12_6_29_1

Texto para el Estudiante

Matemtica

6

Bsico

Este libro ha sido realizado por autores profesores de varias universidades y college de los Estados Unidos de Amrica y adaptado al Currculum Nacional de Chile por el equipo pedaggico de Galileo Libros. Director del programa: David Singer Profesor de Matemticas de la Universidad de Cleveland. Coordinadores: Evan M. Maletsky y Joyce McLeod. Autores: Angela G. Andrews, Juli K. Dixon, Vicki Newman, Robin C. Scarcella, Tom Roby, Jennie M. Bennett, Lynda Luckie Karen S. Norwood,, Janet K, Scheer, David G. Wright. La adaptacin ha sido llevada a cabo por Galileo Libros. Coordinador: Rodrigo Vsquez A. Gerente de Divisin Escolar.Copyright 2009 by Harcourt, Inc. 2013 de esta edicin Galileo Libros Ltda. Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicacin puede ser reproducida o transmitida en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrnico o mecnico, incluyendo fotocopia, grabacin o cualquier sistema de almacenamiento y recuperacin de informacin sin el permiso por escrito del editor. Las solicitudes de permiso para hacer copias de cualquier parte de la obra debern dirigirse al centro de Permisos y derechos de autor, Harcourt, Inc., 6277 Sea Harbor Drive, Orlando, Florida 32887-6777. HARCOURT y el logotipo son marcas comerciales de Harcourt Harcourt, Inc., registradas en los Estados Unidos de Amrica y / o en otras jurisdicciones.

Adaptadores: Paola Rocamora Silva Profesora de Matemticas del Programa de Educacin Continua para el Magisterio. Universidad de Chile. Marco Riquelme Alcaide Profesor de Matemticas del Programa de Educacin Continua para el Magisterio. Universidad de Chile Victoria Ainardi Tamarn Profesora de Matemticas por la Universidad de Concepcin. Vilma Aldunate Daz Profesora de Educacin General Bsica. Universidad de Chile Pamela Falconi Salvatierra Profesora de Educacin General Bsica. Pontificia Universidad Catlica de Chile Jorge Chala Reyes Profesor de Educacin General Bsica. Universidad de Las Amricas Equipo Tcnico: Coordinacin: Job Lpez Gngora Diseadores: Gabriel Aiquel Nicols Roldn Alejandro Ubilla David Silva Nikols Santis

Versin original Mathematics Content Standards for California Public Schools reproduced by permission, California Department of Education, CDE Press, 1430 N Street, Suite 3207, Sacramento, CA 95814N de Registro ISBN: 978-956-8155-08-7 Edicin especial para el Ministerio de Educacin Prohibida su comercializacin. Ao 2013

ndiceUnidad

1

Nmeros, conceptos de fracciones y operacionesMuestra lo que sabes..................................................................................

Matemtica en ContextoFotografas comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemtica

CAPTULO

1

Teora de los nmeros

23

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 3, 25, 55,77, 109

Leccin 1 Factores y mltiplos (matrices y rectas numricas) ........................................................................ 4 Leccin 2 Mltiplos y factores ..................................................................... 8 Leccin 3 Mximo factor comn ................................................................ 10 Leccin 4 Mnimo comn mltiplo ............................................................ 12 Leccin 5 Taller de resolucin de problemas Destreza: identificar relaciones............................................ 16

Almanaque para estudiantes Resolucin de problemas. . . . . . . 140

Prctica adicional Practica con un juego Repaso prueba de Captulo 1 Enriquecimiento Comprensin de los aprendizajes Captulo 1

18 19 20 21 22

CAPTULO

2

Porcentaje y decimalesMuestra lo que sabes

..................................................................................

2425 26 28 32 36 38

Leccin 1 Porcentaje.......................................................................................... Leccin 2 Taller de resolucin de problemas Estrategia: hacer un grfico.................................................... Leccin 3 Porcentaje, decimales y fracciones.................................... Leccin 4 Porcentaje de un nmero.......................................................... Leccin 5 Porcentaje de descuento (%)..................................................

Leccin 6 Propinas.............................................................................................. 42 Leccin 7 Razones............................................................................................... 44

Practica con un juego Prctica adicional Repaso prueba de Captulo 2 Enriquecimiento Comprensin de los aprendizajes Captulo 1 - 2

47 48 50 51 52III

CAPTULO

3

Nmeros racionalesMuestra lo que sabes

..................................................................................

5455 56 60 62 64 66 68

Leccin 1 Fracciones equivalentes y fracciones irreductibles. Leccin 2 Fracciones y nmeros mixtos................................................ Leccin 3 Comparar y ordenar..................................................................... Leccin 4 Usar la multiplicacin cruzada para comparar fracciones.................................................................... Leccin 5 Fracciones, decimales y porcentajes................................ Leccin 6 Taller de resolucin de problemas. Destreza: estimar o hallar una respuesta exacta.......

Prctica adicional Practica con un juego Repaso de prueba de Captulo 3 Enriquecimiento Comprensin de los aprendizajes Captulo 1 - 3

70 71 72 73 74

CAPTULO

4

Sumar y restar fraccionesMuestra lo que sabes..................................................................................

7677 78

Leccin 1 Estimar sumas y diferencias

Leccin 2 Sumar y restar fracciones........................................................ 82 Leccin 3 Sumar y restar nmeros mixtos............................................ 86 Leccin 4 Manos a la obra Representar la resta de nmeros mixtos.............................................................................. 90 Leccin 5 Algoritmo de la la resta de nmeros mixtos.................. 92 Leccin 6 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: hacer un diagrama.............................................. Leccin 7 Practicar la suma y la resta..................................................... 94 98

Prctica adicional Practica con un juego Repaso de prueba de Captulo 4 Enriquecimiento Comprensin de los aprendizajes Captulo 1 - 4CAPTULO

102 103 104 105 106

5

Multiplicar decimalesMuestra lo que sabes

..................................................................................

108109

Leccin 1 Manos a la obra Representar la multiplicacin por nmeros enteros .................................................................. 110 Leccin 2 lgebra Patrones en factores y nmeros decimales........................................................................................... 112

IV

Matemtica en ContextoLeccin 3 Taller de resolucin de problemas Destreza: elegir la operacin.................................................. 114 Fotografas comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemtica

Prctica adicional Practica con un juego Repaso de prueba de Captulo 5 Enriquecimiento Comprensin de los aprendizajes Captulo 1 al 5CAPTULO

116 117 118 119 120

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 145, 163,181

6

Dividir decimales

Muestra lo que sabes

..................................................................................

122123

Leccin 1 Manos a la obra Dividir decimales entre nmeros enteros con modelos............................................. 124 Leccin 2 Estimar cocientes.......................................................................... 126 Leccin 3 Dividir decimales por nmeros naturales de 1 dgito y mltiplos de 10.......................................................... 128 Leccin 4 Taller de resolucin de problemas Destreza: evaluar la lgica de las respuestas.............. 132

Prctica adicional Practica con un juego Repaso de prueba de Captulo 6 Enriquecimiento Repaso/prueba de la Unidad Resolucin de problemas

134 135 136 137 138 140

Unidad

27

Estadstica y lgebra 144145

CAPTULO

Expresiones

Muestra lo que sabes

..................................................................................

Leccin 1 Propiedades y expresiones..................................................... 146 Leccin 2 Escribir expresiones algebraicas......................................... 150 Leccin 3 Taller de resolucin de problemas. Destreza: ordenar en secuencia y priorizar informacin................................................................... 154

Prctica adicional Practica con un juego Repaso de prueba de Captulo 7 Enriquecimiento Comprensin de los aprendizajes Captulo 1-7

156 157 158 159 160V

CAPTULO

8

Ecuaciones de sumaMuestra lo que sabes ....................................................................................

162163

Leccin 1 Palabras y ecuaciones................................................................ 164 Leccin 2 Manos a la obra Representar ecuaciones de suma...................................................................................................... 166 Leccin 3 Resolver ecuaciones de suma............................................... 168 Leccin 4 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: escribir una ecuacin........................................ 170

Prctica adicional Practica con un juego Repaso /prueba de Captulo 8 Enriquecimiento Comprensin de los aprendizajes Captulo 1-8

174 175 176 177 178

CAPTULO

9

Ecuaciones de restaMuestra lo que sabes..................................................................................

180181

Leccin 1 Manos a la obra Representar ecuaciones de resta................................................................................................ 182 Leccin 2 Resolver ecuaciones de resta................................................ 184 Leccin 3 Ecuaciones de suma y resta................................................... 186 Leccin 4 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: comparar estrategias......................................... 188

Prctica adicional Practica con un juego Repaso de prueba de Captulo 9 Enriquecimiento Comprensin de los aprendizajes Captulo 1-9

190 191 192 193 194

Unidad

3

Geometra: figuras bidimensionales CAPTULO

10

Relaciones entre ngulosMuestra lo que sabes

..................................................................................

198199

Leccin 1 Medir y trazar ngulos................................................................ 200 Leccin 2 Tipos de angulos............................................................................ 204

VI

Leccin 3 ngulos complementarios....................................................... 208 Leccin 4 ngulos suplementarios........................................................... 210 Leccin 5 Medidas desconocidas de ngulos.................................... 212 Leccin 6 Taller de resolucion de problemas. Estrategia: Hacer un diagrama.............................................. 216


Prctica adicional Practica con un juego Repaso/prueba Captulo 10 Enriquecimiento. Comprension de los aprendizajes Captulo 10CAPTULO

218 219 220 221 222

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 199, 225,245, 261


11

Figuras planas

Muestra lo que sabes ....................................................................................

224225

Leccin 1 Tringulos........................................................................................... 226 Leccin 2 Hacer conjeturas............................................................................ 230 Leccin 3 Trazar tringulos............................................................................ 232 Leccin 4 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: Buscar un Patrn................................................. 234

Prctica adicional Practica con un juego Repaso/prueba Captulo 11 Enriquecimiento Comprensin de los aprendizajes Captulo 11 CAPTULO

238 239 240 241 242

12

Geometra en movimiento

Muestra lo que sabes .................................................................................... 245

244

Leccin 1 Teselaciones .................................................................................... 246 Leccin 2 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: comparar estrategias......................................... 250 Leccin 3 Patrones geomtricos................................................................. 252

Prctica adicional Practica con un juego Repaso/prueba Captulo Enriquecimiento Comprensin de los aprendizajes Captulos 1-14

254 255 256 257 258

VII

CAPTULO

13

Figuras bidimensionales y tridimensionales


260

Leccin 1 Caras, aristas y vertices............................................................ 262 Leccin 2 Redes de cuerpos geomtricos............................................ 266 Leccin 3 Manos a la obra Trazar diferentes vistas de cuerpos geomtricos.................................................................. 268 Leccin 4 rea Total............................................................................................ 270 Leccin 5 Volumen de los prismas............................................................ 274 Leccin 6 Taller de resolucion de problemas Estrategia: hacer un modelo................................................... 278

Prctica adicional 282 Prctica con un juego 283 Repaso/prueba del Captulo 13 284 Enriquecimiento285 Repaso/prueba de la unidad. Captulos 13 286 Resolucin de problemas 288

Unidad

4

Datos, grficos y probabilidadesCAPTULO

14

Datos y muestreo

292

Muestra lo que sabes .................................................................................... 293 Leccin 1 Muestras y poblaciones............................................................. 294 Leccin 2 Mtodos de muestreo.................................................................. 296 Leccin 3 Afirmaciones basadas en datos............................................ 300 Leccin 4 Taller de resolucin de problemas. Estrategia: usar el razonamiento lgico.......................... 304 Leccin 5 Determinacin de patrones .................................................... 308

Prctica adicional 310 Practica con un juego 311 Repaso de prueba de Captulo 14 312 Enriquecimiento313 Comprensin de los aprendizajes Captulo 14 314

VIII

CAPTULO

15

Hacer grficos de datos


316


Leccin 1 Grficos de barras......................................................................... 318 Leccin 2 Grficos de lneas.......................................................................... 320 Leccin 3 Grficos circulares........................................................................ 322 Leccin 4 Grficos confusos......................................................................... 324 Leccin 5 Hallar valores desconocidos.................................................. 328 Leccin 6 Taller de resolucion de problemas Destreza:usar un grfico........................................................... 332 Leccin 7 Hacer diagrama de tallo y hojas............................................ 334 Leccin 7 Hacer grficos de lneas............................................................ 336

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 293, 317


Prctica adicional Prctica un juego Repaso/prueba Captulo 15 Enriquecimiento Repaso/prueba de la unidad. Captulos 15 Resolucin de problemas

338 339 340 341 342 344

Glosario

..................................................................................................................

346

Bibliografa .............................................................................................................. 356

IX

Estructura del texto

Este libro matemtica para 6 Bsico se compone de 4 Unidades didcticas, que responden cada una, respectivamente, a los 5 Ejes temticos del currculum (Nmeros y operaciones, Patrones y lgebra, Geometra, Medicin, Datos y probabilidades). Cada Unidad didctica se divide en diversos Captulos, y estos, a su vez, en Lecciones.

Inicio de Unidad: Esta doble pgina pretende que el estudiante se identifique, en unas, con fenmenos de la naturaleza, con acontecimientos de la vida y, en otras, con acciones de sus propias vivencias.

Nmeros, conceptos de fracciones y operaciones

Matemtica en contextoQu conceptos matemticos se muestran en las fotografas de Matemtica en Contexto? Cmo puedes usar fracciones cuando cocinas y horneas?

Enriquece tu vocabulario: incluye tres apartados permanentes: , , Monitorea conocimientos previos y proyeccin de conocimientos.

REPASO DEL VOCABULARIO Cuando trabajaste con fracciones, aprendiste las siguientes palabras. Cmo se relacionan estas palabras con Matemtica en Contexto?p Si medimos cuidadosamente los ingredientes con la ayuda de fracciones y nmeros mixtos, obtenemos comidas deliciosas.

fracciones equivalentes fracciones que representan la misma parte o cantidad nmero mixto un nmero representado por un nmero entero y una fraccin mltiplo el producto de un nmero entero dado y otro nmero entero

Copia y completa los mapas de crculos como se muestra abajo. Usa lo que sabes acerca de fracciones para responder a las preguntas.p Con la masa se forman panecillos de

hierbas, que luego se colocan sobre placas de horno en hileras de un mismo nmero.

Fracciones equivalentesQu sabes acerca de fracciones equivalentes? Qu experiencia te ayud a aprender acerca de las fracciones equivalentes?2 4 4 8 1 2 6 12 3 6 5 10 1 3

p Las comidas listas para servir se

disponen en el plato con gracia y se decoran con un toque floral.

Captulo 1

1

MATEMTICA EN CONTEXTO, es una pequea seccin que muestra cmo el aprendizaje de la matemtica es til para la vida, la ciencia, el desarrollo y la tecnologa.

X

1ChileDATO BREVE

Teora de los nmerosLa idea importanteEl estudio de la teora de los nmeros ayuda a comprender los conceptos de factores y mltiplos.

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar exitosamente el Captulo 1.

u Comparar y ordenar nmeros enteros hasta 100 000Compara. Escribe < , > o =.1. 11 000 11 050 4. 14 329 14 329 2. 21 034 22 345 5. 60 806 68 600 3. 45 687 45 238 6. 12 000 1 200

Ordena los nmeros de mayor a menor.7. 47 899; 48 799; 48 797 9. 78 311; 78 300; 78 310 8. 40 133; 43 100; 14 330 10. 94 586; 92 801; 99 934

Muestra lo que sabes: Monitorea prerrequisitos de aprendizaje.

u Representar fraccionesEscribe una fraccin para representar la parte sombreada.11. 12.

CHILE. DATO BREVE: El tema de INVESTIGA, sirve para extraer una nota breve de contenido local-nacional que contribuye a acercar el aprendizaje.

En Chile se han realizados estudios para identificar zonas en nuestro pas que por sus caractersticas naturales podran tener ventajas para la construccin de proyectos de generacin elica. Entre ellas se encuentran algunas zonas costeras de la regin de Atacama, Coquimbo y Maule.

13.

14.

VOCABULARIO DEL CAPTULO

PREPARACIN

InvestigaImagina que eres un investigador que estudia la produccin de energa en Chile. Qu combinaciones de dos a cuatro tipos de fuentes energticas permitiran que en Chile se cumpla __ de las necesidades de con al menos 3 5 produccin de energa?

Capacidad instalada de Generacin Elctrica por Sistema: 2008Utilizando energas convencionales y no convencionales en 2008Pequea, 1% Pequea hidro, 1% Elica , 1% Biomasa, 2%

Hidro embalse, 25% Gas natural, 36% Hidropasada (sin embalse), 10%

nmero compuesto factor mximo comn divisor (MCD) mximo factor comn (MFC) fraccin irreductible mnimo comn mltiplo (m.c.m.) mltiplo porcentaje nmero primo descomposicin en factores primos

mltiplo el producto de un nmero entero dado y otro nmero entero factor un nmero que se multiplica por otro para hallar un producto nmero primo un nmero entero mayor que 1 que tiene como nicos factores el 1 y s mismo

Carbn, 15%

Petrleo, 9%

2

Captulo 1

3

Investiga: Pequea actividad relacionada con diversos aspectos de la vida y la sociedad.

Enriquece tu vocabulario: Pequea seccin centrada en el vocabulario.

La Leccin:LE C C

N I

1 Mltiplos y factores

Prctica con supervisin1. 7 4 3. 9 6 5. 12 5 2. 8 3 4. 5 4 1.

OBJETIVO: Usar patrones de mltiplos y factores para resolver problemas e identificar factores primos y compuestos.

Haz una lista con los mltiplos de 6 y 9 menores que 60. Luego enumera los mltiplos comunes de 6 y 9.

AprendePROBLEMA En una carrera de bicicletas de 40 kilmetros, hay una estacin de bebidas en cada seal que indica cuatro kilmetros de recorrido y una estacin de refrigerios en cada seal que indica seis kilmetros de recorrido. En qu seales habr una estacin de bebidas y una de refrigerios? Puedes hallar los mltiplos comunes de 4 y 6 para resolver el problema. El mltiplo de un nmero entero es el producto del nmero entero dado y otro nmero entero. Los mltiplos comunes son mltiplos de dos o ms nmeros.

Vocabulariomltiplo factor nmero primo nmero compuesto

Escribe los tres primeros mltiplos comunes.2. 8 y 12 3. 4 y 5 4. 5 y 12 5. 2, 4 y 12 6. 3, 4 y 8

Escribe los factores comunes.7. 12 y 2 12. 8. 6 y 7 9. 36 y 40 10. 6, 12 y 24 11. 3, 5 y 15

Explica 2 es el nico nmero primo par.

Ejemplo 1 Halla los mltiplos comunes de 4 y 6 que son menores que o iguales a 40.Mltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 Mltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36 Los mltiplos comunes de 4 y 6 son 12, 24 y 36. Entonces, habr una estacin de bebidas y una de refrigerios en las seales de 12, 24 y 36 kilmetros. Explicalospatronesqueobservasenlosmltiplosde4y6. Un factor es un nmero que se multiplica por otro para hallar un producto. Los factores comunes son factores de dos o ms nmeros.

Prctica independiente y resolucin de problemasEscribe los tres primeros mltiplos comunes.13. 4 y 9 14. 10 y 14 15. 8 y 18 16. 3, 8 y 16 17. 2, 4 y 7

Escribe los factores comunes.18. 25 y 70 23. 4, 6 y 16 19. 15 y 30 24. 18, 45 y 72 20. 50 y 70 25. 8, 30 y 46 21. 32 y 45 26. 7, 18 y 21 22. 24 y 42 27. 4, 28 y 36

Indica si el nmero es primo, compuesto o ninguno de los dos.28. 98 29. 61 30. 0 31. 37 32. 82 33. 1

Halla el factor desconocido.34. 75 5 15 35.

110 5 5 11

36. 42 5 2 7

37. 48 5 3 4

Ejemplo 2 Halla los factores comunes de 24 y 32.Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Factores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32

38. En la clase del profesor Gmez hay 12 nios y 18 nias. El profesor dividir al

curso en grupos de manera tal que todos los grupos tengan la misma cantidad de nios y la misma cantidad de nias. Cules son los grupos posibles?39. Qu nmero es menor que 30 y tiene 40. Escribe 65 como el producto de dos nmeros

Entonces, los factores comunes de 24 y 32 son 1, 2, 4 y 8. Todos los nmeros enteros mayores que 1 son nmeros primos o compuestos. Un nmero primo es un nmero entero mayor que 1 que tiene como nicos factores el 1 y s mismo. Un nmero compuesto es un nmero entero mayor que 1 que tiene ms de dos factores.

exactamente ocho factores?

primos.42.

Idea matemticaLos nmeros enteros 0 y 1 no son primos ni compuestos.

41. Razonamiento Ser primo o compuesto el

producto de dos nmeros primos? Explica.

El producto de 9 y 6 es 54. Explica cmo hallar el mltiplo de 3 que da como resultado un producto de 54 cuando se multiplica por 3.

Leccin de doble pgina, que finaliza con actividad de evaluacin/comprensin.

Comprensin de los Aprendizajes43. Expresa el nmero 0,03 en fraccin decimal 46. Preparacin para las pruebas Cul de los

Ejemplo 3 Halla los factores de cada nmero. Indica si el nmero es primo, compuesto o ninguno de los dos.12 Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 El nmero 12 es compuesto. 29 Factores de 29: 1, 29 El nmero 29 es primo. 1 El nmero 1 tiene un solo factor,quees1,entoncesnoes un nmero primo ni un nmero compuesto.

44. Si a = 1,05; b = 2 y c = 2,57 Cul es el valor

siguientes nmeros es mltiplo comn de 6 y 8?A 18 B 24 C 40 D 42

a+b+c?45. Escribe el nmero que falta para que se cumpla

la relacin 3,57 > _____ > 3,55

4

Prctica adicional en la pgina 14, Grupo A

Captulo 1

5

XI

Poder Matemtico: Esta seccin refuerza el razonamiento matemtico y la conexin con otras reas. PODER MATEMTICO: Resolucin de problemas de razonamiento. PODER MATEMTICO. Resolucin de problemas: Conexin con las Ciencias o las Artes... (o con otras reas).

Resuelve. 31. Las entradas al zoolgico estn a la venta con un 25% de descuento. El precio de oferta de la entrada es $2 400. Cul es el precio normal de una entrada al zoolgico?33. El costo de una entrada al cine, incluido el

32. Plantea un problema Observa el Problema 31.

Escribe un nuevo problema abierto.34.

8,25% de impuesto a las ventas, era $2 165. Cul era el precio de una entrada al cine antes de sumar el impuesto a las ventas?

Explica dos maneras diferentes de hallar el total del descuento de un artculo en oferta que tiene el 30% de descuento sobre un precio normal de $20 000. Resuelve.47. Cul es el error? Aproximadamente el 8,4% de los estudiantes inscritos son nuevos en el programa de teatro de esta temporada. Jos dice que 0,84 de los estudiantes son nuevos en esta temporada. Tiene razn? Explica.

Comprensin de los Aprendizajes35. Preparacin para las pruebas El precio de oferta 37. Preparacin para las pruebas Eduardo pag

46. En 2012, el porcentaje de inscritos en el

de una bicicleta es $252 000. El descuento es 20%. Cul es el costo original de la bicicleta?A $200 000 B $275 000 C $302 000 D $315 000 36. Si el 10% de un nmero es 6, cunto es

$8 640 por una camiseta. Esta cantidad incluye un 8% de impuesto a las ventas. Cul era el precio de la camiseta sin impuesto?A $5 691 B C $9 000 D $7 949

programa de teatro represent el 109% del nmero de estudiantes inscritos en el programa en 2012. Qu nmero decimal puedes escribir para este porcentaje?

2 150

13.

precio normal: $7 500 % de descuento: 50%

14.

precio normal: $3 420 % de descuento: 25%

el 5% del nmero?

$8 000

Comprensin de los Aprendizajes_ es mayor o menor que p siendo p = 3,114? 48. 2 1 8 _ como un decimal. 50. Escribe la fraccin 3 5

o: 20%

49. Preparacin para las pruebas Sara respondi

51. Preparacin para las pruebas Mario anot 36

0 800 17. precio oferta: $36 500 18. precio oferta: $31 500 % de descuento: 50% % de descuento: 30% El volcn Puntiagudo tiene la forma ms original de los volcanes de Chile. Su altura es de 2 498 m. LeoescalarlarutaAristaNoroeste,unsenderodeinvierno.Quiere comprarbotasparaandinismo,cuerdas,unhachaparahieloyun receptor-transmisorparaavalancha.ElimpuestoalasventasenChile es18%.CulserelcostototaldelacompradeLeo? Redondeaalaunidaddemil Valordelacompra5 $43 000 1 $20 000 1 $25 0001 $30 000 5 $118 000 Hallaelimpuestoalasventasysmaloalvalordelacompra.impuestoalasventas5valordelacompra3%delimpuestoalasventas

correctamente el 85% de las preguntas de la trivia. Qu fraccin describe ese porcentaje?

de los 48 tiros libres que ejecut la temporada pasada. Qu porcentaje de tiros libres anot Mario?A 36% B 40% C 48% D 75%

10%

Equipo de alpinismoArtculoHacha para hielo Receptor-transmisor para avalancha Baliza para avalancha Botas para alpinismo Cuerdas Mosquetn

Precio$24 990 $30 000 $29 889 $42 990 $19 505 $9 909

Hace casi 2 500 aos, el teatro tuvo su poca dorada en la ciudad de Atenas. Dos veces al ao Atenas era sede de la Dionisia, que era una competencia entre tres dramaturgos. Cada uno presentaba 3 tragedias, 1 comedia mitolgica y 1 comedia ms. La mayora de las obras tenan solo 2 actores, junto con 4 a 8 personas que formaban el coro. En esta tabla se muestra la cantidad de intrpretes que pudieron haber usado tres dramaturgos en sus obras. Qu dramaturgo tena el mayor porcentaje de actores? Convierteaporcentajessegnseanecesario.Luegoordenade mayor a menor.Dramaturgo A10 10 5 0,25 5 25% _______ 5 __ 10 1 30 40

Intrpretes en DionisiaDramaturgo A B C Actores 10 26% 0,24 Coro 30 74% 0,76

5 $118 000 3 18% 5 $118 000 3 0,18 5 $21 240 Entonces,elcostototales$139000 costototal5 valordelacompra1impuestoalasventas

5 $118 000 1 $21 240 5 $139 240 Halla el costo total de cada compra, incluido el 18%deimpuestoalasventas.Redondeaala decenademilmsprxima.1. baliza para avalancha, cuerdas y hacha para hielo 2. botas para alpinismo, cuerdas y 3 mosquetones 3. receptor-transmisor y baliza para avalancha

Dramaturgo B Dramaturgo C

26%24 5 24% 0,24 5 ___ 100

Captulo 2

37

24% , 25% , 26% Entonces, el dramaturgo B us el mayor porcentaje de actores. Resuelve. 1. Qu dramaturgo tuvo el menor porcentaje de intrpretes en el coro? 2. El dramaturgo D se une a la competencia con 20 intrpretes, 6 de los

cuales son actores. Cmo se compara el porcentaje del dramaturgo D con el de los otros dramaturgos?

Captulo 2

31

LE C C

N I

2

Estrategia: Hacer un grficoOBJETIVO:Resolverproblemasusandolaestrategiahacerungrfico.

Aprende la estrategiaHacer un grfico puede ayudarte a entender un problema y a ver su solucin ms fcilmente. Puedes usar diferentes tipos de grficos para diferentes problemas.

Haz un grfico de lnea para comparar el queso parmesano con los otros tipos de queso (ver tabla de quesos).Cul es la mayor diferencia entre la cantidad de quesos de Chile?

Produccin de queso en Chile Tipo de queso Porcentaje Gauda 70% Chanco 20% Mantecoso 2% Parmesano 8%

Tipo de queso

TALLER. Esta seccin, presente en algunos captulos, trabaja directamente los procedimientos necesarios para el estudio de la matemtica.

Haz un grfico circular para comparar las partes con el todo y las partes entre s. Mantecoso ParmesanoCmo se compara la cantidad de queso chanco con los otros tipos de quesos? (Ver tabla de quesos)

Produccin (%)

2% Chanco 20% Gauda 70%

8%

Cul es el tipo de grfico ms adecuado para analizar los datos anteriormente trabajados? Explica.Explicaporquesimportanteeltipode grficoparaelegirlaforma derepresentardatos.

24

XII

Cierre del captulo Despus de la conclusin de las Lecciones que discurren dentro de un Captulo se presenta el cierre del captulo, mediante la realizacin de varias pginas de actividades:Prctica adicionalGrupo A1.

Repaso/Prueba del Captulo 2Repasar el vocabulario y los conceptosEligeelmejortrminodelrecuadro.? es una cantidad que se resta del precio normal 1. Un de un artculo. ? es un porcentaje del costo de un artculo que se suma al 2. El costo del artculo ? . 3. La cantidad original que se deposita en una cuenta se llama

VOCABULARIOdescuento porcentaje impuesto a las ventas

Escribe el porcentaje sombreado.2. 3.

Preparados!24jugadores

TRATO HECHO!LN

Repasar las destrezasOrdena de menor a mayor.4. 15%, 20%, 8%, 10,1% 6. 30%, 25%, 15%, 52% 5. 45%, 4,5%, 4%, 5% 7. 225%, 125%, 13,5%, 215%

Escribe los decimales o las fracciones como porcentajes.8. 0,55 9. 0,3__ 10. 5 8 __ 11. 13 4

EA

Listos!

12. 1,06

Ordena de menor a mayor.4. 0,3%;3%;33%;30% 7. 98%, 89%, 76%, 67% 10. 9%;8,9%;9,8%;8,8% 5. 27%, 19%, 17%, 20% 8. 11%;0,11%;1,1%;111% 11. 22%, 13%, 24%, 15% 6. 10%;1%;0,1%;1,1% 9. 62%, 71%, 59%, 60% 12. 70%;7%;0,7%;700%

Cubonumeradorotulado1,1,2,2,3,3 2monedasdiferentes Tarjetasconofertas

LL EG AD A

DE

Usaunafraccinoundecimalparahallarelporcentajedelnmero.13. 0,6% de 400 14. 135% de 14 15. 35% de 80 16. 15% de 110 17. 5% de 135

Halla el precio de oferta.18. precio normal: $124 000 19. precio normal: $35 000

porcentaje de descuento: 25%20. precio normal: $7 500

porcentaje de descuento: 15%21. precio normal: $235 000

porcentaje de descuento: 30%EDE ROC S RET GARE 3 LU

porcentaje de descuento: 45%

Grupo B__ 1. 11 2

Escribe los decimales o fracciones como porcentajes.2. 0,7__ 7. 3 5

Estima el 15% de propina para las cantidades.22. $12,34 23. $76,12 24. $6,75 25. $26,00 26. $43,06

3.

0,03

__ 4. 1 5

5. 2,9 10. 1,85 15. 0,005

6. 0,225__ 11. 3 4

__ 8. 5 8

9. 0,157 14. 2 ___ 10

12. 0,957

13. 1,35

SALIDA

16. Una panadera horne pasteles de manzana para venderlos en la feria anual.

_ de taza de azcar. Para cada pastel de manzana se necesitan 10 manzanas y 3 4 Qu porcentaje de una taza de azcar se usa para cada pastel?

AD 1 ELA LU NT G AR A P UN IE TU RDE R S NOVUELVE A RE TR JUGAR 1 L OCE UG DE AR

Repasar la resolucin de problemasResuelve.ADEL AN 1 LUG TA AR

27. Miguel prepara paltas para servir en la once.

28.

Mezcla dos cucharaditas de limn con cinco paltas. Cuntas cucharaditas necesita para 15 paltas?

Explica cmo calcularas una propina del 20% para una cuenta de restaurante de $18 500.

17. Un congresista hizo una encuesta. Entre los electores que respondieron,

0,85% dijeron que pensaban votar en la prxima eleccin. Qu porcentaje de electores piensa votar en la prxima eleccin?

46

Grupo C

Usaunafraccinoundecimalparahallarelporcentajedelnmero.2. 40% de 45 7. 20% de 120 12. 25% de 256 3. 0,5% de 500 8. 300% de 2 13. 0,1% de 12 4. 200% de 22 9. 1% de 800 14. 250% de 34 5. 10. 15.

A empezar!

1. 25% de 64 6. 150% de 46 11. 100% de 112

10% de 23 20% de 82 37,5% de 240

Cadajugadoreligeunamonedadistintayla colocaenlaSALIDA. Mezclenlastarjetasycolquenlasenunapila bocaabajo.Decidanquinjuegaprimero. ElJugador1tomaunatarjetadelapila. ElJugador1eligelaofertadelatarjetaque msleconviene.

Losdemsjugadorescompruebanlarespuesta.Si escorrecta,elJugador1lanzaelcubonumerado yavanzaesacantidaddeespacioseneltableroy, entonces,serelturnodelsiguientejugador. Silarespuestaesincorrecta,elturnopasaal siguientejugadoryeljuegocontina. ElprimerjugadorquealcanzaocruzalaLNEA DELLEGADAeselganador.

16. Un fotgrafo descubri que 20% de las 35

17. El equipo de voleibol de Miriam gan el

fotos que tom durante una sesin de fotos deban volver a tomarse. Cuntas fotos se deban volver a tomar?

80% de los 25 partidos jugados durante la temporada. Cuntos partidos gan el equipo de voleibol de Miriam?

Captulo 2

43

Se trata ejercicios de refuerzo: Repaso/Prueba de Captulo, en algunos casos comprende un eje temtico completo.

44

Cierre de Unidad El final de la unidad se caracteriza por el trabajo con dos dobles pginas. Se trata de dos dobles pginas: Repaso/Prueba de la Unidad (con explicitacin de los captulos que incluye): Evala los conocimientos globales adquiridos. Y en algunos casos comprende un eje temtico completo.

Repaso / Prueba UnidadOpcin mltiple6 1. Marcos ahorra __ 16

Captulo 1 - 6

5. Qu lista de fracciones est ordenada de

de lo que gana por cortar 6 las siguientes __ el csped cada mes. Cul de ? 16

mayor a menor?3 5 ___ 1 __ __ __ , , 7 , A 5 8 15 4 5 3 1 7 __ __ __ ___ B , , , 8 5 4 15 7 5 3 1 ___ __ __ __ C , , , 15 8 5 4 5 3 7 1 __ ___ __ D __ , , , 8 5 15 4 3 1 6. ___ __5 12 8 1 __ A 6 1 B __ 5 8 ___ C 24 3 __ D 8_ kg de arena en 7. Pedro dividi 12 1 4

Almanaque para estudiantes. Se trata de una seccin de contenido cultural, tecnolgico, cientfico o de contenido de ocio que sirve para comprender una aplicacin matemtica, problemas basados en datos. La temtica del mundo real es local, regional, nacional o internacional. Sirve para cerrar la unidad.De aqu y de all Resolucin de ProblemasALMA

fracciones es equivalente a 1 __ A 41 B __ 3 3 C __ 8 8 D __ 3

ARA ESTUDIANTES NAQUE P

2. En una fiesta de cumpleaos, el pastel

se corta en 12 porciones iguales. Se comen cuatro porciones. Qu fraccin irreductible representa lo que queda del pastel?1 __ A 4 4 ___ B 12 2 C __ 3 8 ___ D 12

Contar votosee UU

Una

democracia slida en

3. Una clase de arte tiene 24 estudiantes._ de la clase fue a una El mes pasado, 5 6 excursin al museo de arte. Cuntos estudiantes fueron?

6 bolsas de arena. Si cada bolsa tiene la misma cantidad, cuntas libras de arena contiene cada una?

A 2 kg B C1kg ___ 2 24 12 1kg ___ 2

uando los ciudadanos votan Presidente o Vicepresidente de Estados Unidos, en realidad estn eligiendo a una serie de electores que emitirn su voto para Presidente y Vicepresidente en el Colegio electoral. Hoy, el candidato que obtiene ms votos de los ciudadanos de un estado en particular suele obtener todos los votos electorales de ese estado. En la Antigua Grecia, la forma de gobierno era la democracia directa. Esto significa que era el pueblo de Grecia el que haca las leyes y velaba por su cumplimiento. La nica manera de sancionar una ley era por el consenso de la mayora de las personas. Este tipo de gobierno coloca todo el poder en manos de los ciudadanos.

C

A 4 B 6

C 16 D 20

5 2 1 4. Cunto es _ 3 _ 3 _ como fraccin 5 8 2

irreductible?

1 A __ 8 10 B ___ 80 1 __ C 4 10 D ___ 40

1 __ kg D 73 2

8. Un panadero vendi hogazas de pan que

_ kg y 1 1 _ kg. Cunto pesaba el pan pesaban 1 2 4 3 en total?WA 11 OR 7 NV 5 CA 55 ID 4 UT 5 AZ 10 AK 3 MT 3 WY 3 CO 9 NM 5 ND 3 SD 3 NE 5 KS 6 OK 7 TX 34 VT NH 3 4 ME 4 MA 12 NY RI 4 31 MI CT 7 17 IA PA NJ 15 7 21 OH IL IN DE 3 21 11 20 WV VA MD 10 MO 5 13 11 DC 3 KY 8 NC 15 TN 11 AR SC 6 MS AL GA 8 15 6 9 LA 9 FL 27 WI 10

3 __ kg A 1 4

Del 1 al 4, usa el mapa. Escribe todas las fracciones en su mnima expresin.

3 __ kg B 2 4

MN 10

1

C

11 ___kg 2 12

D 3kg

Un candidato debe recibir la mayora (ms de la mitad) de los votos electorales para ser presidente. Cuntos votos electorales se requeran para ganar la eleccin de 2012? Escribe esta cantidad como fraccin. Cuntos votos electorales tiene California? Escribe esta cantidad como fraccin. Escribe un enunciado de suma de fraccin que muestre tres o ms estados cuya fraccin total de votos sea igual a la de California.

152

2 3

HI 4

Nmero de electores en el Colegio electoral por estado al ao 2012total 538.

4

Plantea un problema Escribe un problema similar al Problema 2, pero emplea otro estado.

154

XIII

Nmeros, conceptos defracciones y operaciones

Matemtica en ContextoQu conceptos matemticos se muestran en las fotografas de Matemtica en Contexto? Cmo puedes usar fracciones cuando cocinas y horneas?

REPASO DEL VOCABULARIO Cuando trabajaste con fracciones, aprendiste las siguientes palabras. Cmo se relacionan estas palabras con Matemtica en Contexto?p Si medimos cuidadosamente los ingredientes con la ayuda de fracciones y nmeros mixtos, obtenemos comidas deliciosas.

fracciones equivalentes fracciones que representan la misma parte o cantidad nmero mixto un nmero representado por un nmero entero y una fraccin mltiplo el producto de un nmero entero dado y otro nmeroentero

Copia y completa los mapas de crculos como se muestra abajo. Usa lo que sabes acerca de fracciones para responder a las preguntas.p Con la masa se forman panecillos

de hierbas, que luego se colocan sobre placas de horno en hileras de un mismo nmero.

Fracciones equivalentesQu sabes acerca de fracciones equivalentes? Qu experiencia te ayud a aprender acerca de las fracciones equivalentes?2 4 4 8 1 2 6 12 3 6 5 10 1 3

pL as comidas listas para servir se

disponen en el plato con gracia y se decoran con un toque floral.

Captulo 1 1 1

1ChileDATO BREVE

Teora de los nmeros

La idea importante

El estudio de la teora de los nmeros ayuda a comprender los conceptos de factores y mltiplos.

En Chile se han realizados estudios para identificar zonas en nuestro pas que por sus caractersticas naturales podran tener ventajas para la construccin de proyectos de generacin elica. Entre ellas se encuentran algunas zonas costeras de la regin de Atacama, Coquimbo y Maule.

InvestigaImagina que eres un investigador que estudia la produccin de energa en Chile. Qu combinaciones de dos a cuatro tipos de fuentes energticas permitiran que en Chile se cumpla 3 de las necesidades de con al menos __ 5 produccin de energa?

Capacidad instalada de Generacin Elctrica por Sistema: 2008Utilizando energas convencionales y no convencionales en 2008Pequea, 1% Pequea hidro, 1% Elica , 1% Biomasa, 2%

Hidro embalse, 25% Gas natural, 36% Hidropasada (sin embalse), 10%

Carbn, 15%

Petrleo, 9%

2


uComparar y ordenar nmeros enteros hasta 100 000Compara. Escribe o =.1. 11 000 11 050 2. 21 034 22 3453. 45 687 45 238 6. 12 000 1 200

4. 14 329 14 3295. 60 806 68 600

Ordena los nmeros de mayor a menor.7. 47 899; 48 799; 48 797 9. 78 311; 78 300; 78 310 8. 40 133; 43 100; 14 330 10. 94 586; 92 801; 99 934

uRepresentar fraccionesEscribe una fraccin para representar la parte sombreada.11. 12.

13.

14.


PREPARACIN

nmero compuesto factor mximo comn divisor (MCD) mximo factor comn (MFC) fraccin irreductible mnimo comn mltiplo (m.c.m.) mltiplo porcentaje nmero primo descomposicin en factores primos

mltiplo el producto de un nmero entero dado y otro nmero entero factor un nmero que se multiplica por otro para hallar un producto nmero primo un nmero entero mayor que 1 que tiene como nicos factores el 1 y s mismo

Captulo 1 3

LE C C

N I

1

Factores y mltiplos (matrices y rectas numricas)OBJETIVO: Hallar factores y mltiplos usando matrices y rectas numricas.

1.8 3 4 2.6 3 7 3.2 3 9 4. 5 3 5 5.3 3 10

AprendeUn factor es un nmero que se multiplica por otro nmero para hallar un producto. Cada nmero entero mayor que 1 tiene por lo menos dos factores, ese nmero y 1.

18 5 1 3 18factorfactor

7 5 7 3 1

342 5 1 3 342

ADVERTENCIAMuchos nmeros se pueden separar en factores de diferentes maneras. 16 5 1 3 16 16 5 4 3 4 16 5 2 3 8No olvides anotar el 1 y el nmero mismo como factores.

Actividad Materiales fichas cuadradas papel cuadriculado

Haz matrices para mostrar todos los factores de 24. Usa las 24 fichas para hacer una matriz. Registra la matriz en papel cuadriculado. Escribe los factores que muestra la matriz. 2 2 3 12 5 24 Factores: 2, 12 6 12

Haz tantas matrices diferentes como puedas con 24 fichas. Registra las matrices en papel cuadriculado y escribe los factores que muestran.

8 3 3 3 8 5 24 Factores: 3, 8 24 1

4 4 3 6 5 24 Factores: 4, 6

1 3 24 5 24 Factores: 1, 24 Por lo tanto, los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Puedes ordenar las fichas de cada matriz de otra manera y mostrar los mismos factores? Explica.

4

Hallar mltiplosPara hallar mltiplos de cualquier nmero, cuenta salteado o multiplica por los nmeros 1, 2, 3 y as sucesivamente. ProblemA Raquel tiene un brazalete de recuerdos nuevo con 20 eslabones. Pon un recuerdo en cada eslabn que es un mltiplo de 3. Qu eslabones tienen recuerdos? Haz un modelo.

Un mltiplo de un nmero es cualquier producto que tenga ese nmero como un factor. El nmero de mltiplos que tiene un nmero es infinito.

Idea matemtica

3

6

9 12 15 18

Los nmeros de las fichas rojas son todos mltiplos de 3. Por lo tanto, los eslabones 3o, 6o, 9o 12o, 15o y 18o tienen recuerdos. Qu pasara si el brazalete tuviera 27 eslabones? Qu otros eslabones tendran recuerdos? Multiplica y haz una lista.

Halla los primeros seis mltiplos de 4. 1 3 4 5 4 2 3 4 5 8 3 3 4 5 12 4 3 4 5 16 5 3 4 5 20 6 3 4 5 24 Por lo tanto, los primeros seis mltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20 y 24. E xplica cmo sabes que 30 es un mltiplo de 5. Puede un nmero que es un mltiplo de 3 tener 5 como un factor? Explica.

Prctica con supervisin1. Usa las matrices para nombrar los factores de 12.

j 3 j 5 12

j 3 j 5 12

j 3 j 5 12

Los factores de 12 son 1, j, 3, j, 6 y j

Captulo 1 5

Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.2. 20 3. 5 4. 49 5. 28

6. 25

Haz una lista de los primeros diez mltiplos de cada nmero.7. 6 12. 8. 2 9. 11 10. 411. 8

Explica cmo estn relacionados los nmeros 3 y 12. Usa las palabras factor y mltiplo en tu explicacin.

Prctica independiente y resolucin de problemasUsa matrices para hallar todos los factores de cada producto.13. 30 18. 64 14. 42 19. 21 15. 9 20. 75 16. 50 21. 18 17. 33 22. 17

Haz una lista de los primeros diez mltiplos de cada nmero.23. 9 28. 3 24. 1 29. 8 25. 7 30. 5 26. 10 31. 2 27. 12 32. 6

Es 6 un factor de cada nmero? Escribe s o no.33. 6 34. 16 35. 48 36. 24 37. 18

Es 36 un mltiplo de cada nmero? Escribe s o no.38. 8 39. 9 40. 18 41. 36 42. 5

Halla el mltiplo que falta.43. 4, 8, j, 16 44. 7, 14, 21, j 45. 5, j, 15, 20 46. 9, 18, 27, j

Resuelve los siguientes problemas.47. Qu mltiplos de 4 no son factores de 48? 48. Qu factores de 48 son tambin mltiplos de 4? 49. Clara pag $40 por dos recuerdos. El precio de cada

recuerdo era un mltiplo de $4. Cules son los precios posibles de los recuerdos?50.

Cul es la pregunta? La respuesta es 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

6

Comprensin de los Aprendizajes51. Pedro tena 321 bolitas. Perdi 17. Cuntas le 54. Qu mltiplo de 9 es tambin un factor de 9? 55. Ana est ordenando 9 fotografas en hileras

quedaron?52. Eva tiene 93 figuras de accin. Cuntos

estantes necesitar si pone 3 figuras de accin en cada estante?53. Una matriz tiene 4 hileras de 3 fichas en cada

iguales. De qu maneras puede ordenar las fotografas? A hileras de 1, 3 o 6

hilera. Cuntas fichas hay en total?

B hileras de 1, 2 o 9

C hileras de 1, 3 o 9 D hileras de 3, 6 o 9

RAZONAMIENTO LGICO A partir del 1o de diciembre, un camin de helados visita la calle de Sara cada 3 das y la calle de Bea cada 5 das. Cules son los primeros 2 das que el camin visita ambas calles el mismo da? Los das que el camin de helados visita ambas calles son mltiplos comunes de 3 y 5. Un mltiplo comn es un mltiplo de dos o ms nmeros. Puedes usar una recta numrica para hallar los mltiplos comunes.1 8 15 22 29 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 4 11 18 25 5 12 19 26 6 13 7 14

20 21 27 28

Ejemplo Usa una recta numrica.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 131415 16 17 18 19 2021 22 2324 25 2627282930

Por lo tanto, los primeros 2 das que el camin visita ambas calles son el 15 y 30 de junio.

Primero haz una lista de seis mltiplos de cada uno. Halla los mltiplos comunes.1. 2 y 4 5. 3 y 6 2. 9 y 12 6. 2 y 5 3. 4 y 8 7. 3 y 9 4. 3 y 5 8. 5 y 10

Captulo 1 7

LE C C

N I

2

Mltiplos y factoresOBJETIVO: Usar patrones de mltiplos y factores para resolver problemas e identificar factores primos y compuestos.

1.7 4 3.9 6 5.12 5

2.8 3 4. 5 4

AprendePROBLEMA En una carrera de bicicletas de 40 kilmetros, hay una estacin de bebidas en cada seal que indica cuatro kilmetros de recorrido y una estacin de refrigerios en cada seal que indica seis kilmetros de recorrido. En qu seales habr una estacin de bebidas y una de refrigerios? Puedes hallar los mltiplos comunes de 4 y 6 para resolver el problema. El mltiplo de un nmero entero es el producto del nmero entero dado y otro nmero entero. Los mltiplos comunes son mltiplos de dos o ms nmeros.

Vocabulariomltiplo factor nmero primo nmero compuesto

Ejemplo 1 Halla los mltiplos comunes de 4 y 6 que son menores que o iguales a 40.Mltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 Mltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36 Los mltiplos comunes de 4 y 6 son 12, 24 y 36. Entonces, habr una estacin de bebidas y una de refrigerios en las seales de 12, 24 y 36 kilmetros. Explica los patrones que observas en los mltiplos de 4 y 6. Un factor es un nmero que se multiplica por otro para hallar un producto. Los factores comunes son factores de dos o ms nmeros.

Ejemplo 2 Halla los factores comunes de 24 y 32.Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Factores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Entonces, los factores comunes de 24 y 32 son 1, 2, 4 y 8. Todos los nmeros enteros mayores que 1 son nmeros primos o compuestos. Un nmero primo es un nmero entero mayor que 1 que tiene como nicos factores el 1 y s mismo. Un nmero compuesto es un nmero entero mayor que 1 que tiene ms de dos factores.

Idea matemticaLos nmeros enteros 0 y 1 no son primos ni compuestos.

Ejemplo 3 Halla los factores de cada nmero. Indica si el nmero es primo,compuesto o ninguno de los dos. 12 Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 El nmero 12 es compuesto. 29 Factores de 29: 1, 29 El nmero 29 es primo. 1 El nmero 1 tiene un solo factor, que es 1, entonces no es un nmero primo ni un nmero compuesto.

8

Prctica con supervisin1. Haz una lista con los mltiplos de 6 y 9 menores que 60.

Luego enumera los mltiplos comunes de 6 y 9. Escribe los tres primeros mltiplos comunes.2. 8 y 12 3. 4 y 5 4. 5 y 12 5. 2, 4 y 12 6. 3, 4 y 8

Escribe los factores comunes.7. 12 y 2 12. 8. 6 y 7 9. 36 y 40 10. 6, 12 y 24 11. 3, 5 y 15

Explica 2 es el nico nmero primo par.

Prctica independiente y resolucin de problemasEscribe los tres primeros mltiplos comunes.13. 4 y 9 14. 10 y 14 15. 8 y 18 16. 3, 8 y 16 17. 2, 4 y 7

Escribe los factores comunes.18. 25 y 70 23. 4, 6 y 16 19. 15 y 30 24. 18, 45 y 72 20. 50 y 70 25. 8, 30 y 46 21. 32 y 45 26. 7, 18 y 21 22. 24 y 42 27. 4, 28 y 36

Indica si el nmero es primo, compuesto o ninguno de los dos.28. 98 29. 61 30. 0 31. 37 32. 82 33. 1

Halla el factor desconocido.35. 110 5 5 3 3 1136. 42 5 2 3 3 737. 48 5 3 3 3 4

34. 75 5 3 15

38. En la clase del profesor Gmez hay 12 nios y 18 nias. El profesor dividir al curso en grupos de manera tal que todos los grupos tengan la misma cantidad de nios y la misma cantidad de nias. Cules son los grupos posibles?39. Qu nmero es menor que 30 y tiene

exactamente ocho factores?41. Razonamiento Ser primo o compuesto el

40.Escribe 65 como el producto de dos nmeros primos.42.

producto de dos nmeros primos? Explica.

El producto de 9 y 6 es 54. Explica cmo hallar el mltiplo de 3 que da como resultado un producto de 54 cuando se multiplica por 3.

Comprensin de los Aprendizajes43. Expresa el nmero 0,03 en fraccin decimal 44.Si a = 1,05; b = 2 y c = 2,57 Cul es el valor 46.

Preparacin para las pruebas Cul de los siguientes nmeros es mltiplo comn de 6 y 8?B 24 C 40 D 42

a+b+c?45. Escribe el nmero que falta para que se cumpla

A 18

la relacin 3,57 > _____ > 3,55


Captulo 1 9

LE C C

N I

3

Mximo factor comnOBJETIVO: Hallar el mximo factor comn de dos o ms nmeros y usarlo para resolver problemas.

Escribe todos los factores.1. 17 3. 20 5. 33 2. 27 4. 74

AprendePROBLEMA En un jardn rectangular, Paty y su mam quieren plantar 36 petunias rojas y 42 petunias blancas en hileras iguales. Si plantan petunias del mismo color en una hilera, cul es la mayor cantidad de petunias que pueden plantar en cada hilera? Para resolver el problema, puedes hacer una lista y as hallar el mximo factor comn de 36 y 42. El mximo factor comn, o MFC, es el mayor factor que tienen en comn dos o ms nmeros. Como los factores son divisores de un nmero, el mximo factor comn tambin puede llamarse mximo comn divisor, o MCD.

Vocabulariomximo factor comn (MFC) mximo comn divisor (MCD) descomposicin en factores primos

Factores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Factores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Piensa: Los factores comunes son 1, 2, 3 y 6. El MFC de 36 y 42 es 6.

Entonces, la mayor cantidad de petunias que pueden plantar en cada hilera es 6.

ADVERTENCIA La descomposicin en factores primos de un nmero se obtiene cuando un nmero est expresado como el producto de sus factores primos. Por ejemplo, Cuando se enumeran los sabemos que 12 5 4 3 3. Si usamos solo nmeros primos, sera 12 5 2 3 2 3 3. factores de un nmero, ninguno de los factores Entonces, la descomposicin en factores primos de 12 es 2 3 2 3 3.Puedes usar la descomposicin en factores primos o un diagrama escalera para hallar el MFC de dos o ms nmeros.puede ser mayor que el nmero mismo.

Usa la descomposicin en factores primos para hallar el MFC de 8, 12 y 20. 8523232 12 5 2 3 2 3 3 20 5 2 3 2 3 5 2 3 2 5 4Usa solamente nmeros primos. Escribe la descomposicin en factores primos de cada nmero. Enumera los factores primos comunes y halla el producto.

U sa un diagrama escalera para hallar el MFC de 12, 18 y 48.Divide cada nmero entre un factor comn de los nmeros. Contina dividiendo hasta que los nmeros no tengan factores comunes. Halla el producto de los divisores.

2 12 18 48 3 6 9 24 2 3 8 23356

Entonces, el MFC de 8, 12 y 20 es 4.

Entonces, el MFC de 12, 18 y 48 es 6.

Sebastin us un diagrama escalera para hallar el MFC de 36 y 48. Dividi entre 3 y luego entre 4. Cambiara el MFC si eligiera dos factores comunes diferentes? Explica tu respuesta y da un ejemplo.

10

Prctica con supervisin1. Completa la descomposicin en factores primos para hallar el MFC de 12 y 28.

Factores de 12: 2 x x 3 Halla el MFC.2. 18, 24 7. 3. 50, 75

Factores de 28: 2 x 2 x MFC: 2 x =

4. 45, 81

5. 6, 9, 18

6. 6, 10, 12

Explica cmo usar la descomposicin en factores primos para hallar el MFC de 8 y 52.

Prctica independiente y resolucin de problemasHalla el MFC.8. 26, 28 9. 12, 40 14. 21, 56 19. 3, 9, 18 10. 96, 120 15. 9, 48 20. 20, 50, 70 11. 14, 21 16. 15, 28 21. 32, 36, 45 12. 9, 16 17. 16, 35 22. 4, 12, 20

13. 42, 9618. 16, 32, 48

Halla dos pares de nmeros que se correspondan con cada enunciado.23. El MFC es 8. 24. El MFC es 6. 25. El MFC es 12.26. El MFC es 15.

27. La clase de Ana vender cajas con plantas. Cada caja tendr un tipo de planta y todas las cajas tendrn la misma cantidad. Si hay 60 begonias, 48 geranios y 96 calndulas, cul es el mayor nmero de plantas que los nios pueden colocar en cada caja? Del 28 al 29, usa la siguiente informacin. Un curso de la Escuela Bsica Pablo Neruda recibir 24 lapiceras, 16 reglas, 32 lpices y 12 cuadernos para un proyecto escolar. Cada estudiante que reciba los elementos obtendr la misma cantidad de cada objeto que los dems estudiantes.28. Cul es el mayor nmero de estudiantes

que recibir los elementos si se usa cada objeto? 29. Si hubiera 20 reglas y 16 lpices ms, cul podra 30. Da un ejemplo para ilustrar el ser el mayor nmero de estudiantes que recibiera los siguiente enunciado: El MFC de un nmero y elementos si se usara cada objeto? uno de sus mltiplos es el nmero mismo.

Comprensin de los Aprendizajes31.Si a = 43,72 y b = 4,9 Cul es el valor de: 34. Preparacin para las pruebas Cul de los

a (a b) 32. Qu factores de 16 son tambin factores de 64?33. 68,2 48,9

siguientes nmeros es el mximo comn divisor de56 y 49? A 2 B 4C 7 D 9

Prctica adicional en la pgina 18, Grupo B

Captulo 1 11

LE C C

N I

4

Mnimo comn mltiploOBJETIVO: Hallar el mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros y usarlo para resolver problemas.

Escribe los primeros 4 mltiplos de cada nmero.1. 4 4. 8 2. 6 5. 15 3. 12

AprendePROBLEMA Para una comida escolar al aire libre, cada uno de los 20 padres voluntarios necesita una bandeja grande y una cuchara de servir. Las bandejas vienen en juegos de 8 y las cucharas, en juegos de 12. Cul es la menor cantidad de bandejas y cucharas que debe comprar la escuela para tener el mismo nmero de bandejas y cucharas, y que alcancen para todos los padres voluntarios? Puedes resolver el problema al hallar el mnimo comn mltiplo, o m.c.m., de 8 y 12. El m.c.m. es el nmero ms pequeo, mayor que 0, que es mltiplo comn de dos o ms nmeros. Usa una lista. Mltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, Mltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72,

Vocabulariomnimo comn mltiplo (m.c.m.)

Los primeros tres mltiplos comunes son 24, 48 y 72. El mnimo comn mltiplo, o m.c.m., es 24.

Usa la descomposicin en factores primos.8 5 2 3 2 3 2 5 23 12 5 2 3 2 3 3 5 22 3 3 23 3 3 5 24Anota la descomposicin en factores primos de cada nmero. Escribe la mayor cantidad de veces que aparece cada factor en cualquier descomposicin en factores primos. Multiplica.

Entonces, la menor cantidad de bandejas y cucharas que debe comprar la escuela es 24. Qu sucedera si las bandejas vinieran en juegos de 6 y las cucharas en juegos de 12? Cul sera la menor cantidad de bandejas y cucharas que debera comprar la escuela? Usa la descomposicin en factores primos para hallar el m.c.m. de 16 y 24.

AprendeUn exponente muestra cuntas veces se usa como factor un nmero llamado base. En 23 5 2 3 2 3 2, el exponente 3 muestra que la base 2 se usa como factor tres veces.

Ejemplo 1 Halla pares de nmeros con un m.c.m. de 20.Puedes resolver este problema al usar el m.c.m. y uno de sus factores. Factores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Pares de nmeros posibles: 1, 20 2, 20 4, 20 5, 20 10, 20

Qu otros pares de nmeros tienen un m.c.m. de 20?

12

El m.c.m. de tres nmerosPuedes usar mtodos similares para hallar el m.c.m. de tres nmeros.

Usa una lista para hallar el m.c.m. de 10, 14 y 70. Mltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, Mltiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, Mltiplos de 70: 70, 140,

Entonces, el m.c.m. de 10, 14 y 70 es 70.

6 5 2 3 3 95333 15 5 3 3 5

Usa la descomposicin en factores primos para hallar el m.c.m. de 6, 9 y 15.

Escribe la descomposicin en factores primos de cada nmero.

2 3 3 3 3 3 5 5 90 Escribe la mayor cantidad de veces que aparece cada factor Entonces, el m.c.m. de 6, 9 y 15 es 90.

en cualquier descomposicin en factores primos. Multiplica.

Ejemplo 2 Halla tres nmeros con un m.c.m. de 36.36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 1, 2, 36 2, 4, 9 4, 9, 12 2, 9, 36 4, 6, 9 6, 12, 18Haz una lista con los factores de 36.

3, 4, 36 Primero, usa el m.c.m., 36, y otros dos factoresal azar. Se dan grupos posibles.

9, 12, 18 12, 18, 36

Luego halla otro grupo de tres factores de 36 que tengan un m.c.m. de 36. Se dan grupos posibles.

Prctica con supervisin1. Haz una lista con los primeros seis mltiplos de 12 y 18. Encierra en un crculo los

mltiplos comunes. Luego halla el mnimo comn mltiplo. Escribe el m.c.m. de los nmeros.2. 9, 12 3. 4, 30 4. 5, 25 5. 3, 5, 15 6. 2, 3, 4

Escribe dos nmeros con el m.c.m. dado.7. 15 12. 8. 16 9. 44 10. 100 11. 56

Explica cmo cada uno de los siguientes nmeros se relaciona con su m.c.m., 24 412, 24, 3, 8 y 6, 8.

Captulo 1 13

Prctica independiente y resolucin de problemasEscribe el m.c.m. de los nmeros.13. 15, 25 18. 3, 12, 15 14. 8, 14 19. 10, 16, 20 15. 8, 15 20. 4, 36, 54 16. 11, 22 21. 2, 7, 10 17. 4, 18 22. 27, 3, 6

Escribe dos nmeros con el m.c.m. dado.23. 40 24. 39 25. 24 26. 30 27. 22

Escribe tres nmeros con el m.c.m. dado.28. 10 29. 20 30. 18 31. 28 32. 45

USA LOS DATOS Del 33 a 34, usa el grfico.33. Marco compr igual cantidad de botellas de jugo

de naranja, manzana y guinda para la comida escolar al aire libre. Cul es la menor cantidad de cada uno que puede haber comprado para tener el mismo nmero de botellas de cada jugo y que no haya sobras?34. Qu sucede si Marco compra igual cantidad

de botellas de dos tipos de jugo? Comprar ms botellas si elige jugo de naranja y manzana, de guinda y naranja, o de manzana y guinda? Cuntas botellas de cada jugo comprar? Explica tu razonamiento. 35. El m.c.m. de dos nmeros es 18. El MFC de los nmeros es 3. Cules son los nmeros posibles?37. Plantea un problema Lee otra vez el Problema

Naranja

Manzana

Guinda

36. El m.c.m. de dos nmeros es 40. El MFC de los nmeros es 4. Cules son los nmeros posibles?

38.

35. Escribe un problema similar en el que cambies el m.c.m. y el M.C.D.

Laura dice que el m.c.m. de dos nmeros primos diferentes es su producto. Explica si tiene razn o no.

Comprensin de los Aprendizajes39. Redondea 12 082 a la dcima ms prxima.___ 40. Cules son dos fracciones equivalentes a 12 ? 15

42. Qu nmeros son dos mltiplos comunes de

4, 10 y 12?43. Preparacin para las pruebas El m.c.m. de tres

41. Preparacin para las pruebas Cul es el mnimo

comn mltiplo de 12 y 18? A 6B 30 C 36 D 120

nmeros es 90. Uno de los nmeros es 15. Cules pueden ser los otros dos? A 6, 8 B 18, 30 C 2, 10 D 30, 50

14

Prctica adicional en la pgina 18, Grupo C

Escribir para explicarEscribir una explicacin ayuda a analizar cuidadosamente los pasos que hicieron falta para resolver un problema. Tambin sirve para comprender un concepto matemtico o una destreza. El gobierno que asumi en el ao 1994 dur seis aos. Los alcaldes duran 4 aos. Si el presidente y alcalde asumen el mismo ao, en cuntos aos ms podrn presentarse a la eleccin juntos? El mnimo comn mltiplo de 4 y 6 es el nmero menor de aos que pasarn antes de que el presidente y el alcalde puedan postularse para la reeleccin en el mismo ao. Lee la explicacin de Laura acerca de su solucin.

explicacin Primero, halla los factores comunes de 4 y 6. Menciona cul es el problema en la 4: 1, 2, 4 primera oracin. Los factores comunes son 1 y 2. 6: 1, 2, 3, 6 Usa conectores como primero, luego y por El mximo factor comn es 2. ltimo para mostrar el orden de los pasos. Luego multiplica el nmero de aos que dura el perodo del Usa trminos matemticos correctos. presidente por el nmero de aos que el alcalde cumple con su cargo. Muestra todos los clculos. 4 3 6 5 24 Menciona la solucin del problema en la ltima oracin de tu explicacin. Por ltimo, divide el producto entre el mximo factor comn para hallar el mnimo comn mltiplo. 24 4 2 5 12 NARANJA MANZANA ARANDANOS Entonces, en 12 aos, el alcalde y el presidente podrn postularse para la reeleccin en el mismo ao.

Consejos para escribir una

Resolucin de problemas Escribe unaexplicacin para mostrar cmo resolver cada problema. 1. Daniela colgar luces rojas, blancas y azules para una fiesta electoral. Las luces rojas vienen en paquetes de 6, las blancas, en paquetes de 8 y las azules, en paquetes de 3. Planea colgar la misma cantidad de cada color. Cul es el menor nmero de luces de cada color que debe comprar? Cuntos paquetes de cada color debe comprar?

2. Rafael tiene 12 carteles y 36 boletas de muestra

para la eleccin escolar. Est armando paquetes, todos con la misma cantidad de carteles y de boletas. Cul es la mayor cantidad de paquetes que puede armar sin que sobren objetos? Cuntos de cada uno de los objetos habr en cada paquete?

Captulo 115 Captulo 1 15

LE C C

N I

5 Destreza: Identificar relacionesOBJETIVO: Resolver problemas con la destreza identificar relaciones.

Lee para entenderPROBLEMA Patricio y Sandra hicieron la tabla que se muestra abajo para identificar las relaciones entre un par de nmeros, su mximo factor comn y su mnimo comn mltiplo. Qu relaciones se muestran?a 3 4 3 8 7 15 54 b 4 6 6 24 3 9 9 a3b 12 24 18 192 21 135 486 MFC 1 2 3 8 1 3 9 m.c.m. 12 12 6 24 21 45 54 MFC 3 m.c.m. 12 24 18 192 21 135 486

Observa los pares de nmeros y describe las relaciones. Par de nmeros Relacin

Halla la fila con 3 y 6. El nmero 6 es un mltiplo de 3. Cul es la relacin entre el m.c.m. y los nmeros?Halla la fila con 3 y 4. El MFC de los nmeros es 1. Cul es la relacin entre el m.c.m. y el producto de los nmeros?

Cuando un nmero es mltiplo del otro, el m.c.m. es el nmero mayor. Cuando el MFC es 2, el m.c.m. es el producto de los nmeros. Cuando el m.c.m. es el nmero mayor, el MFC es el nmero ms pequeo.

Halla la fila con 8 y 24. El nmero mayor es el m.c.m. Cul es la relacin entre el MFC y los nmeros?

Piensa y comentaUsa las relaciones que se muestran arriba para ayudarte a resolver los problemas.a. Observa la tabla. Qu otros pares de nmeros tienen la misma relacin que 3

y 6? Cmo puedes hallar el m.c.m. de cada par de nmeros?b. El MFC de 14 y 17 es 1. Cmo puedes hallar el m.c.m.? c. El m.c.m. de 5 y 10 es 10. Cmo puedes hallar el MFC?

16

Resolucin de problemas con supervisin1. Pedro y Martn quieren ver si hay alguna relacin entre dos nmeros

primos y su m.c.m. Hicieron una tabla como ayuda. Qu relaciones ves?a 2 2 3 3 5 13 b 3 5 5 7 7 11 m.c.m. 6 10 15 21 35 143

Primero, observa cada par de nmeros y su m.c.m. Luego, decide si hay alguna relacin.2. Qu pasara si hubiera tres nmeros primos? Qu relacin hay entre

los nmeros y su m.c.m.? Explica tu respuesta. 3. Qu relacin hay entre la suma de dos nmeros pares y la suma dedos nmeros impares? Explica y da un ejemplo.

Aplicaciones mixtas4. Existe una relacin entre los nmeros compuestos 4, 16, 36, 81, 100 y 144.

Identifica la relacin y escribe otros dos nmeros que tengan la misma relacin. 5. En qu se relacionan el producto de dos nmeros pares y el producto de un nmero par y uno impar? Se relacionan de igual manera el producto de dos nmeros pares y el de dos nmeros impares? Explica y da un ejemplo. Del 6 al 9, usa la tabla.6. Cuntos gramos pesan en total las

estampillas de La divisin El Teniente 100 aos y la estampilla Nativas pascuenses en las cantera?7. Qu cantidad de tipos de estampillas

Estampillas chilenasNombre Centenario de los ascensores de Valparaso Nativas pascuenses en las canteras XXV Tratado Antrtico chileno 100 aos Divisin El Teniente Iglesias de Chilo Peso en g 0,60 0,33 0,80 0,48 0,37 Fecha de emisin 1983 1986 1985 2005 2002 Lugar Valparaso Isla de Pascua Base OHiggins Antrtica Chilena Rancagua Chilo

puedes pesar para obtener exactamente 7 gramos como resultado total? 8. Cul es la menor cantidad de estampillas de Ascensores de Valparaso y Tratado Antrtico chileno, puedes pesar si quieres obtener el mismo gramaje como resultado?9. Qu estampillas al pesarlas, dan

exactamente 20 gramos como total?

Captulo 1 17

Prctica adicionalGrupo A Escribe los primeros tres mltiplos comunes.1. 4, 6 2. 3, 8 3. 7, 14 4. 3, 4, 12 5. 4, 5, 8

Escribe los factores comunes.6. 20, 407. 7, 17 8. 32, 40 9. 16, 32, 64 10. 5, 10, 35

Indica si el nmero es primo, compuesto o ninguno de los dos.11. 5112.42 13.19 14.0 15.29

Grupo B Halla el MFC.1. 16, 242. 8, 163. 18, 54 4. 4, 14 5. 84, 108

6. 15, 36

7. 18, 42

8. 24, 84

9. 21, 56

10. 15, 70

11. Mara tiene 16 rosas y 12 azucenas para colocar 12. Cul es la mayor cantidad de bolsas de

en floreros. Si coloca la misma cantidad de rosas y azucenas en cada florero, cul es el mayor nmero de floreros que necesitar para colocar todas lasflores?

cumpleaos que puede hacer Ivn con 20 regalitos y 16 globos si cada bolsa tiene el mismo nmero de regalitos y globos, e Ivn usa todos los objetos?

Grupo C Escribe el m.c.m. de los nmeros.1. 4, 6 2. 7, 14 3. 10, 15 4. 3, 4 5. 6, 24

6. 12, 18, 36

7. 6, 12, 18

8. 10, 16, 20

9. 3, 7, 21

10. 10, 18, 72

11. 7, 5

12. 9, 6, 4

13. 8, 18

14. 15, 12

15. 6, 8, 48

16. El m.c.m. de dos nmeros es 16. El MFC de

17. El m.c.m. de dos nmeros es 40. El MFC de

los nmeros es 4. Cules son los nmeros?

los nmeros es 20. Cules son los nmeros?

18

Primo o Compuesto?Preparados!2 jugadores

Sal

Listos? 29 papelitos bolsa de papel 30 fichas 2 monedas diferentes

ida

LlegadaYa! Los jugadores escriben en papelitos los nmeros del 2 al 30 y los ponen en una bolsa. Cada jugador elige una moneda y la coloca en la SALIDA. Por turnos, cada jugador saca un nmero de la bolsa. Identifica si el nmero es primo o compuesto. Si el nmero es compuesto, el jugador usa las fichas para hacer todas las matrices posibles que muestren el nmero. El otro jugador comprueba las matrices. El Jugador 1 avanza dos lugares por cada matriz que haga de un nmero compuesto. Si el Jugador 2 puede hacer otra matriz del nmero del Jugador 1, puede avanzar un espacio. Gana el primero que alcanza la LLEGADA.

Captulo 1 19

Repaso/Prueba del Captulo 1Repasar el vocabulario y los conceptosRepasar el vocabulario y los conceptos.1. El producto de un nmero entero y otro nmero

Vocabulariomximo factor comn (MFC) mnimo comn denominador (m.c.d.) nmero compuesto nmero primo

entero se llama__?___.2. El nmero 3 es el __?__ de los nmeros 6 y 15. 3. Un nmero que es factor y mltiplo de 24.

4. Factor de todos los nmeros_____.5. 6 es factor de_____. 6. 6 es mltiplo de _____. 7. Primer mltiplo comn de 6 y 9 ____.

Completa las palabras mltiplos o factores.8.25, 100 y 150 son _________ de 25.9. 1, 2, 5, 10, 25, y 50 son __________ de 50. 10. Cada nmero tiene una cantidad infinita de __________. 11. Si un nmero x divide a otro nmero y en forma exacta, se dice que x es un _______de y. 12. Cul de los siguientes nmeros es un nmero primo? A4 B 9 C D

13 15

Repasar las destrezasHalla el MFC y el m.c.m. de cada grupo de nmeros.13. 3, 414. 8, 6415. 15, 1816. 9, 12, 1817. 10, 20, 50

Repasar la resolucin de problemasResuelve.18. Marco descubri que existe una relacin entre los nmeros compuestos 6 y 24. Identifica la relacin y

escribe otros dos nmeros que tengan la misma relacin. 19. Ral escribi los nmeros 12 y 18 en el pizarrn. Descubri que el m.c.m. de 12 y 18 es 36. Cul es el MFC del par de nmeros?20.

Amalia escribi los nmeros primos 3 y 11. Dice que cuando el MFC de dos nmeros es 1, el m.c.m. es el cociente de los nmeros. Tiene razn? Explica.

20

Enriquecimiento Nmeros perfectos,

Ser perfecto

abundantes y deficienteso

no ser perfecto?analizar Clasifica 18 despus de s propios. la suma de sus divisore Paso 1: 1, 2, 3, 6, 9 Paso 2: 1 + 2 + 3 + 6

Los nmeros pueden clasificarse en abundantes, deficientes o perfectos. La clasificacin de un nmero depende de la suma de sus divisores propios. Los divisores propios son los factores del nmero, excluyendo al nmero mismo. La suma de los divisores propios de un nmero abundante es mayor que el nmero en s. La suma de los divisores propios de un nmero deficiente es menor que el nmero en s. La suma de los divisores propios de un nmero perfecto es igual al nmero en s.

+ 9 = 21

EjemploClasifica los nmeros 18, 21 y 6 en abundantes, deficientes o perfectos.18 21 1, 3, 7 6 1, 2, 3

Paso 1 Escribe los divisores propios del nmero. Paso 2 Halla la suma de los divisores propios. Paso 3 Compara la suma y el nmero. Paso 4 Clasifica el nmero.

1, 2, 3, 6, 9

21

11

6

21 18

11 21

656

abundante

deficiente

perfecto

Entonces, 18 es un nmero abundante, 21 es un nmero deficiente y 6 es un nmero perfecto.

PrubaloClasifica cada nmero en abundante, deficiente o perfecto.1.292.303.284.175.64 7.51 8.48 9.12 10.4011.53 6.24 12.496

13. Emilio escribi los nmeros primos 31 y 13

14. Razonamiento El primer nmero abundante

sobre una hoja. Qu notas acerca de los nmeros primos 31 y 13? Explica.

impar se encuentra entre 800 y 1 000. Si sus factores primos son 3, 5 y 7, cul es el nmero?

Explica la razn por la que el producto de 2 y cualquier nmero perfecto siempre ser un nmero abundante.

Captulo 1 21

Comprensin de los AprendizajesCaptulo 1Percepcin numrica__ 1. Qu valor resulta al amplificar 7 por 5? 8

lgebra6.Si x 5 3 Cul es el valor de 12 4 x 5 --? A 2 B 4 C6 D8 7.Si n es par menor que 8 y mayor que 4, que C 3540 35

A

35 8 13

B 12

D 40

2. Cul de las siguientes fracciones es mayor que 5 ?7

6 A 10

D 4868 3

valor tiene n:A 2 B 4 C6 D8 8. Qu valor debe ir en el recuadro para que se

B 3642 8

E 2

C 5

3. De las fracciones que aparecen Cul es la

fraccin equivalente a 1 ?A 7 12 15 32 4 4

cumpla la igualdad?. 125 2 _____5 50A 50 B 45 C75 D100 9. Cul es el valor de x en la siguiente

B 9 C 8 D 2

4. El nmero mixto 8 enteros 1 escrito como 4

fraccin es:

36 A 4

ecuacin?. 2x + 4x = 18A x=6

5.

B 8

33 4

3

B x = 18 C x = 3 D x = 12

C 33 D 4

33

Explica cmo se escribe 8 como nmero decimal.

10.

Explica cmo se halla el valor de la expresin x 2 10 para x 5 12.

22

Geometra y medicin11. La figura UVXWX es un cuadrado. Cada lado

Estadstica14. La seora Gonzlez registr la asistencia a

mide 3,5 centmetros .Cul es su permetro?

cinco funciones de un concierto en la siguiente tabla.

U

V

Asistencia al conciertoFunciones Cantidad de personas 125 234 190 305 331

X

W

Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes

Si el rea del tringulo UWX es de 12 centmetros cuadrados, cul es el rea total de UVWX?A 7 cm B 7 cm2 C 14 cm D 24 cm2 12. La red que observas a continuacin representa

Qu da asistieron ms personas?A ViernesC Martes B JuevesD Mircoles

la red de un:Red de

15. Cuntas personas ms asistieron el da

viernes que el jueves?A 28 B 18 C16 D26

A prisma rectangular B cubo C pirmide cuadrada D prisma triangular 13. Cuntas vrtices tiene la red del cuerpo 16. Cul de las siguientes preguntas no puedes

contestar con los datos de la tabla?A Cul es la cantidad es asistentes en la

geomtrico anterior?A 12 B 8 C16 D14

semana hbil?B Cul es la cantidad de hombres y mujeres

que asistieron a cada concierto?C Cuntos asistentes ms hubo el da

mircoles que el lunes?D Cuntos asistentes menos hubo el da

martes que el viernes?

Captulo 1 23

2

Porcentaje y decimalesLa idea importanteLos porcentajes pueden expresarse como fracciones y como decimales.

Chile

DATO BREVE

El puma es el depredador ms peligroso de Chile. Se encuentra desde Arica a Magallanes. Habita tanto en la cordillera (hasta los 5 000 m), como en los bosques densos hasta el nivel del mar.

InvestigaImagina que ests estudiando los pumas . En la siguiente tabla se muestran los datos que se obtuvieron sobre varios de ellos. Compara la velocidad que alcanz cada uno para cubrir una distancia determinada.Ejemplar

Velocidad del pumaDistancia recorrida (metros) 137 160 228 182 Tiempo (segundos ) 5 6 9 4

Hembra grande Hembra pequea 1 Hembra pequea 2 Macho grande

24


uRelacionar decimalesEscribe cada fraccin como decimal. 4 3. 2 5. 1. 8 2 2. 4 1 4. 8 9 10 5 4 5 10 3 9. 6210. 6. 5 697. 4 24 8. 4 17 100 25 4 100 25

11. 1 35 12. 2 5 13. 6 2 14. 6 13 15. 1 1 50 10 4 20 2

uEscribir decimales como fraccionesEscribe cada decimal como una fraccin.16. 0,217. 0,3518. 0,0619. 0,8520. 0,41 21. 0,09222. 0,0723. 0,62524. 0,1525. 0,015 26. 0,1227. 0,0128. 0,9929. 0,25530. 0,199

uEscribir fracciones irreductiblesBusca la fraccin irreductible. 49 34. 120 81 31. 6 10 32. 5 32 33. 35. 20 14 63 48 9 600 125 123 166 36. 420 37. 38. 39. 40. 800 300 305 93 420


PREPARACIN

porcentaje de descuento (%)

descuento un monto que se resta al precio normal de un artculo impuesto a las ventas un porcentaje del precio de un artculo que se agrega a su precio final porcentaje es la razn de un nmero a 100 razn las razones comparan cantidades: una parte con otra parte, una parte con el todo y el todo con unas partes

Captulo 2 25

1

PorcentajeOBJETIVO: Escribir, comparar y ordenar porcentajes.

Compara. Escribe , o ..1. 52 48 3. 33 32,3 5. 0,6 0,9 2. 0,7 7 4. 102 120

AprendePROBLEMA Diego ha diseado un mural de pared con mosaicos. Veinticinco de los 100 mosaicos son azules. Escribe esta relacin como un porcentaje. La razn 25 de 100 puede expresarse como porcentaje. Un porcentaje es la razn de un nmero a 100. Por ciento, %, significa por cien.mosaicosazules ____ ______________ 25 5 25% 100 100

Entonces, 25% del mural de Diego es azul. Un porcentaje puede estar entre 0% y 100%, o ser mayor que 100%.

Ejemplo 1 Escribe el porcentaje que est sombreado.68 de los 100 cuadrados estn sombreados.

Los porcentajes pueden representarse en una cuadrcula de 10 3 10. El cuadrado completo es el 100%. Un cuadrado pequeo es 1%.

Idea matemtica

68 ___ 5 68% 100

1 _ de un cuadrado de los 100 cuadrados 4 est sombreado.

1%

4 1 ____ 5 _ % o 0,25% 4

1 _

100

Cmo representaras 125%? Puedes comparar y ordenar porcentajes como lo haces con otros nmeros.

Ejemplo 2 Ordena 0,2%, 40%, 6% y 300% de menor a mayor.Compara todos los pares posibles de porcentajes. 0,2% . 40% 40% . 6% 0,2% , 6% 40% , 300% 0,2% , 300% 6% , 300%

Entonces, de menor a mayor, los porcentajes son 0,2%, 6%, 40% y 300%.

26

Prctica con supervisinEscribe el porcentaje sombreado.1.

26 de 100 5 ____ 5 j 2. 100

26

1 _ cuadrado de los 100 cuadrados 22 ____ 5 j 1 _

3. 4. 5.

100

6.

7.

Explica cmo ___ puede escribirse como un porcentaje. 100

39

Prctica independiente y resolucin de problemasEscribe el porcentaje sombreado.8. 9. 10. 11.

Ordena de menor a mayor.12. 14%, 16%, 11%, 13% 15. 37%, 3,7%, 77%, 0,37% 13. 16%, 25%, 21%, 20% 16. 0,4%, 140%, 14%, 4,3% 14. 0,5%, 50%, 5%, 55% 17. 217%, 0,72%, 72%, 17%

Del 18 al 20, usa el mural.18. Karina us 100 mosaicos para disear el mural que se muestra

a la derecha. Qu porcentaje del mural es blanco?19. Compara el porcentaje del mural que es rojo con el porcentaje

que es amarillo. Usa ,, . o 5.20.

A qu total deben llegar todos los porcentajes de todos los colores de mosaicos? Explica.

Comprensin de los Aprendizajes21. Un encuestador hizo preguntas a una de cada 23. Ordena 0,45, 0,34, y 0,54 de menor a mayor. 24. Preparacin para las pruebas En la prueba,

diez personas que pasaban por la calle. Qu forma de seleccionar una muestra se us?22. Convierte 350 metros = centmetros

Carla tuvo 7 respuestas equivocadas de 100. Qu porcentaje estuvo bien?


Captulo 2 27

LE C C

N I

2

Estrategia:Hacer un grficoOBJETIVO:Resolver problemas usando la estrategia hacer un grfico.

Aprende la estrategiaHacer un grfico puede ayudarte a entender un problema y a ver su solucin ms fcilmente. Puedes usar diferentes tipos de grficos para diferentes problemas.

Haz un grfico de lnea para comparar el queso parmesano con los otros tipos de queso (ver tabla de quesos).Cul es la mayor diferencia entre la cantidad de quesos de Chile?

Produccin de queso en Chile Tipo de queso Porcentaje Gauda 70% Chanco 20% Mantecoso 2% Parmesano 8%

Produccin (%)

Tipo de queso

Haz un grfico circular para comparar las partes con el todo y las partes entre s. ParmesanoCmo se compara la cantidad de queso chanco con los otros tipos de quesos? (Ver tabla de quesos)Mantecoso 2% 8% Chanco 20% Gauda 70%

Cul es el tipo de grfico ms adecuado para analizar los datos anteriormente trabajados? Explica.Explica por qu esimportante el tipo de grfico para elegir la forma de representar datos.

28

Usa la estrategiaPROBLEMA Ximena encuest a 200 miembros del Club Osorno. Cmo se compara la cantidad de miembros del club que cran una clase especfica de ganado, con la cantidad total de miembros del club que cran ganado?

Ganado del Club OsornoClase de ganado Cantidad de miembros Cerdos 80 Ganado vacuno 40 Cabras u ovejas 50 Aves de corral 30

Qu te piden hallar? Qu informacin se da?

Qu estrategia puedes usar para resolver el problema? Ya que quieres mostrar cmo se relacionan las partes con el todo, haz un grfico circular.

Cmo puedes usar la estrategia para hallar una solucin? Un grfico circular muestra la forma como se relacionan las partes de los datos con el todo y entre s. Primero, divide un crculo en diez secciones iguales. Cada seccin representa el 10% de los 200 miembros del Club Osorno. Luego, halla el porcentaje de miembros del Club Osorno que cra cada clase de ganado. cerdos 80 ____ 5 40% 200

Ganado del Club Osornoaves de corral cabras u ovejas 15% 25% 20% ganado vacuno 40% cerdos

ganado vacuno 40 ____ 5 20% 200

cabras u ovejas ____ 50 5 25%200

aves de corral ____ 30 5 15%200

Sombrea las secciones para representar cada porcentaje. Rotula y titula el grfico. Por lo tanto, el grfico muestra la relacin entre la cantidad de miembros que cra una clase especfica de ganado y la cantidad total de miembros del club de crianza de ganado.

Consideras que el grfico que hiciste es apropiado para el conjunto de datos? Explica tu respuesta.

Captulo 2 29

Resolucin de problemas con supervisin1. Jacinta encuest a los miembros de su Club Osorno para saber cuntos

aos tenan. Organiz sus datos en una tabla. Cmo se compara la cantidad de miembros en cada grupo de edades con la cantidad total de miembros del club?

Edades de los miembros del Club OsornoGrupo Infantes Menores Intermedios Adolescentes Cantidad 45 90 18 27 Edad (aos) 58 911 1213 1419

Decide qu tipo de grfico sera la mejor para mostrar los datos. Haz el grfico. Rotula y titula el grfico. Usa el grfico para responder la pregunta. 2. Qu pasara si hubiera 36 miembros en el grupo de Adolescentes y 81 miembros en el grupo de Menores? Cmo cambiaran tus datos? Cmo cambiara tu grfico? 3. De los 10 primeros premios otorgados en una feria estatal, los Intermedios obtuvieron 3. Cmo se compara el nmero de ganadores del grupo Intermedio con los ganadores de los otros grupos?

Resolucin de problemas Prctica de estrategiasHaz un grfico para resolver el problema.4. De un total de $10 000 que Paola gast en la feria, 10% fue para los

juegos mecnicos de la feria, el 20% fue para transportar su cordero premiado, el 30% fue para el boleto del autobs, 40% fueron para la habitacin del hotel. En qu gast Paola la mayor cantidad de dinero? Cunto gast? USA DATOS Para 56, usa la tabla. Haz un grfico para resolver.5. Qu porcentaje de premios se otorg a los miembros del Club Osorno

Premios Club Osorno otorgados por zonaRegin Norte Central Sur Premios 12 52 16

de las regiones del norte y central?6. Qu regin gan la mayora de premios? Cunto mayor es esa

cantidad comparada con la cantidad que gan la regin que obtuvo el menor nmero de premios?7.

Vuelve a los Problemas 5 y 6. Cul es el tipo de grfico ms til para cada uno? Explica por qu.

30

Prctica de estrategias mixtas8. El Club Osorno construy un corral especial para una vaca.

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

La cerca que rodea el corral mide 50 metros de permetro. El corral es un rectngulo 1,5 veces ms largo que ancho. Cul es la longitud y el ancho del corral de la llama?9. La competencia del Club Osorno empieza a las 10:30 a.m. y

termina a las 2:30 p.m. La familia de Samuel tardar 45 minutos en conducir hasta el lugar de la feria y 1 hora y 45 minutos en descargar su animal y prepararse para la competencia. A qu hora debe salir Samuel de su casa para la feria? USA DATOS Para 1012, usa el grfico circular. En la competencia de proyectos del Club Osorno, se consideraron 5 categoras y se otorgaron 100 premios.10. Cuntos premios se otorgaron en la categora de Tecnologa

Hacer un diagrama o dibujo Hacer un modelo o una dramatizacin Hacer una lista organizada Buscar un patrn Hacer una tabla o grfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema ms sencillo Escribir una ecuacin Usar el razonamiento lgico

y Educacin y en Ganadera? Es esa cantidad mayor o menor que la cantidad de premios otorgada en la categora de? Cmo lo sabes?11.

Competencia de proyectos del Club OsornoGanadera Tecnologa y Educacin 20% 15% 15% Lechera 10% Agricultura y Nutricin

Formula un problema Vuelve al Problema 10. Escribe unproblema similar cambiando una de las categoras y la cantidad total de premios otorgados.

12.

Problema abiertoUsa ,, ., y 5 para hacer trescomparaciones sobre las diferentes secciones en el grfico circular.

40% Mascotas

Esfurzate! En otra competencia del Club Osorno, 50 de los premios principales fueron para proyectos de Agricultura y Nutricin. El proyecto sobre vacas lecheras recibi el 10% de los 50 premios y el de caballos recibi el 20%. El grupo nutricin recibi 6 premios. Los proyectos sobre conejos, ovejas y cerdos recibieron 29 premios principales entre todos. 13. Los proyectos sobre conejos y caballos recibieron el 26% de los 50 premios. Cuntos premios se otorgaron al proyecto sobre conejos?14. Los proyectos sobre ganado vacuno,

nutricin y caballos recibieron 21 de los 50 premios. Cuntos premios recibi cada proyecto?

Captulo 2 31

3

Porcentaje, decimales y fraccionesOBJETIVO: Convertir porcentajes, decimales y fracciones.

Escribe la fraccin en su mnima expresin.__ 1. 2 4 4 3. ___ 10 9 5. ___ 12

AprendePROBLEMA En una encuesta a nios de sexto bsico que se hizo en un 3 _ dijeron que asisten a la clase espectculo despus del horario de clases, 5 5 _ a la clase de danzas. Qu porcentaje de los estudiantes de teatro y 8 encuestados asiste a una clase de teatro? Qu porcentaje asiste a una clase de danzas?

10 ___ 2. 15 25 4. ____ 100

Ejemplo 1 5 3 3 3 20 __ ______ 5 5 5 3 20 3 _ como una fraccin scribe E 5 equivalente con denominador 100.

sa la divisin para escribir U _ como un decimal. 5 85 __0,625 8 D ivide el numerador entre el denominador.

____ 60 Escribe una fraccin equivalente 100 con denominador 100.

5 60% Como el porcentaje es una raznde un nmero a 100, escribe la razn como porcentaje.

0,625 5 62,5% M ultiplica por 100 moviendola coma decimal dos lugares hacia la derecha.

Entonces, 60% de los estudiantes asisten a una clase de teatro y 62,5% a una clase de danza. Tambin puedes convertir decimales a porcentaje.

Ejemplo 2 Escribe 0,7 como un porcentaje.10

Usa el valor posicional. 0,7 5 ___ 7 Usa el valor posicional para expresarel decimal como una razn en forma de fraccin.

Cuando multiplicas nmeros decimales por potencias de diez, mueves la coma decimal un lugar hacia la derecha por cada factor de 10.

Recuerda

5 _______ 7 3 10 5 ____ 70 Escribe una fraccin equivalente con 10 3 10 100denominador 100. unnmero a 100, escribe la razn comoporcentaje.

5 70% Como el porcentaje es una razn de

Multiplica por 100.

0,7 5 0,70 Multiplica por 100 moviendo la coma decimaldoslugares hacia la derecha.

5 70% Agrega el signo de porcentaje.

32

Porcentajes a fracciones y decimalesEjemplo 3 Aproximadamente el 35% de los estudiantes de actuacin seinscribieron para asistir a la clase de voz y expresin durante el prximo ao. Escribe 35% como una fraccin. Escribe el porcentaje como una fraccin con 35% 5 ____ 35

100

denominador 100. Escribe la fraccin como fraccin irreductible.

____ 35 5 100

_______ 35 4 5 5 ___ 7 100 4 5 20

7 Entonces, 35% escrito como fraccin es __ . 20

Tambin puedes convertir porcentajes a decimales.

ADVERTENCIACuando escribes como porcentaje un nmero decimal mayor que 1, recuerda multiplicar por 100. No olvides que 100% es igual a 1,00, o sea 1. Entonces, cualquier nmero mayor que 1 se conve

12_6_29_1

Documents

Transcript of 12_6_29_1