahora el cuociente de dos potencias. Consideremos a y b dos números positivos y n un número entero. Pensemos, para empezar, en el caso en que n > 0 entonces:

ab

a a a ab b b b

n

n =⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

. . .

. . .

ab

ababab

ab

n

n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅...

es decir, la multiplicación de ab

por sí misma n veces, pero es la definición de la

n-ésima potencia, por lo tanto

ab

ab

n

n

n

=

Verificar que la anterior es una igualdad cuando n es negativo o cero, es un ejercicio para ti.

1. Escribe el producto de los siguientes términos algebraicos, como un término sin repeticiones de letras:

a) −

23

68

3 2 2 5x yz y xz b) −

( )5

4323 2 5abc y ab c)

53

81 3a a f

( )

2. ¿Es cierto que ab

ab a bn

m n m m n

⋅ ( ) = + − ?

3. ¿Qué fracción del volumen de la esfera de radio R es el volumen del cilindro de radio R y altura la misma que el radio?

4. ¿Es cierto que a

bab

n

n

n

−= ( ) ?

actividades

68

Álgebra

Consideremos dos cilindros donde las dimensiones de uno son la mitad de las del otro.

En la figura hh

´=2

y rr

´=2

, ¿cuántas veces cabe el volumen del cilindro

pequeño en el grande?

Como el volumen del cilindro más pequeño es:

V r hr h r h r h V

' ' '= ⋅ =

⋅ = ⋅ ⋅ = =π π π π22 2

2

2

2 2 2 2 8 8es decir, el volumen del cilindro chico es 8 veces más pequeño que el del cilindro mayor.

1. Si las dimensiones de un cilindro son tres veces más pequeñas que las de otro, ¿cuántas veces menor es el volumen del cilindro chico en comparación con el volumen del cilindro grande?

2.* Si x, y no son cero, ¿es cierto que x2y3y-1 siempre es un número positivo? (Ayuda: el cuadrado de un nú-mero real nunca es negativo)

Recordemos que la multiplicación de fracciones es:abcd

acbd

⋅ =

y también que

aa

an

mn m= −

Estas dos propiedades permiten escribir el cuociente de dos términos algebraicos como uno solo, por ejemplo:

105

105

22 6

2 4

2

2

6

41 2x yz

xy zxx

yy

zz

xy z= ⋅ ⋅ ⋅ = −

actividades

2

69

Unidad


Ya hemos aplicado la propiedad asociativa y conmutativa en la reducción de térmi-nos semejantes. Existe otra propiedad importante, la distributiva, que nos ayudará a comunicarnos mejor utilizando el álgebra.

La propiedad distributiva dice que si multiplicamos un número por la suma de dos términos es lo mismo que multiplicar el número por cada término y sumar los re-sultados, es decir, si multiplicamos a por b+c.

El resultado es el mismo que ab+ac, es decir:

Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac

Se puede ver geométricamente así:

a

b c

a a

b c

a

A la izquierda vemos un rectángulo de lados a y b+c que, como sabemos, tiene área a(b+c), por otra parte, el área del rectángulo grande es la suma del área de los dos rectángulos pequeños: el rojo y el negro. El rojo tiene área ab y el negro ac, por lo tanto, se verifica geométricamente que:

a b c ab ac( )+ = +

Un caso particularmente interesante es cuando a = −1 en ese caso resulta:

− +( ) = − + −1 1 1b c b c

pero habíamos convenido que − = −1a a por lo tanto:

− +( ) = − −b c b c

Por ejemplo:2 2xy xy z xy xy z xy xy xy z xy z− −( ) = − − −( ) = + − + = +

1. Reduce términos semejantes:

a) − −( ) − − −( )23

22 2xy xz xy xz b) − +( ) + −ad bc ad bc2 2

c) − − − ( ) + −2 3 3x xy yz x yz d) 12

2 2fg gf fg fg−( ) − −( ) 2. Supón que en la recta numérica a está a la izquierda de cero, ¿dónde está _a? ¿Es positivo o negativo?

recuerdarLa multiplicación no la anotamos, de modo que cuando estén dos símbo-los, uno al lado del otro, significa multiplicación. En particular a(a + b) significa a . (a + b). Si el paréntesis no estuviese, ab + c, significa que a solo multiplica a b.

recuerdar_a denota el opuesto de a, es decir

a + _a = 0 = _a + a.

Por ejemplo, el opuesto de _1 es _(_1), pero _(_1)=(_1)(_1)=1, se tiene que _(_1)=1. En general _(_x)=x. En particular, si a = _1 se tiene que _a = 1.Por lo tanto, no es cierto que _a es un número negativo en general, el signo de _a depende del signo de a.

actividades

70

Álgebra

1 Calcula el área de las siguientes figuras de acuerdo a los datos entregados:

a)

7 2p q

4p b) 12xy

c)

8 5m n+

3 5 3, m

13 5m n−

2 Escribe el producto de los siguientes términos algebraicos como un término, sin que haya le-tras repetidas:

a) 5 22 3 4a b a⋅

b) 5 22 3 4a b a( ) ⋅ ( )

c) 142

34

yxxy⋅

d) 142

34

yxxy( ) ⋅

( )

3 Verifica la igualdad en las siguientes expresio-nes algebraicas:

a) a a a am m m m+ − − + += ⋅4 5 4 5:

b) 3 3 94 6n n− −⋅ =

c) 5 5

55

2n m m

nm

− ⋅ =

d) 34

34

43

2 5 3

⋅

=

− − −n n

4 Si el volumen de un cubo es 13 824 cm3, ¿cuál es el volumen de otro cubo cuya arista es el doble de la del cubo anterior? Resuelve sin cal-cular el valor de la arista.

5 Escribe el producto de los siguientes términos algebráicos, como un término sin que haya le-tras repetidas.

a) 34 9

4 53

x yz

x y⋅

−

b) 1814

2 3a b abc⋅

c) m nm n

22

2 12

22

⋅ ( )− −

6 Escribe el cuociente de los siguientes términos algebraicos como un término, sin que haya le-tras repetidas:

a) 36

2

3 4

7 2

p q z

pq z b) 15

18

4 2

2 3

a bc

ab c

−

−

c) 10

25

2 4

3 2

ab x

a b c

− −

−

7 Distribuye y luego reduce términos semejantes:

a) x x y− −( ) b) a b a+ − ⋅ − +( )1

22 3

c) − +( ) − −( )2 4 3 8 10x y y x

d) a b a a b2 2 2 2 22 3− − +( ) − −( ) e) 3

32

2x

xy x

y− + − +

f) a a b a b c a+ − +( ) − − + −( ) + 2

g) x y xy x y

xyxy2 2

2 43

547

− − +

−

8 Si el cuociente de dos números es 11, ¿es po-sible calcular el cuociente de sus cuadrados sin conocer los números?


2

71

Unidad


Igualdades y ecuaciones

En ciencias es muy importante conocer igualdades de expresiones algebraicas, ya hemos visto varias, por ejemplo:

T

Lg

2 24= π

es una igualdad entre el periodo T de un péndulo con el largo de la cuerda L que lo sostiene y la aceleración de gravedad g.

Podría ocurrir que sea fácil medir el periodo de oscilación (el tiempo que toma en volver a su posición inicial), pero no tener acceso al péndulo, de modo que no se pueda medir directamente el largo de la cuerda. ¿Cómo hacer para conocer el largo de la cuerda?

Lo que debiéramos hacer sería obtener una relación, a partir de la anterior, que presente a L sola, en un lado de la igualdad y al otro todos los demás términos. Para ello necesitamos saber qué operaciones podemos realizar en una igualdad, para que ésta siga siendo cierta.

Podemos pensar una igualdad como si fuera un espejo: que corresponde al signo igual y ambos lados de la igualdad son el objeto real y su reflejo.

Si uno está frente a un espejo y se pone un sombrero, obviamente en la imagen reflejada apareceremos con un sombrero, pues si no, no seríamos iguales a la ima-gen reflejada. Si se nos agrega un hermano al lado nuestro, en la imagen aparecerá nuestro hermano. Con las igualdades algebraicas pasa lo mismo, si hacemos una cosa a un lado de la igualdad debemos hacer lo mismo al otro lado; por ejemplo, si a un lado multiplicamos por 2, al otro lado debemos multiplicar por 2 para mante-ner la igualdad, si a un lado restamos a, al otro lado también debemos restar a. En este sentido es correcto multiplicar en ambos lados por cero, pero la ecuación que resulta no es equivalente a la primera, pues se pierde toda la información.

Por ejemplo, en la igualdad T2 = 4 2π Lg

podemos sumar 20 a ambos lados y resulta:

T2 + = +20 4 202π Lg

lo que es cierto, pero puede que no sirva para nada.

Tomemos la igualdad inicial T2 = 4 2π Lg

y multipliquemos por g, resulta:

gT2 = =4 42 2π πLg

g L , ahora multipliquemos por 1

4 2π

gT2

24π= ⋅ = = =4

14

44

122

2

2ππ

ππ

L L L L

4

L

Tg

72

Álgebra

1. El flujo sanguíneo en un vaso capilar (el volumen de sangre por unidad de tiempo que pasa por un punto dado) es F kR= 4, donde k es un valor constante, un número fijo, y R es el radio del vaso. Despeja k. ¿qué

pasa con el flujo si R4 es pequeño?

2. En cada igualdad despeja a:

a) 2 2a b+ =P b) 23a

y x− = c) ma kx= − d) a

c2

4+ = e) F = ma f)* ax ay=

recuerdarEl inverso multiplicativo de a, si a no es cero, es

aa

− =1 1

Por ejemplo:

El inverso de 2

3

es 12

3

3

2=

Es decir:

L =gT2

24πque es exactamente lo que pretendíamos: lograr dejar la L sola a un lado de la igualdad y al otro los demás términos. Si, por ejemplo, el periodo de oscilación es 2,5 s y aproximamos la aceleración de gravedad por 9 8 2, /m s y π por 3,1416, nos queda que el largo de la cuerda es:

m

es decir, podemos afirmar que la cuerda mide 1 metro y 55 centímetros aproxima-damente, sin usar una huincha de medir, ¡sino un cronómetro!

Cuando en una igualdad algebraica, luego de hacer operaciones a ambos lados de

la igualdad, obtenemos a un lado una sola variable, decimos que hemos despejado

esa variable; en el ejemplo anterior despejamos L. Notemos que para despejar L

multiplicamos por dos términos algebraicos, primero por g y luego por 1

4 2π, la

pregunta es, ¿por qué escogimos esos términos y no otros? La respuesta es que

esos números se relacionan con los términos que acompañan a L en la igualdad. El

lado derecho de la igualdad inicial era:

4 412 2π πL

g gL= ⋅ ⋅

como a L lo está multiplicando 1g

y 4 2π , entonces multiplicamos por los inversos

multiplicativos de cada uno de ellos, es decir, g y 1

4 2π.

En el caso de suma aplicaríamos el inverso aditivo, por ejemplo si:

2a b d+ =

para despejar b, aplicamos el inverso aditivo de 2a , es decir, −2a , y obtenemos

− + + = −2 2 2a a b d a o lo que es lo mismo b d a= − 2 .

actividades

2

73

Unidad


Paula dice que su papá, que tiene el triple de edad de ella, la pasa por 30 años. ¿Cuál es la rela-ción entre la edad de Paula y su padre? ¿Cuál es la edad de Paula?

apliquemos

1. En cada caso despeja a:

a) 2 3 5a c a c− = + c) 323 2

1− = +aa

e) 1 3− = +a c a

b) 3 2a x x a−( ) = −( ) d)* a

a+ =12

13

f)* 1 2

2a a

= +

Solución: Como Paula tiene 30 años menos que su padre, si a la edad de Paula le sumamos 30 años resulta la edad del papá. Si denotamos por e la edad de Paula y por p la edad de su padre se tiene que:

p e= + 30

Como el padre tiene el triple de edad de Paula, significa que e e e p+ + = o lo que es lo mismo, 3e p=

Ahora, como p e= 3 y como p e= + 30 , se tiene que 3 30e e= + .

En la relación anterior, aparece la letra e a ambos lados de la igualdad, en esos casos se procede del mismo modo que antes, es decir, aplicar la misma operación a ambos lados de la igualdad, con el objetivo de juntar la letra que queremos despejar a un mismo lado de la igualdad. En el ejemplo anterior, sumaremos el inverso aditivo de e a ambos lados, es decir, sumaremos −e.

Así se tiene: 3 30e e e e− = + −

o lo que es lo mismo, después de reducir términos semejantes:

2 30e =

Ahora, multiplicando por el inverso multiplicativo de 2, es decir, 12

, resulta:

12

212

30e = ⋅

e = 15

Es decir, Paula tiene 15 años.

problema resuelto

74

Álgebra

Sayen Caniumilla estudia en Arauco, está en primero medio, su hermana Sofía está en la universidad y estudia en Concepción; le envía 60 problemas de desafío cada semestre a su hermana y le da 300 pesos a Sayen por cada problema resuelto correctamente. En cambio por cada problema que Sayen resuelve mal, ella debe dar 20 pesos a Sofía. Si al final del semestre Sayen logró juntar $8 400, ¿cuál fue el número de respuestas correctas?

Solución: Si denotamos por c la cantidad de preguntas correctas, se tiene que las erradas son todas menos las correctas, esto es, 60 − c . Entonces el dinero que le dió Sofía a Sayen es $300 multiplicado por la cantidad de preguntas correctas, o sea, 300 c pesos.

A su vez, Sayen le dió a Sofía 20 pesos por cada respuesta errada, esto es 20 60 −( )c , entonces el dinero con el cual se queda Sayen es 300 20 60c c− −( ), pero como eso es 8 400 se tiene que:

300 20 60 8 400c c− −( ) =

Ahora necesitamos despejar c para conocer el número de respuestas correctas.

Cuando tenemos una igualdad donde una letra representa un valor desconocido que hay que dilucidar cuál es, se habla de una ecuación, y cuando despejamos la letra que representa el valor desconocido, que llamamos incógnita, decimos que estamos resolviendo esa ecuación.

Resolvamos esa ecuación de las respuestas correctas de Sayen:

300 20 60 8 400c c− −( ) =

300 1 200 20 8 400c c− + = / distribuimos −20en 60 −( )c

320 1 200 8 400c − = / reducimos términos semejantes

320 8 400 1 200c = + / sumamos el inverso aditivo de −1 200.

320 9 600c = / sumamos al lado derecho

c = 9 600320

/ multiplicamos por 1

320, el inverso multiplicativo de 320

c = 30

Es decir, Sayen respondió 30 preguntas correctamente y 30 de forma incorrecta.

apliquemos

1.* Un tren recorre en cierto tiempo la distancia entre dos ciudades. Si aumenta su velocidad en 20 km/h, realiza el recorrido en 1,4 h menos. ¿Cuál es la velocidad del tren durante el primer viaje?

2. En mi bolsillo tengo $730 entre monedas de $10 y de $50. Si tengo 5 monedas de $50 más que las de $10, ¿cuántas monedas de $10 tengo?

El 0 no tiene inverso multiplicativo, es de-cir, si ax b= y quie-res despejar x debes saber que a no es 0, pues podrías cometer un error al escribir:

x

b

a=

problema resuelto

2

75

Unidad



apliquemos

1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla. En cada casillero se indica el rango de masa medida en kilogramos que permite a una persona ubicarse dentro de alguna de las categorías.

1,4 m 1,45 m 1,5 m 1,55 m 1,6 m 1,7 m 1,75 m

Normal 45 - 52,6 SobrepesoObeso

2. ¿Cuánto podría pesar una persona que mide 1,8 m para ser considerado obeso mórbido?

OBESIDAD De acuerdo con datos de la Organización Mundial de la Salud (OMS), más de un billón de adultos tiene sobrepeso y al menos 300 millones de ellos es obeso. El riesgo de sufrir graves enfermedades como diabetes, hipertensión y derrame cerebral, afecciones cardiacas y ciertos tipos de cáncer es el resultado de estar sobre peso u obeso. Las razones clave del sobrepeso y la obesidad son el consumo de alimentos densos en energía, altos en grasas saturadas y azúcar y la reducida actividad física.

Sólo para mostrar lo terrible del problema, podemos decir que el 90 % de las personas que sufren diabetes son obesos o tienen sobrepeso. En Chile, desde 1970 al 2000, el cáncer vesicular se ha triplicado, la hipertensión está presente en el 33, 7 % de las personas y 35, 4 % de la población tiene el colesterol elevado.

En nuestro país el 22% de la población es obesa, es decir, tiene un índice de masa corporal (IMC) mayor de 30; 38 % de la población tiene sobrepeso y 1,3 % tiene obesidad mórbida, lo que en total suma 61,3 %. Los datos de la actividad física en Chile son dramáticos: el 73 % de nuestra población no realiza actividad física, el 18 % realiza alguna actividad, a lo más, dos veces por semana y sólo el 9 % realiza una actividad de 30 minutos diarios, a lo menos tres veces por semana. En promedio, miramos televisión 2 a 3 horas diarias en los días no festivos y los fines de semana aumenta a 4 y 5 horas diarias.

La solución es obvia: disminuir la ingesta de estos alimentos altos en grasas saturadas y azúcar, aumentar la ingesta de alimentos altos en fibra e incrementar la actividad física, pero al parecer, lo obvio no es necesariamente simple.

El índice de masa corporal al cual se refiere el texto de arriba se define como:

= m

h2

donde m es la masa de la persona (medido en kilógramos) y h es la altura de la persona medida en metros,

es decir, el IMC tiene unidades de kg m/ 2 . Para la OMS una persona es normal, respecto a su peso y

talla, si su IMC está entre 18 52

,kg

m y 24 99

2,

kg

m. Tiene sobrepeso si su IMC > 25

2

kg

m; se habla de obeso si

IMC > 302

kg

m y obeso mórbido si IMC > 40

2

kg

m.

investiga

Investiga en la página web de la OMS, de Minsal y del INTA, acerca de la obesidad, y sus efectos. ¿Es considerada la obesi-dad una enfermedad?

i

El aumento en la actividad física es una de las soluciones para la

obesidad.

76

Álgebra

1 La siguiente balanza está equilibrada. Si la caja roja tiene calugas idénticas a las azules. ¿Cuántas calugas hay en la caja?

2 La siguiente balanza está equilibrada. Si cada caja roja tiene calugas idénticas a las azules y las cajas tie-nen la misma cantidad de calugas. ¿Cuántas calugas hay en una de las cajas rojas?

3 La siguiente balanza está equilibrada. Si cada caja roja tiene calugas idénticas a las azules y las cajas tie-nen la misma cantidad de calugas. ¿Cuántas calugas hay en una de las cajas rojas?


2

77

Unidad


4 Explica por qué se puede afirmar que la balanza está artificialmente equilibrada.

5 Explica por qué se puede afirmar que la caja puede tener cualquier cantidad de calugas y siempre man-tener la balanza equilibrada.

6 Resuelve las siguientes ecuaciones y relaciónalas con las balanzas anteriores:

a) x + 3 = 5

b) 2x + 3 = 7

c) 2x + 8 = x + 12

d) 2x + 8 = 2x + 12

e) 2x + 8 = 2x + 8

7 Representa las siguientes ecuaciones con balanzas:

a) 3x + 3 = 9

b) 2x + 3 = x + 7

c) x + 2 = x + 4

d) x + 8 = 2x − 12

e) 3x + 3 = x + 7

f ) 3x + 8 = 2x −12

78

Álgebra

1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 6 3 5 2z z− = +

b) 7 3 2 6 2 8 11x x+( ) − +( ) =

c) 2 1 5 1 4x x+( ) + −( ) =

d) 53

25 4

32

+ = +xx

e) 2 3

5

3 4

41

2

x x−( )+

+( )= −

f) 2 43

2 94

13

x x x− = + − −

2 Para las siguientes fórmulas despeja la variable que se indica:

a) Ley de Gravitación Universal F GMm

r= ⋅

2.

Despeja la masa M.

b) Ley de Hooke F = −( )k x xo . Despeja el largo total x del resorte.

c) Volumen de un cono es V= 13

2πr h. Despeja la altura h.

d) El capital C que se obtiene al invertir una cantidad Co durante un periodo n en una institución financiera con un interés simple

i es: C Co= 1+( )ni . Despeja el interés i.

3 Encuentra el valor de las incógnitas que se indican:

a) El volumen de un cilindro es V= πr h2 . Escribe la altura en términos de las otras variables y determina la altura del cilindro que tiene un

volumen de 300 m3 y radio basal r = 4 m.

b) La presión, la calculamos usando PFA

= .

Calcula la fuerza que ejerce la presión atmosférica sobre una persona de 1,80 m de altura promedio, acostada, si tiene una superficie aproximada de 0,62 m2.

¿Cuál es el área de la superficie de una mesa, si la presión atmosférica aplicó una fuerza de 100 N?

4 Resuelve los siguientes problemas:

a) Halla dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.

b) Pagué $325 000 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó $80 000 más que el coche y los arreos $25 000 menos que el coche. Halla el precio de cada producto.

c) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.

d) De un estanque lleno de bencina, un auto-

móvil consumió una cantidad igual a 78

de

su capacidad. Reponiendo 38 litros, la canti-

dad de bencina llega a las 35

partes del es-

tanque. ¿Cuál es la capacidad del estanque?


2

79

Unidad


• Evalúa la fórmula de Fermat para n=1, para n=2, para n=3. Verifica que en esos tres casos el resultado es un número primo.

Generalidades numéricas

El lenguaje algebraico es muy útil para expresar ideas generales. Por ejemplo, si sumamos dos números pares el resultado es siempre par, ¿cómo podemos compro-bar esto?

a 2 4 6 8 94 44 32 48 42 34 66 72 88 92

b 68 56 90 4 28 26 34 20 26 14 16 12 6 4

a+b 70 60 96 12 122 70 66 68 68 48 82 84 94 96

En la tabla vemos varios ejemplos donde se cumple lo anterior. Pero, si es cierto para estos (pocos) casos, ¿será cierto siempre? En la historia existen ejemplos de matemáticos que afirmaron que un resultado era cierto sólo comprobando unos po-cos casos, y luego se demostró que la afirmación era falsa. Un ejemplo famoso es el del Matemático francés Pierre Fermat (1601-1665), quien dijo que los números de la forma:

2 12n +

siempre eran primos, para cualquier número natural n. Fermat comprobó para los primeros 4 números naturales, y en todos esos casos resultó ser un número primo. Por ejemplo para el caso n = 1 , resulta 2 1 2 1 4 1 521 2+ = + = + = que como sabe-mos es un número primo.

Sin embargo, mucho tiempo después que Fermat propusiera esos números, el ma-temático suizo, Leonhard Euler (1707-1783) demostró que para n = 5 , el número que resulta de la fórmula de Fermat no es primo, ese número es:

2 1 2 1 4294967297 641 670041725 32+ = + = = ⋅

que como era muy grande, Fermat no alcanzó a verificar. El error que cometió el matemático francés fue no dar una demostración general de su conjetura.

Volvamos al estudio de la suma de los números pares. Como sabemos, no basta verificar algunos casos para asegurar que la suma de dos números pares es siempre un número par. Recordemos que un número es par si al dividirlo por dos resulta un número entero, es decir, al dividirlo por dos resulta resto cero, o lo que es lo mismo, un número par es el doble de un número entero. Es decir, si tenemos un número par N, entonces ese número es dos veces otro número entero, digamos n, es decir:

Si N es par, entonces N = 2n para algún número entero n.

5

importantei

Como 0 = 2 . 0, entonces0 es par. Recuerda, ade-más, que 2 es el único primo par positivo.

nota

Hoy en día no se sabe si la fórmula de Fermat permite encontrar infi-nitos números primos. Es un tema de investiga-ción para los matemáti-cos del mundo solucio-nar ese problema.

n

actividades

80

Álgebra

Ahora bien, si tenemos dos números pares N y M, entonces N es el doble de un número entero y M de otro número entero. Es decir, N = 2n y M = 2m para ciertos números enteros n y m. Entonces N + M = 2 2n m+ .

Por otra parte, 2 2 2n m n m+( ) = +entonces N + M = + = +( )2 2 2n m n m es decir, N + M es el doble del número entero n m+ , luego N + M es par.

En definitiva hemos demostrado que:

La suma de dos números pares es par.

Esa misma propiedad la podemos ver geométricamente: imaginemos a un número par como dos filas de la misma cantidad de baldosas.

Ahora, si tomamos dos números pares, estos los podemos ver como dos juegos de baldosas como el de arriba, pero tal vez de distinto largo.

La suma de esos dos números pares es el que resulta de pegar estas baldosas, que como se ve de nuevo, son dos filas del mismo número de ellas, es decir, un número par.

1. ¿Es un múltiplo de 4 un número par?

2. Cuando divides un número entero por 2 el resto es 0 ó 1. ¿Cómo se llaman los números que al dividirlos por 2 dan por resto 1?

3. ¿Cómo representarías un número impar usando baldosas? ¿Cómo representarías un número que es múl- tiplo de 3 usando baldosas ?

4. ¿Es la suma de dos múltiplos de 3 un múltiplo de 3?

actividades

2

81

Unidad


1. ¿Qué resulta de multiplicar un par por cualquier número entero?

2. Demuestra que la suma de un número y su sucesor es impar.

3. Escribe la suma de 4 enteros consecutivos donde n es el segundo. ¿Es par esa suma?

4. ¿Es cierto que todo múltiplo de 6 es un múltiplo de 3? Justifica tu respuesta.

Si n, p y q son números enteros que satisfacen n pq= , decimos que:n es múltiplo de p. n es múltiplo de q. p es un divisor de n. q es un divisor de n.

Por ejemplo, 33 3 11= ⋅ , por lo tanto 3 es un divisor de 33, o dicho de otro modo, 33 es múltiplo de 3.

En general, un múltiplo de 3, es 3 multiplicado por algún número entero n, es decir, cualquier múltiplo de 3 se escribe en la forma:

3n

Si n es un número entero, entonces su sucesor es el mismo número al cual se le agrega una unidad, es decir n +1. De igual manera, el antecesor de n es el mismo número al cual se la ha quitado una unidad, es decir n −1, por lo tanto los números n −1, n , y n +1 son tres enteros consecutivos, donde n denota al del medio. ¿Qué se obtiene si sumamos tres enteros consecutivos? La suma de tres enteros consecutivos cualquiera es:

n n n n− + + + =1 1 3

es decir, la suma de tres números enteros consecutivos resulta el triple de un núme-ro entero, es decir:

La suma de tres números consecutivos es un múltiplo de 3.

Todo número impar es el sucesor de un número par. Como un número par se escri-be en la forma 2n , entonces su sucesor es 2 1n + . Es decir, cualquier número impar se escribe en la forma: 2 1n + para algún entero n .

Ahora bien, ¿qué resulta de multiplicar un par por un impar? Denotemos por 2n al número par y por 2 1m + al número impar, entonces el producto de esos dos números es:

2 2 1 2 2 1n m n m+( ) = +( )

es decir, el doble de n m2 1+( ) por lo tanto, es un número par.

Resumiendo:

El producto de un par por un impar es par.

actividades

82

Álgebra

Cuando estabas en educación básica conociste varios criterios de divisibilidad, uno de ellos era: “si el número formado por las dos úiltimas cifras de un número es múl-tiplo de 4, entonces el número es múltiplo de 4”. Probemos esta propiedad, ahora que tenemos las herramientas.

Si a un número x, le restamos el número formado por sus dos últimas cifras, resulta un número con dos ceros al final de su notación decimal. Si el número de decenas es a y el de las unidades es b y como todo número que tiene dos ceros al final es múltiplo de 100, se tiene que lo de arriba se escribe

x – (10a + b) = 100co lo que es lo mismo

x = 100c + 10a + b

Si el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4, se tiene que el número

100c + (10a + b)

es múltiplo de 4, pues 100c = 4 · 25c lo es y también (10a + b). Resumiendo, hemos demostrado que:

Si el número formado por las dos últimas cifras de un número, es divisible por 4, entonces el número completo es divisible por 4.

1. En la demostración del criterio de divisibilidad de 4, dijimos que la suma de dos múltiplos de 4 resulta un múltiplo de 4. ¿Por qué es eso cierto?

2. Si un número tiene un par en el lugar de las unidades, ¿es cierto que el número es par?

3. Prueba el criterio de la divisivilidad por 5, esto es “un número entero que termina en 0 o en 5 es divisible por 5”

4. Representa un número impar como dos filas de baldosas, donde una fila tiene una baldosa más que la otra. Haz lo mismo con otro impar. Demuestra que la suma de dos números impares es par.

5. Si sumas un número de dos cifras con aquel que resulta al cambiar de posición los dígitos siempre resulta un múltiplo de 11. ¿Por qué?

actividades

2

83

Unidad


Una idea errada muy común es pensar que el cuadrado de un número positivo es siempre mayor que el número es decir, si x > 0 , entonces x2 está a la derecha de x.

x x2

Sin embargo, hay números como el 12 , que su cuadrado

14

es menor que él, de he-cho:

14

0 25 0 512

= < =, ,

La pregunta que surge es: ¿cuáles son los números positivos cuyo cuadrado es me-nor que el propio número?

Para conocer tu respuesta nos ayudaremos con el lenguaje algebraico: ¿qué signi-fica que a b< ? Entre otras cosas significa que si a b le quitamos a aún nos queda algo positivo, es decir, la resta entre b y a es un número positivo.

b a−a b0

Tomemos un número positivo x entre 0 y 1. Por lo tanto 1− x es un número positi-vo, y como el producto de dos números positivos resulta positivo, se tiene que:

x x1−( )es positivo, pero si distribuimos resulta:

x x− 2

que como dijimos es un número positivo, es decir, si a x le quitamos x2 aún nos queda un número positivo, es decir,

x x> 2

Resumiendo, hemos demostrado que:

Si x está entre 0 y 1, entonces x x2 < .

1. Demuestra que si x > 1, entonces x < x2.

2.* Si 0 < x < 1, ubica los siguientes números en la recta real:

a) 1 b) x c) x2 d) x3 e) x−1 f) 1− x g) 12x

¿De qué depende que 1− x esté a la izquierda o derecha de x? (Ayuda: ¿cuando 1 − x = x?).

actividades

84

Álgebra


1 Si a y b son dos números naturales sin divisores comunes, salvo el 1, tal que ab

es un decimal finito. ¿Es cierto que b solo tiene como divisores primos al 2 y al 5?

2 Martina le dice a su hermana menor Violeta: “piensa un número de dos cifras”, Violeta pone cara de pensamiento y luego le dice: “ya, ya pensé”. Martina le pide: “Dime el número de las decenas”. Violeta se lo da. Martina le dice que sería muy fome adivinar el número que pensó, sino que adivinará algo más difícil, le dice que adivinará el número que pensó menos la suma de los dígitos del número. Martina pone cara de magia y efectivamente dijo lo que prometió que adivinaría. ¿Puedes explicar cómo Martina hace su magia?

3 Supón que tienes un balde que tiene una capacidad de 4 litros y otro de capacidad 7 litros. Los baldes no tienen medidas intermedias. Supón además que tienes un recipiente muy grande donde puedes vaciar el agua de los baldes y que además tienes acceso a un río que te provee de toda el agua que desees.

a) ¿Puedes medir exactamente 5 litros? Muestra una estrategia para hacerlo.

b) ¿Puedes medir exactamente 6 litros? Muestra una estrategia para hacerlo.

c) ¿Puedes medir exactamente 13 litros? Muestra una estrategia para hacerlo.

d) Si n es un número natural, ¿puedes medir exactamente n litros? Muestra una estrategia para ha-cerlo.

4 litros 7 litros

2

85

Unidad


4 Supón que tienes un balde que tiene una capacidad de 8 litros y otro de capacidad 6 litros. Los baldes no tienen medidas intermedias. Supón además que tienes un recipiente muy grande donde puedes vaciar el agua de los baldes y que además tienes acceso a un río que te provee de toda el agua que desees.

a) ¿Puedes medir exactamente 4 litros? Muestra una estrategia para hacerlo.

b) ¿Puedes medir exactamente 14 litros? Muestra una estrategia para hacerlo.

c) ¿Puedes medir exactamente 13 litros? Muestra una estrategia para hacerlo o explica por qué no se puede hacer.

d) Si n es un número natural, ¿puedes medir exactamente n litros? Muestra una estrategia para ha-cerlo.

5 Considera dos números naturales a y b. Supón que tienes un balde que tiene una capacidad de a litros y otro de capacidad b litros. Los baldes no tienen medidas intermedias. Supón además que tienes un recipiente muy grande donde puedes vaciar el agua de los baldes y que además tienes acceso a un río que te provee de toda el agua que desees.

a) ¿Es cierto que si a y b son pares, entonces nunca se podrá medir un litro?

b) ¿Es cierto que si a = 3 y b = 9 entonces tampoco se podrá medir un litro?

c) ¿Es cierto que si a y b tienen un divisor común distinto de 1, entonces tampoco se podrá medir un litro?

d) ¿Bajo que condiciones puedes medir exactamente un litro con esos baldes?

e) ¿Es cierto que si puedes medir un litro, entonces puedes medir n litros, para cualquier valor natural de n?

6 litros 8 litros

86

Álgebra

Patrones

En la Unidad “Números” vimos que la suma de los primeros n números enteros

resulta ser n n +( )12

. Es decir,1 2 3 4 5 61

2+ + + + + + + =

+( )... nn n

Veamos ahora que resulta de sumar los primeros números impares. Como todo en matemáticas, existen varias estrategias para conocer el resultado. Una de ellas es estudiar varios casos, visualizar una regularidad, conjeturar el resultado y luego comprobar si nuestra conjetura es correcta.

Completemos la siguiente tabla de la suma de los números impares:

No de sumandos impares La suma en extensión El valor de la suma

1 1 1

2 1+3 4

3 1+3+5 9

4 1+3+5+7 16

5 1+3+5+7+9 25

6 1+3+5+7+9+11 36

7 1+3+5+7+9+11+13 49

Si observamos con detención, existe relación entre los valores de los números de la primera columna con los de la tercera columna. Concéntremonos solo en ellas.

Número de sumandos impares El valor de la suma

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

Como vemos, la segunda columna tiene el número de la primera columna elevado al cuadrado. Entonces nos aventuramos a dar una conjetura.

Para cualquier número natural n , la suma de los primeros n números impares es n2.

6

1. Según nuestra conjetura, ¿cuál sería el valor de la suma de todos los números impares, partiendo del 1 hasta el:

a) 21 b) 19 c) 15 d) 23 e) 25?

2. ¿Cuál es la suma de los números impares entre 15 y 25?

actividades

2

87

Unidad


No es posible decir que la conjetura es cierta sólo porque funciona para algu-nos números naturales, aunque sean muchos los números en que la probamos. Es necesario dar un argumento que permita asegurar que la conjetura es cierta para n en general.

Como hemos visto antes, suele ayudar tener una imagen que represente la si-tuación que se estudiará. Supongamos que tenemos un cuadradito y en un saco tenemos otros tres cuadraditos del mismo tamaño que el primero y en otro saco 5 cuadraditos del mismo tamaño.

Si sumamos el primer cuadrado con los del primer saco, lo podemos hacer así:

De modo que la suma de 1 y 3 cuadraditos forman el cuadrado de lado 2. Aho-ra, si sumamos el tercer saco, resulta la siguiente figura, es decir, un cuadrado de lado 3.

De esta manera, ya formamos un cuadrado de lado n con los primeros n impa-res, necesitamos agregarle n cuadrados a cada lado y un cuadradito en un vér-tice para formar el siguiente cuadrado, es decir, n n n+ + = +1 2 1 . Así, siempre se obtendrá un cuadrado al sumar los primeros números impares.

Por lo tanto, la suma de los primeros números impares es el cuadrado de un número.

88

Álgebra

problema resuelto

apliquemos

Solución:

El primer cuadrado está formado por 6 palos, que corresponden a cada lado y a las dos diagonales. El segundo en cambio, necesita un palo menos que antes, pues uno de los lados, el de la izquierda, ya se tiene del cuadrado anterior. Entonces para el segundo cuadrado se necesita 6 5 11+ = palos. Para el siguiente, son 5 palos más del paso anterior así son 6 5 5 6 2 5+ + = + ⋅ .

En general, para el cuadrado número n necesitamos:

6+5(n – 1) cuadrados.

En particular, cuando n = 110 se necesitará 6+5·109 = 551 palos.

Don Víctor en Ovalle está cerrando un terreno con una cerca de la siguiente forma:

Cada vez que necesita agrandar la cerca, agrega maderos para formar un nuevo cuadrado con sus dos diagonales. Don Víctor calculó que para cerrar todo el terreno necesita una cerca formada por 110 cuadrados.

Este señor le pide a su hijo Mateo que le ayude a cor-tar los palos. “¿Cuántos necesitamos?”, pregunta Ma-teo. “Corta, en el camino vamos viendo cómo anda la cosa”, responde su padre. Sin embargo, Mateo, de todos modos, decide hacer los cálculos de manera de no realizar trabajo de más. Veamos sus cálculos.

1. Considera la fórmula 3n + (n – 1)(n – 2) (n – 3) (n – 4). Evalúa esa fórmula para n = 1,2,3,4. Sin calcular ¿cuál crees tú que será el término para n = 5? Ahora calcúlalo, ¿corresponde a lo que pensabas?

Si tienes la secuencia 1, 2, 3, 4, 5, ¿se puede saber cuál es el siguiente término?

2

89

Unidad



1 La sucesión de figuras parte con un primer diagrama de una fila de 3 cuadrados; el segun-do diagrama toma el diagrama anterior y colo-ca 2 cuadrados sobre los 2 primeros; el tercer diagrama toma el diagrama anterior y coloca 2 cuadrados sobre las dos columnas mayores. Así continúa esta sucesión aumentando de a 2 cuadrados las dos primeras columnas.

a) ¿Cuántos cuadrados son necesarios para los diagramas séptimo, decimocuarto y vigési- mo?

b) En esta sucesión de figuras, ¿es posible construir una que tenga 86 cuadrados?

c) Determina la cantidad de cuadrados para el diagrama n.

2 La figura siguiente muestra triángulos equiláte-ros formados por pequeños círculos, partiendo con uno de lado 2 círculos, el siguiente de lado 3 círculos y así continúan los triángulos aumen-tando consecutivamente la medida de su lado en un círculo.

a) Realiza una tabla relacionando el lado del trián- gulo (medido en círculos) y cantidad de círculos que lo conforman. Hazlo hasta la figura 10.

b) Con la ayuda de la tabla anterior conjetura la cantidad de círculos para la figura 16.

c) Expresa la fórmula que establece la cantidad de círculos para la n-ésima figura.

3 La figura muestra cuadrados ordenados de la si-guiente manera: la primera figura por tres filas de uno, dos y un cuadrado, respectivamente; a la segunda figura se le agrega un cuadrado a todos los cuadrados que conforman el borde de la figura anterior. De esta manera se obtie-ne cada figura posterior tomando la anterior y pegándoles cuadrados a los que conforman el borde de dicha figura.

a) Construye la cuarta y quinta figura.

b) ¿Cuántos cuadrados necesito para cada una de las figuras, desde la sexta hasta la décima?

c) ¿Cuántos cuadrados necesito para la figura n?

4 Si n es un número natural, evalúa 25 2− n, para valores de n entre 10 y 20.

5 La expresión 55

−+

nn

describe el término general

de una sucesión para n un número natural.Des-

cribe esta sucesión para los primeros 12 núme-

ros naturales. Conjetura y describe, sin calcular,

los siguientes 10 términos de esta sucesión.

90

Álgebra

un poco de historia

POLINOMIOS

Un término algebraico que solo tiene números y potencias positivas de las variables se denomina monomio.

Por ejemplo, 3 2x y es un monomio, 3 es un monomio, en cambio, 2 22 32

3x z

x

z− = no es un monomio. Una

expresión algebraica que sólo tiene monomios como términos algebraicos, se denomina polinomio. Por

ejemplo, p x x( ) = +2 1 y q x x x x( ) = + − −3 2 1 son polinomios en una variable. A la potencia más grande que

aparece en un polinomio en una variable se le llama el grado del polinomio. Por ejemplo, p x( ) tiene grado 2

y q x( ) tiene grado 3. Si p x( ) tiene grado n, a la igualdad p x( ) = 0, se denomina una ecuación de grado n.

Algunas de las preguntas fundamentales del álgebra son:

¿Qué número debemos evaluar en un polinomio para que resulte cero?¿Existe una fórmula para encontrarlos?

Por ejemplo, si evaluamos en x x x3 23 2 2+ − − el valor x = 1 resulta

1 3 1 2 1 2 1 3 2 2 03 2+ ⋅ − ⋅ − = + − − =

Por el año 1600 a de C. el pueblo Babilonio resolvía problemas que reducía a ecuaciones de grado 2, las cuales resolvía aunque no utilizaban notaciones algebraicas. Los griegos también resolvían ecuaciones de grado 2, mediante métodos geométricos.

Durante el renacimiento, varios matemáticos, italianos principalmente, abordaron el problema de resolver las ecuaciones polinomiales de grado 3, pero fue Niccolo Fontana (1499-1557), (llamado Tartaglia) quien en 1535, daría la solución general del problema. Sin embargo, el resultado de Tartaglia fue publicado por Giordano Cardano (1501-1576) y hoy se le recuerda a él como el descubridor de la solución de la ecuación de grado 3. Cardano, resolvió el problema para ecuaciones de grado 4. Pasaron casi 100 años y el joven matemático Niels Henrik Abel (1802-1829), en 1824, demostró que no se puede encontar una fórmula empleando operaciones algebraicas que permitan solucionar las ecuaciones de grado 5. Sólo tenía 22 años cuando hizo este maravilloso descubrimiento.

En 1832 un joven republicano francés, Évariste Galois, muere en un duelo cuando sólo tenía 20 años. Galois (1811-1832) era un joven matemático cuando presentó tres veces su memoria a la Academia de Ciencias de París, las tres veces fue rechazada o se extravió sospechosamente. En ella, Galois demuestra, utilizando un método inventado por él, que no existe una fórmula que permita resolver la ecuación polinomial de grado mayor o igual que 5.

“He hecho algunos descubrimientos nuevos en análisis. El primero concierne a la teoría de ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. En teoría de ecuaciones he investigado las con-diciones de solución de ecuaciones por medio de raíces; con ello he tenido ocasión de pro-fundizar en esta teoría y describir todas las trans-formaciones posibles en una ecuación, aun cuan-do no sea posible resol-verlas por raíces. Todo ello puede verse aquí, en tres memorias... haz pe-tición pública a Jacobi o a Gauss para que den su opinión, no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Confío en que después algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo”.

Carta de Galois a un amigo, justo la noche antes de su muerte.

1. Explica por qué x2 1+ no es cero para ningún número real x.

2. Si un polinomio tiene grado 3 y otro tiene grado 2, ¿cuál es el grado de la suma de esos polinomios?

importantei

Hay términos algebraicos que no son monomios.

actividades

2

91

Unidad


Producto de polinomios

En el almacén de don Manuel se vende el kilogramo de pan a $950. Sin embargo, la panadería que lo abastece del crujiente producto, subirá el precio en $10 cada kilogramo. Este señor sabe que su clientela no puede asumir esa alza, de modo que para mantener a sus clientes, él no lo hará.

Su mujer no está de acuerdo con este planteamiento, porque disminuirán los ingre-sos en la casa, pero don Manuel la convence argumentando que la gente no sólo compra pan, sino que también compra leche, mantequilla, azúcar, té, aceite, queso, etc. y desde su punto de vista, perder un cliente significa una gran pérdida en ventas. La mujer logra entender y el hombre se pone a hacer cálculos. Si hasta ahora la ga-nancia por cada kilogramo de pan es G, entonces desde la fecha del alza del pan, la ganancia por cada kilogramo serán G − 10, ya que el precio lo mantendrá a $950.

Llega entonces a la siguiente conclusión: si al mes me compran K kilogramos de pan, entonces al mes ganaba KG. En cambio, desde ahora solo ganaré:

K(G − 10)

Paula, su mujer, pensando en el tema, llega a una conclusión que el almacenero no había considerado: lo más probable es que los negocios del barrio suban el precio del pan, y como nosotros lo mantuvimos es muy factible que algunas vecinas se cambien de almacén y se vengan a comprar al nuestro. Tienes razón, le responde don Manuel.

Supongamos que la cantidad de personas que se cambian a nuestro negocio nos compran p kilogramos de pan, entonces las ganancias que tendremos, sólo por este concepto, serán:

(K + p)(G − 10)

El hijo de la pareja, dice: entonces lo que ganaremos ahora, será KG −10p. Don Manuel lo piensa un rato y dice, “No, estás equivocado”, porque tu fórmula dice que siempre ganaremos menos que KG, que es lo que ganábamos antes, pero si ga-namos mucha clientela nueva, es decir, si p es grande es de esperar que empatemos lo que ganábamos antes, incluso podemos ganar más que antes. El hijo se conven-ce, de que su resultado está mal, pero no sabe cómo arreglarlo.

1. Si las ganancias por kilogramo de pan eran de $80 = G, y la cantidad de pan que se compra por mes es K = 1 200 kilogramos. Completa en tu cuaderno, la siguiente tabla, una fila tiene el cálculo correcto y otra la que pensaba el hijo de Manuel:

p 30 60 90 120 150 180 210

( )( )K p G+ −10

KG p−10

¿Estás de acuerdo que el hijo de don Manuel estaba equivocado?

7

actividades

92

Álgebra

1. Escribe el área de estas figuras como suma de monomios:

a) b) c)

Vimos anteriormente que la ley distributiva, que aprendiste en la enseñanza básica, se puede representar geométricamente como muestra la figura a continuación:

a

b c

a a

b c

a

Es decir, el área del rectángulo grande es a(b+c), y por otro lado es la suma de las áreas de los rectángulos pequeños, es decir

a b c ab ac( )+ = + , para cualquier valor de a, b y c

Multiplicar un número por la suma de dos números es lo mismo que multiplicar el número por cada sumando y luego sumar los resultados, por ejemplo:

5 5 52 2( )xy x y xy x y+ = +

Recordemos que una propiedad de las potencias es, que si multiplicas potencias de igual base, los exponentes se suman, es decir, a a an m n m⋅ = + , esto será útil recor-dar cuando se distribuyan expresiones algebraicas, por ejemplo:

x y x y x y x x y y x y x y2 2 2 2 2 2 3 2 2 3( )+ = + = +

El paréntesis de la expresión a(b+c), significa que a multiplica a la suma b+c. Si el paréntesis no estuviera, es decir, ab+c, a sólo multiplicaría a b. Por esto es impor-tante respetar los paréntesis.

Como la multiplicación es conmutativa, es lo mismo decir a(b+c) que (b+c)a, de modo que si el paréntesis está a la izquierda o a la derecha, para el resultado no es importante.

recuerdarEs importante recordar que x=x1, y que xnx=xn+1

cuidadocLa representación geo-métrica considera a,b,c números positivos, pero la ley distributiva es váli-da para cualquier trío de números reales.

actividades

2

93

Unidad


1. Si el precio de una camisa y un pantalón juntos es igual al de un jumper. ¿Cuál es el precio de cada camisa, si el descuento total fue $3 200?

2. Don Zacarías, el jardinero, hizo un círculo de radio r en la plaza, donde plantó petunias. El presidente de la junta de vecinos le pidió que la agrandara, de forma que el radio aumentara en 20 cm. Don Zacarías le respondió que necesitará más cadenas para rodear la glorieta, el equivalente para rodear un círculo de radio 20 cm. ¿Tiene razón don Zacarías? ¿La cadena que falta no depende del radio inicial?

3. Desarrolla las multiplicaciones y reduce términos semejantes: 2 3 2 4 8a xy xz yz ax ay az x( ) ( )+ + + + +

La propiedad distributiva sólo menciona dos términos dentro del sumando, es de-cir, un binomio. ¿Qué pasaría si hubiese tres términos o más en el paréntesis? ¿Qué podríamos hacer? Observar una representación geométrica como la figura de abajo puede ayudar a entender que es lo qué está pasando:

b c d

a

Como ves, el área del rectángulo completo es la suma de las áreas de los peque-ños rectángulos pintados de colores diferentes. Como el largo del rectángulo es ( )b c d+ + y el ancho es a, entonces el área del rectángulo es:

a b c d ab ac ad( )+ + = + +

En general, si un lado de un rectángulo es a y el largo se divide en n partes, for-mando n diferentes rectángulos, donde todos tienen un lado que mide a. Entonces, el área del rectángulo es igual a la suma del área de los pequeños rectángulos (ver figura a la derecha). Es decir, si el largo mide b b b bn1 2 3+ + + ⋅⋅⋅+ , entonces se tiene que:

a b b b b ab ab ab abn n( ... ) ...1 2 3 1 2 3+ + + + = + + + +

Supón que tu mamá compra 2 camisas, 2 pantalones y 2 jumpers. Entonces, ella paga 2 2 2 2( )c p j c p j+ + = + + , donde c es el precio de cada camisa p es el precio del pantalón y j de cada jumper. Si por cada prenda le hacen un 20% de descuento, entonces ella paga:

25

25

25

( ) ( ) ( )cc

pp

jj

− + − + −

actividades

94

Álgebra


1 Desarrolla los siguientes productos y reduce términos semejantes:

a) x y xy x y x y2 2 2 3 33 2 5( )− +

b) ( , , )− +0 2 0 25 50 2a ab a b

c) ( )3 2 52

uv uz zyuvz− +

d) 5 21

48 2h khkl

− +

e) ( )( ) ( )− − + − + −2 3 4 3 3 42cs cr rs r s r cr

f) abca b ac a bc bc

33 6 12 2 2( ) ( )− + − + +

2 Considera un rectángulo de lados de medidas a y b, con b > 2a. Haz tres copias idénticas de él y superponlos como en la figura:

a) ¿Cuál es el área de la figura de la derecha?

b) ¿Cuál es el área del rectángulo rojo?

c) ¿Cuál es el área del rectángulo amarillo?

d) ¿Qué clase de rectángulo es?

e) ¿Cuál es el área del rectángulo verde?

3 Recuerda que un cono de radio r y altura h,

tiene un volumen de V = πr h2

3 ¿Es cierto que

el volumen de un cono de radio r y altura

h k+ , tiene el mismo volumen que dos co-

nos de radio r, uno de altura h y otro de al-

tura k?

4 El volumen de una caja de aristas x cm, y cm y z cm es xyz cm3. ¿En cuánto aumenta el volumen de ésta si la medida de la arista z aumenta en un centímetro? ¿El aumento es el mismo si en vez de z el aumento lo experi-menta x ó y?

5 La energía cinética de un objeto de masa m

que se mueve a una velocidad v, es K= mv2

2,

¿es cierto que si la velocidad se duplica, la

energía también se duplica? ¿Es cierto que

si la masa se duplica, la energía también se

duplica?

6 El padre de Rodrigo gana p pesos por hora. Si el día lunes trabajó l horas, el martes m horas, el miércoles w horas, el jueves j horas y el viernes v horas, ¿cuánto ganó en la se-mana? Si los días lunes, martes y miércoles trabaja una hora más de lo que trabaja el jueves y viernes. Si p = 1750 , y en esa se-mana ganó $76 000, ¿cuántas horas trabajó cada día?

7 Compara el área de un triángulo isósceles de base a, y altura h con otro de la misma base pero el doble de la altura.

2

95

Unidad


Factorización: primera parte

Hasta el momento hemos estudiado la multiplicación de un número por una suma: a(b+c), también podemos hacerlo con la resta, recordando que la resta de a menos b es la suma de a más el inverso aditivo de b, esto es

b c b c− = + −( ).

Por lo tanto, a b c a b c( ) ( ( ))− = + − , pero la distribución respecto a la suma la cono-cemos bastante bien.

Resumiendo:

a b c ab ac( )− = − .

En general, si hay varios términos multiplicando a un número, es necesario trans-formar las restas en suma y luego aplicar la propiedad distributiva, por ejemplo:

3 3 3 3 3 32 2 2x xy xz xy x xy xz xy x y x( ) ( ( ) ( ))− − = + − + − = − 22 29z x z−

Para muchos propósitos, en vez de desarrollar un producto, es necesario saber si una expresión algebraica es una multiplicación de dos expresiones algebraicas.

Por ejemplo, si n es un número entero, un múltiplo de él se escribe en la forma nk, para algún número entero k. Y viceversa, si un número entero se escribe en la forma nl, para algún entero l, entonces es un múltiplo de n. Si tenemos dos múltiplos de n, ¿es la suma un múltiplo de n? La respuesta es sí, y la razón es que nk y nl son los múltiplos de n en cuestión, entonces su suma es nk + nl, pero si nos fijamos con atención, eso es la parte derecha de la distribución

n k l nk nl( )+ = +

Es decir, la suma de los múltiplos de n se puede escribir en la forma n k l( )+ , o sea n multiplicado por un número entero, por lo tanto es un múltiplo de n.

8

1. Demuestra que la resta de dos múltiplos de n es un múltiplo de n.

2. Si a + b es un múltiplo de n, ¿es verdadero que cada uno de los sumandos es múltiplo de n?

3. Escribe las siguientes expresiones algebraicas como productos:

a) 3 3x y+ b) 3 6x y+ c) 9 6x y− d) 3 6xy zy+ e) − +12 242 2x y y

notanEncuentra una represen-tación geométrica de la expresión:

a b c ab ac( )− = −

actividades

96

Álgebra

1. Dibuja en tu cuaderno dos rectángulos, uno de área 2 3 2x y y otro de área 3 2x yz , de tal forma que tengan

un lado de la misma medida. Factoriza 2 33 2 2x y x yz+

2. Factoriza los siguientes polinomios:

a) abc abc− 2 b) − +2 42 3 2xy w y w z c) 5 10 152 2 2u v u uv w− −

Un monomio es un término algebraico donde las potencias de las variables son positivas o cero, una suma de monomios se llama polinomio. Por ejemplo, 3 2xy es un monomio en las variables x e y, pero 3 yx no es un monomio en las variables x e y. Si dos monomios se multiplican, por ejemplo 3 2xy y 2 2x y , forman un nuevo monomio, en nuestro caso 6 3 3x y . En ese caso decimos que los monomios iniciales son factores del producto. En nuestro caso, 3 2xy y 2 2x y , son factores de 6 3 3x y . Sin embargo, los factores no son únicos, es decir, puede ocurrir que otros mono-mios al multiplicarse creen el mismo producto, por ejemplo, al multiplicar 6 3x con y3 , también resulta 6 3 3x y .

En general, decimos que un polinomio p, es múltiplo de otro poli-nomio q, si p se puede escribir como qr, donde r es un polinomio no constante.

Al proceso de escribir un polinomio, como el producto de factores, se le llama

comúnmente factorizar. Por ejemplo, al factorizar el polinomio xy xz2 2+ resulta

x y z( )2 2+ .

Recordemos que la ley distributiva es a b c ab ac( )+ = + , por lo tanto, si sólo tene-mos el lado de la derecha, notamos que a se repite en ambos sumandos, entonces decimos que es un factor común, con esto podemos reconstruir el lado de la iz-

quierda. Por ejemplo: 4 62 2x y xy+ lo podemos escribir 2 2 2 32 2( ) ( )x y xy+ , enton-ces, el 2 es un factor común. Así tenemos la factorización

4 6 2 2 32 2 2 2x y xy x y xy+ = +( )

Ahora bien, notamos que el factor 2 32 2x y xy+ de la factorización anterior, todavía tiene factores comunes, de hecho, 2 3 2 32 2x y xy xy x xy y+ = +( ) ( ) , por lo tanto

2 3 2 32 2x y xy xy x y+ = +( )

Retomando la igualdad anterior, se tiene

4 6 2 2 3 2 2 32 2 2 2x y xy x y xy xy x y+ = + = +( ) ( )El proceso de factorización muestra como reconstruir el área de un rectángulo a partir de pequeños rectángulos que tienen un lado de la misma medida. En nuestro caso, 4 62 2x y xy+ , lo hemos visto como la suma del área de dos rectángulos, cada uno de los cuales tiene un lado de medida 2xy.

actividades

2

97

Unidad


Sigamos distribuyendo

Recordemos el problema de don Manuel: él ganaba por concepto de pan, luego de asumir el alza de $10:

(K+p)(G −10)

donde K era la cantidad de pan mensual que vendía antes del alza, p era la clientela que ganaba y G la ganancia por kilogramo, antes del alza. Como G −10 es un nú-mero, lo podemos distribuir en la suma K+p, resultando:

K(G − 10) + p(G − 10)distribuyendo cada uno de los paréntesis, se tiene:

KG − 10K+pG − 10p

que es muy distinto, a lo que pensaba el hijo: KG − 10p.

En general se tiene:

( )( )x a y b xy ay bx ab+ + = + + +

Está última relación se puede observar geométricamente como se muestra en la figura de la derecha.

Notamos que sólo el rectángulo verde representa xy, el anaranjado representa a ay, el violeta ab y el café xb. Es decir, la diferencia, entre ( )( )x a y b+ + y xy es ay bx ab+ + . Si a y b son los errores en las mediciones, es de esperar que sean pequeñas compara-das con x y con y respectivamente, por lo tanto el valor ab suele ser muy insignifican-te comparado con xy. Por lo tanto, quien hace una diferencia significativa entre:

( )( )x a y b+ + y xy , es ay bx+ .

Por ejemplo, si y y x representan decenas de metros y tanto a como b representan 1 cm, el error ab es 1 cm2, cantidad muy pequeña para considerarla una diferencia sustantiva.

9

1. Desarrolla los siguientes productos y reduce términos semejantes cuando se pueda:

a) ( )( )2 3 2 5x y t k+ + c) ( )( )xy x xy x+ −2 2 e) ( )( )x y x y2 2− +

b) ( )( )ab cd x y+ + d) ( )( )a b a b− + f) ( )( )( )x y x y x y+ − +

2. Considera un número A, que sea la suma de un número par con un múltiplo de 3, y por otra parte, considera un número B que sea la suma de un número par con un múltiplo de 5. ¿Es cierto que el producto de A con B es un número par más un múltiplo de 15?

3. En el problema de don Manuel, supón que la venta mensual, antes del alza es de K = 1.200 kilogramos. Si la ganancia, antes del alza era de $80 por kilo, ¿para qué valores de p, se obtienen mayores ganancias después del alza que antes de alza?

actividades

98

Álgebra


1 Factoriza los siguientes polinomios:

a) 5 10x xy−

b) 0 25 0 752 2, ,x xz+

c) 2

30 3 2abc ab c− ,

d) 5 10 152 2 2 2x y xy x y+ −

e) 32

52

74

2 2x y xy xy− +

f) xy x y+ − −3 3

g) xy bx ay ab+ + +3 2 6

h) a x xy b xy y( ) ( )2 2− − −

2 Desarrolla los siguientes productos:

a) ( )x y xy+ 5

b) ( )( )4 3x y x y+ −

c) ( )( )( )x x x+ + +1 2 3

d) ( )( )xy zx xz yz+ −

e) ab a cac a b

− − −2

2

36 9( )

f) ( )( )( )x y z− − +1 1 1

g) ( )( )x y x xy y− + +2 2

h) ( )( )x y x xy y+ + +2 2

i) ( )( )x a x b− −

3 ¿Cuánto menor es el volumen de una caja, la cual tiene aristas una unidad menor que las aristas de otra caja?

4 Considera dos cajas. Una tiene cada arista un centímetro más grande que las aristas de la otra caja. Si las aristas de la caja chica son x, y y z, ¿cuánto mayor es el volumen de la caja grande que el volumen de la pequeña?

5 Si un rectángulo tiene área 3 12 2xy x+ , ¿cuáles pueden ser las medidas de sus lados?

6 Compara el área de un triángulo equilátero de lado a con otro de lado una unidad mayor.

7 Un fabricante de pantalones los vende a $3 500 a una tienda, que le compra 500 unidades. Él pretende subir el precio del artículo y estima que por cada $100 que aumenta el precio, la tienda le comprará 2 unidades menos. Si decide subir el precio en x pesos, ¿cuánto será el dinero D que reciba de la tienda por la venta de pantalones?

Haz una tabla de x versus D. Estima cuánto debe subir el precio el fabricante, para recibir la mayor cantidad de dinero.

8 El área de un trapezoide es 1

2( )a b h+ , donde

a, b y h son las medidas de los trazos que se

muestran a continuación:

Describe el área como la suma de monomios. Si a=h=10 cm y b=20 cm, ¿cuál es el área del

trapezoide?

9 Herón de Alejandría en el siglo I de nuestra era, asegura que el cuadrado del área de un triángulo es: p p a p b p c( )( )( )− − − donde p es el semiperímetro del triángulo de lados a, b y c. ¿Cuál es el cuadrado del área de un triángulo de lados 4 cm, 3 cm y 3 cm?

10 Si ab = 0 , ¿es cierto que a = 0 ó b = 0?

11 Si a x y( )− = 0, entonces, ¿qué puedes afirmar?

12 Si ( )( )a b x y− − = 0, entonces, ¿qué puedes afirmar?

13 ¿Qué debe ocurrir para que a x y( )− sea igual a b x y( )− ?

14 Si a un terreno rectangular de lados x y y se le quita a unidades al lado x, y al lado y se le quita b unidades, ¿cuál es el área que resulta? Si se le quitan a unidades a y y b unidades a x, ¿cuál es el área del rectángulo que resulta? ¿En cuáles casos ambos procesos producen rectángulos de la misma área?

2

99

Unidad


1. ¿En qué caso ( )a b a b+ = +2 2 2?

2. Desarrolla los siguientes cuadrados:

a) ( )a b+ 2 2 b) ( )− +x y3 2 c) ( )x +12 d) ( )2 3 2−

3. Calcula x +

+12

34

2

¿Es cierto que x x2 1+ + es un número positivo para cualquier valor de x?

Productos notables: el cuadrado del binomio

Entre los productos de polinomios, hay algunos bastante utilizados en matemáticas, ya sea en estrategias de cálculo o en desarrollos algebraicos en modelos matemáti-cos. A estos productos destacados los denominan “Productos Notables”.

Uno de ellos es cuando se repite el factor, es decir ( )( )a b a b+ + , lo que también

anotamos ( )a b+ 2 , lo llamaremos “el cuadrado del binomio”, y geométricamente lo vemos como sigue:

Como vemos, el área del cuadrado de lado ( )a b+ es igual a un cuadrado de lado a, el rojo, dos rectángulos que miden lo mismo, de lados a y b, los rectángulos verdes y el cuadrado de lado b, el amarillo. Si sumamos las áreas resulta: a ab b2 22+ + , por lo tanto:

( )a b a ab b+ = + +2 2 22Esto lo sabemos del álgebra. De hecho, si distribuimos, resulta:

( ) ( )( )a b a b a b a ab ba b a ab b+ = + + = + + + = + +2 2 2 2 22

También podemos desarrollar el cuadrado de la diferencia, sólo distribuyendo y escribiendo la resta como una suma:

( ) ( ( )) ( ( ))( ( ))a b a b a b a b a ab ba− = + − = + − + − = − − +2 2 2 bb a ab b2 2 22= − +

10

notanSi no recuerdas el resul-tado del cuadrado del binomio, siempre está la posibilidad de desarro-llar la multiplicación.

actividades

100

Álgebra

Esta actividad tiene por finalidad que descubras la relación ( )( )a b a b a b+ − = −2 2, mediante un método geométrico.

1. Antes de todo, construye en cartulina un cuadrado de lado a.

2. Ahora marca en una esquina del cuadrado, un cuadrito de lado b. Desde luego a b> .

3. Desde el vértice opuesto al cuadrado de lado b, dibuja la diagonal.

4. Recorta el cuadrado de lado b. La figura que te queda divídela en dos, haciendo un corte por la diagonal, denomina A y B a cada una de esas partes.

5. Une las partes A y B por el lado donde pasaba la diagonal, pero en el sentido opuesto a como estaba an-tes.

6. Nota que la figura iv y la figura vi, tienen la misma área.

7. Muestra que el área de iv es a b2 2− . Muestra que el área de vi es el área del rectángulo de lados a b− y a b+ .

8. Concluye que ( )( )a b a b a b− + = −2 2.

La suma por la diferencia

Si creemos estar en frente de un cuadrado, y medimos uno de sus lados y resulta ser x, con error en la medición de ± a, el área máxima del cuadrado es ( )x a+ 2 y la mínima es ( )x a− 2. Sin embargo, puede que no haya sido un cuadrado, sino que un rectángulo con pequeña diferencia en la medida de sus lados. La máxima medida de uno de sus lados es ( )x a+ y la del otro es ( )x a− , entonces su área sería ( )( )x a x a− + . A este último producto se le llama la suma por su diferencia, pues corresponde al produc-to entre la suma de dos números por la diferencia de los mismos.

Si desarrollamos el producto, resulta:

( )( ) ( ) ( )x a x a x x a a x a x ax ax a x a+ − = − + − = − + − = −2 2 2 2

Por ejemplo ( )( )3 2 3 2 3 2 3 2 12 2

+ − = ( ) − ( ) = − =

11

actividades

2

101

Unidad



1 Calcula el producto ( ) ( )x x x x2 21 2 1 2+ +

+ −

. (Ayuda: nota que es una suma por su diferencia).

2 Muestra que ( ) ( )1 2 1 22 2+ + − es un número entero.

3 Construye un cubo de lado a+b, con madera (o greda, o plasticina, o yeso, o cartulina, etc.) y realiza los cortes como muestra la figura. Nota que resultan 8 prismas, dos cubos y seis prismas rectos de base cuadrada. Estos últimos se pueden juntar en dos grupos de tres, ya que, cada uno de los grupos tiene cuerpos idénticos. Muestra que ( )a b a a b ab b+ = + + +3 3 2 2 33 3 .

4 Muestra que ( ) ( )1 2 1 23 3+ + − es un número entero.

5 ¿Es cierto que ( ) ( )x y x yxy

+ − − =2 2

4?

6 Desarrolla los productos:

a) ( )2 3 2xy x− d) ( )( )x y x y+ − +

b) ( )4 52 2x x+ e) ( )( )a b c a b c+ + − +

c) ( )− −a b 2 f) ( )( )x y x y2 2− +

7 Recuerda que ( )a b+ 2 es la suma de los cuadrados de a y de b con el doble producto entre a y b. Calcula

( )a b c+ + 2. ¿Es verdadero que es la suma de los cuadrados de a, b y c con los dobles productos de pares de variables distintas?

8 Demuestra que el cuadrado de un número impar es también un número impar.

9 Muestra que la diferencia del cuadrado de un número entero, con el cuadrado de su antecesor es un número impar. (Haz esto de dos formas distintas).

10 Muestra que la suma de tres potencias consecutivas de 2, es divisible por 7. Muestra que la suma de tres potencias consecutivas de 3, es divisible por 13. ¿Podrías afirmar algo similar para la suma de tres poten-cias consecutivas de 4?

11 Dibuja en tu cuaderno un cuadrado de lado a b+ , en él pinta los cuadrados de lados a y lado b. Muestra

que si a > 0 y b > 0 , jamás podrá pasar que ( )a b+ 2 sea igual a a b2 2+ . ¿Podrá ocurrir la igualdad, para valores negativos de a o de b?

102

Álgebra

1. Factoriza los siguientes polinomios:

a) 9 42 2x y− b) 4 12 92 2 4x xy y+ + c) x x2 1

4+ + d) x x2 5

254

− +

2. Para calcular ( , )10 12 , y no se tiene calculadora a mano, se puede recurrir a que el cuadrado de 10 es fácil de calcular, de hecho es 100, del mismo modo que el cuadrado de 0,1 es 0,01, por lo tanto el cuadrado de 10,1 es 100 2 0 01 102 01+ + =, , . Explica tú el razonamiento.

Factorización: segunda parte

Amanda veranea en un campamento vacacional donde el terreno es un cuadrado de 130 m de lado. Ella se ha enterado que por litigios con los dueños de los terrenos vecinos, se perderán algunos metros cuadrados del terreno original, de hecho el terreno seguirá siendo cuadrado, pero ahora será de lado 128 m. Ella quiere calcu-lar la cantidad de metros cuadrados que se perdieron en el litigio y propone que el terreno perdido es:

( )130 1282 2 2− mCuando la muchacha se disponía a calcular el cuadrado de 130, su hermano mayor le recordó que la diferencia de dos cuadrados es lo mismo que una sola multiplica-ción. Con esta información Amanda expresó lo siguiente: a b a b a b2 2− = + −( )( ), por esto:

130 128 130 128 130 128 258 2 5162 2− = + − = ⋅ =( )( )

Por lo tanto, el área que se perdió es de 516 m2 , que corresponde a un terreno rec-tangular de 12 m por 43 m, lo que es bastante grande.

Para resolver problemas como el de Amanda, y muchos otros, es importante saber reconocer polinomios que se pueden escribir como productos notables. Por ejem-plo,

25 36 5 6 5 6 5 62 2 2 2x y x y x y x y− = − = − +( ) ( ) ( )( )

Lo mismo ocurre con el cuadrado de binomio. Si lanzas una piedra hacia arriba

con velocidad 20ms

, la altura de la piedra (medida en metros) en el segundo t es,

más o menos, h t t= − − + +5 4 4 202( ) . Sin embargo, si uno es observador, nota

que el trinomio del paréntesis es un cuadrado de binomio. De hecho,

t t t t t2 2 2 24 4 2 2 2 2− + = − ⋅ + = −( )

Por lo tanto, la altura es h t= − −20 5 2 2( )Lo que permite saber cuál es la altura máxima de la piedra. De hecho,

20 5 2 2− −( )t

es siempre menor o igual a 20. Por lo tanto, la altura máxima es 20m y se alcanza cuando ( )t − =2 0 , es decir, cuando han pasado 2 segundos.

12

notanEscribir un trinomio como cuadrado de binomio, y escribir un binomio como la suma por su diferencia, también se llama fac-torizar.

actividades

2

103

Unidad


cuidadocSi una propiedad es verda-dera en muchos casos, no es efectivo que necesaria-mente sea cierta siempre.

El cuadrado es lo máximo

Imaginemos que te heredan un terreno rectangular en Chiloé y lo puedes cerrar con un alambre de 200 metros. ¿De qué forma lo eligirías? A continuación mostramos modelos geométricos de terrenos que se pueden encerrar con un cable de 200 m. Cada celda de la cuadrícula representa un cuadrado de lado 10 m.

Alguien podría decir que da lo mismo, que los terrenos son iguales, pero si nos fijamos con atención hay algunos que encierran más celdas que otros, el primero envuelve 24, el segundo 25 celdas y el tercero sólo 21. Te invitamos a que constru-yas muchos rectángulos que cumplan la condición de ser encerrados por un cable de 200 m, y luego sigas leyendo, pensando en la respuesta a la pregunta, ¿cuál encierra mayor área?

Por ejemplo si el terreno lo queremos para sembrar, es muy importante escoger aquel que cubra mayor área. Si tú ya has hecho bastantes ejemplos de modelos de terrenos, te habrás dado cuenta de que ninguno encierra más área que 2 500 m2 es decir, el terreno cuadrado de lado 50 m. Sin embargo, por grande que sea la canti-dad de modelos que hayamos hecho, es imposible hacerlos todos, pues son infinitos los rectángulos de perímetro 200, de modo que es necesario estudiar el caso en total generalidad y no casos particulares, por muchos que sean. Consideremos un rectángulo de lados a y b y de perímetro 200, es decir,

a b a b a b a b+ + + = + = + =2 2 2 200( )

Por lo tanto, a b+ = 100 y a b+

=2

50 . Es decir, el promedio de los lados es 50.

13

1. Explica por qué existen infinitos rectángulos de perímetro 200.

2. ¿Cuántos rectángulos de lados enteros, tienen perímetro 200?

3. Con las notaciones de arriba, ¿es cierto que b a= −100 ? ¿Es cierto que el área del rectángulo es

100 2a a− ?

b

A = a • b

actividades

104

Álgebra

1. Supongamos que el terreno rectangular, en vez de tener un perímetro de 200 m, tiene un perímetro de 240 m. ¿Cuál sería el de mayor área?

2. Si un rectángulo de lados a y b tiene perímetro 32, ¿cuál es el valor de a b+ ? ¿Cuál es el valor de a b+

2?

¿Es cierto que los lados se pueden escribir en la forma a x= −8 y b x= +8 ? ¿Cuál sería el valor de x?

Escribe el área en función de x, ¿cuál es el rectángulo de área máxima de perímetro 32?

3.* Si un rectángulo de lados a y b tiene perímetro P, Escribe a b+2

en términos de P. ¿Es cierto que los lados

se pueden escribir en la forma a = −Px

4 y b

px= +

4? ¿Cuál sería el valor de x en términos de a y b?

Escribe el área en términos de P y x. ¿Cuál es el rectángulo de área máxima de perímetro P?

Al ser constante el promedio entre los lados del rectángulo, si un lado mide más de 50, el otro mide menos que 50, pero en la misma cantidad para que el promedio se mantenga. Por ejemplo, si uno se pasa en 10 de los 50 el otro debe estar 10 abajo de los 50, así tenemos el rectángulo de lados 60 y 40. Abajo mostramos unos ejemplos de esto último.

50 10−

50 10+50 20+

50 20−

50 30−

50 30+

En general, si un rectángulo de lados a y b tiene perímetro 200, entonces sus lados se pueden escribir como b x= +50 y a x= −50 , donde a es el ancho y b es el largo. De hecho, como a b+ = 100 se tiene que b a= −100 y por lo tanto,

b a= + −50 50( )y también

a a a= − + = − −50 50 50 50( )

Por lo tanto si anotamos, x a= −( )50 . Se tiene que a x= −50 y b x= +50 .

Como el área del rectángulo es ab, se tiene que el área es

A x x x= − + = −( )( )50 50 2 500 2

Como x2 es siempre positivo o cero la forma de que el área A x= −2 500 2 sea mayor, es cuando x = 0 . Pero como a x= −50 y b x= +50 , la forma de obtener el rectángulo de máxima área es a = − =50 0 50 y b = + =50 0 50. Es decir, el rectángulo de perímetro 200 de área máxima es el cuadrado de lado 50. Entonces si te dieran a elegir un terreno rectangular, que se pueda encerrar con un alambre de 200 m, debieras elegir el cuadrado.

b x= +50

A ab x x= = − +( )( )50 50 a x= −50

actividades

2

105

Unidad


Demostración del Teorema de Pitágoras

Ya llevamos bastante tiempo mencionando y aplicando el teorema de Pitágoras, para resolver problemas referentes a triángulos rectángulos. Ahora daremos una demostración que permite asegurar la validez de este resultado, que se le atribuye a Pitágoras, pero que no se sabe a ciencia cierta si es efectivamente de él o de uno de sus discípulos.

Una demostración es una explicación matemática de la veracidad de un resultado, utilizando propiedades asumidas como ciertas, ya sea por que fueron demostradas antes o son verdades asumidas por todos, como postulados iniciales, llamados axio-mas.

Para esta demostración que daremos, necesitamos dos resultados por ti conocidos.

El primer resultado es: “El área de un cuadrado de lado x es x2 ”, y el segundo

resultado, “El área de un triángulo rectángulo de catetos y y z es yz2

.”

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado formado en la hipotenusa tiene por área la suma de las áreas de los cuadrados formados en los catetos.

O también se puede decir:

Teorema de Pitágoras

Si ∆ABC es un triángulo rectángulo en que sus catetos miden a y b y su hipotenusa c, entonces a b c2 2 2+ = .

Por ejemplo, el triángulo rectángulo de catetos de medidas 3 cm y 4 cm, e hipote-nusa que mide 5 cm, satisface la relación:

3 4 52 2 2+ =Pero, que el teorema se compruebe en un caso particular, no quiere decir que sea cierto siempre. Es necesario dar una demostración general, que considere todos los triángulos rectángulos. Lo que haremos es tomar un triángulo rectángulo cualquie-ra y comprobaremos que la relación del teorema se cumple.

Demostración:Consideremos un triángulo rectángulo de catetos a, b e hipotenusa c, como muestra la figura a continuación.

14

106

Álgebra

Ahora dispongamos cuatro triángulos idénticos a él, como muestra la figura, formando un cua-drado de lado a b+ .

La figura pintada de verde, es un cuadrilátero en que todos sus lados miden lo mismo, además

el ángulo interior en cada vértice es recto. Por lo tanto, la figura verde es un cuadrado de lado c.

Ahora bien, el área de la figura pintada de amarillo es, por un lado, el área del cuadrado exterior

menos el área del cuadrado interior, esto es, ( )a b c+ −2 2 y por otro es cuatro veces el área del

triángulo inicial, o sea, 42ab

. Es decir,

( )a b c

ab+ − =

2 2 42

desarrollando el cuadrado de binomio resulta:

a ab b c ab2 2 22 2+ + − =sumando a ambos lados c ab2 2− resulta:

a b c2 2 2+ =

que es exactamente lo que queríamos probar.

1. En la demostración se dice “además el ángulo interior en cada vértice es recto” refiriéndose al cuadrilátero verde. Explica por qué, efectivamente, el ángulo in-terior del cuadrilátero es recto, en cada vértice.

2. Consideremos la siguiente proposición: “El área de una semicircunferencia que tiene por diámetro la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la suma de las áreas de las semicircunferencias que tienen por diámetros los catetos del trián-gulo rectángulo”. ¿Es cierta esta proposición?

3. Según el Teorema de Pitágoras enunciado en la página anterior, ¿es cierto que

si en un triángulo de lados a, b y c se cumple a b c2 2 2+ = , entonces el triángulo es rectángulo?

actividades

2

107

Unidad



apliquemos

SENSIBILIDAD A LOS MEDICAMENTOS

En medicina se asigna un valor numérico a la sensibilidad de un pa-ciente cuando se le ha administrado cierta medicina. Este número se relaciona con el grado de eficacia de la droga en el paciente. Si C es el consumo máximo permitido de la medicina, la sensibilidad

es:S DC D= − 2 donde D denota la cantidad de droga que se le ad-ministra al paciente. Si factorizamos esta expresión por D resulta: S D C D= −( ) . Lo que muestra que la sensibilidad es 0, si la cantidad que se administra es C, y por supuesto cuando D=0.

La pregunta que es importante resolver es: ¿cuál es la cantidad D de droga que hay que administrar, para obtener la máxima sensi-bilidad?

1. ¿Es cierto que la sensibilidad es la misma cuando se administra C4

ó 34C

de una deteminada droga?

2. Un trío de números enteros positivos a, b y c, que satisfacen a b c2 2 2+ = se llama trío pitagórico. Por ejemplo, 5,12,13 es un trío pitagórico.

a) Si a, b y c, es un trío pitagórico, y dos de ellos son pares, entonces muestra que el tercero tam- bién es par.

b) Si a, b y c, es un trío pitagórico, entonces muestra que no pueden ser todos impares.

c)* Si c a b2 2 2= + , entonces muestra que ( )( )c b c b a− + = 2.

d)* Si c a b2 2 2= + , entonces muestra que no puede ser que a y b sean impares y c par.

e)* Sean p,q dos números enteros positivos, con p q> . Considera a pq= 2 , b p q= −2 2 y

c p q= +2 2. Comprueba que a, b y c es un trío pitagórico.

Solución: Para responderla usaremos los conocimientos de esta unidad:

S DC D DC D D DC D DC= − = − − + = − − = − − ⋅2 2 2 2 22

( ) ( ) ( )

¿Qué le falta a D DC2 22

− ⋅ para ser un cuadrado de binomio? La respuesta es C2

4. Completemos el cuadrado

del binomio, pero quitamos lo que agregamos, para que la igualdad siga siendo cierta:

SC C

DC DC C

D= − + − = − −

2 22

2 2

2 4 4 2

Entonces vemos que S es máximo cuando C

D2

0− = , es decir, la cantidad de droga que permite la máxima

sensibilidad es la mitad del consumo máximo.

108

Álgebra

Función lineal y función afín

Cuando el reloj marca las seis de la tarde, los punteros del reloj forman un ánguloextendido.

¿Habrá un momento, entre las 6 y las 7, en que los punteros del reloj formen un ángulo recto? ¿A qué hora exacta ocurre?

Uno ojo distraido diría, que a las seis y cuarto, es la primera vez después de las seis, que obtendremos un ángulo recto. Esto sería cierto si el horario se quedara quieto en el seis a medida que avanza el tiempo, lo cual es falso, el horario avanza, lento pero seguro. Así que a las seis y cuarto el ángulo entre los punteros del reloj es un poquito mayor que un ángulo recto.

Pero como a las 6 formaban un ángulo extendido y antes de las 6:45 el minutero pasó por encima del horario, es decir el ángulo fue cero, necesariamente hubo un momento entre las 6 y las 6:45 en el que el ángulo fue recto. De hecho, moviendo experimentalmente las agujas el reloj, podemos asegurar que ese momento está entre las 6:15 y las 6:30.

12

9 3

6

12

9 3

6

1. Muestra dos momentos entre las 6:15 y las 6:30, que se diferencien en 5 minutos, donde puedas asegurar que los punteros forman un ángulo recto en algún momento del intervalo mencionado.

2. ¿A las 7:05 los punteros forman un ángulo extendido?

15

actividades

2

109

Unidad


El minutero da una vuelta por hora, es decir en 60 minutos, barre un ángulo de 360°, por lo tanto recorre 6° en cada minuto, es decir cuando hayan pasado t minu-tos, el minutero recorre 6t grados. Anotaremos:

m(t) = 6t

para denotar los ángulos que avanzó el minutero en t minutos.

Por su parte, el horario, recorre la 1

12parte de una vuelta completa en una hora. Es

decir, recorre 36012

grados en 60 minutos, o lo que es lo mismo el horario recorre

30° en 60 minutos. Por lo visto, tenemos que el horario recorre 12

grado por cada

minuto. Así tenemos que el horario recorre 12

t grados, cuando pasan t minutos.

Anotaremos

h(t) = 12

t

para denotar los ángulos que avanzó el horario en t minutos.

12

9 3

6

1. Si el horario se quedara quieto a medida que avanza el tiempo, ¿cuánto mediría el ángulo entre el horario y el minutero después de t minutos?

2. Si el minutero se quedara quieto a medida que avanza el tiempo, ¿cuánto mediría el ángulo entre el horario y el minutero después de t minutos?

3. ¿Cuál es el ángulo entre el horario y el minutero a las seis y cuarto?

4. ¿Cuál es el ángulo entre el horario y el minutero a las seis y media?

Es importante notar que ha medida que el tiempo avanza, el minutero gira para achicar el ángulo entre las manecillas, en cambio el horario gira para agrandar el ángulo entre las manecillas del reloj.

actividades

110

Álgebra

Como hemos visto el avance delminutero hace que el ángulo entre las manecillas del reloj disminuya de los 180° iniciales, mientras que el avance del horario hace que el ángulo aumente de los 180° iniciales. Por lo tanto, el angulo entre las manecillas del reloj, después de t minutos, es:

θ(t) = 180° − m(t) + h(t)o lo que es lo mismo

θ(t) = 180° − 6t + 12

t

o dicho de otro modo:

θ(t) = 180° − 112

t

Por lo tanto para saber a que hora los punteros del reloj forman un ángulo recto, basta preguntarle a θ para que valor de t vale 90°. Es decir, para cuál valor de t, se cumple que θ(t) = 90, es decir, basta resolver la ecuación:

90 = 180° − 112

t

Y es lo que haremos a continuación:

90 = 180° − 112

t

−90 = − 112

t

90 = 112

t

211

× 90 = t

t = 16,36

Es decir, cuando el reloj marca las 6 horas 16 minutos 21 segundos y 4 décimas de segundo, aproximadamente los punteros del reloj marca un ángulo recto.

1. Si para algún t se cumple que θ(t) = 0. ¿En qué posición relativa se encuentran las manecillas del reloj?

2. Si evalúas θ(40) obtienes un número negativo. ¿Cuál es el significado del número negativo respecto a la situación que estamos modelando?

3. Después de las 6:00, ¿cuál es el primer momento que las manecillas del reloj vuelven a formar un ángulo extendido?

actividades

2

111

Unidad



1 La siguiente máquina transforma números en otros números, al número que entra por la derecha lo mul-tiplica por 10 y al resultado le suma 1, y el número que resulta sale por la izquierda.

a) ¿Cuál número sale por la izquierda, si por la derecha entra −4?

b) ¿Cuál número entró por la derecha si por la izquierda salió 12

?

c) Si por la izquierda sale un número racional, ¿por la derecha entró un número racional?

d) Si por la izquierda sale t, ¿cuál número entró por la derecha?

2 La siguiente máquina transforma a cada número que entra por la derecha en otro número que sale por la izquierda.

Supón además que tiene la siguiente propiedad:

[C] Si la máquina transforma a en b y transforma x en y, entonces a a + x lo transorma b + y.

a) Muestra que la máquina del ítem anterior no cumple [C].

b) Muestra que la máquina que transforma cada número en su doble, si cumple [C].

c) Muestra que la máquina que transforma t en 180 − 112

t no cumple [C].

d) Muestra que la máquina que transforma t en 6t si cumple [C].

e) Muestra que la máquina que transforma t en 12

t si cumple [C].

f) Muestra que si una máquina cumple con [C], entonces al cero no le hace nada, es decir, transforma el cero en el cero.

g) Muestra que si una máquina cumple con [C], entonces a 2a lo transforma en 2b.

h) Muestra que si una máquina cumple con [C], entonces a -a lo transforma en -b.

10a + 1a

ba

112

Álgebra

16 Función

Una función del conjunto de los números reales en el conjunto de los números reales, es una transformación de números reales. Es como una máquina que reci-be números reales por la derecha y los entrega por la izquierda. Si la función (o la máquina) la denotamos por f y la función transforma a en b, se suele escribir f (a) = b y se lee f de a es b o también f evaluado en a es b. También se dice que b es la imagen de a vía f, en el caso en que la función se subentiende, entonces decimos que b es la imagen de a.

Por ejemplo, la forma en que depende el ángulo (θ) de las manecillas del reloj después de las 6:00, de los minutos trancurridos (t), lo podemos pensar como la

función que transforma t en θ(t) = 180 − 112t .

Algunas funciones son importantes en matemáticas, ya sea por que modelan situa-ciones de la vida real, o por que dentro de la propia matemática son interesantes. Una de ellas es la función identidad. La función identidad es aquella función que a cada número lo transforma en si mismo, es decir, lo deja igual. Es decir, la función identidad, llamémosla I, transforma x en x, es decir

I(x) = x

Claramente esta función es muy poco interesante para la vida cotidiana, pero den-tro de la matemática es muy importante, pues en cierto sentido hace lo mismo que el 1 dentro del mundo de los números, pero I lo hace dentro del mundo de las funciones.

ba

f(a) = b

1. Si f es una función tal que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 2. ¿Puedes afirmar que f es la función identidad?

2. Considera la función g que transforma a cualquier número real en cero. Es decir, para cualquier número x se tiene que g(x) = 0. ¿Es cierto que g(x + y) = g(x) + g(y)?

3. Considera la función g que transforma a cualquier número real en 1. Es decir, para cualquier número x se tiene que g(x) = 1. ¿Es cierto que g(x + y) = g(x) + g(y)?

recuerdarPara cualquier número real x se tiene que 1x = x.

actividades

2

113

Unidad


Si tenemos dos funciones, digamos f y g estas las podemos concatenar, es decir si f transforma a en b y g transforma b en c, entonces la concatenación transforma a en c.

Pero si una de ellas es la identidad, entonces la función que se obtiene al concate-nar es la misma que la del principio. Es decir, concatenar con la identidad no hace nada. Del mismo modo que multiplicar por 1 no hace nada.

Las funciones que transforman todos los números reales en un único número se llaman funciones constantes.

Si una función separa las sumas, es decir, para cualquier par de números rea-les x, y se cumple que f (x + y) = f (x) + f (y) y además saca escalares, es decir f (xy) = f (x) y se les llama funciones lineales. Por ejemplo, la función f (t) = 3t es una función lineal, de hecho,

f (x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f (x) + f (y)f (xy) = 3xy = (3x)y = f (x)y

Sin embargo, la función real f (z) = 3z + 1 no es lineal. De hecho, f (0) = 1 y f (1) = 4, pero f (0 + 1) ≠ f (0)+ f (1).

Supongamos que L es una función lineal, y denotemos por m la imagen de 1 vía L, es decir, L(1) = m, ¿Cuánto es L(x)? Notemos que

L(x) = L(1 · x) = L(1)x = mx

Es decir, si L es lineal, entonces existe un número real m tal que L(x) = mx, para cualquier valor de x.

1. Si y es un número real, fijo pero cualquiera. ¿Es cierto que la función f (m) = my es lineal?

2. Demuestra que si f es lineal, entonces f (0) = 0.

3. Si concatenas dos funciones lineales, el resultado, ¿es una función lineal?

4. ¿Hay alguna función constante que sea lineal?

5. ¿Es la identidad una función lineal?

a

c gf

actividades

114

Álgebra

Por ejemplo, si pensamos en el ángulo que recorre el minutero de un reloj en t mi-

nutos, esto es m(t) = 6t y en el ángulo que recorre el horario después de t minutos,

esto es h(t) = 112t , notaremos que en ambos casos se trata de funciones lineales.

Sin embargo, el ángulo entre los punteros del reloj, después de t minutos de las

6:00 es:

θ(t) = 180 −112t

la cual no es lineal. Si no que resulta de sumar una constante (180, en nuestro caso) a la función lineal

a(t) = −112t

A esas funciones se les llama funciones afines, es decir, una función afín difiere de una función lineal en una constante. Es decir, si a la función lineal, digamos f (x) = mx le sumamos una constante, digamos n, la función que se obtiene, esto es g(x) = mx + n, es una función afín. En el caso en que n = 0, entonces g(x) = mx = f (x), es decir, toda función lineal es una función afín, pero hay funciones afines que no son lineales.

Si consideranos un móvil que se mueve en línea recta a velocidad constante, por ejemplo, que recorre 3 metros en cada segundo. Si anotamos un punto del camino con O, y cuando pasa el móvil por O echamos a correr el cronómetro, la distancia que separa al móvil del punto O es exactamente d(t) = 3t, después de t segundos, donde d(t) está medido en metros.

1. Si en el ejemplo de arriba, echamos a correr el cronómetro cuando el móvil pasa por la marca de 1 m, y D(t) es la distancia que separa al móvil de O, cuando el cronómetro marca t segundos. Describe D(t) en términos de t. ¿Es D una función lineal en t? ¿Es D afín?

0 1

3 m/s

actividades

2

115

Unidad



1 Una taxista cobra $200 por los primeros 200 m de recorrido. Por cada 200 m que recorre des-pués de los 200 m iniciales, la cuenta aumenta en $90. Describa la cuenta D(x), medida en pe-sos, para cada distancia recorrida x, medida en metros. ¿Es D una función afín? ¿Es D lineal?

2 Sean y y x dos variables relacionadas en pro-porción directa. ¿Es cierto que y es una función lineal en x?

3 Se sabe que el valor de la cuenta de gas, medi-do en pesos, en una casa de Santiago, es una función afín del volumen de gas consumido, medido en m3. En la familia de los González - Valenzuela el mes de marzo de 2009, la cuenta de gas salió 26 mil pesos y el consumo fue de 10 m3, al mes siguiente consumieron medio m3 menos que en marzo y el valor de la cuenta fue de $24 950.

a) ¿Cuál es el cobro fijo de la empresa de gas?

b) ¿Cuál es el valor del m3 de gas?

c) ¿Cuál es el valor de la cuenta, si un mes se consume el doble de lo que se consumió en marzo?

4 Si dos móviles se mueven a la misma velocidad constante en la misma línea recta, ¿en cada instante que puedes decir de la distancia que los separa?

5 Si se deja caer una piedra de una altura de 100 m y si se desprecia la resistencia del aire, se sabe que la velocidad v de la piedra (medida en m/s) es una función afín respecto del tiem-po (medido en s) que se dejó caer la piedra. Si después de 2 s de soltada la piedra la velocidad de la piedra es de 18,6 m/s. ¿Cuál es la veloci-dad con que la piedra llega al suelo? ¿Es v una función lineal del tiempo?

6 La siguiente tabla muestra la población total de Chile, según los censos de 1982, 1992 y 2002.

Año Población

1982 11 329 736

1992 13 348 401

2002 15 116 435

Fuente: Biblioteca del Congreso Nacional de Chile. www.bcn.cl

¿Es la cantidad de gente en Chile una función afín del tiempo?

7 Si x e y son variables relacionadas en propor-ción inversa, entonces, ¿es cierto que y es una función afín de x?

8 Considera los ejes coordenados y la recta L pa-ralela al eje X, que pasa por el 3 del eje Y. Con-sidera al área que hay entre la recta L y el eje X, desde el eje Y hasta la recta paralela al eje Y que pasa por x. Muestra que el área en función de x es lineal.

116

Álgebra

Gráfico de la función afín

Del curso anterior conoces que la relación proporcional directa, entre dos varia-bles x, y, es decir, existe k positivo tal que y = kx, se representa geométricamente, como:

En nuestro ejemplo mostramos y = 3x, o también y(x) = 3x.

Si un recipiente cilíndrico vacío, que se llena con agua a ritmo constante, de tal suerte que al cabo de un minuto la altura del nivel del agua es 3 cm, entonces la altura del nivel del agua (y) en cada minuto x es y(x) = 3x. Que corresponde al mis-mo gráfico de arriba. En cambio, si el recipiente ya tenía agua al inicio del llenado, digamos que tenía agua y la altura del nivel de agua era de 1 cm, entonces la altura del nivel de agua y en cada instante x será de y(x) = 3x+1.

17

5

4

3

2

1

00 1 2 43 5

y = 3x

3 cm

Y

X

2

117

Unidad


Cuyo gráfico es el que se muestra abajo, para el cual hemos usado el software Geo-gebra el cual se puede descargar gratuitamente en www.geogebra.org.

La recta azul es el gráfico de y(x) = 3x y el rojo es el de y(x) = 3x + 1. Más general-mente, el gráfico de y(x) = 3x + n será la recta que resulta al desplazar rígidamente el gráfico de y(x) = 3x en una medida de n hacia arriba si n es positivo, o − n uni-dades hacia abajo si n es negativo. Es decir, el gráfico de y(x) = 3x + n es una recta paralela al gráfico de y(x) = 3x y que corta al eje Y en n.

Con mayor generalidad, si m y n son números reales, consideramos las funciones y(x) = mx y y’(x) = mx + n, si evaluamos en un punto x

0 cualquiera y restamos los

valores correspondientes se obtiene:

y’(x0) − y(x

0) = mx

0 + n − mx

0 = n

Es decir, la diferencia en la dirección del eje Y es constante, no depende del punto x

0 donde se evalúa. Es decir, las rectas no se intersectarán, a menos que n = 0 que

en ese caso los gráficos serían el mismo. Es decir, los gráficos de y(x) = mx y de y(x) = mx + n son rectas paralelas. Por otra parte, como el gráfico de y(x) = mx + n y el gráfico de y(x) = mx + n’ son rectas paralela al gráfico de y(x) = mx, entonces los gráficos de y(x) = mx + n y de y(x) = mx + n’ son rectas paralelas.

3

2

1

-1

0

-2

0-1-2 1 2

Y

X

118

Álgebra

1. Si m = 0, ¿cuál es el gráfico de y(x) = mx?

2. Si m = 0, ¿cuál es el gráfico de y(x) = mx + n?

3. ¿Cuál es el ángulo que forma el gráfico de la función identidad?

4. ¿Es el eje X el gráfico de una función lineal?

5. ¿Es el eje w el gráfico de una función lineal?

En el gráfico se muestra la recta L, que corresponde al gráfico de y(x) = mx y la recta L’ que corresponde al gráfico de y(x) = mx + n, vemos que la distancia entre C y D es la misma que la que hay entre A y B y que como vimos es la misma que entre cualquier par de puntos que resultan de intersectar una recta paralela al eje Y con las rectas L y L’.

Sabemos que para cualquier m ∈ °, el gráfico de y(x) = mx es una recta que pasa por el origen O. Ahora bien si 0 < m’ < m consideremos las rectas que resultan de los gráficos de y(x) = mx y y(x) = m’x. Entonces al evaluar en x = 1 en ambas rec-tas obtenemos m y m’ respectivamente en el valor de y. Por lo tanto, el número m produce cambios en el ángulo que forma la recta con el eje X. Es decir, cuando se avanza de 0 a 1 en el eje de las X, en un caso se avanza de 0 a m en el eje de las Y y en el otro caso se avanza de 0 a m’ en el eje de las Y. Es decir, en el caso de y = mx se obtiene una inclinación más pronunciada que en el caso y = m’x.

A

B

D

C

L’

L

m

m'

1 1

actividades

Y

X

2

119

Unidad


En el caso de la página anterior, el ángulo β mide menos que el ángulo α.

Por otra parte, si m" es negativo, entonces la recta que es el gráfico de y(x) = m"x tiene valores negativos de Y al evaluar en valores positivos de X. En la unidad de geometría, denominaremos a los puntos que están arriba del eje X y la derecha del eje Y como primer cuadrante, y a los que están abajo del eje X y a la derecha del eje Y como cuarto cuadrante. Por lo tanto, el gráfico de y(x) = mx es una recta que pasa por el primer cuadrante si m > 0 y por el cuarto cuadrante si m < 0.

1. Realiza el gráfico de las siguientes funciones:

a) f t( ) = 3 b) y s( )= –56

c) f x( ) - 2

d) y g g( ) 4 3= − e) s ff( ) = +5

63 f) x f

f( ) = − − + 66

2. ¿Cuál es el ángulo entre el gráfico de y(t) = −t y el gráfico de la función identidad?

3. L es el gráfico de la función y(x)= − +34

3x . ¿Cuál es la función lineal cuyo gráfico es una recta paralela a L?

4. Un triángulo rectángulo isósceles tiene el vértice del ángulo recto en el origen de coordenadas, otro vértice en la parte positiva del eje X y el otro en la parte negativa del eje Y. Encuentra una función afín cuyo gráfico contenga a la hipotenusa del triángulo.

m’

0-2-3 1 2-1 3

m A

C

Bβα

m’’

actividades

Y

X

120

Álgebra

Interpretación de gráficos

El siguiente gráfico muestra la predominancia del virus VIH-SIDA en personas de 20 a 24 años en la capital de Uganda. El eje Y muestra el porcentaje de personas de ese rango de edad con el virus, en el eje X aparecen los años en que se ha medido ese porcentaje.

Fuente: OMS.

Notamos que si se mira el gráfico superior de izquierda a derecha, va decayendo, es decir, el porcentaje de gente infectada ha disminuido en el tiempo. Sin embargo se puede ser más preciso en el análisis. De hecho, el ritmo de decaimiento es distinto en los diferentes periodos. Por ejemplo, entre 1992 y 1993, el porcentaje bajó en 5 puntos más o menos, pero en el periodo 1993 -1995, la disminución fue de más de 6 puntos por año. En el último periodo, de 1995 a 1996, la disminución fue lenta: menos de un punto porcentual.

Es importante notar que el ritmo de crecimiento o decrecimiento guarda relación con la inclinación de la recta en cada período. Mientras más inclinada la recta, mayor es el crecimiento (o el decrecimiento dependiendo si sube o baja la recta). En general, el gráfico de una relación entre dos variables no es necesariamente una recta, pero de todos modos podemos definir el ritmo de crecimiento (o decrecimiento), también se llama la tasa o razón de cambio o promedio.

En general, si (a,b) y (c,d) pertenecen a un gráfico, la razón de cambio promedio entre esos dos puntos del gráfico de y respecto de x, se define como:

d bc a

−−

1. Haz en tu cuaderno un gráfico, de una relación de y respecto a x, que cumpla las siguientes condiciones: Para x entre 0 y 2 el gráfico crece. De 2 a 5 se mantiene constante (no crece ni decrece). De 5 a 8 decrece con razón de cambio promedio −2. Según tu gráfico, ¿cuál es la tasa de crecimiento promedio entre 0 y 2? y ¿cuál es la tasa de crecimiento promedio entre 2 y 5?

( , )x y1 1

( , )x y2 2

18

actividades

X

Y

2

121

Unidad


Podemos comparar gráficos, para muchos casos, sin necesidad de conocer los valo-res de las variables ni las escalas utilizadas. Por ejemplo, el gráfico a continuación muestra la variación porcentual anual del Producto Interno Bruto (PIB) en diferen-tes años (desde 1981 hasta 1997), de varios conglomerados de países.

Fuente: FMI

Sin conocer la escala ni los valores, podemos afirmar, a partir del gráfico, que los países en desarrollo han tenido un crecimiento mayor que los países africanos, pero menor que los países asiáticos, ya que el gráfico que representa a los países en desa-rrollo está por sobre el gráfico que representa a África y bajo el de Asia.

Otro ejemplo más cotidiano es el siguiente: pensemos en una atleta que participa en un triatlón. En las tres pruebas su velocidad es esencialmente constante, pero distinta en cada caso. Nada más lento que lo que corre y corre más lento que lo que anda en bicicleta. El siguiente gráfico muestra la distancia recorrida por el atleta en cada instante.

1. Según el gráfico superior, ¿cuál fue el orden de la carrera? ¿Fue “trote - nado - bicicleta”?

2. ¿Cuál prueba le tomó más tiempo?

3. Si la distancia total fue de 40 km y el atleta la recorrió en 4,16 h, ¿cuál fue su velocidad promedio? (Nota que en este caso velocidad promedio y tasa promedio es lo mismo).

actividades

122

REF

UER

ZO

DE

LA U

NID

AD

1 Considera la función real f(r) = −65

+ 3r

. Com-

pleta la siguiente tabla que tiene en la fila de

arriba los valores de r y en la de la abajo las

evaluaciones de r en f.

2 Si f es una función real y f(a) = b, entonces a es una preimagen de b vía f. Si f es una fun-ción afín y b ∈ °, ¿es cierto que b siempre tiene preimagen vía f? ¿En cuáles casos si? y ¿en cuáles no?

3 Los siguientes son los valores de una función afín f en la variable x.

x 1 3

f 5 7

¿Es f lineal?

4 Realiza el gráfico de las siguientes funciones:

a) f(t) = 3 − 4t

b) y(s) = − −5 46

s

c) f(x) = 2 − x

d) y(g) = 45

g − 3

e) s(z) = 5 + 3

6z

f) y(x) = − − + +xx

66

g) f(t) = −t +1

h) f(t) = 5 + 4t

i) f(t) = 3(2 − 4t)

5 Si f es afín tal que f(1) = 5 y f(−1) = 32

. Con-

sideremos además x0 y x

1 cualesquiera en °,

pero distintos entre sí. Calcula:

f x f x

x x( ) ( )1 0

1 0

−−

actividades finales

6 Si g es una función afín cuyo gráfico es una recta paralela a f del ítem anterior. Considere-mos x

0 y x

1 cualesquiera en °, pero distintos

entre sí. Calcula:

g x g x

x x( ) ( )1 0

1 0

−−

7 Si p es una función afín cuyo gráfico es una recta paralela a g del ítem anterior. Considere-mos x

0 y h cualesquiera en °, pero con h ≠ 0.

Calcula:

p p( + ) ( )0 0x h x

h−

8 Si f(t) = mt + n representa la posición de un

móvil que se mueve a velocidad constante,

para cada instante t. ¿Qué representa el cuo-

ciente f t f tt t

( ) ( )1 0

1 0

−−

para distintos momentos t0

y t1?

9 Considera la tabla de la función f:

x 1 2 3

f 1 2 3

¿Es f la identidad?

10 Considera la función real f, que a cada número real x lo transforma en

f(x) = x + x(x − 1)(x − 2)(x − 3). Completa la tabla:

x 1 2 3 0

f

¿Es f la identidad? ¿Es f lineal? Si, en el ítem anterior tu respuesta fue afirmativa, vuelve a él y compara las tablas de las funciones. Verás la función de éste ítem cumple con la tabla del ítem anterior, pero no es la identidad.

r 0 1 5 -5 2

f 3 1,8 1 -2 0 2

123MATEMÁTICA 1o Medio

2Unidad

11 Los siguientes gráficos muestran la relación en-tre el peso chileno y el dólar y la relación entre el peso argentino y el dólar. Grafica la relación entre el peso chileno y el peso argentino.

A Jorge, su papá le dio $ 20 000 para que gaste en Buenos Aires en su gira de estudios. ¿Cuántos pesos argentinos equivalen esa can-tidad de dinero?

12 Según los datos y resultados del problema an-terior completa la siguiente tabla:

Monedachilena(Ch$)

10 30 100 500 1 000 10 000 1 000 000 ?

Monedaargentina(Ar$)

? ? ? ? ? ? ? 1 000

13 El gráfico de abajo muestra el gasto de bencina de un mismo vehículo en carretera y en ciudad. ¿Cuál de los dos corresponde al rendimiento en carretera?

Ch$

263

US$ 0,5

Ar$

307

US$ 100

14 Los siguientes recipientes cilíndricos, son llena-dos con la misma llave, que deja fluir agua a un ritmo constante. El gráfico de abajo represen-ta la relación entre la altura del nivel del agua a cada instante t, para cada recipiente. ¿Cuál gráfico corresponde a cual recipiente?

¿Cómo serían los diferentes gráficos, si en vez

de la altura, se graficara el volumen que tiene cada recipiente en cada instante t?

15 La siguiente secuencia de figuras se inicia con 4 cuadrados, la segunda figura se obtiene ad-juntándole a la figura anterior 2 cuadrados más en los extremos, la tercera figura resulta de ad-juntar a la segunda figura 2 cuadrados en las columnas de los extremos y así se continúa con las figuras posteriores.

a) ¿Cuántos cuadrados son necesarios para las figuras sexta, décima y décima octava?

b) Generaliza y descibre la expresión que te entrega la cantidad de cuadrados para la n-ésima figura.

d(km)

Combustible(litros)

124

REF

UER

ZO

DE

LA U

NID

AD

16 La sucesión muestra una primera figura que es un cuadrado, la segunda figura se obtiene colo-cando la anterior y la misma sobre ella, la tercera figura se obtiene colocando la anterior y la mis-ma pegada a la derecha, la cuarta figura se ob-tiene colocando la anterior y la misma sobre ella, de esta forma se continua con la secuencia.

a) Construye el diagrama que representa la quinta y sexta figura.

b) ¿Cuántos cuadrados son necesarios para las figuras quinta, décima segunda y vigésima?

c) Escribe una expresión algebraica que arroje la cantidad de cuadrados para la figura n.

17 Determina el valor de la incógnita en cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 4(3x – 5) + 3 = 19

b) 4(x + 3) – 11(x –7) = 4(5x + 2)

c) 5(1 – x) + 4(x – 3) = x – 1– (1 – x)

d) x x− − = − +3

413

13

18

e) 2 12

52 9

413

xx x+ + − = + −

f) x

x x+ 32

213

+ =

18 Encuentra una expresión para x en las siguien-tes ecuaciones:

a) ax − 3 = b − 5 (a ≠ 0)

b) 2px = 7p2 − 5px (p ≠ 0)

c) 5(x + 1) = 3(a − x)

d) 23

x − b + 6a = −4(x + b)

19 Sabiendo que la cantidad de diagonales que se

pueden trazar en un polígono de n lados viene

dada por la fórmula D = n n( 3)

2−

. ¿Cuántos

lados tiene un polígono en el cual se pueden

trazar un total de 20 diagonales?

20 La fórmula para expresar grados Farenheit en Celsius es:

C = 59

(F − 32).

a) Escribe los grados Farenheit en función de los grados Celsius.

b) ¿Existe alguna temperatura que sea la mis-ma tanto en Celsius como en Farenheit? Argumenta tu respuesta.

21 Sabiendo que a > 0 y 0 < b < a, ubica en la recta numérica: a, b, a + b, b − a, 2a y −3b

22 Si a < 0 y b > 0, ubica en la recta numérica:

−a, b − a y − 12

a + b

23 Los números en la secuencia 3, 8, 13, 18, 23, ... se obtienen sumándole cinco al término ante-rior. Y en la secuencia 5, 11, 17, 23, 29, ... los números se obtienen sumando seis al número anterior. Ambas secuencias tienen el número 23 en común, ¿cuál es el próximo número en común que tiene estas sucesiones? [Problema modificado Prueba Timss 2003].

24* ¿Es un múltiplo de dos la suma de dos números consecutivos? ¿Es un múltiplo de tres la suma de tres números consecutivos? ¿Es un múltiplo de cuatro la suma de cuatro números conse-cutivos? ¿Es un múltiplo de cinco la suma de cinco números consecutivos? ¿Podrías afirmar que la suma de n números consecutivos es siempre un múltiplo de n? ¿Para qué valores de n es cierto y para cuáles no es cierto? Justifica tu respuesta.

25 Dos tinajas contienen la misma cantidad de vino. Si se pasa 37 litros de vino de una tinaja a otra, ésta contiene ahora triple cantidad que la otra. ¿Cuántos litros de vino había en cada tinaja inicialmente?

Álgebra


2Unidad

26 *[Prueba Pisa 2000] Un agricultor planta man-zanos en un terreno cuadrado. Con el objetivo de proteger los manzanos del viento planta pi-nos alrededor de la totalidad del huerto. Aquí ves un esquema de esta situación donde se puede apreciar la colocación de los manzanos y de los pinos para cualquier número colocar imagen n de filas de manzanos:

x x x x x x x x xx xx xx xx xx xx xx xx x x x x x x x x

x x x x x x xx xx xx xx xx xx x x x x x x

x x x x xx xx xx xx x x x x

x x xx xx x x

Con la ayuda de un compañero realiza la si-guiente actividad:

a) Completen la siguiente tabla, tú escribien-do el número de manzanos y tu compañero el número de pinos.

n Númerode manzanos

Númerode pinos

1 1 8

2 4

3

4

5

b) Conjeturen y describan, cada uno, una fór-mula para calcular el número de manzanos y otra para el número de pinos para n filas de manzanos.

c) Ahora comparen las fórmulas que obtuvie-ron. ¿Existe un valor de n para el cual el número de manzanos coincide con el de pi-nos? Hallen este valor y expliquen cómo lo encontraron.

d) Supongan que el agricultor quiere agrandar el huerto con muchas filas de árboles. A medida que el agricultor vaya haciendo ma-yor el tamaño del huerto, ¿qué aumentará más rápidamente, el número de manzanos o el de pinos? ¿Por qué?

27 Desarrolla los siguientes productos y reduce té-minos semejantes:

a) (2x + 3y)(−3y + 2x) + 2xy(6 − 2y)

b) (2k + 1)2 + (2k + 3)2

c) (x − 2y)3

d) (x2 − 3y)2 + x3(x + y)

e) (x + 1)3 − x3−1

f ) (2x − 3)(x − 1)(x − 2)

g) (5x − y) (32

32

y x+

)

h) (0,4x + 2,3xy)2

28 En cada caso suma un número (no una varia-ble), que permita formar un cuadrado de bino-mio:

a) x2 + 2x

b) x2 + 4x

c) x2 − 10x

d) 4x2 + 8x

e) x2 + x

f) x4 − 5x2

29 Factoriza los siguientes polinomios:

a) 2ax − 3az

b) 24x2 − 12xy

c) 6xy + 2bx + 3ay + ab

d) n3 − nm2

e) mx2 + 4mx + 4m

f) x2 + 7x + 494

g) x4 + 2x2 + 1 (Ayuda: Es un cuadrado de bi-nomio en la variable).

30 Muestra que para todo polinomio p de grado 1, existe un número real α tal que al evaluar p en α resulta cero.

126

REF

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ZO

DE

LA U

NID

AD

31 Supón que un polinomio p(x) de grado 2, se puede factorizar en polinomios de grado ma-yor o igual a 1. Muestra que entonces existe un número real α tal que al evaluar p en α resulta cero.

32 Supón que un polinomio p(x) de grado 3, se puede factorizar en polinomios de grado ma-yor o igual a 1. Muestra que entonces existe un número real α tal que al evaluar p en α resulta cero.

33 Supón que un polinomio p(x) de grado 4, se puede factorizar en polinomios de grado ma-yor o igual a 1. ¿Es cierto que existe un núme-ro real α tal que al evaluar p en α resulta cero? (Ayuda: observar el ítem 29 g)).

34 Nota que un número de dos cifras no lo podemos anotar ab, pues esa notación está reservada para la multiplicación de a por b. Entonces, si un número n de dos cifras, en el lugar de las unidades está a y en el de las decenas está b, entonces el número es n = 10b + a, por ejemplo 31 = 10 · 3 + 1. ¿Cómo escribirías un número de 3 cifras? ¿Y de 4 cifras? ¿Y de k cifras?

Considera un número de 4 cifras, digamos n = 1 000d + 100c + 10b + a.

a) Muestra que n es igual a 999d + 99c + 9b + (a + b + c + d).

b) Muestra que n se puede escribir en la forma 9A + (a + b + c + d), donde A es un número entero. ¿Cuál es el valor de A en términos de b, c y d?

c) Muestra que si la suma de los dígitos de un número n, de 4 cifras es divisible por 9, en-tonces n es divisible por 9.

d) ¿Es el resultado anterior, cierto si se consi-dera un número n de cualquier largo?

e) Muestra que si la suma de los dígitos de un número n, de 4 cifras es divisible por 3, en-tonces n es divisible por 3.

f) ¿Es el resultado anterior, cierto si se consi-dera un número n de cualquier largo?

35 Elije cualesquiera 3 números de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y forma todos los nú-

meros de tres cifras que se pueden formar con esos números elegidos, por ejemplo si elegi-mos 1, 2 y 3, entonces todos los números de tres cifras con 1, 2, 3 son:

123, 132, 213, 231, 312, 321. Si sumamos esos números resulta 1 332 = 6 · 222.

a) ¿Será cierto que para cualquier trío que se escoja y se suman todos los números de tres cifras que se pueden formar resulta un nú-mero divisible por 222?

b) Nota que 1 + 2 + 3 = 6. ¿Será cierto que para cualquier trío que se escoja y se suman todos los números de tres cifras que se pue-den formar resulta un número divisible por la suma de los dígitos escogidos?

36 Si hacemos una caja abierta con un pedazo rectangular de cartulina de medidas 30 cm de ancho por 40 cm de largo, recortando un cua-drado de longitud x en cada esquina y doblan-do los lados hacia arriba como se muestra en la figura:

a) Escribe el volúmen de la caja en términos de x.

b) Escribe la superficie de la caja en función de x.

c) Construye una tabla de datos que muestre distintos valores para x y los correpondien-tes de V (volúmen). Estima con tus cálculos, ¿qué valor de x hace mayor el volumen de la caja?

Álgebra


2Unidad

1 (Prueba Timss 2003) Si n es un número ne-gativo, ¿cuál de estos números es el más gran-de?

a) 3 + n

b) 3 − n

c) 3 · n

d) 3 : n

2 (Prueba Timss 2003) Ciertos segmentos se or-denan como se muestra en las figuras.

Si se continúa la misma secuencia de ir agre-gando cuadrados, a la izquierda de la figura anterior, ¿cuántos segmentos se usarían para la figura 10?

a) 30

b) 33

c) 36

d) 39

3 (Modificación Prueba Timss 2003) a + 2b = 5 y c = 3. ¿Cuál es el valor de a + 2(b + c)?

a) 11

b) 8

c) 16

d) No se puede determinar.

4 (Prueba Timss 2003) Si L = 4 cuando K = 6 y M = 24, ¿cuál de las siguientes opciones es ver-dadera?

a) L = MK

b) L = KM

c) L = K · M

d) L = K + M

5 Si el área de un cuadrado de lado a + b se le resta el área de un cuadrado de lado a − b resulta:

a) 4ab

b) 2a2 + 2b2

c) 2a2 − 2b2

d) 0

6 En relación a la función f(x) = 5x − 2 es cierto que:

a) f(−1) = 3

b) La expresión f x f

x( ) (1)

1−−

toma diferentes valo-

res para diferentes valores de x ≠ 1.

c) El gráfico de f es una recta que pasa por el origen.

d) El gráfico es una recta paralela al gráfico de y(x) = 5x

7 ¿Cuál es el valor de 1 5012 − 1 5022:

a) 1

b) −1

c) 3 003

d) −3 003

8 ¿Cuál de los siguientes polinomios es igual a

x y x y+( ) − −( )2 2

4?

a) 0

b) x y2 2

2+

c) xy

d) x y

xy2 2+

2+

autoevaluación



128

Geometría

desarrolladas en el

Plano Cartesiano:

Par ordenado, sistema de coordenadas rectangulares, representación de formas

geométricas unidimensionales y bidimensionales en dicho

plano.

para trabajar la

Componer y descomponer figuras analizando la congruencia entre sus lados y ángulos.

Resolver problemas que involucran congruencias de trazos, ángulos y triángulos.

Conjeturar y demostrar propiedades de polígonos utilizando la congruencia de triángulos.

Caracterizar la estructura y uso de un sistema de coordenadas rectangular y denominarlo Plano Cartesiano

Resolver problemas geométricos de áreas y perímetros de figuras representadas en un plano cartesiano.

Representar puntos, trazos, triángulos y cuadriláteros en un plano cartesiano en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico.

Identificar las regularidades presentes en las traslaciones.

Construir traslaciones y composiciones de traslaciones utilizando la adición de vectores en un plano cartesiano.

Construir, en el plano cartesiano, reflexiones y rotaciones en forma manual o utilizando un procesador geométrico. Construir composiciones de reflexiones.

Reconocer reflexiones, traslaciones y/o rotaciones en pares de figuras dadas en el plano cartesiano y fundamentar su razonamiento. Reconocer las transformaciones isométricas presentes en distintos tipos de teselaciones.

Caracterizar los aspectos invariantes que se observan en la aplicación de reflexiones, rotaciones y traslaciones en un sistema cartesiano de coordenadas.

Transformaciones Isométricas:

Traslación, reflexión y rotación.

Composición de traslaciones y reflexiones.

Teselaciones.

Analizar los datos necesarios y suficientes para construir un triángulo, y relacionar dichos datos con los criterios de congruencia de triángulo y las transformaciones isométricas.

Congruencia de Polígonos

Congruencia de triángulos

Criterios de Congruencia de Triángulos.

Unidad

129

Si hay un deporte en el que las isometrías juegan un papel fun-

damental, ese es el billar. De hecho, para ser un buen billarista no

es importante tener un buen golpe de muñeca, sino poseer unas

nociones básicas de geometría para saber elegir qué golpe dar. Eso

sí, no es el único deporte don-

de la geometría juega un papel

importante. El estudio de las

isometrías permite precisar el

punto de golpe del golpe en la

banda, aunque sea a una, dos o

más bandas.

Analicemos el caso del “pillo a una banda”, es decir cuando quere-

mos pegarle a una bola y forzadamente tenemos que pegarle a una

banda primero para darle a la bola que queremos. Para ello debe-

mos realizar una simetría, como si la banda fuera un espejo donde

se puede proyectar la mesa. Así

tenemos que trazar la trayecto-

ria de la bola blanca a la bola 5

de la mesa proyectada para de-

terminar el punto de golpe en la

banda, el cual permitirá pegarle

a la bola 5. ¿Puedes determinar

otros puntos en las bandas los

cuales permitan pegarle a la bola 5 o a otra?

Unidad

3

66,2º

66,2º

130

1 Indica cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos y marca el vértice recto.

a) b) c) d)

2 Determina la transformación isométrica que se aplicó a la figura para obtener A, B, C y D.

a) b) c) d)

3 Observa la figura de la derecha y responde:

a) ¿Qué transformación isométrica se le aplicó a la re-gión naranja sin letra para obtener la región A? ¿Y para obtener la región C?

b) A la figura A se aplicó una rotación para obtener la re-gión D. Determine el punto y el ángulo de rotación.

4 Señala en cuál o cuáles de los siguientes casos la informa-ción que se entrega permite construir inequívocamente el triángulo que se pide y en cuáles no. En caso de no entregarse la información necesaria, explica por qué di-cha información no permite determinar el triángulo.

a) a = cm; γ = 45˚; b = 4,6 cm

b) α = 40˚; c = 4 cm; β = 50˚

c) α = 30˚; β = 60˚; γ = 90˚

para recordar

3u

3u3 2u

4u

92

u

3u 4u3u

5u

5d

13d

12d

A

BC

D

C

A B

b a

c

α

γ

β

132

A

2Ð Sur

3Ð Sur

3 P

onie

nte

8 Norte

1 Sur

2 P

onie

nte

1 Norte

1Ð Norte

Av. 2 Sur

1 O

rient

e

3 O

rient

eAv. Isidoro del Solar

3 Sur

2 O

rient

e

3 O

rient

e

2Ð O

rient

e

5 O

rient

e

1 Sur

Av.

1 P

onie

nte

3Ð Norte

2 O

rient

e

1 P

onie

nte

3

131

Unidad


Ubiquémonos: sistema de referencia

En muchas situaciones necesitamos referirnos a un lugar y para ello indicamos puntos de referencia y un número para logar la ubicación del lugar, como por ejem-plo en un tablero de ajedrez, se usan las letras de la a a la h para identificar las columnas del tablero y los números del 1 al 8 para identificar sus filas. Es así como cada movimiento se indica por la letra inicial de la pieza que se mueve (T: torre, R: rey) seguido por la casilla a donde llega la pieza. Es así por ejemplo, que si move-mos la torre a la posición a7 entonces dicho movimiento se anota T a 7. Con esta técnica, los jugadores pueden anotar sus jugadas, en los partidos, o simplemente comunicarle a su adversario las coordenadas de la pieza que piensa mover y este sabe exactamente cual será la nueva configuración del tablero.

Ahora recuerda las ubicaciones del tablero de ajedrez para ayudar a Amaru a ubi-carse en el mapa de Talca. Él se encuentra en una esquina de la Plaza de Armas, en la intersección de las calles 1 Norte con 1 Oriente. Necesita llegar a la tienda en que trabaja uno de sus tíos. Para ello le pregunta a un transeúnte: ¿cuántas cua-dras me faltan para llegar a esta dirección? Mientras le muestra un papel que tenía escrita la intersección de las calles en que se encontraba la tienda, el transeúnte le responde, “te faltan 5 cuadras”. Marca en el mapa la ubicación de la tienda del tío de Amaru.

8 a8 b8 c8 d8 e8 f8 g8 h8

7 a7 b7 c7 d7 e7 f7 g7 h7

6 a6 b6 c6 d6 e6 f6 g6 h6

5 a5 b5 c5 d5 e5 f5 g5 h5

4 a4 b4 c4 d4 e4 f4 g4 h4

3 a3 b3 c3 d3 e3 f3 g3 h3

2 a2 b2 c2 d2 e2 f2 g2 h2

1 a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 h1

a b c d e f g h

Júntate con 3 compañeros más y responde: ¿Todos marcaron el mismo punto en el mapa? La información proporcionada por el transeúnte, ¿fue suficiente?, ¿a cuán-tos lugares diferentes podría haber llegado Amaru? La intersección de las calles donde está ubicada la tienda es 3 Norte con 4 Oriente, ¿podría haber llegado Amaru a este punto sin pedir ayuda a otra persona?, ¿qué referencia hubieses usado tú para llegar a esta dirección?

Juegan las blancas

primero Ta7

Tres primeras jugadas para un Mate de Torre Rey contra Rey

Rg8segundo

terceroRg2

Juegan las blancas

132

Geometría

1. Di sin dibujar, en que cuadrante están situados los puntos A(4;1), B(3;5), C(−1;4) y D(0;0). Luego dibuja los puntos y une los puntos con segmentos. ¿Qué figura geométrica es la que trazaste? ¿Cómo puedes comprobarlo?

2. ¿En qué cuadrante puede estar situado un punto si la abscisa es positiva?

3. ¿Qué signos tienen las coordenadas de los puntos situados en el segundo cuadrante? ¿En el tercer cua-drante? ¿Y en el cuarto cuadrante?

4. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya ordenada es 5? ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya abscisa es −2?

RENÉ DESCARTES(1596-1650)

Filósofo, matemático y científico francés.

Descartes fue uno de los primeros filósofos moder-nos. En 1637 publicó su gran obra “Discurso del método para conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias”, en la que figuran La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría, siendo esta última un apéndice de dicha obra. En La Geometría aparecen las ideas sobre lo que hoy se conoce como sistemas de coordena-das cartesianas debido a la forma latina de su apellido Cartesius.

En todas las situaciones anteriores hemos considerado dos elementos para dar una ubicación, la dirección (recta) y una unidad de medida (cuadra). En general en un plano, para dar un sistema de referencia se consideran dos rectas (denominadas ejes de coordenadas) que se cortan en un único punto que usualmente se denota con la letra O y se denomina origen (en el caso de Talca, fue la plaza). Sobre cada una de estas rectas se toma una unidad de medida, no necesariamente la misma en ambos ejes (en el caso de Talca, fueron las cuadras). Al fijar una unidad de medida en uno de los ejes, tomamos la longitud del segmento como la unidad. De esta manera, en ese eje, tenemos una correspondencia con los números reales. De la misma forma se procede con el otro eje. Este par de rectas con sus respectivas unidades de medi-das, es lo que se llama sistema de Coordenadas Cartesianas en el plano.

Dado un punto P del plano, al tra-zar por P paralelas a los ejes, éstas cortan a dichos ejes en puntos a los que podemos asociar números reales que se denominan coorde-nadas del punto P. También se tie-ne que: dados dos números reales x e y podemos asociar un único punto en el plano cuyas coordena-das son el par ordenado (x;y). El par ordenado (x;y) tiene en primer lugar a la abscisa x y en segundo lugar a la ordenada y. Observemos que los ejes particio-nan al plano cartesiano en 4 zonas, las cuales llamaremos cuadran-tes. Así tenemos 4 cuadrantes.

Recuerda que ya habíamos utili-zado el plano cartesiano en otras oportunidades, como por ejemplo cuando graficamos la ecuación afín de una recta.

1

1

0 1 2 3 4 5 6-1-2

1

2

3

4

5

6

X

Y

-1

-2

C. II C. I

C. III C. IV

EJES

DE

LAS

ORD

ENA

DA

S ordenadas del punto P

abscisa del punto P

origen EJES DE LAS ABSCISAS

P (x,y)

actividades

3

133

Unidad


Figuras en el Plano Cartesiano

Amaru esta en el liceo haciendo una tarea de geometría que consiste en trazar un triángulo equilátero ABC de lado 3 unidades, en el plano cartesiano, tal que el vér-

tice A se encuentre en el origen y el lado AB se encuentre en el eje de las abscisas. ¿Cómo lo hará Amaru?

Procedimiento de AmaruÉl colocó el vértice B en el punto de coordenadas (3;0), luego pensó, ¿dónde trazo el vértice C? Amaru recor-dó que la altura hc cae en forma perpendicular en el punto de medio del lado AB , de ello concluyó que la abscisa de la coordenada del vertice C es la mitad del

lado del triángulo, es decir 32

unidades. ¿Por qué pensó

eso Amaru? Él lo pensó porque faltaba la ordenada del vértice C y por lo tanto utilizó el Teorema de Pitágoras, planteando la siguiente expresión:

BCAB

hc2

22

2= +

Así Amaru determinó que la ordenada del vértice es

3 22

unidades. ¿Cuáles son las coordenadas del vér-

tice C?

Amaru necesita saber cuales son todos los puntos del plano que están a 3 unidades del origen del Plano Car-tesiano. ¿Cómo podrá determinarlo? Amaru responde hay que usar Pitágoras otra vez, planteando la siguiente expresión.

32 = x2 + y2

donde x e y representan las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo formado. Los puntos pertenecen a una circunferencia de radio 3 unidades.

2

1. Determina las coordenadas de todos los puntos del plano cartesiano donde se pudo haber trazado el vér-tice C del primer problema.

2. ¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cartesiano tal que su abscisa es el doble de su ordenada más uno? Grafica el lugar geométrico.

3. Determina la expresión que deben satisfacer todos los puntos del plano cartesiano que están a dos unida-des del punto de coordenadas (−1,1).

recuerdarEn general, para establecer un sistema de coordenadas en el plano basta con que se den dos curvas que se cortan en un único punto y una unidad de medida en cada una de estas curvas. Ahora podemos pensar el plano como una red deter-minada por todas las curvas paralelas prefijadas.

0

0 12

34

5a

b

c

d

0

-1

-2

-3

-4

1

2

3

1 2 30-1-2-3

C (y+x)

-4BD

c

A

210 BA

C

30,5 1,5 2,50

0,5

1

1,5

2

2,5

h

F

actividades

134

Geometría

1. Construye ayudándote del programa Geogebra un cuadrado ABCD de lado 5 unidades, tal que cada uno de sus vértices se encuentre en cada cuadrante. ¿Cuántos cuadrados se pueden construir?

2. Construye un rectángulo ABCD cuya área es de 6 unidades cuadradas y los vértices A y B tengan coor-denadas (1,-2) y (3,0) respectivamente. ¿Cuáles son las posibles coordenadas de los vértices C y D?

Visualizando el Plano Cartesiano con Geogebra

En la red de Internet hay muchos programas que permiten visualizar el plano car-tesiano. Entre estos programas está el Geogebra, el cual puedes descargar de la página www.geogebra.org

Para que aparezca en la zona gráfica la cuadrícula, debes hacer clic secundario y activar la opción de cuadrícula.

El geogebra te permite colocar puntos en cualquier parte del plano cartesiano. Para ello debes activar el botón de punto, así podrás ver en la descripción de los objetos definidos en la zona gráfica, las coordenadas del punto que definiste en el plano cartesiano.

También geogebra permite construir figuras geométricas, como por ejemplo un triángulo isósceles ABC de altura 5 unidades y base 4 unidades con el vértice A en las coordenadas (0,1).

Podemos observar que se puede construir más de un triángulo con las condiciones dadas. ¿Cuántos triángulos más se pueden construir con las condiciones dadas?

3

actividades

3

135

Unidad


1 Descifra la palabra que está escrita en el plano cartesiano:

(6,2), (9,2), (12,1), (12,0), (11,2), (9,−2), (4,−2), (2,−1), (1,1), (−1,1), (−2,0), (−2,−2), (2,1), (5,2), (12,2), (9,1), (10,2), (10,0), (4,1), (2,2), (−2,2), (−2,1), (0,0), (2,0), (2,−2), (4,0), (4,−1), (12,−1), (12,−2), (11,0), (7,2), (9,0), (4,2), (−2,−1), (9,−1), (5,0), (6,0), (7,1), (7,0), (7,−1), (7,−2)

2 Señala que figura geométrica es la que está de-terminada por los puntos (1,−2), (4,−2) y (4,2). Además calcula su perímetro y área.

3 Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1,4), (7,4), (9,7) y (3,7). Prueba que el cuadri-látero es un paralelogramo y calcula su área.

4 Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (−1,1) y (3,1). Determina las coordenadas del tercer vértice.

5 Determinar el lugar geométrico de todos los puntos del plano cartesiano tal que la ordena-da más 3 es igual a la abscisa menos 1.

6 Los puntos A(−2,1), (0,53 ) y (7,4), pertenecen a una recta. ¿Cuál es la expresión algebraica de la recta?

7 Sean los puntos O(0,0) y A(6,−4). Determina el punto medio del segmento AO . Determina el lugar geométrico de todos los puntos que están a igual distancia de los puntos A y O.

0-1O

1 2 3 4

0

5 6

A

-1

-2

-3

-4

-5


8 El punto (2,−1) es el centro de una circunfe-rencia que es tangente al eje de las ordenadas. Determina la expresión algebraica de la circun-ferencia.

B A

c

1

0

-1

-2

-3

-4

9 El hexágono OABCDE, tiene el vértice O y A en las coordenadas (0,0) y (3,0). Determina las coordenadas de los demás vértices.

B

A0-1

E

D C

O-2

1

2

3

4

5

1 2 3 4

-1

0

a) Determina la circunferencia inscrita al hexágono.

b) Determina la circunferencia circunscrita al hexágono.

136

Geometría

4 Mingaco de traslado

Lautaro Montaña, quiso cambiarse de cuidad, pero quería llevarse la casa con él hacia el norte, así que programó una minga para trasladar la casa. Uno de los pro-blemas que se le presentó a Lautaro fue el río, el cual tenía una corriente de 4 kilómetros por hora de oeste a este, mientras que el bote tenía una velocidad de 6 kilómetros por hora. ¿Dónde llegó la casa de Lautaro?

La velocidad de la casa en la dirección del río puede ser representada por una flecha de longitud 4 en el eje X del plano cartesiano, y la velocidad en la dirección perpen-dicular por una flecha de longitud 6 en el eje Y.

Así representamos la velocidad resultante de la casa como la flecha roja que parte en el origen del plano cartesiano y termina en el punto de coordenadas (4,6).

Esta velocidad resultante, no puede ser descrita por un simple número. Ésta flecha queda determinada por su longitud, denominada módulo que vale 2 13 unidades, por su dirección, la de la recta que pasa por los puntos O y A y por su sentido O hacia A.

Estas magnitudes reciben el nombre de Magnitudes Vectoriales y se representan mediante un vector geométrico o flecha.

En lo que sigue denotaremos a los vectores del plano cartesiano mediante una letra

minúscula con una flecha encima cómo por ejemplo u

. Los vectores son identifi-cados por las coordenadas del punto terminal las cuales se denominan componen-

tes del vector. Por ejemplo el vector v

= (4,6).

Notamos que al hacer la minga, Lautaro trasladó rígidamente la casa para dejarla al norteste de donde se encontraba, pero para especificar exactamente donde quedaría la casa fue necesario modelar las velocidades en el plano cartesiano por medio de vectores, los cuales quedaron identificados por sus componentes. Así la casa de Lautaro se trasladó 6 km hacia el Norte y 4 km hacia el Este de donde estaba.

1. En la cuadrícula traslada la casa según el vector u

= (5,2). ¿Dónde queda la casa con respecto a la anterior?

2. Traslada la casa que obtuviste del traslado anterior según el vector w

= (1,2). ¿Dónde queda ahora la casa?

6

5

4

3

2

1

0-1 0 1 2 3 4

Y

X

A

actividades

3

137

Unidad


Las traslaciones las anotaremos T(a,b); donde el par ordenado (a,b) denota las com-ponentes del vector de traslado, lo que se entiende por trasladar a unidades en la dirección horizontal y b unidades en la dirección vertical. Así si a es positivo se traslada a lugares a la derecha, pero si a es negativo se traslada −a puestos a la iz-quierda. Del mismo modo, si b es positivo se traslada b puestos hacia arriba y si b es negativo se traslada −b puestos hacia abajo.

Por ejemplo, vemos abajo que hemos trasladado la casa de Lautaro según la trasla-

ción T(−12,−3) o bien , Tv , donde v

= (−12,−3), es decir, 12 puestos a la izquierda y 3 puestos hacia abajo.

investigai

¿Cuál es la acción de la traslación T(0,b)? y ¿de la traslación T(a,0)? y ¿de la traslación T(0,0)?

importantei

Lo que resulta al aplicar una traslación a una figura o un punto se llama la imagen de la traslación a esa figura o a ese punto.

1. ¿Cuál es la traslación que permite ir de A hacia A’? ¿Cuál es la traslación que permite ir de A’ a A? ¿Cuál es la relación entre estas dos traslaciones?

2. En general, ¿qué ocurre si aplicamos la traslación T(a;b) al plano y luego la traslación T(−a,−b)?

3. Traza los vectores de traslación de A hacia A’ y de B hacia B’. ¿Los vectores tienen la misma dirección? ¿Los vectores tienen el mismo sentido? ¿Los vectores tienen el mismo mó-dulo? ¿Qué figura geométrica determina los puntos ABB’A’? ¿Tiene alguna relación la figura geométrica con el sentido, orientación y módulo de los vectores antes determinados?

-6

-6

-7

A’

B’

A

12

3

Podemos pensar las traslaciones como movimientos de todo el plano, es decir, to-dos los puntos del plano se mueven según indica la traslación. Si la traslación dice que se muevan 3 puestos hacia arriba y 2 puestos hacia la izquierda, entonces todos los puntos se mueven en esa dirección.

¿Qué pasa si a la casa trasladada, le aplicamos la traslación T(−12, −3)?

actividades

138

Geometría

* Esta actividad está dirigida a demostrar que las traslaciones preservan ángulos: Dibuja un ángulo cualquie-ra y trasládalo.

α

β

δ

γ

Debemos demostrar que el ángulo rojo ∠ACB mide lo mismo que ∠A C B' ' '.

a) Nota que CC B B' ' es un paralelógramo, lo mismo que CC A A' ' . ¿Por qué?

b) Como los ángulos opuestos en un paralelógramo miden lo mismo, muestra que ∠ =ACC' γ y que ∠ =A C C' ' β .

c) Demuestra que el ∠ = +A C B' ' ' δ β . Como los ángulos opuestos en un paralelogramo son suplemen-

tarios (suman 180°). Muestra que δ α= −180o y que β γ= −180o .

d) Demuestra que ∠ = + = − +A C B o' ' ' ( )δ β α γ360 .

e) Demuestra que el ángulo rojo mide 360o − +( )α γ . Concluye que el ángulo rojo mide lo mismo que el que resulta de la traslación.

Consideremos un trazo cualquiera AB y apliquémosle una traslación T; que lo

transforma en el trazo ′ ′A B ; como muestra la figura:

Marquemos la perpendicular a AA′ que pasa por B; y denotemos por C la intersec-

ción de esas rectas. Del mismo modo, D es la intersección entre BB′ y su perpen-

dicular. Como AA′ mide lo mismo que BB′ se tiene que, BC mide lo mismo que

′A D y que AC mide lo mismo que ′B D .

Por lo tanto los triángulos ABC y A'B'D son rectángulos y tienen dos catetos iguales, por el teorema de Pitágoras las hipotenusas miden lo mismo, por lo tanto

AB mide lo mismo que ′ ′A B : Resumiendo, tenemos la siguiente propiedad de las traslaciones:

Las traslaciones preservan la distancia entre dos puntos.

A

B

C

A’

B’D

actividades

3

139

Unidad


Como hemos visto hasta ahora, las traslaciones tienen la propiedad que transfor-man un trazo en otro del mismo largo, y si dos rectas se intersectan las traslacio-nes las transforman en dos rectas que se intersectan, formando el mismo ángulo, es decir:

Es por esto que decimos que la traslación es una transformación isométrica, pues mantiene medidas (Iso = igual, Métrica = medida). Existen otras transfor-maciones isométricas que veremos más adelante. También se le llama un movi-miento rígido del plano, pues mueve el plano sin encoger o dilatar; mueve todos los puntos rígidamente.

Composición de Traslaciones

Consideremos ahora, el caso de aplicar dos traslaciones, una después de la otra:En la imagen de al lado vemos que al triángulo le aplicamos primero la traslación T T= ( , )4 1 y luego, a la imagen que resulta se le aplica la traslación t= − −T( , )3 5 .

Notamos entonces que el triángulo quedó definitivamente un puesto a la derecha y cuatro hacia abajo de su posición inicial. Es decir, resultó lo mismo que si desde el inicio hubiésemos aplicado una sola traslación: la traslación T( , )1 4− .

Generalmente, si al punto (x, y) se le aplica la traslación T( , )a b resulta ( , )x a y b+ + , si ahora le aplicamos al resultado la traslación T( , )c d resulta ( , )x a c y b d+ + + + , que es lo mismo que aplicar al punto (x, y) la traslación T ( , )a c b d+ + .

Además, hay que notar que resulta lo mismo que si se aplican las traslaciones en el orden inverso.

Si aplicamos dos traslaciones, una después de la otra, el orden no importa y además es lo mismo que aplicar una sola traslación.

De lo anterior, podemos pensar en las traslaciones y en general en todas las trans-formaciones isométricas que veremos, (como máquinas que transforman puntos del plano en otros puntos del plano). Los puntos entran por la derecha de la má-quina, la máquina trabaja y entrega un resultado por la izquierda. Por ejemplo, la siguiente máquina representa la traslación T(a,b).

Las traslaciones preservan ángulos y distancias.

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

importantei

Notamos que T ( , )a b aplicado a (x,y) resulta el punto (x+a , y+b).

( , )a x b y+ +( , )x y

140

Geometría

1. Dibuja un cuadrado que tiene vértices A(0,0); B(1,0) y C(1,1): ¿Cuál es el otro vértice? Después de una traslación el vértice A se transformó en A'(–3,5): ¿Cuáles son las coordenadas de todos

los otros vértices? Después de otra traslación el vértice A' se transformó en A''(4,1): ¿Cuáles son las coor-denadas de los otros vértices? ¿Cuál es la traslación que lleva a A a A''?

2. La concatenación de máquinas de al lado está compuesta por la máquina azul, que es la traslación T(1,1) y otra máquina que es la rotación R = R(0, 90˚):

a) ¿Cuál punto entrega la máquina por la izquierda, si por la de-recha entra (0,0)? ¿y (1,1)? ¿y (0,–1)? ¿y (1,–1)?

b) ¿Cuál punto debe entrar para que la máquina entregue (0,0)?

c) ¿Hay algún punto tal que cuando entra por la máquina sale el mismo?

Aplicar dos movimientos rígidos, uno después de otro, es concatenar estas má-quinas.

Es decir, si el punto P es transformado por la traslación I en P' y luego otra isome-tría transforma P' en P''; entonces las isometrías I y J concatenadas, transforman P en P''. O sea, el resultado de la primera máquina es la “materia prima” de la segunda máquina.

Cuando concatenamos dos isometrías, U y V en el orden de aplicar primero U y luego V; decimos que la isometría resultante es la composición de U con V y la anotamos VU o también V o U; y quiere decir que si aplicamos a VU a un punto P el resultado es aplicar V al resultado de aplicar U a P. Es decir,

VU(P) = V(U(P)):

En este lenguaje tenemos que la composición de dos traslaciones es una traslación, más precisamente

T(a,b) o T(c,d) = T(a+c,b+d) = T(c,d) o T(a,b)

Lo que hemos hecho anteriormente es sumar dos vectores, obteniendo un tercer vector, así entonces podemos decir que:

La suma de los vectores del plano a

= (p,q) y b

= (r,s)

es el vector a

+b

= (p + r, q + s).

P ''P ' P

J I

T( , )1 1R o( , )0 90

actividades

3

141

Unidad


1 Dibuja en el plano cartesiano el trapecio ABCD de coordenadas: A(−2,2); B(−1,5); C(3,6); D(1,0).

a) Dibuja la imagen A'B'C'D' del trapecio ABCD por la traslación T(2,−3).

b) Dibuja la imagen A''B''C''D'' que resulta al aplicar la traslación T(−1,−4) al trapecio A'B'C'D'.

c) ¿Existe una traslación que lleve el trapecio ABCD en el trapecio A''B''C''D''? Si la respuesta es afir-mativa escribe dicha traslación.

2 Dado el cuadrado de la figura:

a) Dibuja la imagen que se obtiene al aplicar al cuadrado ABCD la traslación T(0,3). Nombra los vértices de esta imagen con las letras A'B'C'D'.

b) Al cuadrado A'B'C'D' aplícale la traslación T(0,3). La imagen resultante la denominaremos con los vértices A'B'C'D'.

c) ¿Cuál traslación debes aplicar al cuadrado A''B''C''D'' para que el vértice A'' quede en el origen de coordenadas?

3 Traslada la figura ABCDE sabiendo que la imagen del vértice A es A'. ¿Cuál es la traslación?


142

Geometría

5 Reflexiones

Si pones una figura frente a un espejo, ésta se ve al revés, es decir, la mano derecha se ve enfrente en la misma posición, pero para la persona del otro lado del espejo es su mano izquierda. Sin embargo, si respeta la distancia, es decir, lo que está más cerca del espejo se ve como si estuviera más cerca.

La acción de dar vuelta una transparencia es la misma acción que reflejar en un espejo; por ejemplo: la siguiente imagen la puedes pensar como que la línea azul es un espejo que refleja lo de la izquierda en la derecha o también que la transparencia de la izquierda se dio vuelta según la recta azul.

La operación de dar vuelta una transparencia o reflejar en el espejo se llama re-flexión y consiste en lo siguiente:

• Considera una recta L cualquiera.

• Para cada punto P del plano, se debe considerar la recta perpendicular a la recta L que pasa por P, y que llamaremos L'.

• Mide la distancia de P a la recta L.

• Ubica P' al otro lado de la recta L, sobre L' y a la misma distancia de L.

Decimos que P' es el reflejado de P respecto a la recta L. También decimos que P' es la imagen de P por la reflexión respecto a L.

B’ C’

A’ D’

C B

D A

L’

L

P

P’

1. Si a un punto P se le aplica una reflexión, resulta P’, ¿qué le pasa a P’ si se le aplica la misma reflexión?

2. ¿Qué les pasa a los puntos de la recta L cuando se les aplica la reflexión respecto L’?

3. Si el punto P(3,4) se refleja con respecto al eje Y y el resultado se refleja respecto del eje X, ¿cuáles son las coordenadas del punto que resulta?

actividades

3

143

Unidad


Realiza la reflexión a A y a B, respecto de recta CH. Obteniendo A’ y B’, respectivamente. Traza las rectas AB y A’B’.

1. ¿Por qué esas rectas se intersectan en la recta de

reflexión? ¿Por qué CB C B= ′ ′ ? ¿Por qué AB A B= ′ ′ ?

2. Nota que a y b son complementarios. Explica por qué b = c = f. Explica también por qué a = d = e. ¿Es cierto que a = x?

3. Demuestra que la reflexión preserva ángulo.

Cuando estudiamos las traslaciones, vimos que éstas preservan la distancia y los ángulos. Ahora veremos que las reflexiones tienen la misma propiedad. Partamos con la distancia. Consideremos dos puntos A y B y reflejémoslos respecto de una recta L, como muestra la figura.

Nombramos por A' y B' las imágenes de A y B. El punto C es la intersección de la recta BB' con su perpendicular. Respectivamente D denota la intersección de la perpendicular con BB'.

Como AA' y BB' son paralelas se tiene que AC A D= ' . Además, como PC PD=

y como PB PB= ' se tiene que

BC B D= ′ ′′Entonces, los triángulos rectángulos ∆ACB y ∆A DB' ' tienen catetos que miden lo mismo, por lo tanto sus hipotenusas miden lo mismo. Luego:

AB A B= ' 'Por lo tanto

Las reflexiones preservan distancias.

Es cierto que las reflexiones preservan ángulos, pero la explicación del porqué de esto será un interesante ejercicio para que tú lo realices.

C C'

A A'P

B c

a

f

xH

d e

b

A’

B’B C P D

AL

actividades

B‘

144

Geometría

Figuras simétricas

Por lo visto anteriormente y por las actividades que has realizado, se puede decir que:

Las reflexiones preservan ángulos y distancias.

Por esta razón, al igual que las traslaciones, las reflexiones también se denominan isometrías o movimientos rígidos, porque mueven las figuras sin distorsionarlas, sin apretarlas ni expandirlas.

Hay figuras que si se reflejan respecto a una recta que las atraviesa, resulta la misma figura idénticamente igual.

Por ejemplo, si a un cuadrado lo reflejamos respecto a una de sus diagonales, se obtiene el mismo cuadrado, pero en cambio, si tomamos un triángulo escaleno, y lo reflejamos respecto una de sus transversales de gravedad, no se obtiene el mismo triángulo. En la figura el triángulo reflejado es el azul, y como vemos, no coincide con el triángulo original.

A la recta que hace que al reflejar una figura resulte la misma se denomina eje de simetría de la figura, por ejemplo en la figura de la izquierda, la recta L es un eje de simetría del cuadrado, en cambio L' no es un eje de simetría del triángulo.

A continuación mostramos algunas imágenes simétricas, la recta pintada encima muestra el eje de simetría. En el segundo ejemplo la imagen es simétrica si no con-sideramos las imágenes de adentro, y solamente nos fijamos en el contorno.

1. ¿Es un rectángulo simétrico respecto a la recta que une los puntos medios de los lados opuestos?

2. ¿Es un pentágono regular simétrico respecto a la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto?

3. Determina la expresión algebraica del eje de simetría del triángulo rectángulo con vértices en los puntos de coordenadas A(0,0), B(8,0) y C(0,8).

L'

L

6

actividades

3

145

Unidad


1 Dibuja la imagen que resulta al reflejar las si-guientes figuras con respecto a la recta L dada y luego, a las imágenes obtenidas aplícales la traslación T(−2,−2):

a) L

b)

L

2 Al triángulo ABC se le aplica una reflexión con respecto a la recta de ecuación x = −6. Deter-mina las coordenadas del triángulo A’B’C’.


-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

B

C

7

6

5

4

3

2

1

0

D

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 0

A

B

C

3 Determina la expresión algebraica de los ejes de simetría del cuadrado ABCD.

4 Supongamos que tenemos una recta horizon-tal L que pasa por el punto (0,b), donde b es un número entero. Ubica un punto P(x,y) arri-ba de la recta L. Si reflejas este punto P con respecto a L, ¿cuáles son las coordenadas de P‘? Escribe las coordenadas de P‘ en términos de x, y ó b.

5 Determine las coordenadas del cuadrado, tal que uno de sus ejes de simetría tiene como ecuación 6x + 2y = 8, y uno de los puntos me-dios de los lados tiene coordenadas (3,0).

6 Determine las ecuaciones de los ejes de sime-tría del octágono regular que esta contenido en los cuadrantes I y II, tal que las coordenadas A y B del octagono son (-1,0) y (1,0) respecti-vamente.

7 Sabiendo que las ecuaciones de los ejes de si-metría de una figura geométrica que tiene so-lamente dos ejes de simetría son x = 2 e y = 0, determine a que figura corresponde y determi-ne las coordenadas de al menos una figura.

146

Geometría

Rotaciones

Hemos visto diseños que se generan por traslación o por reflexión. Sin embargo, existen otros para los cuales estos “movimientos” no bastan. Por ejemplo, observe-mos el siguiente diseño, del más famoso artista que utilizó los movimientos rígidos para desarrollar sus trabajos, Maurits Cornelius Escher (1898-1972).

Como vemos, la figura del personaje se rota en un ángulo marcado por las líneas azules. No es una reflexión ni tampoco una traslación.

En general, si consideramos un punto y un ánguloα , la rotación de ánguloα y centro O, a cada punto P le asocia el punto P' del siguiente modo:

• Construímos la circunferencia de centro O, que pasa por P.

• Marcamos el ángulo α de modo que el radio OP sea uno de los rayos del ángulo. (Medimos los ángulos en sentido opuesto a las manecillas del reloj, a menos que se diga otra cosa).

• El rayo que forma el ánguloα y no es OP intersecta a la circunferencia en un punto, ese punto es P'.

α

P 'P

O O

P P

O

nota

“Con frecuencia me sien-to más próximo a los matemáticos que a mis colegas los artistas” .

M.C. Escher.

n

1. ¿Por qué existe una sola circunferencia de centro O y que pasa por P?

2. Consideremos dos puntos en el plano, digamos P y P', ¿es cierto que existe una rotación que lleva P en P'? ¿Es la única?

3. Si rotamos todos los puntos del plano en torno a O, con ángulo α , ¿qué le pasa a O?

4. Si rotamos en torno a O todos los puntos del plano en 360o, ¿qué le pasa a cualquier punto P?

7

MAURITS CORNELIS ESCHER

(1898 - 1972)

Comenzó estudios de Arquitectura, pero allí se dió cuenta de que su auténtica pasión eran las artes gráficas. Tras dos años en la escuela de arte, obtuvo una es-pecialización en técnicas gráficas y trabajo en madera. Luego viajó por el sur de Francia, España e Italia, donde encontró inspiración para su obra.

A lo largo de su carrera, Escher se centró en el arte de la estructura. Sin embargo, sus primeras obras retrataban de for-ma realista los paisajes y la arquitectura que encontró en sus viajes.

actividades

3

147

Unidad


Vimos que las reflexiones y las traslaciones preservan las distancias y los ángulos. Fue por eso que las llamamos movimientos rígidos o isometrías. La verdad es que la rotación pertenece al mismo grupo, es decir, la rotación es una isometría. La de-mostración de esto no la daremos en este texto, pero es importante que investigues para conocer por qué este resultado es cierto. Entonces:

Las rotaciones preservan distancias y ángulos.

Este resultado permite rotar polígonos de forma muy simple. Como preservan án-gulos y distancias basta rotar los vértices de un polígono y luego unir los vérti-ces rotados para obtener el polígono rotado. A continuación vemos la rotación de un triángulo equilátero ∆ABC, cuya imagen es el triángulo, también equilátero, ∆A B C' ' ' .

B '

A 'C 'C '

A '

B '

A A

BB

C C

0 0

importantei

Es importante notar que

el arco AA' no es igual al

arco BB' , pues pertene-

cen a circunferencias de

distintos radios. Sin em-

bargo, el ángulo ∠BOB'

es el mismo que el án-

gulo ∠AOA'que corres-

ponde al ángulo de la

rotación.

1. Rota el cuadrado en torno al origen con un ángulo de 90°.

2. Rota el cuadrado en torno a (–2,0) con un ángulo de 180º.

3. Rota el cuadrado en torno a (–3,1) con un ángulo de 270º.

4. Al cuadrado que te resultó en el problema 1 aplícale la traslación T(4,4). ¿Se puede hacer lo mismo con un solo movimiento?

5. Aplícale la rotación de centro (–3,1) y ángulo 90° al cuadrado inicial, pero en el sentido de las manecillas del reloj. Compara tu resultado con el del problema 3.

BA

D C 2

1

0

1 20-1-2-3-4-5

actividades

148

Geometría

recuerdar

A la rotación de centro O y ángulo α , la anotamosR( , )0 α

¿Cómo rotar un punto?

Para realizar una rotación, necesitaremos un compás, un trasportador y una regla. Con el compás haremos las circunferencias, con el transportador marcaremos los ángulos y con la regla marcaremos los radios.

Si queremos rotar P, en torno a O con un ángulo α , (nosotros lo haremos con un ángulo de 40° según el sentido de las manecillas del reloj, para fijar ideas) marca-mos la recta OP con la regla. Luego pondremos la marca de inicio del transporta-

dor en el punto O y marcando 0° en la recta OP .

P'

L

PP

O O

Enseguida, marcaremos el ángulo α y con la regla trazaremos la recta L que pasa por O y por la marca que acabamos de hacer.

Luego con el compás haremos la circunferencia con centro O y radio OP . Entonces la rotación del punto P será la intersección de la circunferencia y la recta L.

Existen figuras que al rotarlas, según cierto ángulo que no es un múltiplo de 360°, se obtiene la misma figura. En ese caso decimos que la figura tiene Simetría Ro-tacional. Las de arriba tienen simetría rotacional en torno a su centro de gravedad. En cada caso, ¿cuál es el ángulo de rotación que permite que quede la misma figura después de rotada?

8

1. Rota el triángulo equilátero en torno a A, en un ángulo de 60°. Haz lo mismo con el triángulo que resulta, y luego lo mismo con el triángulo que resulta.

Repite lo mismo hasta obtener 5 nuevos triángulos. ¿Qué figura obtienes?

2. Rota el triángulo equilátero en torno al centro de gravedad en un ángulo de 120°, ¿es cierto que el triángulo rotado se confunde con el original?

A

B

C

actividades

3

149

Unidad


9 Algo más de composiciones isométricas

Cuando estudiábamos traslaciones vimos que si aplicamos una traslación y luego otra, el resultado era aplicar una sola traslación. Más precisamente, si aplicamos T ( , )a b y luego T ( , )c d , resulta lo mismo que aplicar desde un principio T ( , )a c b d+ + .

En particular, se tiene que el orden en que se aplican las traslaciones no es impor-tante, es decir, si se aplican consecutivamente dos traslaciones, para el resultado final da lo mismo cuál se aplica primero y cuál después. Sin embargo, esto no sucede para todas las composiciones isométricas. Por ejemplo observa la siguiente máquina de composición.

Las máquinas de arriba muestran la composición entre la traslación T(1,1) y la rota-ción R de centro en el origen y ángulo 90°. Ahora si entra el punto (0,0), tenemos que R ° T(0,0) = R(T(1,1)(0,0)) = R(1,1) = (−1,1). Pero si ahora tenemos la máquina de composición

1. Para las mismas isometrías que vimos en los ejemplos anteriores:

a) Dibuja el cuadrado que resulta de aplicar TR, al cuadrado C, tal que, tres de sus vértices son ( , )0 1− , ( , )1 1− y ( , )0 2− .

b) Al cuadrado anterior aplica RT. Dibuja el cuadrado que resulta. ¿Es el mismo que antes?

c) Al cuadrado que resultó en b refléjalo respecto a la recta paralela al eje Y, que pasa por 32

0,

. Dibuja el cuadrado que resulta. Compara este resultado con el de a, ¿es el mismo?

importantei

Es decir, en general, el

orden en que se aplican

las isometrías es impor-

tante, pues no siempre

se obtiene el mismo re-

sultado si aplica primero

una u otra.

R T(1,1)

T(1,1) R

actividades

T R T R T ( , ) ( ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )

0 0 0 0 0 0 1111 11

= = =

150

Geometría

Hemos visto también que en general las isometrías no conmutan, es decir, si I y J son dos isometrías no siempre se cumple que I ° J = J ° I. Por ejemplo, vimos que en general, no es lo mismo una traslación compuesta por una rotación que la misma rotación compuesta por la misma traslación.

¿Qué pasará con una reflexión y una traslación? Consideraremos una reflexión res-pecto a una recta L, llamaremos a esa reflexión S. Consideraremos una traslación T en una dirección distinta a la dirección de la recta L. La figura siguiente muestra, la composición S ° T, es decir, compondremos primero la traslación y al resultado aplicaremos la reflexión. A la derecha compondremos las mismas isometrías en el sentido opuesto.

A A'A''

LLA

A'A''

Como vemos, esas isometrías no conmutan.

¿Qué pasa con una rotación compuesta con otra rotación del mismo centro?

Consideremos el centro O de ambas rotaciones, digamos Rα = R(O,α) y Rβ = R(O,β).

Para fijar ideas, pensemos en el caso en que α β+ < 360o . Entonces, cualquier pun-to P, lo rotamos con un ángulo de α y luego el resultado lo rotamos en un ángulo β . Es decir, aplicar dos rotaciones (del mismo centro) seguidas es lo mismo que aplicar una rotación cuyo ángulo es la suma de los ángulos de cada rotación. En particular,

R R R R Rα β α β β α = =+ .

P '

P ''

α β+

β αP

O

1. ¿Conmutan las rotaciones de diferente centro?, es decir, si O es distinto de O', ¿es cierto que R(O,α) o R(O,β) = R(O',β) o R(O',α)?

2. ¿Qué pasa con la composición de una reflexión respecto a la recta L con una traslación que tiene la misma dirección que L? ¿Conmutan?

3.* Considera la traslación, T T= ( , )4 10 y la reflexión respecto a la recta L que pasa por el origen y el punto (2,5). Denotemos por S esa reflexión. Considera la concatenación ST y la concatenación TS.

a) ¿Es cierto que si un punto P está en la recta L, entonces ST lo transforma en un punto de L?

b) ¿Es cierto que TS P ST P( ) ( )= para cualquier punto P, del plano?

actividades

3

151

Unidad


1. ¿Qué se obtiene si se componen dos reflexiones que tienen el mismo eje de simetría?

2. ¿Qué se obtiene si se componen dos reflexiones que tienen ejes de simetría paralelos no coincidentes?

3. En la explicación que dimos arriba, pusimos P más cerca de L, ¿cómo hubiese sido la explicación si hubiese estado en L?

4. ¿Cómo hubiese sido la explicación, si P hubiese estado en donde resultó P''?

5. ¿Conmutan las reflexiones?

¿Qué pasa conla composición de reflexiones?

Para responder esta pregunta, debemos considerar tres casos: 1o que los ejes de las simetrías son el mismo. 2o que los ejes son paralelos no iguales.3o que los ejes se intersectan en un solo punto.

Ahora estudiaremos el tercer caso. Para eso, consideremos dos reflexiones, una res-pecto a la recta L y otra respecto a la recta L'. Denotemos por O, la intersección de L con L' y por α el ángulo agudo o recto que forman. Dispongamos un punto P, apliquemos la reflexión respecto a L, llamemos P ' su imagen. A P ' apliquemos la reflexión respecto a L' y llamemos P '' su imagen.

α β β γγ

Como las reflexiones preservan distancia, se tiene que OP mide lo mismo que OP ' . Por la misma razón OP ' mide lo mismo que OP '' . Es decir, los puntos P, P' y P''están en una circunferencia de centro O.

Como las reflexiones también preservan ángulos, se tiene que la medida del ángulo

entre OP y L es la misma que el ángulo entre L y OP ' . Llamemos β ese ángulo.

Del mismo modo la medida del ángulo entre L' y OP ' es la misma del ángulo entre

L' y OP '' . Llamemos γ a ese ángulo. Por lo tanto el ángulo ∠POP '' mide 2 2β γ+ .

Notemos que β γ α+ = , por lo tanto ∠POP ''mide 2α . Resumiendo, tenemos el siguiente resultado:

Dada la reflexión V respecto a L y dada la reflexión U respecto a L'.Si L y L' se intersectan en O con un ángulo agudo o recto α , entonces la isometría UV es la rotación de centro O y ángulo 2α .

10

L'

P

O

L

P''

P'

P

P'

O

LL'

P''

actividades

152

Geometría

1 Si al segmento AB de coordenadas A(–1,0) y B(–2,3) se le aplica la composición R(0,180°)° T(1,1), las coordenadas de la imagen B‘ es:

a) B‘ (–1;4)

b) B‘ (2,–3)

c) B‘ (–1,–4)

d) B‘ (1,–4)

2 Dado el siguiente pentágono, grafica las si-guientes composiciones de transformaciones aplicadas a él:

a) Reflexión respecto a la recta horizontal que pasa por el punto P(0,3) compuesta con T(–5,3).

b) T(–5,3) compuesta con una reflexión respecto a la recta horizontal que pasa por el punto P(0,3)

c) ¿Qué puedes conjeturar a partir de los re-sultados que obtuviste en los ejercicios a) y b)?


3 Observa la siguiente figura:

a) ¿Qué composición isométrica permite llevar

al segmento AB , al segmento AD y luego

al segmento BC ?

b) ¿Qué composición isométrica permite llevar

al segmento AB , al segmento BC y luego

al segmento AD ?

c) ¿Cuáles son las coordenadas del cuadrado si se le aplica la composición R(2,–2),180° ° R((2,–2),180º)?

d) ¿Cuáles son las coordenadas del cuadra-do si se le aplica las composición T(4,3)° R((6,1),90°)?

e) ¿Cuáles son las coordenadas del cuadrado si se le aplica la composición T(4,3) ° R((3,5),180°)

° T3,–4?

4 Sea el segmento AB de coordenadas A(3,1) y B(6,1). Por medio de las composiciones R ° S ó S ° R, construya un hexágono regular que se encuentre en el primer cuadrante. S, es una reflexión con respecto a una recta L.

-1 0 1 2 3 4 5

A

B

C6

5

4

3

2

1

0

D

E

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

A

B

C

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

D

3

153

Unidad


1. En la baldosa básica de la teselación de El Cairo, los lados AB, BC, CD y DE miden lo mismo. Demuestra

que β = 90o y que 2 360α δ+ = o .

2. Utiliza esta teselación para hacer una nueva utilizando hexágonos no regulares.

En las calles de El Cairo, en Egipto, se ven baldosas que cubren todo el piso, en la forma que mostramos abajo:

La de la derecha corresponde a la baldosa básica, que si se disponen varias de ellas en diferentes posiciones, cubren todo el piso, sin dejar trechos vacíos entre ellas, y sin necesidad de superponer una en la otra. Al proceso de llenar el plano con baldo-sas, los matemáticos llaman teselar.

Una teselación es una manera de cubrir el plano con figuras, de tal manera que no haya lugares del plano que no resulten cubiertos por las figuras (no hay vacíos), ni tampoco las figuras se superpongan (no se traslapan).

Si con la repetición de una misma figura F se puede cubrir el plano, decimos que F tesela el plano. Por ejemplo, las baldosas de El Cairo teselan el plano y la teselación resultante se denomina Teselación de El Cairo. La figura de esa baldosa corres-ponde a un pentágono, pero no cualquier pentágono, sino que uno con propiedades especiales que permiten el calce perfecto entre una y otra figura (ver figura de la derecha). De hecho, veremos que el pentágono regular no tesela el plano.

Estudiemos teselaciones con un solo tipo de figuras, y partamos con una muy sim-ple: el paralelógramo. Los paralelógramos tienen la propiedad de que sus lados opuestos son paralelos, de modo que si se pone uno al lado del otro calzan perfecta-mente bien, lo mismo que si se coloca uno arriba del otro. Es decir:

Cualquier paralelógramo tesela el plano.

αβ

δ

αβ

E

D

AB

C

actividades

154

Geometría

Ya sabemos que cualquier paralelógramo tesela el plano. Ahora, consideremos un

triángulo cualquiera, y consideremos el que resulta de aplicar la rotación en 180o y centro en A.

A'

B'

B

A

Si pegamos esos triángulos por el lado ABy A B' ', respectivamente, se forma un paralelógramo, que como sabemos tesela el plano. Entonces tenemos el siguiente resultado:

Todo triángulo tesela el plano.

Como casos particulares, podemos decir que el cuadrado, el rectángulo, el triángulo isósceles, el triángulo equilátero y el rombo teselan cada uno por si solo el plano.

Existen muchas teselaciones distintas con diversos diseños, algunas están formadas por un patrón que se repite y en otras no hay patrones.

A continuación mostramos algunas:

Detalle de un mosaico del Palacio de La Alhambra en Granada, España.

Obra del artista holandés M.C Escher (1898-1972)

Teselación del físico británico Roger Penrose (1931)

3

155

Unidad


1. En la teselación de El Cairo, ¿cuáles isometrías hay que aplicarle a la baldosa B, sin considerar las traslaciones, para ponerla en cada caso en 1 en 2 y en 3?

2. La teselación de la derecha surge de la del triángulo equilátero. Explica el proceso de cómo el triángulo equilátero fue transformado en la baldosa básica de esta teselación.

Como hemos visto, las teselaciones han sido empleadas en el arte y en la arqui-tectura. Sin duda M.C. Escher es considerado el más grande artista que utilizó la geometría y la matemática en general para desarrollar sus obras. Él desarrolló una técnica exquisita al respecto y muchos de sus trabajos tienen como tema central objetos matemáticos.

Las teselaciones generalmente nacen de los polígonos, pero para formar teselacio-nes más interesantes es muy utilizado el método de “agregar y quitar”.

Éste consiste en tomar un polígono que sabemos que tesela, quitarle alguna figura de uno de sus lados y agregarlo en algún lado que permita que encajen perfectamen-te bien las nuevas baldosas. A continuación mostramos un ejemplo de este método aplicado a un cuadrado.

nota

Puedes visitar su galería en el sitio: www.mcescher.com

n

12

3 B

actividades

156

Geometría

1. ¿Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular? ¿Es un divisor de 360°?

2. ¿Puedes teselar con un pentágono regular? ¿Su ángulo interior es un divisor de 360°?

3. ¿Puede ser 180° el ángulo interior de un polígono?

Teselaciones regulares

Como vimos antes, se puede teselar el plano con triángulos de cualquier tipo y tam-bién con paralelogramos. En particular, se puede teselar con un triángulo equilátero, y con un cuadrado.

¿Con qué otro polígono regular se puede teselar?

Recuerda que un polígono regular de n lados, es aquel cuyos lados y todos sus ángulos interiores miden lo mismo. Un polígono regular se puede construir en una circunferencia, dividiendo el ángulo completo del centro en n partes iguales. En la figura de la izquierda, construimos un polígono regular de 8 lados. Dividiendo el

ángulo 360o en 8, resultó 45o. Entonces marcamos 8 ángulos de 45o cada uno.

Como cada triángulo que se forma en el interior del polígono es isósceles, el ángulo

α cumple con 2 45 180α + = , entonces, 2 135α = . Como un ángulo interior del

polígono es igual a 2α se tiene que el ángulo interior del octógono mide 135o .

Al intentar teselar con octógonos resulta que al pegar dos, en cualquiera de los vérti-ces comunes tenemos 135 135 270+ = grados. Por lo tanto, sólo nos falta un ángulo recto para formar un ángulo completo ( )360o .

Como vemos en la figura superior, no podemos agregar un nuevo octógono, puesto que la suma de los ángulos interiores superaría los 360°. Por lo tanto, no podemos teselar con octógonos regulares.

Pero como bien saben las abejas, se puede teselar con hexágonos regulares.

450

α

11

actividades

3

157

Unidad


1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: n indica la cantidad de lados del polígono regular y α es la medida del ángulo interior.

n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

α 120 90 ? ? ? ? ? ? ? ?

Una teselación se denomina regular si está compuesta por un solo tipo de baldosa y ésta es un polígono regular.

Por ejemplo, la teselación con triángulos equiláteros, con cuadrados y con hexágo-nos, son ejemplos de teselaciones regulares. ¿Habrá otras? ¿Qué crees tú?

Para dar respuestas a las preguntas planteadas, primero es necesario notar que en cada vértice de una teselación regular confluye la misma cantidad de baldosas, para el caso de los cuadrados son 4, para el caso del triángulo equilátero son 6 y para el hexágono son 3.

123 4 5

6 12 3

34 1

2

Supongamos que un polígono regular tesela el plano, entonces en cada vértice con-fluye el mismo número de polígonos, digamos m. Como es regular, todos los ángulos miden lo mismo, y como forman un ángulo completo, se tiene que m veces el ángulo

interior es 360o . Si llamamos α al ángulo interior, podemos afirmar que mα = 360 , es decir,

m =360α

Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado:

La medida de un ángulo interior de un polígono de una teselación regular es un divisor de 360

Entonces, el problema se reduce a encontrar los polígonos regulares, cuyos ángulos interiores sean divisores de 360.

A continuación en la tabla te presentamos los divisores de 360:

1 2 3 4 5 68 9 10 12 15 18

20 24 30 36 40 4560 72 90 120 180 360

Como el ángulo interior de un pentágono regular es 108o y como el 108o no es un

divisor de 360o, podemos afirmar que el pentágono regular no tesela el plano. Como

135o no divide a 360o se tiene que el octógono regular tampoco lo tesela.

actividades

158

Geometría

Como sabemos, un polígono regular tesela el plano si su ángulo interior divide a

360o . Para encontrar aquellos ángulos, hagamos la siguiente observación: conside-remos dos triángulos isósceles, donde la base es ABy A B' ' respectivamente.

A A'B

C

B'

C'

α

β

α '

β '

Notamos que si α es más chico que α ' , entonces 2β es más grande que 2β ' , pues

2 180β α= − y por su parte 2 180β α' '= −

En particular, consideremos un polígono regular A de n lados y otro B de m lados,

con m n> . El ángulo del centro de A es 360n

, en cambio, el ángulo del centro de B

es 360m

. Como m n> , se tiene que:

Como el hexágono regular tiene un ángulo interior de 120°, cualquier polígono re-gular de más lados que 6, tendrá un ángulo interior mayor que 120°, pero como entre 120° y 180° no hay ningún divisor de 360° se tiene que no hay ningún polígono re-gular de más de 6 lados que tesele al plano. Entonces, los únicos polígonos regulares que teselan al plano son los que ya conocemos: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

En definitiva, hemos demostrado el siguiente resultado:

Las únicas teselaciones regulares están formadas por polígonos regulares de 3, 4 ó 6 lados.

360 360m n

<

B

A

1. Cuando intentábamos teselar con octógonos regulares nos dimos cuenta de que era imposible, porque al pegar dos baldosas sólo quedaban disponibles 90° los que no eran suficientes para poner otra baldosa. Esto nos lleva a pen-sar que sí podemos teselar utilizando octógonos y cuadrados:

Estas teselaciones se llaman semi-regulares y están compuestas por más de un polígono regular. Encuentra otra de este tipo.

2. ¿Puede el pentágono regular ser parte de una teselación semi-regular?

actividades

3

159

Unidad


Vitral

Amaru está realizando un trabajo de artes para el Liceo, debe construir un vitral usando papeles transparentes de colores. Él ha decidido recrear una iglesia como la que se muestra en la figura. Para terminar el trabajo le falta colocar la última pieza (aparece en blanco en la imagen), pero no puede calcarla por el tipo de material, necesita construirla directamente en el papel transparente.

Amaru tomó las medidas del cuadrilátero que le falta construir para completar su vitral. Las medidas del cuadrilátero son 15 cm, 12 cm, 6 cm y 13 cm. Sin embargo, al comenzar a construir el cuadrilátero obtuvo varias figuras diferentes. ¿Coinciden con el cuadrilátero que le falta a Amaru para completar el vitral?, ¿cómo puede construir Amaru el cuadrilátero correcto?

Amaru recordó que para construir los triángulos que están en la parte superior de la iglesia, la estrategia de medir los lados le dio resultado. Por lo que midió la diagonal del cuadrilátero que necesitaba construir, obteniendo así el cuadrilátero correcto.

Amaru concluyó que había que determinar triángulos en el cuadrilátero para poder construirlo. ¿Será necesario medir las dos diagonales?

13

160

Geometría

1 Ubica el punto H(3,5) en el plano cartesiano.

a) Rota el plano en torno al origen de coorde-nadas en 90°. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen H‘?

b) Rota el plano en torno al origen de coorde-nadas en 180°. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen H‘‘?

c) Rota el plano en torno al origen de coorde-nadas en 270°. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen H‘‘‘?

2 Determina las coordenadas de los vértices de la figura geométrica MNOPQR y realiza las trans-formaciones que se indican:

M N

OP

R Q

0

-1

-2

-3

-4

-1-2-3-4

1

a) Aplica una rotación R(0,270º) a la figura MNOPQR.

b) A la imagen que obtuviste anteriormente llámale M‘N‘O‘P‘Q‘R‘. Realiza la siguiente rotación a esta figura: R(0,180º) cuya imagen denominarás M‘‘N‘‘O‘‘P‘‘Q‘‘R‘‘.

c) ¿Existe una rotación que lleve la figura MNOPQR en la figura M‘‘N‘‘O‘‘P‘‘Q‘‘R‘‘? Si así fuera, ¿cuál sería esa rotación?

3 Se tiene el segmento AB de coordenadas A(0,3) y B(4,0). Este segmento es rotado en torno a B entonces:

a) Si la imagen A'B' es una línea vertical, ¿cuáles son las posibles coordenadas para A' y B'?


b) Realiza el mismo ejercicio que en a), pero antes refleja el segmento AB con respecto al eje X de coordenadas y luego rótalo en torno a B.

4 Para producir un cuadrilátero idéntico a otro, ¿basta conocer la medida de sus lados?

5 Toma dos lápices de distintas medi-das, por ejemplo, uno mide 10 cm y otro 8 cm. Dis-ponlos de modo que sean los lados de un triángulo. Cierra el triángulo, con otros lápices, de diferentes me-didas, uno por vez. ¿Es cierto que el tercer lado, puede ser tan pe-queño como se quiera? ¿Puede ser tan grande como queramos? ¿Es cierto que el ángulo en-tre los dos primeros lápices, depende del largo del tercero? ¿Es cierto que mientras más largo es el tercero, más grande es el ángulo entre los dos primeros lápices?

6 Para que Amaru, construya una pieza triangu-lar del vitral, ¿basta saber los ángulos del trián-gulo?

7 Para que Ancavil, construya una pieza trian-gular del vitral, ¿basta saber la medida de los lados triángulo?

8 ¿Qué información se necesita para construir una pieza del vitral de forma pentagonal?

9 Para construir un rombo, ¿basta conocer la me-dida de sus diagonales?

10 Para construir un rectángulo, ¿basta conocer la medida de un lado y la medida de una dia-gonal?

3

161

Unidad


1. ¿Es cierto que un cuadrado de lado a es congruente con cualquier cuadrado de lado a?

2. ¿Es cierto que un segmento de largo 10 cm es congruente con cualquier otro segmento de largo 10 cm?

Congruencias

Cuando dos amigos se encuentran, y se percatan que llevan el mismo modelo de zapatillas, uno de ellos dice: “¡tus zapatillas son iguales a las mías!,” en realidad están abusando del lenguaje, pues no son exactamente iguales; para una se ocupó un pedazo de lona y para la otra otro pedazo de lona. Si fuesen iguales ocupa-rían el mismo lugar en el espacio. Ni siquiera tu ojo izquierdo es igual a tu ojo derecho. Ni siquiera un máquina troqueladora de cuero puede cortar dos piezas iguales, pues están hechas de pedazos de cuero distintos. Lo que queremos decir, es que usamos la palabra “igual” cuando queremos expresar que si pudiésemos poner un objeto sobre otro calzarían perfecto. Es decir, si los amigos que llevan el mismo modelo de zapatillas, y si tienen la misma medida de pie, se intercambiaran las zapatillas nadie lo notaría.

En matemáticas pasa lo mismo: si dibujas dos hexágonos regulares de lado 10 cm cada uno, en una hoja de papel, no pueden ser iguales, pues están en lugares distin-tos de la hoja, pero con una isometría es posible transformar uno en el otro. En este caso la isometría es una traslación.

En matemáticas, cuando existe una isometría (traslaciones, rotaciones, reflexiones o composición de ellas) que transforma una figura en otra, no decimos que son iguales, sino que son congruentes.

Dos figuras son congruentes si una es la imagen de la otra, vía una isometría.

Como las isometrías preservan medidas de ángulos y segmentos, entonces si dos figuras son congruentes, las medidas de sus ángulos y segmentos son las mismas.

Si una figura tiene un segmento recto AB , y se le aplica una isometría a la figura

obteniendo el segmento recto A B' ' en la imagen, A y A ' se llaman puntos ho-

mólogos, y los segmentos AB y AB , también se llaman homólogos. Si decimos

AB es homólogo a A B' ' queremos decir que existe una isometría que lleva A en

A ' y B en B ', en ese orden.

notanSi dos figuras A y B son congruentes, anotaremos A B≅ .

A B

A' B'

13

actividades

162

Geometría

importantei

Desde luego la pregun-ta inversa es inmedia-tamente cierta, pues si dos segmentos son con-gruentes, entonces uno de ellos es la imagen del otro vía una isometría, pero como las isome-trías preservan distan-cias, esos segmentos deben medir lo mismo.

Para comenzar, consideremos dos segmentos de la misma medida, ¿serán con-gruentes?

α

Primero con una traslación, hagamos coincidir un extremo de un segmento con un extremo del otro segmento.

Ahora, medimos el ángulo entre los segmentos, si ese ángulo es α , entonces rea-lizamos un rotación de ángulo α y con centro en el punto de coincidencia de los trazos, como ambos segmentos miden lo mismo, ambos son radios de una misma circunferencia. Entonces, la composición de la traslación con la rotación transfor-ma un segmento en el otro. Entonces tenemos que:

Un par de segmentos son congruentes sí y sólo sí miden lo mismo.

Consideremos ahora, dos circunferencias si son congruentes, quiere decir, que existe una isometría que transforma una en la otra, en particular el centro de una es transformado en el centro de la otra y como la isometría preserva distancias, se tiene que los radios miden lo mismo. En el otro sentido, consideremos dos circun-ferencias del mismo radio.

En este caso, basta considerar la traslación que transforma el centro de una cir-cunferencia en el centro de la otra. Como los radios miden lo mismo, la primera circunferencia es transformada en la segunda vía la traslación.

• Considera las siguientes figuras en el plano cartesiano: ¿Cuá-les parejas de figuras son congruentes?

En cada caso describe la isometría que transforma una figura en la otra.

actividades

3

163

Unidad


De la página anterior tenemos que:

Dos circunferencias son congruentes sí y sólo sí tiene el mismo radio.

Según vimos, en la actividad de la página anterior, para dar la información preci-sa de un paralelógramo, no basta con dar a conocer la medida de sus lados, pues hay infinitos con esas condiciones. En nuestro nuevo lenguaje, significa que dos paralelogramos de lados que miden lo mismo no necesariamente son congruentes. Pero, si además agregamos como datos las medidas de sus ángulos, entonces sí los podemos conocer únicamente.

Primero, reconozcamos dos ángulos que midan lo mismo en cada uno de los para-lelogramos, luego vía una traslación llevemos el vértice del ángulo reconocido en el primer paralelógramo en ángulo reconocido del segundo. Luego vía una rota-ción, con centro en el vértice en común, hagamos coincidir los lados que forman el ángulo reconocido como ambos son paralelogramos de las mismas medidas, todos los otros lados coincidirán. Por lo tanto, los paralelogramos son congruentes.

En un caso más general puede ser necesario, además, una reflexión. Entonces, dos paralelogramos son congruentes si y sólo si sus lados y ángulos miden lo mismo.

Dos paralelogramos son congruentes si y sólo si sus lados homólogos tienen iguales medidas y la medida de uno de sus

ángulos coincide.

• Describe la isometría que permite afirmar que los siguientes paralelogramos son congruentes:

actividades

164

Geometría

1. ¿Existe un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 6 cm y 7 cm? Júntate con varios compañeros y cada uno construya un triángulo con palitos de helados, con las medidas dadas. ¿Son todos los triángulos construi-dos congruentes?

2. Si las medidas de los lados de dos triángulos son las mismas, ¿los triángulos son congruentes?

3. De un triángulo se conoce que un lado mide 7 cm y otro lado mide 8 cm y que el ángulo entre ellos es de 60o. Júntate con varios compañeros y cada uno construya un triángulo con palitos de helados, con las medidas dadas. ¿Son todos los triángulos construidos congruentes?

Como los rectángulos son paralelogramos, entonces dos rectángulos son congruen-tes si y sólo si sus lados homólogos miden lo mismo y la medida de uno de sus ángulos coincide. Pero, como los rectángulos tienen todos sus ángulos rectos, la información de los ángulos es redundante, no es necesario darla. Por lo tanto:

Dos rectángulos son congruentes si y sólo si sus lados homólogos miden lo mismo.

Como los cuadrados son un caso especial de rectángulos, entonces dos cuadrados son congruentes si y sólo si sus lados miden lo mismo. Pero como los lados de un cuadrado miden todos lo mismo se tiene que:

Dos cuadrados son congruentes si y sólo si sus lados homólogos miden lo mismo.

Ahora, estudiemos el caso de los triángulos. Si dos triángulos son congruentes, en-

tonces sus lados y ángulos miden lo mismo. A la inversa, si tenemos dos triángulos

ΔABC y ∆A B C' ' ' tales que AB A B≅ ' ' , AC A C≅ ' ' , y BC B C≅ ' ' , y además

m( )∠ =ABC m( ' ' ')∠A B C , m ( )∠ =ACB m ( ' ' ')∠A C B , y m( )∠ =CAB m( ' ' ')∠C A B

A

B

C

A'

B' C'

AB B

A

C'

C'

C C

A'

A'

B' B'

Vía una traslación llevamos el punto B ' en el punto B . Como AB A B≅ ' ' , una rotación con centro en B , permite llevar A ' en A . Luego, si es necesario, vía una

reflexión entorno al eje AB , se obtiene que C ' calza con C . Luego los triángulos son congruentes. Entonces,

Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus lados y ángulos homólogos miden lo mismo.

actividades

3

165

Unidad



1 Si ∆ ≅ ∆DCO BAO entonces:

a) Prueba que O es punto medio de DB y AC.

b) Es correcto afirmar que si AB BD⊥ entonces

CD BD⊥ ?, ¿porqué?

2 Analiza y determina para cada caso si los siguientes pares de triángulos dados son congruentes:

a) Si ∆ABC, AB = 4 cm, m∠ = °ABC 45

y BC = 6 cm y ∆DEF, DE = 4 cm, m

∠ = °DEF 45 y EF = 6 cm.

b) Si ∆RST, RS = 5 cm, m∠ = °RST 100 y

m∠ = °SRT 30 y ∆ =XYZ XY, 5 cm, m ∠ = °YXZ 30 y m∠ = °XYZ 100

3 El pentágono KBLAC es congruente con el pentágono SROHE como muestra la figura.

L A

K

B

C

S

ER

H O

65o

a) Completa:

m ( )KB = = cm m ( )EH = cm

m ( )LA = cm m∠SRO = cm

b) ¿Cuál es la medida de la suma de los ángulos interiores de un pentágono?

c) Si tenemos dos pentágonos que no son congruentes, ¿es la misma la suma de los ángulos interiores de los pentágonos?

4 Júntate con cinco compañeros y observen el triángulo ABC de la figura:

a) Determinen de manera individual las coorde-nadas de un punto D tal que ∆ ≅ ∆ABC ABD.

b) Comparen sus respuestas: ¿coincidieron o hay alguna respuesta distinta? Si todos coinciden en la respuesta encuentren otro punto E tal que ∆ ≅ ∆ABC ABE. ¿Existirán más puntos que cumplan con estas características?

c) Verifiquen que con todos los puntos encontra-dos se cumpla la congruencia con el triángulo ABC.

5 Observa junto a tres compañeros el triángulo

∆OPQ y el segmento RS de la figura:

a) Determinen de manera individual las coor-denadas de un punto T tal que ∆ ≅ ∆OPQ RTS.

b) Comparen sus respuestas. ¿Coincidieron o hay alguna respuesta distinta? Si todos coinciden en la respuesta encuentren otro punto M tal que ∆ ≅ ∆OPQ RTM. ¿Existirán más puntos que cumplan con estas características?

c) Verifiquen que con todos los puntos en-contrados se cumpla la congruencia con el triángulo OPQ.

166

Geometría

• Don Pedro corta maderas de formas triangulares. El está seguro de que todavía hay información redundan-te. Es decir, si conoces los lados de un triángulo, entonces lo conoces completamente. En nuestro lengua-je, decimos que si dos triángulos tienen lados que miden lo mismo, entonces son congruentes. ¿Estás de acuerdo con don Pedro?

Triángulos congruentes

Como hemos visto, dos triángulos son congruentes si y sólo si sus lados miden lo mismo y sus ángulos miden lo mismo. Sin embargo, como los ángulos interiores de un triángulo suman un ángulo extendido (180o), en realidad nos basta que tengan los tres lados de iguales medidas y dos ángulo de iguales medidas, pues el tercero está obligado a medir la diferencia entre 180o y la suma de los otros dos.

Es decir, si dos triángulos tienen dos ángulos de iguales medidas, el tercero también coincide.

Entonces, hemos quitado una información redundante, ¿podremos quitar otra? ¿Bas-tará tres lados iguales y un ángulo igual para que dos triángulos sean congruentes? Investiguemos.

Consideremos dos triángulos ∆ABC y ∆A B C' ' ', tales que AB A B≅ ' ', AC A C≅ ' ', y BC B C≅ ' ', y además ∠ABC mide lo mismo que ∠A B C' ' '.

A

B

C

A'

B'

C'

A '

C' C'

A '

B' B'

C C

A A

γα

ββ

γ

Como AB A B≅ ' ' , existe una isometría que lleva A en A' y B en B'. Tracemos

ahora el segmento CC', Por la congruencia de los lados, se tiene que los triángulos. ∆CBC' y ∆CAC' son isósceles, entonces los ángulos ∠CC A' y ∠C CA' miden lo mismo. Del mismo modo los ángulos ∠CC B' y ∠C CB' miden lo mismo.

Por lo tanto, el ángulo ∠ACB mide lo mismo que el ángulo ∠A C B' ' ' , entonces los triángulos ∆ABC y ∆A B C' ' ' , tienen lados que miden lo mismo, y dos ángulos que miden lo mismo. Por lo tanto los triángulos son congruentes. Resumiendo, tenemos:

Si la medida de los lados de dos triángulos y la medida de uno de sus ángulos son iguales, entonces los triángulos son congruentes.

14

actividades

3

167

Unidad


1. Muestra que las diagonales de un cuadrado dividen a éste en cuatro triángulos rectángulos congruentes.

2. En una circunferencia, marca un ángulo de 60°, donde el vértice sea el centro de la circunferencia. Une los puntos del ángulo que intersecten a la circunferencia, con un trazo t. Muestra que t mide lo mismo que el radio de la circunferencia.

Nuestra intuición nos dice que todavía hay información redundante, de hecho si construimos triángulos con palitos de maquetas o con palitos de helados de medi-das fijas, los ángulos, los tres, quedan totalmente determinados.

Entonces, nuestra conjetura es que si dos triángulos tienen los tres lados de igual medida entonces los triángulos son congruentes. Investiguemos este caso. Conside-remos dos triángulos de iguales medidas, ∆ABC y ∆A B C' ' ' , tales que AB A B≅ ' ', AC A C≅ ' ' , y BC B C≅ ' ' . Por lo que vimos la página anterior, basta mostrar que tienen al menos un ángulo de igual medida para demostrar que son congruentes.

A

B

C

A'

B'C'

A

B

C

A'

B'

C'

A

B

C

A'

B'C' α

αϖ

ϖ

Mediante una isometría haremos coincidir los vértices A con A' y B con B' , igual que en el caso anterior, trazando el segmento CC', formamos dos triángulos isósceles, a saber son, ∆CC A' y CC B' . Por lo tanto los ángulos ∠CC A' mide lo mismo que el ángulo ∠C CA' y por la misma razón los ángulos ∠C CB' y ∠CC B' miden lo mismo. Por lo tanto los ángulos ∠ACB y ∠A C B' ' ' miden lo mismo, por lo tanto los triángulos ∆ABC y ∆A B C' ' ' , son congruentes.

Resumiendo, hemos demostrado:

Teorema (Criterio LLL) Si las medidas de los lados correspondientes de dos triángulos

son las mismas, entonces los triángulos son congruentes.

Al anterior teorema le llaman el Criterio de Congruencia de triángulos lado-lado-lado. Este teorema explica por qué las construcciones buscan formar triángulos.

Pues si tienes un triángulo de madera por ejemplo, bien clavados y si las maderas no se deforman, debieran mantenerse en el tiempo sin variar sus posiciones, debido a que los ángulos deben ser los mismos a lo largo del tiempo, si los lados se man-tienen fijos. En cambio si tuvieras un cuadrado, este puede deformarse, transfor-mándose en un rombo, pues los ángulos pueden cambiar sin necesidad de cambiar la medida de sus lados.

actividades

168

Geometría

Existen otros criterios que permiten asegurar, la congruencia de triángulos; sin embargo, no haremos estas demostraciones, pero un estudiante interesado debiera investigar y encontrarlas. Uno de esos criterios es el siguiente:

Teorema (Criterio LAL)

Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes congruentes y el ángulo que forman los lados congruentes mide lo mismo, entonces los triángulos son congruentes.

Este criterio se conoce como “lado-ángulo-lado” y lo que postula es que si tú tienes dos palitos y los unes por uno de sus extremos, y los abres o lo cierras de manera de formar un ángulo dado, entonces existe una sola forma de cerrar el triángulo. Es decir, la distancia entre los extremos no unidos, está totalmente determinada.

α αα α

Si AB FD≅ , BC DE≅ y los ángulos ∠ABC y ∠FDE miden lo mismo, entonces los triángulos ∆ABC y ∆FDE son congruentes.

Otro criterio es el siguiente:

Teorema (Criterio ALA)

Si dos ángulos de un triángulo miden lo mismo que dos ángulos de otro triángulo, y los lados comprendidos entre los ángulos son

congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

Este criterio se conoce como “ángulo-lado-ángulo” y lo que postula, es que si tie-nes un palito y en cada extremo del palito pones dos palos de manera tal de formar ángulos determinados con el primero. Entonces la intersección de los palitos está únicamente determinada.

Si EF BC≅ , los ángulos ∠DEF y ∠BCA miden lo mismo, y los ángulos ∠ABCy ∠EFD miden lo mismo, entonces los triángulos ∆ABC y ∆FDE son congruentes.

α

β

α

β

3

169

Unidad



1 En la figura O es punto medio de SK y RT .

a) Demuestra que ∆ ≅ ∆STO ROK.

b) Si ∆STO es la imagen vía cierta transfor-mación isométrica, ¿cuál podría ser ésta? Describe la imagen de cada vértice del ∆ROK.

c) Prueba que ST RK .

2 Dados los triángulos, decide si son o no con-gruentes indicando el criterio utilizado.

a) b)

c) C E

A B D

d)

e) f)

3 Si SA es bisectriz de ∠DAR y ∠DTR, prueba que ∆ ≅ ∆DAT RAT.

4 Demuestra que el triángulo escaleno no tiene ejes de simetría.

Demuestra que el triángulo isósceles tiene sólo un eje de simetría.

Finalmente, demuestra que el triángulo equilá-tero tiene 3 ejes de simetría.

5 ¿Cuántos ejes de simetría tiene el rombo? ¿Y el romboide?

¿Es cierto que las diagonales del romboide se dimidian? ¿Y las del rombo?

¿Son perpendiculares las diagonales del rom-bo? ¿Y las del romboide?

S W

R T

P

A

D

C

E

B

T

M N

SR

D C

A B

170

Geometría

1. Si el radio de la circunferencia, donde está inscrito el hexágono, mide 1 m. ¿Cuánto mide la altura de cada uno, de los seis triángulos, que forman el hexágono?

2. Con los datos del problema anterior, ¿cuánto mide el área de cada triángulo que forma el hexágono?

3. ¿Cuál es el área del hexágono regular, inscrito en la circunferencia de radio 1m?

4. Recuerda que el perímetro de la circunferencia de radio r es 2πr, y recuerda que el perímetro del hexágono regular inscrito en la circunferencia de radio r es 6r. Muestra que esto implica que π > 3.

Aplicaciones geométricas

Muchos resultados muy importantes en geometría se pueden deducir de propieda-des de los triángulos congruentes, debido a que siempre podemos triangular una figura poligonal. Por ejemplo, el hexágono regular está formado por seis triángu-los congruentes.

De hecho, el hexágono regular resulta de tomar una circunferencia, dividir, el ángu-lo completo del centro en 6 partes iguales y marcar los puntos de la circunferencia que determinan esos ángulos. Como el ángulo completo mide 360o su sexta parte es 60o. Una vez formado los seis triángulos, cada uno de ellos tiene dos lados, al menos, que miden lo mismo, pues corresponden a la medida del radio r de la cir-cunferencia. Entonces los triángulos son congruentes por el criterio LAL.

Como el triángulo, por lo menos, es isósceles, los otros dos ángulos del triángulo miden lo mismo y suman 120o, que es lo que le falta a 60o para formar 180o.

Como los ángulos son iguales y suman 120o, entonces cada uno de ellos mide 60o. Es decir, el triángulo es equilátero de lado r. Entonces, podemos deducir varios resultados de este descubrimiento; por ejemplo:

El hexágono regular inscrito en la circunferencia de radio r, tiene perímetro 6r.

Otro resultado es el siguiente:

Los ángulos interiores de un hexágono regular miden todos 120°.

60o

60o

60o

β α60o

γ

15

actividades

3

171

Unidad


1. Considera la figura lateral. En esta actividad demostrarás que ∠BCD mide la mitad que el ángulo∠BOD. Muestra que ∠ODC mide β . Muestra que 2 180β α+ = °. Si ∠DOB mide x, muestra que α + = °x 180 . Muestra que x = 2β. Concluye que ∠BCD mide la mitad que el ángulo∠BOD.

2. Demuestra que un triángulo inscrito en una circunferencia, que tiene un diámetro como lado es un triángulo rectángulo.

Las propiedades de los triángulos se pueden deducir de la característica de los trián-

gulos congruentes. Consideremos un triángulo isósceles ∆ABC, donde AC AB≅ , por lo tanto los ángulos α y β miden lo mismo. Consideremos la bisectriz del ángulo ∠BAC.

Como AD es bisectriz, se tiene que el ángulo ∠BAD mide lo mismo que el ángulo ∠DAC. Entonces por el criterio LAL, se tiene que los triángulos BDA y CAD

son congruentes. Por lo tanto BD DC≅ , luego D es punto medio de BC. Es decir,

ADes transversal de gravedad. También por congruencia, podemos afirmar que δ y µ miden lo mismo y como son suplementarios, se tiene que miden 90o cada uno

de ellos, por lo tanto AD BC⊥ , es decir AD es altura del triángulo.

Resumiendo, tenemos el siguiente resultado:

En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base, es transversal de gravedad y altura.

Estudiemos ahora algunas propiedades de los trazos de la circunferencia. Conside-remos, una cuerda CD en ella. Existe un único diámetro que divide por la mitad a esa cuerda. Llamemos Z la intersección de la cuerda con el diámetro. Marquemos

los radios OC y OD . Por el criterio LLL, se tiene que los ∆ ≅ ∆OZC OZD , por lo tanto los ángulos ∠OZD y ∠AZC miden lo mismo y como son suplementarios se tiene que ∠ = °OZD 90 , por lo tanto OZ CD⊥ Entonces, hemos demostrado el siguiente resultado:

O

D

C CO

D

Z Z

El diámetro que dimidia a una cuerda es perpendicular a ella.

βD

B

C

Oα

β

x

βα

A

B CD

µδ

σ σ

actividades

172

Geometría

problema resuelto

Un joven enamorado quiere ir a visitar a su novia que está a 30 km de distancia río arriba, pero el camino esta en una línea recta paralela al río. El joven va a caballo a cumplir su román-tica misión, el río está a 10 km del camino que une los puntos A del joven y B de la doncella. El caballo necesita agua para hacer todo el viaje, el jinete se pregunta dónde debe parar para que el caballo tome agua, ¿en algún punto más cerca de la doncella? ¿En algún punto más cerca de él? ¿En el punto medio?

A B

C

x

Solución:Denotemos por x la distancia de A' a C, como muestra la figura. Completa en tu cuaderno una tabla como la siguiente, de la distancia recorrida D para distintos valores de x.

D(km) ? ? ? ? ? ? ?

x(km) 0 5 10 15 20 25 30

Al parecer, el punto que hace que la distancia recorrida sea mínima, es el punto medio o alguno muy cercano a él. Hagamos un modelo puramente geométrico.

αα

A A AB B B

C C CA'

A'' A''

A' A'

Si reflejamos el punto A, en torno a A C' obtenemos el punto A'' , como se trata de una reflexión AA A A' ' ''≅ . La distancia de A a C más la distancia de C a B es la misma que la distancia de A'' a C más la distancia de C a B. Como buscamos la distancia mínima, necesitamos que los puntos B, C y A'' estén en una línea recta. Como los triángulos ∆A A C' '' y ∆BB C' tienen ángulos de iguales medidas y BB A A' ' ''≅ , entonces

∆ ≅ ∆A A C BB C' '' ' . Por lo tanto A C CB' '≅ .

Entonces C es el punto medio de A B' ', por lo tanto el jinete debe hacer beber agua al caballo en el punto medio del trayecto.

B‘

A'

3

173

Unidad


Programas computacionales

Existen programas computacionales que permiten hacer construcciones geomé-tricas. Como ejemplo abajo te mostramos uno llamado Cabri, que tiene bastantes funciones geométricas.

Como ves, puede hacer polígonos regulares, trazar rectas, trazos segmentos, por cualquier par de puntos que tu elijas. También realiza reflexiones de cualquier figu-ra respecto a la recta que tú elijas, rotaciones respecto al punto que quieras y en el ángulo que puedas copiar, y traslaciones respecto a algún vector.

Con este programa, por ejemplo, te mostraremos cómo construir un triángulo isós-celes. Traza una recta L cualquiera. Luego marca un punto P fuera de la recta. Aho-ra construye un segmento que tenga por extremo a P, y el otro extremo Q que esté en la recta, pero que el trazo no sea perpendicular a la recta. Ahora haz la reflexión del trazo respecto a la recta L, llama P ' el reflejado de P. Para finalizar marca el

segmento PP ' . Concluimos que el triángulo ∆PP Q' es isósceles.

1. Explica por qué la construcción de arriba efectivamente produce un triángulo isósceles. ¿En cuál caso resulta un triángulo equilátero?

2. Dada una circunferencia, la cual tiene marcada una cuerda construye una cuerda del mismo tamaño que la cuerda dada. El programa no tiene la opción “cortar y pegar”.

P '

Q

P

16

actividades

174

Geometría

Figura 1

Figura 2

1. En un modelo geométrico, en papel, del problema de Lautaro. Traza la per-

pendicular L a DE que pasa por E. Continúa el segmento HJ hasta que

intersecte a L. Llama a la intersección I. Traza la paralela a AB que pasa por

I, a la intersección de esa recta con BC , llámalo K. Demuestra que las figu-

ras pintadas del mismo color son congruentes. Concluye que el profesor de

Martina tenía razón, al decirle que podía formar un cuadrado.

2. Justifica todas las afirmaciones de Martina, en el primer puzle, aquel que cambió un triángulo en un rectángulo.

Puzles geométricos

Martina tiene un trozo triangular de madera; para un trabajo en Tecnología necesita transformarlo en un trozo rectangular. Tiene pegamento y pasta para pegar los trozos, si es necesario cortar, y empastar las uniones para que no se note el ensamblaje. Ella

cree que haciendo un corte en DE y luego otro en CF , obtendrá dos trozos, el ama-rillo y el rojo, que luego pegando como indica la figura se obtendrá un rectángulo.

GA

D

C

E

B

F

E

CBG

FFF

A

D

Lo que no sabe bien, es dónde hacer el corte DE , pero está segura, por pura intui-ción, que CG es una altura. Sin embargo, observando el bosquejo con detenimien-

to se da cuenta que FC FG≅ , lo que quiere decir que el corte CD hay que hacerlo a la mitad de la altura.

Pensándolo bien, Martina se da cuenta que ∠DFC será un ángulo del rectángulo,

por lo tanto, el ángulo es recto y como DE AB se tiene que efectivamente CG es una altura.

Lautaro, el profesor de Martina, sorprendido con su ingenio, le propone el siguiente puzzle:

En un trozo de madera que está formado por dos cuadrados (Figura 1). El profesor

le dice que haga un corte en ED, luego un corte perpendicular al anterior, pasando

por D. Llame H el punto del corte en AB. Para finalizar haga un corte perpendicular al anterior, pasando por H (Figura 2). Cuando tiene todas las piezas desordenadas, le pide que arme un cuadrado con todas esas piezas. ¿Puedes ayudarle a Martina?

F E

I

BHA

J

K

CGD

17

actividades

3

175

Unidad



1 El pentágono ABCDE es regular. Prueba que las diagonales AC y AD son congruentes.

A

B

C

DE

2 Considera las siguientes 12 figuras compuestas, cada una de ellas por 5 cuadraditos. Si el lado de cada cuadradito es de 1 cm. construye un rectángulo lados 6 cm y 10 cm. ¿Existe alguna

figura formada por 5 cuadrados que no sea congruente a una de las que te presentamos?

3 Un par de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes y paralelos. Prueba que el otro par de lados opuestos también son congruentes y paralelos.

4 Martina tiene las piezas negras y cree que las puede disponer de forma de llenar completamente el cuadrado amarillo, sin que las piezas se traslapen. ¿Puedes comprobar que la creencia de Martina es cierta? Si el cuadrado negro rotulado con A tiene área 4 cm2, ¿cuál es el área del cuadrado amarillo?

A

B

¿Cuántas veces más grande es el área del cuadrado A que el área del cuadrado B? ¿Cuántas veces mayor es el área del cuadrado amarillo que el área del cuadrado B?

176

Geometría

EUCLIDES Y SUS ELEMENTOSMuy poco se sabe de la vida de Euclides. Se cree que probablemente, fue lla-mado a Alejandría en el año 300 ae. ya que Ptolomeo, sucesor de Alejandro en sus dominios africanos, había fundado una gran biblioteca en Alejandría. Creó una universidad y Euclides se encontraba entre sus primeros maestros. Enseñó durante 20 ó 30 años, mientras escribía sus conocidos “Elementos” y muchas otras obras de importancia. Esta enseñanza influyó notablemente en otros ma-temáticos, como Arquímides y Apolonio, dos de los principales miembros de la universidad.

En los “Elementos”, Euclides intentó hacer una descripción exhaustiva de la matemática que se conocía en su tiempo. Escribió esa matemática en 13 libros. Hoy esta tarea sería muchísimas veces más colosal, debido al gran desarrollo y diversificación que ha tenido la matemática en todos estos siglos.

Los libros I, II, IV y VI tratan sobre líneas, áreas y figuras planas regulares simples, son en su mayor parte pitagóricos.

EL libro III trata sobre círculos, sigue a Hipócrates.

El libro V, elabora el método de Eudoxo sobre proporciones, que servirá para estudiar el libro VI que trata de semejanza de figuras planas.

Los libros VII,VIII y IX son de aritmética. Se introducen los números primos y com-puestos y propiedades de ellos, que fueron la base para que muchos siglos des-pués, Gauss demostrara el Teorema Fundamental de la Aritmética.

El libro X está dedicado a estudiar los números irracionales, especialmente los

de la forma a b+ y los de la forma a b− donde a y b son enteros positivos.

EUCLIDES

El Teorema fundamen-tal de la Aritmética dice que todo número entero se puede escribir como el producto de poten-cias de números primos, además dice que salvo el orden y signos de los números, esa escritura es única, demostró que no existe un número primo que es mayor que todos los demás.

un poco de historia

Definiciones euclidianas

En los elementos de Euclides, se dan definiciones de objetos geométricos, de algo muy importante como son las relaciones que define entre los objetos. Presentamos algunos ejemplos:

1. “Un punto es lo que no tiene partes.”2. “Una línea es una longitud sin anchura.”3. “Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.”4. “Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.”5. “Un límite es lo que es extremo de algo.”6. “Una figura es aquello que está contenido por cualquier límite o límites.”

Discute con tus compañeros acerca de la claridad de estas definiciones.

actividades

3

177

Unidad


El libro XI trata sobre geometría elemental del espacio y el XII se dedica a mostrar el método de exhausión, donde se demuestra el Teorema de Hipócrates que dice que el área de un círculo de radio r es πr2. Estos métodos son los mismos que muchos siglos después desarrollaran Newton y Barrow para la creación del Cálculo Integral, que consiste, gruesamente, en calcular áreas encerradas por cualquier tipo de curvas. El libro XIII proporcio-na y demuestra las construcciones de los cinco cuerpos geomé-tricos regulares de Pitágoras, alabados por Platón.

Entre todos sus logros, uno muy importante, es que presen-tó un cuerpo ordenado de definiciones, axiomas, postulados, teoremas, corolarios. Dentro de esa teoría, cada resultado nue-vo se deduce de las definiciones básicas, axiomas, postulados o de los teoremas demostrados con anterioridad. Esta forma de hacer matemáticas es la que se practica hasta nuestro días. Si bien, sus definiciones y postulados tenían lagunas lógicas y ambigüedades, fue el primer intento en presentar de esta for-ma las matemáticas. Por ejemplo una de sus definiciones es la de punto, que la define como “una cosa que no tiene parte”, lo cual no da una idea precisa de lo que se está hablando.

El quinto de sus postulados dice, en su forma más simple:Dada una recta L y un punto P fuera de ella, existe una única paralela a L que pasa por P.

Euclides no demostró esto, sino que su recíproco. Euclides se expuso al ridículo y a los ataques. Los críticos de Euclides decían que éste no es un supuesto adecuado y debe ser demostrable con los ante-riores postulados. Muchos años pasaron de intentos de demostrar este postulado con los anteriores, pero no se logró. Pero, en su defecto, se pudo cambiar este postulado por otros, sin que se produzcan inconsistencias lógicas. Los cambios a este postulado produjeron nuevas geometrías, llamadas no Eucli-deanas. En las geometrías no euclideanas, por un punto exterior a una recta L pueden pasar infinitas paralelas a L, o también ninguna recta paralela a L.

Primera impresión del libro “Elementos”, un incunable de 1482 impreso por Ratdolt.

* El método de Exahusión de Hipócrates consistió en aproxi-mar el área del círculo mediante polígonos regulares.

a) Considera una circunferencia de radio 1, construye el triángulo equilátero inscrito y circunscrito a la circunfe-rencia. Calcula las áreas de esos triángulos.

b) Construye el hexágono regular inscrito y circunscrito a la circunferencia y calcula el área de ellos. El método, consistía en aumentar la cantidad de lados del polígono regular, calcular sus áreas y encajonar el área del círculo, entre el área del inscrito y del circunscrito. De forma que mientras más grande sea la cantidad de lados me-jor será la aproximación.

actividades

178

Geometría


LAS TORRES PETRONAS EN MALASIA

A principios de los 80 el gobierno malasio relocalizó el céntrico Selangor Turf Club a las afueras de la ciudad. Esto posibilitó el uso de un enorme terreno en pleno centro de Kuala Lumpur, el llamado Triángulo Dorado. El plan contemplaba el desarrollo de dos torres, las que deberían ser reconocidas como símbolo de Malasia y para ello se desarrolló un concurso internacional.

A falta de una tradición malasia de construir edificios altos, César Pelli (arquitecto argentino-norteamericano) basó su propuesta en patrones geométricos basados en referencias islámicas, presidida por dos torres iguales de planta en estrella de 12 puntas y un puente que las interconectaba.

Ambas torres conformaban una puerta urbana y marcaban un lugar simbólico, algo sobre lo que Pelli ha escrito profusamente. Dado que las otras propuestas planteaban torres asimétricas o usaban

3

179

Unidad


apliquemos

Junto a tus compañeros busca edificios chilenos que tengan algún tipo de transformación isométrica.

a) ¿Cuántos ejes de simetría tienen las torres después del puente que las conecta?

b) ¿Qué otras transformaciones isométricas puedes observar en la construcción?

un lenguaje moderno-internacional, la idea de Pelli fue aceptada por unanimidad, no sin antes establecer algunas modificaciones: la planta de las torres debería basarse en 2 cuadrados girados y su fachada debería incluir una aguja. Una planta en estrella de 8 puntas traía muchas complicaciones funcionales, por lo que finalmente se optó por añadirle 8 lóbulos circulares, otorgando al edificio una forma única, totalmente diferente a los rascacielos de occidente.

Como se observa, los edificios son simétricos, tanto en su estructura como en su posición uno con respecto al otro.

Fuente: http://moleskinearquitectonico.blogspot.com/2007/12/las-torres-petronas-csar-pelli.html

180

REF

UER

ZO

DE

LA U

NID

AD

actividades finales

6 Dadas las coordenadas de VFAT, para cada caso, determina las coordenadas de un punto C tal que VFAT ≅ VCAT.

a) F(1,2); A(4,7); T(4,2)b) F(7,5); A(–2,2); T(5,2)

7 Las coordenadas del VABC son A(1,2); B(4,2); C(2,4), y las coordenadas del segmento DE son E(6,7); D(6,4). Encuentra las coordenadas del punto F de tal manera que VABC ≅ VDEF.

8 Dada la figura A en la siguiente ilustración, describe la transformación isométrica que lleva la figura A en la B, luego la B en la C y así con-tinúa hasta la figura F.

A

B C

D

E

F

9 Aplica la composición T(6,−1) ° T(−7,2) al trazo

PQ . ¿Cuál es la traslación que lleva la imagen

′ ′P Q que resulta de la composición, al trazo

PQ ?

P 1

0

-1-1 0 1 2

Q-2

1 Sean los puntos A(0,1), B(4,−2), C(7,2) y D(3,5) los vértices de un cuadrilátero.

a) Prueba que el cuadrilátero ABCD es un cua-drado.

b) Determina las coordenadas de la imagen de ABCD en cada una de las siguientes trans-formaciones:

i) Traslada ABCD tal que la imagen de A sea D.

ii) Refleja ABCD respecto al eje Y.

iii) Rota ABCD entorno a D con un ángulo de 90º.

iv) Aplica a ABCD la traslación T(−1,−8) y la imagen resultante A'B'C'D' refléjala con respecto al eje X de coordenadas en el plano cartesiano.

2 Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3,−2). Si la absci-sa del otro extremo es 6 hallar su ordenada. ¿Cuántas soluciones hay?

3 Los vértices de un triángulo son A(2,8), B(0,−1) y C(6,−1). Determina las coordenadas de los puntos medios del triángulo ABC, luego prue-be que las medianas (segmento que une los puntos medios), miden la mitad del lado.

4 Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1). Encuentra las coordenadas de los tres vértices. (Ind: usa lo anteriormente probado)

5 Los puntos extremos de un segmento son P1(2,4) y P2(8,−4). Halla el punto P(x,y) que divide a este segmento en dos partes tales que

PP PP1 2: =1 : 3

181

3Unidad


13 Sea el VGJK con HK IK GH IJ≅ ≅y . Prueba

que GK JK= .K

G H I J

14 Sea el VRST Isósceles con RT ST≅ , M punto

medio de RT y N punto medio de ST. Demues-

tra que SM RN≅ .

T

M N

R S

15 Si X es punto medio de US RVy , y el pun-

to Y es punto medio de VT SWy . Además, UR VS WT . Decide, ¿cuáles pares de trián-gulos, en la figura, son congruentes?

16 Demuestra que en todo triángulo las transver-sales de gravedad se cortan en la razón 1 : 2.

10 Las coordenadas del VABC son A(−1,2); B(4,2); C(2,4) y las del VDEF son F(10,−1); E(7,1); D(5,−1).

a) ¿Son congruentes estos triángulos?b) Fundamenta tu repuesta.

11 El polígono ABCDE es congruente a cierto po-lígono A'B'C'D'E', es decir, existe una transfor-mación isométrica en la cual A' es imagen de A, B' es imagen de B, C' es imagen de C, D' es imagen de D y E' es imagen de E.

Entonces de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s):

I. BC B C= ′ ′II. ∠DEA = ∠D'E'A'III. ′ ′C D es proporcional a CD

a) Sólo I.b) Sólo II.c) Sólo III.d) Sólo I y II.e) Sólo II y III.

12 Si AC BC AD BD≅ ≅y .

Demuestra que AB CD⊥ .

C

A B

E

D

182

REF

UER

ZO

DE

LA U

NID

AD

17 Sea el cuadrilátero ABCD con Q, R, S, P, puntos medios de AB BC CD DA, , y respectivamen-te. Demuestra que el cuadrilátero PQRS es un paralelógramo.

A

B

C

D

S R

QP

18 En el juego del Pool, cuando una bola golpea la banda, el ángulo con el cual golpea es el mismo con el cual sale la bola.

α α

Supón que tienes que golpear la bola amarilla con la bola blanca, pero la bola negra y azul te impiden hacerlo directamente. Por lo tanto tienes que lanzar la bola a una o dos bandas para que luego golpee a la bola amarilla.

¿En que puntos de la banda debes golpear la bola blanca para que en el rebote golpee a la amarilla?

Geometría

183

3Unidad


autoevaluación

1 (Timss, 2003 modificado). Los puntos A(2,3) y B(4,7) son los vértices de un cuadrado ABCD que tiene todos sus vértices en un solo cuadrante. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices C y D?

a) C(−1,8) y D(−2,4)b) C(8,5) y D(6,1)c) C(1,−1) y D(−3,1)d) C(1,0) y D(2,7)

2 (Timss, 2003) Si el patrón de teselación continua cubriendo la malla de abajo, ¿cuál es la pieza que debería ir en X?

x

A B C D

3 (Problema modificado de Prueba Timss 2003) Dadas las siguientes baldosas:

A B C D Si en el cuadriculado PQ RSy son ejes de sime-

tría, ¿cuál baldosa debería ir en el lugar de X e Y respectivamente?

P

R S

Q

D X

C

B

Y A

a) D y Ab) B y Cc) C y Dd) A y De) C y A

4 Si al segmento AB de coordenadas A(−1,0) y B(−2,3) se le aplica la composición R((−3,−1),90˚) º T(1,1), las coordenadas de la imagen B’ es:

a) B’(−1,4) b) B’(2,−3) c) B’(−1,−4) d) B’(1,−4)

5 (Prueba TIMSS 2003) ABCD es un trapecio. Otro trapecio, GHIJ (no se muestra), es congruente

con ABCD. El ángulo cuyo vértice es G y el ángulo cuyo vértice es J miden 70º cada uno. ¿Cuál de estas afirmaciones podría ser verdadera?

CB

A D70º 70º

a) GH AB= .b) El ángulo cuyo vértice es H es un ángulo

recto.c) Todos los lados de GHIJ tienen la misma

longitud.d) El perímetro de GIHJ es tres veces el perímetro

de ABCD.e) El área de GHIJ es menor que el área de

ABCD.

6 (Prueba TIMSS 2003) En el cuadrado EFGH, ¿cuál de estas afirmaciones es FALSA?

GH

E F

I

a) VEIF y VEIH son congruentes.b) VGHI y VGHF son congruentes.c) VEFH y VEGH son congruentes.d) VEIF y VGIH son congruentes.e) VEGF y VFGH son congruentes.

Datos y azarAl finalizar esta Unidad serás capaz de:


Muestra aleatoria y error muestral.

184

Ley de los Grandes NúmerosFrecuencia relativa -

probabilidad de un suceso.

Fórmula de Laplace.

Histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias

acumuladas, construidas manualmente y con

herramientas tecnológicas.

Medidas de tendencia ten-tral: media, moda y mediana. Medidas de posición: quintil,

cuartil y percentil.

Medidas de variabilidad y dispersión de una muestra.

Gráfico de Caja.

Medir la variabilidad de una muestra a través del rango.

Reconocer el tipo de sesgo en la representación gráfica de una muestra. Reconocer la dispersión de una muestra.

Utilizar información presente en histogramas y polígonos de frecuencia para producir información en diversos contextos.

Conocer distintos tipos de muestra aleatoria y el concepto de error muestral.

Representar gráficamente la variabilidad de una muestra a través de un gráfico de caja.

Conocer empíricamente la Ley de los Grandes Números y relacionarla la frecuencia relativa con la probabilidad de un suceso.

Utilizar la fórmula de Laplace para resolver problemas en con-textos de incertezatextos, aplicando medidas de tendencia central y de posición.

Interpretar información de contextos diversos presentadas en gráficos cuyos datos están agrupados en intervalos.

Graficar histogramas y polígonos de frecuencias a partir de información datos agrupados en intervalos.

Utilizar un programa computacional para análisis estadístico y graficar información

Caracterizar conjunto de datos provenientes de diversos con-textos, aplicando medidas de tendencia central y de posición.

Calcular las medidas de tendencia central y de posición, e in-terpretarlas para obtener información pertinente respecto al conjunto de datos de donde fueron obtenidas.

4Unidad

185

El volcán Chaitén es un volcán chileno del tipo caldera ubicado a 10 km al noreste de la ciudad de Chaitén, capital de la provincia de Palena, en la Región de Los Lagos. El 2 de mayo del año 2008, a las 12:30 AM, un gran estruendo junto con una fuerte sacudida despertó a los habitantes de Chaitén y alrededores, quienes en la oscuridad vieron y sintieron un volcán entrar en erupción, en un principio creyeron que era el volcán Michinmahuida ubicado a 35 km al noreste de Chaitén, pero al llegar el amanecer y al despejarse un poco la nube volcánica, notaron que en realidad era “el Chaitén”, un volcán que se creía extinguido. La nube de ceniza tomó dirección este, siendo observada en un radio de 180 km, afectando incluso localidades fronterizas de Argentina de la provincia de Chubut como Esquel cerraron colegios, aeropuertos y otros centros para prevenir problemas respiratorios.

¿Por qué se creyó que el volcán estaba extinguido? Porque el volcán no había pre-sentado actividad sísmica en mucho tiempo. Uno de los propósitos fundamentales para el estudio de la sismología volcánica es el de conocer los patrones de actividad sísmica que permitan establecer oportunamente la probabilidad de una erupción. La actividad sísmica en volcanes suele presentarse con meses o años de anticipación a cualquier manifestación observable en el exterior, por ejemplo la emisión de vapor, gases o cenizas o bien el calentamiento del agua de la laguna que puede formarse en el cráter. Es por ello que la sismología volcánica es considerada como una de las herramientas más útiles en el conocimiento del fenómeno volcánico y determinante, en consecuencia, para la protección de las poblaciones cercanas.

En el siguiente grafico de frecuencia se puede observar que unos días antes de la erupción la zona presentó una seguidilla de movimientos sísmicos y posteriores a éste también como se puede observar .

Figura 1: Gráfico que muestra la estadística de sismos tipo VT (sismo de origen volcano-tectónico) registrados desde el 04 de mayo al 03 de junio de 2008. Se pue-de apreciar la continua disminución tanto del número de sismos como de la energía sísmica liberada (curva violeta).

Estadística Sismos VT v/s Energía Liberada04 Mayo al 03 Junio de 2008

Leyenda

VT < 1,5° 1,5° < VT < = 2° 2° < VT < = 3° VT > = 3° Energía liberada

3E + 013

2E + 013

1E + 013

0

Ene

rgía

libe

rada

(er

gios

)

N°

de S

ism

os

40

30

20

10

0

4-May 9-May 14-May 19-May 24-May 29-May 3-JunFecha

186

1 Pregunta prueba TIMSS. El gráfico muestra el número de lápices de pasta, lápices de mina, reglas y gomas vendidas por una tienda en una semana:

Ítems vendidos por la tienda

Núm

ero

de ít

ems

160

140

120

100

80

60

40

20

0

Los nombres de los artículos fueron borrados. Sin embargo, se sabe que los lápices de pasta fueron los artículo más vendidos, y los menos vendidos fueron las gomas. Como dato se tiene que se vendieron más lápices de mina que reglas. ¿Cuántos lápices de mina se vendieron?

a) 40 b) 80 c) 120 d) 140

2 Un gimnasio recogió información de las personas que acuden a visitarlo, para saber el número de horas semanales que sus servicios son utilizados. Los resultados al entrevistar a 60 personas fueron los siguien-tes: 2, 8, 5, 6, 1, 3, 2, 8, 5, 3, 2, 4, 1, 3, 4, 4, 3, 5, 2, 6, 1, 7, 6, 2, 5, 3, 8, 4, 6, 2, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 6, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 7, 6, 2, 1, 3, 4, 5, 8, 2, 2, 6, 5, 3, 2, 3, 4 y 3.

a) Determina el campo de variación de la variable que se estudia.

b) Construye la tabla estadística correspondiente con datos sin agrupar, y representa el diagrama de barras indicando la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa. Además determina la media y moda de la muestra.

c) Realiza la representación numérica mediante una tabla estadística con datos agrupados en interva-los de amplitud 3 (abiertos a la izquierda y cerrados a la derecha).

3 [TIMSS] La figura muestra un circulo divido en 24 sectores del mismo ta-maño. Al centro del círculo se clava una flecha que se puede hacer girar, de forma tal que al detenerse la flecha, ésta puede marcar cualquiera de los sectores circulares con igual probabilidad.

Si 18

de los sectores se pinta azul, 1

24 se pinta morado,

12

se pinta anaran-

jado y 13

no se pinta. Al girar la flecha, ¿en un sector de que color es MENOS

probable que se detenga?

para recordar

4

187

Unidad


¿Qué dice?

Como ya sabemos la actividad sísmica volcánica es la que permite obtener infor-mación del estado del volcán y con ello poder tomar decisiones que protejan a las poblaciones. Así existen dos medidas principales para determinar el “tamaño” de un sismo: la intensidad y la magnitud, ambas expresadas en grados. Aunque a menudo son confundidas, expresan propiedades muy diferentes.

La intensidad es una medida de los efectos causados por un sismo en un lugar de-terminado de la superficie terrestre. La escala más común en América es la escala modificada de Mercalli que data de 1931. Esta, va del grado I (detectado sólo con instrumentos) hasta el grado XII (destrucción total), y corresponde a daños leves hasta el grado V.

Por otra parte, la magnitud permite conocer la cantidad energía liberada en el hipo-centro o foco, que es aquella zona del interior de la Tierra donde se inicia la fractura o ruptura de las rocas, la que se propaga a través de ondas sísmicas. Esta medida se calcula mediante una expresión logarítmica (expresión que ya conocerás), cuyos datos se obtienen del análisis de los registros instrumentales. Es una medida mucho más precisa que la intensidad, la que está basada sólo en observaciones subjetivas de la destrucción en cada lugar. La magnitud de un sismo se expresa usando la es-cala de Richter, que arbitrariamente asigna grado cero a los límites bajos de detec-ción, y no tiene un límite superior. Cada grado de la escala representa, respecto al grado que le precede, un incremento en la amplitud de onda por un factor de 10.

Observemos las siguientes representaciones gráficas de las magnitudes de los sis-mos el 27 y 28 de julio del 2008:

Fuente: Información extraída de los informes realizados por el Servicio Nacional de Geología y Minería.

¿Qué información puedes obtener de los gráficos anteriores? ¿De que magnitud son la mayoría de los sismos presentados en los dos días? ¿Puedes calcular la cantidad total de sismos el día 27 de julio? ¿Qué magnitud es la que mayor frecuencia presenta el día 28 de julio? ¿Se puede responder estas interrogantes sólo observando el gráfico?

Los gráficos nos muestran la frecuencia de los sismos de una determinada magnitud, la cual esta dada en intervalos, como por ejemplo de 3,1 a 3,5 en la escala de Richter, y tienen una frecuencia de 70 sismos el día 28 de julio del 2008.

1. Observando los gráficos anteriores, ¿cuál de los días hubo más actividad sísmica?2. ¿Podrías estimar la cantidad sismos que están por sobre los 3,5 grados en los dos días?

120100

806040200

1,0-2,5 2,5-3,0 3,1-3,5 3,6-4,0

Magnitud

Núm

ero

de s

ism

os

Número de sismos VT v/s magnitud27 de julio 2008

8070605040302010

0

Magnitud

Núm

ero

de s

ism

os

Número de sismos VT v/s magnitud28 de julio 2008

1,0-2,5 2,5-3,0 3,1-3,5 3,6-4,0

notanEl hipocentro es el pun-to al interior de la Tierra, donde se inició el movi-miento sísmico.

actividades

188

Datos y azar

Los gráficos de la página anterior representan un tabla de frecuencia de datos agru-pados en intervalos o recorridos, a estos gráficos les denominamos histogramas. Los histogramas son la representación más común de distribuciones de una va-riable cuantitativa como se puede apreciar en los informes económicos, políticos, sociales y muchos más.

Básicamente, un histograma no es más que un conjunto de rectángulos representa-tivos, cada uno de ellos, de un intervalo de agrupación o clase. Las bases de dichos rectángulos son equivalentes a la amplitud del intervalo y la altura se calcula de manera que su área sea proporcional a la frecuencia de cada clase.

Como puedes observar en algunos histogramas se muestra una línea poligonal abierta la cual une los centros de clases de los rectángulos de frecuencia. La si-guiente gráfica muestra las exportaciones chilenas en los ultimos 8 años en miles de millones, ¿qué información nos entrega la línea poligonal del gráfico derecho?

recuerdarEn lugar de utilizar fre-cuencias absolutas, los histogramas también se pueden contruir consi-derando frecuencias re-lativas o porcentajes.

notanLa palabra histograma es griega:histos = trama o textura, grama = escritura.

Como podemos ver en los dos gráficos el comportamiento de las exportaciones de Chile ha aumentado considerablemente. Así la línea poligonal del gráfico de-recho nos facilita observar el comportamiento de las exportaciones, por ejemplo:

$70 000 000 000

$56 000 000 000

$42 000 000 000

$28 000 000 000

$14 000 000 000

$02003 2004 2005 2006 2007 2008

70

56

42

28

14

02000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

4

189

Unidad


observamos que el mayor incremento en las exportaciones se presentó entre los años 2006 y 2007, ya que el segmento que los une presenta una mayor pendiente positiva.

La línea poligonal abierta del gráfico anterior recibe el nombre de polígono de frecuencia y se utiliza para observar el comportamiento más suave de una dis-tribución de frecuencias. Así por ejemplo en el siguiente polígono de frecuencia podemos ver que los promedios de puntajes de Lenguaje y Matemáticas PSU del 2008 tuvieron el siguiente comportamiento. ¿Cuál fue el puntaje más obtenido?

1. Observa el gráfico de la derecha y responde:a) ¿Cuáles son las diferencias entre los gráficos de los

hombre y las mujeres?b) ¿En qué periodo de edad existe mayor cantidad de

personas con discapacidad?c) ¿Quiénes son más proclives a tener algún tipo de

discapacidad?

2. Observa el gráfico de la derecha y determina:a) Los vértices del polígono de frecuencia, los cuales

son determinados por las marcas de clase de cada intervalo y la frecuencia dada por la altura del rec-tángulo.

b) El área de cada rectángulo y súmalos.c) El área debajo del polígono de frecuencia.d) ¿Las áreas son iguales?

notanLas marcas de clase, son los puntos medios de los periodos o intervalos de clase.

85 y +80-8475-7970-7465-6960-6455-5950-5445-4940-4435-3930-3425-2920-2415-1910-145-90-4

MIL 140 120 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 MIL

MujeresHombres

Pirámide poblacional de las personas con discapacidad según edad y sexo.Chile 2004.

6

5

4

3

2

1

065 75 85 95 105 115 125

150-

199,

5

200-

249,

5

250-

299,

5

300-

349,

5

350-

399,

5

400-

449,

5

450-

499,

5

550-

599,

5

500-

549,

5

650-

699,

5

600-

649,

5

750-

799,

5

700-

749,

5

800-

850

30 00025 00020 00015 00010 000

5 0000

Can

tidad

de

alum

nos

Puntaje promedio PSU 2008 Lenguaje y Matemáticas

Puntaje

actividades

190

Datos y azar

2 Acumulando

La siguiente tabla muestra la distribución de los resultados de los alumnos en la PSU, proceso de admisión 2009, promedio lenguaje y matemáticas conside-rando el ingreso familiar, los cuales se han clasificados en 12 tramos, como lo detalla la tabla de la izquierda.

Si nos centramos en los alumnos que obtuvieron más de 700 puntos, ¿qué cantidad de alumnos tiene un ingreso familiar mayor a 720 000? o mejor aún, ¿cuál es el tra-mo donde se encuentra la mitad de los alumnos con puntajes mayores 700 puntos?Para poder dar respuestas a estas preguntas debemos sumar las frecuencias de los tramos. Observa la siguiente tabla y gráfico:

A medida que sumamos las frecuencias de alumnos, vamos obteniendo los valo-res de columna de la tabla de frecuencia acumulada, por ejemplo a la cantidad de alumnos del tramo 1 se le sumó la cantidad de alumnos del tramo 2 y obtuvimos la cantidad de alumnos que teniendo un puntaje superior a 700 puntos en la PSU, el ingreso familiar bruto esta bajo los $ 288 001.

1. En el gráfico de polígonos de frecuencia, ¿cuál es el mayor incremento que sufre el polígono de frecuencia de un vértice a otro?

2. En los alumnos que tuvieron puntajes entre 601 y 700 en la PSU. ¿Cuántas familias tienen un ingreso bruto menor a $ 432 001? Desarrolla las tablas de frecuencia y grafica los polígonos de frecuencia acumulada.

importantei

Al polígono de frecuen-cia acumulado se le de-nomina ojiva.

Tramo Fr. Absoluta Fr. Acumulada1 263 2632 635 8983 617 1 5154 450 1 9655 421 2 3866 388 2 7747 453 3 2278 575 3 8029 170 3 97210 158 4 13011 196 4 32612 2 271 6 597

7 000

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Frec

uenc

ia d

e al

umno

s

Tramo

Fr. Absoluta

Fr. Acumulada

Tramo Descripción1 Menos de 144 0002 144 001 a 288 0003 288 001 a 432 0004 432 001 a 576 0005 576 001 a 720 0006 720 001 a 864 0007 864 001 a 1 008 0008 1 008 001 a 1 152 0009 1 152 001 a 1 296 00010 1 296 001 a 1 440 00011 1 440 001 a 1 584 00012 1 584 001 ó más

PUNTAJE T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 SI TOTAL

Menos de 450 29 041 30 346 10 282 3 892 1 863 1 009 733 330 139 109 99 423 42 78 308

450 - 600 26 997 41 545 21 060 10 298 6 606 3 733 3 656 2 215 813 745 735 3 724 27 122 154

601 - 700 3 336 6 925 5 124 3 409 2 719 2 027 2 246 2 078 634 636 668 5 252 5 35 059

Más de 700 263 635 617 450 421 388 453 575 170 158 196 2 271 0 6 597

TOTAL 59 637 79 451 37 083 18 049 11 609 7 157 7 088 5 198 1 756 1 648 1 698 11 670 74 242 118

Fuente: DEMRE.

actividades

4

191

Unidad


Si tengo información,¿cómo la presento?

Lautaro realizó una encuesta a sus compañeros sobre las horas de estudio quehabían realizado la semana anterior, obteniendo los siguientes datos: 18, 60, 72,58, 20, 15, 12, 26, 16, 29, 26, 41, 45, 25, 32, 24, 22, 55, 30, 31, 55, 39, 29, 44, 29,14, 40, 31, 45, 62, 36, 52, 47, 38, 36, 23, 33, 44, 17 y 24.

¿Cómo podrá Lautaro presentar estos datos a sus compañeros de curso? Vamos a usar el histograma, el polígono de frecuencia y frecuencia acumulada para ayudar a Lautaro. Primeramente debemos crear una tabla de distribución de frecuencia.

Si contamos los datos, nos podemos dar cuenta que hay 40 datos, los cuales varían de un mínimo de 12 horas a un máximo de 72 horas de estudio. Debemos determi-nar en cuantas clases queremos distribuir los datos. Tenemos 40 datos, por lo tanto tenemos que el número más cercano a 40 se aproxima al número entero 6, luego restamos el dato mayor que es 72 al dato menor 12 y lo dividimos por 6.

X Xk

max min− = − =72 126

10

Siendo 10 la amplitud de las clases. Ahora tenemos que la primera clase esta dada por el intervalo [12-22], luego como las clases deben ser excluyentes tenemos que la segunda clase va de 23 a 33 y así sucesivamente, obteniendo la siguiente tabla:

Clase Frecuencia Fr. acumuladas

12 a 22 8 8

23 a 33 14 22

34 a 44 8 30

45 a 55 6 36

56 a 66 3 39

67 a 77 1 40

Ya habíamos visto como se obtenía la frecuencia acumulada. Para generar el histo-grama debemos generar un gráfico donde el eje horizontal representa las clases y el eje vertical representa la frecuencia de cada clase. Como observamos los datos son enteros, por lo tanto es bueno que los ejes tomen valores enteros. Así obtenemos el siguiente histograma:

3

18

14

12

10

8

6

4

2

0

Horas de estudio

12 a 2223 a 3334 a 4445 a 5556 a 6667 a 77

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

12 a 2223 a 3334 a 4445 a 5556 a 6667 a 77

192

Datos y azar

1. Las siguientes son las distancias que 30 estudiantes elegidos al azar de una escuela recorren diariamente de ida y vuelta para ir a la escuela (en cuadras).

a) Elabora la tabla de distribución de frecuencia y frecuencia acumulada.

b) Elabora un histograma.

c) Elabora el polígono de frecuencia y frecuencia acumulada.

2. Observa la tabla de distribución de frecuencia de la derecha.

a) Desarrolla el histograma y el polígono de frecuencia.

b) Determina la columna de frecuencia acumulada y la de marcas de clase. Luego grafica el polígono de frecuencia acumulada asociado.

12 30 10 11 18 26 34 18 8 12

26 14 5 22 4 25 9 10 6 21

18 18 9 16 44 23 4 13 36 8

Puntaje estándar Total

150-199,5 13

200-249,5 521

250-299,5 3 485

300-349,5 12 008

350-399,5 21 841

400-449,5 32 317

450-499,5 38 905

500-549,5 38 568

550-599,5 31 342

600-649,5 20 874

650-699,5 11 074

700-749,5 4 348

750-799,5 1 348

800-850 248

Total 216 892

actividades

Ahora para obtener los polígonos de frecuencia y frecuencia acumulada debemos determinar las marcas de clase. Como recordamos, las marcas de clase son el punto medio entre los extremos de los intervalos de las clases. Así tenemos que la marca de clase para el primer intervalo es

12 222

17+ =

Siendo 17 la marca de clase del primer intervalo. Luego considerando las mismas frecuencias de los rectángulos, obtenemos los siguientes gráficos de polígonos de frecuencia y frecuencia acumulada.

¿Qué información me entregan tanto los histogramas como los polígonos de fre-cuencia con respecto a las horas de estudio?

HO

RAS

DE

ESTU

DIO

HO

RAS

DE

ESTU

DIO

CLASE DE EDADESCLASE DE EDADES

16

14

12

10

8

6

4

2

0

454035302520151050

12 a 22 23 a 33 34 a 44 45 a 55 56 a 66 67 a 77

12 a 22 23 a 33 34 a 44 45 a 55 56 a 66 67 a 77

4

193

Unidad


¿Se puede con Excel?

Excel es un software que viene incluido en los programas de Microsoft Office. Excel permite desarrollar los histogramas y polígonos de frecuencia de manera más fácil y rápida.

Recordemos los datos de la encuesta de Lautaro, los cuales ordenamos en la tabla. Desarrollemos estas tablas de frecuencia en Excel.

Lo primero que debemos hacer es colocar los nombres a las columnas de la tabla de frecuencia: el número de la clase, descripción de la clase y la frecuencia, para luego completar la tabla.

Luego de completar la tabla nos dirigimos al asistente para gráficos, donde nos aparecerá un cuadro como el que se muestra en la página siguiente.

El asistente nos ofrece una gran cantidad de tipos de gráficos para desarrollar, pero sólo vamos a realizar un gráfico de columna agrupada, el primero que se muestra en el asistente.

4 importante

iUn modelo matemático

ampliamente utilizado para

representar distribuciones

de frecuencias es el de la

llamada “Curva de Gauss”.

Para visualizar dicha curva,

en el área de matemática

del Museo de Ciencia y

Tecnología de París (Francia)

se dispone de la “Plancha

de Galton” presente en la

fotografía.

194

Datos y azar

Como puedes observar el recuadro de asistente para gráfico destaca el que vamos a usar. Seleccionamos siguiente y aparecerá otro recuadro el que pide los rangos de los datos y los rótulos o nombres de las columnas, en este caso la descripción de las clases y la frecuencia de cada clase.

Además en el segundo paso se debe cambiar el nombre de las series, las cuales, como ya sabes, son la descripción de cada clase. Así seleccionamos la segunda hoja del recuadro y seleccionamos la serie 1 y luego vamos a donde se encuentra el nombre de la serie 1, en nuestro caso columna B y fila 4. También podemos agregar el nombre del eje, que en nuestro caso es clases. Luego se continúa con las demás series.

4

195

Unidad


Ahora en el tercer paso podemos colocar el nombre a los ejes, tanto horizontal como vertical. También podemos colocar el título del gráfico. Hay otras posibilida-des para el gráfico, pero te dejamos que investigues tu solo.

El cuarto paso nos pide que le digamos donde queremos el gráfico, en la hoja 1, en la que estamos trabajando o en otra.

Para el polígono de frecuencia, debemos elegir el gráfico tipo líneas y para obser-var mejor los marcadores de cada clase, seleccionamos el gráfico de líneas con marcadores en cada valor de datos. Los pasos 3 y 4 son exactamente los mismos que para un histograma.

196

Datos y azar

1 El gráfico presenta la prevalencia de último año de consumo de marihuana y cocaína según rendimiento escolar, en porcentajes.

Fuente CONACE

a) ¿Existe alguna relación entre el porcentaje de consumo y las calificaciones?

b) ¿Cuál es la razón entre los porcentajes de alumnos que obtuvieron calificaciones en-tre 6,0 y 7,0 y los que obtuvieron califica-ciones entre 4,9 y menos?

c) ¿Qué conclusiones sacas tu de esta infor-mación?

2 Los siguientes datos corresponden a las precipi-taciones de la Isla de Juan Fernández en un año en milímetros cúbicos.

23,3 23,8 60,0 36,3

243,2 299,3 168,1 194,8

57,2 100,4 38,6 39,2

a) Elabora la tabla de distribución de frecuencia con datos agrupados en clases, indicando la frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia acumulada y por último la marca de clase.

b) Elabora un histograma y el polígono de fre-cuencia.

c) Elabora el polígono de frecuencia acumu-lada.


3 La siguiente tabla muestra el porcentaje de chi-lenos con discapacidad por rango etáreo.

Fuente INE

a) Sabiendo que la población total de disca-pacitados es de 2 068 072 personas. Deter-mina la tabla de distribución de frecuencia que dio origen al gráfico.

b) Luego determina la frecuencia acumulada y elabora el polígono de frecuencia acu-mulada.

4 El siguiente cuadro representa el consumo de carne de Chile en el periodo 1980-1990.

a) ¿Cuáles fueron los periodos de baja en el consumo per cápita de carne que hubo entre1980-1988?

b) ¿Cuándo se produjo el más bajo consumo per cápita de carne?

c) ¿En qué año se produjo el menor consu-mo y el mayor consumo de carne?

30

25

20

15

10

5

0

24

6

17

3

9

1

4,9 o menos Entre 5,0 y 5,9 Entre 6,0 y 7,0

Marihuana Cocaína

60

50

40

30

20

10

01,1

4,68,3

51,0

35,1

0 a 5 años 6 a 14 años 15 a 29 años 30 a 64 años 65 años y más

Consumo a nua l pe r c á p i ta de c a rne e n Ch i l e

1 7

1 4

1 5 ,6

1 7 ,61 8 ,5

2 0

1 5

1 4 ,7

1 7 ,3

1 8 ,5 1 8 ,1

1 0

1 5

2 0

2 5

1 9 8 0 1 9 8 1 1 9 8 2 1 9 8 3 1 9 8 4 1 9 8 5 1 9 8 6 1 9 8 7 1 9 8 8 1 9 8 9 1 9 9 0

Años

4

197

Unidad


¿Quién debe representar a los datos?

Amaru obtuvo las siguientes calificaciones en matemáticas.1 4 7 5 4 6 4

¿Cuál debería ser la calificación final en matemática para Amaru? ¿Qué califica-ción representa mejor a todas las calificaciones de Amaru? ¿Qué podemos hacer? Lo que necesitamos es una calificación, tal que las demás calificaciones estén a su alrededor, es decir, estén cerca de ese valor. Necesitamos un número intermedio, necesitamos una medida de tendencia central.

Cuando los profesores obtienen los promedios de las notas, usan una medida de tendencia central, es decir están obteniendo una calificación que represente a las calificaciones obtenidas en la asignatura. Esta medida de tendencia central recibe el nombre de media.

La media de n datos x1, x

2, . . . , , x

n, se calcula por medio de la fórmula

x x x xn

n= + + +1 2 ...

En el caso de Amaru la media se obtiene

1 4 7 5 4 6 47

4 4+ + + + + + ≈ , ≈ 4,4

¿Crees que la calificación final representa a las calificaciones de Amaru? ¿Amaru debió tener mayor o menor calificación final del curso? ¿Qué crees tú?

Lautaro opina que Amaru debió haber tenido la nota que más se sacó en la asigna-tura, es decir, un 4, ¿qué piensas tú al respecto? Lautaro esta usando otra medida de tendencia central, ésta medida recibe el nombre de moda. Es cierto, al parecer ya habíamos escuchado esta palabra en el mundo comercial, cuando una prenda de ropa o anteojos es muy usado se dice que esta de moda. En nuestro caso la califica-ción 4 es la que más reiterada, por lo cual corresponde a la calificación con mayor frecuencia.

La moda de un conjunto de datos, es el valor que aparece con mayor frecuencia.

5

importantei

x se lee x barra.

1. Si las calificaciones de Amaru fueran: 1, 1, 7, 7. ¿Qué medida de tendencia central escogerías para repre-sentar al conjunto de calificaciones?

2. Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres es de 58 Kg. y el de los hombres de 72. ¿Cuál es el peso medio de las 10 personas del ascensor?

3. La media en fluidez verbal de una clase de un colegio es de 400. Si extraemos una muestra aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la puntuación de los 4 primeros es de 380, 420, 600, 400. ¿Cuál sería aproxima-damente la puntuación esperada para el quinto estudiante?

notanLa realización de los cen-sos originó la necesidad de mejorar los métodos de recolección y análisis de datos, apoyándose en herramientas matemá-ticas y en el cálculo de probabilidades. Mediante el uso de cuadros, tablas y gráficos se organizaron y redujeron datos. La Es-tadística Descriptiva se ocupa de organizar, redu-cir los datos y calcular los principales descriptores estadísticos, tales como: las medidas de tendencia central, dispersión, asime-tría y kurtosis.

actividades

198

Datos y azar

Lautaro es un alumno que siempre al final de los cursos se esfuerza para cambiar y elevar la media de la calificación final. Las primeras 4 calificaciones de Lautaro son las siguientes:

3 4 3 4

En la última prueba Lautaro obtuvo una calificación 7 y estaba feliz, pero el pro-fesor viendo que Lautaro podía esforzarse más durante el año, no uso la media para calcular su calificación final. El profesor ordenó las calificaciones de menor a mayor

3 3 4 4 7

Observó que tendría dificultad al aplicar la moda a las calificaciones, así que es-cogió la nota que estaba al medio de las calificaciones, es decir, escogió el 4 como calificación.

¿Qué medida de tendencia central uso el profesor? El profesor uso la medida de tendencia central llamada mediana. Como puedes observar la mediana no se ve afectada por los valores de los datos extremos.

Para determinar la mediana de un grupo de datos debemos:

1. Distribuir los datos en orden numérico (del más pequeño al más grande o del más grande al más pequeño).

2. Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que se encuentra a mitad de la lista.

3. Si el número de datos es par, la mediana es la media de los dos datos que se encuentran a la mitad de la lista.

En la siguiente tabla de distribución, ¿cómo obtendrías los valores de la media, moda y mediana?

notanCalcular la media en da-tos agrupados, puede que no resulte muy con-fiable, ya que usamos sólo un representante de cada clase, la marca de clase.

Tramo Descripción Fr. Absoluta Fr. Acumulada1 Menos de 144.000 263 2632 144.001 a 288.000 635 8983 288.001 a 432.000 617 1 5154 432.001 a 576.000 450 1 9655 576.001 a 720.000 421 2 3866 720.001 a 864.000 388 2 7747 864.001 a 1.008.000 453 3 2278 1.008.001 a 1.152.000 575 3 8029 1.152.001 a 1.296.000 170 3 97210 1.296.001 a 1.440.000 158 4 13011 1.440.001 a 1.584.000 196 4 32612 1.584.001 o más 2 271 6 597

7 000

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Frec

uenc

ia d

e al

umno

s

Tramo

Fr. Absoluta

Fr. Acumulada

Para datos agrupados en clases, la media se calcula con la siguiente expresión:

x m n m n m nn

k k= + + +1 1 2 2 ...

donde m1, m

2, . . . ,mk son las marcas de clase y n

1,n

2, . . . , n

k son las frecuencia de

cada clase y el n del denominador indica la cantidad de datos.

4

199

Unidad


Para datos agrupados, la mediana se calcula determinando primeramente la posi-ción de esta en el conjunto de datos ordenados. Entonces para n datos tenemos que la posición de la mediana (Me) esta dada por la expresión

Me L A nFNI

= + ⋅inf 2

Luego de determinar la posición determinamos el intervalo cuya frecuencia abso-luta acumulada supera inmediatamente a la posición de la mediana pos(me). Así tenemos la siguiente expresión:

Me L A nFNI

= + ⋅inf 2

donde Lin f es el límite inferior del intervalo, F es la frecuencia acumulada del inter-valo de clase, nI es la frecuencia absoluta del intervalo mediano y por último A es la amplitud del intervalo mediano.

Para datos agrupados, la moda (Mo) se determina primero identificando la clase con la mayor frecuencia. Luego aplicamos la siguiente expresión:

Mo L FF F

s

a s= +

+inf

donde Lin f es el límite inferior del intervalo modal, Fs es la frecuencia absoluta siguiente a la modal y Fa es la frecuencia absoluta anterior a la modal.

1. Si las calificaciones de Ayinko son las siguientes: 4 5 6 7 5 6 3.

a) Determina todas las medidas de tendencia central de las calificaciones de Ayinko.

b) Decide cuál de las medidas de tendencia central, le conviene a Ayinko para la calificación final.

2. Determina las medidas de tendencia central de la tabla de distribución de la página anterior.

3. La tabla de la derecha, muestra la cantidad de empleos por región en miles de personas.

a) ¿Cuál es el promedio de empleos que se ofrece a nivel nacional?

b) ¿Qué región tiene la mayor cantidad de empleos? ¿A qué medida de tendencia central corresponde este valor?

c) ¿Cuál es la mediana en la cantidad de empleos?

4. ¿Cómo sería el histograma, si la media, moda y mediana coinciden en un mismo valor? ¿Y si la moda va primero, la mediana después y por último la media? ¿Y si la media va primero, la mediana después y por último la moda?

Región Total

Total 6 740,4

Tarapacá 132,0

Antofagasta 220,0

Atacama 113,9

Coquimbo 251,5

Valparaíso 663,1

O’Higgins 331,4

Maule 381,8

Bío-Bío 705,7

Araucanía 355,2

Los Lagos 323,6

Aysén 47,0

Magallanes 62,6

Metropolitana 2 930,9

Los Ríos 141,1

Arica Parinacota 80,3

actividades

200

Datos y azar

Medidas de posiciónObserva la siguiente tabla:

La tabla muestra los gastos e ingresos mensuales de hogares de ciudades capitales de Chile, según grupo de quintil de hogares.

¿Qué significado tiene la palabra quintil? Un quintil corresponde a la quinta parte del grupo total. Como puedes observar, el numero total de hogares del estudio es de 2 650 757, al numero total de hogares lo dividieron en 5 partes iguales, así po-demos ver que hay 5 grupos de 530 151 hogares cada uno.

Para el primer quintil, ¿cuál es el gasto mensual? ¿Cuál es la cantidad de personas promedio que hay en los hogares pertenecientes al primer quintil?

El quintil es una medida de posición, pero también se le conoce como medidas de posición, ya que indica la cantidad de datos que se encuentra bajo o sobre cierto porcentaje, por ejemplo en los hogares pertenecientes al primer quintil, ellas repre-sentan al 20% del total de hogares.

Así como la mediana, divide al total de los datos en dos partes equivalentes y el quintil divide en partes equivalentes existen otras medidas de posición, como por ejemplo, el cuartil y el percentil. ¿En cuántas partes divide el cuartil al total de datos? ¿Y el percentil?

El cuartil particiona a una distribución de frecuencias en 4 partes mediante los puntos Q

1, Q

2 y Q

3 llamados primer cuartil, segundo cuartil y tercer cuartil respectivamente,

tal que el primer cuartil corresponde al 25% inferior de la distribución de frecuencia, el segundo cuartil corresponde al 50% inferior de la distribución de frecuencia y el tercer cuartil corresponde al 75% inferior de la distribución de frecuencia.

El percentil particiona a una distribución de frecuencia en 100 partes, mediante los puntos P

1, P

2,…, P

99, llamados primer percentil, segundo percentil y así sucesiva-

mente hasta el 99avo percentil. Así tenemos que P1 concentra al 1% inferior de la

distribución de frecuencia, así con los demás percentiles.

¿Con qué percentil coincide la mediana? ¿Con qué percentil coincide el tercer cuartil?

6

importanteiEl percentil k, se denota

y calcula de la siguiente

forma Pk nk

= ( + 1)100

Total de ciudades capitalesHogares, personas, gastos e ingreso mensual por hogar, según grupo de quintil de hogaresEPF noviembre 2006 - octubre 2007

Grupo de quintiles de

hogares

Hogares Nº de personas por hogar

Personas Gasto mensual(Pesos abril 2007)

Ingreso mensual(Pesos abril 2007)

Participación en el ingreso

totalNúmero Porcentaje Número Porcentaje Por hogar Per cápita Por hogar Per cápitaTotal 2 650 757 100,00 3,56 9 433 750 100,00 652 967 191 905 659 050 185 184 100,00

1 530 151 20,00 4,24 2 245 306 23,80 304 042 71 789 177 103 41 817 5,382 530 151 20,00 3,88 2 058 416 21,82 404 702 104 232 312 497 80 485 9,483 530 151 20,00 3,68 1 949 335 20,66 515 934 140 316 453 217 123 259 13,754 530 151 20,00 3,26 1 725 660 18,29 697 700 214 345 670 936 206 123 20,365 530 151 20,00 2,74 1 455 033 15,42 1 492 456 543 787 1 681 500 612 666 51,03

Hogare actado por IPC General.

4

201

Unidad


problema resuelto

En este diagrama de barras se ha representado el número de hermanos que tienen los alum-nos y alumnas del Primero medio de un colegio.A partir del gráfico determina la tabla de distribución de frecuencia y determina la moda, mediana y media del número de hermanos del curso. Además determina cuál es el número de hermanos tal que el 75% de alumnos del curso tenga un numero igual o inferior.

SoluciónPara realizar la tabla de distribución primero debemos determinar el nombre de cada clase o rango. Las clases están dadas por el número de hermanos.

Como observamos hay 45 alumnos en el curso. Para de-terminar la media de hermanos del curso debemos dividir la suma de los hermanos en el curso por la cantidad de alumnos, es decir

0 7 1 20 2 13 3 4 4 1 5 045

1,38× + × + × + × + × + × ≈

Como no puede haber 1,38 hermanos, ya que las unidades son enteros, tenemos que la media de hermanos es de 1, ya que es el valor que más se le acerca. La moda de herma-nos, como lo puedes observar es 1.

Como recordarás la mediana es el valor que se encuentra en la mitad de los datos ordenados.

Para determinar la mediana lo primero que debemos determinar es su posición al interior

de los datos, y como son 45 datos tenemos que la pos(me) = 45+1

2. Entonces observando la

tabla tenemos que el valor que se encuentra en esa posición es el número 1, ya que esta en la

frecuencia acumulada de 1 hermano, hacia abajo.

Para determinar el percentil 75 P75 o tercer cuartil Q3 debemos determinar su posición al in-

terior de los datos ordenados. Para ello usamos la regla P75 = (45+1)75

100= 46

34

= 34,5 35≈ , así

la posición es la 35, luego observando la tabla tenemos que el numero de hermanos es 2, tal

que el 75% de alumnos del curso tienen igual o menor número de hermanos.

Clase Frecuencia Fr. Acumulada

0 7 7

1 20 27

2 13 40

3 4 44

4 1 45

5 0 45

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

0 1 2 3 4 5

202

Datos y azar

1 Los siguientes datos son los pesos de los alum-nos de un curso:

Hombres55 64 70 74 75 70

64 93 60 62 70 80

61 60 62 68 65 65

66 68 70 72 72 71

56 56 56 53 60 65

Mujeres60 45 46 50 47 55

49 52 50 46 50 52

52 48 52 63 53 54

54 54 53 55 57 44

67 61 68 55 64 60

a) Determina la media, moda y mediana de los pesos de los alumnos.

b) Elabora una tabla de distribución de fre-cuencia.

c) Elabora el histograma y polígono de fre-cuencia.

d) Determina cual es el valor del peso tal que el 80% de alumnos tenga igual peso o inferior.

e) Determina cuál es el valor del peso tal que el 45% de los alumnos tenga un peso ma-yor al determinado.

f) Determina el tercer cuartil.

2 La edad media de los 175 alumnos de una es-cuela es de 8 años, y la de los 12 adultos (profe-sores y personal) es de 40 años. ¿Cuál es la edad media de todas las personas de esa escuela?

3 Si se conoce que el salario medio mensual de 5 hermanos, es de $120 000, y la mediana es de $100 000.

a) ¿Cuánto dinero llevan mensualmente a la casa los cinco hermanos?


b) Si Juan, el mejor pagado de los cinco her-manos recibe un aumento de $10 000, ¿cuál es la nueva media y cuál es la nueva mediana?

4 En un banco comercial se desea estudiar el tiempo de atención necesario para que un cliente realice una transacción entre las 12:00 horas y las 14:00 horas. Durante una semana se tomaron los tiempos de atención de 10 clientes diariamente, obteniéndose los siguientes datos tabulados:

Tiempo de atenciónen minutos

Cantidadde clientes

0,25 - 1,65 17

1,65 - 3,05 11

3,05 - 4,45 7

4,45 - 5,85 7

5,85 - 7,25 4

7,25 - 8,65 2

8,65 - 10,65 2

TOTAL 50

a) Determina qué porcentaje de clientes demo-raron a lo más 3 minutos en su atención.

b) Determina cuántos minutos a lo más demo-rará en su transacción el 84%.

c) Construya un gráfico adecuado que permi-ta mostrar (aproximadamente) la ubicación de la mediana y el percentil de orden 0,75.

5 Un alumno registra el tiempo de espera de pa-sajeros del transporte, obteniendo los siguien-tes resultados en minutos:

14 12 10 5 55

a) Calcula todas las medidas de tendencia cen-tral.

b) Si el alumno se equivocó al anotar 55, el debió anotar 5,5, ¿qué medida se vio más afectada?

4

203

Unidad


¿Se cumple para toda la población?

Cuando Lautaro encuestó a sus compañeros de curso sobre las horas de estudio que había realizado la semana anterior, obtuvo que el promedio de horas de estudio de su curso era 34,8 horas. Ya que la encuesta la había hecho en un sólo curso del co-legio, ¿pudo Lautaro haber dicho que los alumnos del colegio tenían un promedio de estudio 34,8 horas? ¿Qué piensas tú?

Un estudio dice que por cada 10 personas una de ellas es zurda. ¿Este estudio se cumple en tu curso? ¿Cómo podemos saber si este estudio se cumple para todo el colegio? ¿Cómo podemos saber si se cumple para toda la población chilena? Si dices que el 50% de los alumnos de tu colegio son fanáticos de un equipo de fútbol y el otro 50% es de otro equipo. ¿Cómo podrías probar esto? Y aun más, si afirmas que el 50% de la población chilena es hincha del primer equipo, ¿cómo lo podrías probar?, ¿realizando una encuesta a todos los chilenos?

Realizar estudios que representen a toda la población es muy difícil, ya que por diferentes razones a veces es muy complejo acceder a toda la población:

a) Establecer contacto con toda la población requeriría mucho tiempo, en el caso de Lautaro sería preguntarle a toda la escuela.

b) El costo de estudiar todos los elementos de una población resultaría fuera de nuestro alcance económico. Por ejemplo, como preguntarles a todos los chile-nos, ¿cuál es su equipo favorito?

c) Acceder físicamente a toda la población pudiera ser imposible. Por ejemplo, ir preguntarles a los chilenos que se encuentran en la Antártica, a los chilenos que están embarcados, etc.

7

1. Un estudio dice que nueve de cada 10 adolescentes tiene sus dientes con caries, ¿se cumple este estudio en tu curso? ¿Se refleja es estudio en todo el colegio? ¿Cómo se interpreta el estudio para 1 000 adolescentes?

2. ¿Qué tipo de estudio conoces que sea realmente representativo de toda la población?

3. ¿Con qué inconvenientes te puedes encontrar si quisieras realizar un estudio en tu escuela? ¿Podrías sugerir alguna solución?

4. ¿Te parece que las encuestas que entregan la gran mayoría de los medios de información son reales y con-fiables?

actividades

204

Datos y azar

Estos motivos nos hacen pensar en cómo elegir una muestra de la población tal que esta reúna todas las características que son propias de la población, es decir que la muestra resulte ser representativa de la población total, para lo propósitos del estudio.

Por lo anterior se debe tener en cuenta los siguientes aspectos para seleccionar una muestra de una población:1. El método de selección de los individuos de la población (tipo de muestreo que

se va a utilizar).2. El tamaño de la muestra.3. El grado de fiabilidad de las conclusiones que vamos a presentar, es decir, una

estimación del error que vamos a cometer (en términos de probabilidad).

Método de selección de la muestra

Existen dos tipos de muestreo: el probabilístico y el no probabilístico.

Con el muestreo probabilístico, todos los sujetos tienen la misma probabilidad de entrar a formar parte del estudio. La elección se hace al azar.El no probabilístico es aquel en el que no todos los sujetos tienen la misma proba-bilidad de formar parte de la muestra de estudio.

Los tipos de muestreo probabilísticos más utilizados son: aleatorio simple, aleato-rio sistemático, aleatorio estratificado y aleatorio por conglomerados.

Muestreo aleatorio simple: Muestra seleccionada de manera que cada elemento o individuo de la población tenga las mismas posibilidades de que se incluya. Por ejemplo, los números del cartón de los juegos de azar es una muestra aleatoria simple ya que todos los números tienen igual probabilidad de salir.

Muestreo aleatorio sistemático: Se selecciona un punto aleatorio de inicio y pos-teriormente se elige cada k-ésimo miembro de la población. El k se calcula divi-diendo el total de la población por la muestra necesaria: k = N

n. Si se tiene una

población de 8 000 individuos y el tamaño de la muestra necesario es de 400, se seleccionará uno de cada 20, que será la fracción de muestreo (8 000/400). Para decidir por cuál se ha de comenzar, se selecciona aleatoriamente, o por sorteo, un número del 1 al 20, y a partir de dicho número se va seleccionando a un sujeto de cada 20.

Muestreo aleatorio estratificado: Una población se divide en subgrupos según alguna característica, y se forman los denominados estratos y se selecciona al azar una muestra de cada estrato. La estratificación se suele hacer en función de dife-rentes variables o características de interés: género, edad, situación laboral, etc. Por ejemplo, si se desea efectuar una estratificación por género y se sabe que en la población la distribución es de 55 mujeres y 45 hombres, por tanto, si el tamaño de la muestra es de 400, se elegirán aleatoriamente 220 mujeres y 180 hombres.

4

205

Unidad


Muestra por conglomerados: Una población se divide en conglomerados a partir de los límites naturales geográficos o de otra clase. A continuación se seleccionan los conglomerados al azar y se toma una muestra de forma aleatoria con elementos de cada grupo. Por ejemplo, al tomar una muestra de una región la dividimos en las comunas y luego seleccionamos al azar cada una de ellas.

Los tipos de muestreo no probabilístico más utilizados son: accidental, de conve-niencia:

Muestreo accidental: Este tipo de muestreo se denomina también consecutivo, ya que la selección de los sujetos de estudio se hace en función de su presencia o no en un lugar y un momento determinados. Es el caso, por ejemplo, de la inclusión de las mujeres a medida que van acudiendo al hospital, o el de un encuestador que, en la calle, entrevista a las personas que pasan en ese momento por allí. Aunque puede parecer similar al muestreo probabilístico, es evidente que no todas las personas tienen la misma probabilidad de estar en el momento y el lugar donde se selecciona a los sujetos.

Muestreo de conveniencia: Los investigadores deciden, según sus criterios de interés y basándose en los conocimientos que tienen sobre la población, qué elementos entrarán a formar parte de la muestra de estudio. En este muestreo (no probabilístico) es muy importante definir con claridad los criterios de inclusión y exclusión, y cumplirlos rigurosamente.

1. Si quisieras averiguar el deporte preferido de los alumnos de tu colegio, ¿qué tipo de muestreo realizarías?

2. Si quisieras averiguar el equipo favorito de tu comuna, ¿qué tipo de muestro realizarías?

3. En la siguiente imagen puedes observar la selección de una muestra de aliens. ¿Qué tipo de muestreo se realizó para determinar la muestra?

actividades

206

Datos y azar

El error muestraly el tamaño de la muestra

Lautaro infirió que el promedio de las calificaciones de la escuela es de 5,9, ya que al realizar un estudio en su curso la media que le dio fue de 5,9. Pero el promedio de la escuela es de 5,4. El error que cometió Lautaro, se conoce como error muestral, ya que existe una diferencia entre el estadístico (moda, media, mediana y otros que se puedan determinar) de una muestra y el parámetro de la población. Podemos identificar dos tipos de errores muestrales:

El error aleatorio es el derivado de trabajar con muestras, se puede cuantificar y está relacionado con la precisión. A medida que se aumenta el tamaño de la mues-tra, este error disminuye, hasta el punto de que si se estudia a toda la población el error aleatorio desaparece.

El error sistemático o sesgo está relacionado con la representatividad de la pobla-ción; si la muestra estudiada reúne características diferentes a las que se producen en la población, aunque se aumente el tamaño de la muestra, este error se mantiene y se obtendrán valores diferentes en la muestra a los que realmente se dan en la población. Este error está relacionado con la validez.

¿Qué es la validez? ¿Cómo podemos tener confianza que la muestra es representa-tiva de la población para no cometer errores?

Observemos la imagen de la izquierda que representa el lanzamiento de un dardo a un blanco.

Podemos apreciar que en el caso A los impactos están dispersos (baja confiabili-dad) y alejados de la diana (baja validez). En el caso B los impactos siguen disper-sos (baja confiabilidad) pero ahora circundan la diana (alta validez). En el caso C los impactos están concentrados (alta confiabilidad) pero alejados de la diana (baja validez). Y finalmente en el caso D los impactos se presentan concentrados en tor-no a la diana (alta confiabilidad y alta validez).

Un procedimiento de medición del tamaño de la muestra que sea confiable propor-ciona datos con poca variación. Por ello hay que tener presente que si se estudia a más sujetos de los que en realidad son necesarios, se estarán derrochando recursos, tanto materiales como humanos. Si, por el contrario, se estudia a pocos sujetos, no se tendrá la potencia o seguridad suficiente sobre lo que se está haciendo, y puede darse el caso de que no se encuentren diferencias entre dos grupos, por ejemplo, cuando en realidad sí las hay.

El tamaño de la muestra necesaria estará condicionado por los objetivos del es-tudio, que determinarán el diseño, las variables que deben considerarse y todo el método planteado para dar respuesta a dichos objetivos.

Existen procedimientos estadísticos que permiten determinar el tamaño de las muestras, asegurando confiabilidad y validez de los datos de la muestra, pero esos procedimientos se escapan del tema de nuestro estudio.

8

Validez

Menor Mayor

Con

fiabi

lidad

Men

or

Caso A Caso B

May

or

Caso C Caso D

4

207

Unidad


9 Simetría y dispersión de los datos

Cuando se analizó que calificación debía representar la notas de Amaru y Lautaro, se tomo un factor, la distribución de las notas y a la vez su variabilidad.

Observa los histogramas de calificaciones de tres cursos que realizaron la misma prueba de matemáticas.

¿Qué puedes decir de las medidas de tendencia central en los tres gráficos? Como puedes observar en el gráfico 2 tenemos que la moda, mediana y media son igua-les, esto nos indica que los datos se distribuyen simétricamente con respecto a las medidas de tendencia central. En el primer gráfico la media es menor a la moda y mediana, caracterizando al gráfico con una tendencia hacia la izquierda, cuando esto sucede, se dice que los datos tienen un sesgo positivo. En el tercer gráfico ob-servamos lo contrario que en el primer, tenemos que la media es mayor a la moda y mediana, y la gráfica tiene una tendencia hacia la derecha, cuando esto sucede, se dice que los datos tienen un sesgo negativo.

Dispersión de los datosObserva los siguientes gráficos de calificaciones de 4 cursos.

Se puede observar que los dos primeros cursos tienen sus calificaciones simétricas, esto quiere decir que las medidas de tendencia central son iguales, pero en el curso uno hay mayor disper-sión, ya que hubo más personas con calificación 4, en cambio en el curso 2 no hubo tanta dis-tancia entre la personas que obtuvieron 4 y 5 o 4 y 3. Estadísticamente el curso 1 tuvo mayor dispersión que el curso 2, ya que el curso dos hay más homogeneidad de los datos.

En los cursos 3 y 4 difieren con respecto a las medidas de tendencia central, pero con respec-to a su variabilidad se puede observar que es la misma.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7

C u r s o 1

C u r s o 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 2 3 4 5 6 7

C u rs o 3

C u rs o 4

Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3

importantei

Una distribución se con-

sidera poco dispersa si

los datos presentan poca

variabilidad, es decir si

sus valores difieren poco

entre si y se concentran

en entornos próximos al

valor medio.

208

Datos y azar

Variabilidad en los gráficos

Ya sabes que la variabilidad en las muestra puede dar información de la representa-tividad de tal muestra de la población, uno de los métodos más sencillos para medir la variabilidad de un conjunto de datos es el rango, ésta es la diferencia entre el máximo y el mínimo valor del conjunto de datos, que denominaremos Rango (R).

En ocasiones esta medida resulta útil, pero cuando los extremos del lote de datos son valores muy lejanos (valores “atípicos”) R pierde valor como medida de dispersión. Una mejor forma de proceder en estas situaciones es calcular el rango del 50% cen-tral del conjunto de datos. La delimitación del 50% central de este conjunto se logra determinando dos valores que denominamos cuarto inferior (Ci) y cuarto superior (Cs). Es decir los cuarteles 1 y 3, los cuales actúan como medianas de mitades.

Por ejemplo, si preguntamos el número de personas que trabajan en 20 familias obtenemos la tabla de la izquierda.

Podemos observar que el primer cuartil o Ci y tercer cuartil o Cs son respectivamente.

¿Qué nos dice este resumen numérico? Esto nos dice que en la mitad de las familias no había más de dos personas que trabajaran y que la otra mitad de las familias tie-ne al menos dos personas que trabajan. Además nos dice que el 50% de las familias tiene entre 1 y 2,5 personas que trabajan, pero como no se puede decir 2,5 personas esto equivale a 3. Este gráfico se conoce como gráfico de caja (ver gráfico de la izquierda), el cual permite visualizar la variabilidad de los datos.

10

Q Cn n

i15 6= =

+2

= 1+12

= 1( ) Q Cn n

s315 16= =

+2

= 2 + 32

= 2, 5 3( ) ≈

2 1 2 2

2 3 0 1

2 2 1 2

3 2 3 1

1 0 4 3

Cuando una abuela vive con la familia de sus hijos, probablemente se involucrará en las actividades paternales. Supón que los siguientes datos representan en número de órdenes dadas a 25 niños por abuelas:

5, 4, 3, 3, 6, 5, 3, 2, 4, 7, 6, 6, 2, 3, 4, 8, 7, 5, 6, 4, 2, 1, 5, 7, 3

a) Compila los datos en una tabla de distribución de frecuencias con columnas para la frecuencia, la frecuencia acumulada, la frecuencia porcentual y la frecuencia de porcentajes acumulados.

b) Determina el gráfico de caja, de los datos. ¿Qué puedes decir acerca de la variabilidad de los datos?

c) ¿Entre qué datos se encuentra el 50% de ellos?

75% de los datos

50% de los datos

25% de los datos 50% central de los datos

Mínimo0

Cuarto inferior1

Mediana2

Cuarto superior3

Máximo4

0 41 2 3

actividades

4

209

Unidad


¿Cuál es la probabilidad de la frecuencia?

Es común observar que las personas lancen una moneda al aire para decidir alguna situación, como por ejemplo, qué equipo parte en un partido de fútbol o tenis, o bien quien decidir si se va a un lugar o a otro.

¿Por qué las personas realizan esto para decidir?La moneda tiene una cara y un sello por lo cual solo existe la posibilidad que salga una de las dos, pero, ¿cuál de las dos tiene mayor probabilidad de salir?

Como recordarás cuando los hechos tienen la misma probabilidad de suceder se les denomina “suceso equiprobable”. Entonces, ¿lanzar una moneda es un hecho equi-probable? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara o sello?, observa el polígono de frecuencia relativa de abajo el cual muestra el lanzamiento de una moneda 20 veces.

Como observas, la probabilidad dada por la frecuencia relativa de que salga cara al

lanzar una moneda es 12

. ¿Cuál es la probabilidad de que salga sello? ¿Cuál será la

probabilidad de que al lanzar un dado, salga un 6? ¿Cuál es la probabilidad de que

salga 1? La siguiente dirección de Internet http://www.xtec.cat/~jlagares/matemati ques/probabilitat/daus/DausCastellano.html muestra un simulador del lanzamiento de un dado, el cual nos puede ayudar a responder la pregunta. La página te mostrará el cuadro de diálogo de la derecha.

En el cuadro aparece el número de experiencia, es decir, la cantidad de veces que se lanzará el dado, una tabla de frecuencia, un histograma con la frecuencia relativa porcentual y un gráfico de polígono de frecuencia relativa porcentual. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 6 000 veces un dado salga 6? ¿y al lanzar 60 veces?Como puedes observar a mayor número de lanzamiento la frecuencia relativa adop-ta el valor de la probabilidad del evento.

Lo anteriormente enunciado se conoce como la Primera Ley de los Grandes Núme-ros, la cual dice que:

Si efectuamos un número grande de ensayos de cierto experi-mento es poco probable que la frecuencia relativa de un aconte-

cimiento se separe mucho de su probabilidad.

11

0,5

1,0

1 1 1 2 3 4 4 4 4 5 5 6 7 8 9 9 9 9 9 10201510

C

CC

C

C CC C C

CS

SS

S

SSS

S

S

S

nt n

210

Datos y azar

Si jugamos con un dado bien hecho, sabemos que la probabilidad de que salga alguno

de los números es 16

, ya que por medio de los experimentos realizados en los simula-

dores y aplicando la ley de los grandes números se prueba que esa es la probabilidad.

Pero, ¿podríamos haber dicho esto sin hacer los experimentos? Claro que sí, por

ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado el número resultante sea

par? Los números que pueden surgir al lanzar un dado son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, por cual

tenemos 3 resultados favorables, dentro de los 6, de que al lanzar un dado salga un

número par, es decir la probabilidad es 36

12

= .

Este cálculo de probabilidad surge del hecho que todos los resultados posibles son igualmente probables, y recibe el nombre de probabilidad clásica o teórica.

Probabilidad Teórica =

Según la tabla del lado izquierdo, una persona con discapacidad, ¿qué probabili-dad tiene de recibir ayuda? ¿Qué probabilidad tiene de no recibir ayuda? ¿Cómo calculas las probabilidades? En este caso usaremos la probabilidad dada por la frecuencia relativa. A este tipo de probabilidad se le denomina probabilidad em-pírica y se determina teniendo en cuenta la frecuencia del evento y el número total de observaciones.

Probabilidad Empírica =

Número de resultados favorablesNúmero total de posibles resultados

Número de veces que el evento ocurreNúmero total de observaciones

1. ¿Cuál es la diferencia entre probabilidad empírica y teórica?

2. En Antofagasta, antes de las elecciones municipales, se aplicó una encuesta a 5 000 personas y se obtuvo que 1 150 piensan votar en blanco. Si votan 28 589 electores, ¿cuántos votos en blanco se podrían espe-rar en esa elección?

3. La tabla de la derecha muestra los ocupados según rama de ac-tividad.

¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un ocupado en el tri-mestre abril/junio pertenezca a la rama de comercio?

Tarapacá: ocupados según rama de actividad (en miles de personas)

Rama de actividad2008

Ene/Mar Abr/Jun Jul/Sep Oct/DicTotal 119,9 121,4 131,5 132,0Agricultura, caza y pesca 7,7 9,9 8,3 7,5Minas y canteras 5,0 10,6 11,0 10,5Industria manufacturera 12,0 12,6 13,7 11,6Electricidad, gas y agua 0,8 0,5 0,6 1,2Construcción 9,8 9,4 10,9 10,9Comercio 35,8 31,1 31,6 34,3Transporte, almacenaje y comunicaciones 13,6 10,5 14,0 14,0Servicios financieros 8,7 9,0 10,5 12,4Servicios comunales, sociales y personales 26,5 27,8 30,9 29,7

Fuente INE, encuesta nacional de empleos

Personas con discapacidad según le ofrecen ayuda en la

calle. Distribución porcentual.

Nº %

Si 479 407 23,18%

No 1 294 167 62,58%

A veces 138 015 6,67%

No sale 156 483 7,57%

Total 2 068 072 100%

investigai

¿Cómo puedes saber si un dado esta cargado?

actividades

4

211

Unidad


12 Problemas complementarioscon las probabilidades

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados, lo cual como ya sabes, se denomina espacio muestral.

Entonces la probabilidad del suceso A “obtener un 3 al lanzar un dado” es P(A)= 16

.

De esto se entiende que la probabilidad de no obtener un 3 al lanzar un dado es:

P(no A) = 56

Cuando dijimos no obtener un 3, es pedir que el evento A “obtener un 3 al lanzar un dado” no cumpla si no que su complemento. Por lo tanto tenemos que la proba-bilidad complementaria P(AC) de un evento es:

P(AC) = 1 – P(A)

Así tenemos que el complemento del suceso A “obtener un 3 al lanzar un dado” se obtiene

P(AC) = 1 – P(A) = 1 − 16

= 56

Otro ejemplo de la probabilidad complementaria es cuando se dice “al menos” o “a lo más”, las cuales determinan cotas mínimas y máximas respectivamente, por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un sello, al lanzar dos mone-das? Para dar respuesta observa la siguiente tabla, en la cual se observa el espacio muestral del experimento “Lanzar dos monedas”

Cara Sello

Cara Cara, Cara Cara, Sello

Sello Sello, Cara Sello, Sello

Así podemos ver que la probabilidad del suceso “obtener al menos un sello” es

P(A) = 34

, que es lo mismo que calcular la probabilidad complementaria del suce-

so B “no obtener ningún sello”, P(BC) = 1 − P(B) = 1 − 14

= 34

1. ¿Cuánto suma la probabilidad de un suceso más el complemento del mismo?

2. Si se lanzan 2 dados cual es la probabilidad que al menos en uno de los dos dados se obtenga un 6.

3. ¿Qué es más probable, sacar al menos un 6 lanzando el dado 6 veces o sacar al menos dos 6 lanzando el dado 12 veces o sacar al menos tres 6 lanzando el dado 18 veces?

actividades

212

Datos y azar

Árbol de las probabilidades

Como sabes, en la probabilidad clásica o teórica, el total de resultados posibles recibe el nombre de espacio muestral y cada uno de los resultados recibe el nombre de suceso elemental.

Cuando se lanzan dos monedas tenemos dos sucesos:Suceso A: “lanzar la moneda de $10”.Suceso B: “Lanzar la moneda de $50”.

Si preguntamos por un posible resultado tenemos el siguiente cuadro, el cual repre-senta a todo el espacio muestral.

Cara de $10 Sello de $10

Cara de $50 Cara, Cara Cara, Sello

Sello de $50 Sello, Cara Sello, Sello

Lo que también se puede representar de la siguiente forma:

Ahora si preguntamos por la probabilidad de obtener una cara en el

primer lanzamiento y sello en el segundo podemos observar que la

probabilidad es 14

, lo que podemos explicar observando el árbol.

Puesto que la mitad de las veces obtenemos cara en el primer expe-

rimento y de esta mitad, la mitad de las veces obtenemos cara en el

segundo, la probabilidad de obtener dos caras es la mitad de un medio,

esto es un cuarto.

13

Desarrolla el árbol de probabilidad del experimento de lanzar 3 monedas y determina:

a) La probabilidad del suceso “CSC”, en el orden establecido.

b) La probabilidad del suceso “CSC”, sin importar el orden.

c) La probabilidad que salga una cara.

d) La probabilidad que salgan dos sellos.

e) La probabilidad de que salga al menos una cara.

f) Determina la probabilidad de que salga a los más una cara.

g) Determina el complemento de probabilidad de “SCS”.

h) Determina el complemento de probabilidad de “CCC”.

i) Determina la probabilidad de que no salga una cara.

j) Determina la probabilidad de que no salga un sello.

C S

CSCC SC SS

12

14

12

C S C S14

14

14

1er

experimento

2do

experimento

Compuesto

actividades

4

213

Unidad


Cara

Sello

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

= C, 1

= C, 2

= C, 3

= C, 4

= C, 5

= C, 6

= S, 1

= S, 2

= S, 3

= S, 4

= S, 5

= S, 6

1er

experimento

2do

experimento

Contando las probabilidades

Se lanzan una moneda y un dado, ¿cuál es el espacio muestral de este experimento?Observa la siguiente tabla:

1 2 3 4 5 6Cara Cara, 1 Cara, 2 Cara, 3 Cara, 4 Cara, 5 Cara, 6Sello Sello, 1 Sello, 2 Sello, 3 Sello, 4 Sello, 5 Sello, 6

Como puedes observar, hay 12 posibles pares de combinaciones posibles al lanzar una moneda y un dado. Ahora observa el árbol.

¿Cuántos posibles resultados hay al lanzar la moneda? ¿Cuántos posibles resultados hay al lanzar el dado? Son 2 resultados en la moneda y 6 en el dado. Por lo cual pode-mos observar:

Donde podemos concluir que para determinar el total de posibles resultados se deben multiplicar los resultados de la moneda y el dado.

Lo anterior se conoce como principio de la multiplicación el cual dice que si hay que disponer elementos en dos posiciones y si se dispone de n-elementos para la primera posición y m-elementos para la segunda posición, entonces el total de parejas posibles que se pueden formar es n · m.

¿En que ayuda el principio de la multiplicación a la determinación de la probabilidad? Nos ayuda a determinar la cantidad de resultados que hay en el espacio muestral, por ejemplo si se lanzan dos monedas y 2 dados, ¿cuál es la probabilidad del suceso A “se obtenga cara en las dos monedas y seis en los dos dados”? Para poder resolverlo sin saber el principio de multiplicación, debemos realizar dos tablas, pero ya no es nece-sario, ya que si observamos tenemos:

Moneda I Moneda II Dado I Dado II TOTALResultadosposibles 2 2 6 6 144

14

Moneda Dado Resultado total2 6 12

Luego la probabilidad del suceso es P A( ) = 1144

Se lanza un dado de forma dodecaedra, el cual tiene la serie numérica de 1 a 12 sobre sus caras, además se lanza un dado común y una moneda.

a) Determina cuántos resultados posibles hay en el espacio muestral.

b) Desarrolla el árbol de probabilidades.

c) Determina la probabilidad del suceso B “obtener 7 y 3 en los dados y sello en la moneda”.

d) Determina la probabilidad de obtener al menos 13 en la suma de los dados.

actividades

214

Datos y azar

LA ESTADÍSTICALa estadística es una ciencia con base matemática referente a la recolección, análisis e interpretación de datos, que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio. Es transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad, y es usada, para la toma de decisiones en áreas de negocios e instituciones gubernamentales.En la historia la Estadística:

Antes del siglo XVI Está asociada a la práctica del conteo y mediciones, tal como lo practicaban los astrónomos persas y los agrimensores egipcios. Referen-cias de esto se encuentran en la obra Los Estados de Aristóteles.

Siglo XVI Se considera la estadística como la descripción de los Estados. Se uti-liza la información de datos geográficos y económicos para tomar decisiones de Estado.

Siglo XVII En Alemania, Italia e Inglaterra se considera como la ciencia del Estado. En Francia surge el cálculo de probabilidades. En Inglaterra nace la corriente de los aritméticos políticos y comienzan a realizarse los censos con periodicidad decenal.

Siglo XVIII Se mejoran los procesos de recopilación de datos. Se amplían los usos estadísticos del concepto de probabilidad y su cálculo. Jacobo Bernoulli publica su obra Ars Conjectandi, en la que formula la Ley de los Grandes Números.

Siglo XIX Friedrich Gauss desarrolla la “Teoría de errores” basada en la curva normal. Se establecen oficinas de estadística en Alemania y otros países. Simón D. Poisson generaliza la Ley de los Grandes Números.

Siglo XX El avance computacional acelera el desarrollo del análisis de datos para afrontar el problema con muestras de cualquier tamaño y múltiples factores. La probabilidad borrosa alcanza gran auge.

un poco de historia

Papiro RhindRepresenta la mejor

fuente de información sobre matemática

egipcia que se conoce. Fue escrito por el

escriba Ahmes aproxi-madamente en el año

1650 a.C a partir de escritos de 200 años de

antigüedad.

Ars Conjectandi(Artes de las conjeturas)

Se publicó de manera póstuma en 1713, (Jac-kob Bernoulli murió en

1705). Se encargó de la edición su sobrino

Nicolás I.Simón D. Poisson

(1781-1840)Poisson dedicó su vida a la investigación y ense-

ñanza de las matemáticas. De su mano surgieron numerosa memorias (sus biógrafos las cifran

entre 300 y 400) con aportaciones originales en muchos campos. Y una serie de tratados con los

que pretendió formar una gran obra de física matemática que no llegó a concluir.

4

215

Unidad


PROBABILIDAD EN LA HISTORIADesde hace muchos siglos el ser humano ha venido reflexionando acerca de las experiencias cuyos resultados son inciertos. Se habla de azar (palabra de origen árabe al-zahr, que significa dados para jugar), fortuna que se asocia a la suerte, chance (que en francés significa oportunidad) y probabilidad.

Antes del siglo XVI Tucidides, historiador griego (ca. 465-395 a.C.), señalaba: “Es im-posible calcular con precisión los hechos que son fruto del azar”. Para el filósofo griego Aristóteles (384-322 a.C.) la probabilidad de un “acontecimiento” se manifiesta en “la frecuencia relativa del acontecimiento ...”.

Siglo XVI La motivación para estudiar la probabilidad estaba vin-culada estrechamente al éxito o al fracaso en los juegos de azar. El matemático Girolamo Cardano (Pavia, 1501-1576), fue pionero en el cálculo de probabilidades de juegos de azar, como lo demuestra su pequeño manual del jugador llamado el “Liber de Ludo Alae”. En su época Cardano exhibía una extraordinaria perspicacia para los problemas fundamentales de la probabilidad vinculados a los juegos de dados.

Siglo XVII En este siglo se encuentra el acta de nacimiento del concepto de probabilidad en la correspondencia que se cruzan Blaise

Pascal (francés, 1623-1662) y Pierre Fermat (francés, 1601-1665). Por primera vez Fermat plantea la noción de probabilidad formula-da un siglo más tarde por Laplace, en los términos de número de casos favorables entre el número de casos posibles.

Siglo XVIII En este siglo, considerado de oro de numerosas disci-plinas, se producen avances que conducen a un tratamiento mas formal de la probabilidad. Jacques Bernoulli (suizo 1654- 1705) destacó la importancia del enfoque probabilístico en lo social y de-mostró el llamado teorema de Bernoulli. Abraham De Moivre (fran-cés 1667-1754) dió una formulación matemática de probabilidad.

Siglo XIX En este siglo se introdujeron importantes trabajos acerca de la probabilidad subjetiva y el teorema de Bayes. Pierre Simón,

marqués de Laplace (francés, 1749-1827), conjuntamente con Karl Friedrich Gauss (1777-1856), demostraron el valor práctico de la curva normal (curva de Gauss) como forma típica de distribuciones de frecuencia.

Siglo XX En este siglo destacan muchos probabilistas de los que sólo mencionaremos a Émile Borel (francés, 1871-1956), Richard Von Misses (austríaco, 1883-1953), Harold Jeffreys (inglés 1891-1989) y Andreï Kolmogorov (ruso, 1903-1987). Mención especial merece William Feller (croata, 1906-1970) autor del reputado texto “Introduction to Probability Theory and its Applications”. También se continuaron los estudios sobre probabilidad subjetiva y el teorema de Bayes, especialmente por parte de los estadís-ticos y probabilistas Bruno de Finetti (austríaco, 1906-1985) y Leonard Savage (norte-americano, 1917-1971), entre otros. El desarrollo computacional acelera el avance en el campo probabilístico.

un poco de historia

Abraham De Moivre

Aristóteles

Girolamo Cardano

Richard Von Misses

Tucidides

216

Datos y azar


1 El Departamento de Transporte urbano del Ministerio ha elegido a la comuna de Santia-go para recabar información sobre accidentes de tránsito ocurridos al virar hacia la izquierda en intersecciones. La recolección de los datos se realizará durante un período de dos años. Entre otros aspectos, se quiere comparar el promedio de accidentes en intersecciones con y sin pista central para el viraje a la izquierda, a fin de decidir sobre la posible instalación de di-chas pistas en las principales ciudades del país.

a) Identifica la población de interés.

b) Identifica el muestreo a usar para determi-nar la muestra.

c) Menciona a lo menos dos variables obser-vables en los elementos de la población que sean relevantes en la comparación señala-da. Indique para cada variable si es cualita-tiva o cuantitativa y la escala de medición más razonable.

2 Para responder la pregunta: ¿Cuáles son los tres problemas a los que debería dedicar el ma-yor esfuerzo en solucionar el Gobierno?

¿Qué tipo de muestreo se debería desarrollar para obtener una representavidad del país? ¿Se podría realizar un muestreo conveniente para dar respuesta a la pregunta?

Si te dicen que para dar respuesta a esta pre-gunta entrevistaron a 1 505 personas a nivel nacional, ¿estarías confiado de la posible res-puesta? Pero si agregaran que la muestra con-sistió en 1 505 personas que fueron entrevista-das en sus hogares, en 153 comunas del país. Y que el método de muestreo fue estratificado (por región y zona urbana/rural), aleatorio y probabilística en cada una de sus tres etapas (manzana-hogar-entrevistado), ¿tu confianza cambiaría al saber esto último?

3 Las edades de los profesores de un colegio son las siguientes:

16 18 18 20 21

22 22 23 25 26

32 30 28 30 32

36 40 44 48 50

a) Calcula las medidas de tendencia central.

b) Determina la tabla de distribución con 5 in-tervalos de clase.

c) Haz el histograma.

d) Calcula el primer cuartil.

e) Calcula el tercer cuartil.

f) Haz un diagrama de caja de las edades de los profesores.

g) ¿Entre qué edades se encuentra el 50% de los profesores?

h) ¿Qué puedes decir de la variabilidad y dis-persión de las edades de los profesores?

4 El siguiente diagrama de tallo y hojas repre-senta las notas de dos primeros medios en una prueba de lenguaje.

a) Determina las medidas de tendencia central para ambos cursos.

b) Haz los gráficos de caja de cada curso.

c) Desarrolla los gráficos de barra de cada curso.

d) Determina cuál de los dos cursos tiene me-nor dispersión y variabilidad.

9 8 4 2 0

8 8 6 4 1 1 0

9 8 6 5 4 2 1 0

9 8 5 5 3 2 2 0

0 0

3

4

5

6

7

0 8 8

1 2 2 3 5 8 8 8

0 0 1 2 3 4 4 5 6 7 9

0 0 2 4 5 6 8 9

4

217

Unidad


5 Los alumnos que se presentaron al examen de matemática en la convocatoria de diciem-bre obtuvieron las siguientes calificaciones:

7 3 2 4 5 1 8 6 1 5

3 2 4 9 8 1 0 2 4 1

2 5 6 5 4 7 1 3 0 5

8 6 3 4 0 10 2 5 7 4

0 2 1 5 6 4 3 5 2 3

9 7 3 4 3 5 7 4 6 5

6 1 0 5 7 8 5 2 3 10

4 6 2 1 1 2 6 7 4 5

4 7 3 6 5 0 2 8 2 7

8 5 2 7 1 4 6 3 5 6

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar a un alumno del grupo que se presentó al examen de matemática, hubiera tenido una calificación 6?

b) ¿Cuál es la probabilidad que al sacar a un alumno hubiera tenido una calificación en-tre 8 y 10?

6 En una clase de 27 alumnos y alumnas, por cada 5 niñas hay 4 niños. ¿Cuál es la proba-bilidad de que la primera persona que salga al recreo, tras el profesor, sea una niña?

7 Se extrae una carta de un naipe español. Cal-cula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Extraer un 7.

b) Extraer un oro.

c) Extraer un as.

d) Extraer una carta menor que 4.

e) Extraer una copa o espada.

8 Se extrae una carta de un naipe inglés (sin joc-kers). Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Extraer una jota.

b) Extraer una carta menor que 5.

c) Extraer una carta mayor que 5.

d) Extraer una carta que sea múltiplo de 3.

e) Extraer una carta que no sea múltiplo de 3.

9 Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 3 bolas azules. Cal-cula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Extraer una bola roja.

b) Extraer una bola blanca.

c) Extraer una bola azul.

d) Extraer una bola no blanca.

e) Extraer una bola no azul.

f) Extraer una bola no roja.

10 Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Completa la siguiente tabla con las sumas.

+ 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

Calcula la probabilidad que la suma de los

puntos:

a) Sea igual a 9.

b) Sea igual a 3.

c) Sea igual a 12.

d) Sea menor a 7.

e) Sea a lo más 6.

f) Sea por lo menos 4.

g) ¿Cuál es la suma que tiene menor probabi-lidad de salir? ¿Cuál es la probabilidad?

h) ¿Cuál es la suma que tiene mayor posibili-dad de salir? ¿Cuál es la probabilidad?

11 Se lanzan dos monedas y un dado. Calcula la probabilidad de que salga.

a) Cara en ambas monedas y 6 en el dado.

b) Sello en ambas monedas y número par en el dado.

c) Al menos una cara y un número menor a 6.

d) Al menos un sello y un número mayor o igual a 3.

218

Datos y azar


TERREMOTOS

Aunque, estrictamente hablando, sismo, temblor o terremoto corresponden a un mismo fenómeno, la costumbre arraigada en Chile y en muchos países latinoamericanos tiende a llamar sismo o temblor a aquel movimiento telúrico que causa daños menores y escasas víctimas, y terremoto al que tiene una dimensión mayor en ambos sentidos.

La mayoría de los sismos aquí presentados no han sido medidos científicamente por instrumentos confiables, ya sea porque aún no existían o, como ocurrió muchas veces, porque los sismógrafos colapsaron con el movimiento, debiendo recurrirse a estimaciones según las crónicas (que no pocas veces suelen exagerar los hechos) o a registros realizados en lugares alejados de los epicentros. En algunos casos, incluso, la magnitud o intensidad ha sido asignada por servicios sismológicos extranjeros, generalmente de EE.UU.

En la presente relación el nombre de sismo, temblor o terremoto ha sido asignado en base a como han quedado registrados en los registros históricos revisados y no tienen involucrado ningún otro sentido en cuanto a magnitud o intensidad.

Según el servicio sismológico de la Universidad de Chile, los sismos más importantes y/o destructivos del siglo XX en Chile son los siguientes:

Fecha Magnitud

16/08/1906 7,9

08/06/1909 7,6

04/10/1910 7,3

15/09/1911 7,3

29/01/1914 8,2

14/02/1917 7

20/05/1918 7,9

04/12/1918 8,2

01/03/1919 7,2

02/03/1919 7,3

10/12/1920 7,4

07/11/1922 7

10/11/1922 8,39

04/05/1923 7

15/05/1925 7,1

28/04/1926 7

21/11/1927 7,1

20/11/1928 7,1

01/12/1928 8,3

Fecha Magnitud

19/10/1929 7,5

18/03/1931 7,1

23/02/1933 7,6

01/03/1936 7,1

13/07/1936 7,3

25/01/1939 8,3

18/04/1939 7,4

11/10/1940 7

08/07/1942 7

14/03/1943 7,2

06/04/1943 8,3

01/12/1943 7

13/07/1945 7,1

02/08/1946 7,9

19/04/1946 7,3

25/04/1949 7,3

29/05/1949 7

17/12/1949 7,8

17/12/1949 7,8

Fecha Magnitud

29/01/1950 7

09/12/1950 8,3

06/05/1953 7,6

06/12/1953 7,4

08/02/1954 7,7

19/04/1955 7,1

08/01/1956 7,1

17/12/1956 7

29/07/1957 7

13/06/1959 7,5

21/05/1960 7,3

22/05/1960 7,3

22/05/1960 8,5

19/06/1960 7,3

01/11/1960 7,4

13/07/1961 7

14/02/1962 7,3

03/08/1962 7,1

23/02/1965 7

Fecha Magnitud

28/03/1965 7,4

28/12/1966 7,8

13/03/1967 7,3

21/12/1967 7,5

17/06/1971 7

08/07/1971 7,5

18/08/1974 7,1

10/05/1975 7,7

29/11/1976 7,3

03/08/1979 7

16/10/1981 7,5

04/10/1983 7,3

03/03/1985 7,8

08/04/1985 7,5

05/03/1987 7,3

08/08/1987 7,1

30/07/1995 7,3

13/06/2005 7,8

Fuente: Lista completa en http://ssn.dgf.uchile.cl/home/terrem.html

4

219

Unidad


apliquemos

En la tabla se observan ocho terremotos de grado mayor a 8, lo cual indica que han causado un desastre total. Junto a tus compañeros averigua el epicentro de tales terremotos.

a) ¿En qué intervalo de días del mes hay más terremotos?

b) ¿Cuál es el promedio de magnitudes de terremotos del siglo XX?

c) ¿Cuál es la moda entre las magnitudes de los terremotos? Interpreta el valor.

Como se puede observar en la tabla la magnitud de los sismos supera los 7 grados en la escala de Richter. La escala de Richter es una escala “abierta”, de modo que no hay un límite máximo teórico, salvo el dado por la energía total acumulada en cada placa, lo que sería una limitación de la Tierra y no de la Escala.

Magnitud y efectos visibles del terremoto

Magnitud en Escala Richter

Efectos del terremoto

Menos de 3,5 Generalmente no se siente, pero es registrado.

3,5 - 5,4 A menudo se siente, pero sólo causa daños menores.

5,5 - 6,0 Ocasiona daños ligeros a edificios.

6,1 - 6,9 Puede ocasionar daños severos en áreas muy pobladas.

7,0 - 7,9 Terremoto mayor. Causa graves daños demográficos.

8 o mayor Gran terremoto. Destrucción total a comunidades cercanas.

Si volvemos a analizar la información de la tabla de la página anterior tenemos que los terremotos que se registran han causado graves daños demográficos en nuestro país.

Si aislamos la información tenemos que existen más sismos en mayo y diciembre. Existen menos terremotos en los meses de julio, agosto y septiembre.

CHARLES FRANCIS RICHTER

(1900-1985)

El gran mérito del Dr. Charles F. Richter (del California Institute for Technology, 1935) consiste en asociar la magnitud del terremoto con la “ampli-tud” de la onda sísmica, lo que redunda en pro-pagación del movimiento en un área determinada. El análisis de esta onda (llamada “S”) en un tiem-po de 20 segundos en un registro sismográfico, sirvió como referencia de “calibración” de la esca-la. Teóricamente en esta escala pueden darse sis-mos de magnitud negativa, lo que corresponderá a leves movimientos de baja liberación de energía.

Fuente: http://www.angelfire.com/nt/terremotos/chilehistoria.html

220

REF

UER

ZO

DE

LA U

NID

AD

actividades finales

1 Las siguientes medidas corresponden a las alturas de 50 niños y niñas:

1,56 1,59 1,63 1,62 1,65

1,61 1,59 1,51 1,62 1,62

1,53 1,49 1,57 1,54 1,53

1,59 1,58 1,57 1,47 1,64

1,55 1,59 1,53 1,56 1,53

1,47 1,57 1,60 1,54 1,56

1,50 1,62 1,59 1,62 1,54

1,68 1,52 1,62 1,59 1,49

1,65 1,53 1,59 1,56 1,54

1,58 1,52 1,63 1,56 1,62

a) Construye una distribución de frecuencias absolutas y relativas.

b) Obtén las correspondientes distribuciones de frecuencias acumuladas.

c) Representa las distribuciones anteriores mediante histogramas.

d) Dibuja los correspondientes polígonos de frecuencias.

e) Encuentra, a partir del polígono de frecuencias acumuladas, la proporción de observaciones entre 1,57 y 1,66 ambas inclusive.

f ) ¿Qué conclusiones puedes obtener de lo anterior?

2 En una ciudad existen 3 grandes plantas de fabricación de automóviles que llamaremos A, B y C. La pri-mera emplea a 542 personas y su salario medio es de 1 500 euros. En la segunda trabajan 843 empleados y su ingreso medio es de 1 200 euros. Finalmente, la paga media de los 1 538 trabajadores de C es de 1 000 euros. ¿Cuál es el salario medio de los empleados en la industria del automóvil de dicha ciudad?

3 Analiza el siguiente comentario: “La mejor medida de tendencia central es la media aritmética, por eso la utilizaremos siempre salvo que no se conozcan los valores extremos de la variable”.

4 La siguiente tabla de frecuencia resume los datos de las precipitaciones, anuales en m3 , de agua lluvia caí-da, por año, en los primeros cincuenta años del siglo pasado (1901-1950) sobre la ciudad de Valparaíso.

a) Completa la siguiente tabla:

Precipitación m3 Marca de clase

Número de años

Porcentaje de años

Número acumulado de años

Porcentaje acumula-do de años

67.75 - 6

-460.95 48

84

45

1

Total

b) Determina la media, moda y mediana de las precipitaciones.

221

4Unidad


5 Un grupo de 80 estudiantes tiene 35 hombres. En un test, el puntaje medio de las mujeres fue de 70 puntos y del grupo completo fue 66,5 puntos.

a) Determina el puntaje medio de los hombres.

b) Si se cambia la escala de puntajes mediante la transformación Yi = 2Xi − 5 (Xi: punta-je antiguo, Yi puntaje nuevo), determina el nuevo puntaje medio de hombres, mujeres y el grupo completo.

c) Comprueba que si se aplica la transfor-mación al puntaje medio del grupo total (66,5) se obtiene el mismo resultado que si se calcula el puntaje medio del grupo total transformado, como promedio ponderado de los puntajes transformados de hombres y mujeres (trata de comprobar esta propie-dad en forma general).

6 Se desea estudiar la composición del agua de un lago para lo cual el lago se divide en dos zonas: Costa y Centro del lago. El lago se cua-dricula en 2 800 cuadrículas de igual tamaño de las cuales se escogen aleatoriamente 80 en la zona Costa y 60 en la zona Centro. En cada una de las cuadrículas escogidas se mide el contenido de cierta sustancia tóxica (en ppm), el contenido de oxígeno (en mL/100mL) y el número de larvas de peces. Además se anota el color y calidad de transparencia del agua en la cuadrícula.

a) Indica cuál es la población en estudio y cuá-les y cuántos son los elementos de esta po-blación.

b) ¿Qué tipo de muestreo se usó?

7 En un programa de mejoramiento continuo, que se ha implementado en una empresa, se ha diseñado un plan para controlar el proceso de fabricación de un horno de microondas de alta fidelidad. Desde la línea de despacho, donde los productos egresan uno a uno, se selecciona cada dos horas una muestra aleatoria de diez equipos los cuales son enviados a distintas áreas donde son calificados, entre otras características, el estado de las bisagras de las puertas, las di-mensiones del eje del plato de montaje al interior del horno, el voltaje de salida, la temperatura al interior del equipo después de dos minutos de

trabajo, la radiación emitida, tanto con la puerta abierta como con la puerta cerrada y el color del horno. Entonces:

a) Determina la población y la unidad estadís-tica correspondiente.

b) Indica el plan de muestreo utilizado. Justifi-ca brevemente tu respuesta.

8 Abel y Rosa juegan tirando un dado. Si sale un 5 gana Abel y si sale menos de 3 gana Rosa. Aproximadamente, ¿cuántas veces habrá ga-nado cada uno, después de tirar el dado 60 veces?

9 Observa la siguiente tómbola:

a) Determina la probabilidad de sacar una bola roja.

b) Determina la probabilidad de sacar una bola azul.

c) Determina la probabilidad de sacar una bola que no sea amarilla.

d) Determina la probabilidad de sacar una bola que no sea blanca.

10 Se toma un número comprendido entre 0 y 999.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 5?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la cifra cen-tral sea mayor que las otras dos?

222

REF

UER

ZO

DE

LA U

NID

AD

11 Se lanza una moneda tres veces seguidas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más ca-ras que cruces?

12 Carmen y Daniel han inventado un juego de dados con las siguientes reglas:

- Lanzan dos dados sucesivamente y calculan la diferencia de puntos entre el mayor y el menor.

- Si resulta una diferencia de 0, 1 ó 2 enton-ces Carmen gana 1 ficha.

- Si resulta 3, 4, ó 5 es Daniel quien gana una ficha.

- Comienzan con un total de 20 fichas y el juego termina cuando no quedan más.

¿Te parece que este juego es equitativo? Si tu-vieras que jugar, ¿cuál jugador preferirías ser? ¿Cuántas fichas debería ganar cada jugador para que el juego sea equitativo sin cambiar el resto de las reglas?

13 Las siguientes son calificaciones de 5 cursos:

N1 N2 N3 N4 N545 49 67 60 6754 54 57 62 6740 51 70 64 6554 55 67 66 6568 70 70 70 6753 62 58 60 6964 50 65 63 7057 51 62 62 6746 63 65 68 6545 38 60 55 5055 50 56 56 5760 62 62 55 7052 53 65 66 6751 60 65 59 7049 65 65 70 6270 62 67 68 7070 70 50 68 7023 61 62 64 7061 55 62 59 7055 38 58 63 7060 60 70 55 70

a) Determina las medidas de tendencia central de cada curso.

b) Haz una tabla de distribución para cada curso, ayúdate con Excel.

c) Determina los polígonos de frecuencia de cada curso.

d) Haz los gráficos de caja de cada curso.

e) ¿En qué curso hay mayor variabilidad y dis-persión?

f) ¿En qué curso hay mayor homogeneidad en las calificaciones?

g) Si se extrae un alumno del curso N1, ¿cuál es la probabilidad que el alumno que se ex-traiga tenga una calificación entre 4 y 5?

14 Se selecciona una carta al azar entre 50 cartas enumeradas (1 al 50)

a) Encuentra la probabilidad de que el número de la carta sea divisible por 5.

b) Encuentra la probabilidad de que el número de la carta sea un número primo.

c) Encuentra la probabilidad de que el número de la carta termine en 2.

d) Encuentra la probabilidad de que el número de la carta sea menor que 15.

e) Encuentra la probabilidad de que el número de la carta sea el 50.

15 De los 10 niños de una clase, 3 tienen ojos azu-les. Si se escoge dos niños al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) Los 2 niños tengan los ojos azules.

b) Ninguno tenga ojos azules.

c) Por lo menos 1 tenga ojos azules.

16 De un total de 14 números 6 de ellos son posi-tivos y el resto es negativo, se eligen 4 números al azar y se multiplican entre ellos calcula:

a) Cuál es la probabilidad de que el producto sea un número positivo.

b) Cuál es la probabilidad de que el producto sea un número negativo.

c) Considera el evento A: Que solo se extraen 3 números, cuál es la probabilidad de que el producto sea un número positivo.

d) Considera el evento B: Que solo se extraen 2 números, cuál es la probabilidad de que el producto sea un número negativo.

Datos y azar

223

4Unidad


autoevaluación

1 El gráfico muestra el tiempo que demoran los alumnos en trasladarse de la casa a la escuela. ¿Cuántos niños se demoran más de 10 minu-tos?

a) 2b) 5c) 7d) 8e) 15

2 [TIMSS] El siguiente polígono de frecuencia muestra los puntajes obtenidos en un test por un curso. ¿Cuál es la media de puntajes del curso?

a) 6b) 8c) 6,2d) 6,9e) 5

3 [TIMSS] En un curso hay 30 alumnos. La pro-

babilidad de seleccionar a un alumno del curso

y que sea menor a 13 años es de 15

. ¿Cuán-

tos estudiantes en la clase son menores a 13

años?

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

4 [TIMSS] En una escuela hay entre niños y niñas 1 200 estudiantes. Se obtiene una muestra de 100 estudiantes representativa de la población. Si 45 de los alumnos de la muestra son niños. ¿Cuál sería la cantidad total de niños en la escuela?

a) 450b) 500c) 540d) 600e) 660

5 [TIMSS] En una bolsa se ponen 11 fichas, las cuales tienen marcadas los números 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14, 18, y 20. Si Amaru saca una ficha de la bolsa sin mirar. ¿Cuál es la probabili-dad que Amaru saque una ficha con un número que sea múltiplo de tres?

a) 111

b) 13

c) 411

d) 47

e) 1

8

7

6

5

4

3

2

1

00 a 5 6 a 10 11 a 15 16 a 20

7

6

5

4

3

2

1

04 5 6 7 8 9 10

Frecuencia de porcentajes

224

solucionario

-20 0 35

6 a) −712

b) −1912

c) 10

d) −415

Aplicando lo aprendido. (Pág. 19)

1 a) 25

b) 33

c) 26 · 53

d) 22 · 36

2 a) 0,008

b) 0,25

c) 2,25

d) –0,4

e) 343

f) 81

g) 0,012345679

h) 1

3 a) 42 = 24

b) 83 > 24

c) 63 > 23 + 43

d) 72 − 52 > 22

e) 20 > 0

f) 2-2 > −22

4 a) −154

b) 13

c) 98

d) 1

817

UNIDAD 1Parar recordar (Pág. 12)

1 a) −5

b) 1,5

c) 8

d) 2,4

e) − 0 3,

f) −25

2 a)

b) 55°

3 a) Falso. Pues 12

13

56

+ = > 25

b) Verdadero. Pues 78

2124

1112

= =< 2224

c) Verdadero. Pues 1000200

5=

d) Falso. Pues (−5)2 = 25

e) Falso. Pues (22)3 = 43 = 64 ≠ 32 = 25

f) Verdadero. Pues 43 = 64

g) Falso. Pues si por ejemplo a > 0 y 0 < b< 1

entonces ab

>a

4 Una forma sería encontrando el promedio en-tre los valores, es decir,

12

2135

2235

4370

+

=

5 La viga mide 10 0 2+( ), metros, aproximada-mente 3 metros y 36 centímetros.

225MATEMÁTICA

e) 67

f) 25 = 32

5 27 cm3. 8 veces mayor. El cubo que resulta es 27 y 64 veces mayor, respectivamente.

6

Bisabuelo Bisabuela Bisabuelo Bisabuela Bisabuelo Bisabuela Bisabuelo Bisabuela

Abuelo Abuela Abuelo Abuela

Papá Mamá

Yo

Entre bisabuelos y bisabuelas se tienen 23 = 8 antepasados de la tercera generación. Entre tatarabuelos y tatarabuelas se tienen 24 = 16 antepasados de la cuarta generación. Se tienen 25 = 32 antepasados de la quinta generación.

7 6 y 5 respectivamente.

8 La segunda, pues obtiene $32 767, en cambio con la primera alternativa obtendría $15 000.

Aplicando lo Aprendido. (Pág. 25)

1 5,99 · 109kg

2 9 veces aproximadamente.

3 5,5 ·106 kg

5 a) 2,46 · 10-9

b) 4 · 10-6

c) 1,2 · 1023

d) 3 · 103

6 4 · 1030 átomos.

7 a) 51 · 1014 toneladas

b) 8,5 · 10-7

8 a) 104

b) 106

c) 104

d) 107

Aplicando lo aprendido (Pág. 32)

1 a) 0 428571,

b) 2 3,

c) 0 63,

d) 0,6

e) 0,48

f) −0 230769,

g) 1,01

h) 10,1

i) −0 83,

j) 0 237,

k) 0 235,

l) 0

2 a) 10 000 000 001

b) 1,27 milímetros.

c) infinitos.

3 a) i) 0

ii) −1

iii) 3

iv) −3

226

v) 0

vi) −6

vii) 3

viii) 3

ix) −4

b) 0

c) No existe el máximo.

d) 0

e) No, por ejemplo [0,5 + 0,5] = 1 0 + 0 =

[0,5] + [0,5]

f) Sí, es cierto.

4 a) N =

+1 1

ε es un número natural mayor

que 1ε

.

b) Como N > 1ε

se tiene que ε > 1N

c) Si tal ε > 0 existiera, sería tal que ε < 1n

,

para todo n∈ lo que contradice el literal

anterior.

5 a) Como y − x es positivo, 1

y x− es un nú-

mero positivo, por lo tanto su parte entera

es natural o cero. De aquí se deduce que

Ny x

=−

+ ∈1 1

b) Como N k+ ∈ se tiene que 1n k+

∈ y

como x ∈ se tiene que xN k

++

∈1

c) Como 1N k+

> 0 se tiene que

x xN k

< ++1 , además como

1 1N k N

y x+

−< < se cumple que

x xN k

x y x y< <++

− + −( ) =1

d) Por lo tanto para cada número natural k, el

número xN k

++1 es un número racional

entre x e y y que es diferente para diferen-tes valores de k. Además como los posibles valores de k son infinitos, entonces hay infi-nitos racionales entre x e y.

6 a) Como y − x 1 y como no son enteros

x < [y] < y, entonces el entero M = [y] está

entre x e y.

b) Si 0 < y − x < 1, por lo visto en 4b, existe

un N∈ tal que 1N

y x< − , o lo que es lo

mismo, existe N∈ tal que Ny Nx− > 1.

c) Como Nx y Ny son irracionales que están

a distancia mayor que 1, se reduce el pro-

blema al caso a), es decir existe un entero

M que Nx < M < Ny o lo que es lo mismo

x MN

< < y

d) Por el literal b) existe un número natural N,

tal que Ny – Nx > 1. Por el literal a) existe

un número entero M tal que Nx < M < Ny.

Dividiendo por N, y como N > 0, no cambia

el sentido de la desigualdad, se tiene que

x Mn

y< < . Como M es entero y N es na-

tural, se tiene que Mn

es un racional entre

x e y.

7 Si ambos números son racionales el promedio es un número racional que está entre esos nú-meros. Si uno es racional y el otro no, es el resultado del problema 5. Si ambos son irracio-nales es el resultado del problema 6.


1 Falso, después de los primeros 30 decimales puede venir cualquier cosa.

227MATEMÁTICA

2 Cuando dividimos cualquier número por once, el resto de la división es un número entero no negativo menor que 11, a saber, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, por lo tanto, en el peor de los casos, después de 11 decimales, aparece un resto igual a uno de los anteriores y en ese mo-mento se repetirá el ciclo.

3 a) Si, de hecho es 3 453 400.

b) 3 453 400 : 99 900 = 34,56856

c) 3 453 40099 900

= 34,56856

4 Sí, por ejemplo 0 9, = 1

5 Sí, por ejemplo 0 49, = 0,5

6 Ninguno, pues 12

0 49= ,

7 a) 4 563999

b) 6 722990

c) − 64900

d) 1

e) 102 206999 000

f) 4 002 33499 900

g) 67 435 709999 000

h) 1999344

8 a) 1189

b) 1150369

c) − 32822 275

d) 1150

e) 161495

f) 15 2514 950

g) 10099

h) 139 999 99469 999 993

9 Cualquier número natural, al ser dividido en 3 da

por resto, 0, 1 ó 2. Si un número da resto 1 al

ser divido en 3, entonces se puede escribir en la

forma 3k + 1, donde k es natural, al ser dividido

en 3 resulta k + 13

. Como los decimales de k son

todos iguales a 0, entonces los decimales de m :

3 = k+1 : 3 son los mismos que 13

, es decir son

infinitos.

Si un número da resto 2 al ser divido en 3, enton-

ces se puede escribir en la forma 3k+2, donde

k es natural, al ser dividido en 3 resulta k + 23

.

Como los decimales de k son todos iguales a 0,

entonces los decimales de m : 3 = k + 1 : 3 son

los mismos que 23

, es decir son infinitos.


1 a) 0,11 y 0,111

b) − −3136

3236

y

c) 0,32 y 0,33

2 − − − −5 32

34

0 3< < < ,

3 a) 9 29135

b) 4

c) 10 56

d) 74

4 6 2 es irracional.

97 es irracional.

228

5 a) Entre 4 y 5

b) Entre 9 y 10

c) Entre 26 y 27

6 a) Entre 34

y 1

b) Entre 34

y 78

c) 183210


1 a) Basta tomar b = 0 para obtener todo

b) Si b 0 y si a b r+ = ∈2 , entonces

2 = −r ab

que es la resta y cuociente de números racio-nales, por lo tanto un racional, lo que es fal-

so. Luego, la frase b 0 y a b r+ = ∈2 , es falsa, luego lo correcto es b 0 enton-

ces a b+ 2 es irracional.

c) a b a b aa bb a b ab+( ) ′ + ′( ) = ′ + ′( ) + ′ + ′( )2 2 2 2

a b a b aa bb a b ab+( ) ′ + ′( ) = ′ + ′( ) + ′ + ′( )2 2 2 2 .

Si a,a’,b,b’ son racionales también lo son

a + a’ y b + b’, luego a b a b+ + ′ + ′2 2 es un elemento de K.

d) a b a b aa bb a b ab+( ) ′ + ′( ) = ′ + ′( ) + ′ + ′( )2 2 2 2

a b a b aa bb a b ab+( ) ′ + ′( ) = ′ + ′( ) + ′ + ′( )2 2 2 2 . Si a,a’,b,b’

son racionales también lo son aa’ + 2bb’ y

a’b + ab’, luego a b a b+( ) + ′ + ′( )2 2 es

un elemento de K.

e) Si a b c d+ = +2 2 , entonces

a c d b− = −( ) 2 . Si d − b no es cero, en-

tonces la última igualdad es entre un nú-

mero racional y uno irracional, lo cual es

imposible, por lo tanto lo único posible es

que d − b = 0 y por tanto a − c = 0, es decir

d = b y a = c.

f) Si a 0 b, y a2 −2b2 = 0 entonces 22

2= a

b

lo cual es imposible según demostramos en

la página 29 de este texto.

g) αβ = 1

2 El d).

3 a) (−1)n es 1 cuando n es par y es −1 cuando n es impar.

b) 2 12

12

0k k k k+

= +

= + = . Por otra par-

te, 22k k k

= = .

c) Muestra que si n es natural, entonces (−1)n

es 1 o −1 y n2

es entero, por definición

de parte entera. Entonces (−1)n n2

es el

producto de números enteros, por lo tanto

es entero.

d) Si M = 0, entonces tomando n = 1 tal que

M = (−1)n n2

= (−1)0 = 0, además n = 1

es el único natural tal que n2

= 0, para

todos los otros n2

> 0.

SiM > 0, entonces tomando n = 2M se tie-

ne que (−1)2M 22M

=1 M = M.

SiM < 0 entonces tomando n = 2M + 1 se ob-

tiene −( ) +

= −( ) × =

+1

2 1

21

2 1M MM M

4 No existen.

5 Como 167 es primo, solo cuando 2n − 5 = 1, 2n − 5 = 167, es decir n = 3 y n = 86.

6 a) 12

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22 3 4 5 6 7 8 9 10S = + + + + + + + +

b) S S− = −12

12

1

210

229MATEMÁTICA

c) Como S S S− =12 2

, se tiene que

S = −

= −2 1

21

21 1

210 9

d) Si, es cierto.

e) Sí, es cierto.

f) Nunca avanzaré para llegar a un metro.

7 a)

1

33

b) 3 × 49

c) 3 × 43

14

d) 10 327


1 25 conejos, 5n conejos.

2 En la quinta etapa 44 en la sexta etapa 45 en etapa n−ésima 4n−1.

3 Los cuadrados son 9 999 800 001 y 999 998 000 001.

4 20 segmentos, 110 segmentos. Sí, una red de 7 cm de altura. No, ya que para una red de 7 cm de alto se necesitan 56 segmentos y para una de 8 cm de alto 72 segmentos.

5 Quinta 22 segmentos; décima 42 segmentos; décima quinta 62 segmentos, vigésima 82 seg-mentos y n-ésima 6(n−1) · 4

6 3(1+2+3+4+···+100) = 3 · 100 1012i = 15 150

7 29 − 1 = 511, el caso general es 1 + 2 + 22 + 23 + ··· + 2n = 2n + 1 − 1

Actividades Finales. (Págs. 52-54)

1 a) 5–1 < 4–1

b) 12

12

2 2

−

<

c) 1−3 = 1−7

2 1,39 · 10−4

3 3,364 · 109 [Considerando el cambio de 580 pe-sos por dólar, del día 8 de abril de 2009].

4 1,1 · 10−7 mm

6 a) 4,8 · 1014

b) 5,41 · 104

c) 2 · 10−5

d) 1,25 · 108

7 a) 448

b) 58

c) 53

d) – 2174

8 2 2 0 12 12

1 2 1 2; , ; ; , ; ,− − −

9 a) Entre −5,2 y −5,1

b) 3,1 y 3,2

c) Entre 9 y 9,1

10 Tercer día 45

2

, cuarto día

45

3

, octavo día

45

7

. No es posible, ya que por poco que que-

de, cada día mata 45

, de las bacterias.

230

11 Una hora menos 3 minutos, es decir, 57 minu-tos.

12 8 ·108 bacterias, 64 ·108 bacterias, 224 ·108 bac-terias.

13 27 hectáreas, 231 hectáreas si suponemos un mes de 31 días.

14 25 gramos. 112 años aproximadamente.

15 a) Los siguientes términos son

109

1011

1211

1213

1413

, , , y

b) Pregunta abierta.

c) La aproximación se produce con el sexto tér-mino.

16 5,88 ·1028 átomos.

17 2,5 ·1017km.

18 3,5368 ·108seg.

19 Las hipotenusas miden

2 3 2 5 6 7, , , , y

20 Área hexágono inscrito 32

3cm2. Área hexá-

gono circunscrito 2 3cm2. 32

3< <2 3π .

AUTOEVALUACION (Pág. 55)

1 c

2 a

3 c

4 d

5 c

6 a

7 d

UNIDAD 2Parar recordar (Pág. 58)

1 a) 7-3 33

b) 2-3

c) 3-10

2 a) {4,8,12,16,20,24...}

b) {15,30,45,60,75,90...}

c) {7,14,21,28,35,42...}

d) {23,46,69,92,115,138...}

3 a) {1,2,3,4,6,9,12,18,36}

b) {1,3,5,15,25,75}

c) {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120}

d) {1,71}

4 a) 3

b) 9π

c) 1,6

d) 7,35

5 a) 19

b) 13

c) 20

d) −11524

6 a) 17,2

b) 6,75π

231MATEMÁTICA

c) –5x2y2

d) 2710

112

2 2a b ab+

e) 296

177

2mn mn−

f) 5,8q – 3,8pq – 4,4p

g) –3,09 a2 – 1,695b2

2 a) 8ab

b) 4q

c) 3x + 5y

3 a) Como por cada minuto el minutero avanza una sesentava parte del ángulo completo, lo-gra un ángulo de 6º. Por lo que en t minutos avanzará 6 · t.

b) Como en 60 minutos recorre 30º, en cada mi-nuto recorre medio grado (0,5º). Entonces, en t minutos recorrerá 0,5 · t

c) 90º + 0,5tº – 6tº = 90º – 5,5tº


1 a) 14p3q

b) 144x2y2π

c) 36,75m4

2 a) 10a6b3

b) 200a6b3

c) 7x4y5

d) 1 372x7y2

3 a) am + a × am +5

b) 200a6b3

c) 7x4y5

d) 1 372 · x7y2

4 Basta multiplicar el volumen entregado por 8, obteniendo 110 592.

c) 323π

d) 53π


1 a) 2 1062

i Nm

b) 1 22 1052

, i Nm

2 Para estirarlo hasta los 1,1m de largo necesito aplicarle 60N de Fuerza y 150N para lograr lle-gar hasta 2m de largo.

3 a)

n S

3 180°

4 360°

5 540°

6 720°

7 900°

8 1 080°

9 1 260°

10 1 440°

b) Como en un pentágono regular todos los ángulos interiores tienen igual medida, cada uno de estos mide 108°.

c) Cada ángulo interno en un heptágono re-gular mide aproximadamente 128,57; por lo que cada ángulo externo mide aproxima-damente 51,43.

4 a) 0,11

b) Para valores cercanos a cero.

c) Para valores que se acercan a R.


1 a) 8a

b) –8m2

232

5 a) 112

7 4x y z

b) 92

3 4a b c

c) 1

6 a) 18 2p

q z3

b) 5

6

3

5ba c

c) 2

5

4

4 4a

b cx

7 a) y

b) 2a + b – 32

c) 2x – 14y

d) 4b2 – 4a2

e) 23 2x y+

f ) a + c

g) − −5128

110

2xy x y

8 Es posible, basta calcular el cuadrado de 11, obteniendo 121.


1 x = 2

2 x = 2

3 x = 4

4 Porque un platillo tiene 4 calugas más que el otro.

5 Porque en ambos platillos tenemos objetos que

pesan lo mismo.

6 a) x = 2

b) x = 2

c) x = 4

d) No hay soluciones.

e) Todo número real es solución.


1 a) z = 2

b) x = 5

c) x = 1

d) x = −109

e) x = –2

f) x = 476

2 a) M FrGm

=2

b) x = +Fk

x0

c) h Vr

= 32π

d) in

CC

= −

1 1

0

3 a) h Vr

h m= =π π

; 754

b) F = 6,28 · 104N

A = 9,87 · 10-4m2

4 a) 51 y 52

b) Caballo = $170 000; Coche = $90 000; Arreos = $65 000

c) Las edades son 42, 24, 22.

d) La capacidad del estanque es de 80 litros.


1 Sí, es cierto, pues todo decimal finito se puede escribir con una potencia de 10 en el divisor, pero cualquier potencia de 10 es el producto de potencias de 2 y de 5.

233MATEMÁTICA

c) Para la figura n-ésima, se necesitan 2n + 1 cuadrados.

2 a)

Cantidad de círculos

Por lado Totales

2 3

3 6

4 9

5 12

6 15

7 18

8 21

9 24

10 27

b) Son necesarios 45 círculos.

c) Para la figura n-ésima, se necesitan 3n – 3 cír-culos.

3 b) Para formar las figuras de la sexta a la décima se necesitan respectivamente: 84, 112, 144, 180, 220 cuadrados.

c) Se necesitan 2n(n + 1) cuadrados para formar la figura n-ésima.

4

n 25-2n

10 5

11 3

12 1

13 -1

14 -3

15 -5

16 -7

17 -9

18 -11

19 -13

20 -15

2 Si Violeta piensa en 10a + b, entonces Martina adivinará 10a + b − (a + b) = 9a por lo tanto le basta conocer el valor a de las decenas y luego multiplicar por 9 para hacer la magia.

3 a) Sí, se puede medir 5 litros, por ejemplo, se pueden echar tres veces el balde lleno de 7, hasta completar 21 litros, luego con el balde de 4, quito cuatro veces su capacidad hasta obtener 3 × 7− 4 × 4 = 21 − 16 = 5.

b) Sí, se puede medir 6 litros, por ejemplo, se pueden echar dos veces el balde lleno de 7, hasta completar 14 litros, luego con el bal-de de 4, dos veces quito su capacidad hasta obtener 2 × 7− 2 × 4 = 14 − 8 = 6.

c) Si se puede 13 = 3 × 7 − 2 × 4

d) Es importante notar que puedo hacer un li-tro 1 = 2 × 4 −1 × 7 por lo tanto haciendo n = 2n × 4 − n × 7.

4 a) Sí, 2 × 8 − 2 × 6 = 4

b) Sí, 14 = 7 × 8 − 7 × 6

c) No se puede, pues k × 8 + j × 6 es siempre un número par, por lo tanto solo se pueden formar números pares.

d) En general no se puede, solo se puede for-mar números pares.

5 a) Si a y b solo se podrán formar números pa-res.

b) En este caso solo se pueden solo formar múltiplos de 3, por lo tanto no se puede formar el 1.

c) En este caso sólo se pueden formar múlti-plos del mínimo común divisor.

d) Solo si el MCD es 1.

e) Sí, es cierto.


1 a) 15, 29, 41 respectivamente.

b) No es posible, para la figura 42 se necesitan 85 cuadrados y 87 para la figura 43.

234

5 4 / 6,3 / 7,2 / 8,1 / 9,0,–1 / 11, –2 / 12. Conjetu-ra: El denominador aumenta de uno en uno y el numerador disminuye en la misma medida.


1 a) 8x3y3 – 2x4y3

b) –10a3b – 12,5a3b2

c) 1,5u2v2z – u2vz2 + 2,5uvyz2

d) 10h2kl2 – 2hk2l2 + 42hkl2

e) 2crs + 9cr2 – 9r2s

f ) 2ab2c – 3a2bc2

2 a) 3ab – 2a2

b) El área de cada rectángulo rojo es ab – a2.

c) El área de cada rectángulo amarillo es a2.

d) Es un cuadrado.

e) ab – 2a2

3 Es cierto.

4 Si el lado z aumenta en un centímetro, el volu-men aumenta en xy centímetros, mientras que si aumenta en x ó y el volumen aumenta en yz ó xz centímetros, respectivamente. El aumento es el mismo solo en el caso de tratarse de un cubo.

5 Si la velocidad se duplica la Energía aumenta cuatro veces, mientras que si la masa aumenta al doble la Energía también se duplica.

6 a) En la semana gana (l + m + w + j + v)p pesos.

b) Aproximadamente 9 horas los días lunes, martes y miércoles y 8 horas jueves y vier-nes.

7 El área del segundo es el doble que la del pri-mero.


1 a) 5x(1 – 2y)

b) 0,25x(x + 3z2)

c) 13

abc(2–b)

d) 5xy(x + 2y –3xy)

e) 12

xy(3x – 5 + 72

y)

f ) (x –1)(y + 3)

g) (2a + x)(y + 3b)

h) (x – y) (ax –by)

2 a) 5xy2 + 5xy2

b) 12x2 − xy − y2

c) x3 + 6x2 + 11x + 6

d) x2yz − xy2z + x2z2 −xyz2

e) −2a2bc − 3a3b2 + 2a3c2 + 3a4bc

f) xyz + xy − xz − yz − x − y + z + 1

g) x3 − y3

h) x3 + 2x2y + 2xy2 + y3

i ) x2 − ax −bx + ab

3 Considerando las aristas de la caja más grande como a, b, c , el volumen de la segunda caja es menor en ac + ab + bc − a − b − c + 1.

4 El volumen de la segunda caja es mayor en xy + xz + yz + x + y + z + 1 .

5 3x; (y + 4x) ó x; (3y + 12x)

6 El área del triángulo de lado (a + 1) es mayor en

34

2 1a +( ) .

7 D(x) = 175 000 + 43 000x − 200x2

Al confeccionar la tabla se denota que debe au-

235MATEMÁTICA

mentar el valor de cada pantalón en $10 700 aproximadamente.

8 Escrito como suma de monomios el área del

trapezoide es 12

12

ah bh+ .

Al evaluar se obtiene que el área es 150.

9 El cuadrado del área del triángulo es 20.

10 Es cierto, en no existen dos números, ambos distintos de cero que al multiplicarse den como resultado cero.

11 a = 0 ó x = y

12 a = b ó x = y

13 a = b ó x − y = 0

14 En el primer caso se obtiene (x – a)(y – b), mien-tras que en el segundo (x – b)(y – a). Resul-tan ser las mismas áreas cuando a = b ó x = y


1 x4 + 1

2 (1 + 2 2 + 2) + (1 − 2 2 + 2) = 6.

4 Es 14.

5 Sí, es cierto.

6 a) 4x2y2 – 12x2y + 9x2

b) 16x4 + 40x3 + 25x2

c) a2 + 2ab + b2

d) y2 – x2

e) a2 – b2 + c2 + 2ac

f ) x4 – y2

7 (a + b + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2ac + c2. Sí, es cierto.

8 El cuadrado de un impar es (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1, que como vemos es el sucesor de un número par, por lo tanto es impar.

9 Una forma es: n2 – (n – 1)2 = 2n – 1 el cual es impar. Otra forma está hecha en el texto.

10 2n + 2 · 2n + 4 · 2n = 2n(1 + 2 + 4) = 7 · 2n que es divisible por 7.

3n + 3 · 3n + 9 · 3n = 3n (1 + 3 +9) = 13 · 3n que es divisible por 13.

Lo mismo ocurrirá con las potencias de 4: La suma de tes potencias consecutivas de 4 es divi-sible por 1 + 4 + 26 = 21.

11 Para valores negativos de a y de b tampoco se cumple la igualdad, solo se cumple cuando a = 0 ó b= 0.


1 a) –39

b) − 120

c) Sí.

d) t −110

2 a) La máquina anterior transforma 0 en 1 y a 1 en 11, pero a 0 + 1 no lo transforma en 1 + 11.

b) Al número a lo transforma en 2a y a x lo tans-forma en 2x y a a + x lo transforma en 2(a + x) que es lo mismo que 2a + 2x.

c) No cumple, pues como f(0) no es cero, enton-ces f(1) es distinto de f(0) + f(1).

d) Al número t lo transforma en 6t y a x lo tans-forma en 6x y a t + x lo transforma en 6(t + x) que es lo mismo que 6t + 6x.

236

e) Al número a lo transforma en a2

y a x lo

tansforma en x2

y a a + x lo transforma en a x+

2 que es lo mismo que a

2+ x

2 .

f) Si denotamos por M(x) la acción de la má-quina en x, se tiene M(0 + 0) = M(0) + M(0), por lo tanto M(0) = 2M(0), por lo tanto M(0) = 0.

g) Si M(a) = b, entonces M(2a) = M(a + a) = M(a) + M(a) = b + b = 2b.

h) Como M(0) = 0, entonces 0 = M(0) = M(a + –a) = M(a) + M( –a). Luego M(–a)= –M(a).

Aplicando lo aprendido (Pág.115)

1 No es afín, tampoco es lineal.

2 Si es lineal.

3 a) $5 000

b) $2 100

c) $47 000

4 La distancia que los separa es constante.

5 v(t) = mt + n, con v(0) = 0 y v(2) = 18,6. Como v(0) = 0 se tiene que n = 0 y por lo tanto, la función es lineal. Además, v(2) = 2m = 18,6, luego m = 9,8. Luego v(t) = 9,8t

6 No.

7 Es falso.

8 El área en función de x es: A(x) = 3x, que es lineal.

Actividades Finales (Pág. 122)

1

r 0 1 1,7 4,2 5 -5 2,5 2 0,8

f 3 1,8 1 -2 -3 9 0 1,3 2

2 No se cumple siempre, pues si f es constan-te existen reales que no son imagen vía la función. Pero si la función es afín, digamos f(x) = mx + n, con m ≠ 0, entonces b siempre

tiene preimagen, a saber, b nm− .

3 Como f es afín, de la tabla se puede obtener que f(x) = x + 4, por lo que no es lineal.

5 Si f(x) = mx + n, entonces f x f x

x xm1 0

1 0

( ) − ( )−

= ,

independiente de x1 y de x

0, por lo tanto

f x f x

x x1 0

1 0

5 32

1 174

( ) − ( )−

=−

− −( ) =

6 Como f y g son paralelas, tienen igual pendien-

te. Entonces para cualquier par de puntos x0,

x1 se tiene: g x g x

x x1 0

1 0

74

( ) − ( )−

=

7 Como p es afín paralela a g, debe ser de la

forma p x x n( ) = − +74

por lo que utilizando la

fórmula, se tiene

p x h p x

h

x h n x n

h0 0

0 074

74 7

4

+( ) − ( )=

+( ) + − +

=

p x h p x

h

x h n x n

h0 0

0 074

74 7

4

+( ) − ( )=

+( ) + − +

=

8 El cuociente representa la variación de distan-cia en el intervalo de tiempo [t

0; t

1], es decir, la

velocidad entre los tiempos dados.

237MATEMÁTICA

9 No, por ejemplo, podría ser la función f(x) = x + (x − 1)(x − 2)(x − 3).

10 A pesar de que la tabla similar a la del ejercicio anterior, la función no es la identidad, basta ver que f(−1) = 23. Por otro lado la función no es lineal pues no puede escribirse de la forma f(x) = mx.

11

52 600 Ch$

307

Ar$

Los Ch$20.000, equivalen en la moneda ar-gentina a Ar$117, aproximadamente.

12 Ch$ 10 30 100 500 1 000 10 000 1 000 000 171 335,50

Ar$ 0,06 0,18 0,58 2,92 5,84 58,37 5 836,50 1 000

13 A la misma cantidad de combustible el gráfico negro entrega mayor distancia recorrida que el rojo, por lo tanto, el gráfico negro representa el rendimiento en carretera.

14 El primer cilindro corresponde la recta azul, el segundo a la roja y el tercero a la verde, pues mientras mayor sea el área de la base, menor es el aumento de la altura del agua en cada instante t. Si por el contrario se graficara el vo-lumen, se tendría que los tres gráficos coincidi-rían.

15 a) Son necesarios 14, 22 y 38 respectivamente.

b) Para la n-ésima figura, se necesitan 2n + 2 cuadrados.

16 a) La quinta figura está representada en el enun-ciado, y la sexta se muestra a continuación:

b) Son necesarios 16, 2 048, 524 288 cuadrados respectivamente.

c) Para la n-ésima figura, se necesitan 2(n − 1) cua-drados.

17 a) x =3

b) x = 3

c) x = − 53

d) x = − 212

e) x = 79102

f) x = − 913

18 a) x ba

= − 2

b) x = p

c) x = 3 58

a −

d) x = − +( )914

2b a

19 Reemplazando en la fórmula el valor de D por 20, se obtiene una ecuación de segundo orden, que entrega como soluciones n

1 = –5 y n

2 = 8,

como no se puede tener una cantidad negativa de lados, la respuesta es 8 lados.

20 a) F C= +95

32

238

b) Suponemos que existe dicha temperatura, que llamamos T, como es la misma en am-bas escalas se puede reemplazar en la ecua-

ción anterior T T T= + ⇒ = −95

32 40

Entonces, –40° Farenheit equivalen a –40° Cel-cius.

21 0 b a a + b 2a

El orden entre −3b y b – a depende de la rela-ción entre a y b. Por ejemplo, si a = b entonces b – a = 0 y −3b < b – a; pero si a = 6b entonces b – a = −5b y −3b > b – a.

22 0 b –a –0,5a + b b – a

El orden entre −a y b – 0,5a depende de la re-lación entre a y b. Por ejemplo, si a = –b en-tonces b – 0,5a = 1,5b y −a < b – 0,5a; pero si a = –4b entonces b – 0,5a = 3b y −a > b – 0,5a

23 Se cumple nuevamente para 53.

24 La suma de dos enteros consecutivos es im-par por lo tanto no es un múltiplo de 2. La suma de tres enteros consecutivos es n – 1 + n + n + 1 = 3n que si es un múltiplo de 3. La suma de 1 + 2 + 3 + 4 = 10 no es un múltiplo de 4. La suma de n enteros consecuti-vos es n – 2 + n – 1 + n + n + 1 + n + 2 = 5n que si es un múltiplo de 5. En general si n es impar y consideramos n números consecutivos, digamos que n = 2m + 1, entonces podemos encontrar el número central de esa lista de n enteros consecutivos, de tal suerte que hay m números a la izquierda de ese término central y m a la derecha de ese término central, llame-mos k ese término central:

k – 3 k

k + 3

m números

m números

A la derecha de k está k + 1 y a la izquierda está k – 1, si los sumamos resulta 2k, lo mis-mo pasa con cualquiera, es decir, a la izquierda estará k – x y a la derecha estará k + x que al sumarse resultará 2k. Por lo tanto, al su-marlos todos tendremos m veces 2k, mas una vez el término central, entonces la suma será 2km + k = k(2m + 1) = kn, que es un múltiplo de n.

Si sumamos del uno al 2n resulta 2 2 1

22 1

n nn n

+( )= +( ) que al ser dividido por

2n resulta 2 12

n+ que no es entero, pues es el

cuociente de un impar por un par, por lo tanto

la suma de n enteros consecutivos no es divisi-

ble por n cuando n es par.

25 Cada una tenía 74 litros.

26 a)

n manzanas pinos

1 1 8

2 4 16

3 9 24

4 16 32

5 25 40

b) Dado un numero natural n, se obtiene la cantidad de manzanos con n2 y la cantidad de pinos con 8n.

c) Igualando las anteriores expresiones se tiene que, n n n n n n2 28 8 0 8 0= ⇒ − = ⇒ −( ) =

Entonces, además del caso trivial n = 0, cuando n = 8 la cantidad de manzanos y pinos es 64.

d) A medida que vaya aumentando lo sembra-do, la cantidad de manzanos crecerá más rápido debido a su orden cuadrático.

27 a) 4 9 12 42 2 2x y xy xy− + −

b) 8 16 102k k+ +

c) x x y xy y3 2 2 36 12 8− + −

239MATEMÁTICA

d) 2 6 94 2 2 3x x y y x y− + +

e) 3 32x x+

f) 2 9 15 63 2x x x− + −

g) 152

6 32

2 2x xy y+ −

h) 0 8 4 6, ,x xy+

28 a) x x2 2 1+ + b) x x2 4 4+ + c) x x2 10 25− + d) 4 8 42x x+ +

e) x x2 14

+ +

f) x x4 25 254

− +

g) (x2 + 1)2

29 a) a x z2 3−( ) b) 12x x y−( ) c) 3 2y b x a+( ) +( ) d) n n m n m+( ) −( ) e) m x +( )2

2

f) x +

72

2

30 Si p(x) = ax + b, con a distinto de cero, y si

α = −ba

, entonces p a b b bα α +( ) = = − + = 0 .

31 Si p(x) = (ax + b)(cx + d) con a y c distin-to de cero, entonces si α = −b

a, entonces

p c dα α( ) = +( ) =0 0i .

32 Si p(x) es de grado 3 y se puede factorizar en-tonces todos los factores tienen grado 1, o uno de ellos tiene grado 1 y el otro 2. En cualquier caso al menos uno de los factores tendrá grado 1, y como vimos en 30 para todo polinomio de grado 1 existe un valor real α tal que p(α) = 0.

33 El polinomio de grado 2, x2 + 1 tiene la gracia que al evaluar en cualquier real resulta un núme-ro mayor o igual a1, por lo tanto nunca es cero.

Por lo tanto p x x x x x( ) = +( ) +( ) = + +2 2 4 21 1 2 1

, tiene la misma gracia, es decir, al evaluar en cualquier real resulta positivo, por lo tanto es siempre distinto de cero, sin embargo es factori-zable en polinomios de grado positivo.

34 a) Tomando la expresión dada solo basta agru-par términos semejantes para verificar la igualdad.

b) De la parte anterior se sabe que 999d + 99c + 9b + a + b + c + d Tomando A = 111d + 11c +b se obtiene que n = 9A + a + b + c + d

c) Como A es un número entero, 9A es divisible por 9.Así que n será divisible por 9 si el ele-mento que se suma a 9A también lo es, es decir, si a + b + c + d es divisible por 9.

d) Para un número de largo n también es po-sible descomponerlo de la forma en que se descompuso en el anterior caso, por estar en una base decimal. Así que se puede seguir de manera similar y probar la propiedad.

e) Esta vez se escribe n = 3B + a + b + c + d, con B = 3A y se sigue el mismo desarrollo anterior.

f) Se sigue de igual forma que en la parte d).

35 Si los números escogidos son a, b y c, entonces hay 6 números de tres cifras distintas que se pue-den formar con ellos, a saber son:

100a + 10b + c

100a + 10c + b

100b + 10a + c

100b + 10c + a

100c + 10a + b

100c + 10b + a

Luego la suma S de esos números es:

S = 100(a + a + b + b + c + c) + 10(a + a + b + b + c + c) + (a + a + b + b + c + c) =

100 × 2(a + b + c) + 10 × 2(a + b + c) + 2(a + b + c) =

240

(a + b + c)(100 × 2 + 10 × 2 + 2) = 222(a + b + c)

a) Por lo tanto siempre resulta un múltiplo de 222.

b) Además es siempre divisible por a + b + c, que es la suma de los dígitos escogidos.

36 a)

40 2 30 2 1 200 140 42 3−( ) −( ) = − +x x x x x x

b)2 40 2 2 30 2 40 2 30 2x x x x x x−( ) − −( ) + −( ) −( )

c)

X Área

1 1 064

2 1 872

3 2 448

4 2 816

5 3 000

6 3 024

7 2 912

8 2 688

9 2 376

10 2 000

11 1 584

12 1 152

13 728

14 336

15 0

Observando la tabla es posible ver que el ma-yor volumen de la caja se alcanza alrededor de x = 6.

AUTOEVALUACIÓN (Pág.127)

1 b

2 b

3 a

4 a

5 a

6 d

7 d

8 c

UNIDAD 3Aplicando lo aprendido (Pág. 135)

1 MAR

2 Triángulo rectángulo de área 6 unidades cua-dradas y perímetro 12 unidades.

3 18 unidades cuadradas.

4 Hay dos posibilidades para el vertice C:

C1 = (1, 2 3 +1) y C

2 = (1− 2 3 + 1)

5 El lugar geométrico corresponde a la recta de ecuación y = x − 4.

6 La expresión x + 5 = 3y.

7 El punto medio del segmento OA tiene coor-denadas (3;−2). El lugar geométrico correspon-de a una recta de ecuación 3x − 2y = 13.

8 La ecuación de la circunferencia es (x − 2)2 + (y + 1)2 = 4.

9 Las coordenadas son

B( 92

3 32

, ), C (3, 3 3 ) ,

D (0, 3 3 ), E −

32

3 32

, .

241MATEMÁTICA

Actividades (Pág. 141)

1 a)

A’

B’

C’

D’

1 2 3 4 5

b)

A’’

B’’

C’’

D’’

1 2 3 4

-5

-6

-7

-8

c) Sí existe, es T(1,–7)

2 a)

-5

C’

B’A’

D’

1

1 2 3

b)

2

C’’

B’’A’’

D’’

1

1 2 3

3

4

c) T(1,–4)

3 T(7,6)


1 a)

242

b)

2 Las coordenadas de los vértices del triángulo A’B’C’ son (–4, 3), (–9, 7) y (–10, –3) respecti-vamente como muestra la figura:

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 0

A

B

C

B‘

A‘

C‘

3 Los ejes de simetría son la recta de ecuación x = 6, y = 3, y = x –3 y y = –x + 8

4 Las coordenadas son P(x,– y)

5 La gráfica del eje de simetría dado es

6 Las coordenadas son C(1 2 2+ , ),

D(1 2 2 2+ +, ), E(1 2 2 2, + ), F( − +1 2 2, ),

G( − − +1 2 2 2, ), H( − −1 2 2, )

7 Las figuras geométricas pueden ser un rectán-gulo y un rombo. Si fuera un rectángulo las co-ordenadas de los vértices son C(0, –1); D(4, –1); E(4, 1); F(0, 1).


1 d)

2

B‘‘

A‘‘

E‘‘

C‘‘

D‘‘

0

1

2

-5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

0

a) A’’(–4,2), B’’(–4,–1), C’’(0,–2), D’’(–1,1) y E’’(–2,0)

3 a) T3,–4

° RA,90°

b) T(–3,4) ° RB, 270

c) Queda en la misma posición

d) Las coordenadas serían A’’(9,–3), B’’(13, 0), C’’(10, 4) y D’’(6,1)

e) Las coordenadas del cuadrado transformado y rotado son A’’(8, 15), B’’(5, 19), C’’(1, 16) y D’’(4, 12)


1 a) (–5,3)

b) (–3,–5)

c) (5,–3)

2 a) Si denotamos como X’ la acción de la rota-ción en el punto X, entonces:

M’ = (1,3) N’ = (1,0) O’ = (0,0) P’ = (0,2) Q’ = (-4,2) R’ = (-4,3)

243MATEMÁTICA

b) Si denotamos como X’’ la acción de la rota-ción en el punto X, entonces:

M’’ = (–1,–3) N’’ = (–1,0) O’’ = (0,0) P’’ = (0,–2) Q’’ = (4,–2) R’’ = (4,–3)

c) R(O,90º)

3 a) A’(4,5) y B’(4,0) A’(4,–5) y B’(4,0)

b) Igual que en el caso anterior.

4 No basta conocer solamente las medidas de los lados, se necesita a lo menos un ángulo o la medida de una diagonal.

6 No, ya que podrá construir muchos triángulos que tengan igual medida de los ángulos, pero se necesita de al menos una medida (sabiendo todas las medidas angulares del triángulo).

7 Sí. Ya que cumple con uno de los teoremas de construcción de triángulos que es lado, lado y lado.

8 Como se observó, las figuras se deben dividir en triángulos para poder construirlas. Por lo anterior para poder construir un pentágono se deben saber las medidas tanto angulares como longitudinales que permitan construir los trián-gulos en los cuales se divida el pentágono.

9 No, ya que se necesitan conocer también la medida angulares.

10 Sí, ya que la otra información se puede obtener usando el teorema de Pitágoras.

Actividades (Pág. 165)

1 a) Como OD OB≅ , se tiene que O es punto medio de BD .

b) Sí, los ángulos ∠ ∠ADB CDBy miden lo mismo.

2 a) Son congruentes.

b) Son congruentes.

3 a) m KB( )=4 cm, m EH( )= 5 cm,

m LA( )= 4,5 cm, m SRO∠( ) = 65°

b) 540º

c) Sí.

4 a) y b) Las coordenadas de D pueden ser (3,4), (2,0), (3,0).

c) Los alumnos verifican los teoremas de con-gruencia en los demás triángulos.

5 a) Como se debe seguir el sentido anti horario para la designación de los puntos, las coor-denadas del punto puede ser (2, 3).

b) Si todos coincidieron las coordenadas del punto M son (5, 3).


1 a) SO OK OT OR≅ ≅ y . Además, m KOR∠( ) = m SOT∠( ). Luego por crite-rio LAL se tiene que ∆STO ∆ ≅ ∆STO ROK ∆KRO.

b) Una rotación con centro en O y ángulo 180º. T’ = R, O’ = O, S’ = K.

c) Como ya se probó que los triángulos STO y ROK son congruentes, se tiene que los án-gulos STO y ORK son congruentes, luego se tiene que ST es paralelo a RK.

2 a) Los triángulos ABC y DBC son congruentes ya que comparten un lado, tienen un án-gulo recto en el mismo vértice y ∠A , luego por teorema LAL, se tiene que ∆ABC ∆ ≅ ∆STO ROK ∆DBC

244

b) Los triángulos no son congruentes porque lo único en lo que son congruentes es en la medida de los lados RP y TP.

c) Como los triángulos tienen dos ángulos congruentes, por diferencia el tercero tam-bién es congruente, por lo cual los triángu-los son congruentes por teorema ALA.

d) Por teorema ALA se tiene que los triángulos ADE y ABC son congruentes ya que ∠A común, AD AB ADE ABC≅ ∠ ≅y .

3 El ángulo ∠RTA mide lo mismo que el án-gulo∠DTA. Por criterio LAL se tiene que

∆RTA ∆ ≅ ∆STO ROK∆DTA

4 Para probar que un triángulo escaleno no tiene ejes de simetría, supóngase que tiene un eje de simetría, luego se llegara a conclusiones inco-herentes con las definiciones de triangulo esca-leno. Para la demostración de los demás realice el mismo procedimiento.

5 El rombo tiene dos ejes de simetría, en cam-bio el romboide no tiene ejes de simetría, sin embargo las diagonales de un romboide se di-midián. Para probar que las diagonales de un rombo se cortan en forma perpendicular, se debe probar que los triángulos interiores son isósceles congruentes.


1 Por criterio LAL, se tiene que ∆ABC ∆ ≅ ∆STO ROK ∆AED,

por lo tanto, AD AC≅

2

Con la condición de que cada cuadradito debe estar en una cara, no existe otra figura.

3 Sea el cuadrilátero ABCD. Donde AB // DC y AB DC≅ . Si probamos que el triángulo ABD es congruente con el triángulo CDB se tiene que BC AD≅ y BC // AD.

A

e

B

CD

Por teorema LAL se tiene que los triángulos son congruentes ya que AB DC ABD CDB≅ ∠ ≅, y DB común.

4 El área del cuadrado amarillo es 16 cm2.


1 b i A’(3,5), B’(7,2), C’(10,6), D’(6,9)

b ii A’(0,1), B’(–4,–2), C’(–7,2), D’(–3,5)

b iii A’(7,2), B’(10,6), C’(6,9), D’(3,5)

b iv A’’(–1,7), B’’(3,10), C’’(6,6), D’’(2,3)

2 y1 = 2; y

2 = –6

3 Las coordenadas de los puntos medios son

(3,–1), (1, 72

), (4, 72

)

4 Las coordenadas de los vertices son (5,6), (–1,4) y (3,–2)

5 Las coordenadas del punto P son ( 72

2, )

6 a) Por ejemplo, C = ( , )7 2

b) Por ejemplo, C = −( , )7 1

7 Por ejemplo, F = ( , )8 6

245MATEMÁTICA

AUTOEVALUACIÓN

1 b

2 d

3 a

4 d

5 a

6 b

UNIDAD 4Para recordar (Pág. 186)

1 c

2 b. Las tablas de distribución es:

Clase Frecuencia Frec. Relativa

1 7 0,12

2 13 0,22

3 10 0,17

4 8 0,13

5 6 0,10

6 8 0,13

7 3 0,05

8 5 0,08

El histograma de frecuencia relativa es:

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,001 2 3 4 5 6 7 8

8 Sy = 0 o T

(0, –2 ) o R

(2,3); 180 o S(x = –1) o T

(2, 2)(A)

9 Las coordenadas de P’Q’ serían (-2, 2) y (1, 0) respectivamente.

10 a) Los triángulos son congruentes. Por criterio

LLL.

b) AB FD≅ , BC DE≅ , CA EF≅

11 Alternativa d).

13 Observemos que ∆GHK ∆ ≅ ∆STO ROK ∆JIK, por criterio LAL. Por lo tanto, GK JK≅

14 Basta probar que los triángulos NTR y MTS son congruentes. Luego por teorema LAL, se tiene que RT y ST son congruentes por hipótesis, án-gulo en T común y MT y NT congruentes por ser M y N puntos medios de lados congruentes. Por lo tanto los triángulos son congruentes y por ende los segmentos SM y RN son congruentes.

15 Los triángulos RUX con VSX y los triángulos VSY con TWY, por teorema LAL.

16 Trazar las diagonales y observar las medianas de los triángulos resultantes.

17 Para la demostración de esta propiedad de los cuadriláteros, se debe usar el conocimiento de las medianas de un triángulo. Así, primero se deben trazar las diagonales del cuadrilátero ABCD y luego visualizar los triángulos interiores formados.

18 Para determinar los puntos se debe usar la si-metría axial tantas veces sea necesario para vi-sualizar el golpe directo.

246

b) El histograma y polígono de frecuencia son respectivamente.

8

7

6

5

4

3

2

1

0

[23,

3-92

,3]

[92,

4-16

1,4]

[161

,5-2

30,5

]

[230

,6-2

99,6

]

8

7

6

5

4

3

2

1

0

[23,

3-92

,3]

[92,

4-16

1,4]

[161

,5-2

30,5

]

[230

,6-2

99,6

]

c) El polígono de frecuencia acumulada.

14

12

10

8

6

4

2

0

[23,

3-92

,3]

[92,

4-16

1,4]

[161

,5-2

30,5

]

[230

,6-2

99,6

]

14

12

10

8

6

4

2

01 2 3 4 5 6 7 8

La media de los datos es 3,9 y la moda como se puede observar es 2.

3 Es menos probable que se detenga en sector morado.

Aplicando lo Aprendido (Pág. 196)

1 b) En los alumnos que han consumido mari-huana, la razón es de 9:24, y la razón entre los alumnos que han consumido Cocaína es de 1:6.

2 a) La tabla es la siguiente:

Clase Descripción Frecuencia Frec.Relativa

Frec.Acum.

M. de Clase

1 [23,3-92,3] 7 0,58 7 57,8

2 [92,4-161,4] 1 0,08 8 126,9

3 [161,5-230,5] 2 0,17 10 192

4 [230,6-299,6] 2 0,17 12 265,1

El histograma de frecuencia absoluta es:

247MATEMÁTICA

3 a)Clase Descripción Frecuencia Frec. Acum.

1 0 a 5 22 748 22 748

2 6 a 14 95 131 117 879

3 15 a 29 171 649 289 528

4 30 a 64 1 054 716 1 344 244

5 65 y más 725 893 2 070 137

El polígono de frecuencia.

2 500 000

2 000 000

1 500 000

1 000 000

500 000

0

0 a 5 6 a 14 15 a 29 30 a 64 65 y más

4 a) Los periodos a la baja están entre 1980 – 1983, 1986 – 1988 y 1989 – 1990.

b) Los periodos son entre 1980 y 1983, luego en el periodo 1986 y 1988.

c) El menor consumo en 1983 y el mayor en 1989.


1 a) La media de los pesos es 59,98, la moda es 60 y la mediana es 60.

b)

Clase Descripción Frecuencia Frec. Acum.1 44 a 51 9 92 52 a 59 19 283 60 a 67 18 464 68 a 75 12 585 76 a 83 1 596 84 a 91 0 597 92 a 100 1 60

c) El histograma es:

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

044 a51 52 a59 60 a 67 68 a 75 76 a 83 84 a 91 92 a 100

El Polígono de frecuencia acumulada

70

60

50

40

30

20

10

0

44 a 51 52 a 59 60 a 67 68 a 75 76 a 83 84 a 91 92 a 100 d) El peso es 68 kg.

e) El peso es 57 kg.

f) El tercer cuartil es 66 kg.

2 La media de las edades es de 10 años.

3 a) Los cinco hermanos llevan a la casa $600 000.

b) La media es de $122 000, en cambio la me-diana es la misma $100 000.

4 a) El 56% de los clientes.

b) 5,85 minutos.

248

c) El gráfico que nos permite determinar la mediana y el percentil, el polígono de fre-cuencia acumulada.

60

50

40

30

20

10

0

0,25 -

1,65

1,65 -

3,05

3,05 -

4,45

4,45 -

5,85

5,85 -

7,25

7,25 -

8,65

8,65 -

10,05

5 a) La media es 19,2, la mediana es 12.

b) La media, ya que cambió de 19,2 a 9,3.


1 b) El tipo de muestreo a utilizar es muestreo a conveniencia.

2 b) Muestreo por conglomerados y luego estra-tificado. Ambos aleatorios.

3 a) Media 29,05, mediana 27, moda 18, 22, 30 y 32.

b)

Clase Descripción Frecuencia Fr. Rel.

1 15,5-22,5 7 0,35

2 22,5-29,5 4 0,2

3 29,5-36,5 5 0,25

4 36,5-43,5 1 0,05

5 43,5-50,5 3 0,15

c)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

15,5-22,5 22,5-29,5 29,5-36,5 36,5-43,5 43,5-50,5

d) Q1 = 21,5

e) Q3 = 34

f)

16

50

27

21,5

34

4 a) Curso 1A: Medía 52,3; Moda 41; Mediana 53.

Curso 1B: Medía 52,2; Moda 48; Mediana 52,5.

b) Los gráficos de cajas de los cursos 1A y 1B son respectivamente:

3050

Q1 = 45 Mediana 53 Q

3 = 60 70

3049,5

Q1 = 41 Mediana 52,5 Q

3 = 62 69

249MATEMÁTICA

c)

d) Hay mayor dispersión en el curso 1B. Hay mayor variabilidad en el curso 1A.

5 a) La probabilidad es de un 11%.

b) La probabilidad es de un 10%.

6 La probabilidad es de un 55%

8 a) 113

b) 413

c) 813

d) 313

Curso 1A

0

2

4

6

8

10

12

30 40 50 60 70

Cu rs o 1 B

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3 0 4 0 50 60 70

e) 1013

9 a) 512

b) 13

c) 14

d) 23

e) 34

f) 712

10

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

a) 19

b) 118

c) 136

d) 512

e) 512

f) 1112

g) 2 y 12, su probabilidad 136

h) 7, su probabilidad es 16

11 a) 124

250

b) 18

c) 58

d) 12


1 a) La tabla de distribución de frecuencia.

Clase Descripción Frecuencia Frec. Relat. Frec. Acum.

1 1,47 - 1,5 5 0,1 5

2 1,51-1,54 12 0,24 17

3 1,55-1,58 11 0,22 28

4 1,59-1,62 16 0,32 44

5 1,63- 1,66 5 0,1 49

6 1,67-170 1 0,02 50

c)

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

1,47

- 1,

5

1,51

- 1,5

4

1,55

- 1,

58

1,59

- 1,

62

1,63

- 1,

66

1,67

- 1,

7

d)

60

50

40

30

20

10

0

1,47 -

1,5

1,51 -

1,54

1,55 -

1,58

1,59 -

1,62

1,63 -

1,66

1,67 -

1,7

4

Precipita-ciones

Marca de Clase

N˚ de Años

Porcentaje de años

N˚ Acu-mulado de años

Porcentaje Acumulado

de Años

67,75-264,35

166,05 6 12% 6 12%

264,35-460,95

362,65 24 48% 30 60%

460,95-657,55

559,25 12 24% 42 84%

657,55-854,15

755,85 3 6% 45 90%

854,15-1050,75

952,45 4 8% 49 98%

1050,75-1247,35

1 149,05 1 2% 50 100%

5 a) La media de los hombres es 63.

b) La nueva media de puntajes para las muje-res es de 135, la nueva media de los punta-jes de los hombres de 121 y la nueva media total es de 128.

6 b) Se usó el muestreo por conglomerado y es-tratificado.

7 b) Se utilizó el muestreo aleatorio sistemático.

8 10 veces aproximadamente Abel y 20 veces aproximadamente Rosa.

9 a) La probabilidad es de un 1⁄2.

b) La probabilidad es de 1/6.

c) La probabilidad es de 2/3

d) La probabilidad es 1.

10 a) La probabilidad es de 1/5.

b) La probabilidad es de 4/15.

a)

251MATEMÁTICA

13 Las siguientes son calificaciones de 4 cursos

a)

N1 N2 N3 N4 N5

Moda 45 62 65 68 70

Mediana 54 55 65 63 67

Media 53,9 56,1 63 62,5 66,5

b) Las tablas de N1, N2, N3, N4 y N5 son res-pectivamente las siguientes:

Clase Frecuencia % acumulado

30 1 4,76%

40 1 9,52%

50 4 28,57%

60 10 76,19%

70 5 100,00%


30 0 0,00%

40 2 9,52%

50 3 23,81%

60 8 61,90%

70 8 100,00%


30 0 0,00%

40 0 0,00%

50 1 4,76%

60 5 28,57%

70 15 100,00%


30 0 0,00%

40 0 0,00%

50 0 0,00%

60 8 38,10%

70 13 100,00%


30 0 0,00%

40 0 0,00%

50 1 4,76%

60 1 9,52%

70 19 100,00%

c) Los polígonos son respectivamente

H is togra m a N 1

0

2

4

6

8

10

12

3 0 4 0 5 0 60 7 0

C l a se

Frec

uenc

ia

H i st og ram a N 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3 0 4 0 5 0 6 0 7 0

C l a se

Frec

uenc

ia

252

H is togra m a N 3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

3 0 4 0 5 0 6 0 7 0

C l a se

Frec

uenc

ia

H i st og ram a N 4

0

2

4

6

8

10

12

14

30 4 0 5 0 6 0 7 0

C la se

Frec

uenc

ia

H is tog ra m a N 5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

30 40 50 6 0 7 0

C l a se

Frec

uenc

ia

e) En N1

f) En N4

14 a) P(A) = 0,20

b) P(B) = 0,30

c) P(C) = 0,1

d) P(D) = 0,28

e) P(E) = 0,02

15 a) P(A) = 0,0667

b) P(B) = 0,4667

c) P(C) = 0,5333

16 a) P(A) = 0,5045

b) P(B) = 0,4955

c) P(C) = 0,5165

d) P(D) = 0,5275

AUTOEVALUACIÓN (Pág. 203)

1 c

2 d

3 e

4 c

5 c

253MATEMÁTICA

• GLOSARIO•

• Ángulo del centro: En una circunferencia, es un

ángulo ∠AOB cuyo vértice O es el centro de la circun-

ferencia y los puntos A y B son puntos de la circun-

ferencia.

α

A

B

O

• Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos

de una circunferencia.

• Dina: Unidad de medida de Fuerza. Como la fuerza

es masa por aceleración, la fuerza se mide en unida-

des de masa (g) multiplicada por unidades de acele-

ración (cm s/ 2). Por lo tanto, una dina es 1D = ⋅1

2

g cm

s,

que equivale a mover una masa de un gramo, desde

el reposo hasta que alcance una velocidad de 1 cm/s,

en un segundo. Si en vez de usar g se utiliza kg y si en

vez de utilizar cm s/ 2 , se utiliza m s/ 2, la unidad de

fuerza se llama Newton (N).

• Figuras congruentes: Dos figuras planas son

congruentes si existe una isometría que transforma

una figura en la otra.

• Función afín: Si m y n son números reales fijos,

la función que transforma a x en f(x) = mx + n se

llama una función afín. Todas las funciones lineales

son funciones afines, todas las funciones constantes

son funciones afines.

• Función lineal: Si una función “separa sumas”

y “saca escalares”, esto es f(x + y) = f(x) + f(y) y

f(λx) = λ f(x) para cualesquiera λ, x, y en R, se llama

función lineal. Se demuestra que f es lineal si y solo

si existe un número real m tal que f transforma x en

f(x) = mx. Toda función lineal es afín, pero hay fun-

ciones afines que no son lineales.

• Imagen vía f: Si f es una función real y a es un nú-

mero real, entonces f(a) se llama la imagen de a vía f.

• Isometría o transformaciones isométricas:

Transformación de puntos del plano en puntos del pla-

no, que preserva medidas de segmentos y de ángulos.

Las rotaciones, traslaciones y reflexiones son ejemplos

de isometrías. Toda isometría es composción de las iso-

metrías antes mencionadas.

• Media: La media del conjunto numérico

{x1, x

2, x

3, . . . ,xn} es

x x x x

nn1 2 3+ + + +...

• Mediana: Si n datos están ordenados de menor a

mayor (x1, x

2, x

3, . . . ,xn), el término que está en el cen-

tro de la lista se llama la mediana de los datos, si n es

impar. En el caso en que n es par, entonces el promedio

entre los dos valores centrales es la mediana. La media-

na es tal que a la izquierda de la mediana hay la misma

cantidad de términos de la colección de datos que a la

derecha de la mediana.

• Monomio: Es un término algebraico cuyas poten-

cias de las variables son positivas o cero. Por ejemplo

5 2xy es un monomio, pero 2

2

x

yno lo es.

• Newton: Unidad de medida de Fuerza. Como la

fuerza es masa por aceleración, la fuerza se mide en

unidades de masa (kg) multiplicada por unidades de

aceleración ( m s/ 2 ). Por lo tanto un newton es

1N=12

kg m

s

⋅, que equivale a mover una masa de un ki-

lógramo, desde el reposo hasta que alcance una veloci-

dad de 1 m/s, en segundo. Si en vez de utilizar m s/ 2 , se

utiliza cm s/ 2 , la unidad de fuerza se llama dina (D).

254

• Número racional: Todo número que se puede

escribir como el cuociente de dos números enteros,

con denominador no nulo. Por ejemplo 0,45 es racio-

nal, pero 2 no lo es.

• Par ordenado: Si a,b son números reales, el par

(a,b) se dice ordenado, pues (a,b) ≠ (b,a), si x ≠ y, es

decir, el orden es importante. Además el par ordena-

do (x, y) denota el punto del plano cartesiano que es

la intersección de la recta x = a y la recta y = b.

• PIB: El Producto Interno Bruto es el valor total de

la producción corriente de bienes y servicios finales

dentro del territorio nacional durante un periodo de

tiempo determinado, que generalmente es un trimes-

tre o un año.

• Plano real: El conjunto de todos los puntos deno-

tados por pares ordenados reales, es decir, el plano

real es el conjunto {(x, y)/ x, y ∈ }.

• Polígono regular: Es un polígono donde todos

sus lados y todos sus ángulos interiores miden lo mis-

mo. El polígono regular de tres lados se llama triángu-

lo equilátero, el de cuatro lados es el cuadrado.

• Polinomio: Expresión algebraica compuesta por

monomios. Por ejemplo 2 2 2x xy z+ + es un polino-

mio, pero 23

xy

x+ no es un polinomio.

• Preimagen vía f: Si f es una función real y b es un

número real, entonces un número real a tal que f(a) = b

se llama una preimagen de b vía f.

• Raíz cuadrada: Si a ≥ 0 la raíz cuadrada de a es

el único número no negativo tal que su cuadrado es

a. En símbolos si a ≥ 0 , entonces x a= si y solo si

x ≥ 0 y x a2 = . Por ejemplo 0 25 0 5, ,= , pero es fal-

so decir que 4 2= ± .

• Rango: El rango de una variable es el conjunto de

valores que puede tomar la variable. Por ejemplo, si h

denota la altura (medida en centímetros) del nivel de

agua de un recipiente cilíndrico de un metro de altu-

ra, el rango de h es el conjunto de todos los números

reales entre 0 y 100.

255MATEMÁTICA

• ÍNDICE ANALÍTICO •

• Álgebra 61, 64, 66, 71, 79, 83, 90, 92, 95• Aplicación Geométricas 134, 170, 173• Aproximaciones 44• Área 39, 40, 44, 59, 69, 92, 96, 99, 100, 103• Asociativa 66

• Bisectriz 170

• Carl Friedrick Gauss 47• Congruencias 161 • Conmutatividad 67 • Composición De isometrías 148 De reflexiones 151• Cuadrado del binomio 99

• Decimal finito 20,31,34• Decrecimiento 120• Demostración del Teorema de Pitágoras 104 • Dirección 136• Dispersión de datos 207• Distribución 96• Distributiva 35, 37, 69, 92, 93, 95, 96

• Eje de simetría 144• Error muestral 205 Aleatorio 205 Sistemático o sesgo 205• Euclides 176• Estadística 214 descriptiva 197• Escher, MC. 146 • Expresión algebraica 62• Excel 193

• Factores 67, 96• Factorización 95, 102• Ferdinand Von Lidermann 40• Figuras simétricas 144• Frecuencia Absoluta 190 Acumulada 190• Función 112 Lineal 108 Afín 108, 114, 116

• Generalidades numéricas 79• Geogebra 134• Gráficos 187, 188, 192, 193, 197, 207, 208 Variabilidad en 208 Interpretación de 120• Gauss, Friederich 38

• Igualdad en ecuaciones 71• Intensidad 187• Interpretación de gráficos 129• Isometría 139, 144, 147, 150, 161, 162

• Lenguaje algebraico 79, 83• Ley de los grandes números 209• Longitud 136

• Magnitud 187• Marca de clase 189• Medida de posición 200• Medida de tendencia Central 197 Media 197 Moda 197 Mediana 198

• Muestra 204 Por conglomerados 205 Tamaño de 206• Muestreo Probabilístico 204 Aleatorio simple 204 Aleatorio estratificado 204 No probabilístico 205 Accidental 205 De conveniencia 205• Multiplicación 14, 59, 61, 62, 64, 66, 67

• Notación Científica 21 Decimal 20, 31, 34 Fraccionaria 34• Número No racional 29 Enteros 30, 43 Racionales 26, 27, 28, 31 Irracionales 26, 30, 39

• Patrones 86• Perímetro 48• Pitágoras 29, 156• Plano cartesiano 132, 133, 134• Polinomios 90, 91 De frecuencia 189• Porcentaje 188, 200• Potencias 15 De álgebra 66 Base positiva y exponente entero 13• Probabilidad 215 Clásica o teórica 210 Empírica 210 Árbol de 212• Productos 27 De polinomios 91 Notables 99• Programas computacionales 173• Propiedades 15• Propiedad distributiva 69• Puzles geométricos 174

• Quintil 200

• Rango 208• Redondeo 45• Reflexiones 142, 143, 144, 151• Regularidades numéricas 46• Rotaciones 148

• Sentido 136• Sistema de referencia 131• Suma 27 Por la diferencia 100

• Tablas y gráficos 197• Términos semejantes 64• Teselación 152 • Teselaciones regulares 156• Transformaciones isométricas 139• Traslaciones 138, 139• Triángulos congruentes 166• Truncado 45

• Variables 59 • Variación 206• Vector geométrico 136• Vitral 159• Volumen 56, 143

256

• BIBLIOGRAFÍA •

En libros

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