CALCULO DIFERENCIAL 100410-280

ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

1 1 1 1

UNIDAD 2: ANÁLISIS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD

TRABAJO COLABORATIVO 2

CALCULO DIFERENCIAL GRUPO: 100410_280

NANCY NAYIBE CEBALLOS CASTRO CÓDIGO: 1085288525

ERIKA MARÍA LÓPEZ PATIÑO CÓDIGO: 1.085.635.008

FABIO HERNÁN GETIAL CÓDIGO: 1.085.298.202

PRESENTADO A:

CESAR AUGUSTO BAUTISTA

TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

INGENIERÍA AMBIENTAL

SAN JUAN DE PASTO, 03 DE ABRIL DEL 2015

CALCULO DIFERENCIAL 100410-280

ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

2 2 2 2

INTRODUCCIÓN

Con el presente trabajo, se pretende haber dado continuidad con el aprendizaje de este

importante tema, su desarrollo nos demuestra que la materia Calculo Diferencial propende

que todos y cada uno de los estudiantes logremos identificar la intención formativa de la

misma, donde se nos permitirá a través de diversos ejemplos identificar la gran utilidad que

esta misma posee para un futuro desempeño.

El enfoque de este trabajo es sobre los temas de límites y continuidad, siendo límites una

sucesión o una función a medida que los parámetros de la sucesión se acercan a un

determinado valor; la continuidad es aquella función para la cual intuitivamente en los

puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función.

Esta actividad nos permitirá adquirir experticia utilizando métodos y estrategias de

pensamiento crítico, haciendo que nosotros como estudiantes tengamos un dominio sobre la

forma o manera adecuada de abordar, describir el funcionamiento de fenómenos naturales y

dar solución a los supuestos semánticos; entre otras habilidades. En pocas palabras se puede

decir que la intencionalidad formativa y el compromiso que se adquiere estudiante es el de

resolver problemas en diferentes niveles

CALCULO DIFERENCIAL 100410-280

ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

3 3 3 3

OBJETIVOS

Objetivo General

Determinar el análisis de funciones, en torno a la solución de límites y problemas de

aplicación

Objetivos Específicos

Identificar los tipos de limites

Plantar métodos algebraicos en la solución de métodos matemáticos

Asociar las variaciones de soluciones de límites según las funciones

trigonométricas.

Demostrar la continuidad de una función en un punto o un intervalo

CALCULO DIFERENCIAL 100410-280

ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

4 4 4 4

PASOS PARA DESARROLLAR EL TRABAJO COLABORATIVO

El estudiante debe resolver los siguientes ejercicios propuestos: Resuelva los siguientes

límites:

1. lim𝑥→2𝑥2−𝑥−2

𝑥2−5𝑥+6

lim𝑥→2

𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑥2 − 5𝑥 + 6=

22 − 2 − 2

22 − 5(2) + 6=

4 − 2 − 2

4 − 10 − 6=

0

0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

Al ser indeterminante se procede de la siguiente manera

lim𝑥→2

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)

lim𝑥→2

(𝑥 + 1)

(𝑥 − 3)

lim𝑥→2

(2 + 1)

(2 − 1)= −3

2. lim𝑥→0√9+𝑥−3

𝑥 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 √9 + 𝑥 + 3

lim𝑥→0

(√9 + 𝑥 − 3)(√9 + 𝑥 + 3)

𝑥(√9 + 𝑥 + 3)

lim𝑥→0

(9 + 𝑥) + 3√9 + 𝑥 − 3 √9 + 8 − 9

𝑥(√9 + 𝑥 + 3)

Cancelando

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ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

5 5 5 5

lim𝑥→0

𝑥

𝑥(√9 + 𝑥 + 3)

lim𝑥→0

1

√9 + 𝑥 + 3=

1

√9 + 3=

1

6

3. lim𝑥→−23−√𝑥2+5

3𝑥+6

lim𝑥→−2

3 − √𝑥2 + 5

3𝑥 + 6=

3 − √(−2)2 + 5

3(−2) + 6=

3 − √4 + 5

−6 + 6=

3 − √9

0=

0

0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

lim𝑥→−2

3 − √𝑥2 + 5

3𝑥 + 6∗

3 + √𝑥2 + 5

3 + √𝑥2 + 5 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜

lim𝑥→−2

9 − 𝑥2 − 5

3(𝑥 + 2)(3 + √𝑥2 + 5𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

lim𝑥→−2

4 − 𝑥2

3(𝑥 + 2)(3 + √𝑥2 + 5)𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

lim𝑥→−2

(2 + 𝑥)(2 − 𝑥)

3(𝑥 + 2)(3 + √3 + √𝑥2 + 5=

2 + 2

3(3 + √4 + 5=

4

3(3 + 3)=

4

18=

2

9

4. limℎ→2𝑏(𝑏+ℎ)2−𝑏2

ℎ

limℎ→2𝑏

(𝑏 + ℎ)2 − 𝑏2

ℎ=

(𝑏 + 2𝑏)2

2𝑏− 𝑏2

limℎ→2𝑏

(𝑏 + ℎ)2 − 𝑏2

ℎ=

(3𝑏)2 − 𝑏2

2𝑏

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ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

6 6 6 6

limℎ→2𝑏

(𝑏 + ℎ)2 − 𝑏2

ℎ=

8𝑏2

2𝑏= 4𝑏

5. lim𝑥→0𝑡𝑎𝑛7𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥

lim𝑥→0

𝑡𝑎𝑛7(0)

𝑠𝑒𝑛2(0)=

0

0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛7𝑥𝑐𝑜𝑠7𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

1

= lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛7𝑥

𝑐𝑜𝑠7𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛7𝑥

lim𝑥→0

7𝑥 ∗𝑠𝑒𝑛7𝑥

7𝑥

𝑐𝑜𝑠7𝑥 ∗ 2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

2𝑥

=(lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛7𝑥7𝑥

)

(lim𝑥→0

𝑐𝑜𝑠7) ∗ (lim𝑥→0

2𝑥) ∗ (lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛2𝑥2𝑥

)=

lim𝑥→0

7𝑥

lim𝑥→0

2𝑥

= lim𝑥→0

7𝑥

2𝑥= lim

𝑥→0

7

2

6. lim𝜃→01𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃

lim𝜃→0

1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃=

1 + 𝑐𝑜𝑠0

0=

1 − 1

0=

0

0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

lim𝜃→0

1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃∗

1 − 𝑐𝑜𝑠0

0𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜

lim𝜃→0

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝜃(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

lim𝜃→0

𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝜃(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠

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ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

7 7 7 7

lim𝜃→0

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜃∗

𝑠𝑒𝑛𝜃

1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝑜𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑜𝜃

lim𝜃→0

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜃∗ lim

𝜃→0

𝑠𝑒𝑛𝑜𝜃

1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜

1 ∗ lim𝜃→0

𝑠𝑒𝑛𝜃

1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎

1 ∗ lim𝜃→0

𝑠𝑒𝑛𝜃

1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃=

𝑠𝑒𝑛𝜃

1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃=

0

1 + 1=

0

2= 0 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

7. lim𝑛→∞√2𝑥−3

5𝑛+3

lim𝑛→∞

√2𝑛2 − 3

5𝑛 + 3=

√2∞2 − 3

5𝑛 + 3=

∞

5𝑛 + 3= ∞

Este límite es infinito, teniendo la incógnita n la solución se presenta así:

lim𝑛−∞√2𝑛2−3

5𝑛+3

lim𝑛→∞

√2𝑛2 − 3

5𝑛 + 3=

√5∞2 − 3

5∞ + 3=

∞

∞ 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

lim𝑛→∞

√2𝑛2 − 3𝑛

5𝑛 + 3𝑛

= lim𝑛→∞

√2𝑛2 − 3

√𝑛2

5𝑛 + 3𝑛

= lim𝑛→∞

√2𝑛2 − 3𝑛2

5𝑛 + 3𝑛

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠

lim𝑛→∞

√2𝑛2

𝑛23

𝑛25𝑛𝑛

+3𝑛

= lim𝑛→∞

√2 −3

𝑛3

5 +3𝑛

=√2

5

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ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

8 8 8 8

9. Qué valor de n hace que la siguiente función sea continua?

𝑜𝑥 {2𝑛𝑥 − 5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 3

3𝑥2 − 𝑛𝑥 − 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 3}

lim𝑥→3−

2𝑛𝑥 − 5 = lim𝑥→3+

3𝑥2 − 𝑛𝑥 − 2

lim𝑥→3−

2𝑛(3) − 5 = lim𝑥→3+

3(3)2 − 𝑛(3) − 2

lim𝑥→3−

6𝑛 − 5 = lim𝑥→3+

3(9) − 3𝑛 − 2

lim𝑥→3−

6𝑛 − 5 = lim𝑥→3+

27 − 3𝑛 − 2

6𝑛 − 5 = 27 − 3𝑛 − 2

6𝑛 + 3𝑛 = 27 − 2 + 5

9𝑛 = 30 ; 𝑛 =30

9; 𝑛 =

10

3

10. Hallar los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

𝑜𝑥 {2𝑥2 + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ −2

𝑎𝑥 − 𝑏 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 2 < 𝑥 < 13𝑥 − 6 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 1

}

lim𝑥→ −2−

2𝑥2 + 1 = lim𝑥→ −2−

𝑎𝑥 − 𝑏

lim𝑥→ −2−

2(−2)2 + 1 = lim𝑥→ −2−

𝑎(−2) − 𝑏

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ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

9 9 9 9

lim𝑥→ −2−

2(4) + 1 = lim𝑥→ −2−

−2𝑎 − 𝑏

lim𝑥→ −2−

9 = lim𝑥→ −2−

−2𝑎 − 𝑏

−2𝑎 − 𝑏 = 9 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

Evaluamos los otros dos tramos de la función.

lim𝑥→1−

𝑎𝑥 − 𝑏 = lim𝑥→1+

3𝑥 − 6

lim𝑥→1−

𝑎(1) − 𝑏 = lim𝑥→1+

3(1) − 6

lim𝑥→1−

𝑎 − 𝑏 = lim𝑥→1+

9

𝑎 − 𝑏 = −3 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

−2𝑎 − 𝑏 = 9

𝑎 − 𝑏 = −3 ; 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 = −3 + 𝑏 𝑦 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎

−2𝑎 − 𝑏 = 9 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

−2(−3 + 𝑏) − 𝑏 = 9 ; 6 − 2𝑏 − 𝑏 = 9; −3𝑏 = 9 − 6 ; −3𝑏 = 3

𝑏 = −1 Reemplazamos b en cualquiera de las ecuaciones y a.

𝑎 − (−1) = −3; 𝑎 + 1 = −3; 𝑎 = −3 − 1; 𝑎 = −4

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ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

10 10 10

10

CONCLUSIONES

Se da aplicabilidad a los conceptos básicos de cálculo diferencial y sus diferentes

herramientas, lo que conlleva a estar en la capacidad de resolver problemas de

sucesiones, progresiones y sus aplicaciones en situaciones frecuentes utilizando los

conceptos adquiridos.

Se crea una condición crítica y lógica que nos permita mediante el empleo de

técnicas de derivación en una variable desarrollar un raciocinio para resolver y

plantear dificultades de aplicación y realizar procesos que contribuyan a la toma de

decisiones en la vida práctica.

Estar en la capacidad de proponer alternativas de solución relacionadas con las

derivadas aplicadas a problemas cotidianos, empleando los conocimientos

adquiridos y analizando las opciones estratégicas de actuación.

En tal sentido se interpretó el comportamiento de límites con respecto a los valores

que tomaban, siendo continua o discontinua.

Se relacionó funciones trigonometrías determinando identidades para la solución

delimites.

La aplicación de valores que determinen una función brindan puntos más acertados

con relación a diversas variables.

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ACTIVIDAD COLABORATIVA N° 2

11 11 11

11

BIBLIOGRAFÍA.

Galván, D. y otros (2012), Cálculo diferencial: un enfoque constructivista para el

desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. México DF. Pág.

162. Disponible en http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=319#

Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., (2007). Precálculo, matemática para el cálculo. 5°

Edición. México D.F. Pág. 794 - 800. Disponible en

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=330#

Análisis de límites y continuidad, disponible en:

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100410/CURSO_2014_2/Modulo_Calculo_Di

ferencial_I_2010_Unidad_2.pdf.

Rondón, J. E. (2011) Modulo 100410- Calculo Diferencial. Bogotá. Universidad

Nacional Abierta y a Distancia.