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Restauración de Imágenes a partir deTransformadas de Fourier

ERNESTO VARELA ARREGOCÉS

Departamento de Ciencias Básicas

Docente Investigador

Grupo MATINCUC

Barranquilla 2011


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1Restauración de Imágenes a Partir de Transformadas de Fourier

Tabla de Contenido

TABLA DE CONTENIDO ........................................................................................................... ...

................................................................................................... ¡Error! Marcador no definido.

1. INTRODUCCIÓN. ..................................................................................................................... .3

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………. ........................................................... 4

3. OBJETIVOS………………………………………………………………… .......................................................... 5

3.1. Objetivo General .................................................................................................................. 5

3.2. Objetivos Específicos ............................................................................................................ 5

4. JUSTIFICACIÓN ......................................................................................................................... 6

5. ESTADO DEL ARTE .................................................................................................................... 7

6. MARCO TEÓRICO ................................................................................................................... 10

6.1. Introducción ................................................................................................................... 10

6.2. Elementos Matemáticos ............................................................................................... 10

6.2.1. De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier…………………………………………..10

6.2.2. De la serie de Fourier compleja a las FFT y DFT…………………………………………………..17

6.2.3. Transformada de Fourier en dos dimensiones…………………………………………………….22

6.3. Conceptos Preliminares del Procesamiento de imágenes……………………………………………..23

6.4. Técnicas Básicas del Procesamiento Digital de Imágenes (Restauración)………………………28

7. DELIMITACION……………………………………………………………………………………………………………………..41

7.1. Delimitación Espacial…………………………………………………………………………………………………….41

7.2. Delimitación Temporal………………………………………………………………………………………………….41

8. DISEÑO METODOLÓGICO……………………………………………………………………………………………………..42

8.1.Objetos de Investigación…………………………………………………………………………………………………42

8.2. Fases de la Investigación…………………………………………………………………………………………………43


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9. ANÁLISIS DE RESULTADOS…………………………………………………………………………………………………….45

10. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES……………………………………………………………………………….46

11. LISTA DE REFERENCIAS……………………………………………………………………………………………………..…47


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1. INTRODUCCIÓN

La restauración digital de imágenes es un procedimiento que desde sus orígenes en los

años veinte ha sido motivo de preocupaciones de muchos científicos. Esta es una ciencia

que abarca una serie de tales como: transformaciones, restauraciones, mejoramiento,

análisis, reconocimiento de patrones entre otros.

Su importancia radica en la utilidad de estas técnicas en diferentes áreas del saber, tales

como: Biología, Medicina, Astronomía, Historia, Geología, Criminalística, Fotografía, etc.

Por otro lado está el gran valor científico, técnico y social que puede tener el resultado

del uso de estas prácticas.

En el presente informe se presentará la formulación y planteamiento del problema,

seguidamente la justificación por lo cual se considera necesario iniciar este proceso de

investigación; se plantearán los objetivos generales y específicos, un breve recorrido delestado del arte, el marco teórico, la delimitación de esta investigación, el diseño

metodológico, el análisis de los resultados, conclusiones y lista de referencias


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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La necesidad de salvaguardar el patrimonio fotográfico del Carnaval de Barranquilla esuna de las alternativas que los historiadores de esta ciudad y los investigadores de laCultura tienen olvidado y aunque son muchos los hacedores pocos han sido losresultados en lo que al histórico fotográfico respecta y en torno a las ciencias exactas, esnulo su aporte en ese sentido, por ello se plantea la siguiente interrogante: ¿Cuál seríael método adecuado para el tratamiento digital de imágenes usando transformadas deFourier que permita la recuperación de Imágenes Monocromáticas del Carnaval deBarranquilla?


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4. JUSTIFICACIÓN.

A partir del año 2001 cuando el Carnaval de Barranquilla fue declarado PatrimonioCultural de la Nación otorgada por el Congreso de Colombia y posteriormente en el2003, cuando la UNESCO lo proclamó “Obra Oral e intangible de la Humanidad”, se hanotado un creciente interés por grupos de investigadores de diferentes ámbitos

humanísticos por recuperar diversos aspectos relacionados con el carnaval, pero pocosse han preocupado por rescatar su pasado fotográfico, siendo este un importanteasunto para su salvaguarda, actualmente no se cuenta con un adecuado registrohistórico de estas imágenes, y los esfuerzos por hacer un trabajo de restauraciónfotográfica son pocos o aislados.

Ante la problemática planteada, las ciencias exactas no pueden permanecer ajenas aella, más bien deben constituirse en una herramienta que contribuya a resolver lasituación. En la actualidad existen estudios relacionados con el tema del tratamiento

digital de imágenes, procesos de filtrado y reconocimiento de patrones desde lainteligencia computacional y las matemáticas avanzadas entre otras, logrando algunosavances significativos en la materia.

Aunque en el mercado existen herramientas comerciales que podrían hacer el trabajode recuperación de fotografías con un cierto grado de calidad, o son de muy alto costo yde difícil acceso o no arrojan los resultados esperados.

Esta es la razón de ser de esta propuesta, en la que se pretende hacer una revisión delestado del arte, en lo que respecta al Tratamiento digital de imágenes usandotransformadas de Fourier, técnicas de Filtrado en el dominio de la frecuencia y en eldominio del espacio, para identificar cuál de todas estas técnicas se ajustandependiendo del nivel de deterioro de las fotografías, para rescatar 3 de ellasrelacionadas con el carnaval como pilar del proceso de recuperación del pasadohistórico.


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5. ESTADO DEL ARTE.

Actualmente, los estudios, análisis y aplicaciones del procesamiento de imágenes

apuntan a técnicas frecuentes de visualización computacional, segmentación de

imágenes, identificación de patrones para la restauración visual, técnicas de

colorimetría de imágenes, entre otros estudios. Este creciente avance en el desarrollo

de un sistema automático de visión autónoma, ha generado la necesidad de

especialistas en este campo, por ello se ha incluido en muchos cursos de pregrado,

especialización y maestría en áreas de la computación y de electrónica.

Entre muchos de los estudios relacionados con tratamiento de imágenes a nivel médico,

podemos destacar al artículo escrito por Manuel Martínez Robles en el año 2006,

titulado “Detección de Astrocitoma Cerebral infantil aplicando segmentación deimágenes y morfología matemática” [1]. En este trabajo se propone una alternativa al

proceso de segmentación tradicional empleando separación de canales y las

operaciones básicas de morfología matemática, además de proponer una modificación

al sistema de color YIQ denominado R1G1B1, empleando operaciones como mezcla y

multiplicación de imágenes, además de una ordenación vectorial por pixel, que permite

la eliminación de ruido y la detección exacta de zonas de interés, basadas en umbrales

obtenidos mediante una fase de experimentación en imágenes cromáticas.

El aporte de este trabajo a esta investigación radica en como a partir el método de

segmentación se hace un análisis matemático de alto nivel en lo que respecta al

tratamiento digital de imágenes médicas.

Otro aporte en el contexto internacional es el planteado por los autores Hernán Benítez,

Clemente Ibarra-Castanedo, Abdelhakin Bendada, Xavier Maldague, Humberto Loaiza y

Eduardo Caicedo, titulado “Procesamiento de imágenes infrarrojas para la detección de

defectos en materiales” del año 2007 [2], en donde se plantea el Ensayo Termográfico

No Destructivo (ETND) es una técnica de la evaluación no destructiva de materiales en la

cual la superficie de una muestra de material es estimulada térmicamente para producir

una diferencia de temperatura entre las áreas no defectuosas y las áreas eventualmentedefectuosas. Estos cambios de temperatura son adquiridos mediante una cámara

infrarroja y posteriormente se aplican etapas de procesamiento, dada la distorsión

generada por el ruido, para detectar y/o caracterizar los defectos en el material. En este

artículo se analizan y comparan experimentalmente varios de estos métodos de


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procesamiento y se profundiza en la técnica CAD (Contraste Absoluto Diferencial)

modificado por Cuadrupolos Térmicos.

En este caso el aporte de este trabajo a la investigación radica en la utilidad del

procesamiento de imágenes y su aplicación a análisis termográfico es decir a los gráficos

a partir de temperaturas.

Para el año 2008 Elías García Santillán publicó su tesis titulada “Detección y clasificación

de objetos dentro de un salón de clases empleando técnicas de procesamiento digital de

imágenes” [3], quien describe las técnicas empleadas para realizar un sistema de

reconocimiento automático de objetos. Inicialmente, este sistema se planteó para

ayudar a personas invidentes en el reconocimiento de objetos en su entorno; pero

debido a la problemática existente en el diseño de algoritmos generales para el

reconocimiento, se propuso la implementación del proyecto dentro de un salón de

clases, limitándose a reconocer 10 objetos pequeños.

La importancia de este trabajo para la investigación radica en como las técnicas detratamiento digital de imágenes pueden aplicarse también para el reconocimiento de

objetos, es decir, para la visión computacional.

Otro artículo revisado fue el propuesto por los autores P. Arándiga, P. Cohen, P. Mulet,

D.F. Yáñez. Titulado “Nuevas técnicas de multiresolución utilizando procesos

estadísticos de aprendizaje” del año 2009 [4], en donde los autores comentan que la

compresión de imágenes ha permitido el desarrollo de técnicas matemáticas en análisis

funcional aplicándolo a la multiresolución usando dos tipos de interpolación: de

aproximación y predicción a partir de técnicas de aprendizaje estadístico, dando así un

nuevo enfoque al problema. Se mostraron los avances en este tratamiento y su uso en

la compresión de imágenes digitales.

El aporte de este trabajo radica en mostrar otro aspecto matemático en torno a una de

las técnicas de análisis del procesamiento de imágenes, la compresión.

En el ámbito nacional, la búsqueda de información también permitió encontrar la tesis

de maestría publicada en el 2011 titulada “Representación Eficiente de Imágenes

Volumétricas de Resonancia Magnética Cardiaca (CMR) Usando JPEG2000” [5], quien

comenta que el alto impacto de las imágenes en el ámbito médico ha permitido: a losespecialistas brindar un mejor diagnóstico, la creación de nuevas aplicaciones para el

aprendizaje y transmisión de conocimientos y el soporte al diagnóstico en lugares

apartados. El desarrollo de diferentes métodos para la adquisición de este tipo de

imágenes ha generado una enorme cantidad de información médica disponible. Sin

embargo, el manejo de este gran volumen de datos es complejo y requiere el desarrollo

de métodos de compresión que no solo optimicen el espacio, sino que describan


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representaciones flexibles que permitan acceder de forma eficiente a porciones

particulares de interés. Estas características hacen parte fundamental del estándar

JPEG2000 (J2K), el cual ha demostrado ser una de las estrategias con mayor eficiencia en

la reducción de tamaño de los datos generados por los sistemas de captura. Esta tesis

presenta una extensión óptima del estándar J2K para volúmenes de imágenes médicas,

que mejora las tasas de compresión hasta en un 14 %, manteniendo los tiempos de

codificación y decodificación similares a las implementaciones bidimensionales ya

existentes. Esta extensión fue realizada sobre una implementación convencional de

estándar J2K en dos dimensiones (JJ2000), y evaluada en dos “data set” de imágenes de

Resonancia Magnética, el primero con 8 estudios de corazón y el segundo con 40

volúmenes de cerebro.

El aporte de este trabajo a esta investigación radica en como a partir de técnicas de

compresión se pueden manejar volúmenes de información más altos a la hora de hacer

capturas por procesos de digitalización, mostrando una vez más la trascendencia de los

estudios de procesamiento de imágenes.


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6. MARCO TEÓRICO

6.1. Introducción.

En esta sección se mencionan algunos de los aspectos trascendentes a considerar del

tratamiento digital de imágenes a partir de transformadas de Fourier, sus elementosmatemáticos, conceptualización de tratamiento de imágenes, algunas técnicas con sus

programas respectivos.

6.2. Elementos Matemáticos

6.2.1. De la serie de Fourier a la Transformada de Fourier.

Según lo planteado por Ricardo Arteaga en su Tesis: “Reflexiones sobre la aplicación de

la transformada de Fourier al procesamiento Digital de Imágenes” [6] , para poderhablar de Transformadas de Fourier se hace necesario empezar hablando de Series de

Fourier, pasando por Integral de Fourier, integral compleja de Fourier para llegar por

último a la Transformada de Fourier.

Serie de Fourier: Considérese f una función de Riemman integrable en un intervalo

cerrado [-L, L], la serie:

Se denominará la serie de Fourier de f en [-L,L], con , , coeficientes de Fourier en[-L,L], cuyos valores son:


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Teorema: Convergencia de las series de Fourier. Sea una función periódica conperiodo 2 y continua por partes en el intervalo [-π,π]. Adicional, se asume que tiene derivadas por la izquierda y la derecha en cada punto de este intervalo. Entonces

la serie de Fourier de converge. Su suma es , excepto en los puntos donde es discontinua. Allí la suma de la serie es el promedio de los límites izquierdo yderecho de

en

.

Demostración: Integrando por partes se tiene que:

Evaluando el primer término se observa que es 0 e integrando por partes el segundo

término se tiene que:

El primer término es cero a raíz de la periodicidad de . Como la segunda derivadade la función ( es continua en el intervalo de integración se tiene que:

| | Siendo M una constante apropiada. Además, || . Esto implica que:

||

Haciendo el mismo procedimiento para se obtiene que: || para cualquier n.Esto significa que el valor absoluto de cada término de la serie de Fourier de la función es como máximo igual al correspondiente término de la serie:

||


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Lo cual es convergente. Por lo tanto la serie de Fourier es Convergente.

Integral de Fourier: Dennis G Zill en su libro de Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

Vol 2.[7] Encuentra el valor de la integral de Fourier partiendo de la siguiente situación:

Supongamos que una función f está definida en un intervalo [-L,L]. Si partimos de las

definiciones de los valores de , , de la serie de Fourier de una función f en dichointervalo se tiene que:

∫

Si consideramos , entonces la expresión se convierteen:

Ahora al expandir el intervalo [-L,L] haciendo que L

implica entonces que

,

entonces el limite tiene la forma ∑ , la cual sugiere la definición dela integral ∫ . Por lo tanto si ∫ existe, el límite del primer término de(2) es cero y el límite de la suma se convierte en:


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A este resultado se la llama integral de Fourier de f en .Con base en este resultado podemos afirmar que:

La integral de Fourier de una función f definida en está dada por:

Dónde:

Teorema de las condiciones de convergencia de la integral de Fourier: Sean continuas en cada intervalo finito, y sea absolutamente integrable en el intervalo ( es decir que la integral ∫ || converge). Entonces la integral de Fourierde en el intervalo converge hacia en un punto de continuidad. En un punto dediscontinuidad, la integral de Fourier convergerá hacia el promedio:

Donde y expresan el límite de en x desde la derecha y desde la izquierda,respectivamente.


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Integrales seno y coseno: Cuando es una función par en el intervalo , entoncesel producto lo es también, mientras que es una función impar.Como consecuencia de la propiedad ∫ cuando es par entonces, laexpresión (6) es cero, por lo que se convierte en:

o más formalmente:

Dónde:

A esta expresión se llama integral Coseno de Fourier. De forma similar, cuando es unafunción impar en , los productos y son funcionesimpares y pares, respectivamente por lo tanto y

o más formalmente:

Dónde:


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6.2.2. De la Serie Compleja de Fourier a las FFT y DFT

Serie de Fourier Compleja: Se refiere a reformular a la serie de Fourier pero en términos

de variables complejas.

Partiendo del hecho de que es una función definida en el campo de los Reales y quetiene un periodo L entonces la serie de Fourier es:

Consideremos que esta expresión es integrable en un intervalo

y llamemos

entonces:

Por otro lado la forma de exponencial compleja de las funciones seno y coseno es:

( ) ( )

Entonces:

( ) ( )


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Reorganizando la expresión:

Tomemos ahora:

̅ Remplazando en la serie resulta:

̅

Así:

Para

tenemos que:


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Por lo tanto para:

̅ ̅

̅ Con base en esto se tiene que:

̅

Que corresponde a la forma compleja de la serie de Fourier. Formalmente la definimos

de la siguiente manera:


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Sea una función con periodo fundamental L. Sea . Entonces la serie de Fouriercompleja de es:

Dónde:

Con

valores de

son los coeficientes complejos de

.

Transformada Discreta de Fourier (DFT): Como lo que se requiere es calcular los

coeficientes complejos que representan la transformada de Fourier de una secuencia de

números reales (señal discreta), es decir si son puntos uniformementeespaciados en el intervalo entonces los valores funcionales correspondientes son: como lo indica la figura:

Figura1. Muestreo de una función continúa

que son los que representan el muestreo de la función

. Para que esto se verifique

supongamos que tiene un periodo L. Entonces la serie compleja de Fourier es:


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Con y coeficientes complejos:

Haciendo un cambio de límites de integración, aprovechando la periodicidad de la

función y se reemplaza el valor de

Entonces el valor de puede ser cualquier real, por conveniencia tomemos como valor0 y se obtiene:

Para Ahora, aproximando a con una suma de Riemann, para talefecto se hace una equipartición del intervalo entre N subintervalos de longitud.

()

Debido a que es un punto en cada subintervalo se escoge el límite inferiorde este intervalo y se obtiene:


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A este término se le conoce como DFT. Se acostumbra a definirla sin usar .Formalmente se puede definir como sigue:

Sea . Definamos a { } una secuencia de números complejos. Entonces latransformada discreta de es la secuencia definida por:

Para

La Transformada Rápida de Fourier (FFT): FFT es la abreviatura usual (del inglés FastFourier Transform) de un eficiente algoritmo que permite calcular la transformada de

Fourier discreta (DFT) y su inversa. La FFT es de gran importancia en una amplia

variedad de aplicaciones, desde el tratamiento digital de señales y filtrado digital en

general a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales o los algoritmos de

multiplicación rápida de grandes enteros. El algoritmo pone algunas limitaciones en la

señal y en el espectro resultante.

Este es Uno de los algoritmos aritméticos más ampliamente utilizados es latransformada rápida de Fourier, un medio eficaz de ejecutar un cálculo matemático

básico y de frecuente empleo. La transformada rápida de Fourier es de importancia

fundamental en el análisis matemático y ha sido objeto de numerosos estudios. La

aparición de un algoritmo eficaz para esta operación fue una piedra angular en la

historia de la informática.


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Las aplicaciones de la transformada rápida de Fourier son múltiples. Es la base de

muchas operaciones fundamentales del procesamiento de señales, donde tiene amplia

utilización. Además, proporciona un medio oportuno para mejorar el rendimiento de los

algoritmos para un conjunto de problemas aritméticos comunes.

6.2.3. Transformas de Fourier en dos dimensiones

Sea una función (

)

de variables discretas espaciales con valores: y sea la Transformada discreta de Fourier en2D, está dada por:

⁄

Para u= 0,1,2,3,…,M-1 y v= 0, 1,2,3,…, N-1 y además la Transformada Inversa de Fourier

en 2D es:

⁄

Para

e

6.3. Conceptos Preliminares

Para hablar de procesamiento digital de imágenes, se definirán algunos conceptos

previos:

Imagen: Todos tenemos un preconcepto de lo que es una imagen, entendiéndose como

el hecho u objeto que percibe el sentido de la vista, sin embargo una definición más

formal puede ser la planteada por Martín Sanabria, en su libro “Información audiovisual:

teoría y técnica de la información radiofónica y televisiva”[8]:

“Desde el punto de vista físico como la reproducción de la estructura física de un objeto,

su apariencia exterior, que por tanto representa algo de lo que conserva su presencia,

gracias a lo cual puede reconocerse y memorizarse. Es la forma la que realmente se

memoriza y permite la identificación posterior. Por lo que sin una experiencia previa no

resultaría reconocible”


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Este concepto implica que la imagen es el resultado de la ejercitación del sentido de la

vista, nuestro cerebro de forma natural descifra la estructura simple que la compone,

pero necesita hacer un esfuerzo mayor cuando esta no es reconocida tornándose en

compleja. Por lo anterior, todas las imágenes están creadas para ser percibidas y por lo

tanto mediadoras entre el receptor y la realidad.

Imagen Digital: Podemos definir la como la representación binaria (0 y 1) en una matrizde una imagen. Esto depende habitualmente de la resolución y de si esta es estática o

dinámica, pueden ser gráficos rasterizados (bitmaps) o gráficos vectoriales.

Según Jorge Vettorazzi en su tesis “Restauración de imágenes distorsionadas mediante

técnicas de procesamiento digital y comparación entre dos métodos de restauración” de

2007, comenta que una imagen puede representarse matemáticamente como una

función de 2 variables, que equivale a la intensidad de la luz, donde x e y son lasposiciones en y el valor de es proporcional a la intensidad de brillo o al nivel de grisde la imagen en dicho punto, para imágenes monocromáticas.

A una imagen se le llama “Digital” cuando los valores de amplitud de sondiscretos. Esto puede ser visualizado solo al “muestreo” y la “cuantización” de una

imagen, o simplemente “digitalización de la imagen”.

Por ejemplo, en este caso se tiene una matriz cuadrada de orden 5 que representa una

variación que al ser mostrada como imagen:

[

]

Figura 2. Los valores de 1 representan el color blanco y los ceros representan el color negro. [1]

Pixel: Es el acrónimo formado por 2 palabras en inglés “Picture” (imagen) y “element”

(elemento) y representa a la mínima unidad de una imagen o al elemento más pequeño

de una imagen.

Ruido de una Imagen: Es la distorsión que puede sufrir una imagen al momento de serdigitalizada, es decir cuando el valor de un píxel no corresponde al correcto.

Imagen a blanco y negro: Este es el resultado de combinar en una matriz, pixeles

blancos y negros que se ordenan para formar la adecuada tonalidad de grises, a este

proceso se le llama “dithering”.


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Imagen a escala de grises: En este caso, el valor que tiene cada pixel corresponde a

algunos de las variaciones de los 256 valores de gris, pasando desde el valor del color

negro (cero), hasta el blanco (255). Habitualmente la imagen va mostrando pequeños

cambios de tonalidad con la variación de valores de gris. La calidad de una

representación gráfica en estos tonos, es decir la nitidez, es lo que marca la pauta para

la magnitud de los píxeles y por ende el número total de ellos de una imagen, aparte de

ello cuanta más alta sea la resolución, las variaciones de tonalidades de gris serán más

sutiles y por lo tanto mayor calidad de la misma, una mejor representación, mejor

resolución, pero computacionalmente implica mayor recuso de máquina.

Empleando MATLAB, una imagen en escala de grises con un foco central puede ser

construida como sigue:

%Coordenadas del foco (a,b)

a=150;

b=150;

%Construcción imagen MxNM=300; N=300;

for x=1:M; for y=1:N;

I(x,y)=(255-sqrt((x-a)^2+(y-b)^2))/255;

end

end

imshow(I)

El resultado es el siguiente:

Figura 3. Iluminación por focos


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Histograma de una Imagen: Se refiere al número de píxeles con igual valor de la escala

de gris. Este aspecto calcula la probabilidad de distribución P(b) de diferentes niveles de

gris de una representación gráfica. Matemáticamente se define como:

b corresponde al nivel de gris y L el posible número de niveles de gris.

Se puede calcular el valor de la probabilidad P(b) dividiendo el número de píxeles con

niveles de gris entre el total de píxeles de la imagen, es decir:

Entre las características que se pueden evidenciar con el histograma están el tipo defondo de la imagen y el contraste.

A continuación se mostrará un ejemplo y el código en MATLAB del histograma de una

imagen en escala de grises :

clc I=imread('antonia.tif');

imshow(I)

figure, imhist(I)

Figura 4. Imagen de “Toña Primera” Reina de 1926.


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Figura 5. Histograma de la imagen de “Toña Primera” en MATLAB.

6.4. Técnicas Básicas del Procesamiento Digital de Imágenes (Restauración)

La intención de usar las técnicas de procesamiento de imágenes es buscar la forma de

transformar su apariencia; para lograr esto se hace necesario analizar las condiciones

iniciales en que se encuentra la imagen e identificar cuál de estas es la que mejor se

ajusta para mejorar la calidad. Estos métodos se clasifican en dos grandes campos:

Primero en el Dominio de la Frecuencia y segundo en el Dominio del Espacio. Los

primeros se basan en la aplicación de la transformada de Fourier y los segundos en la

manipulación de los pixeles de la imagen.

A continuación se describirá algunas de las técnicas empleadas

Modificación del Histograma: Esta es una técnica que va enfocada hacia la mejorade la calidad de la imagen de forma global. En el eje de las x se representa el número depíxeles de la imagen y en el de las y los valores del rango de estos píxeles.

Expansión de Contraste: Se refiere aque dada una diferencia de tonos de grises (

con respecto a la

diferencia que se tiene con el dispositivo de visualización de la imagen digital (ya sea elmonitor o una impresión fotográfica (laser, burbuja, matriz de puntos, etc.,) en

diferentes tipos de papel ( . Esto genera una pérdida del nivel decontraste, es decir no hay mucha variación de las tonalidades claras y oscuras.

Matemáticamente se transforman estos valores de grises en otros de mayor rango que

se adapte a la capacidad del medio de visualización.


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Estiramiento Lineal: Es de los métodos más sencillos de efectuar contraste. La ideaconsiste en encontrar alguna función que se ajuste a la variación de grises y se pueda convertir en los valores de la visualización y , debido aque = y = el resto de los valores del rango se transformaránde acuerdo a la siguiente expresión lineal:

Donde a es un valor peso o compensatorio (offset) y una ganancia. Se puede haceralgunos procesos de transformaciones lineales haciendo ajustes en las tonalidades degrises, por ejemplo:

que es una de las transformaciones lineales más simples, en donde a que es lapendiente que se determina por la relación: T(160)=255, esto indica que a*160=255

entonces a = 255/160 y a toma el valor de 1,59375. Como la pendiente tiende a un valorde pequeño que se acerca a 1 disminuye su contraste en el intervalo entre [0, 160]

I=imread('Antonia.tif');imshow(I);

I1=im2double(I);I2=I1;

for n=1:256,

for m=1:256,

I2(m,n)=I1(m,n)*255/160;

if I2(m,n)>1,

I2(m,n)=1;

end

end end figure, imshow(I2)

Figura 6. Imagen de “Toña Primera” sin proceso de Transformación.


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Figura 7. Imagen de “Toña Primera” Transformada con Estiramiento Lineal y su histograma respectivo

Filtrado en el dominio del espacio: Consiste en aplicar a una imagen ráster (o matrizrasterizada, es decir es una matriz regular de celdas de un área determinada) unaoperación que permite suprimir detalles no deseados con la intención de mejorar surepresentación visual. Por ejemplo, están los que hacen reparación de los bordes, oreducción de los patrones de ruido de la misma. La operación modifica el valor de cadapíxel con base en los valores de los píxeles circundantes; se transforman tonos de gris dela imagen, de forma que sean similares o un poco diferentes a los que lo rodean.

Frecuencia Espacial: Es una de las características de las imágenes “rasterizadas”,indica que la magnitud de los cambios por unidad de distancia en una zona en particularde la imagen. Cuando se han hecho pequeños cambios en algunas áreas de la imagen,se denominan áreas de bajas frecuencias. Las áreas a las que se le han hecho cambiosnotorios o transiciones rápidas, son llamadas áreas de altas frecuencias. Los filtros en eldominio del espacio se pueden clasificar como siguen:

1. Filtros Paso Bajo: Este Filtro resalta las frecuencias bajas, suaviza las imágenes yreduce el ruido de la imagen. El objetivo es hacer que cada pixel tenga un tono de grissimilar al de los píxeles vecinos, esto hace que se reduzca la variabilidad del espacio

entre cada pixel de la imagen y además reduce la intensidad de los bordes, perdiendonitidez pero se gana homogeneidad.

En el siguiente ejemplo se hace un proceso de detección de bordes de una imagen contres tipos de filtros paso bajo: Sobel, prewitt y canny.


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Figura 8. Imagen de Olga Heilbrun de 1926 sin procesos de filtrado.

Figura 9. Imagen de Olga Heilbrun con Filtro Sobel para detectar bordes.

Figura 10. Imagen de Olga Heilbrun con Filtro Prewitt para detectar bordes.


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Figura 11. Imagen de Olga Heilbrun con Filtro Canny para detectar bordes.

El código en MATLAB respectivo para estos filtros es el siguiente:

I=imread('olga.tif');

imshow(I)

B1=edge(I,'sobel');

B2=edge(I,'prewitt');

B3=edge(I,'canny');

imshow(B1)

figure,imshow(B2)

figure, imshow(B3)

2. Filtros Paso Alto: Estos filtros hacen énfasis en las altas frecuencias, mejoran las

características de tipo lineal (calles, carreteras, edificios, etc). Es el proceso opuesto a

los filtros paso bajo, debido a que reducen al máximo las bajas frecuencias.

3. Filtros Detectores de Bordes: En este caso las operaciones con los datos de los píxeles,

hacen mayor énfasis en los bordes que rodean a la imagen, facilitando su proceso de

análisis. Normalmente estos filtros lo que hacen es crear una imagen en fondo negro y

líneas blancas y grises, rodeando los bordes de la figura y otros elementos de la imagen.

Entre los filtros detectores de bordes están Roberts, Sobel, Prewitt, Laplaciano,

direccional, Canny entre otros.


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a. Filtro Roberts. Usa la derivada para calcular el grado de separación de los diferentes

niveles de grises vecinos. Específicamente usan derivada parcial en dos dimensiones.

La expresión matemática que verifica este comportamiento es la siguiente:

| | | | Este borde es funcional para bordes diagonales y para posicionamiento de píxeles. De

sus principales inconvenientes es su sensibilidad a los niveles de ruido, dificultando el

perfilado de la imagen.

b. Filtro Sobel. Tiene el siguiente comportamiento matemático:

√ Donde los valores de y vienen dados por:

Y los valores de los valores de la matriz:

Que representan a una matriz de convolución y viene dada por los siguientes gradientes:


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Gradiente Fila: Gradiente Columna

Este se verifica para cuando K=2 y lo que proporciona es una inmunidad al ruido

involucrando a los vecinos adyacentes de filas y columnas, Este filtro es mucho más

sensible a los bordes diagonales que el de Prewitt (K=1), pero visualmente no es muy

notoria la diferencia entre ellos.

c. Filtro Laplaciano. Este filtro aplica la segunda derivada a partir de la expresión del

Laplaciano:

Cuyo Kernel es:

Este método se fundamenta en la creación de una máscara que hace destacar el

aumento de los niveles de gris, cuya variación respecto a su vecindad, es significativa.

También es llamado “filtro Sharpening”, es decir enfoque de la imagen, debido al resalte

de detalles finos, bordes y otros aspectos como resultado de su aplicación.

d. Filtros Direccionales. Son usados para determinar estructuras que siguen unadirección en el espacio destacando los píxeles que están en los lados de la estructura de

la imagen.


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Existen tres tipos de filtrados en el dominio de la frecuencia: filtro paso – bajo, filtro –

paso alto, filtro paso –banda.

1. Filtro Paso – bajo. Se caracteriza por atenuar las frecuencias más altas sin modificar

las bajas. En el dominio de la frecuencia también es reconocido como filtro de suavizado,

en el que las frecuencias altas filtradas son equivalentes a cambios altos de intensidad.

A continuación se mostrará un ejemplo de un filtro paso bajo ideal con su codificación

en MATLAB:

clc[u,v]=freqspace(25,'meshgrid');H=sqrt(u.^2+v.^2)


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for j=1:c

D=sqrt((i-f/2)^2+(j-c/2)^2);% Se determina la

distancia al centro del

% punto (i,j)

if D


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Figura 14. Imagen original de “La gran fiesta” de 1926 organizada bajo el mandato de laReina Olga Heilbrun de 1926 y la misma imagen con Filtro Paso bajo ideal.

Figura 15. Espectros de la imagen sin filtrar y con el filtro Paso bajo ideal

Veamos una aplicación de un tipo de filtro paso – bajo en el dominio de la frecuencia

llamado “sal y Pimienta” con su código en Matlab:

clc I0=imread('fiesta.tif'); I=imnoise(I0,'salt & pepper',0.02);

imshow(I) I=im2double(I);[M,N]=size(I); F=fft2(I); Hb=lpfilter('btw',M,N,25);

G=Hb.*F; I1=real(ifft2(G)); figure,imshow(I1)

.


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Figura 16. Espectros de la imagen sin filtrar y con el filtro Paso bajo ideal

2. Filtro Paso – Alto. Se caracteriza por atenuar las bajas frecuencias sin cambiar las altas.

Esto se debe a que las frecuencias altas son los cambios bruscos a nivel de densidad. Las

ventajas de este tipo de filtros radican en las mejoras que ofrecen en la detección debordes en el dominio del espacio, debido a la gran cantidad de estas frecuencias,

fortaleciendo el contraste de la imagen.

El código correspondiente en Matlab y sus gráficas se muestran a continuación:

%%%%% FILTRO PASO ALTO %%%%% clear all; % Elimina variables utilizadas en otras rutinas % Rango de frecuencias

d1 = 0; d2 = 6; puntos = 10000; w = logspace(d1, d2, puntos); % Función de transferencia R = 1; L = 0.001; s = i*w; H = s./(s + (R/L)); % Cálculos modulo = abs(H); atenuacion = -20*log10(modulo); fase = (180/pi)*unwrap(angle(H)); Hc = max(modulo)/sqrt(2);

bandapaso = find(modulo


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xlabel('Frecuencia angular (rad/s)', 'FontName', 'Times',

'Fontsize', 14); ylabel('Módulo', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14); axis([w(1), w(puntos), -(1/4)*max(modulo),

(3/2)*max(modulo)]); set(gca, 'xtick', [w(1) wc w(puntos)], 'FontName', 'Times',

'Fontsize', 12); set(gca, 'ytick', [0 Hc max(modulo)], 'FontName', 'Times',

'Fontsize', 12); title ('Filtro paso alto', 'FontName', 'Times', 'Fontsize',

24); subplot(3, 1, 2); semilogx(w, atenuacion, 'b', 'LineWidth', 2); grid on; xlabel('Frecuencia angular (rad/s)', 'FontName', 'Times',

'Fontsize', 14);

ylabel('atenuacion', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14); axis([w(1), w(puntos), min(atenuacion), max(atenuacion)]); set(gca, 'xtick', [w(1) wc w(puntos)], 'FontName', 'Times',

'Fontsize', 12); set(gca, 'ytick', [0 atenuacion(n)], 'FontName', 'Times',

'Fontsize', 12); subplot(3, 1, 3); semilogx(w, fase, 'b', 'LineWidth', 2); grid on; xlabel('Frecuencia angular (rad/s)', 'FontName', 'Times',

'Fontsize', 14); ylabel('Fase (º)', 'FontName', 'Times', 'Fontsize', 14); axis([w(1), w(puntos), -(3/2)*max(abs(fase)),

(3/2)*max(abs(fase))]); set(gca, 'xtick', [w(1) wc w(puntos)], 'FontName', 'Times',

'Fontsize', 12); clear all; % Elimina las variables utilizadas en esta

rutina


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7. DELIMITACIÓN

7.1. Delimitación Espacial.

El estudio se centraliza en el análisis de fotografías relacionadas con el carnaval de

Barranquilla

7.2. Delimitación Cronológica

El tiempo de desarrollo de este proceso de investigación implica el periodo

comprendido entre los meses de marzo y noviembre del año 2011.


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8. DISEÑO METODOLÓGICO

8.1. Objetos de Investigación.

Los objetos de investigación son tres imágenes escaneadas, recortadas y reducidas atamaño de 256 x 256 pixeles, estas fotos fueron facilitadas por el Museo Romántico de

la ciudad de Barranquilla.

Imagen de “Toña Primera” Reina del Carnaval de Barranquilla de 1924, esta imagen no

fue tomada de papel fotográfico, sino de un recorte de periódico de la época. En él se

observa un nivel de deterioro en diferentes zonas, sobre todo en los bordes superiorderecho, debajo del rostro y del borde inferior izquierdo.

Imagen de Olga Heilbrun, Reina del Carnaval de Barranquilla de 1926, esta imagen

muestra un nivel de deterioro en el borde izquierdo y en algunas zonas, debajo de la


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firma que aparece en la fotografía, por otro lado tiene también un nivel de deterioro en

el fondo, debido al mal proceso de conservación de la imagen.

Imagen de “la gran fiesta” organizada en 1926 por el mandato de la Reina del Carnaval

de esa época Olga Heilbrun.

8.2. Fases de la Investigación.

las fases de esta investigación son las siguientes:

Fase 1. Entrevista con el actual director del Museo Romántico de Barranquilla ALFREDO

DE LA ESPRIELLA para la consecución de 3 fotografías deterioradas y explicarle la

importancia del proyecto.

Fase 2. Revisión del Estado del arte en torno al tema de digitalización, tratamiento y

restauración de imágenes y sus aplicaciones en otras áreas del saber.

Fase 3. Realización de un estudio del deterioro de las fotografías de muestra y

seleccionar que métodos se ajustan para su recuperación.

Fase 4. Aplicación de pruebas piloto de programación en MATLAB para visualizar el

comportamiento de forma que:

Se Suavice la imagen: reducir la cantidad de variaciones de intensidad entrepíxeles vecinos.


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9. ANÁLISIS DE RESULTADOS

Después de haber aplicado las técnicas ya mencionadas a lo largo de este trabajo, en

cada fotografía se observa en el caso “Toña Primera” el Estiramiento Lineal mejoró la

iluminación, el rostro se ve con mucha más claridad siendo que no es papel fotográfico

sino un recorte de periódico de 1924, sin embargo se nota mucho más el deterioro delos bordes y de las zonas con daño a raíz del mal proceso de conservación que se lleva

en el museo, por otro lado, el histograma respectivo muestra el cambio generado en la

tonalidad de grises (Ver figura 7).

Por otro lado, la imagen de Olga Heilbrun que se le aplicó Filtrado en la frecuencia del

espacio, con el fin de resaltar los bordes presentó, inconvenientes a pesar de haber

usado 3 técnicas a esta fotografía. Con el perfilado Sobel y Prewitt se observan algunos

de los bordes respectivos de la imagen, se notan en escala de grises tenues sin rasgos

bien definidos, tampoco son muchas las diferencias observadas entre estas dos técnicas

(Ver Figura 9 y 10). Con el filtro Cany los bordes se resaltan con mayor detalle, sin

embargo la imagen luce confusa y se pierde (Ver Figura 11.)

Para la imagen de “la gran fiesta” se usó filtro paso-bajo ideal, en este caso se nota un

cambio de atenuación de los niveles de gris, pero se perdió un poco el brillo de la

imagen y para el filtro de paso bajo “sal y pimienta” se recuperó el brillo de la imagen,

pero el resultado no fue el esperado, debido a que se aumentó el ruido de la imagen, se

observan pequeños puntos en el contenido de la fotografía deteriorandola aún más

(Ver Figura 14).


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10. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Luego de Experimentar con diferentes técnicas de mejoramiento (Inpainting) de

imágenes podemos afirmar que la calidad y resolución de estas mejoró en algunos

aspectos, pero no en todos los requeridos, debido a que algunos de los métodos

empleados no se ajustaron a las necesidades de recuperación de las fotografías. Se haríanecesario ampliar el barrido del estado del arte en técnicas de tratamiento digital de

imágenes con Matlab o en su defecto con otras herramientas para este objetivo.

Sin embargo no se puede desconocer el nivel de utilidad de Matlab para el tratamiento

de imágenes ya que en lo que corresponde a las técnicas de Estiramiento Lineal, Filtrado

de Cany y Filtro paso-bajo Ideal, se ven cambios notorios en lo que respecta a la

recuperación de las fotografías.

Con base a los comentarios mencionados en las conclusiones se hacen las siguientes

recomendaciones:

Consecución de material bibliográfico especializado en el manejo de la

herramienta Matlab para indagar mucho más en su manejo y utilización

orientado al tratamiento digital de imágenes.

Desarrollar una investigación en torno a restauración de imágenes en color.

Ofrecer a estudiantes de ingeniería de sistemas y electrónica, como asignatura

electiva, un curso básico de tratamiento digital de imágenes.

Crear un semillero de investigación en esta línea, con el apoyo del grupo

MATINCUC.

Ampliar esta investigación y solicitar apoyo de Colciencias y el Ministerio de

Cultura para cimentar las bases de la creación del primer museo histórico

fotográfico de la ciudad de Barranquilla.

Solicitar propuestas de colaboración conjunta con otras universidades a nivel

local, regional y nacional.


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11. LISTA DE REFERENCIAS

[1] Martínez Robles Manuel. “Detección de astrocitoma cerebral infantil aplicando

segmentación de imágenes y morfología matemática” de 2006. Artículo publicado en la revista

electrónica Medigraphic Artemisa. Revisado el 8 de agosto de 2011. desde:

http://www.medigraphic.com/pdfs/revmexneu/rmn-2006/rmn065h.pdf

[2] Benitez Hernán et al. “Procesamiento de imágenes infrarrojas para la detección de defectos

en materiales” de 2007. Artículo revisado el 15 de agosto de 2011 desde:

http://objetos.univalle.edu.co/files/Procesamiento_de_imagenes_infrarrojas_para_la_deteccio

n_de_defectos_en_materiales.pdf

[3]García Santillán Elías. “Detección y clasificación de objetos dentro de un salón de clases

empleando técnicas de procesamiento digital de imágenes” de 2008. Tesis. revisada

desde http://matematicas.uclm.es/cedya09/archive/textos/118_Yanez-Avendano-D.pdf

[4] Arándiga P. “ Nuevas técnicas de multiresolución utilizando procesos estadísticos de

aprendizaje” de 2009. Artículo revisado el 22 de agosto de 2011 desde:

http://matematicas.uclm.es/cedya09/archive/textos/118_Yanez-Avendano-D.pdf

[5]Noreña O. Paula. “Representación Eficiente de Imágenes Volumétricas de Resonancia

Magnética Cardiaca (CMR) Usando JPEG2000”. Tesis de maestría publicada en el año

2011. Tomada desde: http://www.bdigital.unal.edu.co/4228/1/PaulaTatianaNore%

C3%B1aOspina.2011.pdf

[6] Arteaga B. Ricardo. “REFLEXIONES SOBRE LA APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE

FOURIER AL PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES.” Tesis publicada en noviembre de

2010. Revisada en Junio de 2011 desde:

http://www.konradlorenz.edu.co/images/investigaciones/matematicas/procesamiento

_imagenes_fourier.pdf


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[7] Zill Dennis G. et al. “Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Vol 2. Cálculo Vectorial,

Análisis de Fourier y Análisis Complejo. Tercera Edición. Editorial Mc Graw Hill. México.

2008.

[8] Sanabria Martín. “Información Audiovisual: Teoría técnica de la información

radiofónica y televisiva”. Bosch Editores. Barcelona – España 1994.

[9] García L. Victor Manuel. “Introducción al procesamiento digital de imágenes”.

Artículo publicado en el año 2008. Tomado desde

http://www.slideshare.net/IDVicMan/fundamentos-de-la-imagen-digital.

[10] González Rafael C. et al. “Digital Image Processing using Matlab”. Second Edition.Editorial Pearson-Prentice Hall. USA. 2004.

[11] Velazquez Aguilar J. G. et al. “Herramienta de Apoyo para cursos de Procesamiento

Digital de Imagen. Artículo publicado en el año 2006. Consultado el 27 de Julio de 2011

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[12] Prácticas de Robótica y Visión Artificial. Práctica 3. “Prácticas de Procesado deImágenes”. Tomado desde:

http://www.elai.upm.es:8009/spain/Asignaturas/Robotica/PracticasROVA/pr3ROVAPro

cesado.pdf.

[13] Procesado de Imágenes en el Dominio de la Frecuencia. Material de estudio del

Departamento de Electrónica de la Universidad de Alcalá. España. Tomado desde:

http://193.146.57.132/depeca/repositorio/asignaturas/1/t5-procesado.pdf.

[14] Bradsky Gary et al. “Learning Open CV. Computer Vision with the Open CV library”.

O’reilly Editors. USA. 2008.


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[15] Filtrado en el Dominio de la Frecuencia. Material de Clase de Visión Artificial de

Ingeniería en Automatización y Control Industrial. Universidad Nacional de Quilmes.

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[16] Madrigal Carlos et al. “Diseño de un Sistema Biométrico de Identificación usando

sensores capacitivos para huellas Dactilares”. Revista Electrónica de la Universidad de

Antioquia. 2007. Tomado desde: http://redalyc.uaemex.mx/pdf/430/43003903.pdf

[17] Reducción de Ruido en una Imagen Digital. Material de clase. Departamento de

Ingeniería electrónica, Telecomunicación y Automática. Universidad de Jaen. España.

2005. Tomado desde: http://www4.ujaen.es/~satorres/practicas/practica2.pdf

[18] Detección de bordes en una Imagen. Material de clase. Departamento de Ingeniería

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Tomado desde: http://www4.ujaen.es/~satorres/practicas/practica3_vc.pdf

[19] Alba Jose Luis et al. Realzado de Imágenes. Técnicas de Preprocesado. Material de

Clase. Universidad de Vigo. Publicado en el año 2006. Tomado desde:

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[20] González Javier. “Detección y asociación automática de puntos característicos para

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http://upcommons.upc.edu/pfc/bitstream/2099.1/8052/1/memoria.pdf.

[21] Suárez B. Alvaro. “Análisis de métodos de procesamiento de imágenesestereoscópicas forestales”. Tesis de Maestría. Universidad Complutense de Madrid.

Publicada en el año 2008. Tomado desde:

http://eprints.ucm.es/9875/1/An%C3%A1lisis_de_M%C3%A9todos_de_Procesamiento_

de_Im%C3%A1genes_Estereosc%C3%B3picas_Forestales_- _%C3%81lvaro

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[22] Math Works Product Documentation.

http://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/fft.html?BB=1

[23] Ramirez P. Javier. Introducción a Matlab y Simulink. Tutorial. Universidad deGranada. España. Publicado en el 2009. Tomado desde:

http://www.ugr.es/~javierrp/master_files/Seminario%20de%20Matlab.pdf.

[24] Guardado M. Ramón. “Transformada de Fourier en aplicación en el diseño de filtros

digitales para el procesamiento de imágenes.”. Artículo publicado el 10 de Junio de 2010.

Arequipa. Perú. Tomado desde:

http://cybertesis.urp.edu.pe/ponencias/LACCEI_2010/Papers/Papers_pdf/IT161_Guard

ado.pdf.

23. RESTAURACION IMAGENES TRANS. FOURIER.pdf

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