Contents

1 Lengoai matematikoa 11.1 Hasierako kontzeptuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sinboloak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Frogapen matematikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

i

ii Contents

Gaia 1

Lengoai matematikoa

Definizioak, notazioak, teoremak eta garapenak. Indukzio eta absur-dura eramanez egindako frogapenak.

1.1 Hasierako kontzeptuak

Logikan eta matematikan, axioma bat, lengoai formal batetan ondo egituratutaeta frogapenik gabe onartzen den, eta beste formula batzuk frogatzeko abia pun-tua den formula bat da. Ohikoa denez, axiomak beste formula batzuen artetik au-keratzen dira, “egi nabariak” direlako, eta nahi ditugun beste formulak hauetatikondorioztatzen direlako. Baina, teoriko guztiak ez daude hurbiltasun honekinados. Matematikan, axioma bat ez da beti egi nabari bat, baizik eta, ondo egi-turatuta dagoen eta ondorio batetara heltzeko dedukzio batetan erabilitako for-mula bat. Logikan eta matematikan, hipotesi bat, baliogarriak diren argudioenbidez tesis baten egiaztapena frogatzeko abia puntua den proposizioa da. Beraz,hipotesiek axiomen multzora gaineragarriak diren baieztapenen multzoa osatzendute.

Definizioa, gauza baten propietateen aitormena, edo baita gai baten eta gaihorren esanahiaren arteko baliokidetasunaren aitormena izan daiteke. Gai bateta bere esanahia ez dira elkarrekiko baztertzen, ezta ere ez dira baliokideak,baizik eta osagarriak.

Teorema bat, axioma batetatik edo arinago frogatuak izan diren emaitze-tatik abiatuta, modu logiko batetan, froga daitekeen proposizio bat da. Mate-matika, nortasun propio batzuk jarraitzen dituen lengoai sinboliko formal batetanoinarritzen da.

1

2 Gaia 1. Lengoai matematikoa

Sinboloek, kontzeptu bat, operaketa bat, edo arau batzuk jarraituz entitatematematiko bat adierazten dute. Sinbolo hauek, ez dira laburdurak, baizik etabalio propio eta autonomoa duten entitateak.

1.2 Sinboloak

Ondoren, gure garapen matematikoetan erabiliko ditugun sinbolo batzuk deskri-batuko ditugu:

Multzo teoria: Izan bitez x elementua eta A,B bi multzo.

Operaketa Notazioa Irakurtzen dapartekotasuna x ∈ A x barne A

partekotasuna A ⊂ B edo A ⊆ B A,B-ren barne dago edo A,B-ren barne edo berdina da

Sinbolo gainean marra okertu bat agertzen bada, sinboloaren esanahia deses-tatzen da. x /∈ A-k, x ez dela A-ren barne esan nahi du.

AdierazpenakOperaketa Notazioa Irakurtzen daBerdintza x = y x, y-ren berdina daTxikiagoa x < y x, y baino txikiagoa da

Haundiagoa x > y x, y baino haundiagoa daAntzekoa x ≈ y x, y-ren antzekoa da

Oinarrizko operadoreakOinarrizkoenak diren operadore logikoak, konjokazioa, disjuntzioa eta ukapena

dira. Izan bitez, p eta q bi proposizio:Operaketa Notazioa Irakurtzen da

Ezetza kp Ez p

Konjokazioa p ∧ q p eta q

Disjuntzioa p ∨ q p edo q

OndorioztapenaOperadore matematikoen konbinazio oso erabilgarri bat, ondorioztapena da.

p =⇒ q idazten da. “p-k, q ondorioztatzen du” esan nahi du. Baldin eta p =⇒ q,eta q =⇒ p badira, orduan “p-k, q ondorioztatzen du eta p, q-gatik ondorioztatuadela” irakurtzen da, edo beste modu batetan esanda, “p baldin eta soilik baldinq”.

Zenbatzaileak

1.3. Frogapen matematikoa 3

Beharrezkoak dira zenbatzaileak, esateko noiz aitorpen bat egia den ala ez.Hiru oinarrizko zenbatzaile existitzen dira: zenbatzaile unibertsala, zenbatzaileexistentziala eta, bakartasunaren marka duen zenbatzaile existentziala.

Izena Notazioa Irakurtzen daZenbatzaile unibertsala ∀x.. Edozein x-rentzatZenbatzaile existentziala ∃x.. Behintzat x bat existitzen da

Bakartasunaren marka duen zenbatzaile existentziala ∃!x, x bakarra existitzen da

1.3 Frogapen matematikoa

Ondoren, frogapen matematikoaren ideia garatuko dugu.

Zertan datza frogapen matematiko bat? Egia den R proposizio batetik abi-atuta, eta aurreko logika propositzionalaren gai teknikoak erabiliz, S proposiziobat egia dela frogatzean datza. Ondoko eran, hau da, “ baldin eta p orduan q”,p =⇒ q moduan idazten dena, moduko teorema bat frogatzen denean, orokor-rean, hasieratik, p emanda dela suposatzen da, ondoren, modu honetako, p =⇒p1, p1 =⇒ p2, . . . , . . . , pn =⇒ q proposizioen kate bat eraikitzen da, non proposiziobakoitza, aurretik emandako hipotesi bat den, edo jadanik frogatutako teorema.Kate honetan, pn =⇒ q proposiziora heltzen garen bezain pronto, q ondorioz-tatzen da.

Ondoren, ikus dezagun frogapen matematikoetarako gehien erabilitako metodoak:

(i) Frogapen zuzena edo ondorioztapena bidezko frogapena

(ii) Frogapen ez zuzena

(iii) Kontradibidea bidezko frogapena

(iv) Errekurrentziazko edo idukziozko frogapena

Frogapen zuzena edo ondorioztapena bidezko frogapena: baldin eta p propo-sizioa eta p =⇒ q ondorioztapena egiak badira, orduan q egia da.

Frogapen ez zuzena. Bereizten dira bi motatako frogapenak: kontraposiziozkofrogapena eta kontradiziozko edo absurdura eramanez egindako frogapena. Fro-gapen ez zuzeneko lehenengo motakoa, kontraposiziozko frogapena deitzen da.Bere izenak esaten duen bezala, lehenengo motatakoa, “ baldin eta p orduan q”formako teorema bat frogatzeko, bere kontrakoa, hau da, kq =⇒ kp frogatzean

4 Gaia 1. Lengoai matematikoa

datza. Kasu honetan, kq-tik kp ondorioztatzen duen proposizioen kate bat eraik-itzen da.

t teorema baten frogapen ez zuzeneko bigarren metodoa, t-ren egia frogatzea,bere gezurraren ukapena ezartzean datza, ondoko eran: frogatzen dena zerada, t ukatzea, hau da, kt-k, r ∧ kr motako kontraesan bat ondorioztatzen duela.Metodo hau, kontradiziozko edo absurdura eramanez egindako frogapena deitzenda. Baldin eta frogatzen bada, kt-k mota honetako kontraesan bat ondorioz-tatzen dela, hau da, r proposizioren batetarako, kt =⇒ (r ∧ kr) proposizioarenegiaztapena ezartzen bada, orduan, kontutan harturik, r∧kr ez dela egia, kt erefaltsua dela ondorioztatzen da, eta ondorioz, t egiazkoa da.

Adibidea. Baldin eta S zenbaki lehenen multzoa bada, orduan S multzo infini-tua da. (p =⇒ q).

Demagun ez dela egia, hau da, demagun S, zenbaki lehenen multzoa etamultzo finitua dela. (p∧kq). Jar dezagun S = {p1, p2, . . . , pk}. S multzo finituadenez, S-ko zenbaki lehen guztien biderkadura p1, p2, . . . , pk egin daiteke, etab = (p1.p2 . . . pk) + 1 zenbakia eraiki daiteke. Orduan, existitzen da p′ zenbakilehen bat b zenbakia zatitzen duena. (r). Nola p′ zenbaki lehena den, eta S

multzoak zenbaki lehen guztiak dituen, p′, S multzo barne dagoela ondorioztatzenda. Baina ordea, S-ko zenbaki lehen batek ere ez du b zatitzen. Ondorioz, p′-kez du b zenbakia zatitzen. (kr). Beraz, kontraesan batetara heldu gara (r ∧kr),zeren eta S multzoa ez dela infinitua ezartzen duen hipotesiarekin kontraesanbatetara heltzen gara, (p ∧ kq) =⇒ (r ∧ kr), faltsua dena. Orduan, baldin eta S

zenbaki lehenen multzoa bada, orduan S multzo infinitua da.Frogapena kontradibidea bidez. Ondorioztapen baten ukapena frogatzeko

kontradibidea bat eman behar da, hau da, adibide bat zeinetan p eta kq aldiberean, egiazkoak dira.

Adibidea. Izan bedi p ondoko proposizioa: n, zenbaki osoa 6 eta 4gatik zatigarriada. Izan bedi q ondokoa: n, zenbaki osoa 24gatik zatigarria da. Egia al da p-kq ondorioztatzen duela? Ez, zeren eta adibidez, 12 zenbakiak, aldi berean p etakq egiak direla adierazten du, 12 zenbakia 6 eta 4gatik zatigarria delako, bainaez 24gatik. Beraz, p-k ez du q ondorioztatzen.

Frogapena errekurrentziaz edo indukzioz. Errekurrentziazko argudiok fro-gatzen duena zera da, edozein n zenbaki arruntarentzat, n-k parte hartzen duenproposizioa beti dela egia. Horretarako, nahikoa da ezartzea baieztapena egiadela 1 zenbaki arruntarentzat, eta baldin eta baieztapena egia bada n zenbakiarruntarentzat, orduan ere egia dela hurrengo n + 1 zenbaki arruntarentzat.

1.4. Ariketak 5

Sinbolikoki, indukziozko proposizioz ondokoa da:

p(1) ∧ ∀k[p(k) =⇒ p(k + 1)] =⇒ ∀n, p(n)

Baldin eta posible bada frogatzea, aurrekoa, p(1) ∧ ∀k[p(k) =⇒ p(k + 1)] egiadela, orduan ondorioztatzen da ∀n, p(n) ere egia dela.

Indukziozko frogapenean bi pasu daude:

(i) Oinarrizko pausua. Frogatzea p(1) egia dela.

(ii) Indukziozko pausua. ∀k[p(k) =⇒ p(k + 1)] frogatzea.

Adibidea. Frogatu ondoko baieztapena:

∀n, 2n ≤ 2n+1

(i) Oinarrizko pausua. Frogatu p(1) egia dela: 21 ≤ 21+1, zeren eta 21 = 2,21+1 = 4, eta 2 ≤ 4.

(ii) Indukziozko pausua. Frogatu ∀k[p(k) =⇒ p(k + 1)]. Demagun p(k) egiadela, hau da, demagun 2k ≤ 2k+1 egia dela (hipotesia). Froga dezagun p(k+1) dela, hau da, froga dezagun 2k+1 ≤ 2k+1+1 = 2k+2 dela. Honetarako,gure hipotesiaren desberdintzaren alde biak 2 zenbakiagatik biderkatzenditugu, eta 2k.2 ≤ 2k+1.2 lortzen dugu, edo, 2k+1 ≤ 2k+2, nahi genuenbezala.

1.4 Ariketak

Ariketa. Itzuli ondoko lengoai arrunteko esaldiak, lengoai sinboliko batetara,P propietate batzuk erabiliz. Ezeztatu enuntziatu bakoitza, eta ondoren itzulihauek lengoai arruntera.

(i) x ∈ A edo x ∈ B.

(ii) x ∈ A eta x ∈ B.

(iii) x ∈ A, baina x 6∈ B.

(iv) A ⊂ B.

(v) Edozein i ∈ I-rako, x ∈ Ai.

(vi) Existitzen da i ∈ I, non x ∈ Ai.

(vii) Izan edo ez izan.

6 Gaia 1. Lengoai matematikoa

(viii) Edozein bi zenbaki errealen artean beti existitzen da zenbaki arrazional bat.

Ariketa. Ikasle batzuk Matematika klasera falta izan dira. Ikasketa buruarenaurrean, eta irakaslea ere hauekin dagoelarik, bakoitza ondoko eran defendatzenda.

- Pedro: Ez naiz klasera faltatu.- Elena: Falta izan naiz klasera baina Juanekin nengoen.- Juan: Ni ere falta izan naiz klasera baina ez nengoen Elenarekin baizik eta

Pedrorekin- Marıa: Ni klasean nengoen baina ez dut Pedro ikusi.- Irakaslea: Uste dut Pedro ikusi dudala klaseanJakinda hauetatik bakarrik 3 adierazpen batera egia direla, zein ondorio atera

zenezake?

Ariketa. Frogatu indukzio metodoa erabiliz ondoko adierazpenak.

(i) ∀n ∈ N, 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.

(ii) ∀n ∈ N, 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n.(n + 1) = n(n+1)(n+2)3 .

(iii) ∀n ∈ N, 1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + n.n! = (n + 1)!− 1.

(iv) ∀n ∈ N, n5 − n, 5 zenbakiagatik zatigarria da.

(v) ∀n ∈ N, n ≥ 2, 1√1

+ 1√2

+ 1√3

+ . . . + 1√n

>√

n.

Ariketa. Frogatu absurdura eramanez ondoko baieztapenak:

(i) Baldin eta n ∈ N eta n2 3-ren multiploa bada, orduan n 3-ren multiploada.

(ii)√

2 +√

6 <√

15.

(iii)√

6−√

2 > 1.

(iv) Baldin eta n ∈ N eta n2 bikoitia bada, orduan n bikoitia da.

(v) Baldin eta n = k3 − k bada, k ∈ N batentzako, orduan n, 6-ren multiploada.

Ariketa. Frogatu nahi dugu ondoko adierazpena: P =⇒ Q. Badakigu Q faltsuadela. Zer frogatu behar da P-rentzako?