Biol 2153 Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

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Análisis CombinatorioEl análisis combinatorio es un área de la matemática cuyo estudio comprende la elaboración de reglas para agrupar u ordenar, en diversas formas, los elementos de un conjunto.

Los tres principales tipos de agrupaciones u ordenaciones se llaman:PermutacionesVariacionesCombinaciones

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PermutacionesSe denominan permutaciones de h elementos, los

diferentes grupos que se pueden construir, tomándolos todos cada vez.

Las permutaciones implican orden.

Cada conjunto ordenado de h elementos se denominará una permutación de los n elementos diferentes.

La formula es Pn = n!, donde Pn corresponde al número de permutaciones posibles.

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Ejemplo-1:PermutacionesDetermine el número de permutaciones posibles de las letras A, B, C, D.

• P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

Representémoslas:

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Permutaciones con RepeticiónLas permutaciones con repetición r, son un caso particular de las variaciones y no existe una ley sencilla para su formación.

Dado lo complicado del sistema, sólo, se presenta la fórmula que logra el número de esta clase de permutaciones.

• La formula será:

1 21 2

!: ,! !nnP r r r

r r

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Ejemplo-2: Permutaciones con RepeticiónSean los elementos aa - bbb - cc - d, para permutar con

repetición, tendremos 8 elementos repartidos así: dos del primero, tres del segundo, dos del tercero y uno del cuarto, entonces las permutaciones se presentarán así:

y la fórmula respectiva será: 1,2,3,2:8rP

88! 8 7 6 5 4 3 2 1:2,3,2,1

2!3!2! 2 1 3 2 1 2 1P r

16801,2,3,2:8

rP

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Ejemplo-3: Permutaciones con Repetición¿De cuántas maneras distribuiríamos 3 monedas

de S/.5 y 4 monedas de S/. 10 en una misma línea?

La fórmula respectiva será:

77! 7 6 5 4 3 2 1:3,43!4! 3 2 1 4 3 2 1

P r

354,3:7

rP

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VariacionesLas variaciones corresponden a aquellas permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad.

Dado un conjunto de n elementos diferentes, se denominará permutación parcial o variaciones, de subconjunto de r elementos (r<n) pertenecientes al conjunto dado.

!

!nr

nV

n r

La formula será:

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Ejemplo-3: VariacionesDetermine el número de variaciones posibles de las letras A, B, C, D; donde las cuatro letras o elementos (n) vamos a permutar de cada 2 (r).

La fórmula respectiva será:

42

4! 4 3 2 112

4 2 ! 2 1V

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Ejemplo-4: Variaciones¿Cuántas cifras diferentes de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos del 0 al 9, usándolos una vez?

La fórmula respectiva será:

104

10!

10 4 !V

104

10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 15040

10 4 ! 6 5 4 3 2 1V

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CombinacionesSon aquellas agrupaciones en las que no interesa el orden de la aparición de elementos del conjunto.

Será lo mismo AB que BA. Cuando se toma la totalidad de elementos, solamente se puede hacer una combinación.

La fórmula será:

Se lee de la siguiente manera, la combinación de n elementos tomados de r en r.

!

! !nr

n nCr n rr

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Ejemplo 5: CombinacionesLa combinación de estas 4 letras tomadas de 2 en 2 será:

!

! !nr

n nCr n rr

42

4 4! 62! 4 2 !2

C