Análisis combinatorioEnviado por WALTER COSME FLORIAN CONTRERAS

1. Capacidades 2. Conceptos básicos 3. 4. Combinación 5. Problemas resueltos 6. Comprueba tus saberes Desafíos

Capacidades1. Comprende los principios fundamentales del análisis combinatorio2. Formula y resuelve problemas de análisis combinatorio que se presentan en su vida cotidiana3. Aplica los métodos del conteo para resolver problemas diversos de numeración

Conceptos básicosAnálisis Combinatorio : Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos , placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va ha servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidadesPrincipios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado.El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.Ejemplo :1. Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de

prendas de vestir2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros3. Contestar 7 preguntas de un examen de 104. Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión5. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas6. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales

I) Principio de multiplicación :Si un evento o suceso "A" puede ocurrir , en forma independiente, de "m" maneras diferentes y otro suceso de "n" maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es "m . n"Ejemplo 1:En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos : CRISTAL ( C ), BOYS ( B) ,ESTUDIANTES ( E ), UNIVERSITARIO (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?Solución :

METODO 1: utilizando el diagrama del árbol

1er lugar 2do lugar 1o 2oPara ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superiorExisten 12 maneras diferentes en que estos equipos se pueden ubicarse en el primer y segundo lugar

METODO 2: Utilizando el principio de multiplicación

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"1o 2o 4 x 3# maneras = 12Ejemplo 2:¿Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto)Solución :Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superiorletras Dígitos 26 x 25 x 10 x 9 x 8# placas = 468 000 II) Principio de adición :Supongamos que un evento A se puede realizar de "m" maneras y otro evento B se puede realizar de "n" maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇ B = Æ ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m + n) maneras.Ejemplo 1:Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Breña.¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?Solución :

Por el principio de adición:

Victoria ó Breña6 formas + 8 formas = 14 formasEjemplo 2:Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?Solución :

Aplicando el principio de adición se tiene:

Bote , lancha , deslizador3 ó 2 ó 1# maneras = 3 + 2 + 1 = 6

 MÉTODOS DE CONTEOEn diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición.Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos : Permutación, Variación y CombinaciónPERMUTACIÓNEs un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación . Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.Ejemplo :Determinar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dosSolución :Método 1:

Sea el conjunto : {a, b, c} , entonces los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cb Número de arreglos = 6

Método 2: (principio de multiplicación) Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" # arreglos = 3 x 2 = 6 Teorema 1: (Permutación lineal con elementos diferentes)

"El número de permutaciones de "n" objetos diferentes, tomados en grupos de k elementos (siendo k £ n)

y denotado por  , estará dado por:Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior; donde: n, k e N y 0 £ k £ n Estas permutaciones son llamados lineales , porque los objetos son ordenados en una línea recta de referenciaEjemplo:En una carrera de 400metros participan 12 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro , plata y bronce?Solución :Método 1 : Empleando el principio de multiplicaciónOro Plata BroncePara ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior  10 x 9 x 8# maneras = 720 Método 2: (usando la fórmula de permutación lineal)

Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10 atletas (n = 10)

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" Teorema 2: (Permutación lineal con elementos repetidos)El número de permutaciones (P) distintas de "n" elementos tomados de "n" en "n" en donde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces:Ejemplo :¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras? Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" Solución:

Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados) , n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1( un rombo), luego:

=  PERMUTACIÓN CIRCULARSon agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con "n" objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto.El número de permutaciones circulares será:

Ejemplo1 :¿De cuántas formas diferentes puede sentarse al rededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos?Solución :

Se trata de una permutación circular : 

Ejemplo 2:¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la siguiente figura? Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" Solución :

Este problema se puede resolver como la conjunción de dos eventos: primero ubico una cifra en el centro (7 posibilidades) y segundo las otras 6 cifras, las cuales por ordenarse en una circunferencia se podrán permutar de (6 –1 )! Formas , por lo tanto:

# de maneras = 7 x 5! = 7 x 120 = 840

COMBINACIÓNEs cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicaciónEl número de combinaciones de "n" elementos diferentes tomados de "k" en "k" , con k£ n ,está dada por:

Ejemplo 1:Si disponemos de 5 puntos no colineales ,¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar?Solución :

Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 8 puntos (n = 5). Además no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinación.

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" Ejemplo 2:Una señora tiene 3 frutas : manzana, fresa y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas ? Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"  Fresa (F) , Piña (P) , Manzana (M)Solución:Método 1 : (en forma gráfica)

Cuando se escoge una fruta de las tres, los sabores son 3: F, P ,M Cuando se escoge 2 de las tres frutas, los sabores son 3: FP, FM, PM Cuando se escoge las 3 frutas los sabores son 1: FPM

Total de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7Método 2 : (Empleando combinaciones)

Se puede escoger una fruta de las tres ó 2 frutas de las tres ó las tres frutas de las tres, además en este caso no importa el orden; por lo tanto usamos el principio de adición aplicado a la combinación:

# maneras diferentes =

# maneras diferentes =Total de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7Ejemplo 3:Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos.¿De cuantas maneras podrá seleccionarse?Solución:

1 Seleccionamos 4 físicos entre 8 en 

formas

2o Seleccionamos 3 matemáticos entre 6 en 

Aplico el principio de multiplicación

 x  = 70 x 20 = 1400 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"

PROBLEMAS RESUELTOS1. ¿Cuántos numerales de 2 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 3 , 5 y 7?

A) 16 B) 12 C) 10 D) 14 e)8

Solución :MÉTODO 1 : ( mediante arreglo numérico)

Con los dígitos dados, formamos los siguientes números:

Respuesta : se pueden formar 16 numeralesMÉTODO 2 : ( mediante la aplicación de los principios de análisis combinatorio)

La forma general del numeral pedido es : 

Los valores que pueden tomar los dígitos a y b en el numeral 

son:

cantidad de números = 4 x 4 = 161. Determinar cuántos numerales de 3 cifras existen en el sistema de base seis.

A) 160 B) 12 0 C) 100 D) 140 e) 180

Solución :

La forma general del numeral es 

, hallaremos las posibilidades que pueden tomar a, b y c en base seis y luego multiplicamos el número de las posibilidadesPara ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior5 x 6 x 6 = 180 numeralesRespuesta : se pueden formar 180 numerales

1. ¿Cuántos numerales de la forma: 

existen?

A) 260 B) 2 00 C) 300 D) 240 e) 180

Solución: En estos tipos de problemas hay que tener en cuenta que cuando una variable representa una cifra, y

ésta se repite en el numeral, entonces a dicha variable se le considera una sola vez al calcular la cantidad de numerales.

En nuestro problema, con la indicación anterior, tendremos:

cantidad de numerales = 5 x 5 x 8 = 200Respuesta : se pueden formar 200 numerales1. ¿Cuántos numerales de tres cifras diferentes existen en el sistema de base decimal?

A) 900 B) 780 C) 800 D) 648 e) 724

Solución:

La forma general del numeral es 

, hallaremos las posibilidades que pueden tomar a, b y c en base diez y luego multiplicamos el número de las posibilidades, teniendo en cuenta que las tres cifras deben ser diferentesa b cPara ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

# numerales = 9 x 9 x 8 = 648Respuesta : se pueden formar 648 numerales

1. ¿Cuántos numerales de la forma: 

existen?

A) 9 B) 18 C) 26 D) 48 e) 24

Solución: Los valores de "a" deben se factores de 14 y además menores que 9; luego los valores posibles de "a"

solo pueden ser : 1,2,7 ; es decir hay 3 posibilidades. Los valores de "b" son múltiplos de 3, menores que 9; luego los valores de "b" solo pueden ser: 0,3 y 6; es

decir hay 3 posibilidades

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"

 cantidad de # = 3 x 3 = 9 númerosRespuesta : se pueden formar 9 números1. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos un 6 en su escritura?

A) 196 B) 188 C) 252 D) 480 e) 248

Solución:

a.

b. Podemos representar el procedimiento de solución mediante un diagrama de Venn:

# de cifras con por lo menos un 6 = # de tres cifras - # de tres cifras que no usan el 6............ (1)

c. Del gráfico anterior , se deduce que:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superiora b c

cantidad de #s = 9 x 10 x 10 = 900d. Calculamos el número de tres cifras que existen:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superiora b c

cantidad de #s = 8 x 9 x 9 = 648e. Cálculo del número de 3 cifras que no usan cifra "6"

f. Remplazando los valores obtenidos en los pasos "c" y "d" en la ecuación (1) de l paso (b), se tiene:

X = 900 – 648 = 252Respuesta : se pueden formar 252 números7) De un grupo de 5 estudiantes, cuantos grupos diferentes de tres alumnos podrían formarse.

A) 16 B) 10 C) 12 D) 15 e) 18

Solución :METODO 1: Por conteo directo

Sean A, B, C, D y E los alumnos, los diferentes grupos de 3 serían : ABC, ABD, ABE, ACD, ACE , ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

Respuesta : se pueden formar 10 grupos diferentesMETODO 2: Por fórmula

Como el grupo de alumnos ABC, CBA y BAC son el mismo grupo de alumnos, entonces no interesa el orden de los elementos y se trata de una combinación:

Respuesta : se pueden formar 10 grupos diferentes8. Con 7 sumandos diferentes ¿Cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrán efectuar?

A) 56 B) 35 C) 42 D) 64 e) 70

Solución : En la suma no importa el orden que se dispongan los sumandos , por lo tanto se trata de una

combinación; además para cada suma se escogen grupos de 4 sumandos de los siete de que se disponen.

Respuesta : se pueden formar 35 sumas diferentes8. ¿De cuántas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos 3 hombres y 4 mujeres, si estas

deben ocupar los lugares impares?

A) 160 B) 135 C) 144 D) 14 e) 170

Solución : Representemos gráficamente el problema, y luego emplearemos el principio de multiplicación

Posibilidades4 3 3 2 2 1 1

# de formas = 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x1 =144Respuesta : se pueden ubicar de144 formar diferentes8. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes y mayores que 5 000 , se pueden formar con los siguientes

dígitos : 1 , 3, 4 , 6 , 9?

A) 52 B) 48 C) 27 D) 96 e) 49

Solución :

Sea : 

el número, entonces se tiene:

a b c d

# de números = 2 x 4 x 3 x 2 = 48Respuesta : se pueden formar 48 números de cuatro cifras diferentes8. 9. Un grupo de 16 personas desean escoger entre sus miembros un comité de 3 personas que los

represente. ¿De cuantas formas distintas se puede seleccionar dicho comité?

A) 1120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440

Solución : Para formar un comité , no interesa el orden en que se dispongan las tres personas por lo que los

posibles comités serán combinaciones de 16 personas tomadas en grupos de 3, así

Respuesta : se puede seleccionar el comité de 560 formas diferentes8. A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 10 jugadores,¿cuántas partidas se jugará si se juega

todos contra todos?

A) 1120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440

Solución : Si "A" juega con "B" es lo mismo decir que "B" juega con "A", la partida es la misma, no interesa el orden

de sus elementos, pero es una agrupación de 2 en 2, de un total de 10 elementos. Por lo tanto se trata de una combinación

Respuesta : se jugarán 45 partidas8. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a D sin retroceder?

A) 24 B) 48 C) 36 D) 18 e) 30

Solución : Identificamos con un nombre a cada camino diferente:

Analizamos por tramos:

I. ABD : para llegar a B, se puede utilizar cualquiera de los 3 caminos(1, 2, 3) señalados. De B a D se puede ir por el camino z, luego habría 3 formas diferentes de llegar: 1z,2z,3z; por lo tanto en el tramo ABD hay 3 formas

II. ACD: para llegar a C se puede utilizar un camino para llegar a B (1,2,3) y luego otro camino para llegar a C(4,5,6). Que aplicando el principio de multiplicación se tendría:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superiorA B C# maneras de llegar de A a C = 3 x 3 = 9pasando por B Pero también hay dos caminos directos para llegar a C (x,y); por lo tanto el número total de caminos para llegar de A a C es : 9 + 2 = 11 formas; y de C a D hay 3 formas (7,8,9)Finalmente se tiene:

De A a C y de C a D  A a D11formas 3formas 11 x 3 formas# total de formas diferentes = 33 formas

En conclusión los caminos de (I) y (II) , pueden ser ABD ó ACD = 3 + 33 = 36 formas

Respuesta : 36 maneras diferentes8. En un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas.¿De

cuántas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas?

A) 64 B) 55 C) 50 D) 110 e) 120

Solución : El estudiante puede responder tres de las cinco primeras preguntas y 4 de las últimas 5 preguntas; ó

cuatro de las primeras cinco preguntas y 3 de las últimas ; ó cinco de las primeras cinco y dos de las últimas. Como no interesa el orden se trata de una combinación, por lo tanto tenemos:

Respuesta : 110 maneras diferentes8.

A) 2520 B) 1550 C) 1850 D) 1100 e) 1200

9.[8.] Solución :10. Método 1:(usando el principio de multiplicación)11. Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior12.   #maneras = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2 52013. Método 2:(usando permutación)

14.

15. El servicio de inteligencia de cierto país, desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo quiere utilizar las siguientes letras: V, A, M , P ,I, R, O.¿Cuántas palabras claves de cinco letras pueden formarse, si ninguna letra puede repetirse?

16. Un hombre tiene 9 bonos financieros de 9 compañías distintas, y piensa regalarlos a sus 3 hijos de la siguiente manera: a su hijo mayor, 4 ; a su segundo hijo, 3 ; y al menor 2. ¿De cuantas formas puede repartir los bonos?

A) 1640 B) 1360 C) 680 D) 1100 e) 1120

Solución : Se trata de una permutación con repetición donde intervienen todos los elementos. Hay 4! Maneras de

arreglar los bonos para su hijo mayor; 3! Formas para arreglar los bonos para el segundo hijo y 2! Formas para el hijo menor. Luego se tiene:

Respuesta : Los bonos se pueden repartir de 1360 formas8. La selección peruana de voleibol está conformado por 12 chicas. ¿De cuántas formas se puede

conformar un equipo de 6 si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar en el mismo equipo?

A)  B)  C)  D)  e) 

Solución : La delegación de 6 chicas se puede presentar en los siguientes casos:

1er caso : Si no figura ninguna de las dos chicas que se niegan a jugar juntas, las seis chicas deben escogerse de entre10

# de equipos = 2do caso : Si figura una de las dos chicas que se niegan a jugar juntas, las otras cinco chicas deben escogerse de entre las10 restantes

# de equipos = 

# total de equipos = 

Respuesta : El número total de equipos que se pueden formar es 8. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de 5 asientos, si

3 están en espera?

A) 1640 B) 1344 C) 680 D) 1124 e) 1120

Solución : El número de grupos de 5 personas que se ubican en la mesa circular es:

El número de formas en que cada grupo de 5 personas se pueden sentar en la mesa es:

(5 – 1)! =4! = 24

# total de formas = 56 x 24 = 1344Respuesta : 1344 maneras diferentes8. La tripulación de un bote es de 10 hombres, cuatro solamente pueden remar a babor y tres a estribor.

¿De cuántas formas se pueden distribuirse para remar?, sabiendo que cinco hombres deben ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote?

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superiorPROABabor EstriborPOPA

A) 3x (5!)2 B) 6x (4!)2 C) 3! x (5!)2 D) 12 x (3!)2 e) 6x (5!) x (4!)

Solución : Sean {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j }los tripulantes del bote de los cuales: a, b, c y d pueden remar sólo a babor y

h, i, y j pueden remar sólo a estribor. Además cinco hombres están ubicados a cada lado del bote.

a, b, c y d pueden ubicarse a babor de 

formas distintas ocupando 4 lugares (observar que en este problema el orden es importante). Los lugares que sobran a babor pueden ser ocupados pord, e ó f, es decir 3 formas distintas. Luego los cinco lugares a babor pueden ser ocupados de:

. 3 formas o maneras distintas.

A estribor h, i, y j pueden acomodarse de  formas diferentes ocupando 3 lugares; y sobrando 2 lugares. Uno de los lugares que sobra puede ser ocupado de 2 formas diferentes, pues uno de los tripulantes e, f ó g ya está ubicado a babor, quedando (3 – 1) de ellos para ocupar aquel cuarto lugar. El quinto lugar a estribor puede ser ocupado de (3 – 2 ) sola forma, por el que queda de los dos anteriores.

Por tanto los cinco lugares a estribor pueden ser ocupados de :  maneras diferentes. Como se trata de un suceso simultaneo , aplicamos el principio de multiplicación para los dos resultados

anteriores:

# de formas diferentes =  . 3 x  = 

Respuesta :  formas diferentes8. Señale cuántos productos diferentes, cada uno de tres factores primos, podrá obtenerse con los cinco

factores primos : a, b, c, d, e ( a < b < c < d< e)

A) 40 B) 35 C) 30 D) 24 e) 56

Solución:Método 1 : (Por conteo directo)Se deben formar números de la forma P = x . y . z ; donde x, y, z son números primosCASO 1: Losa tres factores son iguales ; es decir : x = y = z , los productos serán:P1 = a a a ; P2 = b b b ; P3 = c c c ; P4 = d d d ; P5 = e e e

Son 5 casos posibles CASO 2: Dos factores son iguales y uno es diferente ; es decir : x = y ; con z diferente , los productos serán:P6 = a a b ; P7 = a a c ; P8 = a a d ; P9 = a a e ; P10 = b b aP11 = b b c ; P12 = b b d ; P13 = b b e ; P14 = c c a ; P15 = c c bP16 = c c d ; P17 = c c e ; P18 = d d a ; P19 = d d b ; P20 = d d cP21 = d d e ; P22 = e e a ; P23 = e e b ; P24 = e e c ; P25 = e e d

Son 20 casos posibles CASO : Los 3 factores son diferentes ; es decir : x ¹ y ¹ z ;, los productos serán:

P26 = a b c ; P27 = a b d ; P28 = a b e ; P29 = a c d ; P30 = a c eP31 = a d e ; P32 = b c d ; P33 = b c e ; P34 = b d e ; P35 = c d e

Son 10 casos posibles ( )Finalmente se tendrá : 5 + 20 + 10 = 35 formas posiblesMétodo 2 : (Aplicando combinación con repetición)

En este caso aplicamos la fórmula: 

Con n = 5 y k = 3 , es decir: Respuesta : 35 formas diferentes

COMPRUEBA TUS SABERES1.

A) 20 B) 56 C) 28

D) 14 E) 16

2.[1.] ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un edificio?

A) 200 B) 256 C) 240

D) 140 E) 480

3.[2.] Las ciudades A y B están unidas por 6 caminos diferentes, B y C por 10 caminos diferentes y las ciudades C y D por 8 caminos diferentes.¿De cuántas maneras diferentes una persona puede viajar de A a D pasando por B y C?

A) 203x103 B)262x102 C) 263x103

D)26x103 E) 26x25x24

4.[3.] La municipalidad de Lima a ordenado que los moto taxis sean amarillos y tengan las placas 6 caracteres (3 letras seguidas de 3 números). ¿Cuántas placas diferentes se podrán formar?(considerar 26 letras del alfabeto)

A) 20 B) 56 C) 28

D) 14 E) 36

5.[4.] ¿Cuántos números de 3 cifras que sean impares, se pueden escribir con los dígitos: 4, 5, 7, 9 y 8, si no se pueden repetir los dígitos?

6. De seis números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcular el número de formas que se pueden multiplicar, de tal

A) 60 B) 96 C) 128

D) 140 E) 170

7.[5.] manera que el producto sea positivo

A) 16 B) 56 C) 28

D) 64 E) 36

8.[6.] El equipo de fulbito de un salón de clase debe escoger 2 madrinas, una para el equipo y otra para las camisetas; si en total hay 8 candidatas. ¿De cuántas maneras se pueden escoger las 2 madrinas?

A) 630 B) 210 C) 1080

D) 108 E) 1260

9.[7.] Se tiene una urna con 9 bolas numeradas. Se quiere saber, ¿de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 4?

A) 20 B) 50 C) 100

D) 40 E) 80

10.[8.] ¿Cuántos numerales, en el sistema quinario, de la forma ?

A) 2520 B) 5040 C) 1440

D) 1125 E) 800

11.[9.] ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir los 10 miembros de un club en tres comités de 5, 3 y 2 miembros respectivamente?

12. En una despedida de soltera, a la que asistieron sólo chicas todas bailaron entre si, al menos una vez. Si en total se lograron conformar 28 parejas diferentes, el número de chicas que participaron fue....?

A) 16 B) 12 C) 8

D) 4 E) 36

DESAFIOSPROBLEMAS DE NIVEL I 1.

A) 160 B) 210 C) 128

D) 144 E) 105

2.[1.] Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. ¿De cuántas maneras diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos?

A) 60 B) 96 C) 128

D) 140 E) 170

3.[2.] ¿Cuántas palabras diferentes de tres letras, aunque carezcan de significado, se puede formar usando las letras de la palabra PELON (sin repetir las letras)

4. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse.¿De

A) 160 B) 72 C) 128

D) 144 E) 64

5.[3.] cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las cuatro chicas quieren estar juntas?

A) 30 B) 36 C) 28

D) 40 E) 31

6.[4.] Tienes 5 libros,¿de cuántas maneras diferentes puedes escoger uno o más de dichos libros?a. Los dígitos no pueden repetirseb. Si se permite la repetición

A) 20 y 25 B) 18 y 36 C) 22 y28

D) 20 y 40 E) 16 y 32

7.[5.] ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos: 1, 2 , 3, 4 y 5, si:

A) 56 B)64 C) 36

D) 44 E) 128

8.[6.] Luis tiene 10 amigos de los cuales invitará a su matrimonio solamente a 7. ¿De cuántas maneras puede hacer la invitación si dos de sus amigos están enemistados y no pueden asistir juntos?

A) 560 B) 390 C) 120

D) 140 E) 280

9.[7.] En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas. De cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres?

A) 60 B) 56 C) 128

D) 40 E) 70

10.[8.] Una persona tiene o billetes de valores diferentes.¿Cuántas sumas distintas de dinero se puede formar tomados de 3 en 3?

?

A) 108 B) 144 C) 128

D) 192 E) 72

11.[9.] ¿Cuántos numerales del sistema octavario (base 8 ) existen de la forma:

A) 108 B) 491 C) 528

D) 392 E) 372

12.[10.]   PROBLEMAS DE NIVEL II13. ¿Cuántos números múltiplos de 5, menores que 4000 y de cifras diferentes se pueden formar con los

dígitos del 0 al 9?14. Hay 5 candidatos para presidente de un

A) 108 B) 64 C) 128

D) 72 E) 90

15.[11.] club, 6 para vicepresidente y 3 para secretario.¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres cargos?

A) 10 B) 4 C) 8

D) 12 E) 2

16.[12.] ¿Cuántas combinaciones pueden hacerse con las letras : a, b, c, d y e tomadas de cuatro en cuatro, entrando "a" en todas ellas?

A)  B)  C) 

D)  E) 

17.[13.] Una combi posee 21 asientos, 4 filas de 4 asientos cada uno con un pasillo al medio y al final 5 asientos juntos. Se desea ubicar 13 pasajeros de los cuales 2 siempre van al lado de la ventana y 4 juntos al pasillo central.¿De cuántas formas se le puede ubicar, si hay 10 asientos con ventana disponibles?

18. A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan estrechándose las manos,

A) 60 B) 435 C) 870

D) 120 E) 205

19.[14.] suponiendo que cada uno es cortes con cada uno de los demás.¿Cuántos apretones de manos hubieron?

A) 1732 B) 1525 C) 1840

D) 960 E) 1205

20.[15.] En el sistema de base "5". ¿Cuántos números de cinco cifras presentan algún 4?

A) 160 B) 145 C) 128

D) 125 E) 105

21.[16.] En el curso de matemáticas hay 4 profesores y 5 profesoras. Se quiere formar comisiones de 4 personas, sabiendo que los profesores Martínez y Caballero no pueden estar en la misma comisión a menos que la comisión esté formada por lo menos por una mujer. ¿Cuál es el máximo número de comisiones que se puede formar?

A) 108 B) 140 C) 80

D) 124 E) 120

22.[17.] En una empresa trabajan 5 mecánicos. 4 Físicos y 2 ingenieros Geólogos . Se desea formar una comisión de 5 personas en la cual haya siempre un Físico. ¿De cuántas formas se puede seleccionar dicha comisión?

A) 138 B) 340 C) 280

D) 454 E) 180

23.[18.] ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras: 1, 2, 4, 6, 7 y 8; de tal manera que sean menores que 5 000 y no permitiéndose repeticiones de las cifras?

A) 1956 B) 2496 C) 1080

D) 1244 E) 1200

24.[19.] Se tienen 6 bolitas marcadas con los dígitos :1, 2, 3, 4, 5 y 6 .¿Cuántos números se pueden obtener?

25. Tengo 15 sillas de las cuales 8 son defectuosas. ¿De cuántas maneras podemos escoger 5 sillas de las cuales por lo menos 4 sean defectuosas?

A) 490 B) 560 C) 546

D) 480 E) 520

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos13/analisco/analisco.shtml#ixzz3kcRP98po

Definición de Método Inductivo General

 

M

 - Lesmi Santaella

El método inductivo es aquel método científico que que alcanza conclusiones generales partiendo de hipótesis o antecedentes en particular. Fuentes expresan que este método originalmente puede ser asociado a estudios de Francis Bacon a inicios del siglo XVII. El método inductivo suele basarse en la observación y la experimentación de hechos y acciones concretas para así poder llegar a una resolución o conclusión general sobre estos; es decir en este proceso se comienza por los datos y finaliza llegan a una teoría, por lo tanto se puede decir que asciende de lo particular a lo general. En el método inductivo se exponen leyes generales acerca del comportamiento o la conducta de los objeto partiendo específicamente de la observación de casos particulares que se producen durante el experimento.

La metodología utilizada para la realización de este proceso puede resumirse en cuatro pasos, los cuales comprenden la observación de los hechos o acciones y registro de ellos, la indagación científica da inicio siempre partiendo de un fenómeno en particular, que no posee una explicación propia dentro de los posibles conocimientos científicos existentes en dado momento; luego viene la elaboración de una hipótesis o el análisis de lo observado anteriormente, aquí se forma una posible explicación y posible definición de lo observado; a continuación en la tercera parte del proceso se presenta la deducción de predicciones o la clasificación de los fundamentos anteriormente obtenidos, estas predicciones se formulan a partir de la hipótesis; y finalmente el cuarto paso se pone en marcha el experimento, y encontramos la representación de los enunciado universales derivados del proceso de investigación que se realizo.

Sugiere un concepto

Búsquedas de esta Página

1. metodo inductivo2. significado de inductivo3. que es metodo inductivo4. Definicion De Metodo Inductivo5. que es el metodo inductivo

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Sumatoria

La   sumatoria o sumatorio   se emplea para representar la

suma de muchos o inf ini tos sumandos.

La expresión se lee: " sumatoria   de X i ,   donde i toma los

valores de 1 a n " .

La operación   sumatoria   se expresa con la le t ra gr iegra

s igma mayúscula   Σ .

i es e l valor inical l lamado l ímite infer ior .

n es e l valor f inal l lamado l í imite superior .

Si la sumatoria abarca la total idad de los valores , su

expresión se puede s implif icar :

Es frecuente e l uso del operador   sumatoria   en

Estadís t ica .

La   suma de las frecuencias absolutas   se puede expresar

como:

1.  

2.  

Y la   media   como:

1.

2.

Ejemplo

En un test real izado a un grupo de 42 personas se han

obtenido las puntuaciones que muestra la tabla .   Calcula la

media .

xi fi xi · fi

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

Σxi = 42 Σxi · fi = 1 820

Propiedades de las sumatorias

La suma del producto de una constante por una variable ,

es igual a k veces la sumatoria de la var iable .

La sumatoria hasta N de una constante , es igual a N veces

la constante .

La sumatoria de una suma es igual a la suma de las

sumatorias de cada término.

La sumatoria de un producto no es igual a l producto de

las sumatorias de cada término.

La sumatoria de los cuadrados de los valores de una

variable no es igual a la sumatoria de la var iable e levado al

cuadrado.

MATEMATICA ELEMENTAL        

 Teoría Combinatoria o Análisis Combinatorio

Permutaciones

 

En este tema vamos a desarrollar los conceptos reseñados en la Introducción

En síntesis: Lo que se ha pretendido en la introducción  es conseguir ordenar y contar las distintas agrupaciones que puedan hacerse con los elementos de un conjunto, abstracción hecha de su naturaleza.

Desde un punto de vista general, los diccionarios y la enciclopedia nos han ayudado poco para saber de qué trataba la combinatoria o análisis combinatorio. En ese proceso buscador y con la ayuda del libro de matemáticas nos hemos encontrado con la clasificación:

CUADRO SINÓPTICO

 

Variaciones

Concepto SímbolosOrdenación Recuento FórmulasEjemplos y aplicaciones

Ordinaria Permutaciones

Concepto SímbolosOrdenación Recuento FórmulasEjemplos y aplicaciones

Teoría

Combinatoria

 o

Combinaciones

Concepto SímbolosOrdenación Recuento FórmulasEjemplos y aplicaciones

Análisis

Combinatorio Variaciones

Concepto SímbolosOrdenación Recuento FórmulasEjemplos y aplicaciones

Con repetición

Permutaciones

Concepto SímbolosOrdenación Recuento FórmulasEjemplos y aplicaciones

Combinaciones

Concepto SímbolosOrdenación Recuento FórmulasEjemplos y aplicacione

s

  

NOTA: Obsérvese que el proceso para el estudio de las distintos conceptos es el mismo consistente en distinguir en cada uno:Concepto, Símbolos, Ordenación, Recuento, Fórmulas, Ejemplos y aplicaciones. Sistematizar es una operación sumamente rentable en el estudio

Como puede apreciarse los distintos tipos de ordenaciones que podemos aplicar a un conjunto son las mismas tanto en la combinatoria ordinaria como con repetición; la diferencia esencial de un tipo u otro consiste en que en la primera, los elementos que forman la ordenación son distintos entre ellos y en la segunda los elementos pueden repetirse.

La estrategia a seguir consistirá en ir desgranando cada tipo de ordenación considerando uno u otro caso; esto es: que sus elementos sean distintos o se repitan. En un caso tendremos la Combinatoria ordinaria y en el otro caso la Combinatoria con repetición.

 Los tres tipos de ordenaciones que vamos a estudiar son:

* Variaciones

* Permutaciones de forma general y como caso particular de las variaciones.                  

* Combinaciones.

  

De todas ellas intentaremos conocer:

-  Concepto

-  Ordenación

-  Recuento

-  Fórmulas usuales

-  Campo de aplicación

-  Ejemplos y aplicaciones

 

Permutaciones

Seguimos con el esquema adoptado en el estudio de la matemática elemental.

Para penetrar en el concepto “Permutaciones” y seguir después en su desarrollo conceptual, propiedades y aplicaciones, nos introduciremos en el tema a partir de lo que dicen los diccionarios: DRAE, CIRLEC, DIMAT y un libro de matemáticas.

(Recordemos: DRAE es el diccionario de la Real Academia; CIRLEC es una enciclopedia y DIMAT un diccionario de Matemáticas).

Analizaremos sus contenidos, lo semejante, lo distinto, lo olvidado y sus imprecisiones. Adquirido el concepto de variación lo que viene después es consecuencia de ello y por tanto generable por cualquier lector perspicaz.

 

Permutaciones: Concepto.

 

No aparece tal concepto en el DRAE. Sí aparece:

Permutación: f. Acción y efecto de permutar.

Permutar: 3. Variar la disposición u orden en que estaban dos o más cosas.

Las acepciones 1 y 2 del Diccionario no guardan relación con el sentido matemático del término. La primera se refiere a la permuta de cosas y la segunda, de cargos equivalentes entre funcionarios, por ello solo he trascrito la acepción 3,.

 

Probemos con la enciclopedia CIRLEC:

Permutacion: MAT.  Intercambio de los elementos de una serie.| Dado un conjunto de m elementos, se llama _ a cada uno de los distintos grupos de m elementos que pueden formarse ordenando éstos  de todas las maneras posibles. Si los m elementos son distintos entre sí, el número de sus _, Pm, es igual al producto de los m primeros números naturales: Pm = 1.2.3....(m-1)m = m!      (léase m factorial o factorial de m). Ej.: las _ de 3 elementos distintos son P3 = 3! = 3.2.1 = 6 ( si los elementos son letras a, b, c, se tendrá: abc, acb, bac, bca, cab, cba). Si entre los m elementos, uno está r veces repetido, otro s veces ..... y otro t veces, el número de _ llamadas _

con repetición es igual a           n!/r! + s! +....+t!  siendo r + s + .....+ t = m

Sin entrar en el fondo de la definición, que se hará más adelante parece conveniente hacer unas precisiones:

a)  No simboliza las permutaciones con repetición. Sí lo hace con las permutaciones sin repetición u ordinarias ¿Por qué no simboliza las permutaciones con repetición? Pregunta que cada cual puede responderse a su satisfacción.

b) Al expresar la fórmula por la que calcula el nº de permutaciones Pm, lo hace como producto de números naturales crecientes. Sin embargo, al aplicar la fórmula para el cálculo, lo hace en orden decreciente. Es cierto que el producto de números naturales es conmutativo y que, el factorial de un número, puede expresarse y calcularse en orden creciente o decreciente, pero sería más pedagógico mantener el esquema contenido en la definición.

c)   En el ejemplo, da a entender que el cálculo del número de permutaciones solo se puede hacer con números y no con las letras que hay que ordenarlas para contarlas. Se ve que el número de permutaciones de las letras es 6 = 3! por ser 3 el número de letras que se permutan. Lo mismo manera que se permutan las tres letras a, b, c, se pueden permutar los números 1, 2 , 3.  

d) Dice: "Intercambio de los elementos de una serie" ¿Si no forman parte de una serie no se pueden permutar?. Es curioso que en la definición arranca de un conjunto y no de una serie.

¿Qué dice sobre el asunto el diccionario especializado DICMAT?

Permutación: Cambio del orden de los elementos de una sucesión entre sí. 

Tal definición no parece muy modélica tratándose de un diccionario de matemáticas.

 

¿Qué dice un libro de matemáticas al respecto?

Permutaciones: Definición y número:  Permutaciones n-arias son las variaciones de orden n formadas con n objetos; luego designando su número por Pn se tiene:

Pn = Vn,n = n(n - 1)(n - 2).....3.2.1 = n!

 

Reunamos todo lo dicho en la siguiente matriz:

 

Fuente TextoDRAE No dice nada específico aunque la acepción 3 de

Permutar dice: Variar la disposición u orden en que estaban dos o más cosas.

CIRLEC Intercambio de los elementos de una serie.| Dado un conjunto de n elementos, se llama _ a cada uno de los distintos grupos de n elementos que pueden formarse ordenando éstos  de todas las maneras posibles. Si los nelementos son distintos entre sí, el número de sus _, Pn, es igual al producto de los n primeros números naturales: Pn =1.2.3....(n-1)n = n!      (léase n factorial o factorial de n). Ej.: las _ de 3 elementos distintos son P3 = 3! = 3.2.1 = 6 (si los elementos son letras a, b, c, se tendrá: abc, acb, bac, bca, cab, cba). Si entre los n elementos, uno está r veces repetido, otro s veces ..... y otro t veces, el número de _ llamadas _ con repetición es igual a:

n!/r! + s! +....+t!  siendo r + s + .....+ t = n

DICMAT Permutación: Cambio del orden de los elementos de una sucesión entre sí.

LIBRO DE MATEMA

TICAS

Permutaciones: Definición y número:  Permutaciones n-arias  son las variaciones de orden n formadas con nobjetos; luego designando su número por Pn se tiene:

Pn = Vn,n = n(n - 1)(n - 2).....3.2.1 = n!

 

¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DRAE? :

Las permutaciones guardan relación  con la disposición u orden en que están dos o más cosas.

 

¿Qué conceptos se barajan en lo que dice CIRLEC?:

-   Intercambio entre los elementos de una serie

-   Disponer de un conjunto de n elementos. (Nada se dice      acerca de su naturaleza)

-  Formar grupos distintos con esos n elementos de todas las maneras posibles.

- Distingue entre permutaciones y permutaciones con       repetición

-   Da fórmulas de cálculo y expone unos ejemplos

 

NOTA: Como queda dicho más arriba, no usa en la definición el concepto de serie y sí el de conjunto. Hubiera quedado, a nuestro parecer, más coherente decir: "Intercambio entre los elementos de un conjunto"  

 

¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DIMAT? :

Las permutaciones guardan relación  con el cambio del orden de los elementos de una sucesión entre sí. 

 

¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el libro de matemáticas?

Las permutaciones las considera como variaciones cuando entran en cada ordenación todos los elementos del conjunto ordenado. De acuerdo con eso, mutatis mutandis, se puede decir:

- Llama permutación de orden n a todo conjunto ordenado formado por los n elementos del conjunto.

- Se conviene en considerar distintas las permutaciones si difieren en el orden de colocación.

  

Permutaciones: Concepto

Como síntesis de todo los expresado podemos definir Así: Se denominan Permutaciones de un conjunto de n elementos al conjunto de todas las ordenaciones que podemos formar con todos los elementos dados de modo que, entrando todos los elementos del conjunto en cada ordenación, se diferencie una de otra en el orden de colocación de sus elementos.

También se pueden definir como las variaciones de orden n de un conjunto de n elementos. (Enlace)

Se pueden clasificar en: 

Permutaciones ordinarias si los elementos de toda ordenación son distintos

Permutaciones con repetición si alguno de los elementos de toda ordenación pueden repetirse o no.

  

¿Cómo se simbolizan las permutaciones?

El símbolo  Pn  expresa las permutaciones ordinarias de un conjunto con n elementos.

El símbolo PRna,b,c,...r,s,t

  expresa las permutaciones con repetición de un conjunto de n elementos, de los cuales uno de ellos se repitea veces, otro, b veces....... con la condición de que

a + b + c + .......+ r + s + t = n 

OBSERVACIÖN: Cuando escribimos: Pn  ó  PRna,b,c,...r,s,t  expresamos

indistintamente las Permutaciones como su número.

 

¿Cómo se ordenan y cómo se cuentan las permutaciones ordinarias?

Al ser las permutaciones un caso particular de las variaciones, los criterios señalados para ordenar éstas sirven para las permutaciones. Se trata, por tanto, de aplicar a las permutaciones de orden n, los procesos seguidos para ordenar las variaciones de n elementos tomados de n en en n.

 Combinatoria variaciones

Como alternativa vamos a seguir para el recuento y ordenación un proceso intuitivo que nos servirá para nuestro propósito.

Supongamos que tenemos n casillas o recipientes y n bolas de colores distintos.

Existe por tanto una correspondencia entre el número de bolas y el de casillas.

Tomemos una cualquiera de las n bolas. Todas las n casillas están desocupadas ¿Cuantas casillas tengo disponibles para colocar la bola elegida? n. Luego tengo n sitios para colocar la bola. Elijo una

cualquiera ¿Cuantas bolas me quedan por colocar? (n -1). ¿Cuantas casillas me quedan disponibles?    (n -1)   

Tomemos una cualquiera de las (n - 1) bolas sin colocar. Nos quedan (n -1) casillas vacías. Elijo una cualquiera y la coloco ¿De cuantas maneras posibles puedo colocar  esa bola? De    (n -1) formas.

¿De cuantas maneras posibles puedo colocar las  dos bolas elegidas? el número que resulte del producto n(n -1).

Hemos colocado dos  bolas en dos casillas ¿Cuantas bolas me quedan por colocar y cuantas casillas disponibles? (n -2). 

Tomemos una cualquiera de las (n - 2) bolas sin colocar. Nos quedan (n -2) casillas vacías. Elijo una cualquiera y la coloco ¿De cuantas maneras posibles puedo colocaresa bola? De      (n - 2) formas.

¿De cuantas maneras posibles puedo colocar las tres bolas elegidas? El producto de n(n -1)(n - 2).

Siguiendo el mismo procedimiento llegaremos al final donde solo nos queda una casilla y una bola por colocar ¿De cuantas maneras posibles puedo colocar la última bola que me queda por colocar en el sitio que queda vacío 1. Luego:

¿De cuantas maneras posibles puedo colocar las n bolas del conjunto? El producto de n(n -1)(n - 2).......3.2.1 = n!

Recordamos que el producto de n números naturales consecutivos desde el 1 hasta n o de n hasta 1 recibe el nombre  de factorial de ny se simboliza así:

Factorial de n = n!

 

Un ejemplo concreto, dentro de lo abstracto del tema.

Ejemplo 1º: Se trata de distribuir de todas las formas posibles en cuatro casillas, cuatro bolas distintas 

Que simbolizaremos así:

 

O O O O

 

Seguiré el proceso diseñado:

Tomemos una cualquiera de las 4 bolas. Las 4 casillas están desocupadas ¿Cuantas casillas tengo disponibles para colocar la bola elegida? 4. Luego tengo 4 sitios para colocar la bola. Elijo una cualquiera por ejemplo la roja y la coloco en un sitio cualquiera quedando así:

 

O

O O O

 

¿Cuantas bolas me quedan por colocar? 3. ¿Cuantas casillas me quedan disponibles?    3   

Tomemos una cualquiera de las 3 bolas sin colocar. Por ejemplo la verde. Nos quedan 3 sitios para poder colocarlas ¿De cuantas maneras posibles puedo colocar la bola verde? En 3 sitios. Elijo una de las situaciones posibles quedando las bolas así:

 

O O

O O

¿De cuantas maneras posibles puedo colocar las dos bolas elegidas? Si la roja podía colocarse en 4 sitios y la verde en 3 las dos bolas podrán colocarse de 4 x 3 formas distintas.

 

¿Cuantas bolas me quedan por colocar? 2. ¿Cuantas casillas me quedan disponibles?    2   

Tomemos una cualquiera de las 2 bolas sin colocar. Por ejemplo la azul. Nos quedan 2 sitios para poder colocarla ¿De cuantas maneras posibles puedo colocar la bola azul? de 2 formas que son los huecos que quedan libres. Elijo una de las situaciones posibles quedando las bolas así:

 

O O O

O

¿De cuantas maneras posibles puedo colocar las tres bolas elegidas? Si la roja podía colocarse en 4 sitios, la verde en 3 y la azul en 2, las tres bolas podrán colocarse de 4 x 3 x 2 formas distintas.

Tomemos  la bola marrón sin colocar. Nos queda 1 sitio para poder colocarla ¿De cuantas maneras posibles puedo colocar la bola que me queda?  1, el único hueco libre que ya no puedo elegir, pues estoy obligado. La situación así:

 

O O O O

¿De cuantas maneras posibles puedo colocar las cuatro bolas elegidas? Si la roja podía colocarse en 4 sitios, la verde en 3, la azul en 2 y la marrón en 1, las cuatro bolas podrán colocarse de 4 x 3 x 2 x 1 formas distintas. Por tanto:

El nº total de posiciones posibles sería: P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24

Procedamos a escribirlas. Para mayor comodidad los colores los he sustituido por los números 1, 2, 3, 4

Para ordenarla partimos de la permutación principal 1234.

 Permutación principal: Definición . 

Se llama permutación principal aquella cuyos elementos están dispuestos en el orden natural. En nuestro caso 1234.

A continuación se escriben en una fila todas las permutaciones cuyo primer elemento sea el uno.

En la segunda fila es escriben todas las permutaciones cuyo primer elementos sea el 2.

Y así sucesivamente.

En nuestro caso se conformaría una matriz de 4 filas y 6 columnas

El número total de permutaciones sería igual al número de filas por el número de columnas. En este caso:

  

Ordenación y recuento de las permutaciones de cuatro elementos

1234   1243   1324   1342  1424    1432

2134   2143   2314   2341  2413    2431

3124   3142   3214   3142  3412    3421

4123   4132   4213   4231  4313    4321

 

Número de permutaciones = Número de filas x Número de columnas = 24 x 1 = 24

Tal como se había calculado.

Permanencia: Se dice que dos elementos de una permutación están en permanencia si están dispuestos en su orden natural así 12; ab. En la permutación 1243. El 2, 3 y  4, están en permanencia don el 1; el 3 y 4, están en permanencia con el 2

Inversión: Se dice que dos elementos de una permutación están en inversión si no están dispuestos en su orden natural así 21; ba. En la permutación 1243. El 4 y el 3 están en inversión.

¿Cómo se cuenta el número de inversiones de una permutación?:

Se compara con cada uno de los elementos de la permutación con los que tiene a la izquierda y se cuentan el número de inversiones. Así:

Sea la permutación  2413. El 4 con el 2 están en permanencia. El 1 con el 2 en inversión; el 1 con el 4 en inversión; el 3 con el 2 en permanencia; el 3 con el 4 en inversión; el 3 con el 1 en permanencia. El número de inversiones es 3. (12); (14); (34). Las permanencias no se tienen en cuenta.

Permutación par: Se dice que una permutación es de orden par si tiene un número par de inversiones. La permutación principal es de orden par.

La permutación 2431 es una permutación de orden par. En efecto:

El 4 con el 2 está en permanencia el 3 con el 2 está en permanencia el 3 con el 4 está en inversión; El 1 con el 2 está en inversión;  El 1 con el 4 está en inversión;  El 1 con el 3 está en inversión. Como el número de inversiones es 4, la permutación 2431 es de orden par. Las permanencias no se tienen en cuenta.

Permutación impar: Se dice que una permutación es de orden impar si tiene un número impar de inversiones.

La permutación 2413 es impar por tener tres inversiones.

 NOTA: En el conjunto de todas las permutaciones de orden n, la mitad son de orden impar y la otra mitad de orden par. 

Ejercicios y aplicaciones:

Se desarrolla en página aparte (Enlace)

 

Permutaciones con repetición :

Recordemos las definiciones y simbolización de las permutaciones con repetición:

Permutaciones con repetición si alguno de los elementos de toda ordenación pueden repetirse o no.

¿Cómo se simbolizan las permutaciones con repetición?

El símbolo PRna,b,c,...r,s,t

  expresa las permutaciones con repetición de un conjunto con n elementos, de los cuales uno de ellos se repitea veces, otro, b veces....... con la condición de que

a + b + c + .......+ r + s + t = n 

Definidas y simbolizadas las permutaciones con repetición procede establecer los procedimientos de recuento y cálculo.

 

¿Cómo se ordenan y cómo se cuentan las permutaciones con repetición?

Los criterios señalados en el recuento y cálculo del número de las permutaciones ordinarias. mutatis mutandis  es de aplicación a laspermutaciones con repetición.

Supongamos que tenemos un conjunto de n elementos, de los cuales uno de ellos se repite a veces, otro, b veces....... con la condición de que

a + b + c + .......+ r + s + t = n 

El nº total de permutaciones ordinarias de orden n, como sabemos, será : Pn = n!

En esas n! permutaciones, habrá a! permutaciones iguales correspondientes a los a elementos que se repiten. b! permutaciones iguales correspondientes a los b elementos que se repiten y así con todos los demás elementos que se repiten.

Por tal motivo, Pn =a!b!c!....r!s!t! PRna,b,c,...r,s,t

                                                Pn

de donde.    PRna,b,c,...r,s,t = ----------------- =

                                         a!b!c!....r!s!t!

Un ejemplo concreto, dentro de lo abstracto del tema.

 

Ejemplo 1º: ¿Cuántos números distintos podré formar con los dígitos 1, 2, 3, de modo que el 1 se repita dos veces, el 2 tres veces y el 3 cuatro veces.

El nº  112223333, será uno de los posibles.

El número total de dígitos de cada número será n = 9.

El 1 se repite dos veces, luego a = 2     

El 2 se repite tres veces, luego b = 3

El 3 se repite cuatro veces, luego c = 4

Obsérvese que 2 + 3 + 4 = 9

Aplicando la fórmula y sustituyendo valores se tendrá:

                              n!                                 9!      PRn

a,b,c,...r,s,t = ----------------- = PR92,3,4 = ---------= 

                       a!b!c!....r!s!t!                      2!3!4!          362880= ----------- =  1260      2 x 3 x 4

Con las calculadoras electrónicas el cálculo es inmediato, Sin embargo, parece aconsejable ejercitarse en la simplificación de fracciones con factoriales, para lo cual el factorial del mayor número de un término se expresa como factorial del mayor número del otro término y luego se simplifica; así:

 4! x 5 x 6 x 7 x 8 x 9-------------------------- = 5 x 7 x 4 x 9 =  1260           2! 3! 4!

 

Ejercicios y aplicaciones:

1º Calcular y escribir las permutaciones ordinarias que se pueden formarse con las vocales a, e, i, o y comprobar que la mitad es de orden par y la otra mitad de orden impar

Calculo: Aplicando la fórmula Pn = n!  Como n = 4

P4 = 4! = 1x2x3x4 = 24

Escribirlas:

aeio aeoi aieo aioe  aoei aoie

eaio eaoi eiao eioa eoai eoia

oaei oaie oeai oeia oiae oiea

iaeo iaoe ieao ieoa ioae ioea

 Comprobar la paridad e imparidad 

Permutación Posición de las letras: Número de inversiones:Paridad o imparidad

aeio Es la permutación principal no hay inversiones

par

aeoi La o está en inversión con la i = 1 1 = imparaoei La o con la e = 1; la o con la i = 1 2 = paraoie La o con la i; la o con la e; la i con la e 3 = imparaieo La i con la e; 1 = imparaioe La i con la e; la o con la e 2 = pareaio La e con la a 1 = impareaoi La e con la a; la o con la i 2 = pareiao La e con la a; la i con la a 2 = pareioa La e con la a; la i con la a; la o con la a 3 = impar

eoai La e con la a; la o con la a; la o con la i 3 = impar

eoiaLa e con la a; la o con la i; la o con la a; la i con la a

4 = par

oaei La o con la a; la o con la e; la o con la i 3 = impar

oaieLa o con la a; la o con la i; la o con la e; la i con la e

4= par

oeaiLa o con la e; la o con la a; la o con la i;la e con la a

4 = par

oeiaLa o con la e; la o con la i; la o con la a;la e con la a; la i con la a

5 = impar

oiaeLa o con la i; la o con la a; la o con la a;la i con la a; la i con la e

5 impar

oieaLa o con la i; la o con la e; la o con la a;la i con la e; la i con la a; la e con la a

6 = par

iaeo La i con la a; la i con la e 2 = pariaoe La i con la a; la i con la e; la o con la e 3 = imparieao La i con la e; la i con la a; la e con la a 3 = impar

ieoaLa i con la e; la i con la a; la e con a;la o con la a

4 = par

ioaeLa i con la a; la i con la e; la o con a;la o con la e

4 = par

ioeaLa i con la e; la i con la a; la o con la e ;la o con la a; la e con la a

5 = impar

Total permutaciones: 24 = 4! 

Nº de permutaciones pares = 12

Nº de permutaciones impares = 12 

 

2º Tenemos dos consonantes y tres vocales distintas. Se pide determinar cuantas palabras  de cinco letras se pueden formar con la condición de que no entren dos consonantes seguidas ni tres vocales seguidas.

Solución:

Llamemos a:

las consonantes C1 y C2; a las vocales V1 , V2 y V3

Los tipos de palabras que se pueden formar  son las siguientes:

Que empiece por consonante:

C1 V1 C2 V2 V3      

C1 V1 V2 C2 V3

Que empiece por vocal

V1 C1 V2 C2 V3

V1 V2 C1 V3 C2

V1 C1 V2 V3 C2  

En cada uno de las cinco agrupaciones anteriores, supongamos que dejamos fijas las consonantes y permutamos las vocales. Como el número de vocales son tres, se podrán formar las permutaciones  P3 = 3!

Si dejamos las vocales fijas y permutamos las consonantes. Como el número de consonantes son dos, se podrán formar las permutaciones  P2 = 2!

El número total de palabras en cada grupo será igual al producto:

 P3 P2 = 3! 2! = 6 x 2 = 12

Como son cinco grupos distintos que siguen la misma ley de formación el total de palabras que pueden formarse con las dos consonantes y las tres vocales distintas, será igual a:

5 x 12 = 60

 

3º  Con los dígitos 3, 5, 7, 8, 0 se forman todos los números posibles, determinar cuantos de ellos son mayores de 6500 y cuantos menores.

Solución:

El nº de elementos del conjunto es 5. El total de números que se pueden formar con estos dígitos serán las permutaciones ordinarias con esos cinco dígitos que son:

P5 = 5! = 120

De estos 120 números  ¿Cuantos habrá que empiezan con 0?

Del conjunto anterior apartamos el cero con lo cual me quedan 3, 5, 7, 8 con estos cuatro dígitos se pueden formar las permutaciones de ellos que son P4 = 4! = 24

24, son los números que empiezan con cero que no es significativa.

De esos 24 números los que empiezan por 7 y 8 son mayores de 6500 y los que empiezan con 3 y 5 son menores de 6500.

Por tanto son:

Menores de 6500 = 12

Mayores de 6500 = 120 - 12 = 108

 

4º  Con los dígitos 0, 0, 0, 2, 3 se forman todos los números posibles con cinco cifras significativas ¿Cuantos son?

Solución:

Para que los números tengan cinco cifras significativas, el primer dígito ha de ser 2 ó 3.

Apartemos  el 2, por ejemplo. Como quedan cuatro dígitos de los cuales el 0 se repite tres veces el total de números de cuatro dígitos será

              4!      4 x 3!PR4

3,1 = ------ = ------- = 4                  3! 1!     3! 1!

Son por tanto 4 los números de 5 dígitos con cinco cifras significativas que empiezan por el 2

De modo semejante serán 4 los números de 5 dígitos con cinco cifras significativas que empiezan por el 3

Por tanto

La solución será: 8 son los números de 5 dígitos con cinco cifras significativas  que se pueden formar con los dígitos dados.

 

5º  Con los dígitos 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4 determinar el número de permutaciones que se pueden formar con esos dígitos.

Solución:

El número de elementos que han de permutarse son 11 por tanto n = 11, de los cuales hay 5 unos luego a = 5; un dos luego b = 1; Tres 3 luego c = 3 y dos 4, luego d = 2, por tanto se trata de permutaciones con repetición de 11 elementos de los cuales uno se repite 5 veces, otro, una vez; otro tres veces y otro 2 veces.

Apliquemos la fórmula y sustituyendo valores, tendremos:

                    n!                              11!      PRn

a,b,c,d = --------- = PR115,1,3,2 = ---------= 

                 a!b!c!d!                      5!1!3!2!   

con la condición de que a + b + c + d = n

En efecto 5 + 1 + 3 + 2 = 11

Resolviendo:

                     11!      11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5!PR11

5,1,3,2 = ---------=--------------------------------                   5!1!3!2!              5!1!3!2!   

Simplificando resultaría:

PR115,1,3,2 = 11 x 10 x 9 x 4 x 7 = 27.720

Variaciones ordinarias

Se l lama variaciones ordinarias de m elementos tomados

de n en n (m ≥ n)  a los distintos grupos formados por n

elementos de forma que:

No  entran todos los elementos.

Sí   importa el orden.

No  se repiten los elementos.

También podemos calcular

las variaciones  mediante factoriales :

Las variaciones  se denotan por 

Ejemplos:  

1. Calcular las variaciones  de 6 elementos tomados de tres en

tres.

2.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar

con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5n = 3 m ≥ n

No  entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí   importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No  se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las

cifras sean diferentes.

3.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar

con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 6n = 3 m ≥ n

Tenemos que separar el número en dos bloques:

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de

5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto

los de las matriculas, los de la lotería y otros casos

particulares),

m = 5       n = 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar

cualquier dígito menos el inicial.

m = 5       n = 2

4. A un concurso l iterario se han presentado 10 candidatos con

sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el f inalista

y un accésit.¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?

m = 10n = 3

No  entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo

3.

Sí   importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que

finalista.

No  se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato

presenta una sola obra.

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Números Combinatorios

Otro modo de representar las   

es 

 le podemos considerar como a las combinaciones que podemos hacer como m elementos tomados de n en n.

El número combinatorio   leemos: “ m sobre n”Ejemplo de aplicación:

Buscar

Propiedades de los números combinatorios:

1) Cualquier número entero positivo sobre cero es igual a 1

2) Cualquier número entero positivo m sobre 1 es igual a m

3) Cuando la suma de los números que representan el número de elementos por grupo es igual al número de elementos, podemos decir que los dos números combinatorios son iguales:

Lo comprobamos:

4) La suma de dos números combinatorios con el mismo número de elementos y los números que representan los elementos por grupo son consecutivos es otro número combinatorio en el que el número de elementos aumenta en una unidad y el número de elementos por grupo es el del mayor:

Lo comprobamos:

Sacamos factor común, en el numerador a, m!:

18.25 Los números combinatorios   ¿son iguales?. Razona.

Respuesta: Sí, son iguales porque la suma de los elementos de los dos números combinatorios por grupo, es igual al número de elementos.

18.26 Los números combinatorios  ¿son iguales?.

Respuesta: No, el 1º es igual a m y el 2º es igual 1.

18.27 ¿Cuánto vale la suma de los números

combinatorios  ?

Respuesta: 20 ó 

18.28 ¿Son iguales  ?

Respuesta: Sí.

Problema 1Siete caballos participan en una carrera. De cuántas maneras diferentes pueden ocupar los primeros lugares si no ocurren empates en el orden de llegada?A) 720      B) 5040      C) 210     D) 70     E) 21 

(Hacer click sobre la imagen para agrandarla)Formulario de Análisis Combinatorio

http://3.bp.blogspot.com/_3sRtDtDZLuM/TUsRZ7Wi6nI/AAAAAAAAAeQ/sxxKjVVzd4I/s1600/combinatorio+01.JPG

http://3.bp.blogspot.com/_3sRtDtDZLuM/TUsRhv-2YFI/AAAAAAAAAeU/SSHZgj4IZt0/s1600/combinatorio+02.JPG

http://2.bp.blogspot.com/_3sRtDtDZLuM/TUsRutglvsI/AAAAAAAAAeY/d9cEaEbBj8s/s1600/combinatorio+03.JPG

http://2.bp.blogspot.com/_3sRtDtDZLuM/TUsR1gE96wI/AAAAAAAAAec/2AAG8BwKQy8/s1600/combinatorio+04.JPG

http://4.bp.blogspot.com/_3sRtDtDZLuM/TUsR_SGmg5I/AAAAAAAAAeg/zGlxpo12AvM/s1600/combinatorio+05.JPG

http://4.bp.blogspot.com/_3sRtDtDZLuM/TUsSJZUhW0I/AAAAAAAAAek/5WeBZsxaoEI/s1600/combinatorio+06.JPG

Anterior Índice Siguiente 3.5.5. Teorema del binomioEl teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del

desarrollo de  : Por multiplicación directa podemos obtener

De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación:

1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.

2. Para cada valor de n, el desarrollo de   empieza con   y termina

con  . En cada término los exponentes de a y b suman n.3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente.

La baparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.

4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n  en el desarrollo

de  .

A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término son iguales a 1.

Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierda y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así sucesivamente.

E J E M P L O :

Desarrollar  por el teorema del binomio: SOLUCIÓN:Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,

efectuando las potencias, se tiene:

efectuando los productos:

E J E M P L O :

Desarrollar  por el teorema del binomio: SOLUCIÓN: Procediendo de manera semejante a la anterior, se tiene:

efectuando las potencias:

efectuando los productos: 

3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos.La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la suma de los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que  .Tendremos:

Es decir  , tal como queríamos demostrar.

E J E M P L O :

Comprobar que 

SOLUCIÓN: 

E J E M P L O :

Comprobar que 

SOLUCIÓN: 

E J E M P L O :

Comprobar que 

SOLUCIÓN: 

La diferencia de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término más el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la diferencia de los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que  .

Tendremos:

Es decir  , tal como queríamos demostrar.

E J E M P L O :

Comprobar que 

SOLUCIÓN: 

E J E M P L O :

Comprobar que 

SOLUCIÓN: 

E J E M P L O :

Comprobar que 

SOLUCIÓN: 

 

BINOMIO DE NEWTON 

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de

exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener  Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b) 

 Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia 

Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima. Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula: 

 

Por ejemplo si quiero calcular  Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario. 

Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia. 

 Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton 

 

que también se puede escribir de forma abreviada así:  

Ejemplos:

1) Desarrollar la potencia 

 La fila 15 del triángulo de Tartaglia es: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1Que serán los valores de los coeficientes. 2) Calcular sin desarrollar el termino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de:(a2+3/b)100

 

El primer término tiene de coeficiente  , el segundo  , el

tercero  , etc.Por tanto el término de lugar 50 será:

= 98913082887808032681188722800.  

=  

En general el término de lugar k+1 en el desarrollo de   es

Ejercicios3) Si el segundo término de un desarrollo de la potencia de un binomio

es:   ¿Cuál es el término penúltimo? ¿Y cuál es el binomio y su potencia?El penúltimo término será el de lugar 12, pues habrá 13 términos y

vale: 

El binomio y su potencia será  

4) Hallar el término medio del desarrollo de Como está elevado a 14 habrá 15 términos, por tanto el término que está en medio es el de lugar 8, tiene 7 por delante y 7 por detrás.

Vamos a desarrollarlo: 

 

5) Escribe el término que contiene x31 en el desarrollo de: El término de lugar k+1, como hemos dicho antes, tiene esta

forma: 

Veamos como quedan las potencias x y de y: 

 Dividiendo las potencias de la misma base, restando

los exponentes tenemos: Por tanto el exponente de x es 40-3k. Como queremos obtener x31, basta igualar 40-3k=31, de donde k=3. Se trata por tanto del término de lugar 4.

Ahora escribimos el término completo. 

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