2C Cinematica Del Rigido

UNIVERSIDAD TECNOLOGIA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL MENDOZA

MECANICA Y MECANISMOS AÑO 2012

Chung Roger, Legajo 3441, TP N°2- Cinemática del rígido Página 23

TP N°2 Cinemática del rígido

Ejercicio 2.1.10

Un rotor con motor gira a N=240 vueltas por minuto alrededor de un eje Z1 que mantiene una dirección

constante. A su vez la plataforma donde está asentado el motor gira a n=60 vueltas por minuto alrededor del

eje Z. determinar

a) La velocidad angular del eje Z1

b) La velocidad angular total

c) La aceleración angular. Cabe destacar que el eje Z1 forma un ángulo de 60° con Z.

Resolución: a. La velocidad angular del eje Z1

Se da mediante la fórmula de Euler

Reemplazando:

(

) (

)





Expresándolo en forma vectorial

La velocidad angular total va a ser la suma de la velocidad angular en el eje Z1 y la velocidad angular en el eje Y1,

calculamos la velocidad angular en el eje Y1

Velocidad angular del eje Y1

Se da mediante la fórmula de Euler

( )

La expresión nos queda:

Reemplazando:

√

√

Expresándolo en forma vectorial √

b. La velocidad angular total

Para hallar la velocidad angular total hay que sumar

√

| |

c. La aceleración angular

La aceleración total es la derivada de la velocidad angular total, pero √ son constantes lo único que varía

son los versores y

√





Los versores y son de modulo constante pero varían en dirección. La derivada de un vector con respecto

al tiempo de modulo constante que está rotando (referido al eje móvil X1, Y1, Z1) es igual a omega de arrastre

vectorialmente el mismo vector.

Esto se conoce como Ecuación de Poisón

Ahora reemplazamos. ( ) √ ( )

El omega de arrastre es la velocidad angular de la terna móvil. En nuestro caso es la velocidad angular de la

plataforma.

Descomponiéndolo en sus componentes referido al eje móvil

Reemplazando:

((

) ) √ ((

) )

(

(

) (

)

⏞

)

√

(

(

)

⏞

(

)

)

(

) √ (

)

(

) √ (

)

( ) √ ( ) ( )

| |

También se puede hacer de la forma referida a los ejes fijos, pero la expresión para el cálculo de los vectores de

modulo constante pero de dirección variable cambia a:

(

)

(

)





Ejercicio 2.2.11

En el dispositivo de la figura la rueda de radio r minúscula forma un ángulo respecto al plano horizontal,

mientras va rodando describe una circunferencia de radio R, que la completa cada 628 milésimas de segundo.

Si se adopta un sistemas de ejes de referencia, como el indicado en la figura .Determinar aplicando los

ángulos de Euler las componentes del vector rotación, para los instantes t=0 y t=3s, suponiendo que en el

instante inicial del eje móvil X1 coincide con el fijo X. Resolver el problema para y verificar

numéricamente que dadas las condiciones del problema el vector rotación mantiene su módulo constante.

Datos: ( )

Para encontrar las componentes de para los

tiempos t=0 y t=3, tenemos que fijarnos que ángulos son los que

varían después de aplicar las fórmulas de Euler.

Aplicando las fórmulas de Euler

Debido a que forma un Angulo respecto a la horizontal es constante por lo tanto

El único ángulo que puede variar es ya que es constante.

Calculo de la velocidad angular

Sabemos que el periodo es lo que se tarda en dar una vuelta, si tenemos el periodo podemos calcular la

velocidad angular. La velocidad angular que tendríamos seria la derivada

entonces





Calculo de la velocidad angular

Para hallar

tomamos como base la hipótesis que el movimiento es de rodadura pura, entonces la

velocidad relativa y de arrastre en el punto de contacto de los aros tiene que ser iguales.

⏞

⏟

⏞

Despejando

Calculo del Angulo para t=0 y t=3

Luego de haber encontrado la deriva de Angulo podemos integrar y encontrar su función, suponemos que t

inicial es cero.

( ) ∫

∫

Para valores de tiempo t=0 y t=3 tenemos un valor de :

Calculo de la velocidad angular total cuando t = 0

√

Calculo de la velocidad angular total cuando t = 3

√

Verificación del modulo (constante en modulo pero no en dirección)





Ejercicio 2.3.12

Dados dos rotaciones axiales concurrentes que forman un ángulo de 80° entre si determinar los conos axoides

suponiendo que la relación de transmisión i=3.5. Hallar el eje instantáneo. Graficar.

Calculo de los conos axoides:

Para hallar los conos axoides tenemos que encontrar los ángulos y , que son los ángulos medidos

desde el vector velocidad angular ( ) hasta el eje instantáneo de rotación.

Primero formamos un triángulo momentáneo AOB, luego aplicamos el teorema de senos al triangulo AOB e

igualamos a la relación de transmisión

⏞

( )

Geométricamente tenemos que

( )

Despejamos y

( )

Una vez que obtenidos los ángulos dibujamos los conos de axoides.





Ejercicio 2.4.13

Dos ejes paralelos están separados 20cm sobre dichos ejes actúan dos rotaciones y . Suponiendo que la

relación de transmisión i=2.5 determinar los cilindros axoides y la posición del eje instantáneo de rotación.

Calculo de los cilindros axoides

Para hallar los conos axoides tenemos que encontrar las distancias d1 y d2, que son las distancias medidas desde

el vector velocidad angular ( ) hasta el eje instantáneo de rotación.

El vector resultante de la suma de las velocidades angulares va a tener la misma dirección y sentido de las

componentes, este estará del lado de la mayor y entre las dos componentes.

Aplicamos la Relación de Stevin de relación de fueras paralelas que se saca del teorema de varignon, y lo

igualamos a la relación de transmisión

Del grafico tenemos , remplazamos y

despejamos.





Ejercicio 2.5.14

En el siguiente tren de ruedas cónicas determinar el número de vueltas del brazo ¨s¨ y el número de vueltas

de la rueda “c” cuando la rueda ¨a¨ da 300 vueltas por minuto y la rueda b 500 vueltas por minuto. Estudiar el

caso para cuando a y b giran en el mismo sentido y para cuando a y b giran en el sentido contrario. Las tres

ruedas tienen el mismo diámetro.

Para resolver este ejercicio usaremos un método gráfico, por lo tanto

tendremos que adoptar una escala de n (vueltas por minuto). La estrategia

que usaremos es tratar de trazar polígonos de velocidades en los cuales un

lado de cierre sea común a todos los polígonos del sistema y de esta manera

el resultado debe ser solución de las dos propuestas (las dos ruedas a y b)

1. Ruedas que giran en sentido contrario (a y b)

Por los extremos de los vectores na y nb llevamos la

rotación de nc/a y nc/b, hasta el punto de

intersección.

Luego obtenemos el valor de nc

La descomponemos en una horizontal y una vertical

para obtener nc/s y ns





2. Ruedas que giran en el mismo sentido (a y b)

Por los extremos de los vectores na y nb llevamos la

rotación de nc/a y nc/b, hasta el punto de

intersección.

Luego obtenemos el valor de nc

La descomponemos en una horizontal y una vertical

para obtener nc/s y ns





Ejercicio 2.6.15

Un rígido tiene un movimiento rototraslatorio cuyos parámetros son [ ] y

[ ] determinar el punto por donde pasa el eje instantáneo de rotación y deslizamiento mínimo.

Calcular también la velocidad mínima. Hacer el grafico correspondiente.

Calculo de O*

El sistema está todo reducido al punto O1

Por el teorema de Chasles ( )

( )

|

|

( )

( )

Calculo de velocidad mínima

La expresión para calcular la velocidad es ( )

Si tomamos momentos con respecto al punto entonces va a ser mínimo

( ) ( ) ( )





También podemos obtener de otra forma.

La es paralelo a entonces ( )

( )

Si multiplicamos escalarmente ( ) a cada una por

Luego la otra expresión para calcular la velocidad minina es

[

] [

( ) ( )

]

( )

Calculo de la ecuación del eje instantáneo de rotación

La expresión para determinar la ecuación del eje es:





Ejercicio 2.7.16

Un cuerpo rígido está sometido a las siguientes velocidades angulares

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

Reemplace las rotaciones por un sistema equivalente que consista en una sola velocidad angular respecto a

un eje que pase por el punto ( ) y una velocidad de traslación asociada.

La composición de rotaciones en un punto O1, nos

da una rotación y una velocidad de traslación

colocada en O1.

No se puede aplicar el teorema de Varignon

porque las rotaciones no son concurrentes.

Hay que calcular cada una de las velocidades que

aportan las rotaciones.

Si encaso hubieran sido concurrentes podíamos

haber aplicado la expresión:

( ) ( )

Primero calculamos omega total:

Calculamos la :

∑ ( )

( ) ( ) ( )





( ) [( ) ( )]

( ) [( ) ( )]

( ) [( ) ( )]=

2da parte): en adición a las velocidades angulares que actúan sobre el cuerpo, el mismo está sometido a

otras dos velocidades de traslación que son:

¿Cómo estará conformado, el sistemas que actúa sobre el cuerpo?

El sistema con las velocidades agregadas será:

Debido a que solo se agregaron traslaciones, estas se sumaran con la anterior traslación total.

( ) ( ) ( )

3ra parte) Determinar para el sistema anterior, el eje instantáneo de rotación, es decir un punto tal de

omega y V sean paralelos.





Vamos a determinar un punto O* de donde va a pasar el eje instantáneo de rotación, de tal forma que

omega y la nueva velocidad sean paralelas

Calculo del eje instantáneo de rotación:

De la expresión ( )

( ) ( ) ( )

( )

Calculo de la velocidad mínima:

De la expresión: [

]

[( ) ( )

] ( )





Ejercicio 2.8.17

Un sólido está animado simultáneamente de las dos rotaciones indicadas en el grafico donde [ ] y

[ ] donde A número de letras del primer apellido, y N número de letras del primer nombre.

Determinar:

1) La reducida al punto O1

2)

3) Un punto del eje instantáneo de rotación O*

4) Velocidad mínima

5) Ecuación del eje instantáneo de rotación

(La distancia d es A/3)

Resolución:

[

]

[ ]

[ ]

a-Cálculo de la velocidad angular reducida al punto O1

Velocidad angular total reducida en O1 es la suma de las rotaciones:





b-Cálculo de la velocidad al punto O1

Calculamos la velocidad total en O1 aportada por cada una de las rotaciones: ∑ ( )

( ) ( )

( )⏞

(( ) ( ))

( )

|

|

c-Calculo del eje instantáneo de rotación

De la expresión: ( )

( ) ( )

|

|

( )

d-Cálculo de la velocidad mínima

De la expresión: ( ) [

]

( ) ( ) |

|

( )

e-Ecuación del eje instantáneo de rotación





Ejercicio 2.10

Los extremos A y B de una barra de √ m de longitud se mueven a lo largo de ranuras guía como se indica en

la figura. Para la posición mostrada el extremo B tiene una rapidez de 2m/s y un módulo de aceleración de

4m/s2, siendo el sentido de la velocidad y la aceleración, de izquierda a derecha. Hallar la velocidad y la

aceleración del extremo A en ese instante.

Datos:

√

A=(0.1)

B(1.0)

Calculo de la velocidad del extremo A

Aplicamos la ecuación para velocidad de un punto del cuerpo rígido en función de otro punto del mismo punto

Sabemos que , su dirección va a ser hacia abajo luego:

Teniendo como dato calculamos la velocidad de A respecto a B

( )

Calculamos ( ):

( ) ( ) ( )

Luego reemplazamos en la ecuación:

⏞

( )⏞

( ) |

|





( )

Reemplazamos y Factorizamos.

( )

Luego igualando componente a componente:

Resultando:

Calculo de la aceleración del extremo A

Aplicamos la ecuación para la aceleración de un punto del cuerpo rígido en función de otro punto del mismo

punto

( ) ( )

( ) ( )

Conocemos la dirección de la aceleración de A

Tenemos como cado , luego calculamos

( ) ( )

( ) (

)

Luego reemplazamos los valores en la ecuación ( ) (

)

Igualamos miembro a miembro





Ejercicio 2.11

El balancín BC del mecanismo de 4 articulaciones mostrado en la figura tiene una velocidad angular en el

sentido contrario a las de las agujas del reloj de 10 rad/s de magnitud Determinar:

a) Las velocidades angulares de las barras OA y AB

b) La velocidad de A y de D siendo este el punto medio de AB

Resolución:

a-cálculo de las velocidades de B y A

La velocidad de B respecto a C será:

Luego porque está unido al bastidor.

( )⏞

( )

(( ) ( ))

( )





La velocidad de B respecto a A será:

( )⏞

La rotación de la barra BA será en sentido anti horaria

Del grafico vemos que la velocidad de A va hacia eje – x

Reemplazamos en la ecuación:

(( ) ( ))

( )

Igualamos las

Calculo de las velocidades angulares y

De la ecuación anterior

La velocidad de A respecto a O será ( )

( )

Calculo de la velocidad del punto medio D

La velocidad de D respecto a B será

( )

Donde es la misma barra

(( ) ( ))

( )

2C Cinematica Del Rigido

Documents

Transcript of 2C Cinematica Del Rigido