SEMINARIO FESPM

INFORME 2000

ARTÍCULOS

1

Índice37

junio 2001

EDITORIAL3

5 Seminario de reflexión sobre la enseñanza de las matemáticas.Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas

27 El Año Mundial de las Matemáticas: una valoración.José L. Fernández, Manuel de León, M.a Jesús Luelmo y Juan Luis Vásquez

33 Actividades en el 2000: algunas nubes en un día radiante.Xavier Vilella Miró

39 El Año Mundial de las Matemáticas en Andalucía.Antonio Pérez Jiménez

43 El Año 2000 en La Rioja.Javier Galarreta Espinosa

47 2000, Año Mundial de las Matemáticas: una experiencia práctica.Rosario Baños, Antonia Garre, Juan Carlos Marco, Fco. Javier Tomás, AntoniaConesa y Salvador Escudero

55 La reformulación de los enunciados del problema: un estudio sobre lasvariables que inciden en el éxito infantil en los problemas de comparación.M. O. Lago, P. Rodríguez, C. Dopico y M. J. Lozano

63 Una propiedad del triángulo isósceles.Juan-Bosco Romero Márquez

67 Sobre la utilidad de la Geometría en la enseñanza de la Probabilidad.Gabriel Ruiz Garzón

DirectoresEmilio Palacián GilJulio Sancho Rocher

AdministradorJosé Javier Pola Gracia

Consejo de redacciónJesús Antolín Sancho

Eva Cid CastroBienvenido Cuartero Ruiz

Faustino Navarro CirugedaRosa Pérez GarcíaDaniel Sierra Ruiz

Consejo EditorialJosé Luis Aguiar BenítezJavier Brihuega NietoM.a Dolores Eraso Erro

Ricardo Luengo GonzálezLuis Puig Espinosa

EditaFederación Española de Sociedades

de Profesores de Matemáticas

Diseño portadaJosé Luis Cano

Diseño interiorConcha Relancio y M.a José Lisa

MaquetaciónE. Palacián, J. Sancho, D. Sierra

Revista SUMAICE Universidad de Zaragoza

C. Pedro Cerbuna,1250009-ZARAGOZA

Tirada: 6.500 ejemplaresDepósito Legal: Gr. 752-1988

ISSN: 1130-488XImpresión: INO Reproducciones. Zaragoza

2

Asesores

Pilar Acosta SosaClaudi Aguadé BruixAlberto Aizpún López

José Luis Álvarez GarcíaCarmen Azcárate GiménezManuel Luis de Armas Cruz

Antonio Bermejo FuentesJavier Bergasa Liberal

María Pilar Cancio LeónMercedes Casals Colldecarrera

Abilio Corchete GonzálezJuan Carlos Cortés López

Carlos Duque GómezFrancisco L. Esteban AriasFrancisco Javier FernándezJosé María Gairín SallánJuan Gallardo Calderón

José Vicente García SestafeHoracio Gutiérrez FernándezFernando Hernández Guarch

Eduardo Lacasta ZabalzaAndrés Marcos GarcíaÁngel Marín Martínez

Félix Matute CañasOnofre Monzo del OlmoJosé A. Mora Sánchez

María José Oliveira GonzálezTomás Ortega del Rincón

Pascual Pérez CuencaRafael Pérez GómezAntonio Pérez Sanz

Ana Pola GraciaIsmael Roldán Castro

Modesto Sierra VázquezVicent Teruel Marti

Carlos Usón Villalba

SUMAno se identifica necesariamente

con las opiniones vertidasen las colaboraciones firmadas

RECENSIONES

105 Taller de problemas: Isoperimetros: Ficha didáctica en álgebra. Desigualdades.Grupo Construir las Matemáticas

111 Mates y medios: Las gráficas de la prensa.Fernando Corbalán

113 Juegos: Cubo de Muñoz.Grupo Alquerque

113 Recursos en Internet: matemáticas interactivas en Internet.Falvio Piñeiro Sarille

125 Desde la Historia: Por una lectura detenida de la Historia.Carlos Usón Villalba y Ángel Ramírez Martínez

129

RINCONES

Historia de la Matemática (J. Rey Pastor y J. Babini). Lectura matemática de unperiódico (A. Fernández-Aliseda, D. Aceituno, J. Muñoz, A. Jiménez y M. delPozo). Una recreación matemática: historias, juegos y problemas (J. Deulofeu).Fotografía matemática «Andalán» (P. Alonso, J. Antolín, V. Bernardo, R. Esteban,J. García y Mª Concepción Pastor –coords.–). Estimar les matemàtiques (C.Alsina). Laberintos, n° 2 (IES Elaios).

CRÓNICAS137

María Pilar Plaza Queralt: II Premio Gonzalo Sánchez Vázquez. Concurso deproblemas de ingenio de la SAEM Thales de Almería. XXXVII Olimpiada Mate-mática Española.

CONVOCATORIAS141

X Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (X JAEM). XIIOlimpiada Matemática Nacional de la FESPM

MISCELÁNEA

99 La Creación de los Números.Luis Balbuena Castellano

75 Los espacios vectoriales, el amarillo, el rojo y el azul.Miguel Ángel Moreno Redondo

83 Algunas dificultades en los problemas aditivos.Alicia Bruno, Antonio Martinón y Fidela Velázquez

95 Un ejemplo de demostración en Geometría como medio de descubrimiento.Marcelino J. Ibañes Jalón

EN EL EDITORIAL del último número de SUMA la Presidenta dela Federación hacía un breve balance de lo que había supuesto elAño 2000 en la sociedad española en general y en nuestraorganización más concretamente.

Ya mediado el dos mil más uno hemos querido presentar en larevista un informe que recogiese cinco aspectos diversos de lasrealizaciones del Año Mundial de las Matemáticas.

En el primer artículo se recabó la colaboración de quienes podíantener una mejor visión de conjunto, como es la ComisiónPermanente del Comité Español del Año Mundial de lasMatemáticas 2000 (CEAMM2000), para que desde su atalayahiciesen una valoración global.

La Federación, a través de la Secretaría de Actividades, estárecopilando todas las actividades que han llevado a cabo lassociedades federadas en los famosos 365 días. Desde allí se hahecho una síntesis de los dos millares de jornadas, conferencias,cursos, exposiciones, concursos, salidas a los medios decomunicación, y un larguísimo etcétera en los que hanintervenido de forma activa nuestras sociedades.

El tercer punto de vista lo proporcionan las propias sociedadesfederadas, con dos ejemplos extremos, el de una sociedad con ungran número de socios totalmente consolidada y el de una pequeñaque se incorporó a la Federación, precisamente al comenzar el añomítico. «Thales» y «A prima» describen cómo se vivió el 2000 en susrespectivas comunidades, Andalucía y La Rioja.

En cientos de colegios e institutos se han realizado múltiplesactividades matemáticas con el pretexto del Año mundial. Elquinto y último artículo del informe recoge las que se han hechoen un instituto, el IES n.° 3 de San Javier (Murcia).

3

Informe 2000

EDITORIAL

F

37

junio 2001

El 2000 ya ha pasado, estamos en el 2001 y hay que mirar al presente yal futuro. La Federación sigue con sus actividades habituales; cuandoeste número salga de la imprenta coincidirá con la fase nacional de laOlimpiada en Cantabria, con los preparativos finales de las JAEM enAragón, con el diseño de un seminario en Canarias, con la preparaciónde un nuevo título del Servicio de Publicaciones, con la preparación dela celebración del día escolar de las matemáticas, con el inicio de laconfección del número 38 de SUMA, con…

En la última Junta de Gobierno se admitió la incorporación a laFederación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas a dosnuevas sociedades: la Sociedad Melillense de Educación Matemática y laSociedade Galega do Profesorado de Educación Matemática(AGAPEMA). A ambas, nuestra más cordial bienvenida y los mejoresdeseos para que cumplan sus objetivos, que en definitiva no son otrosque la mejora de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas.

Con estas dos nuevas incorporaciones ya son diecinueve las sociedadesfederadas, lo que hace de nuestra Federación una de las organizacionesmás importantes en el campo educativo en España.

4

L SEMINARIO DE REFLEXIÓN sobre la Enseñanza de lasMatemáticas fue planificado por la Sociedad Canaria IsaacNewton de Profesores de Matemáticas como una contri-bución a los actos del año 2000, aprovechando, además,que podía ser el complemento deseable al encuentro cele-brado por la Sociedad Emma Castelnuovo en El Escorialen el mes de noviembre del año 1998. Aquel encuentrosignificó una valoración de los nuevos currículos aplicadosen la Educación Secundaria Obligatoria y de la situaciónen que se encontraba su puesta en práctica; de él dima-naron una serie de recomendaciones a las Adminis-traciones Públicas sobre aspectos inicialmente previstospor la Ley e incumplidos o insuficientemente desarrolla-dos hasta ese momento en su realización. Independiente-mente del grado de respuesta obtenido (insuficiente atodas luces) de los organismos a los que, en razón de suscompetencias, se les hizo llegar las conclusiones, parecíallegada la ocasión de comenzar una reflexión de losdocentes y para los docentes sobre la enseñanza de lasMatemáticas en la etapa obligatoria, que complementara elcarácter general del documento de El Escorial. En efecto,aquel era un documento de referencia imprescindible paraentender los problemas globales del área en la etapaSecundaria, pero no existía un documento similar referidoa la Educación Primaria ni tampoco uno en forma de pron-tuario didáctico que facilitara al profesorado pautas parasu ejercicio profesional. Así, y dentro de las actividades dela Federación Española de Sociedades de Profesores deMatemáticas, y respaldada por la Consejería de Educación,Cultura y Deportes del Gobierno de Canarias y el Cabildode la Isla, se celebró en La Gomera, en octubre de 2000,el Seminario de Reflexión sobre la Enseñanza de lasMatemáticas en la etapa obligatoria, cuyos objetivos ymetodología se describen a continuación. Se formaron trescomisiones de trabajo: una de Educación Primaria y dos

* Documento elaborado en elSeminario convocado por laFederación Española deSociedades de Profesores deMatemáticas y organizadopor la Sociedad Canaria«Isaac Newton» de Profesoresde Matemáticas.

Fue coordinado por ManoloFernández Reyes y se celebróen La Gomera los días 12, 13y 14 de octubre de 2001.

El presente informe ha sidoredactado por: Pilar AcostaSosa, Luis Balbuena Caste-llano, Manuel García Déniz,Dolores Godoy Delgado, AnaAlicia Pérez Hernández, AnaTrujillo La Roche y FidelaVelázquez Manuel. Todos ellosagradecen la meticulosa revi-sión del original realizada porel Centro de Desarrollo Cu-rricular dependiente de laConsejería de Educación y enespecial a José Luis AguiarBenítez.

5

Seminario de reflexiónsobre la enseñanzade las matemáticas*La Gomera, 12, 13 y 14 de octubre de 2000

SEMINARIOFESPM

E

37

junio 2001, pp. 5-25

Sociedad Canaria «Isaac Newton»de Profesores de Matemáticas

A Ricardo Lorenzo in memoriam

de Educación Secundaria Obligatoria (dado el elevadonúmero de participantes de esta etapa). Sus conclusionesse recogen en los capítulos que siguen, uno dedicado aPrimaria y otro a la ESO, en el que se han unificado las desus dos comisiones.

Génesis y organización del Seminario

El Seminario se gesta inicialmente en las XX Jornadas de laSociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores deMatemáticas, en febrero de 2000, cuando, en una reunióncelebrada ex profeso entre miembros de la Sociedad, delComité Canario del año 2000 y de la Consejería deEducación, se plantea la necesidad de realizar una aporta-ción curricular a la celebración del 2000, y una reflexiónsobre la problemática de la enseñanza de las Matemáticasen la educación obligatoria. El documento de El Escorial,buen punto de partida para la reflexión, tenía dos aspectosnecesitados de ampliación: uno relativo a la cobertura dela reflexión (se veía necesario ampliarla al resto de la ense-ñanza obligatoria, incorporando la Educación Primaria), yotro referido a la operatividad del documento para el usoinmediato del profesorado en ejercicio en las etapas de laenseñanza obligatoria. Esa formulación de sugerencias enforma de prontuario didáctico no fue uno de los objetivosde aquel Seminario, pero parecía una necesidad crecienteentre el profesorado, el cual echaba en falta un documen-to de esas características en el ámbito del área, y a esa tarease aplicó la Sociedad. La Federación respaldó la propuestade la Sociedad Canaria en la siguiente reunión de su Juntade Gobierno y en el breve espacio de tiempo del que sedispuso (con las vacaciones de verano por medio), y ven-ciendo obstáculos ajenos e imprevisibles (cambio obligadode sede de la sociedad), el Seminario tuvo lugar, comoestaba previsto, en octubre de 2000.

El Seminario se organizó de acuerdo con la siguientemetodología y secuenciación del trabajo:

• Recepción, por la sociedad organizadora, de las pro-puestas del resto de sociedades federadas con docu-mentos importantes para su análisis y debate, comopunto de partida.

• Remisión a todas las sociedades de un listado defini-tivo de documentos que se pueden utilizar.

• Recepción, por la Sociedad «Isaac Newton», de las pro-puestas de epígrafes para la elaboración de un cues-tionario, y de los nombres de los participantes de cadauna de las sociedades federadas.

• Elaboración del cuestionario de debate, por la SociedadCanaria, según las aportaciones de las sociedades.

• Remisión del cuestionario de debate.

• Recepción por la organización de las respuestas a loscuestionarios.

• Elaboración, por la Sociedad «IsaacNewton», del documento síntesis delos cuestionarios recibidos, que seráel punto de partida del debate en elforo de la Gomera.

• Remisión a las sociedades del docu-mento de síntesis de conclusiones.

Objetivos del seminario

• Analizar la situación actual de laEnseñanza de las Matemáticas enla educación obligatoria a partir delos documentos de evaluaciónexistentes.

• Elaborar unos principios deEducación Matemática para laenseñanza obligatoria enmarcadosen una propuesta de educaciónpara el futuro.

• Actualizar el decálogo del profesorde Matemáticas (Puig Adam),como punto de partida de la ela-boración de unos futuros estánda-res curriculares.

• Planificar la revisión periódica de losdocumentos elaborados, favorecien-do una propuesta dinámica comofruto de una reflexión permanente.

Las respuestas a los cuestionarios y lasintervenciones durante el Seminario die-ron lugar a las ideas que se abordan eneste documento bajo los epígrafes quesiguen, y que son comunes a las dos eta-pas de la educación obligatoria y queconforman el cuerpo del documento departida para un debate que se pretendeque sea amplio y que tenga continuidad.

Estructura y currículode las etapas que conformanla educación obligatoria

Durante muchos años, decir matemáticasen la educación obligatoria, sobre todoen la Educación Primaria, quería decir enrealidad aritmética y cálculo. En ciertamedida, esta concepción se ha prolonga-do hasta la actualidad, por lo que el resul-tado en este momento es un currículoreal que no favorece la aparición de laintuición y el razonamiento matemáticoni la resolución de problemas, y que sólo

Las respuestasa los cuestionarios

ylas intervenciones

duranteel Seminariodieron lugara las ideas

que se abordanen este documentoy que son comunes

a las dos etapasde la educación

obligatoria…

6

estimula las actividades mecánicas. Estemodelo de práctica curricular convierte alalumnado, paulatinamente, en receptorpasivo de reglas y procedimientos másque en participante activo de la creaciónde su propio conocimiento matemático.No obstante, y desde los nuevos currícu-los oficiales, en los últimos tiempos, se hasolicitado cada vez más del docente quesustituya o equilibre el enfoque centradoen habilidades de cálculo con otros quehacen más hincapié en los conceptos,esto es, en la comprensión y aprehensiónconceptual de las matemáticas. Esto haobligado al profesorado en ejercicio y alos libros de texto a centrar su atenciónen la forma de enseñar y aprender losconceptos matemáticos fundamentales, apesar de que aún la mayor parte del tiem-po se emplee en resolver cálculos. Paracomplicar todavía más el panorama, seexige de las matemáticas menos cuestio-nes de contenido que formas de pensar yde razonar. En esta línea, al profesoradose le ha presentado una materia cam-biante en cuanto al enfoque, lo queimplica nuevas maneras de enseñar yevaluar. Estas demandas curriculares decambio en matemáticas han coincididocon una reforma profunda de las etapasque conforman la educación obligatoria(y en Primaria, del profesorado que laimparte, incluida su formación matemáti-ca inicial), lo que supone para la comu-nidad educativa matemática la necesidadde redoblar sus esfuerzos para que esoscambios pretendidos para la educaciónmatemática en la enseñanza obligatorialleguen en realidad a todo el profesorado,y que el currículo diseñado para las dosetapas pase de ser un «currículo deseado»a ser un «currículo de facto». Este currícu-lo ha de caracterizarse, y así se hace en elconjunto de recomendaciones que seplantean, por una serie de premisas queintentaremos resumir a continuación.

En primer lugar, aprender matemáticassignifica aprender su uso, lo que hasupuesto que las comisiones hayan pre-tendido poner el énfasis en el «hacer»más que en el «conocer».

En segundo lugar, las comisiones hanremarcado la necesidad de adecuacióny aprovechamiento de las nuevas tecno-

logías como herramientas que facilitan la tarea, pero con-siderándolas como medio y no como fin, lo que nos lle-varía a una tercera premisa básica que fue desarrollada:conviene (pero no en lugar de, sino además de) que losestudiantes tengan cierta maestría en el cálculo de algorit-mos de lápiz y papel, cuyo conocimiento ha de surgir delas situaciones problemáticas necesitadas de su uso.

Por último, la cuarta premisa que destacaríamos sería quelas matemáticas contenidas en el currículo han de serapropiadas para todos los estudiantes, por lo que el pro-fesor ha de dotarse de herramientas que le permitan aéstos desarrollar personalmente sus propios talentos ycapacidades, conseguir sus logros, y satisfacer sus necesi-dades e intereses.

Metodología

La metodología que se indica parte, en todo caso, de queel aprendizaje de las matemáticas se produce en una situa-ción de interacción con el área, y preferentemente en unentorno de resolución de problemas. Por poner un ejem-plo con el aspecto más desarrollado en la enseñanza delas matemáticas, la pretensión última es que la experienciamatemática directa desarrolle la capacidad de hacer cálcu-los y no al revés. En ambas etapas, las comisiones respec-tivas ofrecen sugerencias de qué trabajos serían los másadecuados, en qué contextos se plantearían las distintasmodalidades de agrupamientos, qué aspectos matemáticoshan de reforzarse mediante la verbalización y la discusión,cómo y con qué finalidad se deben realizar prácticas meto-dológicas alternativas y qué papel ocuparía la explicacióndel profesor, entre otros aspectos metodológicos relevan-tes. Las situaciones familiares para la aprehensión dereglas, las situaciones complejas que permitan ser aborda-das desde distintos puntos de vista, los agrupamientos y laapertura y flexibilidad de las situaciones entran dentro delabanico de propuestas desarrolladas, centradas todas ellasen la coherencia y el equilibrio entre los distintos aspectoscurriculares.

Evaluación

La evaluación se considera como una ayuda para que elprofesor conozca lo que los estudiantes saben, y podertomar las correspondientes decisiones docentes. Para ello,las comisiones sugieren que los cambios que ha de inte-riorizar el profesor han de afectar también al proceso deevaluación. Al cambiar el concepto de lo que significasaber y enseñar matemáticas, también ha de cambiar cohe-rentemente la evaluación. Las propuestas de las comisionesse centran en un modelo de evaluación que vaya paralelo(o mejor, que se integre) en el desarrollo de la docencia,que tenga en cuenta los diversos procedimientos y todoslos aspectos del conocimiento matemático, y que actúe

…desdelos nuevoscurrículosoficiales,

en los últimostiempos,

se ha solicitadocada vez másdel docente

que sustituyao equilibreel enfoquecentrado

en habilidadesde cálculocon otros

que hacenmás hincapié

en los conceptos,esto es,

en la comprensióny aprehensiónconceptual de

las matemáticas.

7

como retroalimentación en la evaluación y la revisión delcurrículo y de su metodología. No obstante, la complejidadde esta íntima conexión curricular del proceso de evalua-ción merece, al entender de las comisiones, un espacio sin-gular del mismo tipo que este Seminario de reflexión.

Materiales y recursos

Las comisiones han dado una gran importancia al uso de losmateriales y recursos. Los materiales de los que se habla enel documento como idóneos son los manipulativos, losaudiovisuales, los de nuevas tecnologías (calculadora, orde-nador) y los materiales impresos, con una especial referen-cia a los libros de texto. Los materiales manipulativos sondestacados como primer estadio de la construcción mate-mática; los audiovisuales como referente cercano a la reali-dad del alumno; los de nuevas tecnologías por la facilidadde acceso que proporcionan a determinados contenidosmatemáticos, y los impresos por ser de inestimable ayudapara el profesor y para el alumnado. El uso de los materia-les, sobre todo aquellos cuyo nivel de manipulación y deinteracción sensorio-mental es importante (manipulativos,audiovisuales, de nuevas tecnologías), favorece el desarrollode la experiencia matemática y de los procesos inductivos,de tanto valor en las edades que nos ocupan. La manipula-ción y la percepción de distintas situaciones y objetos per-miten realizar las operaciones concretas mediante las cualeslos individuos de estas edades pueden realizar de maneragradual el tránsito a las operaciones lógicas y a las formali-zaciones, al final del período de escolarización obligatoria.Objetos físicos y posteriormente representaciones simbólicas(materiales impresos) permiten, pues, avances sustancialesen el conocimiento matemático, favoreciendo el tránsito delas informaciones concretas sobre la realidad y la experien-cia inmediata (pensamiento inductivo) a etapas más com-plejas propias del pensamiento formal y deductivo, median-te un proceso constructivo del pensamiento matemático quetiene la deducción como meta final de un largo procesoaproximativo a la realidad por medio de su matematización.

El papel del profesorado

Los cambios curriculares han planteado un cambio en elpapel del profesor. Mayor profesionalización y más ampliay permanente formación son las grandes exigencias queese nuevo papel ha supuesto para el profesorado. Al pro-fesor se le asigna un mayor protagonismo en la toma dedecisiones curriculares, aumentando su autonomía ypidiéndosele un mayor compromiso de concreción de lasdecisiones de enseñanza-aprendizaje. Estas tareas, nuevasy distantes de la mera ejecución de decisiones curricularesexternas, exigen múltiples reflexiones teóricas, no sólo delámbito disciplinar, una concepción profesional contextuali-zada, y un profesorado en continua formación profesionalvinculada al propio ejercicio de la docencia, reflexionando

sobre su práctica, investigando, innovan-do… Todo ello exige cambios profun-dos en la cultura profesional y de for-mación. Es preciso contar con un profe-sorado motivado y formado, para lo quees necesario una reflexión profundadesde todos los sectores que atienden ala formación del profesorado, tanto ini-cial como permanente, y desde los pro-pios centros docentes y las Administra-ciones Públicas, dotando al mismo deherramientas adecuadas para asumir losnuevos retos y demandas. Asimismo, elprofesorado ha de ocupar, por plenoderecho, un terreno que le es propio ydonde se espera de él una actitud abier-ta, crítica, creativa, colaborativa y deafecto hacia el área y hacia el alumnado.

Recomendaciones

El apartado dedicado a las recomenda-ciones ha de tener el valor de una pri-mera reflexión sobre los aspectos didác-ticos por un profesor de matemáticaspara las etapas de la educación obliga-toria. No obstante, y así fue entendidopor los miembros de las comisiones,éste es un mero punto de partida paraun trabajo más detenido que desarrolleel documento, de modo que cada unade las recomendaciones se comente yse complemente con referencias concre-tas y ejemplificaciones desarrolladas decada uno de los epígrafes.

Tal fue el objetivo que se marcaron losmiembros de las comisiones, emplazán-dose para un segundo encuentro trans-curridos dos años. Esta tarea constituyeun reto que pretendemos hacer extensi-vo a todo el profesorado lector de estaspropuestas, al que animamos a formarsus propios grupos de trabajo, y cuyasaportaciones serán bien recibidas porlas comisiones.

Educación Primaria

Estructura y currículode la etapa

• En la educación de cualquier per-sona, las Matemáticas desempeñan

Los cambioscurriculares

han planteadoun cambioen el papel

del profesor.Mayor

profesionalizacióny más ampliay permanente

formaciónson las grandes

exigenciasque ese nuevo

papelha supuesto

parael profesorado.

8

un papel primordial desde laEducación Infantil. En la EducaciónPrimaria ha desempeñado, desem-peña y desempeñará un papel bási-co. No se reduce a la numeración ya las cuatro reglas, sino que secomienza a formar y asentarse elpensamiento matemático que a lapostre resultará fundamental para eldesarrollo de las Matemáticas y delresto de las áreas.

• El fin primordial del trabajo mate-mático es iniciar a los niños y a lasniñas en el modo de pensar y deexpresión que caracteriza las Mate-máticas. Ello ha de permitir desa-rrollar algunas habilidades intelec-tuales:

— Establecer relaciones, ordenar,clasificar, organizar.

— Iniciarse en una expresiónque utiliza una terminología yun simbolismo cada vez máspreciso.

— Argumentar y alcanzar conclu-siones por sí mismo.

— Resolver problemas de la vidacotidiana, utilizando los con-ceptos y procedimientos pro-pios del área.

• El carácter globalizador de laEducación Primaria, sobre todo enlos dos primeros ciclos, debe irdejando paso, de forma gradual, ala interdisciplinariedad, más propiadel último ciclo y de la EducaciónSecundaria.

• La globalización exige un trabajo deplanificación y diseño, dado quehay que interrelacionar lasMatemáticas con el resto de lasáreas, a partir de una organizaciónprevia del Centro, con proyectosconsensuados que guíen el queha-cer diario. La educación es una tareade equipo, necesitada de un grupodirectivo dinamizador del trabajoprofundo y enriquecedor de todo elprofesorado para alcanzar el éxito.

• Los objetivos y capacidades propiosde esta etapa deben desarrollarse através de los contenidos, utilizando

materiales que permitan modelizar o experimentar,potenciando la expresión verbal de los procesos, pormedio de juegos que posibiliten la adquisición deestrategias de cálculo, de medida y de resolución deproblemas, etc.

• Los distintos pasos del proceso, programación-evalua-ción-actividad, deben entenderse de forma integrado-ra, y constituyen un todo coherente. Debemos procu-rar que cada actividad obedezca a un criterio y con-lleve una observación que permita evaluar lo quequeremos conseguir al realizarla. Todo debe supedi-tarse a la consecución de un objetivo.

Respecto a los objetivos

• Debemos tender a un desarrollo global, integrandolos objetivos que se refieran a valores y procedimien-tos con los conceptuales.

• Teniendo en cuenta las necesidades sociales, se debenpriorizar aquellos objetivos que favorezcan abordarproblemas para los que no se tiene una regla determi-nada, que incidan en la interpretación de las diferen-tes maneras de organizar la información, que poten-cien la estimación de operaciones y de medidas y queayuden a la descripción y comprensión del espacio.

Respecto a los contenidos

• Consideramos que los bloques propuestos en lasorientaciones curriculares son adecuados. Hay queseleccionar pocos pero fundamentales contenidospara conseguir que el alumno sepa emplearlos correc-ta y conscientemente en el contexto adecuado.

• Es importante el bloque de Números y Operaciones,ya que articula el resto y permite conectarlos entre sí.Pero no debemos olvidar que la Geometría y el Trata-miento de la Información dotan al alumno de unmayor sentido crítico, aportan atractivo al proceso deaprendizaje y tienen posibilidades de ser visualizadosy manipulados, permitiendo interrelaciones entretodos ellos. Serán dichas conexiones las que daránsentido al proceso de enseñanza y aprendizaje.

• Tanto los contenidos como su secuenciación son atítulo orientativo, y cambiar algunos no implicaaumento ni disminución de nivel.

• Los bloques no se acaban en un curso. Se basan enlos conceptos previamente adquiridos, con sucesivastomas de contacto, ampliaciones y ramificaciones,relacionando todos los bloques entre sí.

• Recomendamos, pues, una secuencia en espiral.

• El alumno es el centro de la actividad. Cada uno esdiferente de los demás, y para atender la diversidad,debemos conocer y respetar los ritmos y estilos de

El finprimordialdel trabajomatemáticoes iniciar

a los niñosy a las niñasen el modode pensar

y de expresiónque caracterizalas Matemáticas.

9

aprendizaje, y tener en cuenta su entorno sociocultural,presentándole situaciones lo más próximas posibles.

• La aparición de alumnos inmigrantes en nuestrasaulas debe considerarse desde esta óptica, enrique-ciendo el trabajo de aula con la interculturalidad queaportan y no discriminándolos. Las Matemáticasconstituyen a este respecto un área intercultural y unlenguaje universal.

• Debemos tener presente que contenidos correctosen un ámbito determinado, luego, al ser utilizados enotro más amplio, pueden constituir un obstáculopara el aprendizaje. Hay que diseñar, en consecuen-cia, situaciones que permitan explicitar los conoci-mientos previos.

• El diálogo y la observación de los alumnos mientrastrabajan son buenas técnicas de descubrimiento deideas previas.

• Debe incidirse en los conceptos bien adquiridosdesde todos los ángulos: reversibilidad, aplicación endistintos contextos...

• Es muy básico disponer de un listado de las ideas pre-vias erróneas más frecuentes, con indicaciones sobreformas de detectarlas, etc.

• El bloque de Tratamiento de la Información resultaadecuado para la incorporación de información rela-cionada con los temas transversales (consumo, publi-cidad, salud, etc.)

Metodología

Es muy importante para nosotros partir de un plan de con-secución de objetivos y de un trabajo en equipo. Los cam-bios metodológicos son muy lentos y resultan difíciles.Para que sean efectivos debemos cambiar poco a pocoalgunas cosas, introducir actividades diferentes, en cohe-rencia siempre con el plan previo, y siguiendo una prácti-ca metodológica activa y reflexiva.

Destacamos algunas propuestas ya experimentadas conéxito:

Organización del alumnado

• Aprendizaje cooperativo, organización flexible del tra-bajo en el aula.

• Ayuda de unos alumnos a otros; trabajo en equipos de4 o 5, con una dedicación individual previa; pequeñasexplicaciones del profesor; atención a 2 o 3 alumnosque necesiten un tratamiento individualizado, mien-tras los demás realizan actividades que permitan unamayor autonomía; explicaciones orales de contenidos,procesos, situaciones... y expresión gráfica de proble-mas y contenidos.

• Trabajo en grupo como una prácticahabitual y no ocasional en el aula.No todos los niños tienen la mismapredisposición para trabajar correcta-mente en grupo ni para realizaraprendizajes compartidos, pero atodos se les debe poner en situaciónde aprender a hacerlo, aunque sindejar de darles la oportunidad deescoger una modalidad de trabajo enla que se sientan más cómodos.

• Diversos agrupamientos y modelosalternativos de intervención en elaula; por ejemplo, más de un pro-fesor con un grupo de alumnos.

• Tanto el trabajo individual como enequipo son imprescindibles; el queuno deba primar sobre otro dependedel nivel, de la dinámica de la clasey de la personalidad de los niños.

• El trabajo en equipo favorece lasrelaciones entre los alumnos y conel maestro. El trabajo individualpermite adaptarse más fácilmente alestilo de aprendizaje de cada niño ya sus características.

Sobre principios de procedimiento

• El profesor ayuda a que el niñoestablezca relaciones entre lo queya conoce y lo que aprende, a tra-vés de situaciones en las que perci-ba problemas que le interesen, y aque reflexione sobre el contenidomatemático, investigando, discu-tiendo con otros sus ideas y escri-biendo lo que ha descubierto.Asimismo, debe tratar de ajustar elnivel de su ayuda pedagógica a lasdiferentes necesidades.

• Es conveniente partir de situacionesglobales, contextualizadas y cerca-nas a los niños.

• Hay que respetar los estadios deaprendizaje (manipulativo, gráfico ysimbólico) a la hora de diseñar activi-dades, no olvidando la utilización demodelos sensoriales (materialesmanipulativos) que ilustren los con-ceptos matemáticos que lo requieran.

• Potenciar la autoestima es esencialpara el desarrollo futuro del niño.

Los cambiosmetodológicosson muy lentos

y resultandifíciles.

Para que seanefectivos

debemos cambiarpoco a poco

algunas cosas,introduciractividadesdiferentes,

en coherenciasiempre con

el plan previo,y siguiendo

una prácticametodológica

activay reflexiva.

10

En la resolución de problemas, porejemplo, si bien es necesario quelos niños desarrollen destrezas depensamiento y capacidades lógicas,el proponer algunas pruebas fácil-mente superables puede suponerun estímulo para seguir adelante. Esnecesario que, en todo momento,el alumno sea protagonista de suaprendizaje y se sorprenda grata-mente de sus descubrimientos.

• La consolidación de conceptospuede conseguirse facilitando laconstrucción de aprendizajes signi-ficativos mediante actividades queposibiliten establecer relacionessustantivas entre los conocimientosprevios y los nuevos aprendizajes.

• Otras recomendaciones para la con-solidación de conceptos:

— Aplicación de lo aprendido asituaciones nuevas.

— Propuestas por parte de losalumnos de situaciones nue-vas resolubles mediante loaprendido.

— Revisión de las nuevas respues-tas a las situaciones problemá-ticas iniciales.

• En cuanto a la forma en que losalumnos pueden demostrar lo quehan aprendido, se debería dar másimportancia a los aspectos prácticosy funcionales de la materia. Seríabueno trabajar con proyectos queconstaten la necesidad y utilidad delos aprendizajes y favorezcan laadquisición de nuevos contenidos.

• La exposición por el alumno esnecesaria, ya que verbalizar y argu-mentar ayuda a fijar lo aprendido,desarrolla destrezas comunicativasy es enriquecedor para los demás.

• Memorización comprensiva y meca-nización de aquello que, previamen-te construido, pueda considerarsebásico para aprendizajes posteriores.

Sobre los medios

• Los medios audiovisuales puedenenriquecer ciertas actividades y

generar una actitud positiva hacia las Matemáticas. Elordenador aporta nuevas posibilidades dada su versa-tilitad, permite atender distintos ritmos de aprendizajey la diversidad del alumnado.

• Las nuevas tecnologías deben considerarse un medio,no un fin. Las calculadoras deben ser utilizadas no sólopara comprobar resultados, sino para realizar pequeñasinvestigaciones y consolidar los procesos operatorios.

• Es preciso diseñar actividades que ayuden a desarro-llar estrategias de cálculo y de estimación, utilizandorecursos próximos (salidas al mercado, folletos publi-citarios, información en prensa, etc.).

Atención a la diversidad

• La asunción de incompetencia para las Matemáticas seempieza a manifestar a finales del segundo ciclo oprincipios del tercero y, generalmente, por problemasen los aprendizajes previos, que deben ser detectadosy tratados convenientemente.

• Con los alumnos desmotivados y que no siguen elritmo de la clase, se podría partir de aquellos aspectosde las Matemáticas que les sean más favorables, paraque reciban algún estímulo a partir de ciertos éxitos. Eltrabajo en grupo también puede ayudar en estos casos.El uso de la calculadora posibilita la resolución de pro-blemas a alumnos con deficiencias de cálculo.

• En el caso de niños con problemas, es necesaria la coor-dinación con la familia y con el resto de los maestros.

• Las actividades que desarrollen el pensamiento diver-gente, la creatividad, el espíritu crítico, la expresiónpersonal, la fantasía..., pueden resultar muy motiva-doras. Dada la diversidad de alumnos en un aula, noexisten unas actividades tipo.

• Las actividades abiertas permiten que emerjan estrate-gias creativas. En este sentido, las exposiciones de lostrabajos realizados por los niños, seguidas de discu-siones y evaluaciones, resultan muy interesantes.

Evaluación

• La evaluación debe concebirse como un intercambiode información con el alumno, y es necesario devol-ver esa información de manera inmediata.

• Para nosotros es más interesante la evaluación de losprocesos que la de los productos, ya que nos informaen cada momento de los niveles de cada niño, y asíse pueden aplicar las correcciones oportunas en elmomento adecuado. Aunque casi siempre un buenproceso lleva a un buen producto, debemos conocerel grado de consecución de los objetivos.

• El procedimiento adecuado para detectar logros y difi-cultades es la observación sistemática.

La asunciónde incompetencia

paralas Matemática

se empiezaa manifestar

a finalesdel segundo ciclo

o principiosdel tercero

y, generalmente,por problemas

en losaprendizajes

previos,que deben ser

detectadosy tratados

convenientemente.

11

• Todas las producciones del alumnado han de sercorregidas. En el primer ciclo, la corrección ha de sermás individualizada.

• La exposición de los trabajos realizados individual-mente o en grupo puede ser muy esclarecedora.

• Una buena práctica es la comunicación de experiencias.

• La puesta en común ha de hacerse por equipos, posi-bilitando la expresión entre todos sus componentes yfacilitando que lo hagan de forma oral y por escrito.

• Los instrumentos de evaluación deben ser coherentescon el diseño de las actividades. Debe considerarse lamanipulación de objetos, la expresión gráfica y loscomentarios, dudas y conclusiones manifestadosoralmente.

• Cada alumno debe tener la oportunidad de conseguiralgún éxito en el proceso evaluador.

• Debemos practicar una evaluación de la enseñanzaque informe sobre la adecuación de lo programado,con el fin de modificar oportunamente lo que seanecesario para el éxito del proceso.

Materiales y recursos

• El trabajo en el aula debe basarse en una multiplici-dad de materiales de uso individual y colectivo.

• La distribución del espacio, la disposición de los mate-riales, la ambientación de la clase, la forma en queestán colocados los alumnos y la ubicación de la mesadel profesor son factores importantes en el proceso deenseñanza y aprendizaje.

• La ausencia de un espacio específico para la realiza-ción de actividades manipulativas y experimentales nodebe ser un impedimento para su realización. La prin-cipal dificultad radica en nuestra falta de confianza eneste tipo de prácticas y en el deseo de tener en todomomento una clase estática, ordenada y silenciosa, loque no es siempre posible ni deseable.

• Las bibliotecas de aula, las aulas taller, los juegos, laprensa, la radio, los vídeos, la elaboración de mate-riales por los equipos de nivel o ciclo, el uso de lasnuevas tecnologías..., deberían facilitar el proceso deenseñanza-aprendizaje de las Matemáticas. La organi-zación de los centros debe adecuarse a las nuevasnecesidades y posibilidades, dotando del tiemponecesario para preparar el uso de estos medios.

• La biblioteca de aula, valiosa tanto para los alumnoscomo para el profesor, puede contener fichas, libros deconsulta, de divulgación, de historia, de problemas,sobre juegos lógicos y matemáticos, sobre temas mono-gráficos; cuentos matemáticos, y, también, produccionesescritas por los alumnos, diferentes libros de texto; ilus-

traciones gráficas, etc. Es muy impor-tante que todos estos materiales esténcatalogados, clasificados, ordenadosy a disposición de los alumnos.

• El conocimiento matemático elemen-tal surge de la reflexión que se hacea partir de la manipulación de losobjetos. De aquí la importancia dedisponer y utilizar los distintos mate-riales manipulativos de las matemáti-cas (ábaco, regletas, tangram, etc.).

• Algunos materiales cotidianos (do-mésticos, de tiendas, de oficinas, dela construcción...) son útiles paraexperimentar características físicas,para la exploración de formas, ladeterminación de magnitudes, etc.

• El libro de texto es un recurso más.Ajustarse demasiado a él dificulta lacontextualización, la actualización,etc. Un buen libro de texto deberíaconseguir motivar al alumno plan-teando situaciones y actividadesque inciten a la investigación y con-tribuyan a la construcción del cono-cimiento. Su elección debe sercoherente con el Proyecto Curricu-lar de Centro y se hará por la totali-dad del equipo de profesores.

• Todos los materiales e instrumentostecnológicos son útiles y es precisodisponer de ellos y familiarizarse consu uso. Algunos de nuestros alumnostendrán muy pocas posibilidades deaprender a usarlos fuera del contex-to de la escuela. La facilidad con quelos alumnos abordan estos medios,muy próximos a las máquinas queutilizan en su tiempo de ocio, y eluso de maniobras de ensayo y errorcon que los afrontan facilitan muchosus estrategias de pensamiento.Todos debemos hacer un esfuerzopara propiciar su uso en el aula.

• La calculadora debe desempeñar unpapel muy importante en el trabajodel aula: puede favorecer las habili-dades para el cálculo mental, elreconocimiento de patrones, el des-cubrimiento y la consolidación deconceptos, etc.

• Las exposiciones orales de trabajosson muy útiles. Junto con las publi-

Cada alumnodebe tener

la oportunidadde conseguiralgún éxito

en el procesoevaluador.

El trabajoen el aula

debe basarse enuna multiplicidad

de materialesde uso

individualy colectivo.

12

caciones escolares y la correspon-dencia contribuyen notablemente aldesarrollo de la comunicación.

• Es muy importante exhibir las pro-ducciones de los alumnos. Hayque potenciar la claridad delaspecto gráfico, la mayor concre-ción de la expresión escrita y quetodo lo que se muestre se expliqueal resto de la clase.

• A través de las exposiciones demateriales pueden presentarse lasMatemáticas como algo dinámico,que evoluciona con el tiempo.Además, contribuyen al desarrollode la creatividad y la fantasía y per-miten la relación con otras áreas.Puede haber exposiciones de tra-bajos realizados por adultos y otrasdonde se muestren trabajos, pro-puestas y materiales elaboradospor los niños.

• Deben programarse actividadesdentro y fuera del centro: conoci-miento de espacios, realización deplanos, medición de distancias,medición de tiempos, fotografía,etc. La clase de Matemáticas no hade limitarse al aula.

• Todas las actividades han de serdebidamente planificadas y debentener su origen en el ProyectoCurricular de Centro.

• El tiempo no puede ser un impedi-mento para el aprendizaje de lasMatemáticas. Los procesos de esteaprendizaje exigen una concienciaclara del uso del tiempo, flexibili-zando adecuadamente el total dis-ponible, de manera que se respetenlos ritmos y las secuencias de con-tenido. Todo lo reseñado anterior-mente en cuestiones metodológicasexige que el tiempo no esté limita-do ni compartimentado.

El papel del profesorado

El alumno es el centro de la actividaddel profesor

• La toma de decisiones del profesorestá siempre al servicio del alumno.

• Se ha de evitar la monotonía en el trabajo con losalumnos, programando actividades como exposicio-nes, concursos, visitas...

• Se debe intentar conocer a los alumnos, acercarse asus necesidades personales y de aprendizaje y a suentorno.

Actitud abierta, crítica y autocrítica

• Es necesario compartir dudas, informarnos, formarnose incorporar estrategias y recursos que favorezcan laseguridad.

• Conviene compartir los problemas con los demásmiembros del equipo educativo.

• Ha de tenderse a compartir y favorecer experienciasde enseñanza conjunta con los restantes colegas.

El profesor debe tener una actitud creativa

• Atreverse a formular otras propuestas metodológicas.

• Constatar y reflexionar acerca de las investigacionespresentadas desde otros ámbitos contribuirá a la mejo-ra de su labor profesional.

• Un maestro debe reflexionar continuamente sobre lapráctica educativa, aunque la falta de tiempo y depreparación no le permita formalizar los resultados.

El profesor debe actuar activamente como miembrode un colectivo

• Contraer responsabilidad e incorporarse activamente alas propuestas del centro.

• Procurar manifestarse cordial: fomentar las relacionesde saludo, interesarse por los demás y conversar. Lacordialidad es un primer paso para crear un clima deconfianza en el centro. Implicarse en conseguir unacorrecta atención a los nuevos miembros del centroes indispensable para una buena organización enequipo.

Actitud positiva hacia las Matemáticas

• Un profesor no puede transmitir una imagen negativade las Matemáticas. Todo maestro es también profesorde Matemáticas.

• Para contribuir a cambiar la concepción de unasMatemáticas frías debemos:

— Contextualizarlas.

— Aprovechar sus aspectos lúdicos.

— Dejar de enfatizar su papel como ciencia exacta eintroducir modelos aleatorios, aproximativos, deestimación...

— Dejar de recurrir a ellas como un «filtro», etc.

La cordialidades un primer

pasopara crearun clima

de confianzaen el centro.

13

La formación del profesorado

La formación inicial recibida no ha sido la adecuada paralas tareas que este documento propone.

La formación permanente del profesorado está ligada a sudesarrollo profesional, y éste, a su vez, no debe estar liga-do al cambio de nivel, sino a la elevación de la calidaddentro del mismo.

Necesitamos por tanto:

• Ayuda para que nuestra práctica pueda ser conocidacomo fuente de innovación y difundida entre el restode los profesores.

• Reconocimiento de la capacidad investigadora delprofesorado no universitario.

• Facilidades para participar en la investigación en edu-cación matemática.

• Disponibilidad de los resultados de la investigación eneducación matemática.

• Ayuda de expertos en algunas cuestiones relacionadascon nuevos contenidos.

• Participación en seminarios, grupos estables, jornadas,congresos, etc.

• Lectura de revistas profesionales para discutir algunosde sus artículos con vistas a la mejora de la elabora-ción de las actividades.

• Necesidad de participación activa de la Federación entodas las actividades de perfeccionamiento que puedanecesitar el profesorado de Primaria.

Recomendaciones

• Recomendamos la lectura reflexiva del decálogo dePuig Adam, a ser posible en equipo, y a la luz de lapráctica escolar de cada uno.

• Todos los asistentes a este Seminario deberán com-prometerse en un trabajo de desarrollo del documen-to durante los próximos dos años, desde cadaSociedad y en el ámbito de la Federación.

• Dicho trabajo deberá incluir al menos un glosario, uncuaderno de ejemplificaciones, un catálogo de ideasprevias, un estudio de los segmentos horarios, undecálogo actualizado y algunos otros trabajos encar-gados a expertos en temas puntuales.

Educación Secundaria Obligatoria

El profesor, además de ser transmisor de conocimientos, es elcoordinador del proceso de aprendizaje.

Estructura y currículode la etapa

Acerca de esta cuestión se ha escrito enabundancia y se tienen las diversasinterpretaciones recogidas en los distin-tos documentos oficiales, por lo que lospárrafos que vienen a continuación hayque leerlos como observaciones noexhaustivas sobre los distintos epígrafes.

Respecto a los objetivos de etapa, sereconoce que no resulta sencillo alcan-zarlos todos por igual; para ello es nece-sario no sólo incluir todos los conteni-dos del área sino tomar en cuenta tam-bién otros aspectos como por ejemplola metodología (algunos objetivos sólopueden desarrollarse mediante unadeterminada forma de hacer).

Para compatibilizar los fines de la etapacon los contenidos del área hay quetener en cuenta que la priorización delos objetivos generales de cada centromarcará, de alguna forma, la de los con-tenidos del área, y puede contribuir aevitar distorsiones entre dichos fines yel desarrollo de los contenidos.

Los planteamientos globalizadores ointerdisciplinares son muy apropiadospara desarrollar ciertos objetivos y, sobretodo, para favorecer la visión global de laciencia y enriquecer la visión del área, yde ahí que en algún momento del cursosea conveniente realizar actividades deeste tipo. No obstante, este planteamien-to no debe excluir el trabajo específico enel área, para que sea posible desarrollarsuficientemente sus contenidos.

En este apartado se quiere mencionarlas dificultades existentes en cuarto dela ESO con una diversidad no abordablea partir de las dos opciones existentes,proponiéndose diversas alternativas quehan de estudiarse:

• Distinguir en cuarto de la ESO trestipos de matemáticas, añadiendo alos actuales un tercero: matemáti-cas diseñadas para desenvolverseen la vida.

• Ofrecer un solo tipo de matemáti-cas en este nivel, y cubrir lasampliaciones mediante optatividad.

La formaciónpermanente

del profesoradoestá ligada

a su desarrolloprofesional,

y éste, a su vez,no debe

estar ligadoal cambiode nivel,

sinoa la elevaciónde la calidad

dentrodel mismo

14

• Ofertar en toda la SecundariaObligatoria la posibilidad de que elalumno pueda elegir el número dehoras de matemáticas (2 o 4 horas),permitiéndose traspasos de una aotra opción.

• Aplicar el actual sistema de matemá-ticas A y B de 4.° curso desde el 3.°.

Relacionada con el desarrollo del currícu-lo, existe asimismo documentacióndiversa, pero desde este seminario sedesea hacer algunas recomendaciones.

Es normal que se dé prioridad a unosobjetivos sobre otros, aunque es necesa-rio que se haga explicitando quéMatemáticas son necesarias para atendera la triple finalidad del área en la etapa:la formativa, la funcional y la instrumen-tal. Hay que evitar que incidan los facto-res «de siempre»: la inercia de muchosaños de profesión, lo que a mí me ense-ñaron, lo que viene en el libro de texto...

En general, se está de acuerdo con loscontenidos actuales, considerándoseque son suficientes los del currículo ofi-cial (otra cosa es lo que aparece en loslibros de texto o lo que el profesor tra-baja). Pese a ello, se cree necesario irintroduciendo nuevos elementos, comopor ejemplo, la teoría de grafos, demos-traciones en momentos puntuales...,potenciando siempre el constructivismoy el aprendizaje por descubrimiento.

También se recomienda no insistir encontenidos «conservadores» (polinomios,sucesiones, más modelos de funciones,etc.) ni en ciertas formas de proceder.

A la vista del desarrollo de las nuevastecnologías, se cuestiona la enseñanzade todos los algoritmos que actualmen-te se intenta que aprenda el alumnado.Hay que estudiar cuáles se deben traba-jar y hasta qué punto se debe insistir enellos, valorándose las capacidades quecontribuyen a desarrollar.

Es muy recomendable una secuencia enespiral, pero hay que tener en cuentaque esto hace necesaria una mayorcoordinación entre el profesorado delos dos ciclos, con el fin de evitar dis-torsiones. Para desarrollar una metodo-logía de ese tipo, hay que superar la

presentación de contenidos en forma de bloques, procu-rando conectarlos entre sí.

En cuanto a las adaptaciones, es preciso indicar querequieren, entre otras condiciones, materiales muy estruc-turados, grupos de 15 alumnos o menos, enseñanza indi-vidualizada, actividades que permitan diferentes niveles deprofundización, y motivar mediante la contextualización.La elaboración de materiales que faciliten las adaptacionesno es tarea fácil, en especial porque cada grupo o cadaalumno puede necesitar una diferente. Se trata de unalabor de equipo que requiere ayudas externas.

Es importante insistir en que para realizar adaptacionescurriculares hay que determinar la causa de la dificultad.Si se trata de baja capacidad comprensiva, habrá quepotenciar las fases manipulativa y figurativa; si las actitu-des y los hábitos son inadecuados, se deben conocer losintereses de los alumnos y tenerlos en cuenta para el desa-rrollo de la programación en el aula y, en caso de insufi-ciencia de conocimientos previos, proporcionar apoyosespecíficos.

La transversalidad, entendida como la forma de tratar undeterminado tópico desde los diferentes bloques, resultaconveniente. Para conseguir un tratamiento transversal delos bloques de contenidos, es preciso que la resolución deproblemas, en su sentido más amplio, sea el eje vertebra-dor del aprendizaje, y que se utilicen actividades queaborden de manera integral contenidos de los distintosbloques, como trabajos de investigación, proyectos...

En el proceso de enseñanza-aprendizaje deben diagnosti-carse continuamente los conocimientos previos, medianteuna serie de actividades diseñadas al efecto. El profesora-do debe conocer la situación de partida del alumnadosiempre que se vaya a introducir cualquier idea nueva.

Si se parte de que una consideración negativa de lasMatemáticas se debe a que tradicionalmente se han pre-sentado a los alumnos sin relacionarlas con situaciones dela vida cotidiana, con una formalización en exceso tem-prana y con un abuso de la automatización de algoritmos,se ofrecen algunas recomendaciones para contribuir acambiar esta concepción:

• Contextualizarlas con actividades cercanas a la vidadiaria y que respondan a intereses del alumnado.

• Aprovechar sus aspectos lúdicos.

• Potenciar la divulgación de las Matemáticas en todoslos medios.

• Complementar la vertiente de ciencia exacta que tra-dicionalmente se concede a la Matemática con mode-los aleatorios, aproximativos, de estimación...

• Incorporar las nuevas tecnologías como un elementoimprescindible para profundizar en el conocimiento einterpretación de la realidad.

Tambiénse recomienda

no insistiren contenidos

«conservadores»(polinomios,sucesiones,

más modelosde funciones, etc.)

ni en ciertasformas

de proceder.

15

• Revisar los contenidos tradicionales para introducirotros que permitan interpretar fenómenos propios denuestro tiempo (grafos, matemática discreta...).

Metodología

Todas las metodologías son adecuadas; lo que conviene esque estén siempre disponibles para dar respuesta ágil a lasdiversas situaciones.

La realidad de las aulas indica que el profesor va a encon-trar una diversidad entre sus alumnos y alumnas másamplia que la que afecta sólo a sus niveles de conoci-miento. Esta situación también aconseja tomar en conside-ración una amplia gama de metodologías e ir variándolasjunto con los agrupamientos y los recursos, ya que notodo es adecuado para el conjunto.

En el informe «Cockcroft» puede leerse: «somos conscientesde la existencia de profesores que desearían que les seña-lásemos el método más idóneo para enseñar matemáticas,pero no consideramos que esto sea ni posible ni deseable».A continuación se indican ciertos elementos que debenestar presentes en una enseñanza acertada de las matemá-ticas, para alumnos y alumnas de todas las edades:

• Exposición por parte del profesor.

• Discusión entre el profesor y los alumnos y entreéstos últimos.

• Trabajo práctico apropiado.

• Consolidación y práctica de las destrezas y rutinasbásicas.

• Resolución de problemas, incluyendo la aplicación delas matemáticas a las situaciones de la vida cotidiana.

• Realización de trabajos de investigación.

Agrupamientos

Conviene tener presente algunos principios:

• Se trata de un recurso metodológico que sólo debeutilizarse si el profesor está convencido de su utilidad.

• Es aconsejable conocer algunas técnicas de dinámicade grupos. No obstante, la puesta en práctica delrecurso mostrará las mejores estrategias para cadasituación.

• El trabajo en grupos es un recurso que ha de utilizar-se habiendo planificado muy bien aspectos talescomo los siguientes:

— Objetivos para los que se forma el grupo.

— Misión que ha de desarrollar cada componente.

— Materiales necesarios para desarrollar el trabajo,pues, en general, no se pueden improvisar.

— Lo que se pretende y su evaluación.

• Trabajar en grupo no es lo mismoque un grupo que trabaja.

• Un grupo de trabajo debe terminarsu cometido presentando un infor-me con el proceso seguido y losresultados.

• Es necesario enseñar pautas para lapresentación de trabajos.

• Estudiar y decidir si debe ser alum-nado de nivel homogéneo o hete-rogéneo. No pueden enunciarsereglas fijas para esto ya que, enalgún caso, el trabajo en grupopuede utilizarse para dar respuestaa la diversidad del aula haciendoque los más capaces ayuden alresto, pero en otros convendrá quesean homogéneos.

Debe partirse de la hipótesis de que notodas las personas se sienten a gusto tra-bajando en equipos. En cualquier caso, sedebe intentar hacerles ver las ventajas quereporta esta estrategia de aprendizaje.

Es una estrategia que no debe utilizarsede forma exhaustiva. Si bien haymomentos y temas para los que esaconsejable, no siempre es así. Porejemplo, es recomendable para situacio-nes como las siguientes:

• Resolución de problemas.

• Inicio del tema a través de juegos orelatos que hagan aflorar el con-cepto tras la discusión y la puestaen común, poniendo de manifiestoconflictos cognitivos y falsas con-cepciones.

• Introducción y aplicaciones de latrigonometría.

• Desarrollo de trabajos estadísticos.

No se considera aconsejable trabajar enequipo en situaciones como estas:

• Refuerzo de conceptos o algorit-mos.

• Construcción de conceptos querequieran un gran esfuerzo intelec-tual (números con signos, númeroirracional...).

El trabajo en grupo debe incluir unafase de trabajo individual en mayor omenor medida, según las características

Todaslas metodologíasson adecuadas;lo que conviene

es que esténsiempre

disponiblespara dar

respuesta ágila las diversassituaciones.

16

de aquél. Por otra parte, favorece que elalumnado se relacione entre sí y tam-bién con el profesor, y que se plantee lanecesidad de ir perfilando y creando unlenguaje común y preciso.

Pese a las ventajas educativas que com-porta la utilización de esta metodología,nos encontramos con que un estudiorealizado en Canarias en 1997 revelaque sólo un 8% del profesorado lopone en práctica. Los libros de texto nodan recomendaciones ni pautas para eldesarrollo de algún aspecto de los con-tenidos mediante la organización deequipos.

La historia de las matemáticascomo recurso metodológico

• El profesorado, en general, adolecede formación en esta parcela y sesuele mostrar reacio a utilizarla.

• No siempre es aconsejable unametodología basada en la recons-trucción del proceso histórico-mate-mático. Sin embargo, la introducciónhistórica, contar cómo algún mate-mático resolvió un problema concre-to, anécdotas significativas de la his-toria de las matemáticas o de losmatemáticos, etc., motiva a un buennúmero de alumnos y alumnas.

• Debe tenderse a que todo el profe-sorado adquiera un conocimientoamplio y profundo de la historia delas matemáticas, para que puedautilizarla como recurso metodológi-co y asumir también un cierto pro-tagonismo en la divulgación de estaciencia entre su alumnado.

Trabajar en proyectos

Es una estrategia metodológica deamplio espectro en el sentido de quepuede ir desde el proyecto sencillo dise-ñado por el profesor o la profesora paraalgún aspecto concreto y con una dura-ción breve, hasta proyectos globalizado-res e interdisciplinares de larga duración,incluso de más de un curso académico.

En todos los casos es conveniente rea-lizar labores de síntesis que se reflejen,por ejemplo, en carteles, memorias,etc., y en exposiciones orales de lo

realizado, bien ante sus propios compañeros e inclusoante profesores.

Es una buena metodología para dar respuesta a muchosaspectos de la diversidad.

Proyección de las actividades de clase fuera del aula

Muchas de las propuestas de aula pueden y deben teneruna proyección fuera del aula. Una buena coordinaciónfavorece la elaboración de propuestas de este tipo y debenrecogerse en la programación general del centro.

El desarrollo transversal de contenidos de distintas áreasmediante estrategias comunes exige una cultura de centro,un enfoque de la enseñanza más global. Son necesariosproyectos del Departamento de Matemáticas o de otrasáreas, con intención de aunar conocimientos en torno acada tema. Esto entra de lleno en los desarrollos interdis-ciplinares, celebración de efemérides, de exposiciones,etc. En el horario extraescolar hay actividades a las que seles puede sacar partido educativo: clubes, talleres, talleresde juegos, bibliotecas, concursos, excursiones, etc.

Otras propuestas:

• Solicitar a los alumnos y las alumnas que durante el finde semana, las vacaciones o en una tarde cualquiera,escriban sobre si han necesitado las matemáticas pararesolver algún problema cotidiano. Las primeras aporta-ciones suelen girar en torno al manejo de dinero, peropronto empiezan a aparecer situaciones sorprendentes.

• Repartir periódicos para tratar de extraer de ellos todala matemática posible.

• Introducir cuestiones matemáticas en guías didácticasde museos u otros espacios.

• Crear rutas matemáticas en el entorno cotidiano.

Algunas recomendaciones metodológicas:

• Programar en cada unidad didáctica actividades derefuerzo, profundización y ampliación a través de laresolución de problemas, lecturas, pequeñas investi-gaciones, etc.

• No olvidar los estadios de aprendizaje (manipulativo,gráfico, simbólico, verbal), a la hora de diseñar lasactividades.

• Contextualizar el aprendizaje.

• En algunas situaciones concretas se debe conseguirque actúen al mismo tiempo dos profesores en lamisma aula.

Clases iniciales

Las clases iniciales del curso deben estar enfocadas,entre otros objetivos, a establecer un contrato didácticolo más explícito posible, incluyendo aspectos tales comolos que siguen:

Muchasde las propuestas

de aulapueden

y deben teneruna proyección

fueradel aula.

Las clases inicialesdel curso

deben estarenfocadas,entre otrosobjetivos,

a establecerun contrato

didácticolo más explícito

posible…

17

• Criterios para la valoración del trabajo.

• Criterios para la valoración del aprendizaje.

• Actitud del profesor y del alumno ante el proceso deenseñanza-aprendizaje.

• Objetivos de diverso tipo que deben conseguirse a lolargo del curso.

• Criterios de evaluación.

Para una mayor motivación del alumnado, es recomenda-ble comenzar cada tema con un ejemplo o modelo con-textualizado del contenido que se vaya a trabajar. Estasactividades iniciales deben perseguir fundamentalmentedos objetivos:

• Proporcionar una visión general de lo que se va aestudiar.

• Tener una idea clara del nivel de conocimientos de losalumnos y las alumnas, de sus ideas previas y de losprincipales errores conceptuales.

Algunas propuestas para desarrollar en las clases iniciales:

• Pasar un cuestionario sobre procedimientos y con-ceptos previos.

• Montar una clase expositiva seguida de actividadesque incluyan preguntas y respuestas del alumnado.Éstas deben tenerse muy en cuenta, pues aun siendoincorrectas o sin que se ajusten a las expectativas delprofesor, no deben ser ignoradas.

• Preparar una salida del aula para plantear situacionesproblemáticas que luego se van a resolver.

• Cuentos para contextualizar.

• Vídeos.

• Actividades con ordenador.

• Juegos...

La autoestima

La autoestima es fundamental para el aprendizaje. Parafomentarla, uno de los elementos más eficaces es unabuena relación entre profesores y alumnos. Tambiénconviene diseñar actividades con distintos niveles paraasegurar que todos los alumnos tengan algún tipo deéxito.

Se debe evaluar teniendo en cuenta el punto de partida decada uno, y considerarse normal que no todos los alum-nos lleguen a un mismo nivel de desarrollo de capacida-des y de conocimientos.

Los errores que se cometen en las respuestas a preguntaso en la resolución de problemas suponen un buen recur-so didáctico que no debe dejar de utilizarse.

La inhibición y la agresividad suelen ser síntomas claros defalta de autoestima.

La ansiedad

La ansiedad puede ser la causa de blo-queos que dificultan el aprendizaje yes la responsable de un cierto porcen-taje de fracaso escolar. Es buenohablar de ella como un problema nor-mal ya que así se suele conseguir queel alumno la descargue y llegue a colo-carla fuera de sí.

Enumeramos algunos consejos que ayu-dan a rebajar el grado de ansiedad:

• No hacer matemáticas competitivasy autoritarias.

• Conseguir que la construcción sehaga entre todos.

• Dar tiempo para que los alumnosrespondan a nuestras preguntas, yque lo hagan por escrito para quelas respuestas de los más rápidosno impidan que los demás piensenen las suyas.

• Hacer las valoraciones de exáme-nes u otros trabajos por adición,esto es, ir sumando puntos en fun-ción de lo que esté bien en lugar derestar por lo que esté mal.

Rechazo al sistema educativo

Constatamos que, con cierta frecuencia,existen en nuestras aulas alumnos yalumnas que rechazan el sistema educa-tivo y lo hacen de forma activa y osten-sible. Es una situación que va más alládel aula de matemáticas: es un problemade tipo social que requiere, por tanto, laacción conjunta del tutor, los padres, eldepartamento de orientación, los com-pañeros, los demás profesores, etc.

Relacionamos algunas estrategias queayudan a afrontar la situación:

• Proponer actividades aparentemen-te alejadas de las matemáticas comoenigmas, juegos, paradojas...

• Trabajar en actividades que conduz-can a los alumnos a pensar, orde-nar, organizar...

• Clarificar al máximo el contratodidáctico que se haga con ellos,dejando bien claro dónde está laautoridad en el aula.

…con ciertafrecuencia,

existenen nuestras aulas

alumnosy alumnas

que rechazanel sistemaeducativoy lo hacen

de forma activay ostensible.

Es una situaciónque va más allá

del aulade matemáticas…

18

• En ocasiones puede considerarse unéxito el conseguir que estos alumnosno boicoteen el desarrollo de la clase.

Integración de las minusvalías

Es conveniente conseguir la integraciónescolar, afortunadamente, pero conmedios, formación y recursos parapoder atenderla con éxito. Así, por ejem-plo, en algunos casos (deficiencias audi-tivas, visuales...) se necesita la presenciafísica de especialistas que ayuden yorienten al profesor respecto a la formamás adecuada para desarrollar la clase.

Consolidación de contenidos

Es necesario transmitir a nuestros alum-nos la cultura del esfuerzo personal.Debemos dotarlos de pautas para queaprendan a estudiar de forma autónoma:

• Cómo hacer un esquema.

• Cómo memorizar.

• Cómo hacer resúmenes.

• Cómo afrontar la realización de unexamen.

Para consolidar contenidos es conve-niente, entre otras posibles estrategiaslas que siguen:

• Hacer reflexionar al alumno sobrelo que está haciendo y que loexprese por escrito.

• Al final de cada tema, cada personahace un balance individual sobre loque se ha estudiado y aprendido enél, realizando una puesta en comúncon todo el grupo.

• Proponer la preparación de un mode-lo de examen y utilizar estas ideas.

• Proponer tareas de refuerzo paracasa.

• Los contenidos relacionados con laconsolidación de destrezas han detrabajarse mediante sesiones brevesy nunca en periodos largos.

Actividades que desarrollanel pensamiento divergente,la creatividad, el espíritu crítico,la expresión personal, la fantasía…

Conviene plantear con cierta frecuenciaactividades abiertas, en las que la creati-

vidad y la forma de enfocar y tratar el problema sean ricasy variadas. No existen actividades tipo para el desarrollo deestas capacidades. Ello exige que el profesor favorezca elclima adecuado para conseguir que esos aspectos esténpresentes en el proceso de aprendizaje, por ejemplo, admi-tiendo distintos puntos de vista, valorando los procedi-mientos más creativos y personales, estimulando la críticay la búsqueda de alternativas, etc.

Para la consecución de esos fines no son oportunas meto-dologías basadas en la clase magistral u otras de tipo diri-gista ni de repetición de rutinas.

Exposiciones de materiales y su papel en el aprendizaje

Las exposiciones de materiales presentan las matemáticascomo algo dinámico que va evolucionando con el tiempo,a la par que favorecen el desarrollo de la creatividad y lafantasía y ponen de manifiesto relaciones con otras áreas.Para que sean motivadoras, es recomendable que conten-gan objetos manipulables que induzcan al alumnado ainteractuar.

Evaluación

En la parte de este documento relativa a la etapa deEducación Primaria se recogen ideas y reflexiones entorno a la evaluación, que suscriben los componentes deeste equipo.

Consideramos que se trata de un aspecto de gran impor-tancia y trascendencia y que no puede ser tratado en esteencuentro en toda su extensión. Por eso, se recomiendaque sea el tema central para la próxima cita en La Gomera.

Materiales y recursos

Libro de texto

Es recomendable como material de consulta para el alum-no y el profesor, pero no como único recurso.

Si se decide no utilizar el libro de texto, entonces se debedar una alternativa rigurosa que obliga, entre otras a lassiguientes acciones:

a) Elaborar unos materiales adecuados.

b) Enseñar a tomar apuntes.

c) Leer y corregir los cuadernos de apuntes.

Se consideran aspectos negativos de todo libro de textolos siguientes:

• No presentan un aprendizaje constructivo.

• No suelen tener un tratamiento adecuado de la diver-sidad.

• En ocasiones utilizan un lenguaje que los alumnos noconocen o está muy estructurado.

Convieneplantear

con ciertafrecuenciaactividades

abiertas,en las que

la creatividady la forma

de enfocar y tratarel problema

seanricas

y variadas.

19

• El último nivel de concreción no puede hacersesiguiendo de forma rígida un libro de texto.

Por contra, presenta algunos aspectos positivos:

• Posiblemente sea el único libro que maneje el alum-no, por lo que enseñar a utilizarlo proporciona unaforma de aprender a valorar los libros, en general.

• Es una fuente importante de actividades y de pro-puestas de carácter individual para el trabajo en elaula.

Aula de matemáticas

Es aconsejable que los centros estructuren sus dependen-cias de manera que puedan crear aulas de matemáticascon una dotación adecuada y actualizada. Entre otrosrecursos, se consideran adecuados: la biblioteca de aula,un vídeo, un ordenador, un retroproyector, calculadoras,archivos para las producciones de los alumnos, materialesmanipulables, etc.

El aula de matemáticas debe ser un lugar para la reflexióny para la producción de ideas matemáticas.

Aparatos y recursos

La incidencia en la mejora de la práctica docente de losdistintos aparatos y recursos didácticos vendrá determina-da, más que por el hecho de disponer de ellos en los cen-tros, por su utilización por los profesores, siendo crucialque de forma individual y colectiva nos planteemos cuán-do utilizarlos, para qué utilizarlos y cómo hacerlo eficaz-mente. Por ello resulta imprescindible formar al profeso-rado para que los conozca y aprenda a sacarles el mayorprovecho educativo, ya que, en general, favorecen que elalumno se aficione a la materia.

Algunos permiten modelizar situaciones, estrategia éstamuy difícil o imposible de realizar sin la ayuda de estosrecursos, sobre todo de la calculadora y del ordenador.Apoyándonos en estos dos, se puede insistir más en losprocesos matemáticos que en la ejecución de rutinas,razón por la que incluso habría que plantear la revisión delos contenidos de los currículos.

En general, puede considerarse que las nuevas tecnologíasproporcionan a la enseñanza y el aprendizaje de las mate-máticas unas nuevas maneras de construir el conocimien-to, cualitativamente distintas a las utilizadas hasta hoy.

Hagamos un breve análisis de los recursos habituales:

Retroproyector

Es un recurso muy eficaz para el desarrollo de temas conalto contenido gráfico y visual, y que permite estructurarel aprendizaje mediante la presentación de esquemas, dia-gramas... Posee notables ventajas sobre la pizarra: facilitauna secuenciación ágil y con posibilidad de retroceso, elmaterial generalmente está creado de antemano, posibilita

las composiciones por superposición,concentra la atención y mejora el diálo-go con los alumnos por cuanto que seles mira de frente todo el tiempo.

Fotografías y diapositivas

Su uso está especialmente indicado parala enseñanza de la geometría: identifica-ción de figuras y elementos geométricosen el entorno, la naturaleza, el arte,semejanza, proporcionalidad, escalas...,y también resulta útil para ciertos aspec-tos relacionados con los números, lasfunciones, etc.

Vídeo

Es un recurso que permite dinamizar yvisualizar situaciones que no se puedenrecrear en clase. Es aconsejable hacersu visión con un guión previamenteelaborado, tratando siempre de conver-tir el pase de cualquier documento enalgo activo.

Ordenadores

Son elementos que facilitan la visualiza-ción, la interactividad y la dinamizaciónde las actividades y situaciones. Su utili-zación viene determinada por dosimportantes aspectos: la formación einterés del profesor y la adecuada dota-ción informática del centro.

Es interesante disponer de un ordena-dor en el aula con un sistema de pro-yección como televisión, cañón de pro-yección, etc.

Debemos estar abiertos a la utilizaciónde internet como un recurso más. Setrata de algo nuevo no suficientementeinvestigado como recurso educativo,algo sobre lo que habría que reflexionarmás y también exigir una preparacióndel profesorado para su correcta utiliza-ción en el ámbito educativo.

Calculadoras

La calculadora plantea aspectos positi-vos que se deben considerar: facilidadde uso, asequibilidad económica, utili-zación ágil, posibilidad de realizarpequeñas investigaciones sobre propie-dades de los números, ecuaciones, grá-ficas, probabilidad, etc.

El aulade matemáticas

debe serun lugar

parala reflexión

y parala producción

de ideasmatemáticas.

20

Por otra parte, las calculadoras gráficaspermiten, además, la visualización desituaciones que pueden ser proyectables.

Los alumnos deben adquirir su propiacalculadora científica y disponer de ellaen cualquier momento.

Recursos de siempre

Se trata de un conjunto de materialesrelacionados con algunas actividadesque han constituido y siguen constitu-yendo un importante recurso para ense-ñar y aprender matemáticas: manipula-ción, juegos, lecturas...

Cabe citar manipulaciones como cons-truir, plegar, cortar, dibujar, mover,medir... Para ello existe un variadomaterial como regletas, cubos multiba-se, mecanos, cubos, dados, fichas,dominós, barajas, geoplanos...

Las lecturas muestran la existencia deotras fuentes para aprender matemáticasademás del libro de texto. Libros de his-toria, de divulgación científica, cuentos,novelas, libros de matemáticas recreati-vas, la prensa... Y otras formas de comu-nicación como juegos, canciones, refra-nes, poemas...

Guías de recursos

Existen publicaciones que ofrecen unamplio conjunto de materiales y recur-sos, por ejemplo:

• Guía de recursos didácticos de mate-máticas para primaria y para secun-daria. Servicio de Publicaciones delMinisterio de Educación, c/ Alcalá,34, Madrid.

• Guía de recursos didácticos de mate-máticas. Consejería de Educacióndel Gobierno de Canarias, teléfono922 477 834; fax 922 477 746.

• Recursos para el aprendizaje en elaula de matemáticas. Elaboración yuso del material didáctico. Se trata deun CD-Rom en el que se recogen lasconclusiones y aportaciones realiza-das en el encuentro organizado por laFederación Española de Sociedadesde Profesores de Matemáticas, pormedio de la Sociedad Andaluza«Thales», en Granada en 1998.

Papel de las revistas didácticas, librosde actualización pedagógica, cursos, jornadas, etc.,en el perfeccionamiento permanente del profesorado

• Las revistas didácticas han de servir fundamentalmen-te para mantener al profesorado en contacto con lasúltimas investigaciones e innovaciones, con los mate-riales e ideas, para potenciar los encuentros, reflexio-nes y debates entre colegas y, al mismo tiempo, paraser utilizadas como vehículo de transmisión de suspropias ideas y experiencias educativas.

• En los libros de actualización didáctica y científicasería deseable hacer un esfuerzo para que su conteni-do presente un lenguaje asequible y, en último térmi-no, que se hagan propuestas que faciliten la adapta-ción de los nuevos contenidos al aula.

• Los cursos y charlas han de ocuparse, preferentemen-te, de facilitar el trabajo de aula de los profesores,atendiendo necesidades concretas de formación yactualización docentes; también deben servir para lareflexión y para la formación científica.

• Las interacciones puntuales con profesores de reco-nocida solvencia normalmente no suelen promoverun cambio profesional relevante. Podría ser interesan-te un plan de formación del profesorado que incluye-ra, entre otras medidas, la dedicación exclusiva osemiexclusiva de algunos de esos profesores a lastareas de formación.

• Los congresos y jornadas deben dedicar tiempo adebates profundos sobre temas de nuestra profesión:el papel del profesor en los distintos ámbitos, el currícu-lo de matemáticas en los diferentes niveles, los aspec-tos metodológicos, la evaluación, cómo mejorar lavaloración social de la materia, qué problemas profe-sionales tenemos y qué hacer para solucionarlos, etc.

• Es conveniente encontrar líneas de colaboración entreel profesorado de aula y los investigadores, tanto eneducación matemática como en matemáticas.

El papel del profesorado

Actitudes del profesorado

Como ayuda para mejorar el desarrollo de la actividad pro-fesional viene al caso proponerse:

• Conocer las experiencias de otros profesores.

• Participar en jornadas.

• Asistir a cursos de formación.

• Leer revistas didácticas.

• Integrarse en grupos de trabajo.

• Asociarse con otros profesores.

Las revistasdidácticas

han de servirfundamentalmente

para manteneral profesorado

en contactocon las últimasinvestigacionese innovaciones,

con los materialese ideas,

para potenciarlos encuentros,

reflexionesy debates

entre colegasy, al mismo

tiempo,para

ser utilizadascomo vehículode transmisiónde sus propias

ideasy experiencias

educativas.

21

• Transmitir ideas y experiencias propias.

• Estar abiertos al diálogo y a la colaboración en proyec-tos que vayan más allá de nuestra propia disciplina.

Las reuniones de Departamento deben considerarse comoun lugar de encuentro y de trabajo cooperativo entre susmiembros, para la evaluación y el contraste de la propiaactividad, para la información y formación permanente ypara la incorporación de estrategias y recursos que favo-rezcan una mejora de la calidad de la enseñanza.

Mantener una actitud crítica sobre la propia prácticadocente es la base sin la cual no es posible el perfeccio-namiento; fomentarla resulta prioritario.

Papel del profesor en el campo de la innovacióne investigación educativas

Es conveniente tener una actitud positiva hacia la innova-ción, por cuanto supone creer que se puede mejorar lalabor profesional y en tanto que implica una disposición acompartir ideas, opiniones y experiencias.

Se debe reconocer el protagonismo innovador del profe-sorado y su capacidad para realizar investigaciones.

Formación del profesorado

En este tema se insiste en la idea de hacer un análisis crí-tico de la estrategia seguida hasta ahora para la formacióndel profesorado, y que las administraciones se planteenofrecer un tipo de formación más diversificado para quecada cual pueda adaptar al mismo su nivel, sus disponibi-lidades horarias, sus necesidades de formación, etc.

Recomendaciones

Se propone a la Federación:

1. Organizar el próximo encuentro de La Gomera cen-trado en la evaluación del proceso enseñanza-apren-dizaje de las Matemáticas.

2. Crear grupos de trabajo o encargar a expertos queprofundicen y hagan llegar al profesorado documen-tos sobre los siguientes temas:

— Recopilación de los errores preconceptuales másfrecuentes, estudiar alternativas y soluciones, ela-borar cuestionarios que ayuden a detectarlos, etc.Este material se prepararía para ser debatidodurante el próximo encuentro en La Gomera.

— El papel de los algoritmos en la EducaciónMatemática.

— La Matemática en la vida cotidiana: posible crea-ción de una nueva educación matemática.

3. Tomar una postura activa en lo que se refiere a loslibros de texto, exponiendo lo que se considere quedeben contener y las orientaciones que deben ofrecer.

4. Solicitar a las editoriales la publica-ción de libros de consulta.

A las Administraciones Educativas serecomienda:

• Afrontar a fondo, con menos frivo-lidad, con más medios y con recur-sos adecuados la integración de lasminusvalías, tanto físicas como psí-quicas.

• Ponerse en contacto con otras insti-tuciones expertas y con mediospara tratar de conseguir el mayoréxito en el objetivo de la integra-ción escolar.

• Posibilitar que, en algunas circuns-tancias, pueda haber más de unprofesor en una misma aula.

• Tener presente que la conexión delos centros educativos a internet noconsiste sólo en entrar en la redsino que debe ir acompañada deuna preparación del profesoradopara que sea rentable desde elpunto de vista educativo.

• Insistir, una vez más, en la necesi-dad de ampliar el horario de lasmatemáticas. El número de horassemanales es manifiestamente insu-ficiente. No se pretende abordarmás contenidos, sino trabajar ade-cuadamente los existentes en laactualidad.

• Es necesario promover la creaciónde grupos de trabajo con dotacióneconómica y reducción horaria,coordinados por profesorado espe-cialista en innovación y en matemá-ticas que, entre otros objetivos,puedan elaborar material y experi-mentarlo en el aula, criticarlo, mejo-rarlo y transmitirlo a quien lodemande.

• Reconocer y valorar la labor inno-vadora, sobre todo en las diversasconvocatorias en las que se realizanconcursos de méritos o decisionesadministrativas similares.

• Reconocer que el profesorado estácapacitado para realizar trabajos deinvestigación y de ampliación deestudios. En este sentido, deben

Se debereconocer

el protagonismoinnovador

del profesoradoy su capacidadpara realizar

investigaciones.

El númerode horas

semanales esmanifiestamente

insuficiente.No se pretende

abordarmás contenidos,

sino trabajaradecuadamente

los existentesen la actualidad.

22

facilitar los medios para poderefectuarlos (masters, tesis, amplia-ciones de estudios, etc.), abriendola posibilidad de ampliar la carreradocente.

• Crear la figura del asesor didácticocon un perfil que contenga, entreotros, una alta cualificación peda-gógica, una actualización perma-nente en esta materia de formaque pueda ir a los centros paraayudar a resolver los problemasdidácticos que suscita la prácticaeducativa, y que también el profe-sorado pueda recabar de él orien-taciones didácticas.

• Convertir la formación permanenteen algo obligatorio y realizada den-tro del horario lectivo.

Cuestionario

Es norma de la Federación organizar susencuentros con un documento inicial dediscusión elaborado a partir de las res-puestas ofrecidas por las distintasSociedades a un cuestionario previo,cuya cumplimentación y envío a laSociedad organizadora es preceptivopara aquellas personas que representa-rán a su respectiva Sociedad.

El documento que se acompaña preten-de servir de reflexión individual (ocolectiva) sobre diversos aspectos rela-cionados con la práctica en el aula,como paso previo a la elaboración deun documento de recomendacionesdidácticas que pueda servir al profeso-rado de la Educación Obligatoria en supráctica diaria. La distribución de laEducación Obligatoria en dos etapasdiferenciadas obligará, obviamente, adiversificar la participación de cadaSociedad cumplimentando un cuestio-nario por cada etapa y con la asistenciade profesorado de ambas. Agradecemosde antemano el esfuerzo que se tieneque realizar para cumplimentar el cues-tionario, lo cual enriquecerá sustancial-mente el documento de partida que semanejará en el encuentro de octubre.

23

Participantes

Acosta Sosa, Pilar, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Aguiar Clavijo, Francisco, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Álvarez García, José Luis, Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.

Aranda Plata, Antonio, Sociedad Andaluza de Educación Matemática «Thales».

Arrieta Gallastegui, José Joaquín, dSociedad Asturiana de Educación Matemática «Agustín dePedrayes».

Balbuena Castellano, Luis, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Bell-lloch, Aurora, Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas «Emma Castelnuovo».

Berini, Marta, Federació d' Entitats per l' Enseyament de les Matemátiques a Catalunya.

Calvo Aldea, Carmen, Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas «Emma Castelnuovo».

Díaz Correa, Hipólito, Comunidad Autómona de Canarias.

Fernández Reyes, Manuel, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Freaza Déniz, Enrique, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Galarreta Espinosa, Javier, Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas «A prima».

García Cruz, Juan Antonio, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

García Déniz, Manuel, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

García Jiménez, Juan Emilio, Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas.

Girondo Pérez, Luisa, Federació d' Entitats per l' Enseyament de les Matemátiques a Catalunya.

Godoy Delgado, Dolores, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

González García, Antonio Eugenio, Sociedad Asturiana de Educación Matemática «Agustín de.de Pedrayes».

Henríquez Rodríguez, Lucía, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Lorenzo Pérez, Ricardo, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Macías Gil, Cristóbal, Sociedad Andaluza de Educación Matemática «Thales».

Martín Adrian, Antonio, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Martínez Fernández, Pedro J., Sociedad Andaluza de Educación Matemática «Thales».

Negrín Hernández, Ana, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Nomdedeu Moreno, Xaro, Organización Española para la Coeducación Matemática «AdaByron».

Padilla Díaz, Francisco, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Pazos Crespo, Manuel, Sociedad de Ensinantes de Ciencia de Galicia.

Pérez Hernández, Ana Alicia, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Pérez Jiménez, Antonio, Sociedad Andaluza de Educación Matemática «Thales».

Plata Casais, Aurora, Sociedad de Ensinantes de Ciencia de Galicia.

Puerta García, Francisco, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Quesada Frigolet, Carlos, Comunidad Autómona de Canarias.

Ramírez Martel, Arístides, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Sancho Rocher, Julio, Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores deMatemáticas.

Trujillo La Roche, Ana, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Velázquez Manuel, Fidela, Sociedad Canaria «Isaac Newton» de Profesores de Matemáticas.

Vilella, Xavier, Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.

Villarroya, Florencio, Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores deMatemáticas.

24

1. Sobre el área de Matemáticas dentro de la estructura de la Etapa1

1.a. ¿Cómo desarrollar los objetivos y capacidades de la etapa (dentro del conjunto de la educación obligatoria) a través de los contenidos delárea?

1.b. ¿Cómo compatibilizar los fines de cada etapa con los contenidos del área?2

1.c. ¿Existe contradicción o enriquecimiento entre planteamientos globalizadores o interdisciplinares y el desarrollo de los contenidos del área?Ventajas e inconvenientes y propuestas de trabajo.

2. Sobre desarrollo curricular

Sobre los objetivos2.a. ¿Se priorizan en la actualidad unos objetivos del área sobre otros? ¿Se deben priorizar? Recomendaciones al respecto.

Sobre los contenidos2.b. Los contenidos ¿son suficientes o excesivos? Recomendaciones para su priorización.2.c. ¿Cómo establecer una adecuada secuenciación? ¿Es óptima la secuenciación «en espiral»? Recomendaciones al profesor como planificador y

ejecutor de lo planificado.2.d. ¿Cómo realizar adaptaciones curriculares? Recomendaciones al profesor.2.e. Integración teleológica (de atención a todas las dimensiones madurativas) del alumno, o ¿cómo desarrollar a través de los contenidos del área

las capacidades emanadas de los objetivos generales de la etapa correspondiente?2.f. ¿Es posible un tratamiento transversal de los bloques de contenidos? Sugerencias.2.g. ¿En qué medida los preconceptos o conocimientos previos afectan a la adquisición de los contenidos? Sugerencias al respecto.2.h. ¿Está de acuerdo con las valoraciones que catalogan a las matemáticas como una materia socialmente considerada como fría, objetiva, des-

contextualizada, poco atractiva..., en cuanto a los contenidos? Comente esta valoración y haga propuestas.

Sobre la metodología2.i. Situaciones de aprendizaje diversas requieren diversidad metodológica. Realice propuestas de alternativas metodológicas variadas de adapta-

ción a la diversidad a través de la metodología.2.j. ¿Qué papel han de jugar las nuevas tecnologías en los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas? Formule propuestas metodológicas.2.k. Las clases iniciales ¿han de ser iniciantes en el acceso al conocimiento matemático? Complemente la propuesta o realice una alternativa.2.l. ¿En qué medida se debe propiciar el trabajo en grupo y el aprendizaje compartido? Sugerencias.2.m. ¿El profesor ha de ser transmisor de conocimientos o coordinador de los aprendizajes que se van a realizar? Comentarios y propuestas.2.n. Las situaciones de partida o de motivación ¿han de ser globales y contextualizadas, o por el contrario hay que partir de matematizaciones de

la realidad? Comentarios y propuestas.2.o. Comente el papel de la autoestima en el contexto del aula y proponga modos de incentivarla desde el área.2.p. ¿Qué medidas ha de adoptar un profesor para incentivar la participación del alumnado desmotivado, con baja autoestima, con sentimientos

de fracaso previo, con asunción de incompetencia para el área? Comente el perfil y haga propuestas.2.q. ¿Cómo consolidar adecuadamente los conceptos como ideas dadas, antes de pasar a nuevas ideas? Proponga estrategias.2.r. ¿Cómo permitir que los alumnos y las alumnas demuestren lo que han aprendido? Proponga instrumentos.2.s. ¿Qué papel ha de jugar dentro del tiempo del área, el trabajo en equipo, el trabajo individual, la exposición...? Haga propuestas2.t. ¿Qué papel tienen dentro del área las actividades que desarrollan el pensamiento divergente, la creatividad, la expresión personal, el espíritu

crítico y la fantasía? Haga propuestas al respecto.

Sobre la evaluación2.u. ¿Evaluación de los procesos frente a evaluación de los productos? Comente en qué medida ha de evaluarse cada uno de los aspectos reseña-

dos y el papel de ambos en ayuda de una evaluación continua, formativa y de apoyo y orientación2.v. ¿La corrección de las producciones del alumnado ha de realizarse diariamente y en su presencia? Haga propuestas en este sentido.2.x. ¿Qué papel tiene para Vd. la puesta en común como trabajo de síntesis de los aprendido? Valórela y haga propuestas.2.y. ¿Qué tipo de pruebas de control propone y qué modalidades de análisis de las producciones de los alumnos? Valore la importancia de cada

una en el proceso de evaluación.

Sobre los materiales y recursos2.z. ¿Qué papel ha de darse al libro de texto? ¿Y a los múltiples materiales curriculares que desarrollan los contenidos del área?2.aa. El papel de la biblioteca de aula y de las producciones escritas de los alumnos. Haga propuestas.2.ab. Materiales para contar, medir, estimar, probar suerte. Descripción sucinta, optimización de uso y sugerencias.2.ac. Materiales para la observación y la experimentación. Descripción sucinta, optimización de uso y sugerencias.

1 Cuando se hable de la Etapa se entiende la Primaria y la Educación Secundaria Obligatoria. Se pide que se aporten las reflexiones sobre ambas en documentosseparados.

2 La primaria es una etapa fundamentalmente de conocimiento de sí mismo y del medio y de preparación para la secundaria obligatoria, mientras que esta últimatiene una triple finalidad: de educación a término, de preparación vocacional (acceso a ciclos formativos) y propedéutica.

25

2.ad. Otros materiales (prensa, folletos publicitarios...) Sugerencias de uso 2.ae. Planes de trabajo, distribución horaria y delimitación de espacios como materiales didácticos.2.af. Los materiales de desecho y el aula taller de Matemáticas. Sugerencias.2.ag. Los materiales comerciales estructurados, y las nuevas tecnologías y el aula laboratorio de matemáticas. Sugerencias.2.ah. Las exposiciones y su papel en el aprendizaje. Sugerencias2.ai. El aula y el espacio para pensar y re-crear las matemáticas. Sugerencias.

3. Sobre el empleo horario3.a. ¿Cómo realizar la secuencia del área en vertical (a través de la etapa)?3.b. ¿Cómo realizar la secuencia en horizontal o programación (dentro del ciclo o curso)?3.c. Propuestas para la proyección de la actividad de clase en relación a otros horarios escolares y al horario extraescolar.3.d. Distribución temporal de los tipos de contenido y estrategias para su desarrollo.3.e. La importancia de la adecuada programación de actividades y de su temporalización.3.f. ¿Cómo organizar el tiempo de la actividad, el antes y el después?3.g. La flexibilización de los tiempos en función de la diversidad. Propuestas.

4. Sobre las actitudes del profesorado4.a. La motivación del profesorado depende de la autosatisfacción del trabajo bien hecho y el cumplimiento de los compromisos y responsabilidades.

Para ello es preciso atender a una serie de necesidades básicas del profesorado. Proponga acciones que ayuden a mejorar esos parámetros:

Necesidades Acciones de ayuda

…de seguridadClaridad en la organizaciónMejora de la comunicación

…sociales y de clima afectivoCordialidad

Confianza

…del yo. Enriquecer el trabajoVariedad

Objetivos que supongan un reto

Alcanzar un alto nivel de calidad, orientado hacia...Los alumnos

La eliminación de erroresObtener realimentación

CreatividadAutonomía

4.b. ¿Cuál ha de ser el papel del profesor dentro del campo de la investigación educativa? Propuestas.4.c. ¿Cómo ha de estructurar el profesor su autodesarrollo profesional?4.d. Papel que han de jugar, en el perfeccionamiento permanente del profesorado

• Las revistas didácticas.• Los libros de actualización pedagógica y didáctica.• Las nuevas tecnologías.• Los cursos y charlas científico-didácticas.• Las interacciones entre colegas de igual formación.• Las interacciones con colegas de reconocida relevancia.• La actitud crítica sobre la propia práctica docente.• La asistencia a congresos y jornadas .

5. A modo de síntesis, y sin parafrasear a Puig Adam, ¿podría establecer su propio decálogo del profesor de Matemáticas?

FEDERACIÓN ESPAÑOLA DE SOCIEDADES DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS

Comisión Ejecutiva

Presidenta: María Jesús Luelmo Secretariados:Secretario General: José Luis Álvarez García Prensa: Antonio Pérez SanzVicepresidente: Serapio García Revista SUMA: Emilio Palacián/Julio SanchoTesorera: Claudia Lázaro Relaciones internacionales: Luis Balbuena/Florencio Villarroya

Actividades: Xavier Vilella MiróPublicaciones: Ricardo Luengo González

Sociedades federadas

Federació d’Entitats per l’Ensenyamentde les Matemàtiques a CatalunyaPresidente: Marta Berini López-LaraApartado de Correos 1306. 43200-REUS (Tarragona)

Organización Española para la CoeducaciónMatemática «Ada Byron»Presidenta: Xaro Nomdedeu MorenoAlmagro, 28. 28010-MADRID

Sociedad Andaluza de Educación Matemática«Thales»Presidente: Salvador Guerrero HidalgoApartado 1160. 41080-SEVILLA

Sociedad Aragonesa de Profesoresde Matemáticas «Pedro Sánchez Ciruelo»Presidente: Florencio Villarroya BullidoICE Universidad de Zaragoza. C./ Pedro Cerbuna, 12.50009-ZARAGOZA

Sociedad Asturiana de Educación Matemática«Agustín de Pedrayes»Presidente: José Joaquín Arrieta GallasteguiApartado de Correos 830. 33400- AVILÉS (Asturias)

Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas«Isaac Newton»Presidenta: Dolores de la CobaApartado de Correos 329. 38201-LA LAGUNA (Tenerife)

Sociedad Castellano-Leonesa de Profesoresde MatemáticasPresidente: Santiago PascualIB Comuneros de Castilla. C./ Batalla Villalar, s/n.09006-BURGOS

Sociedad Castellano-Manchega de Profesoresde MatemáticasPresidente: Serapio GarcíaAvda. España, 14, 5ª planta. 02006-ALBACETE

Sociedad de Educación Matemática de la Regiónde MurciaPresidenta: Remedios Peña QuintanaIES Francisco de Goya. C./ Caravaca, s/n.30500-MOLINA DE SEGURA (Murcia)

Sociedad de Ensinantes de Ciencia de Galicia(ENCIGA)Coordinador: Francisco Manuel Rodríguez MayoApartado de Correos 103.SANTIAGO DE COMPOSTELA

Sociedad Extremeña de Educación Matemática«Ventura Reyes Prósper»Presidente: Ricardo Luengo GonzálezApartado 590. 06080-BADAJOZ

Sociedad Madrileña de Profesoresde Matemáticas «Emma Castelnuovo»Presidenta: María Jesús LuelmoC/ Limonero, 2828020-MADRID

Sociedad Matemática de Profesores de CantabriaPresidente: Ángela NúñezCPR de Santander. C./ Peña Herbosa, 29.39003-SANTANDER

Sociedad Melillense de Educación MatemáticaPresidenta: Luis Serrano RomeroFacultad de Educación y HUmanidadesCtra. Alfonso XIII, s/n. 52005-MELILLA

Sociedad Navarra de Profesores de Matemáticas«Tornamira»Matematika Iraskasleen Nafar ElkarteaTornamiraPresidente: José Ramón Pascual BonisDepartamento de Matemática e Informática.Campus de Arrosadía. Universidad Pública de Navarra.31006-PAMPLONA

Sociedad «Puig Adam» de Profesoresde MatemáticasPresidente: José Javier Etayo GordejuelaDespacho 305. Facultad de Educación.Universidad Complutense. 28040-MADRID

Sociedad Riojana de Profesores de MatemáticasPresidente: Javier Galarreta EspinosaC.P.R. Avda. de la Paz, 9. 26004-LOGROÑO

Sociedade Galega do Profesorado de EducaciónMatemática (AGAPEMA)Presidente:Apartado 4188. 15080-A CORUÑA

Societat d’Educació Matemàtica de la ComunitatValenciana «Al-Khwarizmi»Presidente: Luis Puig EspinosaDepartament de Didàctica de la Matemàtica.Apartado 22045. 46071-VALENCIA

A UNIÓN MATEMÁTICA INTERNACIONAL (IMU1) tuvo laidea. Le preocupaba que la sociedad no apreciara lasMatemáticas en su justa medida y pensó que tanto a losmatemáticos como a la sociedad le convenía cambiar estasituación. Los matemáticos creen que la ciencia queinvestigan, que enseñan, que usan, y con la que tantodisfrutan, es importante, es útil, es formativa, es elegan-te..., y que, sin embargo, la sociedad no lo ve así. La IMUtomó la decisión (en 1992) de declarar el año 2000 comoAño Mundial de las Matemáticas. La UNESCO, más tarde,apoyó la resolución de IMU, perfilando sus objetivos,insistiendo en los aspectos educativos de las Mate-máticas.

Brevemente, el objetivo no era otro sino el de acercar lasMatemáticas a la sociedad, demostrando su enorme utili-dad en todo tipo de actividades cotidianas, profesionales,empresariales, industriales y tecnológicas, explicando suimportancia como logro intelectual de la humanidad, exhi-biendo su enorme belleza y riqueza, exponiendo su ver-satilidad como lenguaje y forma de pensar, y recalcandosu valor formativo y educacional.

Una descripción inmejorable de estos objetivos es la expo-sición de motivos de la proposición no de ley del 9 deFebrero de 1999 del Congreso de los Diputados de Españaen apoyo al Año Mundial de las Matemáticas y que fuepromovida, fundamentalmente, por dos matemáticos ydiputados: Antonio Martinón y Teresa Riera, y cuya lectu-ra recomendamos encarecidamente.

En España hay muchas Sociedades que entienden de dis-tintos aspectos de las Matemáticas. Para lograr los objeti-vos de este Año Mundial estas sociedades decidieron cola-borar creando un comité conjunto, CEAMM2000, que teníael propósito fundamental de divulgar los objetivos del AñoMatemático, de recabar y de coordinar iniciativas.

La Comisión Permanente delComité Español del Año

Mundial de las Matemáticas2000 reflexiona sobre el

significado de lasMatemáticas y su situaciónactual en España, así comosobre lo que ha supuesto la

celebración de este año.

27

El Año Mundial de lasMatemáticas: Una valoración

Así que hemos tenido un Año de lasMatemáticas, en España y en todo el mundo

José L. Fernández, Manuel de León,M.a Jesús Luelmo y Juan Luis Vásquez

INFORME2000

L

37

junio 2001, pp. 27-31

1

1 IMU, International Mathema-tical Union.

2Matemáticas significa muchas cosas y bien distintas paracada persona. Y, con seguridad, ésta es una de las razones(entre muchas otras) de la dificultad de asirlas, de saberqué son en realidad.

Para mucha gente las Matemáticas son fundamentalmentela escuela; un recuerdo que, como es bien sabido, no es,en general, particularmente grato. Y ahí se acaban. No sesabe que la Matemática es algo vivo, una ciencia en con-tinuo desarrollo; no se conoce su belleza profunda, ni sepercibe su utilidad y relevancia en el mundo moderno. IanStewart, con justicia el más afamado divulgador matemáti-co del momento, en un prólogo reciente2, comenta conamargura:

Es ahora, tras tantos años, cuando me doy cuenta de que toda mivida ha estado dedicada a luchar contra la ecuación«Matemáticas=Escuela».

La Matemática es una ciencia. Una afortunada definiciónde Hersch afirma que:

La Matemática es la ciencia que estudia los objetos virtuales conpropiedades reproducibles.

Esta afirmación no se acepta universalmente; la Mate-mática, se dice, no es una ciencia experimental, sus hipó-tesis de trabajo no son refutables, y los objetos de los quetrata no existen, en realidad. Pero, no, la investigaciónmatemática de esos objetos virtuales de los que trata laMatemática es en todo análoga a la de las ciencias experi-mentales. Hay conjeturas, callejones sin salida, experimen-tos virtuales. Aunque, por supuesto, lo que se logra contodo esto, sí que es bien distinto: es inevitable e irrefuta-ble. La Matemática requiere un rigor definitivo, un engarcesin fisuras en el edificio del conocimiento matemático.

Las Matemáticas son además el lenguaje de la ciencia. Laciencia, en sentencia provocativa, es conocimiento expre-sado en Matemáticas; eso decía Kant, por ejemplo. Unaexageración, de acuerdo, pero de una verdad. Un lengua-je que permite un rigor en el análisis de indudable efica-cia. Y es el lenguaje de la tecnología y de las comunica-ciones. Un lenguaje indispensable en el mundo moderno,en este mundo que se está dando en llamar la era de lainformación y/o de la comunicación.

Y, finalmente (¿?), los matemáticos gustan de considerar suactividad como un arte. Y no les falta razón. OscarTusquets, el reputado arquitecto catalán, en su magníficoDios lo ve lo plantea así:

¡Qué cercano está el proceso de creación científica del artístico!Artistas y científicos compartimos no sólo el proceso sino tambiénmuchas ambiciones: la ambición de universalidad, de belleza, decoherencia, de rigor, de alcanzar la elegancia y concisión deuna fórmula matemática [...] Nos sentimos muy cercanos, peromientras los científicos generan certezas perecederas, los artistasintentamos comunicar [...] dudas eternas.

Así que la Matemática es muchas cosas.Una ciencia, un arte, un lenguaje, y porende, una forma de pensar. Demasiadascosas. Una realidad confusa.

Y creo que es importante insistir en lanecesidad de respetar todas esas reali-dades. Cada cuál pondrá el énfasis en loque más le atraiga o le interese, pero sinexcluir otros puntos de vista, porquetodos son enriquecedores.

3La situación actual de las Matemáticasen el mundo, y en España, podría til-darse de esquizofrénica.

La necesidad de competencia matemáti-ca en este mundo de la información y lacomunicación que ya está aquí es, odebiera ser, evidente. Ya no le basta alciudadano con conocer las «cuatro re-glas» y unos rudimentos de geometría yde medida. La interpretación de datosestadísticos y de información gráfica, lashabilidades numéricas y de estrategiasbásicas de resolución de problemas son,entre otras, absolutamente necesariaspara comprender, actuar y desenvolver-se en el siglo XXI. No en vano, en estosmomentos, la demanda de matemáticoscomo profesionales en la empresa, en laindustria, en el comercio, no cesa decrecer.

Los retos de investigación siguen siendofascinantes: estamos en una verdaderaedad dorada de las Matemáticas, en laque grandes problemas cuya solución sehabía buscado durante mucho tiempohan sido resueltos, generando una entu-siasta confianza sobre la potencia de laMatemática actual. Las enormes capaci-dades computacionales de que dispone-mos (o de que dispondremos) y la pro-pia tecnología de la información y de lacomunicación (en la que podríamosincluir el estudio del cerebro o del geno-ma humano) demandan nuevas ideasmatemáticas para avanzar. Los sistemascomplejos, sean biológicos, económicosy financieros, del clima o de turbulencia,requieren más y mejores Matemáticas. Yla propia complejidad de nuestros siste-mas de comunicaciones, de servicios, y

…la Matemáticaes muchas cosas.

Una ciencia,un arte,

un lenguaje,y por ende,una formade pensar.

Demasiadascosas.

Una realidadconfusa.

28

2 Richard Mankiewicz, The Storyof Mathematics, Cassell, Lon-dres, 2000.

comerciales, exigen, para su eficaz fun-cionamiento, algoritmos y estrategiasprofundamente matemáticas.

Pero las Matemáticas, al igual que lasotras ciencias (salvo la Biología), hanperdido atractivo para la sociedad. Serfísico, matemático, o químico, científicoque sabe de su ciencia, la transmite y/ola hace avanzar, cautiva a muy pocos.Quienes acceden a la Universidad lohacen, hoy en día, buscando una forma-ción con un perfil profesional preciso,esperan de la Universidad una prepara-ción específica para ejercer una profe-sión imbricada en el tejido productivo.

La misma esquizofrenia se observa en laenseñanza primaria y secundaria: a lavez que crecen las necesidades en for-mación matemática para todo el alum-nado, disminuye preocupantemente eltiempo que se les dedica en el horarioescolar; mientras que la enseñanza de lahistoria o de la lengua es objeto deatención preferente para los políticos ypara los medios de comunicación, nohay una discusión pública sobre elpapel de las Matemáticas escolares,cuya importancia nadie niega, aunquesin saber a veces muy bien el porqué dela misma.

4Las matemáticas, como ya hemos co-mentado, desempeñan una variopintagama de papeles en la sociedad.

Las Matemáticas aparecen en todos loscursos de la primaria y de la secunda-ria; para todo el mundo aquí se fraguasu relación con ellas. Y en gran medidaaquí se genera, para un parte, el tradi-cional y conocido rechazo hacia lasMatemáticas, como un arcano impene-trable, tedioso y hasta odioso. Graveproblema, ¡qué gran pérdida! Y ello apesar de que una buena parte del pro-fesorado de Matemáticas, consciente dela especial dificultad de la asignatura,viene desarrollando desde hace añosuna actividad incansable para buscarmétodos y recursos que faciliten elaprendizaje. No es un problema sólo deEspaña, es universal. Pero en España,

hay un ingrediente especial que apunta negativamentehacia el futuro, y es la cada vez menor presencia de lasMatemáticas en la formación de los profesores de prima-ria, de los maestros y la escasa atención que se presta a laformación didáctica del futuro profesorado de secundaria.

El engarce de la educación matemática en secundaria conla enseñanza universitaria es muy deficiente. Los ense-ñantes en la universidad no son, en general, conscientesde que el alumnado cambia y de que el nivel de conoci-mientos y destrezas cuando entra en la universidad nopuede corresponderse con el de épocas anteriores.

Las Matemáticas tiene una presencia destacada en la for-mación básica de muchas carreras y enseñanzas profesio-nales. Es muy habitual que quienes explican Matemáticasen esas licenciaturas universitarias no presten la debidaatención a perfilar qué matemáticas les pueden ser útiles,realmente útiles, y no adapten el tono de la enseñanza afuturos profesionales a quienes nunca aprovechará habertenido un entrenamiento superficial sobre cómo probaresto o aquello, o sutilezas que sólo interesan a quienes seforman para ser matemáticos.

Y ésa es otra. La formación de matemáticos en la Univer-sidad tradicionalmente sólo contempla un objetivo, diga-mos que académico, y no atiende a las múltiples salidasprofesionales no docentes e investigadoras. La realidadactual es que son muy pocos los jóvenes que eligen lacarrera de Matemáticas, en España y en el mundo.

La investigación en Matemáticas en España parece pasarpor muy buenos momentos. El porcentaje de artículos deMatemáticas publicados en revistas científicas de todo elmundo y firmados por autores españoles ha crecido paula-tinamente en los últimos años hasta alcanzar un respetable4,18% (en el quinquenio 1996-2001) que coloca a Españaen el décimo puesto mundial en este aspecto. Sin embargo,las expectativas de futuro no son muy buenas, si tenemosen cuenta cómo ha decrecido el apoyo a la investigaciónbásica y que cada vez son menos los licenciados que deci-den iniciar una carrera como investigadores. Además, haypoca investigación realmente aplicada, poca interacción conlas otras ciencias y con los desarrollos tecnológicos, lo quede no corregirse supondrá un retraso indudable.

La enseñanza de las Matemáticas requiere de enfoques y téc-nicas particulares. La investigación en Educación Matemá-tica, inexistente hasta hace una pocas décadas, es ahora unade las ramas más pujantes dentro de la didáctica; un logroque debe mucho a la actividad de la Sociedad Española deInvestigación en Educación Matemática.

5Habida cuenta de la variedad de cosas distintas que lospropios aficionados y usuarios entienden por Matemáticas,

…a la vezque crecen

las necesidadesen formaciónmatemáticapara todo

el alumnado,disminuye

preocupantementeel tiempo

que se les dedicaen el horario

escolar…

29

en la que la gente se involucrara direc-tamente, eran el objetivo; y mucho ybueno de esto ha habido: exposiciones,actividades en la calle, concursos enprensa y radio, talleres y casetas enferias, actividades en los centros, etc.

La divulgación de las Matemáticas comofunción social sólo tiene sentido si essostenida. Y no es una tarea fácil. Nobasta con una actitud bien intencionaday voluntarista de parte de algunos mate-máticos, porque la falta de experiencia yprofesionalidad puede conducir a men-sajes desvirtuados. Es preciso contarcon los profesionales de la comunica-ción por una parte y, además, que lassociedades dediquen recursos específi-cos a estas tareas.

Hay que decir que la comunidad mate-mática española es dinámica, entusias-ta, consciente de su papel social y pre-ocupada por cumplirlo lo más acerta-damente. Conviene recordar, por ejem-plo, el extraordinario avance, mencio-nado más arriba, de la calidad y de larelevancia de la investigación matemá-tica y en educación matemática, ladedicación sostenida de la FederaciónEspañola de Sociedades de Profesoresde Matemáticas, y de los profesores desecundaria en general, a la mejora de lacalidad de la enseñanza de lasMatemáticas, la presidencia del ICMI3

durante ocho años de Miguel deGuzmán, la organización, a cargo de laSocietat Catalana de Matemàtiques, delTercer Congreso Europeo de Mate-máticas en Barcelona, la labor de laSociedad de Estadística e InvestigaciónOperativa, de la Sociedad Española deMatemática Aplicada y de la Sociedadde Historia de las Ciencias y de lasTécnicas, y de la renovada Real Socie-dad Matemática Española que llamó ala creación del CEAMM2000.

Durante este año la comunidad mate-mática ha mostrado creatividad, inge-nio, entusiasmo y cultivada dedicación,al diseñar y llevar adelante todo tipo deactos y actividades llenos de contenido.El Año Matemático ha hecho aflorar, omejor, ha exhibido ante todos esa dedi-cada creatividad.

Peroel Año 2000

no era un añopara

los matemáticos.El Año

se ha dirigidofundamentalmente

a celebrary a exhibir

Matemáticas,a que la sociedad

las vieray las apreciara.

30

no debe sorprender que la sociedad se sienta confundida.Pero cierta confusión sería el menor de los males; la reali-dad es que, en términos generales, la sociedad percibe lasMatemáticas como un saber estático, de poca utilidad, yantipático, por un rigor innecesario e inútil.

Y además, como hemos visto, la realidad actual de lasMatemáticas vista con un cierto conocimiento de causatiene su buena dosis de sombra.

6¿De qué ha servido este Año Mundial?

Lo primero que se detecta entre los matemáticos que hanprestado atención a este Año Matemático es una cierta insa-tisfacción: los grandiosos objetivos iniciales no se han cum-plido, los problemas siguen ahí, y poco han cambiado lascosas. Cada uno piensa en su parcela de las Matemáticas yve que no ha avanzado en la dirección que propone.

No. Los matemáticos son particularmente exigentes y rigu-rosos en sus análisis, pendientes en gran medida de losdetalles. Y una cierta distancia es necesaria. La verdad esque el objetivo del Año Mundial de las Matemáticas erainiciar un camino (¿o es que alguien pensaba otra cosa?) ya fe que para eso sí que ha servido.

Durante este año los matemáticos han hablado de lo queles preocupa, se han comunicado sus experiencias y pro-puestas y han puesto sobre la mesa sus variados puntos devista sobre educación o sobre investigación. Son, con fre-cuencia, puntos de vista que, de no dialogados, se hanvuelto en apariencia irreconciliables. Y han colaborado ennumerosas actividades. Nos referimos a colaboracionesque iban más allá de las habituales y restringidas parcelasde interés. Y creemos que con ello se ha cimentado laposibilidad de mayor colaboración futura para lograrmetas que son comunes. Lo que no es poco.

Pero el Año 2000 no era un año para los matemáticos. ElAño se ha dirigido fundamentalmente a celebrar y a exhi-bir Matemáticas, a que la sociedad las viera y las aprecia-ra. Hay que divulgar Matemáticas entre los investigadores,muy encerrados en sus especialidades, entre los otroscientíficos, despreocupados en demasía de la utilidad ins-trumental y conceptual de las Matemáticas, entre todosnosotros, para ser conscientes de la magnificencia del edi-ficio intelectual que son las Matemáticas, entre nuestrosalumnos de primaria, de secundaria y de universidad, por-que son el futuro, y entre la sociedad, en general, porquees bueno. Durante este año se ha hecho divulgación entodos estos campos, unos con más éxito que otros. Desdeel principio se tuvo claro que malo hubiera sido que elAño Matemático se dedicara sólo a conferencias, congre-sos, mesas redondas, actos multitudinarios. Las actividadespuntuales con alumnos, con colegas, de pequeña escala,

3 ICMI, es la InternationalCommission on MathematicalInstruction, la comisión de laIMU que entiende de asuntosde Educación Matemática.

Cuando más arriba describíamos unpanorama de los problemas que aque-jan y de las cuestiones que interesan ala comunidad matemática lo hacíamoscon crudeza y sin afeites. Pero en esepanorama enseguida destaca que setrata de cuestiones que afectan a unacomunidad, no a individuos. Las solu-ciones, el camino para mejorar, pasa porla acción colectiva. Tenemos muchassociedades matemáticas, una multiplici-dad que es fruto de una historia deencuentros y desencuentros, pero sobretodo de la diversidad de enfoques caraa las Matemáticas. Uno de los frutos másricos del Año de las Matemáticas ha sidola colaboración entre todas estas socie-dades. Una cooperación en la que lassociedades se han reconocido unas aotras sus potencialidades, sus diversascapacidad de acción, los diversos pro-blemas y preocupaciones. No ha resul-tado sencillo, pero se ha abierto uncamino de colaboración coordinada yestable de las sociedades, en la que sesuperen tensiones y recelos.

7Y, ¿a partir de ahora qué?

Hay mucho camino por andar. Unaacción conjunta de las sociedades debe-ría lograr que la voz de los matemáticos(a quienes ellas representa) se tuvieraen cuenta, como no está siendo el caso,en la toma de decisiones en asuntos queles atañen profesionalmente y que lespreocupan por su importancia socialcomo planes de estudio, en todos los

José L. Fernández(RSME)

Manuel de León(RSME)

M.a Jesús Luelmo(FESPM)

Juan Luis Vásquez(SEMA)

Comisión Permanentedel Comité Español del AñoMundial de las Matemáticas

2000

31

SOCIEDADES E INSTITUCIONESDEL COMITÉ ESPAÑOL DEL AÑO MUNDIAL

DE LAS MATEMÁTICAS

• Consejo Superior de Investigaciones Científicas(CSIC)

• Federación Española de Sociedades deProfesores de Matemáticas (FESPM)

• Real Academia de Ciencias (RACEFN)

• Real Sociedad Matemática Española (RSME)

• Sociedad de Estadística e Investigación Operativa(SEIO)

• Sociedad Española de Historia de las Ciencias ylas Técnicas (SEHCYT)

• Sociedad Española de Investigación en EducaciónMatemática (SEIEM)

• Sociedad Española de Matemática Aplicada(SEMA)

• Sociedad Española de Métodos Numéricos enIngeniería (SEMNI)

• Societat Catalana de Matemàtiques SCM

niveles educativos o formación de profesores y de inves-tigadores.

El Año Matemático debiera ser el comienzo de un cami-no de colaboración entre los matemáticos para lograr unamejor cultura matemática, una mejor educación enMatemáticas, una mejor investigación en Matemáticas yuna mejor preparación de los profesionales matemáticos.Sin perder nunca de vista que estos objetivos son bienessociales en los que todos creemos y que no son un empe-ño corporativista por defender unos intereses.

A FEDERACIÓN de Sociedades de Profesores de Matemá-ticas (FESPM) ha organizado multitud de actividades en el2000, ya sea como federación, ya sea cada una de lassociedades federadas. La cantidad de jornadas, seminarios,debates, conferencias, cursos, exposiciones, etc. es tangrande que incluso se nos hace difícil recopilarlas: algunasmemorias que me llegan de cada sociedad contienen cen-tenares de actividades, páginas y más páginas de descrip-ciones y valoraciones, de explicación de procesos y de crí-ticas finales. En todas ellas se nota el esfuerzo de miles demaestros, profesores y profesoras de todas las comunida-des para lograr que la Educación Matemática estuvierapresente en el año 2000. Un esfuerzo de un voluntariadoal cual, a menudo, no se le reconoce su labor.

Un tema que merece comentario aparte es la labor desa-rrollada por la Federación en la constitución de los Comi-tés del Año 2000 y en el desarrollo de su tarea, tanto elque coordinó el ámbito de toda España como en cadacomunidad o provincia. He de destacar que generalmentelos representantes de las sociedades de la Federación hanejercido de verdaderas locomotoras, coincidiendo conaquellas personas de otras sociedades que deseaban darrealce al Año Mundial de las Matemáticas.

Desde mi posición de secretario de actividades de laFederación dispongo de un conjunto de información sobrelas actividades, lo que me permite tener un punto de vistamás general sobre el tema. Desde la secretaría se ha elabo-rado una ficha para recoger los aspectos principales de cadaactividad, formada por unos 20 apartados, con los que pode-mos hacernos una idea bastante acertada de lo que se hahecho. Se pide también que se explicite qué es lo que se pre-tendía al organizar la actividad, y qué se ha obtenido de ella.

Por otro lado, se están elaborando los protocolos de acti-vidades de la Federación (y de las sociedades federadas

Desde la Secretaría deActividades de la FederaciónEspañola de Sociedades deProfesores de Matemáticasse presenta una apretadasíntesis de las actividadesorganizadas y realizadas,

con motivo del Año Mundialde las Matemáticas, por lassociedades federadas y por

la propia Federación.

33

Actividades en el 2000: algunasnubes en un día radiante

Xavier Vilella Miró

INFORME2000

L

37

junio 2001, pp. 33-38

con relación a la Federación), que nos permitirán profun-dizar en el establecimiento de una forma de actuar másmetódica, sin olvidos que luego lamentamos, y con unsello propio de nuestra Federación.

Un primer análisis

De un primer análisis de todo lo que he podido recoger yevaluar, puedo destacar algunos aspectos. Empezaré porlos positivos, seguiré con los ambivalentes, y señalaréfinalmente aquellos que conviene mejorarlos:

1. La gran variedad, la diversidad de perfiles, de tipologíade público al que van dirigidas las actividades llevadas acabo. Esta primera conclusión se refiere al tipo de pro-puesta realizada. Se detecta un interés en llegar a públicosdistintos, diversos, con perfiles bien diferenciados, ya seanmaestros o profesores y profesoras, ya sean alumnos dediferentes niveles educativos, ya sea la ciudadanía engeneral. Puedo afirmar que diversificamos mucho la ofer-ta de formación / renovación / divulgación en EducaciónMatemática.

2. Igualmente, la diversidad de propuestas, su estructura,su forma final de llegar a quienes participan en ellas. Estasegunda conclusión tiene en cuenta la estructura de lapropuesta, su grado de libertad de cara a los participantes,que nos lleva a diferentes formas de participación. Lavariedad vuelve a ser la tónica general: desde cursos deformación del profesorado, hasta exposiciones abiertas atodo tipo de público, pasando por seminarios, concursos,jornadas y talleres... La gran mayoría de las actividadescontenían un alto grado de libertad, facilitaban la partici-pación más activa.

3. El interés en organizar actividades con otras asociacio-nes, entidades o estamentos públicos y privados. Se puedeconstatar que tanto la Federación como las sociedadesfederadas han colaborado con otras organizaciones, seano no del ámbito estrictamente de la Educación Matemática,para conseguir los objetivos perseguidos. Esta capacidadde adaptación tiene un gran valor para eventos como el2000, en el que se intentan concentrar muchos esfuerzos,pero aún es mayor el valor de cara al futuro a medio ylargo plazo. Todos los temas educativos contienen unagran transversalidad y, seguramente, deberemos profundi-zar en el trabajo conjunto con otras sociedades, entidadesy administraciones en los años venideros.

4. Muchas actividades se han basado en salir a la calle, enir al entorno cercano, o en recoger aspectos matemáticosde ese entorno. Podemos afirmar que, en cierta medida,predicamos con el ejemplo. Un tema en el que insistimosrecurrentemente es el descubrimiento de las matemáticasen la calle, en casa, en la imagen. Se puede constatar el

esfuerzo realizado por diferentes socie-dades en conseguir hacer realidad estedeseo, especialmente en actividadesrelacionadas con el profesorado, y tam-bién en las que el alumnado era el pro-tagonista principal.

5. La relación con los medios de comu-

nicación: se denota un incremento en la

preocupación en dar a conocer nuestras

actividades, pero persiste la actitud

general de estos medios en ignorarlas.

Parece ser que empieza a mejorar nues-tra actitud en referencia a los medios decomunicación, empezamos a compren-der que la sociedad en la que vivimosse mueve a ritmo de noticia y, por lotanto, una actividad requiere de unaproyección antes y después de su reali-zación: antes, porque puede dependerde ello su éxito de participación, y por-que prepara y difunde lo que vendrá;después, porque es el certificado de suexistencia, y permite que sus conclusio-nes lleguen seguramente mucho máslejos. Por otra parte, esta mejor actitudreferida a los medios, contrasta con lapersistencia del nulo interés de estosmedios en cuanto a la Educación Mate-mática. No nos sorprende, claro está,dado el cariz que está tomando lacomunicación en general, cada vez másinteresada por falsos experimentossociológicos del tres al cuarto o por his-torias para no dormir de abusos y vio-lencia. Pero siempre hay excepciones, yse han de saber aprovechar. En cual-quier caso, que no sea por falta deinformación sobre lo que hacemos, loque perseguirnos, y sobre cómo lohemos hecho.

6. La esponsorización: se ha acudido a

ella en casi todas las actividades, unas

veces por parte de la Administración (lo-

cal, autonómica, estatal) y otras a la

privada (bancos y cajas, editoriales,

etc.). Este aspecto también indica unatendencia a incrementar la relación conlas administraciones y el mundo empre-sarial. No puedo apreciar si ello se debea un simple problema de financiación ose comprenden otros aspectos relacio-nados. Me refiero a que una actividadaltamente esponsorizada puede transmi-

Se detectaun interésen llegar a

públicos distintos,diversos,

con perfilesbien

diferenciados,ya sean maestros

o profesoresy profesoras,

ya sean alumnosde diferentes

niveles educativos,ya sea

la ciudadaníaen general.

34

tir a quienes la reciben un mensaje: setrata de una actividad altamente valora-da por la sociedad, que tiene un graninterés. Será más y mejor difundida,porque quienes la financian querránque se conozca su esfuerzo económico.Crece su importancia social. Por todoello, tendrá seguramente más influenciaen el medio al que se dirige.

7. Las valoraciones por parte de los orga-

nizadores de la actividad acostumbran

a ser positivas. Este aspecto se valoradesde el punto de vista de cómo ve lapropia organización la actividad y susresultados. No se juzga si se ajusta a larealidad, dado que no se acostumbra adisponer de medios objetivos para eva-luarlo. En general, se percibe una auto-satisfacción elevada, aunque en algúncaso en que la valoración es negativa sedebe a la baja participación. Un par decomentarios al respecto: en primerlugar, hacer constar que aún no nosacostumbramos a pensar en la evalua-ción de la actividad, en que necesitare-mos datos en los que basarnos más alláde la intuición y los comentarios dealgunas personas cercanas. Incluso unabuena cifra de participantes no aseguraen absoluto la calidad y el verdaderoéxito de la actividad. En segundo lugar,respecto a la participación, a menudotenemos unas expectativas que no sonexplícitas y, por lo tanto, no podemossaber si son compartidas por el resto dela organización. Antes de su desarrollo,conviene reflexionar un poco acerca dela participación esperada en cualquieractividad, no dejarse llevar por un opti-mismo desmesurado, pero tampocoprever muy a la baja la participación. Entodo caso, si se ha previsto un númerode participantes sobre la base de unrazonamiento explícito, podremos alfinal evaluar los resultados e intentarestablecer las razones del acierto o deldesacierto.

8. En algunos casos, la actividad pro-

puesta ha representado para la admi-

nistración una oportunidad para difun-

dir y dar a conocer el patrimonio cultu-

ral, histórico, artístico, arquitectónico,

de un pueblo o una ciudad, de una

comunidad. Este tipo de actividades cumplen algunos delos requisitos que podríamos asignar a las llamadas «acti-vidades ricas»:

a) Acostumbran a ser multidisciplinares, o permiten fácil-mente la multidisciplinariedad.

b) Se relacionan siempre con el entorno urbano, social,cultural.

c) Resultan muy atractivas para la administración (local yautonómica, especialmente) y ello facilita su esponso-rización.

d) Cumplen parte de la función social de las matemáti-cas, colaborando a, difundir y a conocer nuestro ricopatrimonio.

e) Interesan a los medios de comunicación porque resul-tan ser originales y porque en su realización intervie-nen agentes sociales diversos, además de los estricta-mente educativos.

f) Se pueden relacionar con facilidad con aspectos mul-ticulturales, permitiendo un acercamiento culturaldiverso a los participantes.

Todo ello hace que estas actividades cuenten con un valorañadido al suyo propio como actividad de EducaciónMatemática.

9. En general, puedo afirmar que se le ha dado muy pocovalor a la relación con los Movimientos de RenovaciónPedagógica (MRP), los sindicatos, u otras organizaciones,como federaciones de asociaciones de padres y madres,otras sociedades afines a la educación matemática, bibliote-cas, etc. La reflexión que este hecho me produce se refierea la creación de red. Me explico: yo soy de los que opinanque toda actividad educativa que se desee eficaz y eficien-te, requiere de la acción coordinada de muchos y variadosagentes. La forma que se me ocurre que debe tomar estacoordinación es la del trabajo en red, una red formada pornudos que entrelazan y relacionan, incluso a gran distancia,un maestro o maestra de educación infantil en un centro deun pueblo, con el realizador de un programa de televisión,a través de diversos intermediarios (un concejal delAyuntamiento, la inspectora de zona, un centro de ocioinfantil con una ludotecaría...). Es decir, creo que todas lasactividades deberían ser motivo de reflexión interna, nues-tra, pero también por parte de otros agentes del entorno, ypara ello es precisa una cierta relación, una cierta comuni-cación mutua. Seguramente la actividad se podrá realizaraún sin esta relación, pero pienso que su calidad mermará.Este proceso, repetido n veces, puede facilitar la creaciónde una tupida red de relaciones entre agentes sociales y cul-turales, con la persona en el centro, sea ésta niño o niña ojoven, maestro o profesora, familia, etc.

10. A menudo no se produce una buena comunicación delos resultados a la sociedad, algunas veces ni a los centros ni

…se le ha dadomuy poco valor

a la relación conlos Movimientosde Renovación

Pedagógica(MRP),

los sindicatos,u otras

organizaciones,como federacionesde asociaciones depadres y madres,otras sociedades

afinesa la educación

matemática,bibliotecas, etc.

35

a los propios socios. Ahí tenemos un punto en el que tam-

bién debemos mejorar. El esfuerzo que representa la orga-

nización de actividades, el éxito final obtenido, puede ser

sencillamente desconocido por aquellos a quien se dirigía.

Debemos siempre contar con un plan de comunicación en

el que figure la comunicación interna y externa, la comuni-

cación anterior y posterior a la actividad. Ello facilitaría

enormemente el conocimiento de lo tratado, de las conclu-

siones, y permitiría que pudiera repercutir en la labor del

profesorado, en la educación en la familia, en la actitud de

la administración. En definitiva, se sumaría a la mejora de la

consideración social de la Educación Matemática.

El resumen imposible

Como ya he señalado, resulta imposible resumir todas las

actividades ligadas al Año Mundial de las Matemáticas en

unas pocas páginas, dado el enorme volumen de informa-

ción recogida. Todas las sociedades han llevado a cabo

multitud de actos, cursos, encuentros, conferencias, etc.

Además de todas estas actividades, cabe señalar la cele-

bración de jornadas especiales en el Congreso de los

Diputados, y sesiones especiales en parlamentos autonó-

micos, como en el Parlament de Catalunya o en el

Gobierno de Canarias, así como la participación en dife-

rentes encuentros internacionales de Educación matemáti-

ca o de sociedades de profesores de matemáticas (el

segundo Congreso Internacional sobre Educación Mate-

mática y Sociedad, en Portugal; el Encuentro de Socie-

dades de Matemáticas españolas y portuguesas, en Zamo-

ra; las reuniones preparatorias de la constitución de la

Federación Iberoamericana, los progresos en la amplia-

ción de la Federación Europea).

Solamente con el ánimo de mostrar la gran diversidad y

complejidad de las actividades realizadas, sin que signifi-

que ningún tipo de selección ni clasificación, simplemen-

te voy a nombrar algunas de ellas:

• El amplio y complejo Congreso de Educación

Matemática - cem2000, satélite del congreso Europeo

de Matemáticas (EMC), organizado en Cataluña por

FEEMCAT.

• El «Rincón Matemático» de institutos de Leganés, en el

CPR de este barrio, y la exposición conjunta «2.000

piezas matemáticas» de la Sociedad Madrileña Emma

Catelnuovo.

• La construcción de icosaedros de Cantabria, en el Día

Escolar de las Matemáticas.

• El congreso Alhambra 2000, también satélite del EMC,

un encuentro euro-árabe de Matemáticas, con la diná-

mica sociedad andaluza Thales como coorganizadora.

• Las XX Jornadas de la SociedadCanaria Isaac Newton de Profesoresde Matemáticas.

• El concurso de Primavera en LaRioja, con más de 400 participantescomo finalistas.

• Las ediciones especiales del calen-dario matemático en la ComunidadValenciana.

• las Jornadas Matemáticas de Avilés.

• El V Encuentro de profesores extre-meños de matemáticas, en Cáceres.

• El Congreso Regional de EducaciónMatemática, en Ciudad Real.

• La exposición «Geometría mudéjaren Aragón», a cargo de la SociedadAragonesa.

• El seminario Castellano celebradoen Burgos.

• Los encuentros del profesorado dematemáticas de la Comunidad deMadrid.

• El Día de la Matemática, con 70talleres en un polideportivo munici-pal en la comarca catalana delPriorat.

• El concurso de problemas de inge-nio Thales, en la Alcazaba de Al-mería.

• La exposición de fotografía mate-mática, acompañada de actividadespara los alumnos, en Galicia.

• El acto académico de homenaje aPuig Adam, en el centenario de sunacimiento, en Madrid, coorganiza-do por la Sociedad Madrileña EnmaCastelnuovo.

• El ciclo de conferencias «Matemá-ticas y vida cotidiana», organizadopor la Sociedad Asturiana de Edu-cación Matemática Agustín de Pe-drayes, que ha dado lugar a unnúmero monográfico de la revistade cultura y ciencias sociales Ábaco.

• Las actividades ligadas al meridianocero, en Castellón.

• El concurso de «enxeño e entrete-mento matemático», sobre materialmanipulativo, en Santiago.

La construcciónde icosaedros

de Cantabria…

El concursode Primaveraen La Rioja…

La exposición«Geometríamudéjar

en Aragón…

El actoacadémico

de homenajea Puig Adam…

Las actividadesligadas

al meridianocero,

en Castellón.

36

• La Semana Matemática en la NaveIvanow, en Barcelona,

• Los múltiples ciclos de conferenciasen diversas localidades de Anda-lucía, organizados por la sociedadandaluza Thales.

• El suplemento matemático domini-cal en dos periódicos canarios, lascolaboraciones semanales y men-suales en diversos periódicos ara-goneses, los artículos en La Rioja,en Cataluña, en Galicia, en Madrid,los artículos dedicados especial-mente al Año Mundial, como en ElPaís (cada mes aparecieron artícu-los diversos sobre Matemáticas),ABC, El Mundo, La Vanguardia yen revistas diversas.

• La exposición de «Instrumentos yunidades de medida tradicionalesen Extremadura».

• La exposición itinerante sobre «Pin-tura matemática de Julián Gil», enLa Rioja.

• La exposición «Matemáticas 2000»,de la Sociedad Canaria.

• Los debates en las televisiones loca-les catalanas, como en El Vendrell,Barcelona, Mataró, etc. y los pro-gramas de radio, como los de Cana-rias o de Huesca.

• Las publicaciones sobre educaciónmatemática, numerosísimas, comola revista Números de la SociedadCanaria, dedicada a la figura dePuig Adam, o el número especial«Las matemáticas del siglo XX: unamirada en 101 artículos», los«Paseos matemáticos por Logroño»;las de la Sociedad Extremeña encolaboración con la Federación;las de la sociedad andaluza,Thales; la recopilación «Las diezprimeras olimpiadas nacionales», acargo del equipo de las comarcasde Girona.

• Las visitas guiadas a la MezquitaCatedral de Córdoba, en las que sedestacan los problemas matemáti-cos que se plantearon y las solucio-nes adoptadas.

• Las actividades conjuntas entre departamentos de ins-titutos: matemáticas y dibujo, matemáticas y lenguaje,matemáticas y ciencias, etc., como en diversos IES deMadrid.

• La exposición «El legado de las matemáticas» con suversión virtual en la red, coorganizada por Thales.

• El concurso de Caballeros Enigmatemáticos, a cargode la Sociedad Aragonesa de Profesores de Mate-máticas.

• Los muchos y diversos concursos de carteles(Cantabria, Extremadura, Canarias), de fotografíamatemática (Andalucía, Cataluña, Aragón, Canarias,Cantabria).

• Las olimpiadas diversas, prácticamente en todas lascomunidades, concursos de resolución de problemas,como el de la Sociedad Puig Adam o los de Andalucía,o de entretenimientos matemáticos.

• Los homenajes, recuerdos y exaltación de profesoresy profesoras de matemáticas de diferentes puntos deEspaña, como en Cataluña, Madrid, Castilla-León, LaRioja, Andalucía.

• Videos matemáticos, simultaneas de ajedrez, ciclos decine relacionado con las Matemáticas, chistes, adivi-nanzas, anécdotas... ¡hasta un partido de fútbol!

Mención aparte merece la instauración en este Año Mun-dial del «Día Escolar de las Matemáticas», el 12 de mayo decada año, a propuesta de nuestra Federación, que ha reci-bido amplio apoyo en diferentes comunidades, y que seha afianzado en el 2001. Estamos convencidos de que seextenderá cada vez más y que se convertirá en un refe-rente de la Educación Matemática en España.

Insisto en que no se trata de ninguna lista exhaustiva ypido disculpas por no nombrar centenares de actividadesque no aparecen aquí. Sólo pretendo ejemplificar el decá-logo expuesto más arriba.

Y para que no se diga que no he usado ningún númeroen todo el artículo, mencionaré un dato: el número totalaproximado de actividades realizadas en el 2000 por laFederación, o en las que ha participado activamente laFederación, o cualquiera de las sociedades federadas, espróximo a las 2.000. Curiosa coincidencia. Un promediode más de 10 actividades relacionadas con la Matemáticay la Educación Matemática por día lectivo del año 2000.Ese es el número de actividades que han llegado a mismanos, lo que no significa que su número real pueda sertodavía mayor. Francamente, creo que nos merecemos unsobresaliente en «Año Mundial de las Matemáticas».

Nos merecemos un descanso, pero sabemos que no nos lotomaremos. Somos así. Acabado el 2000, estamos en plenatarea: nuevos seminarios de la Federación, las JAEM enZaragoza, los contactos europeos e iberoamericanos,

Los múltiplesciclos

de conferenciasen diversaslocalidades

de Andalucía…

La exposiciónde «Instrumentos

y unidadesde medida

tradicionales enExtremadura»…

La exposición«Matemáticas

2000»,de la Sociedad

Canaria…

Las publicacionessobre educaciónmatemática…

Las olimpiadasdiversas,

prácticamenteen todas las

comunidades…

37

nuestra querida Olimpiada, las actividades anuales de cadasociedad... y un gobierno del estado que nos ignora aúnen el momento de reformar la Reforma. Definitivamente,tenemos trabajo.

Queremos y debemos aprovechar las puertas abiertas duran-te este año especial, y ello requiere tiempo y esfuerzo, algoque nuestro voluntariado no acostumbra a escatimar.

Que el 2001, y el 2002, y el 2003, y...nos sean tan productivos como este año2000, ése es mi deseo para todos y paratodas. Sintamos el orgullo por la tarearealizada y afrontemos con energíarenovada el siglo XXI.

Xavier VilellaSecretario de Actividadesde la Federación Española

de Sociedades de Profesoresde Matemáticas

38

OMO EN TODAS las grandes conmemoraciones, un pri-mer balance nunca puede ser negativo porque suelen sertantas las actividades que se proponen que, sólo con mirarde forma absoluta el número de las realizadas, la conclu-sión ha de ser optimista. Además, en las actividades yacciones que potencian las Sociedades de Profesores es talel entusiasmo y el derroche de energías que forzosamen-te (si soslayamos la mirada de los pesimistas recalcitrantes)han de contemplarse prioritariamente los aspectos positi-vos que, sin duda, serán muchos.

La verdad es que la mera relación de títulos genéricos nosda una idea de la multiplicidad y variedad de actividades:

• Olimpiadas Matemáticas, Competiciones y Premios.

• Exposiciones diversas, incluyendo exposiciones delibros antiguos.

• Jornadas, Congresos, Seminarios.

• Cursos, Conferencias, Charlas.

• Publicaciones: desde las de carácter científico a laslúdicas, pasando por las publicaciones en prensa.

• Actividades de Matemáticas en la calle, con participa-ción del público en general.

Cuando en 1992 la Unión Matemática Internacional (IMU)declaró el año 2000 Año Mundial de las Matemáticas seplantearon los siguientes objetivos:

1) Determinar los grandes desafíos matemáticos del sigloXXI.

2) Proclamar las Matemáticas como una de las clavesfundamentales del desarrollo.

3) Impulsar su presencia sistemática en la sociedad de lainformación.

Además, el Comité Andaluz añadió un cuarto objetivo:

Desde la Sociedad Andaluzade Educación Matemática«Thales», una de las más

antiguas de la Federación yla de mayor número de

socios, se describe cómo sevivió en Andalucía el Año

Mundial de las Matemáticas.

39

El Año Mundialde las Matemáticasen Andalucía

Antonio Pérez Jiménez

INFORME2000

C

37

junio 2001, pp. 39-41

4) Acercar las Matemáticas a la sociedad y contribuir alfomento de una Educación Matemática adecuada parala población andaluza.

Estoy en condiciones de afirmar que hemos colaboradodecisivamente a la consecución de tales objetivos.

Tanto el primero (escrito con el deseo de emular el plan-teamiento que para los años sucesivos indicase Hilbert enel célebre Congreso de 1900) como el segundo, lo hemostraducido por sesiones de carácter científico en las que seha puesto el empeño en determinar el estado de la cues-tión y en la propuesta de líneas de actuación (Encuentrode Matemáticos Andaluces; Grupo de Estudio sobre elestado actual de las matemáticas en Andalucía; Semblan-zas de matemáticos andaluces ilustres; Semanas Matemá-ticas (en su vertiente de comunicación científica) desarro-lladas en casi todas las provincias; Conferencias; Charlas,Seminarios, etc).

En cuanto al tercer objetivo, en una primera instancia de-beríamos decir, sencillamente, que hemos hecho lo quehemos podido, pues no es fácil impulsar la presencia delas matemáticas en la sociedad de la información si seintenta, además, que sea sistemática. Si no hacemosmucho caso a este adjetivo y lo consideramos como algoque hay que conseguir a un plazo muy largo, hay queresaltar que hemos obtenido un seguimiento importanteen los medios de comunicación locales y esporádico enlos regionales (abundante a veces pero insuficiente desdeel punto de vista de lo que uno desea). Pero si por pene-tración en la sociedad de la información entendemos ade-más, como se anuncia en el cuarto objetivo, la divulga-ción a través de otros mecanismos, hemos de constatargrandes logros:

a) Distintas exposiciones de los más diversos tipos cele-bradas en todas las provincias, en particular mereceresaltarse la exposición de libros «El Legado de lasMatemáticas», de carácter regional, que ha tenido unapresencia contabilizada en más de 45.000 personas;esta exposición ha sido, además, una buena manerade hacerse presente en nuestra sociedad, con la his-toria por delante y en el incomparable marco del Sa-lón de Tapices de los Reales Alcázares de Sevilla.

b) La Jornada Matemática en el Parlamento Andaluz nosha permitido relacionar las matemáticas con la políti-ca, con la empresa y su papel en la educación y hasupuesto, además de la publicidad mediática añadida,la utilización (dicho sea en su sentido más noble) delforo publico más importante de nuestra Comunidad.

c) Finalmente, las Actividades de Matemáticas en la callehan servido para divulgar los aspectos más lúdicos yatractivos de nuestra disciplina, permitiendo la partici-pación del gran público en actividades con contenidomatemático.

En relación con el último objetivo, ade-más de la divulgación ya señalada,hemos de indicar la multiplicidad deactividades centradas en el fomento dela Educación Matemática. En el aspectocientífico la Educación Matemática hatenido su propio marco en el Encuentrode Matemáticos Andaluces y en elGrupo de Estudio en torno a la Educa-ción Matemática (con exposición de susconclusiones en las Jornadas celebradasen el Parlamento). En cuanto a la divul-gación entre profesores de enseñanzaprimaria y secundaria (entendiendo pordivulgación también el intercambio deexperiencias en torno a la enseñanza enlas aulas), hay que indicar el Congresode Educación matemática celebrado concarácter regional en San Fernando(Cádiz) y la segunda parte de la JornadaMatemática en el Parlamento. Además,en todas las Semanas Matemáticas cele-bradas en Andalucía ha ocupado unlugar importante la educación matemá-tica con celebración de múltiples yvariadas actividades, algunas de las cua-les incluía visitas programadas deCentros. En concreto, por el Salón deJuegos Matemáticos, durante la Semanacelebrada en Sevilla pasaron más de tresmil alumnos.

Los alumnos y profesores han sido centroinnegable del 2000. Ya hemos aludido ala participación de los primeros en lasactividades de las Semanas Matemáticas.La Olimpiadas, realizadas en los nivelesde primaria, secundaria y preuniver-sitario, las Gymkanas, los Concursos deFotografía y Matemáticas, y otras varieda-des de competiciones matemáticas hanpermitido la participación directa de unagran cantidad de alumnos y de Centros;asimismo, se han realizado publicacionesespeciales para ellos: O’Thales es unbuen ejemplo de publicación divulgativapara alumnos. Ha sido remitida a todoslos Centros de Andalucía.

En cuanto a los profesores, ya hemosseñalado múltiples actividades pensadapor y para los mismos. Pero a másabundancia, queremos destacar: lasJornadas de Investigación en el Aula deMatemáticas que, bajo el subtítulo

…las Actividadesde Matemáticas

en la callehan servido

para divulgarlos aspectosmás lúdicosy atractivosde nuestradisciplina,

permitiendola participacióndel gran públicoen actividadescon contenidomatemático.

40

«Retos de la Educación matemática delsiglo XXI» tuvo lugar en Granada, conuna importante participación de nuevosprofesores y de alumnos de los últimoscursos de la Licenciatura; los PremiosThales-San Fernando, en la modalidadesde investigación y renovación en educa-ción matemática, que nos has acercadomás a los profesores de Portugal y deAmérica latina. Por último, hay queresaltar dos publicaciones notableshechas con motivo de las conmemora-ciones del citado año: la edición facsi-milar de un ejemplar del Analisyn infi-nitorum de Euler (cedido gentilmente alos efectos de edición por el RealObservatorio de la Armada en SanFernando), acompañada de la traduc-ción y una extraordinaria edición crítica;y el catálogo de la exposición El Legadode las matemáticas, magníficamenteilustrado y con el sabor de un relato his-tórico al hilo de los libros expuestos.

En este breve recorrido he pretendidorealizar una pequeña síntesis de lo queha supuesto el año 2000 en Andalucía, ala luz de los objetivos propuestos por laIMU. Hay muchos datos y actividadesconcretas no señalados (porque no hasido mi intención hacer un compendiode las actividades, que va a editarse enbreve) pero con la muestra citada creoque ha sido suficiente para entenderhasta dónde hemos alcanzado.

Todos los logros lo han sido gracias ala unión de esfuerzos que, de maneraprioritaria y siguiendo los llamamientosrealizados desde la IMU, la Federaciónde Sociedades y el Comité Españolpara el Año 2000, nos planteamosdesde los distintos estamentos y que seplasmó organizativamente en un Co-mité Andaluz, del que tuve el honor deser el portavoz. Este Comité estuvo for-mado por:

• Todas las Sociedades con implantación en Andalucía:Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales,Real Sociedad Matemática Española, Sociedad deEstadística e Investigación Operativa, Sociedad Espa-ñola de Investigación en la Educación Matemática ySociedad Española de Matemática Aplicada.

• Representantes de todas las Universidades Andaluzas.

• Un parlamentario matemático.

A su vez, en cada provincia se constituyó un Comité Localcon estructura similar a la del regional.

Esta estructura organizativa ha auspiciado una colabora-ción que, siendo muy compleja y difícil inicialmente por ladisparidad de los puntos de vista e intereses académicos,ha resultado a la postre, uno de los logros más importan-tes del 2000, pues además de haber convergido en el inten-to de conseguir los citados objetivos, ha planteado la nece-sidad de una colaboración más estrecha en el futuro, sobretodo y, particularmente, en los temas relativos a laEducación Matemática, en donde aún pueden observarsemuchas y claras diferencias: desde qué contenidos y méto-dos son necesarios para una buena formación básica delciudadano, pasando por el currículo necesario para un pro-fesor de matemáticas y llegando hasta los más gremiales dedónde ha de ubicarse la formación inicial del futuro profe-sor de matemáticas y el reconocimiento como comunidadcientífica de los investigadores en Educación Matemática.

Siempre hemos dicho que el 2000 más que un fin en símismo ha de ser un inicio (continúan el O’Thales comopublicación periódica; el Encuentro de MatemáticosAndaluces –que celebrará su próxima edición en Granada;en algunas provincias, las Semanas Matemáticas; y, porsupuesto, las que con anterioridad estaban en marcha). Enel párrafo anterior ha quedado planteada la necesidad delcomienzo sistemático de esa colaboración entre profesoresa través de sus Sociedades y de sus Universidades. Hemossido capaces de llegar a un cierto entendimiento, a partirde una colaboración concreta. La potencialidad de lasSociedades es pujante y se ha puesto de manifiesto eldeseo (y los frutos) de esa colaboración; por otra partehemos contado, y creo que podremos seguir contando,con la ayuda de nuestras instituciones políticas y acadé-micas. Hemos de concluir que, tras el 2000, las bases estánpuestas; de nosotros depende que todo lo realizado nohaya sido más que el comienzo.

Antonio Pérez JiménezPortavoz del Comité Andaluz

para el Año Mundialde las Matemáticas.

Miembro de la SAEM Thales.

41

…el 2000más que un fin

en sí mismoha de ser

un inicio…

ENVÍO DE COLABORACIONES

Revista SUMAICE Universidad de ZaragozaPedro Cerbuna, 12. 50009-ZARAGOZA

BOLETÍN DE PETICIÓN

D. (Dª).:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

con domicilio en------------------------------------------------------------------------------------- provincia de------------------------------------------------------------, C.P. -------------

calle---------------------------------------------------------------------------------, nº------------- piso------------, letra ------------, teléfono -----------------------------------,

E-mail:------------------------------------------------------------------------------------------------,

DESEO MEDIANTE EL PRESENTE DOCUMENTO ME REMITAN --------------------------- EJEMPLAR (ES) de la edición facsimilar, crítica y traducida de Introductio in Analysin infinitorumde Leonard Euler al precio especial de 8.500 ptas. para peticiones anteriores al 15 de Julio de 2001. A partirde la fecha anterior el precio de venta será de 10.000 ptas. (socios) y de 14.000 ptas. (no socios). No estánincluidos IVA ni gastos de envío.

Firmado: ----------------------------------------

REMITIR A: S.A.E.M. "THALES", Facultad de Matemáticas, Apdo.: 1160, 41080-SEVILLA

PESAR DE QUE YA han transcurrido varios meses delnuevo milenio, todavía sigue dando sus últimos coletazosel 2000, como que no quisiera dejarnos. Varias actividadessiguen desarrollándose en este momento como colofón dela serie de exposiciones, concursos, conferencias, debatesetc. que han tenido lugar durante este prolífico año. Re-cuerdo que alguien quería promover un tercer mileniohipermundial de las matemáticas...

La Rioja, por ser una comunidad autónoma pequeña, tienepor tanto una Sociedad de Profesores de Matemáticaspequeña, «A prima», de reciente creación e incorporación ala Federación. Tanto es así que cuando en marzo de 1999se crea el CRAMM, Comité Riojano para el Año Mundial delas Matemáticas, la Sociedad Riojana sólo existía en la cabe-za de varios compañeros aunque, eso sí, dos meses mástarde ya se fundaba y empezaba a dar sus primeros pasos.

El CRAMM comienza a funcionar desde el Departamentode Matemáticas y Computación de la Universidad de LaRioja (U.R.), presidiéndolo su Director de DepartamentoJosé Ignacio Extremiana.

En las primeras sesiones de trabajo son convocados miem-bros del Departamento de Matemáticas y diversos profe-sores de secundaria de la provincia. Se habla de lo querepresenta el año para los docentes de las matemáticas engeneral y de lo que se pretende dar a conocer a la socie-dad durante el año 2000, viéndose cuáles son las activida-des que podrían ayudar para conseguir este fin. Ideas nofaltan y no creo que difieran mucho de otros comités pro-vinciales o regionales. La hoja Web oficial del comité eshttp://www.unirioja.es/dptos/dmc/jvarona/2000.htm, ges-tionada por Juan Luis Varona.

El Comité fue trabajando y haciendo diversas gestionesdurante el año presentando proyectos de actividades endiversas instituciones tanto públicas como privadas. En

Desde una comunidadautónoma pequeña, La Rioja,

y desde una Sociedad deProfesores recientementeconstituida, «A prima» secuentan las actividadesrealizadas en el 2000.

43

El Año 2000 en La Rioja

Javier Galarreta Espinosa

INFORME2000

A

37

junio 2001, pp. 43-46

casi todas ellas muy buena acogida pero..., «poca plata»para su desarrollo.

Se sigue con los pocos medios disponibles, voluntad no fal-taba, para darse a conocer a los profesores riojanos en elmes de diciembre y realizando su presentación a los mediosde comunicación en los primeros días del año 2000.

Exposición: La pinturamatemática de Julian Gil

Primer cuatrimestre en Calahorra, Lo-groño y Nájera.

Las matemáticas reflejadas en el arte esla viva expresión de este pintor riojanoque reside actualmente en Madrid.

Los gastos de estas tres exposicioneshan sido sufragados por los Institutos deSecundaria de La Rioja Alta y La RiojaBaja siendo sus coordinadores CarlosUsón, Juan de Blas y Carmelo García(miembros de «A prima»).

44

Exposiciones filatélicas

Conmemorando la emisión de un sellorelativo al año 2000 en el que aparece elilustre matemático riojano D. Julio ReyPastor, «A prima», en colaboración con laFederación Riojana de SociedadesFilatélicas, organizó dos exposiciones enlas que se pudieron ver diversas colec-ciones de sellos además de un conjuntode paneles reproduciendo sellos relacio-nados con las matemáticas y los mate-máticos cedidos por la SociedadMadrileña de Profesores de Matemáticas.

Con la coordinación de Javier Galarreta(presidente de A prima) se celebraronen mayo en Logroño y en diciembre enCalahorra.

Precisamente el seis de enero aparece en el diario LaRioja el artículo «2000, Año Mundial de las Matemáticas»,donde el Presidente del Comité expone el significado detal celebración y los puntos que avalan la presencia de lasmatemáticas en la sociedad del conocimiento.

Desde el mes de enero empiezan a desarrollarse las pri-meras actividades y, aunque en las próximas líneas sepodrá ver que es prolijo el número de las mismas, ciertoes que se deben al gran trabajo de unos pocos que, atenor de los resultados, creo que ha sido reconocido.

Exposición: Fotografía matemática y artemudéjar

Primer cuatrimestre en Arnedo, Logroño, Nájera y SantoDomingo.

Muestra de fotografías pertenecientes a un concurso rea-lizado en el IES Andalán de Zaragoza y a una colecciónfotográfica del esplendor del mudéjar aragonés deFlorencio Villarroya, de la Sociedad Aragonesa. La expo-sición se completa con una serie de carteles del IES CelsoDíaz de Arnedo (La Rioja) que sirvieron para realizar elcartel de la exposición.

Exposición: Máquinas de calcular, de lamano a la electrónica

Primer cuatrimestre en Calahorra,Haro, Logroño y Nájera.

Una magnifica recopilación delque fuera nuestro compañeroÁngel Ramírez. Como el propiotítulo nos indica, se ha podido veren la exposición el camino reco-rrido por la humanidad para auto-matizar el cálculo.

Exposición: Las matemáticas.Ayer, hoy y siempre

Último trimestre del 2000 en Logroño.

A pesar de que el comité riojano ofrecióal Ayuntamiento de Logroño y, portanto, a su Casa de las Ciencias, la posi-bilidad de desarrollar una exposición enla que se podía poner de manifiestotodo aquello que representaba el Año2000, la Casa de las Ciencias organizóuna por su cuenta de la que el comiténo quedó del todo satisfecho a pesar delas aportaciones de última hora que sele solicitaron.

Esta exposición ha intentado mostrar lapresencia de las matemáticas a lo largode la historia y su influencia en la cons-trucción del razonamiento humano. Porotra parte, se estableció una singularrelación entre las matemáticas y La Riojacon textos de los fondos de las bibliote-cas de la región, subrayando la destaca-da figura de Julio Rey Pastor. Final-mente, se habilitó un taller de «Enseñar apensar» dirigido al público escolar perodel que no se dio la suficiente difusión.

Exposición: Las medidastradicionales en La Rioja: unacita entre tradición y futuro

Con este título se han estado desarro-llando diversas actividades que han com-prometido a gran parte de la sociedadriojana, desde el escolar en la zona rural,a las personas mayores e instituciones.

Un trabajo de recopilación de informa-ción e instrumentos de medida tradicio-nales ha hecho revivir situaciones notan antiguas y que en alguna medidavamos a volver a vivir próximamentecon la entrada del euro.

Un Taller que ha trabajado con losalumnos de primero de secundaria de

diversas localidades riojanas ha hecho ver la importancia

de la medida independientemente del instrumento o la

unidad que se dedique a tal fin.

Todo este trabajo ha concluido este año en una magna ex-

posición que, partiendo de Logroño, va a recorrer tras el

verano las localidades de Calahorra, Alfaro, Nájera, Haro y

Santo Domingo bajo el patrocinio de la Fundación Caja Rioja.

Coordinadores: Carmen Arnedo, Javier Galarreta, José

Antonio San Martín, Carlos Usón (miembros de «A prima»)

y Francisco Pérez.

II Concurso de primavera

Con la financiación de la Dirección General de Ordena-

ción Educativa y Universidades se ha realizado la segun-

da edición de este concurso que ha vuelto a tener un

enorme éxito entre los escolares riojanos. Tiene cuatro

niveles que abarcan desde tercer ciclo de primaria hasta

el bachillerato.

La primera fase se desarrolló en los propios centros educa-

tivos de la provincia con participación de 4.000 escolares,

celebrándose la fase provincial final en la Universidad de La

Rioja en abril, con 371 finalistas entre sus cuatro niveles.

Coordinadores: Rodolfo Larrea, Manolo Benito y Tomás

Virgos (miembros de «A prima»).

Olimpiada matemática

Con la financiación de la Universidad de La Rioja y la

Dirección General de Ordenación Educativa y Universi-

dades, se celebró la fase local en Logroño en el mes de

enero participando los tres ganadores en la fase nacional

celebrada en Palma de Mallorca.

Coordinadores: José Luis Ansorena y Victor Lanchares (UR).

Concurso y Exposición: Fotografía matemática

La Casa de las Ciencias del Ayuntamiento de Logroño con

el Comité del Año Mundial de las Matemáticas de La Rioja

y la Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas con-

vocaron este concurso de fotografía matemática para nues-

tros alumnos en el mes de diciembre del 2000. Tras la

resolución en el mes de febrero, gran parte de los trabajos

presentados han sido expuestos hasta el mes de abril.

Con dicho concurso se ha pretendido acercar nuestra

disciplina a la mayoría de la población, además de que

los alumnos y alumnas de todas las edades desarrollen

la imaginación, la sensibilidad, la atención y la observa-

ción del entorno, en el que existen multitud de formas

naturales o no (arquitectura, construcciones, urbanismo,

ingeniería, etc.) relacionadas con las matemáticas.

45

…se establecióuna singularrelación entre

las matemáticasy La Riojacon textos

de los fondosde las bibliotecas

de la región,subrayandola destacada

figurade Julio

Rey Pastor.

Seminario permanente de actualización

Diversas conferencias se celebran periódicamente orga-nizadas por el Departamento de Matemáticas y Compu-tación como actualización de los docentes de todos losniveles. Por el Seminario, que tiene una antigüedad demás de veinte años, van pasando los más ilustres mate-máticos españoles además de varios extranjeros y lasintervenciones también de algunos riojanos. El responsa-ble de la actividad, José J. Guadalupe falleció terrible-mente el uno de abril del 2000 en accidente de tráficodejando una gran huella entre nosotros.

Ciclo: Matemáticas y Astronomía

Conferencias celebradas en el mes de marzo en Logroñopara abordar la Astronomía en su relación con otras cienciascomo la Computación, la Estadística, Métodos Numéricos...

Coordinador: Víctor Lanchares (U.R.).

Semana de las Matemáticas en la U.R.

Con el eslogan de «La imprescindible presencia de las Ma-temáticas», y organizado por el Departamento de Matemá-ticas y Computación de la U.R., se han desarrollado en elmes de mayo diversas conferencias sobre Matemáticas, plande estudios, investigación y relación con otras ciencias, ade-más de mesas redondas con debate sobre las «Matemáticasen la Sociedad» y las «Matemáticas en la Universidad».

Conferencias de divulgación matemática

Varios profesores se ofrecieron para dar conferencias dedivulgación en los centros que lo solicitaran no llegándo-se a dar algunas de ellas por falta de solicitudes de los cen-tros: Luis Español («Matemáticas y matemáticos en LaRioja»), J. Ignacio Extremiana («Cuerpos platónicos. Polie-dros regulares»), L. Javier Hernández («¿Hay sólo una geo-metría? Historia del V Postulado de Euclides»), JesúsLaliena («Códigos y criptografía»), Victor Lanchares («Miraral cielo con ojos matemáticos»), Carlos Usón («Arte y mate-máticas») y Juan Luis Varona («Sistemas de numeración»).

Programa de divulgación sobre el AñoMundial de las MatemáticasLa Universidad de La Rioja y la Real Academia de lasCiencias Exactas, Físicas y Naturales celebraron un ciclo deconferencias sobre el Año Mundial de las Matemáticas conun total de doce conferencias incluidas dentro delPrograma de difusión de la cultura científica y tecnológicadedicado a la ciencia de las Matemáticas. Las conferenciasse celebraron entre noviembre de 2000 y enero de 2001.

Otras actividades• Paseos matemáticos por Logroño

guiados por Carlos Usón y Juan deBlas.

• Programas de radio relacionados conlas matemáticas en La Rioja Baja.

• El Aula de Cultura del diario LaRioja organizó la conferencia «Mate-máticas, Ordenadores y Sociedad»,desarrollada por Javier Echeverría.

• Coordinado por Luis Español, y conla colaboración del Instituto de Estu-dios Riojanos, se han realizado pane-les sobre varios matemáticos riojanos.

Tampoco podemos olvidar a aquelloscompañeros que han ganado diversaspremios durante el pasado año comolos del IES Celso Díaz de Arnedo porsu primer premio regional en Innova-ción e Investigación Educativa o elsegundo Premio Nacional del AñoMundial de las Matemáticas de JoséJavier Escribano con su trabajo: «Bio-grafía científica del matemático SixtoCámara Tecedor».

Desde el comité no se ha hecho unavaloración específica de las actuacionesenumeradas, aunque sí que estamos deacuerdo en que el nivel de compromisode los docentes no ha sido todo lo quenos hubiera gustado, sin desdeñar elingente trabajo de gran número de per-sonas a costa, como ya se sabe, de sutiempo y otras ocupaciones.

Si la valoración debiera hacerse encuanto al número de nuevas altas surgi-das en nuestra Sociedad, «A prima»,podríamos decir que no ha trascendidodemasiado, pues no se ha producidoninguna. Sin embargo, seamos optimis-tas y veámoslo desde el punto de vistade que no ha habido bajas.

Quisiera concluir poniendo de mani-fiesto la enorme satisfacción que paratodos los matemáticos y matemáticassupuso encontrarnos en la portada deldiario La Rioja del tres de enero de2001 la noticia de que Julio Rey Pastorhabía sido elegido como riojano másrelevante del siglo XX.Javier Galarreta

Presidente de la SociedadRiojana de Profesores

de Matemáticas «A Prima»

46

…la noticiade que JulioRey Pastorhabía sido

elegidocomo riojanomás relevantedel siglo XX.

N EL VERANO del 99, a través de la revista Suma, nosenteramos que este año 2000 había sido declarado por laUNESCO Año Mundial de las Matemáticas.

Desde ese primer momento tuvimos la sensación de queno podíamos dejar pasar la ocasión de aportar nuestro gra-nito de arena a la celebración de tal evento.

Los primeros pasos

Llegó septiembre y en una de las primeras reuniones delDepartamento, nos planteamos la posibilidad de organizaruna semana dedicada a las Matemáticas. Posteriormentefuimos diseñando lo que sería el programa de actividades.

El siguiente paso fue presentar nuestra iniciativa en la reu-nión semanal de la Comisión de Coordinación Pedagógica.Todavía recordamos aquella reunión a mediados de octu-bre cuando la mayoría de los departamentos apoyaronnuestro proyecto y aportaron nuevas sugerencias. Inclusohubo un momento en que nuestro director dijo: «¡¡Bastaya!!, va a ser materialmente imposible, en una semana, darcabida a tanta actividad».

Esta actitud tan positiva por parte de los compañeros nosdio un gran impulso para empezar a organizar nuestraSemana de las Matemáticas.

Primeramente fuimos contactando con los diferentes jefesde Departamento para concretar cada una de las activida-des que íbamos a realizar de forma conjunta. Igualmenteinformamos a la Asociación de Padres de Alumnos delCentro y a entidades públicas y privadas de nuestras inten-ciones, solicitando su colaboración a través de subvencio-nes económicas y aportación de material para las exposi-ciones que se iban a realizar.

Con motivo de ladeclaración, por la

UNESCO, del año 2000como Año Mundial de lasMatemáticas, decidimos ennuestro Centro, el IES n.° 3de San Javier en Murcia,organizar una Semana delas Matemáticas, con la

programación de diferentesactividades como

Actividades Interdisciplinares,I Encuentros Matemáticos,

Obra de Teatro, Exposicionesy Conferencias.

47

2000, Año Mundialde las Matemáticas:una experiencia práctica

Rosario Baños, Antonia Garre,Juan Carlos Marco, Fco. Javier TomásAntonia Conesa, Salvador Escudero

ARTÍCULOS

E

37

junio 2001, pp. 47-53

A continuación, en el Departamento, elaboramos el plan deactuación teniendo como criterio prioritario el que la vidadel centro se alterara lo menos posible durante esa semana.Así algunas actividades interdisciplinares se llevarían a caboen la última franja horaria de la mañana, y la visita a lasexposiciones se realizaría, por los diferentes grupos, en unahora lectiva de Matemáticas acompañados por el profesorde área y otro del Departamento. Esta propuesta fue apro-bada en la Comisión de Coordinación Pedagógica, acor-dando que la Semana de las Matemáticas se celebrara del10 al 14 de abril, que coincidía con el final del segundo tri-mestre. Se elaboró un tríptico informativo para difundirloentre toda la comunidad educativa y el Municipio.

Del dicho al hecho

Las actividades desarrolladas fueron las siguientes (vertablas 1 a 9): Actividades interdisciplinares, I EncuentrosMatemáticos, Exposiciones y Conferencias.

Por su parte un grupo de profesores del Centro represen-tamos una versión teatral de la novela de Susana Mataixtitulada Matemática es nombre de mujer, donde se resaltala importancia que la mujer ha tenido en el mundo de lasmatemáticas, desde Hipatia hasta Emmy Noether pasandopor Madame de Châ telet, María Gaetana Agnesi, Sophie

Germain, Ada Lovelace, FlorenceNightingale y Sofía Kovalveskaya.

Además se organizó una exposición delibros antiguos gracias a la aportaciónde distintas librerías especializadas y departiculares que prestaron, de formadesinteresada, sus colecciones.

También contamos con una colección,bastante completa, de libros relacionados

48

Departamento

Tecnología

Inglés

Lengua

Plástica y Visual

Historia

Música

Religión

Matemáticas

Ciencias de la Naturaleza

Ciclo Formativo de Comercio

Actividad

Tableros inteligentes

Biografías de matemáticos ycómics

Concurso literario de poesíay prosa «Las Matemáticas ennuestras vidas»

Concurso de carteles

Historia de los números y elcalendario

Música y Matemáticas: ElCompás Canción de raptitulada «3 x 3»

El «7» número bíblico

Concurso de FotografíaMatemática

Naturaleza y Geometría

Taller del Euro

Nivel

2.° y 4.° de ESO,

1.°, 2.°, 3.° y 4.° de ESO yCiclos Formativos

1.°, 2.°, 3.° y 4.° de ESO yCiclos Formativos

3.° y 4.° de ESO

1.°, 2.°, 3.° y 4.° de ESO

2.° y 3.° de ESO

Profesor de área

1.°, 2.°, 3.° y 4.° de ESO

1.°, 2.° y 3.º de ESO

Ciclos Formativos

Núm. de alumnos

180

163

65

135

142

75

125

92

20

Tabla 1. Actividades Interdisciplinares

Foto 1. Exposición de trabajos realizadosen las actividades interdisciplinares

con aspectos recreativos y lúdicos de lasmatemáticas y de obras literarias en lasque se las relaciona con otras disciplinas

Se llevó a cabo otra exposición de ins-trumentos de medida tradicionales y deoficios, gracias a la colaboración delMuseo del Campo del Ayuntamiento deTorre Pacheco y de los propios alumnos,que aportaron todo tipo de piezas: cali-bradores de naranjas, legumbres; medi-das de capacidad de áridos (celemín,medio celemín, cuartillo, fanega,…); decapacidad de líquidos (cuartillo, cántara,arroba,…); unidades de peso (romanas,sistemas de pesas, balanzas,…); máqui-na clasificadora de huevos; distintostipos de relojes; vara de medición detelas; tablas de numeración de calzado;teodolito, etc. La exposición iba acom-pañada de paneles informativos sobre lahistoria de la medida, sirviendo comoreferente el trabajo realizado por la

Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas «EmmaCastelnuovo», como complemento de la Exposición sobreinstrumentos de medida tradicionales y de oficios celebra-da con ocasión de las VII Jornadas para el Aprendizaje yla Enseñanza de las Matemáticas (JAEM).

La visita a esta exposición contó con la inestimable ayudadel encargado de dicho Museo del Campo, el cual fueexplicando a todos los alumnos los pormenores de lamisma. También se pudo contemplar en la Sala deExposiciones los trabajos realizados por los alumnos en lasdiferentes áreas.

Otra actividad muy enriquecedora, en todos los aspectos,fue la organización de los I Encuentros Matemáticos, porparte de nuestro Departamento, en colaboración con losotros cinco IES de la zona.

49

Foto 2. Representación teatral de Matemática es nombrede mujer, de Susana Mataix

Foto 3. Exposición de libros

Foto 4. Exposición de aparatos de medida

Nuestro Departamento mantiene reuniones periódicas concompañeros de todos esos centros para tratar diferentestemas relacionados con nuestra labor docente, y fue en unade esas reuniones donde surgió la idea de celebrar una jor-nada de convivencia realizando pruebas en las que sefomentara el gusto por hacer Matemáticas, contribuyendo,de este modo, a la popularización de las mismas mediantela difusión de sus aspectos más lúdicos y recreativos. Eli-minamos el factor de competitividad entre centros forman-do equipos por niveles –Primer Ciclo, Segundo Ciclo yBachilleratos– de 6 alumnos, uno de cada centro; contan-do con la participación de 150 alumnos de ESO y Bachi-llerato. Cada uno de los seis centros implicados, se encar-gó de organizar una de las siguientes actividades: Mat-grams, cuestiones de ingenio, palillos marinos, el euro, «elpaso del río», estimación y medidas y fotografía matemáti-ca (ver tablas 2-8).

Cada una de estas actividades tenía una duración de 20minutos, organizándose simultáneamente, una GymkhanaMatemática donde cada grupo participante tenía queresolver las cuestiones planteadas para poder continuarcon la siguiente prueba.

La mañana de los Encuentros contamos con la presenciade un grupo de profesores y alumnos de la Facultad deMatemáticas que, enterados por la prensa de la celebra-ción de nuestra Semana, nos pidieron estar presentes en eldesarrollo de la jornada como observadores. Ante la buenaimpresión que les causó la misma, la mencionada

Facultad, que celebra este año su 25.°aniversario, va a organizar diversosactos, entre los que destaca una gymk-hana matemática a la que hemos sidoinvitados junto con otros IES de laregión.

50

Actividad

Matgram

(Propuesta por el I.E.S. «N.º 3», de San Javier y elI.E.S. «Menarguez Costa», de Los Alcázares)

Reglas:

Basado en el Tangram chino, está formado por sietepiezas, en cuyos lados hay conceptos matemáticos.

Busca la solución que se te indica siguiendo lassiguientes reglas

• En los lados de las piezas figuran problemas ysoluciones. Resuelve los problemas y une cadauno con su solución.

• Si un lado de una pieza tiene dos conceptosmatemáticos a relacionar, es que correspondeunirle dos piezas.

• No a todos los lados que tienen conceptos a rela-cionar, les corresponde una pieza.

• Debéis presentar la actividad con la figura mon-tada así como todos los pasos realizados pararesolver los problemas propuestos.

Ejemplo

Segundo Ciclo

Solución

Pista: has de unir los lados de formaque coincidan los números con elresultado de las operaciones.

Foto 5. Grupo de alumnos siguiendo las explicacionesdel encargado del Museo del Campo de Torre Pacheco

1

12

3 2ÊËÁ

ˆ¯ 2

345

11Ê

ËÁˆ¯

◊ +-

45

201-◊

13

254

2 12ÊËÁ

ˆ¯

◊ÊËÁ

ˆ¯ 13

10

95

25

37

37

120

◊ÊËÁ

ˆ¯

Ê

ËÁÁ

ˆ

¯˜˜

-

25518

1

16625

4 13

12

12

12

4 12

3

ÊËÁ

ˆ¯

◊ÊËÁ

ˆ¯

◊ -

25

2536

12

◊ÊËÁ

ˆ¯

Fuente: Matgram, Editex S. A., Madrid

Foto 6. Celebración de los Encuentros matemáticos:realizando una actividad titulada «Palillos marinos»

Tabla 2

51

Actividad

Cuestiones de ingenio

(Propuesta por el IES «Mar Menor», de San Javier)

Ejemplo

Los discípulos de Einstein

Dos antiguos discípulos de Einstein se encuentran después devarios años sin verse. Uno de ellos se ha casado y tiene treshijos.

–¿Cuántos años tienen sus hijos? –-pregunta el soltero.

–Te diré que el producto de las edades de mis hijos es igual a36 –contesta el casado.

–¿Y la suma?

–El número de ese portal.

–Con todo me falta un dato.

–El que tiene más años toca el piano.

–Entonces ya sé qué edades tienen tus hijos.

–¿Qué edades tienen los hijos del discípulo de Einstein?

Fuente: I. Tejada

Tabla 3

Actividad

Palillos marinos

(Propuesta por el IES «Tárraga Escribano», de San Pedro delPinatar)

Coge ocho palillos y una aceituna, reproduce el pez de la figu-ra y partiendo de la misma realiza las siguientes operacionesmarítimo-matemáticas:

A) Cambiando de posición dos palillos y situando la aceitunadonde corresponda hay que conseguir que el pez nadehacia arriba.

B) Cambiando de posición tres palillos y situando la aceitunadonde corresponda, hay que conseguir que le pez nade ensentido contrario al de la figura.

Ejemplo

Tabla 4Actividad

El euro

(Propuesta por el IES N.° 3, de San Javier)

Descripción

• Cada grupo deberá elegir entre unos sobresdonde encontrará una ficha con 6 preciosen euros que corresponden a 6 artículos denuestra tienda.

• Una vez elegido el sobre deberá encontraraquellos productos que correspondan a esosprecios con la difiicultad de que en la tiendalos productos estarán con los precios enpesetas.

• Aquellos que logren localizar los productostendrán premio.

• No se permitirán calculadoras de ningúntipo, todos los cálculos se deben hacer men-talmente.

• El tipo de cambio para realizar los cálculosserá:1 EURO = 166 pesetas

Tabla 5 Foto 7. Taller del Euro

Por último, contamos con la colaboracióndel asesor del CPR de Villarrobledo(Albacete) Juan Emilio García Jiménez,que nos impartió dos conferencias, unapara los profesores titulada Tendenciasactuales de la Educación Matemática, yotra para los alumnos bajo el título de¿Matemáticas? Sí, gracias. 100 imágenesde las Matemáticas en el 2000, donderesaltó como las Matemáticas formanparte de nuestra vida cotidiana.

Los premios

Cada uno de los alumnos participantes enlos I Encuentros Matemáticos recibió unacamiseta grabada con el dibujo alusivo alAño Mundial de las Matemáticas, premia-do en el concurso Realiza un Cartel.Asimismo, recibieron un diploma acredi-tativo y sus centros respectivos un obse-quio conmemorativo de los Encuentros.

Las actividades que se convocaron en lamodalidad de concurso: Las Matemáticas

52

Actividad

El paso del río

(Propuesta por el IES «Ruiz de Alda», de San Javier)

Descripción

Sois tres monjes y tres caníbales que vais camino de lamisión. Os habéis encontrado un río, que tenéis que con-seguir cruzar los seis. Sólo dos personas caben en labarca. Los tres monjes sabéis remar, pero sólo un caníbalsabe hacerlo. En el momento en que, en alguna de las ori-llas del río, el número de caníbales supere al de monjes,éstos son devorados por aquéllos.

¿Cómo debéis hacer para atravesar los seis el río, sinsiquiera un mordisquito?

Los jueces estarán delante para ver cómo lo hacéis.

Cada error implica comenzar de nuevo.

¡Ánimo!

(Esta actividad fue escenificada)

Tabla 6

Actividad

Estimación y Medidas

(Propuesta por el IES «Gerardo Molina», de Torre Pacheco)

Descripción

A) Cumplir un encargo:

A petición de su madre, un hijo necesita medir un litrode naranjada para hace tortas de naranja. Su madre lecomunica que ha exprimido 2 litros y no tiene ningúnrecipiente que mida esa cantidad de un litro, pero sítiene otros recipientes que tienen capacidad de 1 litroy cuarto (1,25 litros) y 3/4 de litro (0,75 litros). Elhijo/a le dice a su madre que no se preocupe, ya quepuede medir exactamente 1 litro. Explica tú el procesopor el que lo consiguió.

(Para Segundo Ciclo de ESO y Bachillerato)

B) Estimar medidas:

a) Tienes un bote lleno de corchos de colores. ¿Cuántoshay?

b) Aquí tienes un melón. ¿Cuánto pesa aproximada-mente?

c) Al salir al patio te has encontrado un porche concolumnas. Calcula aproximadamente la distanciaentre la primera y la última columna.

(Para Primer Ciclo de ESO)

Tabla 7

Foto 8. Celebración de los Encuentros matemáticos:actividad titulada «El paso del río»

Actividad

Fotografía Matemática

(Propuesta por el IES N.° 3, de San Javier)

Descripción

Cada grupo deberá seleccionar cinco fotografías de laexposición y asignarle un lema o titulo. Se valorará su origi-nalidad y relación con los conceptos matemáticos tratados.

Tabla 8

A modo de conclusión

Aunque esta semana se organizó con motivo de ser decla-rado el 2000 Año Mundial de las Matemáticas, pensamosque es necesario continuar con la labor de seguir popula-rizándolas y acercándolas a los ciudadanos y, sobre todo,que nuestros alumnos sigan disfrutando con ellas, por esoanimamos a todos los centros que apoyen la iniciativa dela Federación Española de Sociedades de Profesores deMatemáticas, que ha declarado el 12 de mayo como Díaescolar de las Matemáticas.

En este día seguiremos consolidando las actividades desa-rrolladas en nuestra Semana que tan buenos resultadosnos han aportado a todos y que los alumnos han reivindi-cado, como así se refleja en sus comentarios, en la eva-luación que hemos llevado a cabo:

(…). En resumen, esta experiencia, que será difícil de olvidar alos que nos gustan las Matemáticas, no debe guardarse en el«baúl de los recuerdos», sino que debe seguir «explotándose»durante muchos años. (Alumno de 4.° de ESO)

(…) Cuando pensamos en las Matemáticas, siempre las relacio-namos con algo viejo, aburrido e inexplicable. Pero lasMatemáticas son como las personas: no hay que juzgarlas sinsaber cómo son por dentro. Aunque al principio (sinceramente)pensaba que iba a ser un poco aburrido, a medida que iba trans-curriendo la Semana, tenía menos gana de que acabara.(Alumna de 3.° de ESO)

Pero no sólo nuestros alumnos fueron los que disfrutaroncon las Matemáticas, también nuestros compañeros delClaustro estuvieron a la misma altura, y desde aquí quere-mos agradecerles todo el apoyo mostrado, así como lasfacilidades otorgadas por el Equipo Directivo tanto a nivelorganizativo como económico.

Por último, es preciso resaltar la difusión que ha tenidonuestra Semana gracias al interés mostrado por los dife-rentes medios de comunicación de la Región como losdiarios La Verdad y La Opinión de Murcia, la revista ElMunicipio de San Javier, distintas emisoras de Radio y elCentro Territoria de TVE de Murcia.

BibliografíaARGÜELLES, J. (1989): Historia de la matemática, Ediciones Akal,

Madrid.

FABRETTI, C. (1999): El libro del genio matemático, EdicionesMartínez Roca, Barcelona.

LLEDÓ, J. (1999): Calendarios y medidas del tiempo, AcentoEditorial, Madrid.

MATAIX, V. (1999): Matemática es nombre de mujer, EditorialRubes, Barcelona.

SOCIEDAD MADRILEÑA DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS«EMMA CASTELNUOVO» (1995): Medidas tradicionales y deoficios. Guía Didáctica, Centro de desarrollo curricular delMEC y SMPM «Emma Castelnuovo», Madrid.

TEJADA, I.: 100 problemas para pensar (un poco), Tikal Edi-ciones, Barcelona.

Rosario BañosAntonia Garre

Juan Carlos MarcoFco. Javier TomásAntonia Conesa

Salvador EscuderoIES N.° 3

San Javier (Murcia)

53

Actividad

Gymkhana Matemática

(Propuesta por el IES «Ruiz de Alda», de San Javier)

Ejemplo

Leed con cuidado todas las instrucciones:

Todos debéis dirigiros al Salón de Actos, pero… No olvi-déis llegar allí con una piedra que pese medio kilo, y conel siguiente acertijo resuelto:

«Si tú me das una cabra tendremos los dos las mismas,pero si yo te la doy a ti tú tendrás el doble»

¿Cuántas cabras tendremos cada uno?

Respuesta .................

No olvides, al presentarte al control, cantar con ritmo de«corazón partío» la siguiente letra:

Pitágoras, ¿dónde te has ido?Me has dejado er triángulo partíoSi tú no vuelves yaLa hipotenusa se nos muere y más…¡Ay! Cateto mío,me has dejao el triángulo partíoPitágoras vuelve yaque tengo el corazón partío

(Se valorará la gracia y la entonación de vuestro melódicocanto).

Tabla 9

Foto 9. Conferencia a cargode Juan Emilio García Jiménez

en nuestras vidas, Realiza un cartel, losTableros inteligentes y la Fotografía mate-mática y los equipos ganadores de los IEncuentros Matemáticos tuvieron comopremio lotes de libros y cheques regalopara canjear por material didáctico, quefueron entregados en la jornada de clau-sura de la Semana.

PESAR DE QUE LOS PROBLEMAS verbales juegan un papeldeterminante en el aprendizaje de las matemáticas y en par-ticular en la adquisición de la adición y sustracción, losniños topan con numerosas dificultades a la hora de tradu-cir el enunciado verbal en formas de cómputo efectivas.Comprender un problema implica la capacidad de construira partir del texto verbal una representación conceptualapropiada o modelo del problema, que a su vez permitaseleccionar la operación matemática correspondiente. Aeste respecto, las investigaciones (por ejemplo, Bermejo yRodríguez, 1990; Carpenter, 1981; Carpenter y Moser, 1982;De Corte, Verschaffel y Pauwels, 1990) han puesto de mani-fiesto que la estructura semántica, entendida como el tipode relaciones entre las cantidades, resulta responsable delcomportamiento diferencial de los niños en las distintassituaciones de adición y sustracción. De ahí, que se hayanelaborado clasificaciones de los problemas atendiendo aesta dimensión (Heller y Greeno, 1978; Vergnaud, 1982;Carpenter y Moser, 1982; Fuson, 1992; Bermejo, Lago,Rodríguez, Dopico, Lozano y Pintos, 1995-1997), que seconcreta en tres tipos: cambio, combinación y comparación.Estos problemas difieren, en términos generales, en quedescriben situaciones dinámicas (es decir, cambio) o estáti-cas (es decir, combinación y comparación). En esta ocasión,nos ocuparemos únicamente de los problemas de compa-ración, ya que son los más difíciles de resolver por parte delos niños (por ejemplo, Bermejo, Lago y Rodríguez, 1998;Fuson, Carroll y Landis, 1996; Mwangi y Sweller, 1998) yconstituyen el eje central de nuestro trabajo empírico.

Los problemas de comparación presentan dos cantidadesque se comparan entre sí para determinar la diferenciaentre ellas, o bien para averiguar una de las cantidadesconociendo la otra y la diferencia entre ellas (por ejemplo,«Ana tiene 3 muñecas y Eva tiene 2 más que ella. ¿Cuántasmuñecas tiene Eva?»).

Un dato ampliamenteconstatado se refiere a que los

problemas verbales decomparación resultan más

difíciles para los niños que lasrestantes categorías deproblemas de adición ysustracción. En nuestro

estudio, partiendo del trabajopionero de Hudson, noshemos centrado en lareformulación de los

enunciados correspondientesa estos problemas. Nuestroobjetivo era mostrar que losefectos beneficiosos de la

reformulación no se debíansolamente al hecho de facilitar

la puesta en marcha de laestrategia de emparejamiento,sino que podrían manifestarse

también otros procesos decuantificación. Para ello,

cuarenta niños de 2.° de EI y1.° de EP resolvieron

problemas reformulados ytradicionales, con y sin

dibujos y con cantidades noperceptivas. Los resultados

demostraron que losproblemas reformulados

mejoraban la comprensión delas relaciones entre las

cantidades del problema,permitiendo la aplicación delos procesos de cuantificaciónya conocidos por los niños.

55

La reformulación de los enunciadosdel problema: un estudio sobrelas variables que inciden en el éxitoinfantil en los problemas de comparación

M. O. Lago, P. Rodríguez,C. Dopico, M. J. Lozano

ARTÍCULOS

A

37

junio 2001, pp. 55-62

Se han considerado varios factores para explicar el fraca-so en este tipo de problema. Uno de ellos alude a la com-plejidad para interpretar los términos más que y menosque. En segundo lugar, también se ha sugerido que losproblemas de comparación representan situaciones estáti-cas, relacionales (es decir, un conjunto se define en fun-ción de otro) en las que la tercera cantidad no figura en lasituación, sino que ha de derivarse de la comparación. Eneste sentido, afirman Nunes y Bryant (1996) que la cone-xión entre la situación del problema y la operación sobrelos objetos simbólicos que permiten la solución no pareceevidente por no haberse producido ninguna acción.

Finalmente, también puede ocurrir que la operación arit-mética resulte inconsistente con la sentencia relacional,teniendo los niños que reorganizar la información y resol-ver el problema según un esquema de lenguaje consisten-te (por ejemplo, Lewis y Mayer, 1987; Verschaffel, 1994).

A fin de superar las dificultades inherentes a estos proble-mas, se han desarrollado diversas líneas de investigación,que podemos agrupar en cuatro perspectivas:

1. el entrenamiento en las habilidades de representación(por ejemplo, Willis y Fuson, 1988; Lewis, 1989);

2. el registro del movimiento de los ojos para examinarla influencia de la estructura semántica en los patronesde tiempo de fijación visual (De Corte, Verschaffel yPauwels, 1990; Verschaffel, De Corte y Pauwels, 1992);

3. el análisis de las habilidades componentes necesariaspara operar sobre la información numérica contenidaen las sentencias relacionales (Bermejo, Lago yRodríguez, 1994)

4. la reformulación de los enunciados de los problemas(por ejemplo, De Corte, Verscheffel y De Win, 1985;Hudson, 1983).

Destacaremos especialmente esta última porque resultamás próxima a nuestros objetivos de investigación. A esterespecto, un trabajo temprano de Hudson (1983) demostróque los problemas de comparación reformulados (es decir,«Imagina que todos los pájaros corrieran y cada uno inten-tara coger un gusano, ¿cogerá cada pájaro un gusano?…¿cuántos pájaros se quedarán sin gusano?») resultaban mássencillos para los niños que los problemas sin reformular(es decir, «¿cuántos pájaros hay más que gusanos?»).

Una de las críticas que frecuentemente se hace al trabajode Hudson es que la propia formulación de la pregunta(es decir, «¿cuántos pájaros se quedarán sin gusano?»)sugiere la estrategia de resolución, es decir, el empareja-miento. En efecto, Nunes y Bryant (1996) indican que losniños utilizan la correspondencia uno-a-uno para construirconjuntos equivalentes, bien a través de la corresponden-cia directa (es decir, a través de parejas de objetos), bienmediante el procedimiento de contar cada conjunto hastaobtener el mismo número en ambos. Por su parte,

Okamoto (1996) señala que las diversasformas lingüísticas que pueden adoptarlos problemas de comparación suponendiferentes situaciones para los niños,propiciando la construcción de repre-sentaciones distintas, que demandanconocimientos matemáticos diferentes.Así, atribuye el éxito de los sujetos deHudson en los problemas reformuladosa la comprensión conceptual de lacorrespondencia uno-a-uno y explica elfracaso en los problemas tradicionalespor la carencia de conocimientos mate-máticos más elevados.

Por nuestra parte, confluimos conHudson en que la formulación de la pre-gunta producirá efectos beneficiosos enlos procesos de comprensión de losniños, pero no simplemente porque faci-lite la puesta en marcha de una estrate-gia de emparejamiento. Entendemos queen los problemas reformulados tambiénse manifestarán estrategias de conteo,que van más allá de la propuesta porNunes y Bryant. Nuestro planteamientose encuentra más cercano a los deBermejo y Lago (1991, 1993, 1994),Cowan, Foster y Al-Zubaidi (1993),Fuson (1988, 1992), entre otros, ya queestablecen diferentes procedimientos deconteo como contar todo, contar a partirde uno de los sumandos, etc. Por ello,introducimos algunas modificaciones enel trabajo de Hudson para esclarecer elposible efecto de diversos tipos derepresentación de las cantidades delproblema y del tamaño de las mismas.En este punto, conviene recordar que enla experiencia de Hudson las cantidadesmencionadas en el problema se repre-sentaban por medio de dibujos, concorrespondencias provocadas o espontá-neas, y que el tamaño de los conjuntosse refería siempre a cantidades percepti-vas (es decir, no superaban en ningúncaso la cifra 5). Desde nuestro punto devista, la presencia/ausencia de materia-les, así como el orden y tipo de materia-les, permitirá determinar con más preci-sión si es la mera formulación o el mate-rial que la acompaña la responsable delmejor rendimiento de los niños. En estesentido, intentaremos probar, en primerlugar, que el rendimiento de los niños

…introducimosalgunas

modificacionesen el trabajode Hudson

para esclarecerel posible

efectode diversos

tiposde representaciónde las cantidades

del problemay del tamaño

de las mismas.

56

resultará claramente superior en los pro-blemas en los que se utilice materialfrente a los que carezcan de él. Ensegundo lugar, la propia reformulacióndel problema influirá positivamente enel rendimiento de los sujetos en compa-ración con la formulación tradicional, alo largo de las diferentes situacionesexperimentales, siendo este efecto másnotable a medida que disminuye la edadde los sujetos. No obstante, esperamosque el éxito en las tareas reformuladassea mayor cuando los objetos están pre-sentes, principalmente en la condiciónen la que se presentan ordenados encorrespondencia uno-a-uno y sean desi-guales. Finalmente, creemos que la pro-puesta de cantidades no perceptivas per-mitirá delimitar si el éxito de los sujetosen el estudio de Hudson se debía altamaño de las cantidades, del mismomodo que favorecerá la presencia dediversas estrategias de conteo que vayanmás allá del emparejamiento.

Método

Sujetos

Participaron en la investigación un totalde 40 niños, alumnos de un colegio deenseñanza pública de la zona sur deMadrid. Las edades de los niños estabancomprendidas entre los 5-7 años deedad, distribuidos en dos grupos: 5-6años (M = 5 años y 7 meses) y de 6-7años (M = 6 años y 6 meses). El nivelsocioeconómico era medio-bajo.

Material y Procedimiento

El material estaba compuesto por 16láminas con objetos dibujados. En ochode ellas se presentaban dos conjuntos deobjetos en correspondencia uno-a-uno.Dentro de esta forma, los objetos podíanser desiguales (es decir, corresponden-cias provocadas: por ejemplo, conejos-zanahorias) o iguales (es decir, corres-pondencias espontáneas: por ejemplo,globos-globos). En las ocho láminas res-tantes se incluían dos conjuntos de obje-tos distribuidos de manera desordenada.Asimismo, como en las láminas anterio-

res, los objetos podían ser desiguales o iguales. En síntesisy dado que también se mostraban variaciones en la formu-lación de los problemas (es decir, reformulados y tradicio-nales), se presentan a los niños, en el caso de los reformu-lados, 2 pares de conjuntos con objetos iguales (es decir, 6-9 plátanos y 5-8 muñecos) y 2 pares de conjuntos con obje-tos desiguales (es decir, 7 zanahorias-10 conejos y 6 balo-nes-10 niños). Los conjuntos asignados a la formulación tra-dicional comprendieron igualmente 2 pares de conjuntoscon objetos idénticos (es decir, 5-9 bombones y 8-10 libre-tas) y 2 pares de conjuntos con objetos distintos (es decir, 6lápices-8 libretas y 7 palas-9 rastrillos). Además, se incluye-ron 4 problemas caracterizados por la ausencia de material:dos correspondientes a la formulación tradicional y conreferentes desiguales/iguales y otros dos reformulados tam-bién con referentes desiguales/iguales.

Respecto al tamaño de los conjuntos, seleccionamos canti-dades intermedias que estaban comprendidas entre el 5 yel 10, siendo la diferencia entre los conjuntos de 2, 3 o 4.

En cuanto al orden de resolución de las tareas, se presen-taron en primer lugar aquellas en las que no había objetosy a continuación las tareas con objetos, a fin de evitar uneventual aprendizaje derivado de estas últimas. Además,en uno y otro caso se extrajo un orden al azar, que semantuvo constante para todos los sujetos.

Análisis y discusión de resultados

El ANOVA mixto 2 (Grupo: 2.° E.I vs. 1.° E.P) x 2 (Material:Ausencia vs. Presencia) x 2 (Problema: Reformulado vs.Tradicional) con medidas repetidas en los dos últimos fac-tores, llevado a cabo con el programa SPSS, indicó queeran significativos los efectos principales de los factores:Material (Ausencia/Presencia) [F1,38 = 62,29, p < 0,05] yProblema (Reformulado/Tradicional) [F1,38 = 34,76,p < 0,05]. Además, en este análisis se pudo observar quealcanzaba la significatividad la interacción Material xProblema [F1,38 = 55,98, p < 0,05].

Como se desprende de la tabla 1, conforme a nuestrahipótesis hemos constatado que el rendimiento resultósuperior en los problemas en los que se utilizaba materialfrente a los que carecían de él. La presencia del materialfacilitaba el proceso de representación de la tarea condu-ciendo a una mejora del éxito infantil (por ejemplo,Bermejo y Lago, 1988; Bermejo, Lago y Rodríguez, 1994;Carpenter y Moser, 1982). Del mismo modo, los problemasreformulados influyeron positivamente sobre el rendi-miento de los sujetos, resultando superior el número derespuestas correctas frente a los tradicionales.

No obstante, la interacción Material x Problema permitiómatizar estos datos, en el sentido de que la presencia de

Participaronen la investigación

un totalde 40 niños,

alumnosde un colegiode enseñanza

públicade la zona

sur de Madrid.Las edadesde los niños

estabancomprendidas

entrelos 5-7 años

de edad,distribuidos

en dos grupos…

57

Con Dibujo Sin Dibujo

Reformulado Tradicional Reformulado Tradicional

2.° Educación Infantil 1,14 0,31 0,15 0,15(0,73) (0,65) (0,49) (0,49)

1.° Educación Primaria 1,04 0,15 0,30 0,15(0,63) (0,46) (0,47) (0,49)

Puntuación máxima posible = 2

material sólo parece mejorar el rendimiento de los sujetos enlos problemas reformulados. Desde nuestro punto de vista yde acuerdo con otros autores (por ejemplo, De Corte,Verschaffel y De Win, 1985; Nunes y Bryant, 1996), paracuantificar la diferencia entre los conjuntos en los problemasde comparación es necesario vincular una acción sobre losobjetos con la situación que se describe en la pregunta. Estoes precisamente lo que ocurre en los problemas reformula-dos, ya que la pregunta se reformula en términos dinámicos(por ejemplo, ¿cuántas abejas se quedarán sin flor?).

Por último, cabe destacar que no se encontraron diferen-cias significativas entre los grupos a lo largo de las dife-rentes situaciones experimentales.

Un segundo análisis de varianza mixto 2 (Grupo: 2.° E.I. vs1.° E.P) x 2 (Problema: Reformulado vs. Tradicional) x 2(Orden: Correspondencia uno-a-uno vs. Desordenados) x 2(Objetos: Objetos Iguales vs. Objetos Desiguales) con medi-das repetidas en los tres últimos factores, realizado median-te el programa SPSS, indicó que eran significativos los efec-

tos principales de los factores Problema[F1,38 = 66,74, p < 0,05] y Orden[F1,38 = 24,54, p < 0,05]. Asimismo, dosinteracciones dobles resultaron significa-tivas. Por un lado, la interacciónProblema x Orden [F1,38 = 12,88,p < 0,05] , y por otro Problema x Objetos[F1,38 = 15,56, p < 0,05].

Los resultados de este segundo análisistambién pusieron de manifiesto que losproblemas reformulados alcanzabanmejores puntuaciones que los tradicio-nales. Igualmente evidenció que la dis-posición de los conjuntos en correspon-dencia uno-a-uno repercutía favorable-mente en los niveles de ejecución, enambas categorías de problemas.

El análisis de las interacciones permitióconcluir, en primer lugar, que tanto enlos problemas reformulados como enlos tradicionales se elevó el rendimientocuando los conjuntos de objetos eranpresentados en correspondencia uno-a-uno, aunque la mejora afectó sustancial-mente a los primeros. En segundo lugar,cuando los objetos fueron desiguales elnúmero de respuestas correctas en losproblemas reformulados fue mayor quecuando eran idénticos, dándose la situa-ción contraria en los problemas tradi-cionales. Desde nuestro punto de vista,este dato podría guardar relación con ladiferencia entre la correspondencia pro-

…los problemasreformuladosalcanzaban

mejorespuntuaciones

quelos tradicionales.

58

Tabla 1. Medias y desviaciones típicas, entre paréntesis,de las respuestas correctas

Tradicional Reformulados

Correspondencia 1-a-1 Desordenados Correspondencia 1-a-1 Desordenados

Objetos idénticos

2.° Educación Infantil 0,45 0,25 1,30 0,75(0,83) (0,64) (0,98) (0,97)

1.° Educación Primaria 0,25 0.10 1.05 0,65(0,64) (0.45) (0.94) (0,81)

Objetos desiguales

2.° Educación Infantil 0,25 0,30 1,50 1,00(0,64) (0,73) (0,76) (0,97)

1.° Educación Primaria 0,15 0,10 1,55 0,90(0,49) (0,45) (0,69) (0,91)

Puntuación máxima = 2

Tabla 2. Medias y desviaciones típicas, entre paréntesis,de las respuestas correctas en la situación con Material

vocada en el caso de los objetos desi-guales y la correspondencia espontáneacuando se trata de objetos iguales. Apartir de los trabajos de Piaget ySzeminska (1941), un dato sobradamen-te comprobado, es que la correspon-dencia provocada es más precoz que laespontánea. Sin embargo, el hecho deque en los problemas tradicionalesobservemos el fenómeno inverso sepuede atribuir a un conflicto entre elmodo espontáneo de abordar la resolu-ción del problema (es decir, estrategiasde conteo) y la estrategia sugerida porla presencia de los conjuntos desiguales(es decir, el emparejamiento), comoquedará patente en el análisis de losprocedimientos de resolución.

En conclusión, no parece ser únicamen-te el material per se el que influyó sobrelas respuestas de los sujetos, sino tam-bién el tipo de problema. En este mismosentido, la ausencia de interacción signi-ficativa Orden x Objetos la interpretamoscomo una evidencia más de la prepon-derancia del tipo de problema sobrecualquier otro factor. En efecto, enambos grupos de edad no se observóuna mejora sustancial en los problemastradicionales cuando el material se halla-ba presente. Además, la mejora en losproblemas reformulados con objetostuvo lugar no sólo cuando se disponían

en orden, sino también cuando aparecían desordenados yla estrategia de emparejamiento no resultaba tan evidente.

Los procedimientosde resolución

En cuanto a los procedimientos de resolución en los pro-blemas tradicionales sin dibujos, los niños de 2.° de EI y1.° de EP utilizaron mayoritariamente la estrategia correc-ta consistente en contar desde el término menor hastaalcanzar el mayor (es decir, CMM). Cuando estos mismosproblemas se presentaron con material, el procedimientoCMM también fue predominante en las pruebas donde losobjetos no estaban en orden, tanto con objetos igualescomo desiguales. En las situaciones de correspondenciauno-a-uno, los alumnos optaron por una estrategia deemparejamiento, de modo que la respuesta resulta de con-tar los objetos que no tienen su elemento correspondien-te en el otro conjunto.

En los reformulados sin dibujos, ambos grupos de edadrecurrieron a estrategias de conteo, bien sea contandodesde el término mayor al menor (es decir, CMM), biencontando el conjunto menor dentro del mayor paradeterminar «los que sobran» (es decir, CIM). Además, enel grupo de los mayores también se manifestaron algunasrespuestas memorísticas y de descomposición (es decir,Otros). En presencia de los dibujos, las estrategias basa-das en el emparejamiento predominaron, en ambos gru-pos de edad, en las situaciones de correspondencia uno-a-uno, principalmente cuando los objetos eran desigua-les. Sin embargo, cuando los objetos no estaban dis-puestos en orden los niños recurrieron a las de conteo(es decir, CIM y CMM).

…no parece serúnicamenteel material

per se el que influyó

sobrelas respuestasde los sujetos,sino también

el tipode problema.

59

Sin dibujos Con dibujos

C1-1-IG C1-1-DG D-IG D-DG

Ref. Trad. Ref. Trad. Ref. Trad. Ref. Trad. Ref. Trad.

Emparejamiento 2.° EI — — 40 12,5 52,5 7,5 2,5 2,5 12,5 —1.° EP — — 35 12,5 70 5 10 — 20 —

CIM 2.° EI 2,5 — 15 — 17,5 — 20 — 27,5 51.° EP 10 — 12,5 — 5 — 17,5 — 15 —

CMM 2.° EI 5 7,5 10 7,5 5 2,5 12,5 7,5 10 7,51.° EP 2,5 2,5 — — — 2,5 2,5 5 5 5

Otros 2.° EI — — — 2,5 — 2,5 2,5 2,5 — 2,51.° EP 5 5 5 — 2,5 — 2,5 — 5 —

Ref.: Problemas reformulados; Trad.: Problemas tradicionales; C1-1: Objetos dispuestos en correspondencia uno-a-uno; D: Objetos dispuestos sinorden; IG: Objetos iguales; DG: Objetos desiguales

Tabla 3. Porcentajes de ensayos correctos en las diferentes tareas

En general, teniendo en cuenta los datos obtenidos en elpresente trabajo, no parece sostenerse la crítica que habi-tualmente se realiza al trabajo de Hudson (1983) respectoa que la propia reformulación de la pregunta sugiera alniño la estrategia de resolución, es decir, el empareja-miento. En efecto, como hemos podido comprobar, en losproblemas reformulados sin dibujos la presencia de estra-tegias de emparejamiento fue nula. Por tanto, no es posi-ble afirmar que la reformulación en sí misma impliquenecesariamente el emparejamiento, siendo, además, quelas estrategias basadas en el conteo fueron mayoritarias enlos problemas reformulados con dibujos, que no se pre-sentaban en correspondencia uno-a-uno.

Ahora bien, las estrategias de conteo dependen del mode-lado de los conjuntos del problema y de ahí, su prolife-ración y elevados niveles de éxito en las situaciones condibujos. De hecho, la presencia de estas estrategias deconteo denota, a nuestro juicio, una elevada comprensiónmatemática, ya que reiteradamente se ha encontrado queniños de edades semejantes a nuestros sujetos las usanespontáneamente para comparar dos conjuntos (porejemplo, Bermejo y Lago, 1991; Fuson, 1988). Opinamos,en contra de lo mantenido por Nunes y Bryant (1996),que no constituyen procedimientos de resolución especí-ficos de este tipo de problemas, ni en su vertiente tradi-cional ni en su vertiente reformulada, sino procesos conpotencial para ser empleados en un amplio rango desituaciones. Por ejemplo, en las distintas categorías deproblemas verbales (es decir, cambio, combinación, com-

paración e igualación), tal como se ha

podido observar en numerosas investi-

gaciones (por ejemplo, Bermejo y

Rodríguez, 1990; Carpenter y Moser,

1984; De Corte, Verschaffel y Pauwels,

1990; Fuson y Willis, 1996; Verschaffel y

De Corte, 1997).

Con respecto a los errores, cuando se

formularon los problemas tradicionales

sin dibujos, los más comunes, en

ambos grupos de edad, consistieron en

responder con una de las cantidades

del enunciado o los derivados de no

cuantificar numéricamente la diferencia.

En este último caso respondían: «no

todas las abejas tienen flor... pero no sé

cuantas abejas no tiene flor». Con dibu-

jos, el error más frecuente, en ambos

grupos de edad y tanto con objetos

ordenados como desordenados, ha

consistido en repetir una de las canti-

dades del problema. Igualmente, desta-

caron los errores perceptivos en el

grupo de los pequeños cuando los

objetos son iguales y no están en

orden. En este caso respondían: «hay

más niños... porque son más niños en

el dibujo».

…no parecesostenerse

la crítica quehabitualmente

se realizaal trabajo

de Hudson (1983)respecto a

que la propiareformulaciónde la pregunta

sugieraal niño

la estrategiade resolución,

es decir, elemparejamiento.

60

Sin dibujos Con dibujos

C1-1-IG C1-1-DG D-IG D-DG

Ref. Trad. Ref. Trad. Ref. Trad. Ref. Trad. Ref. Trad.

Cantidad 2.° EI — 70 7,5 72,5 — 70 10 50 — 67,5del enunciado 1.° EP 5 57,5 5 77,5 — 75 — 80 — 82,5

Correspondencia 2.° EI — — — — 5 — — 2,5 10 —uno-a-uno 1.° EP — — 2,5 — 7,5 — — — 22,5 —

Perceptivos 2.° EI — — — — 10 5 10 30 — 101.° EP 12,5 — — 5 7,5 5 15 12,5 10 10

No responde 2.° EI 55 17,5 10 5 10 12,5 20 5 27,5 7,51.° EP 25 20 5 5 — 7,5 12,5 2,5 5 —

Respuesta 2.° EI 20 2,5 12,5 — — — 12,5 — 7,5 —al azar 1.° EP 17,5 15 30 — 5 5 27,5 — 12,5 —

Otros 2.° EI 17,5 2,5 5 — — — 10 — 5 —1.° EP 22,5 — 5 — 2,5 — 12,5 — 5 2, 5

Ref,: Problemas reformulados; Trad,: Problemas tradicionales; C1-1: Objetos dispuestos en correspondencia uno-a-uno; D: Objetos dispuestos sinorden; IG: Objetos iguales; DG: Objetos desiguales

Tabla 4. Porcentajes de errores en las diferentes tareas

En los problemas reformulados sin

dibujos, las respuestas incorrectas fue-ron debidas, en el grupo de EI a que nocuantificaban numéricamente la dife-rencia, mientras que los de EP cometie-ron este mismo error, así como «otros»en los que, por ejemplo, afirmaban queambos conjuntos resultaban equivalen-tes. Con dibujos, en correspondenciauno-a-uno, los errores resultaron pocorelevantes. Fueron debidos a la nocuantificación del resultado o al azarcon objetos iguales, y perceptivos conobjetos desiguales. En las situacionesde no correspondencia, se mantuvouna pauta similar de resultados. Así,con objetos iguales sobresalieron loserrores en los que no se cuantificónuméricamente la diferencia, los per-ceptivos y las respuestas al azar. Conobjetos desiguales, destacaremos elerror que se produce en los niños de EPcuando recurren al emparejamiento.

En suma, el error más sobresaliente enlos problemas tradicionales a lo largode las distintas situaciones experimen-tales, consistió en responder con unade las cantidades del enunciado, quese corresponde con el que normal-mente se menciona en los problemasde comparación (por ejemplo,Bermejo y Rodríguez, 1990; Cummins,1991). Por tanto, la mera presencia delmaterial no resulta suficiente para evi-tar este tipo de error en los problemastradicionales, sino que parece necesa-ria su reformulación.

Esta clase de respuesta incorrecta hasido objeto de múltiples interpretacio-nes, por ejemplo, Okamoto (1996) con-sideró que los niños pequeños (entorno a los 6 años) construían redessemánticas en los problemas de compa-ración sólo parcialmente, de maneraque las construcciones «más que» y«menos que» se reducían a meros enun-ciados declarativos. En una línea muysemejante, Nunes y Bryant (1996) apun-taron que los niños comprendían el sig-nificado de «más» y «menos», es decir,podían establecer estas comparaciones,pero carecían de estrategias que les per-mitiesen cuantificar las diferencias.

Conclusiones

Desde los modelos recientes relacionados con la instruc-ción en matemáticas, se insiste en la importancia defomentar los procesos de comprensión, vinculando laenseñanza a las situaciones de la vida cotidiana. Una delas posibles maneras de abordar este objetivo consiste enfomentar el aprendizaje de las operaciones básicas a par-tir de los problemas verbales. No obstante, una de las difi-cultades de este planteamiento es que para los niños notodas las categorías de problemas son igual de asequibles.En la presente investigación hemos analizado el compor-tamiento de los niños de corta edad en la categoría deproblemas que les resulta más compleja, esto es, los pro-blemas de comparación. Los resultados demostraron quela reformulación de este tipo de problemas influyó posi-tivamente sobre el rendimiento de los niños. Los proble-mas reformulados mejoran la comprensión de las relacio-nes entre las cantidades del problema, permitiendo laaplicación de los procesos de cuantificación ya conocidospor los niños. Asimismo, en contra de lo habitualmentedefendido por algunos autores, respecto a que la presen-cia del material y la propia reformulación de los proble-mas estándar lleven aparejadas estrategias primitivas,nuestros datos mostraron que estas condiciones promovíanla aparición de procedimientos de cuantificación máscomplejos, aunque todavía dependientes del modeladodirecto de las cantidades.

En definitiva, hemos constatado que si las condicionesson favorables, es decir, si se reformulan los problemasmediante la dinamización de la pregunta y se empleanmateriales para representar las cantidades de los enun-ciados, mejora notablemente el rendimiento de losniños. Además, en estas condiciones explicitan procedi-mientos de cuantificación que apenas muestran de modoespontáneo.

Por consiguiente y desde la óptica instruccional, desdemuy temprana edad los niños pueden, bajo determinadascondiciones, llegar a comprender los problemas de com-paración, permitiendo así su aprendizaje simultáneo conlas restantes categorías de problemas.

Referencias bibliográficas BERMEJO, V. y P. RODRÍGUEZ (1990): «La operación de sumar»,

en V. BERMEJO: El niño y la aritmética, Paidós, Barcelona,107-140.

BERMEJO, V., M. O. LAGO y P. RODRÍGUEZ (1994): «Problemasverbales de comparación y comprensión de la relación com-parativa», Cognitiva, n.° 2 (6), 159-174.

BERMEJO, V., M. O. LAGO, P. RODRÍGUEZ, C. DOPICO, M.a J.LOZANO y Mª T. PINTOS (1995-1997): Intervención psicope-

En definitiva,hemos constatado

que silas condicionesson favorables,

es decir,si se reformulan

los problemasmediante

la dinamizaciónde la preguntay se emplean

materialespara representarlas cantidades

de los enunciados,mejora

notablementeel rendimientode los niños.

61

dagógica en el aula de matemáticas: Un programa instruc-cional para Primer Ciclo de Educación Primaria, Enviado alC.I.D.E.

CARPENTER, T. y J. MOSER (1984): «The acquisition of additionand subtraction concepts in grades one trough three», Journalfor Research in Mathematics Education, n.° 15, 179-202.

COWAN, R., C. FOSTER y A. AL-ZUBAIDI (1993): «Encouragingchildren to count», British Journal of DevelopmentalPsychology, n.° 11, 411-420.

CUMMINS, D. (1991): «Children´s interpretations of arithmeticword problems», Cognition and Instruction, n.° 8, 261-289.

DE CORTE, E., L. VERSCHAFFEL y A. PAUWELS (1990): «Influenceof the semantic structure of word problems on second grades’eye movements», Journal of Educational Psychology, n.° 82,359-365.

FUSON, K., W. M. CARROLL, y J. LANDIS (1996): «Levels in con-ceptualizing and solving addition and subtraction compareword problems», Cognition and Instruction, n.° 14(3), 345-371.

HUDSON, T. (1983): «Correspondences and numerical differencesbetween disjoint sets», Child Development, n.° 54, 84-90.

LEWIS, A. (1989): «Training students to represent arithmeticword problems», Journal of Educational Psychology, n.° 81,521-531.

LEWIS, A. y R. MAYER (1987): «Students’ miscomprehension ofrelational statements in arithmetic word problems», Journal ofEducational Psychology, n.° 79, 363-371.

MWANGI, W. y J. SWELLER (1998): «Learning to solve compareword problems: The effect of example format and genera-ting self-explanations», Cognition and instruction, n.° 16 (2),173-199.

NUNES, T. y P. BRYANT (1996): «Giving mea-ning to addition and subtraction», en T.NUNES y P. BRYANT (eds): Childrensdoing mathematics, Blackwell, 129-140.

NUNES, T. y BRYANT, p. (1996): «Beginingwith counting», en T. NUNES y P.BRYANT (eds.): Childrens doing mathe-matics (pp. 35-41): Blackwell.

OKAMOTO, Y. (1996): «Modeling children’sunderstanding of quantitative relations intext: A developmental perspective»,Cognition and Instruction, n.° 14(4),409-440.

PIAGET, J. y A. SZEMINSKA (1941): La gene-se du nombre chez l’enfant, Edition Dela-chaux et Niestlé, Neuchatel.

VERGNAUD, G. (1982): «A classification ofcognitive tasks and operations of thoughtinvolved in addition and substractionproblems», en T. CARPENTER, J. MOSERy T. ROMBERG (eds.): Addition and sub-traction: A cognitive perspective, Erl-baum, Hillsdale, 35-59.

VERSCHAFFEL, L. y E. DE CORTE (1997):«Word problems: A vehicle for promotingauthentic mathematical understandingand problem solving in the primary scho-ol?», en T. NUNES y P. BRYANT (eds.):Learning and teaching mathematics. AnInternational Perspective, PsychologyPress Publishers, Hove, 69-97

M. O. LagoP. RodríguezM. J. Lozano

Facultad de Psicología,Universidad Complutense

C. DopicoFacultad de Psicología,

Universidad San Pablo CEU

62

SUSCRIPCIONES

Particulares: 3.500 pts. (3 números)Centros: 5.000 pts. (3 números)Número suelto: 1.700 pts.

Revista SUMAICE Universidad de Zaragoza. c/ Pedro Cerbuna, 12. 50009 ZARAGOZA Fax: 976 76 13 45.E-mail: suma@public.ibercaja.es

Se ruega a los suscriptores y a los socios de la Federación que para cualquier comunicación sobreenvío de ejemplares atrasados, reclamaciones, suscripciones… se haga por correo, fax o mail.No se podrán atender este tipo de comunicaciones por teléfono.

N ESTE ARTÍCULO de carácter elemental, sobre la geome-tría métrica plana del triángulo, damos una propiedad delos triángulos isósceles. Así mismo, ofrecemos otras carac-terizaciones de los triángulos isósceles, que se puedenencontrar en la biblografía.

Los conceptos y resultados previos que se utilizan seenmarcan dentro de la Geometría y la Trigonometría ele-mental de la enseñanza actual, es decir: triángulos, seme-janza y trigonometría.

Todos estos ingredientes, junto con la imaginación, crea-ción e intuición matemática forman las claves esencialesde esta experiencia.

Resultados

Comenzamos esta sección dando un resultado clásicosobre los triángulos equiláteros, a través del siguiente:

Teorema 1

Dado un triángulo equilátero ABC, de lado a, en el quetomamos un punto arbitrario interior P, desde el cual setrazan las perpendiculares PD, PE y PF a los lados deltriángulo BC, CA y AB, respectivamente, se verifica que:

En este artículo se presentauna interesante propiedad de

los triángulos isósceles,usando como apoyo técnicasy propiedades de Geometría

básica.

63

Una propiedad del triánguloisósceles

Juan-Bosco Romero Márquez

ARTÍCULOS

E

37

junio 2001, pp. 63-66

kPD PE PF

BD CE AF= + +

+ +es constante.

Demostración

Véase la figura 1. Trazamos por el punto P tres rectas para-lelas a los lados del triángulo. Los tres triángulos que asíse forman son también equiláteros y la suma de sus ladoses igual al lado a del triángulo ABC.

tanto si ABC es un triángulo isósceles debase a = BC, se tiene que: A + 2B = 180°.

Sean AB = AC = b, D = ángulo determi-nado por los segmentos AK = k yAH = h, siendo H el pie de la perpendi-cular trazada desde A, a la base BC.

i) Por todo lo dicho en el enunciadodel teorema, los tres triángulosAKM, AKN y AHK son rectángulosen los vértices M, N y K respectiva-mente, y tenemos que:

KM = k · sen(A/2 – D)KN = k · sen(A/2 + D)

h = AH = AK·cosD = k·cosDcosB = sen(A/2)= a/2b.

Sumando miembro a miembro lasfórmulas de [1] y teniendo en cuenta[2], y que A + 2B = 180°, llegamos a:

KM + KN =k·sen(A/2 – D) + k ·sen(A/2 + D) =k·sen(90 – B – D) + k·sen(90 – B + D) =

k[cos(B + D) + cos(B – D)] == k·2cosB·cosD =2·cosB.(k·cosD) == 2·a/2b·h = ah/b [3]

expresión que sólo depende de loslados a y b del triángulo, que es loque queríamos demostrar.

ii) De la misma forma para los triángu-los rectángulos MPK, NQK en los vér-tices P y Q, respectivamente, tene-mos:

MP = KM·sen(A/2)NQ = KN sen(A/2).

Sumando miembro a miembro lasdos expresiones de [4] y teniendoen cuenta i) obtenemos:

MP + NQ =KM·sen(A/2) + KN sen(A/2) =

(KM + KN)·sen(A/2) =(ah/b)·(a/2b) = ha2/2b2 [5]

Por consiguiente, la suma de las tres alturas es igual a laaltura h del triángulo ABC, por lo tanto:

64

B

A J E I C

D

H

G

z

yx

L

F

K

a = x + y + z

Figura 1

Por otra parte, la suma BD + CE + AF es igual a la sumade los lados de los tres triángulos trazados más la suma delas mitades de estos lados, o sea de todos los triángulosindicados en la figura 1 deducimos que:

x + y + z = a, BD =x + z/2, CE =z + y/2,AF = y + x/2; BD + CE + AF = (3/2) a.

Por tanto, al sustituir todo lo anterior en k, obtenemos que

De otra parte, en Clemens, O'Daffer y Cooney, encontra-mos un método de solución de este problema para demos-trarlo como una técnica más de resolver problemas enmatemáticas: utilizando para ello, la prueba del mismo enlos casos particulares según sea la posición del punto P,en el triángulo equilátero dado.

k = 1 3

Conjetura 1. ¿Es cierto el recíproco de este teorema?

A

B CPQK

H

D

M

N

h k

a = BCb = AB = AC

B = C

Figura 2

PD PE PF h a+ + = = ◊ sen 0 = a

36

2

Teorema 2

Sea ABC un triángulo isósceles. Si K es un punto cual-quiera interior a la base BC, y si M, N son los puntos pro-yección perpendicular de K sobre los lados AB y AC, res-pectivamente y, sean P y Q las proyecciones perpendicu-lares de M y N sobre el lado BC, entonces se verifican:

i) KM + KN es constante;

ii) MP + NQ es constante.

Demostración

En todo lo que sigue ver la figura 2. Los ángulos del trián-gulo se denotan de la misma forma que sus vértices. Por

P

[1]

[2]

[4]

Observaciones y comentarios

1. Es evidente que las dos propieda-

des i) y ii) son equivalentes ya que

los cálculos algebraicos efectuados

son reversibles.

2. ¿Qué valor toman las dos relaciones

i) y ii) para el caso de los triángulos

equiláteros y rectángulos?

3. Se puede probar que las relaciones

i) no se verifica para los triángulos

rectángulos no isósceles, aunque sí

es cierto ii).

4. En Mitrinovic, Pecaric y Volonec

(1989), aparecen los dos teoremas an-

teriores propuestos como problemas.

Vamos a ensayar si, en cierto sentido, el

teorema 2 verifica el recíproco.

Sea ABC el triángulo arbitrario de lados

a, b y c, y denotamos por h y w, a la

altura y bisectriz correspondientes al

lado a. Sea 2p = a + b + c (perímetro), y

llamamos R al radio de la circunferencia

circunscrita al triángulo. Supongamos

que se verifica, para el punto H pie de

la altura sobre el lado BC = a, la rela-

ción dada en i). Esto es:

HM + HN = ah/b [6]

donde los puntos M y N son respectiva-

mente, las proyecciones perpendicula-

res de H sobre los lados AC = b y AB = c

(ver figura 3).

Si tenemos en cuenta la relación

65

A

CHKB

N

c

a

bh

w

Figura 3

h w

B C= -cos

2

h B C h

B C B Ch

R A

R Bcos cos cos cos+( ) = + ◊ - = ◊

◊2

2 2

2

2

sen

sen

[7]

entre la altura h y la bisectriz w, podemos poner:

Conjetura 2. En las condiciones anteriores supongamos quepara el punto H, se verifica ii) del teorema 2. ¿De qué tipodel triángulo se trata?

2

180

2 2cos cos

-ÊËÁ

ˆ¯◊ - =A B C A

B

sen

sen

2

22

2 2◊ ◊ ◊ = ◊ ◊sen sen cos

B - C

2sen

AB

A Acos

sen cos

B - C

2B

A◊ = cos2

h sen sen2◊ = ◊ = =

+B c B w

A bc

b c

Acos cos

2

2

22

Teniendo en cuenta las fórmulas del seno de un ángulo yseno del ángulo mitad en función del semiperímetro y delos lados a, b, y c. Después de operar y simplificar obte-nemos:

a2(b – c) = (b – c)2(b + c) [8].

Desde [8] tenemos dos posibilidades:

1. Si b = c, entonces el triángulo es isósceles; o

2. Si b es distinto de c tenemos

a2 = b2 – c2, b2 = a2 + c2

es decir, el triángulo es rectángulo en el ángulo B.

Distintas caracterizacionesde los triángulos isósceles

En todos los resultados que se proponen, ver los que sonequivalentes y los que admiten o no un recíproco:

1. Un triángulo isósceles es el que tiene dos lados iguales.

2. Un triángulo isósceles es el que tiene dos ángulos iguales.

3. Teorema de Lehmus-Steiner. Cualquier triángulo quetiene dos bisectrices iguales (medidas desde el vérti-ce a lado opuesto) es isósceles (ver Coxeter yGreitzer, 1993).

Utilizando que el cuadrado de la longitud de la bisec-triz correspondiente al vértice A viene dada por:

bca

b c1

2

-+

ÊËÁ

ˆ¯

Ê

ËÁÁ

ˆ

¯˜

de aquí obtener también una demostración directa del

Teorema de Lehmus-Steiner.

4. Demostrar que si en un triángulo se verifica la relación: COXETER H. S. M. y S. L. GREITZER (1993):Retorno a la Geometría, DLS-Euler,Editores.

CURCIO F. R. (1987): Teaching and learning:a problem, Solving focus, Reston.

EVES, H. (1967): Estudios de las Geometrías,vol. I, II, Uteha, Mexico.

GREITZER, S. (ed.) (1994): Olimpiadas Mate-máticas, DLS-Euler, Madrid.

GURSIATNIKOV, P. y S. REZNICHENKO:Álgebra vectorial con ejemplos y proble-mas, Mir Moscú.

HILBER, D. y S. COHN-VOSSEN (1952):Geometry and the imagination, Chelsea,New York.

HONSEBERGER R. (1994): El ingenio enMatemáticas, DLS-Euler, Madrid.

HONSEBERGER, R. (1995): Episodes in nine-teenth and Twenty Century EuclideanGeometry, MAA, Washington.

JACOBS, H. R. (1977): Geometry, Freeman,New York.

KING, J. R. y D. SCHATTSCNEIDER (eds.)(1994): Geometry Turned on dynamicsoftware in learning, teaching andresearch, MAA, Washington.

LALESCO T. (1989): La géométrie du triangle,Gabay, Paris.

LARSON, L. C. (1983): Problems: solvingthrough problems, Springer, New York.

LIDSKI, V. y otros (1978): Problemas deMatemáticas elementales, Mir, Moscú.

LITVINENKO, V. y A. MORDOKPVIC (1989):Prácticas para resolver problemas, Mir,Moscú.

MITRINOVIC, D. S., J. E. PECARIc y V.VOLONEC (1989): Recents advances ingeometric inequalities, Kluwer, Dordrecht.

POLYA G. (1966): Matemáticas y razona-miento plausible, Tecnos, Madrid.

POSAMENTIER, A. S. y Ch. T. SALKIND(1996): Challemging problems inGeometry, Dover, New York.

POTTAGE, J. (1983): Geometrical investiga-tions: illustrating the art of discovery inthe Mathematical field, Addison-Wesley,London.

PUIG ADAM, P. (1976): Geometría Métrica,vol. I, II, Madrid.

REES, E. G. (1983): Notes on Geometry,Sprigner, New York.

SHARIGUIN, I. (1989): Problemas de Geome-tría, Mir, Moscú.

SORTAIS, I y R. SORTAIS (1988): Géométriede l'space et du pla, Hermann, Paris.

SORTAIS, Y. y. R. SORTAIS (1987): Géométriedu triangle, Hermann, Paris.

WALLACE, E. C. y S. F. WEST (1993): Roadsto Geometry, Prentice Hall, New Jersey.

Juan-Bosco RomeroFcaultad de Ciencias.

Universidadde Valladolid.

Sociedad «Puig Adam»de Profesores de Matemáticas

66

es isósceles.

5. Sean a, b y c las longitudes de los lados de un trián-gulo y A, B, C, respectivamente los ángulos opuestos.Probar que si a + b = tg(C/2) · (a·tgA + b·tgB), el trián-gulo es isósceles (Greitzer, 1994).

6. Demostrar que si en un triángulo la razón de las tan-gentes de dos ángulos es igual a la razón de los cua-drados de los senos de estos ángulos, el triángulo esisósceles o rectángulo.

Para otras caracterizaciones de todo tipo de triángulos me-diante desigualdades que se convierten en identidades entrelos diferentes elementos de un triángulo, ver Lalesco (1989).

Conclusiones y comentarios

La principal conclusión de este trabajo es que siempre sepueden encontrar nuevos o antiguos resultados sencilloscon los que los alumnos pueden ensayar en clase, comouna motivación didáctica-metodológica-pedagógica, dentrodel marco de la enseñanza secundaria. Y esto es siempre unhecho positivo, porque puede suponer una motivación cre-adora e investigadora para el profesor y el alumno; imagi-nar, crear, resolver, construir y decidir es un arte: el pentá-gono regular de toda enseñanza Matemática, siendo el ladoy la diagonal el alumno y profesor, respectivamente.

Por último, se podría proponer la generalización de estosresultados a triángulos más generales, inspirándose en losteoremas demostrados para la resolución o refutación delas conjeturas propuestas, o de los problemas.

Bibliografía

BEHNKE, H. y otros (eds.): Fundamentals Mathematics, vol. II,Geometry, MIT, California.

BERGER B. (1987): Geometry, I, II, Springer, New York.

BIX, R. (1994): Topics in Geometry, Academic Press, San Diego.

BRANNAN, D. A. (1999): Geometry, Cambridge University Press,Cambridge.

BROWN, S. I. y M. I. WALTER (1990): The art of problem Posing,Lawrence Erlabaum Associates Publishres, London.

CLEMENS, C. H. y M. A. CLEMENS (1991): Exercices and solutionsfor the classroom, Springer, New York.

CLEMENS, C. H. y M. A. CLEMENS (1991): Geometry for the class-room, Springer, New York.

CLEMENS, S. R., P. G. O'DAFFER y T. G. COONEY (1999): Geome-tría con aplicaciones y soluciones de problemas, Addison-Wesley Iberoamericana, España.

COXETER H. S. M. (1970): Fundamentos de Geometría, Limusa-Wiley, México.

a

A

b

Bcos cos=

POR QUÉ CUANDO SE EXPLICA un concepto matemáti-co no se aprovecha todo el bagaje de conocimientos queatesoran nuestros alumnos? ¿Por qué cuando se explica elconcepto de probabilidad se prescinde de conceptoscomo el de área o el de longitud? ¿Por qué prescindir dela Geometría cuando el alumno comienza a tomar con-tacto con el azar?

El objetivo de este artículo es cocienciarnos de la impor-tancia de aprovechar los conocimientos de Geometríaque poseen nuestros alumnos, para explicar el conceptode probabilidad.

Desde la Antigüedad, la Geometría ha sido consideradacomo la personificación de la Matemática por antonoma-sia. La perfección y la belleza de las demostraciones geo-métricas es tal que algunos autores despachaban con unsimple: ¡Mira!, la demostración de un teorema matemático,a la vista de su construcción gráfica. Descartes y Fermat,en los siglos XVI y XVII sintetizaron Geometría y Álgebra,identificando «puntos» con pares de números reales y «rec-tas» con ecuaciones lineales. Nosotros queremos demostrarlo beneficioso que desde un punto didáctico puede ser launión de la Geometría y la Probabilidad.

Cuando se tira un dado, todo el mundo sabe que hay 6resultados posibles y por tanto la probabilidad de obtenerun 2 es 1/6. Pero, qué probabilidad hay tras, por ejemplo,estos problemas:

El objetivo de este artículo esconcienciarnos de la

importancia de aprovecharlos conocimientos de

Geometría que poseennuestros alumnos paraexplicar el concepto deprobabilidad. Queremosdemostrar lo beneficioso

que, desde un punto de vistadidáctico, puede ser la unión

de la Geometría y laProbabilidad

67

Sobre la utilidad de la Geometríaen la enseñanzade la Probabilidad

Gabriel Ruiz Garzón

ARTÍCULOS

¿

37

junio 2001, pp. 67-74

Problema 1

Consideremos el experimento consistente en elegir al azar unpunto perteneciente al cuadrado de lado R. Calcular la pro-babilidad de que un punto elegido al azar en ese cuadrado,pertenezca al círculo inscrito en dicho cuadrado.

En los juegos de azar discretos podemos «contar» los casosfavorables y los posibles, como en los problemas de dadosy monedas. En los problemas geométricos, cuando elnúmero de casos posibles y favorables es infinito, nopodemos contar sino que tenemos que «medir» dichoscasos. La diferencia entre «contar» y «medir» distinguen laAritmética de la Geometría. Con este trabajo, queremosreivindicar también la Geometría, como un arma eficazpara iniciar al alumno en el peregrinaje por el azar.

En nuestro viaje también nos acompañan las palabras delprofesor Santaló, quien se expresaba así:

Creo que la Geometría es un puente entre el mundo real y elmundo de las ideas, y que como tal, debe jugar un papel esen-cial en todo el aprendizaje de las Matemáticas.

Ciertas utilidades

Didácticamente, a veces interesa que los primeros problemasque se planteen al alumno que se inicia en la Probabilidadtengan que ver con la Geometría, por la simplicidad con laque se hallan los resultados. Así en el problema 1, si elegi-mos como medida de probabilidad el área, según la figura 1,tenemos que, calculada como cociente de casos favorablesentre casos posibles, la probabilidad pedida es:

Otras veces, como en el problema 2, latarea, amén de sencilla, goza de la belle-za que sólo la Geometría posee. Nosbasaremos en la figura 2, donde cogere-mos como variables x1 = AX1 y x2 = AX2.El dominio de todas las posibles posi-ciones de los puntos x1 y x2, es el cua-drado cuyo lado AB, es igual a l. Paraver el dominio de los casos favorables,es decir, para que los subintervalos AX1,X1X2 y X2B formen un triángulo, tieneque ocurrir que:

a) Si X1 precede a X2, debe pasar que:

• x2 – x1 < x1 + l – x2, es decirx2 – x1 < l/2

• x1 < x2 – x1 + l – x2, es decirx1 < l/2

• l – x2 < x2 – x1 + x1, es decirx2 > l/2

lo cual significa que x1, x2 pertene-cen al triángulo OPN, cuya defini-ción es obvia si L, M, N y P son lospuntos medios del cuadrado ABCD.

b) Si X2 precede a X1, tiene que ocurrirque:

• x1 – x2 < l/2

• x2 < l/2

• x1 > l/2

La diferenciaentre

«contar»y «medir»

distinguenla Aritmética

de la Geometría.

68

Problema 2

Supongamos un intervalo AB dividido en tres partes por dospuntos X1, X2 cogidos al azar. Calcular la probabilidad deconstruir un triángulo con los subintervalos como lados.

pÁrea del círculo

Área del cuadrado

R

R= =

( )=

p p2

4

2

2

Figura 1

R

R/2

0

R

X1D L A

P O M

C N B

X2

Figura 2

lo cual significa que x1, x2 pertene-cen al triángulo OLM.

Así, la probabilidad requerida, comopodemos ver en la figura 2 es:

cuerda tenga una longitud mayor que el lado del triánguloequilátero inscrito?

Se pueden dar las siguientes soluciones:

Primera solución

El centro M de la cuerda AB es un punto obtenido al azar.Si M pertenece al interior del círculo C1 de radio R/2, lalongitud de la cuerda l es mayor que el lado del triánguloinscrito, cuya longitud es (figura 3). Midiendo portanto la probabilidad como cociente de casos favorablesentre casos posibles, tenemos:

R 3

Algunas vecesla Geometría

puede instalarla duda

en nuestrasmentes.

Pero la apariciónde paradojas,

sólo nos puedenalentar

a afianzarnuestros

conocimientos.

69

pÁrea OLM Área OPN

Área ABCD

l

l= + = =

1

4 1

4

2

2

Ciertos invonvenientes

Algunas veces la Geometría puede ins-talar la duda en nuestras mentes. Pero laaparición de paradojas, sólo nos puedenalentar a afianzar nuestros conocimien-tos. Dependiendo de la medida de pro-babilidad (longitud, área, etc.) que coja-mos, el resultado puede ser distinto, asíen Van Fraasen (1989) aparece la si-guiente paradoja:

Problema 3

Una factoría construye cubos C de hie-rro, de arista menor o igual que 2 cm.¿Cuál es la probabilidad de que un cuboC1 construido en la citada factoría tengauna arista menor o igual que 1 cm?

Primera solución

plongitud de la arista de C

longitud de la arista de C= =

1 1

2

Segunda solución

pÁrea de la cara de C

Área de la cara de C= = 1 1

4

Tercera solución

pVolumen del cubo de C

Volumen del cubo de C= =

1 1

8

Pero quizás la paradoja más conocida esla aparecida en la segunda página dellibro de Bertrand, donde nos encontra-mos con el siguiente problema:

On trace au hasard une corde dans un cercle.Quelle est la probabilité pour qu’elle soit pluspetite que la côté du triangle équilatéral inscrit?

Es decir:

Se traza al azar una cuerda en un círcu-lo. ¿Cuál es la probabilidad de que esa

C

B

A

R

R/2M

0

C1

Figura 3

pÁrea de C

Área de C

R

R= = =

1

2

2

4 1

4

pp

Segunda solución

El extremo A de la cuerda AB es un punto fijo y B es obte-nido al azar. La condición pedida de que la cuerda tengauna longitud mayor que el lado del triángulo equiláteroinscrito, se verifica siempre que B esté en el arco DBE(figura 4). Luego:

pLongitud de DBE

Longitud de C

R

R= = =

2 3

2

1

3

pp

Tercera solución

Se considera que la cuerda AB se mueve aleatoria y per-pendicularmente al diámetro FK. La longitud de la cuerdal será mayor que el lado del triángulo equilátero inscritosiempre que el centro M de AB esté entre G y H (ver figu-ra 5). Luego la probabilidad será ahora:

pLongitud de GH

Longitud de FK

R

R= = =

2

1

2

Desde su puesto de supervisor delJardín del Rey, emprendió la redacciónde su obra capital, su Historia Natural.Es un tratado moderno de 44 tomos queintenta abordar la Naturaleza de unamanera íntegra. Contiene un tratadosobre la Tierra (pensó que el origen delplaneta era una enorme colisión), unaparte dedicada al estudio anatómico delhombre y otra dedicada a todo lo refe-rente al cruce de especies, su reproduc-ción, etc. Buffon puede ser consideradoel precursor de la Biología y es juntocon Linneo el más importante naturalis-ta del siglo XVIII

Firme observador de todos los seres dela Naturaleza, consideraba al hombrecomo un integrante de la misma al quehabía que estudiar no sólo desde unpunto de vista fisiológico, sino tambiénen su espíritu, con sus esperanzas, susmiedos y sus pasiones.

En cuanto al estudio de los miedos de lanaturaleza humana, en su Essai d’Arith-métique Morale, un suplemento a la His-toria Natural, propone despreciar lasprobabilidades pequeñas, concretamen-te menores que 1/10000, ya que, segúnsus tablas de mortalidad, la probabilidadde que un hombre de 56 años muera enel transcurso del día era de 1/10189 y si,para un hombre de esa edad, dicha pro-babilidad no le causa temor y le parecepequeña, con igual motivo lo será1/10000. Con argumentos como éste yapoyando la doctrina de que el dinerodebe valer en proporción, no a su valorintrínseco, sino al uso que se puedehacer de él o la satisfacción (utilidad)que da, trató de resolver el llamadoProblema de San Petersburgo, problemaligado a un juego con esperanza infinita(Ruiz, 1999).

Una de las pasiones más generalizadasentre los humanos del siglo XVIII eranlos juegos de azar. En palabras deLeibniz:

Los hombres nunca son tan ingeniososcomo en la invención de juegos: el espírituse encuentra en ellos a sus anchas.

El conde francés se propone por tanto,analizar los juegos de azar y comprobar

Firme observadorde todos los seresde la Naturaleza,

[Buffon]consideraba

al hombre comoun integrantede la mismaal que habíaque estudiar

no sólodesde un punto

de vistafisiológico,

sino tambiénen su espíritu,

con susesperanzas,sus miedos

y sus pasiones.

70

Figura 5

F

A

K

R

0

BG

H

M

R/2

R/2

Como es conocido, la paradoja proviene de que no setrata de un único problema, sino de tres. Los resultadosson distintos ya que son distintos (puntos, segmentos, etc.)los que se toman al azar. Didácticamente, estas paradojasdeben fomentar el espíritu crítico del alumno y servir paraafianzar los conocimientos adquiridos.

Todo empezó con una aguja

Veamos ahora algo de la génesis histórica de la Proba-bilidad Geométrica. Comprobaremos que podemos utilizarla Historia de la Probabilidad como un banderín de engan-che para muchos de nuestros alumnos.

Todo empezó con el noble francés Georges Louis Leclerc,Conde de Buffon (1701-1788). Fue un estrecho colabora-dor en la Enciclopedia y tradujo entre otros a Newton.

C

D

A E

R

0

B

Figura 4

su influencia en el propio hombre y enla sociedad. Buffon observa que:

El Análisis ha sido el único instrumentoque hasta la fecha se ha utilizado en laCiencia de la Teoría de Probabilidades,como si la Geometría no fuera indicadapara estos fines, cuando en realidad bastaun poco de atención, para observar quela ventaja del Análisis sobre la Geometríaes tan sólo accidental, y que el azar es tanpropio del Análisis como de la Geometría.Para poner a la Geometría en sus dere-chos sobre la Ciencia del Azar, bastaráinventar unos juegos que se basen en laextensión y sus relaciones.

En su Essai d’Arithmétique Morale pro-pone el siguiente juego:

Dans une chambre parquetée ou pavée decarreaux égaux, d’une figure quelconque,on jette en l’air un écu; l’un des joueursparie que cet écu après sa chute se trouve-ra à franc-carreau, c’est-à-dire, sur un seulcarreau; le second parie que cet écu setrouvera sur deux carreaux, c’est-à-dire,qu’il couvrira un des joints que les sépa-rent; un troisième joueur parie que l’écu setrouvera sur deux joints; un quatrièmeparie que l’écu se trouvera sur trois, quatreou six joints: on demande les forts de cha-cun de ces joueurs.

Cuya traducción es:

En una habitación embaldosada con bal-dosas iguales, con una forma cualquiera,se tira al aire una moneda. Uno de los juga-dores apuesta a que la moneda caerá lim-piamente sobre una sola baldosa; el segun-do apuesta que caerá sobre dos de ellas,es decir, que cubrirá una de las juntas quelas separan; un tercer jugador apuesta quela moneda caerá sobre dos juntas, un cuar-to apuesta que la moneda cubrirá tres, cua-tro o seis juntas: se requiere la probabili-dad de cada jugador.

Buffon investiga este juego para distin-tos tipos de baldosas: cuadradas, hexa-gonales, etc. y se interesa por la formade hacer de estos juegos, «juegos justos».Como un caso especial, Buffon proponeel, posteriormente, llamado Problemade la Aguja:

Je suppose que dans une chambre, dont leparquet est simplement divisé par des jointsparallèles, on jette en l’air, une baguette, &que l’un des joueurs parie que la baguettene croisera aucune des parallèles du par-quet, & que l’autre au contraire parie que la

baguette croisera quelques-unes de ces parallèles; on demande lesort de ces deux joueurs. On peu joueur cet jeu sur un damieravec une aiguille à coudre o une épingle sans tête.

Que lo podemos traducir como:

Supongamos que en una habitación, el suelo se haya dividido enlíneas paralelas, se tira un palo y uno de los jugadores apuestaa que el palo no ha cortado ninguna de las paralelas de el suelo,el otro por el contrario apuesta porque el palo cortará alguna deesas líneas, se pregunta por las probabilidades de ambos juga-dores. Es posible jugar este juego con una aguja de coser o unalfiler sin cabeza.

Luego, sobre un plano se trazan rectas paralelas equi-distantes, situadas unas de las otras a una distancia cons-tante d. Se arroja al azar una aguja tan delgada que seconsidera como un segmento rectilíneo de longitud l < d.¿Cuál es la probabilidad de que la aguja corte a una delas líneas?

Determinamos la posición de la aguja mediante la distan-cia OP = x de su punto medio a la recta más próxima y elángulo agudo, j, formado por OP y la aguja. Evidente-mente 0 ≤ x ≤ d/2 y 0 ≤ j ≤ p/2 (ver figura 6).

Comoun caso especial,

Buffonpropone

el, posteriormente,llamado

Problemade la Aguja…

71

P

O

j

Figura 6

La probabilidad que necesitamos se calculará comocociente de casos favorables entre casos posibles. Lamedida de los casos posibles será el área de rectánguloOABC con OA = p/2 y OC = d/2. Para obtener los casosfavorables tenemos en cuenta que la aguja corta a la para-lela si x < (l/2)·cosj y en ese caso el punto (x, j) se halladentro del área sombreada bajo la curva x = (l/2)·cosj(ver figura 7).

Luego en resumen, la probabilidad pedida es:

pÁrea de OAD

Área de OABC

d

dl

d= = =

Ú

0

21

2

2 2

2cosj J

p p

p

Georges Louis LeclercConde de Buffon

Si l > d entonces la aguja puede cortar a más de una para-lela y la expresión de la probabilidad se complica. Comovemos, es posible utilizar la Historia de las Matemáticascomo recurso didáctico. Con poco bagaje matemático, esposible resolver el Problema de la Aguja que en sumomento formuló Buffon.

Una extensión del Problema de la Aguja fue realizada porLaplace en los siguientes términos:

Supongamos ahora que en vez de tener un solo sistema delíneas paralelas, tenemos dos, uno ortogonal del otro, detal manera que ambos sistemas recubren el plano con unconjunto de rectángulos congruentes. Supongamos que ladistancia entre dos líneas rectas consecutivas de un siste-ma es a, la distancia entre dos líneas rectas consecutivasde otro sistema es b, sea l la longitud de la aguja y supon-gamos que l < a, l < b. Supongamos que la aguja forma unángulo J con la línea de longitud a.

Se requiere la probabilidad de que la aguja lanzada al airecorte el perímetro de alguno de tales rectángulos.

Para que la aguja corte a una línea, el punto medio de laaguja debe estar dentro del área

ab – (a – l·cos J)(b – l·sen J) == l(a·sen J + b·cos J) – l 2·sen J·cos J

luego la probabilidad pedida es:

A vueltas con las cuerdas,los hilos y las agujas

Seguidamente profundizaremos unpoco más en los conceptos claves de laProbabilidad Geométrica, recordandocuriosos resultados.

Una clave importante de estos proble-mas geométricos reside en la expresión«elegido al azar». En el fondo, la elecciónal azar de los elementos del conjuntogeométrico que se considera, es equiva-lente a dar la ley de probabilidad segúnla cual se suponen distribuidos. Siendoeste conjunto geométrico continuo, suselementos no podrán ser propiamentecontados, por lo que habrá que definir la«medida» del conjunto.

Ningún problema presenta alcanzar eseobjetivo cuando se trata de conjuntoscontinuos limitados por puntos: lamedida del conjunto la da entonces lalongitud de la línea, si el conjunto eslineal, o el área de la superficie o elvolumen del cuerpo. Pero cuando loselementos son rectas o planos, lanoción de medida no es tan intuitivacomo en el caso anterior, ya que elentrecruzamiento que resulta, no dejaver los límites del conjunto.

Si nos limitamos al caso de rectas en elplano, sabemos que la totalidad de lasrectas de un plano tiene dos dimensio-nes. Para delimitar completamente unconjunto continuo de rectas, será pre-ciso para cada dirección determinardos posiciones límites, fuera de lascuales no haya recta alguna que perte-nezca al conjunto. Estas rectas límitesserán tangentes a una cierta línea queserá cortada por todas las rectas delconjunto. El conjunto tipo que habráque medir será, pues, el de las rectasque corten a una línea dada.

Si suponemos que esta línea es cerraday convexa y representamos por h la dis-tancia entre las dos tangentes límitesparalelas a la dirección dada, h será lamedida relativa de las secantes paralelasa esa dirección, y las de todas las secan-tes se obtendrá integrando y será iguala la longitud de la curva L, es decir:

Una claveimportante

de estos problemasgeométricos

resideen la expresión

«elegido al azar».En el fondo,la elección

al azarde los elementos

del conjuntogeométrico

que se considera,es equivalentea dar la ley

de probabilidadsegún la cualse suponen

distribuidos.

72

pl a b l d

ab d

l a b l

ab=

◊ + ◊( ) - ◊ ◊[ ]=

+( ) -ÚÚ

sen sen

0

2

0

2

J J J J J

J p

p

p

cos cos2 22

limb

l a b l

ab

l

aƕ

+( ) -=

2 22

p p

Si tenemos un solo conjunto de líneas paralelas, eso esequivalente a tomar b tendiendo a infinito:

X

C

D

B

0 Aj

Figura 7

que es la expresión del Problema de la aguja de Buffon.

O sea, se puede demostrar que:

La demostración es inmediata a partir del teorema anterior 3.

Relacionado con lo anterior, el matemático francés Cauchy(1850), demostró el siguiente teorema:

¿Y si en vezde lanzaruna agujao un hilo,lanzamos

una láminadelgadaen forma

de polígonoconvexo,

de dimensioneslo suficientemente

pequeñascomo para que

no puedainterceptar

simultáneamentedos de las rectas

paralelastrazadas

en el suelo?

73

Teorema 1

La medida de los conjuntos de rectas quecortan a un segmento es proporcional ala longitud de este segmento.

h d L Jp

0Ú =

Teorema 2

Dada una figura convexa C2 de longitudL2 contenida en una figura convexa C1de longitud L1, entonces la probabilidadde que una cuerda aleatoria de C1 cortea C2 es L2/L1. Además esta probabilidades independiente de la posición de C2relativa a C1.

Teorema 3

Si suponemos que C2 es un segmentorectilíneo de longitud l. La probabilidadde que una cuerda elegida al azar de C1corte al segmento es de 2l/L1.

Corolario 1 (Problemade la aguja)

Supongamos, sin pérdida de generali-dad, que la aguja es encerrada en uncírculo C1 de diámetro unidad cuyo

centro es el punto medio de la aguja, este círculo cortaráuna paralela cuya intersección será una cuerda al azar delcírculo, entonces la probabilidad de que esta cuerda corte ala aguja es 2l/p.

La idea anterior la podemos formalizarun poco y así la podemos encontrar enKendall y Moran (1963) o en Crofton(1869):

Teorema 4

Dado un segmento rectilíneo de longitud l ≤ 1 en el plano y suproyección sobre una línea en una dirección dando un ánguloJ con ella, o sea

Proy(J) = l·Ωcos JΩ

Entonces el valor medio de Proy(J) es

12

20p

J Jp

pl d lcos Ú =

Como consecuencia del teorema ante-rior tenemos que:

Corolario 2 (Problema de la aguja)

Sobre un conjunto de líneas paralelas separadas una distan-cia de una unidad, esto se puede hacer sin perder generali-dad, dejamos caer un hilo o línea de longitud l, entonces elnúmero esperado de intersecciones es 2l/p, independiente dela forma de la línea.

Teorema 5

Supongamos un polígono convexo de perímetro L y de dimensio-nes lo suficientemente reducidas para que no rebase la distanciaentre paralelas d. Entonces, la probabilidad de que el contornodel polígono intercepte una de las rectas paralelas es L/pd.

Basándonos en él, podemos extender el Problema de laAguja de Buffon cambiando algo tan rígido como unaaguja por un hilo o línea de longitud l, enroscada en unaforma determinada:

Mediante este método se puede medir la longitud de cual-quier curva observada a través de un microscopio.

¿Y si en vez de lanzar una aguja o un hilo, lanzamos unalámina delgada en forma de polígono convexo, de dimen-siones lo suficientemente pequeñas como para que nopueda interceptar simultáneamente dos de las rectas para-lelas trazadas en el suelo? Se puede probar fácilmente elsiguiente teorema:

La demostración de este teorema esinmediata, sin más que considerar elteorema anterior 2 y que un segmentode longitud l puede ser consideradocomo límite de una región convexa,como un rectángulo de anchura infinite-simal y largura l, por tanto, de períme-tro convergente a 2l.

El Problema de la Aguja de Buffonpuede ser tratado a partir de los ante-riores resultados como un caso parti-cular. Así:

Luego, como hemos visto, el Problema de la Aguja da

lugar a algunas reflexiones francamente curiosas, lance-

mos agujas, hilos o láminas poligonales convexas.

Pero hay más, unida a la Probabilidad Geométrica está la

Geometría Integral, uno de cuyos exponentes máximos es

el gran matemático español Luis Antonio Santaló Sors.

Nacido en Gerona en 1911, se trasladó a Argentina por

causa de la Guerra Civil y siguiendo el consejo de Rey

Pastor. Fue en este país iberoamericano, donde desarrolló

gran parte de su labor investigadora, recibiendo en nues-

tro país en 1983 el Premio Príncipe de Asturias de

Investigación Científica y Técnica. Desgraciadamente no

son muchas las ramas de la Matemática donde los espa-

ñoles podamos «hacer patria». Una de ellas es la Geometría

Integral, estrechamente unida a la Probabilidad Geomé-

trica y al nombre de Santaló. La Geometría Integral con-

siste, esencialmente, en el uso de la teoría de la medida (o

de la integración), para el estudio de propiedades geomé-

tricas de figuras en el espacio euclideo, principalmente

conjuntos convexos.

Otra utilización didáctica del Problema de la Aguja tiene

que ver con la estimación de p. Si utilizamos la frecuencia

relativa de intersecciones como un estimador de la proba-

bilidad, esto es, si la aguja es tirada n veces y en r de estas

tiradas obtenemos al menos una intersección, podemos

considerar que p^ = r/n es un estimador de p y es posible

estimar p a través de lanzamientos de una aguja. Así lo

hizo en el año 1850 el científico suizo Richard Wolf, quien

obtuvo una estimación de p de 3,1596, valor que difiere

del real en menos de 0,02, lanzando una aguja de longi-

tud 36 mm la friolera de 5.000 veces obteniendo 2532 éxi-

tos, con una distancia entre paralelas de 45 mm. Aunque

si estos 5.000 lanzamientos marean, conviene recordar que

Wolf hizo y recogió en papel, el resultado de mas de

¡¡¡250.000!!!, sí, ¡¡¡250.000!!! lanzamientos de dados, y lo que

asombra más, sin que estudiosos posteriores de sus escri-

tos hayan encontrado la razón última de tan extraordina-

rio empeño. Seguro que hoy, en nuestras clases, con

menos trabajo, y utilizando técnicas de Montecarlo pode-

mos simular gran número de lanzamientos y encontrar

estimaciones del número p.

Conclusiones

A modo de resumen final queremos decir que con este

artículo hemos pretendido:

a) Utilizar la Geometría para motivar y afianzar las nocio-

nes básicas de la Probabilidad.

b) Utilizar la Historia de las Matemá-

ticas como un recurso válido en

nuestras clases diarias.

c) Dar a conocer a nuestros alumnos

la figura de insignes matemáticos

españoles, como es el caso del pro-

fesor Santaló.

Seguro que esta lista de reflexiones que-

dará aumentada con las que segura-

mente rondarán ahora por la cabeza de

cada uno de nosotros.

Bibliografía

BERTRAND, J. (1907): Calcul des Probabi-

lités, París.

BUFFON, G.L. (1777): «Essai d’Arithmétique

Morale», dentro del cuarto volumen del

Supplément à l’Histoire Naturelle, géné-

rale et particulière, avec la description du

cabinet du Roy, París.

CAUCHY, A. (1850): «Mémoire sur la rectifi-

cation des courbes et de la quadrature

des surfaces courbes», Memorias de la

Academia de Ciencias de París, n.° 22,

3-13.

CROFTON, M. W. (1869): «On the Theory of

Local Probability, applied to Straight

Lines drawn at random in a plane; the

methods used being also extended to the

proof of certain new Theorems in the

Integral Calculus», Philosophical Transac-

tions, n.° 158, 181-199.

GUTIERREZ CABRIA, S. (1992): Filosofía de

la Probabilidad, Tirant Lo Blanch, Va-

lencia.

KENDALL, M. G. y P. A. P. MORAN, (1963):

Geometrical Probability, Charles Griffin

and Company Limited, Londres.

RAMOS ROMERO, H. M. (1994): Introducción

al Cálculo de Probabilidades. Tomo I:

Probabilidad y Variable aleatoria, Copis-

tería S. Rafael, Cádiz.

RUIZ GARZÓN, G. (1999): «La paradoja de

San Petersburgo: una reivindicación

didáctica», Suma, n.° 32, 5-9.

VAN FRAASSEN, B.C. (1989): Laws and

Symmetry, Oxford University Press, New

York.

Gabriel RuizEscuela Universitaria

de Estuidos Empresariales.Universidad de Cádiz.

Sociedad Andaluzade Educación Matemática

«Thales»

74

La GeometríaIntegralconsiste,

esencialmente,en el uso

de la teoríade la medida (o de

la integración),para el estudiode propiedades

geométricasde figuras

en el espacioeuclideo,

principalmenteconjuntosconvexos.

S JUSTO RECONOCER que el desencanto y la desespera-ción se apoderaron de nosotros cuando en época estu-diantil, hicimos por primera vez una aproximación al temade los espacios vectoriales, a sus definiciones con aparentesignificado estéril y a teoremas cuyas demostraciones exi-gen una técnica y un rigor matemático que en ese momen-to no teníamos asentado. Transcurridos unos años, nosconvertimos en profesores y ayudados por la seguridad queproporciona el haber resuelto gran cantidad de problemasque tratan esta estructura algebraica, disfrutamos sin lugara dudas de la elegante formalidad matemática con la queimpartimos este tema. Hoy por hoy, haciendo uso del lugarprivilegiado en el que nos encontramos (pues fuimos coci-neros antes que frailes), no nos equivocaremos si decimosque el tema que nos ocupa exige enriquecer el proceso deenseñanza de los alumnos, y nuestra labor como docenteno puede ser otra que la de intentar dar respuesta a las pre-guntas que formulamos a continuación:

¿Cómo ayudar al alumno a comprender y a memorizartanta cantidad de información? ¿Hay alguna manera defacilitar esta tarea? ¿Qué posibles analogías con los espa-cios vectoriales existen a nuestro alrededor?

El objetivo del presente artículo será el de facilitar a losalumnos la comprensión y la memorización de conceptos yresultados de los espacios vectoriales mediante una analo-gía existente a nuestro alrededor. Para obtener tal fin hare-mos uso de los colores y de la mezcla de sus pigmentos.

Definiciones y teoremas

Antes de desarrollar con mayor profundidad este artículoconvendría enunciar las definiciones y resultados sobreespacios vectoriales que trataremos posteriormente, sobre

El objetivo de este artículoserá el de facilitar a los

alumnos la comprensión ymemorización del tema de

los espacios vectorialesmediante una bella analogíaexistente a nuestro alrededor.Para tal fin haremos uso de

los colores y de la mezcla desus pigmentos.

Aclararemos conceptos comoel de combinación lineal devectores (mezcla de colores),

el de dependencia eindependencia lineal, el desistema generador (conjuntode colores con los que se

puede pintar un cuadro), elde base (en el cuadro

Guernica de Picasso, la baseestaría formado por el blancoy el negro) y el de dimensión(la dimensión del Guernica

sería 2, la de Las meninas deVelázquez sería 3)

75

Los espacios vectoriales,el amarillo, el rojo y el azul

Miguel Ángel Moreno Redondo

ARTÍCULOS

E

37

junio 2001, pp. 75-82

todo, los referentes a combinación lineal, a sistemaslinealmente dependientes, sistema generador, base, etc.

Por otra parte, no será necesario seguir leyendo el conte-nido de este apartado (pudiendo pasar directamente alepígrafe Planteamiento), si se encuentra en alguna deestas dos situaciones:

i. Los conceptos y resultados indicados anteriormenteson de dominio del lector.

ii. Los conceptos y resultados son totalmente nuevospara el lector (más tarde, al finalizar de leer el artícu-lo, podrá entenderlos con mayor facilidad).

Combinación lineal

Se dice que un vector v es combinación lineal de los vec-tores e1, e2, ..., en si existen l1, l2, ..., ln del cuerpo K, talesque v = l1e1 + l2e2 + ... + lnen.

Linealmente independientes

Se dice que los vectores e1, e2, ..., en son linealmente inde-pendientes o bien que el sistema de vectores S = e1, e2, ...,en es libre si la igualdad 0 = l1e1 + l2e2 + ... + lnen sólo sesatisface cuando l1 = l2 = ... = ln = 0.

Linealmente dependientes

Se dice que los vectores e1, e2, ..., en son linealmentedependientes si no son linealmente independientes.

Generador

Decimos que un sistema de vectores S = e1, e2, ..., en esun sistema generador del espacio vectorial E si todo vec-tor v de E se puede escribir como combinación lineal delos vectores de S.

Base

Decimos que un sistema de vectores S = e1, e2, ..., en esuna base del espacio vectorial E si los vectores de S sonlinealmente independientes y generadores de E.

Dimensión

Decimos que un espacio vectorial tiene dimensión n si nes el número de vectores de una cualquiera de sus bases.

Teorema

Sea S un sistema de vectores. Los vectores de S son lineal-mente dependientes si, y sólo si, existe un vector de S quees combinación lineal de los demás.

Planteamiento

Como sabemos, el amplio espectro decolores que nuestra retina puede llegara recibir, varía desde el amarillo, el azul,el rosa, el violeta y decenas de coloresy tonalidades distintas, que por raro queparezca, se pueden obtener a partir delos pigmentos de los tres colores prima-rios: amarillo, azul y rojo. A título deejemplo sirva que el color verde seobtiene mezclando el amarillo y el azul,el naranja mezclando el rojo y el amari-llo, etc. Por otra parte, si sólo utilizamoslos colores blanco y negro, podremosobtener todas las tonalidades posiblesde grises, además de las dos siguientesobviedades: el blanco lo podemos obte-ner a partir del blanco, y el negro a par-tir del negro.

Entendido el párrafo anterior no resultadifícil comprender, que al genial pintorsevillano Velázquez le habrían bastadolos tres colores primarios para obtenertodos los colores del cuadro Las meni-nas y que sin uno solo de ellos le habríasido totalmente imposible. Por otraparte, y como un ejercicio propuesto a laintuición, plantearemos la siguiente pre-gunta: ¿qué dos colores le habrían basta-do a Picasso para pintar el Guernica?

Utilizaremos el conjunto de los colo-res, para facilitar a los alumnos elaprendizaje de conceptos como com-binación lineal, sistemas linealmentedependiente e independiente, sistemagenerador, base y dimensión de unespacio vectorial.

Utilizaremosel conjunto

de los colores,para facilitara los alumnosel aprendizaje

de conceptos comocombinación

lineal,sistemas

linealmentedependiente

e independiente,sistema generador,

basey dimensión

de un espaciovectorial.

76

Figura 1. Los colores primarios amarillo, azul y rojo,nos proporcionan entre otros el verde y el violeta,

tras la mezcla de sus pigmentos

Amarillo

Verde Violeta

Azul Rojo

La interpretación que haremos será lade establecer una relación biunívocaentre los elementos vector y color, y laque resulta aún más interesante: la exis-tente entre combinación lineal y mezclade colores. Una vez establecidas estasidentificaciones, volveremos a escribiren términos de colores los distintosenunciados que acostumbramos a utili-zar. Por último, y sin lugar a dudas,principal atracción del artículo, veremosuna lista de trece ejemplos que plasmanla utilidad de este nuevo enfoque.

Analogías

A continuación presentamos el siguien-te cuadro de equivalencias:

• Al igual que un vector forma parte de la estructura deespacio vectorial, un color formará parte del espectrode colores que baña cuanto nos rodea.

• No hay que sorprenderse tampoco de la analogíaentre E y el cuadro de Velázquez Las meninas o entreV y el Guernica, pues al igual que la combinaciónlineal de las sucesivas potencias de x nos proporcio-na el conocido espacio vectorial de los polinomios, lamezcla de colores nos ofrece la maravillosa posibili-dad de pintar Las meninas.

• Por último, sería conveniente recordar que mientrasLas meninas fue pintado con una amplia gama decolores, Picasso utilizó en el Guernica el blanco, elnegro y distintas tonalidades de grises.

La interpretaciónque haremos

serála de estableceruna relación

biunívocaentre

los elementosvector y color,

y la que resultaaún

más interesante:la existente

entrecombinación

linealy mezcla

de colores.

77

Figura 2. Los colores blanco y negro nosproporcionan una amplia gamade grises, entre ellos el gris claro

(calificativo que alcanza al mezclarseen mayor proporción el blanco

respecto al negro)

Blanco

Gris

Negro

Terminología formal Terminología informal

Espacio vectorial Cuadro

E Las meninas

V El Guernica

Vector Color

Vectores Colores

Combinación lineal Mezcla

Como podemos observar todo términode la columna de la izquierda tiene surespectivo término en la columna de laderecha, al que podríamos llamar ade-más de término informal, término dual.Cada término dual gozará de total signi-ficado en la construcción de los enuncia-dos que más tarde veremos. Sirvan comoaperitivo las siguientes observaciones:

Figura 3. Las meninas, cuadro pintado por D. Velázquezen 1656. Los colores que lo componen son el amarillo,

el azul y el rojo, además de una amplia gama de colores

Dualidades

Cada enunciado de los que a continuación se presentanexpresados de una manera formal en términos de espaciosvectoriales, aparece con su respectivo enunciado expresa-do en términos de colores. Si bien el primero, a cualquieriniciado en el tema le resultará algo confuso, el segundolo percibirá de una forma nítida y clara.

Teorema 1. Sistema linealmente dependiente

• Dado un sistema de vectores S, decimos que los vec-tores de S son linealmente dependientes si, y sólo si,existe un vector de S, que es combinación lineal delos demás.

• Dado un sistema de colores S, decimos que los colo-res de S son linealmente dependientes si, y sólo si,existe un color de S que es mezcla de los demás.

Teorema 2. Sistema linealmente independiente

• Sea S un sistema de vectores. Los vectores de S sonlinealmente independientes si, y sólo si, ningún vectorde S es combinación lineal de los demás.

• Sea S un sistema de colores. Los colores de S sonlinealmente independientes si, y sólo si, ningún colorde S es mezcla de los demás.

Definición. Sistema generador

• Decimos que S es un sistema de vectores generadordel espacio vectorial E si todo vector de E es combi-nación lineal de los vectores de S.

• Decimos que S es un sistema de colores generador delcuadro Las meninas si todo color de Las meninas esmezcla de los colores de S.

Definición. Base

• Decimos que S es una base de vectores del espaciovectorial E si los vectores de S son linealmente inde-pendientes y generadores del espacio vectorial E.

• Decimos que S es una base de colores del cuadro Lasmeninas si los colores de S son linealmente indepen-dientes y generadores del cuadro Las meninas.

Definición. Dimensión

• Decimos que un espacio vectorial tiene dimensión nsi n es el número de vectores de una cualquiera desus bases.

• Decimos que un cuadro tiene dimensión n si n es elnúmero de colores de una cualquiera de sus bases

No nos costaría imaginar, lo que podría llegar a ser lainterpretación de combinación lineal. La expresiónv = l1e1 + l2e2 + ... + lnen con li ≥ 0 puede significar quelos colores e1, e2, ..., en deben mezclarse en cantidades l1,l2, ..., ln respectivamente para obtener el color v. En par-ticular, veamos cómo podemos obtener algunos colores:

• El verde se podría obtener mezclando 1 parte de ama-rillo y 1 parte de azul.

• El verde muy oscuro se podría obtener mezclando 1parte de amarillo y 3 partes de azul.

• El gris claro se podría obtener mezclando 3 partes deblanco y 1 parte de negro.

Ejemplos

A continuación señalaremos una seriede ejemplos que por una parte, gozaránde significado gramatical propio, y quepor otra, sumergidos en el contexto delos espacios vectoriales, aclarará a losalumnos los conceptos matemáticos delapartado anterior.

Ejemplo 1

Los colores blanco y negro son un siste-ma generador del cuadro Guernica, yaque con esos dos colores se pueden obte-ner todas las tonalidades posibles de gri-ses, blanco y negro para poder pintarlo.

Ejemplo 2

Los colores blanco y negro son inde-pendientes, ya que el blanco no sepuede obtener a partir del negro y vice-versa (teorema 2).

Ejemplo 3

Los colores blanco y negro son base delos colores que se utilizan para pintar elGuernica, pues cualquier color del cua-dro se puede obtener como mezcla delblanco y el negro (colores generadores) yademás, ninguno de ellos dos se puedeobtener a partir del otro (teorema 2, inde-pendencia). Por tanto: ni faltan, ni sobran.

Ejemplo 4

El amarillo y el azul son colores lineal-mente independientes, pues ni el amari-llo se puede obtener a partir del azul, niel azul a partir del amarillo.

Ejemplo 5

El amarillo, el azul y el verde no soncolores linealmente independientes,pues el verde se obtiene mezclando elamarillo y el azul (el verde es combina-ción lineal del amarillo y el azul).

Ejemplo 6

El amarillo, el azul y el rojo son lineal-mente independientes pues ningunode ellos se puede obtener a partir delos demás.

Los coloresblanco y negroson un sistema

generadordel cuadroGuernica,

ya que conesos dos colores

se puedenobtener todas

las tonalidadesposibles

de grises,blanco y negro

para poderpintarlo.

78

Ejemplo 7

El amarillo, el azul, el rojo y el verde esun sistema linealmente dependientepues, en particular, el verde se puedeobtener a partir del verde o bien delamarillo y el azul (como vemos, no hayunicidad de coordenadas).

Ejemplo 8

El amarillo, el azul y el rojo (colores pri-marios), forman un sistema generadorde los colores del cuadro Las meninas,pues cualquier color se puede obtenermezclando debidamente estos tres(combinación lineal).

Ejemplo 9

El amarillo y el azul no forman un sistemagenerador de los colores del cuadro Las

meninas, pues en particular el rojo, no sepuede obtener mezclando estos dos.

Ejemplo 10

El amarillo, el azul, el rojo y el verdeforman un sistema generador de loscolores del cuadro Las meninas, puescualquier color se puede obtener mez-clando debidamente estos cuatro y enparticular los tres primeros (combina-ción lineal).

Ejemplo 11

El amarillo, el azul y el rojo forman unabase de los colores del cuadro Las

meninas, ya que son linealmente independientes y ade-más generadores (ejemplos 6 y 8).

Ejemplo 12

El cuadro Las meninas tiene dimensión 3, ya que 3 es elnúmero de colores de la base formada por los coloresamarillo, azul y rojo (ejemplo 11).

Ejemplo 13

El cuadro Guernica tiene dimensión 2, ya que 2 son loscolores de la base formada por los colores blanco y negro(ejemplo 3).

Justificaciones epistemológicas

Entre las dificultades epistemológicas que los alumnosencuentran a la hora de enfrentarse al aprendizaje de losespacios vectoriales, podríamos destacar las siguientes:

i. En primer lugar el alumno ha de ser receptor de unmar de nuevas definiciones sin aparente significado,de proposiciones o teoremas incomprensibles, y deconjuntos que en su vida ha oído nombrar.

ii. En segundo lugar, sabemos que hasta este precisomomento, todo lo enseñado tiene en mayor o menormedida, un nexo con la vida cotidiana, un ejemplito quepor pequeño que parezca, deja en evidencia la utilidadde ese tema matemático impartido. Por desgracia, losejemplos útiles sobre espacios vectoriales como sistemasde ecuaciones, aplicaciones al espacio afín y euclídeo,etc., no aparecen hasta haber avanzado considerable-mente en la asignatura, sufriendo el riesgo de perdertotalmente el interés y la dedicación del alumnado.

iii. En tercero y último, cabe citar el carácter formal ydeductivo, que forzosamente se hace necesario si

El cuadroLas meninas

tiene dimensión 3,ya que 3

es el númerode coloresde la baseformada

por los coloresamarillo,

azul y rojo

El cuadroGuernica

tiene dimensión 2,ya que 2

son los coloresde la baseformada

por los coloresblanco y negro

79

Figura 4. Guernica, cuadro pintado por P. Picasso en 1937. Los coloresque lo componen son el blanco, el negro y distintas tonalidades de grises

queremos estudiar los espacios vectoriales a fondo yno simplemente sus útiles propiedades. Pero, ¿signi-fica esto que es necesario renunciar a la cita tomadade Kant que promulga que todo conocimiento huma-no comienza por intuiciones, pasa por los conceptosy termina en las ideas? (Boyer, 1986).

Éstas, y otras que probablemente bailarán en nuestro sub-consciente, se erigen como motivos suficientes para adop-tar o al menos tener en cuenta la presente propuesta meto-dológica en la articulación del proceso de enseñanza.

Por otra parte, no se pretende que esta forma de interpre-tar los espacios vectoriales se haga al pie de la letra: jamáspodríamos establecer una dualidad válida entre éstos y loscolores de una forma totalmente matemática. El artículosólo busca atravesar el primer umbral didácticamentehablando, es decir, facilitar la comprensión y memoriza-ción de los conceptos matemáticos relativos al tema.

Justificación curricular

En nuestro actual sistema educativo, la explicación conprofundidad de los espacios vectoriales, sólo tiene cabidaen las licenciaturas de ciencias y en los primeros cursos delas carreras técnicas, siendo excluida de la asignatura deMatemáticas en las modalidades de Bachillerato deCiencias de la Naturaleza y de la Salud y de Tecnología,desapareciendo por tanto todo planteamiento formal enbeneficio de su instrumentalidad y aplicabilidad. Perosegún Brihuega (1997) «la adquisición de los conocimien-tos matemáticos en esta etapa no puede reducirse a laposesión de sus resultados finales, también debe estarsiempre presente el saber hacer matemáticas que va a per-mitir su aplicabilidad en las distintas situaciones a las quelos estudiantes de Bachillerato se tendrán que enfrentar ensu futuro profesional». Si estamos de acuerdo con esteautor no podemos quedarnos impasibles, en caso de quela desaparición del currículo de esta formalidad matemáti-ca haya sido debida a una incorrecta o incompleta prácti-ca pedagógica, buscando incansablemente nuevas líneasmetodológicas que enriquezcan el proceso de enseñanza.

En definitiva, este artículo persigue facilitar el proceso deenseñanza-aprendizaje bien sea en el ámbito universitariocomo en un hipotético resurgimiento en la educaciónsecundaria de los espacios vectoriales.

Justificación metodológica

En el preciso instante en el que enseñamos a los alumnosel tema de los espacios vectoriales, éstos han alcanzadosegún Inhelder y Piaget (1955), la madurez en el estadio

de las operaciones formales. Pero alalumno, a pesar de ser dueño de lasenormes posibilidades que ofrece estenivel cognitivo, se le hace sumamentedifícil incorporar a su esquema mentallos conceptos y resultados de este tema,exigiendo por tanto de los docentes unasolución a este problema.

La analogía que establecemos en esteartículo, servirá de puente para facilitar alos alumnos el estudio de este tema. Éstadeberá apoyarse necesariamente en unaserie de conocimientos previos como sonlos colores y la mezcla de sus pigmentos,y de esta forma, la enseñanza de losespacios vectoriales deja de ser un saltoal vacío, para convertirse en un aprendi-zaje significativo. El camino que se pro-pone seguir podría ser el siguiente:

i. Enseñar definiciones y resultados ele-mentales sobre espacios vectoriales.

ii. Si la enseñanza ha derivado enaprendizaje (mi experiencia meinclina a pensar que nunca ocurreen una primera instancia), hemosconcluido con éxito.

iii. Evaluar los conocimientos previosque el alumno posee en cuanto acolores, mezcla de sus pigmentos,etc. Si la evaluación es negativa,recordárselos en breves minutos.

iv. Explicar la analogía (5 minutos).

v. Hacer uso de los ejemplos (10minutos).

El tiempo que se invierte en desarrollarlos puntos iii, iv y v con los alumnos,tiene sobrada justificación si se tiene encuenta que no más de quince minutosbastan para fijar los pilares de este tema.

Observaciones pedagógicas

La experiencia en clase y unas encues-tas evaluadoras de este proceso deenseñanza-aprendizaje efectuadas aalumnos de COU y de la carrera deIngeniería Industrial, permitieron llegara las siguientes conclusiones:

• Ayudados por una parte de la enor-me intuición que poseen los alum-

…al alumnose le hace

sumamentedifícil incorporar

a su esquemamental

los conceptosy resultadosde este tema,

exigiendopor tanto

de los docentesuna solución

a este problema.

80

nos, y por otra, de la enorme curio-sidad que despiertan temas tan dis-pares entre sí como los espacios vec-toriales y los colores, resulta gratifi-cante ver como en segundos estable-cen el paralelismo entre ambas ideas.Sobre todo, cuando un mundonuevo escrito en términos matemáti-cos, cambia su fisonomía, se viste decolor y algo tan abstracto como ladefinición de base de un espaciovectorial, se reduce simplemente aresponder a la pregunta: ¿Cuántoscolores necesitamos, sin que sobrealguno, para pintar un cuadro?

• Resulta innecesario, aunque sí con-veniente, explicar a los alumnos elconjunto de dualidades del epígrafeDualidades, para llegar a compren-der los ejemplos.

• La motivación vuelve a aflorar en elalumnado cuando logran superarlos momentos de incertidumbre oconfusión, usando esta forma deenfocar los espacios vectoriales.

• Los alumnos utilizan los ejemploscomo un apoyo para el entendi-miento de los distintos conceptosmatemáticos, y en ningún caso esta

técnica les aleja de la rigurosidad matemática que eltema exige.

• Parece pertinente que este enfoque se transmita unavez explicadas todas las definiciones y teoremas entérminos matemáticos, pues en caso contrario y sólo acorto plazo, corremos el riesgo de que los alumnosreduzcan el conjunto de los distintos espacios vecto-riales, reduciéndolos a conjuntos visibles o tangibles(curioso ¿verdad?: lo visible o tangible es irreal, y loinvisible o intangible real).

• La utilización de esta línea metodológica, resulta acon-sejable sobre todo en aquellos alumnos con dificultadespara la abstracción y la memorización de conceptos.

BibliografíaBOYER, C. B. (1986): Historia de la matemática, Alianza

Universidad Textos, Madrid.

BRIHUEGA, J. (1997): «Las matemáticas en el Bachillerato», Suma,n.° 25, 113-122.

GARCÍA, J. y M. LÓPEZ (1992): Álgebra lineal y geometría, Marfil,Alcoy.

GASCÓN, J. (1997): «Cambios en el contrato didáctico: el paso deestudiar matemáticas en secundaria a estudiar matemáticas enla universidad», Suma, n.° 26, 11-21.

INHELDER, B. y J. PIAGET (1955): De la lógica del niño a la lógi-ca del adolescente, Paidós, Buenos Aires

KLINE, M. (1973): El fracaso de la matemática moderna, Sigloveintiuno, Madrid.

TRIANES, M. y J. GALLARDO (1998): Psicología de la educacióny del desarrollo, Pirámide, Madrid.

Miguel Ángel MorenoIES Virgen de Soterraño.

Barcarrota (Badajoz).Sociedad Extremeña deEducación Matemática

«Ventura Reyes Prósper»

81

PUBLICACIONES DE LAS SOCIEDADES

OS PROBLEMAS aditivos simples de enunciado verbal,que son los de suma y resta que se resuelven con x + y = zo x – y = z, han sido intensivamente estudiados. En laspanorámicas sobre investigaciones de Fuson (1992) yVerschaffel y De Corte (1996) se puede encontrar unaamplia bibliografía.

La experiencia y, desde luego, los resultados de las inves-tigaciones nos dicen que cada estudiante tiene éxito dis-tinto en problemas diferentes y que estudiantes distintostienen éxito diferente en cada problema. Para analizar yexplicar estas diferencias se han considerado algunascaracterísticas de las situaciones problemáticas, lo que hadado lugar a varias clasificaciones en las que se contem-plan diferentes clases de problemas. Son bien conocidaslas clases de los problemas de combinación, cambio, com-paración e igualación (Carpenter y Moser, 1982; Riley,Greeno y Heller, 1983). En este trabajo estamos interesa-dos en ciertos aspectos de los problemas que pensamostienen influencia en su dificultad. De cara a ilustrar esosaspectos consideremos los tres enunciados siguientes:

(1) Antes Andrés tenía 2 pesetas. Después ganó 3 pese-tas. ¿Cuántas pesetas tiene ahora?

(2) Antes Andrés tenía 2 pesetas. Ahora tiene 3 pesetasmás que antes. ¿Cuántas pesetas tiene ahora?

(3) Antes Andrés tenía 2 pesetas. Antes tenía 3 pesetasmenos que ahora. ¿Cuántas pesetas tiene ahora?

Los tres problemas se corresponden con una misma situa-ción: antes tenía 2, aumenta lo que tiene en 3 y ahora tiene5; se diferencian en el modo de expresar lo que aumenta.Pues bien, esa expresión tiene gran importancia en el por-centaje de éxito que hemos obtenido en nuestra investiga-ción: 94% en (1), 93% en (2) y 37% en (3). Ahora nos refe-rimos de manera sucinta a los aspectos de los problemasque pensamos pueden explicar sus diferencias en el éxito.

En este artículo se presentanlos resultados de unainvestigación sobre

problemas de suma y restacon números positivos en la

que se han consideradocuatro clases de problemas:

cambio, igualación,comparación y cambio-comparación, siendo

estudiada esta última clasepor primera vez en estetrabajo. La dificultad quetienen los alumnos para

resolver los problemas estárelacionada con las formas

de expresar la diferencia (enlos problemas de

comparación e igualación) yla variación (en los

problemas de cambio y decambio-comparación), así

como con el orden en el quefiguran los datos en los

enunciados. Esto permitepensar que la expresión

utilizada para la diferencia yla variación, y también elorden de los datos, resulta

relevante en la comprensióndel enunciado del problema,lo que motiva que tenga tanclara influencia en su nivel

de dificultad.

83

Algunas dificultadesen los problemas aditivos

Alicia BrunoAntonio MartinónFidela Velázquez

ARTÍCULOS

L

37

junio 2001, pp. 83-94

En ciertas situaciones numéricas nos encontramos con dosestados que se comparan: un estado menor a («Juan tiene2 pesetas») y un estado mayor b («Pedro tiene 5 pesetas»).Usaremos el esquema a + d = b, siendo d la diferencia.Hay dos formas básicas de expresar la diferencia. En losproblemas de comparación la diferencia se expresa pormedio de «más que» («Pedro tiene 3 pesetas más que Juan»)o de «menos que» («Juan tiene 3 pesetas menos quePedro»). En los problemas de igualación se dice cuántodebe aumentar el estado menor para igualar al mayor («SiJuan gana 3 pesetas tendrá lo mismo que Pedro») o lo quedebe disminuir el mayor para igualar al menor («Si Pedropierde 3 pesetas tendrá lo mismo que Juan»).

En otras situaciones tenemos un estado inicial i («AntesJuan tenía 2 pesetas»), una variación v («luego ganó 3pesetas») y un estado final f («ahora Juan tiene 2 pesetas»).Estos problemas tienen un esquema i + v = f. Hay dos tiposde expresión de la variación. En los problemas de cambiola variación se expresa de manera simple («Juan ha gana-do 2 pesetas» o «Juan ha perdido 2 pesetas»). En los pro-blemas de cambio-comparación se expresa la variacióncon «más que» o «menos que», de forma similar a los pro-blemas de comparación («Ahora Juan tiene 3 pesetas másque antes»). No conocemos ninguna investigación que serefiera a esta última clase de problemas.

Resumimos en la tabla 1 las anteriores cuatro clases deproblemas, que son las que hemos considerado en lainvestigación que aquí se presenta. La anterior distinciónentre esquema y expresión no es habitual. Sería más cohe-rente con esa distinción el uso de una terminología comovariación-cambio, variación-comparación, diferencia-cam-bio y diferencia-comparación, pero, para facilitar su lectu-ra, hemos optado por adaptarnos a la terminología másusual en las publicaciones sobre este tema.

Nuestra investigación se realizó con alumnos de edadesentre 8 y 12 años, en tercero, cuarto, quinto y sexto deEducación Primaria en España y consistió en analizar losniveles de dificultad de los problemas de las cuatro clasesmencionadas, en particular en relación con las formas de

expresión de la variación y la diferencia.Fuson y Willis (1986) ya observaron quelos problemas de comparación son, engeneral, más difíciles que los de iguala-ción; es decir, la expresión de la diferen-cia tiene influencia en la dificultad. Enesta investigación probamos, además,que la expresión de la variación, en losproblemas de cambio y en los de cam-bio-comparación, es relevante. Variasinvestigaciones han probado la importan-cia de otras expresiones en los enuncia-dos de los problemas (De Corte yVerschaffel, 1991; Teubal y Nesher, 1991).

Hemos evaluado los resultados de nues-tra investigación de acuerdo con ciertascaracterísticas que consideramos decisi-vas y que están relacionadas con laexpresión de la diferencia y la variación,las cuales podemos resumir así (se deta-llan más adelante): I (el uso de un «len-guaje inconsistente») y R (el referente esla incógnita). La combinación de estasdos características (IR) puede apareceren una forma fuerte (f) o débil (d),según cuál sea el orden de los datos enel enunciado. Los problemas con lacaracterística IR(f) son los que tienenmás bajo porcentaje de aciertos en lasclases cambio-comparación y compara-ción. La clase de los problemas de cam-bio-comparación tiene, por tanto, ele-mentos distintivos que la hacen diferen-te de la clase de cambio y, desde luego,de las de comparación e igualación.

Los porcentajes de éxito que los alum-nos logran en los problemas propuestosnos llevan a afirmar que la forma deexpresar la variación y la diferencia, así

Nuestrainvestigación

se realizócon alumnos

de edades entre 8y 12 años,

en tercero, cuarto,quinto y sextode Educación

Primariaen Españay consistió

en analizarlos niveles

de dificultadde los problemas

de las cuatroclases

mencionadas…

84

Tabla 1. Las cuatro clases de problemas analizadas en la investigación

Expresión Esquema: i + v = f Esquema: a + d = b

Simple Cambio IgualaciónAntes Juan tenía 4 pta. Juan tiene 4 pta.Luego ganó 3 pta. Si gana 2 pta, entonces tiene lo mismo que Pedro.¿Cuántas pta tiene ahora? ¿Cuántas pta tiene Pedro?

Más/Menos Cambio-comparación ComparaciónAntes Juan tenía 4 pta. Juan tiene 4 ptaAhora tiene 3 pta más que antes. Pedro tiene 5 pta más que Juan.¿Cuántas pta tiene ahora? ¿Cuántas pta tiene Pedro?

como el orden de los datos, es decisivaen el nivel de éxito. Nuestra explicaciónes la siguiente: ciertas formas de expre-sar la variación y la diferencia, así comoel orden en el que se presenten losdatos, hacen que resulte más difícil alalumno la comprensión del enunciadodel problema e imaginar la situaciónnumérica a la que se refiere, lo que leimpide tener éxito en su resolución. Esdecir, nuestra explicación se basa enque (en estos problemas simples aditi-vos con números positivos) el nivel deéxito está directamente relacionado conla comprensión del enunciado.

Hacemos tres últimas observaciones. Laprimera: los problemas de combinación(la adición de dos estados parciales es elestado total) no se consideran en esteestudio, como tampoco otras muchasque se han descrito en la literatura(Bruno y Martinón, 1996, 1997). Lasegunda: hay muchos contextos en losque es posible encontrar problemas adi-tivos (temperatura, cronología, longitud,etc.), pero en esta investigación, sinembargo, hemos preferido que todoslos problemas sean del contexto «tenerdinero» («Juan tiene 2 pesetas», «Juan haganado 2 pesetas», etc.), para fijar esavariable y, también, porque el ámbitomonetario resulta familiar a los alum-nos. La tercera: de cara a simplificar laescritura, escribiremos «pta» en lugar de«pesetas», mientras que las letras J, P, E,T significan nombres de personas.

Tipos de problemasy características relevantes

En esta sección introducimos la termi-nología que usamos, describimos conalgún detalle los tipos de problemaspropuestos a los alumnos y precisamossus características más relevantes.

Antes de hablar de problemas aditivospreferimos referirnos a situaciones ohistorias aditivas simples (Rudnisky,Etheredge, Freeman y Gilbert, 1995),que son aquellas en las que se describeuna situación en la que interviene unasuma o resta de dos números. Las que

hemos considerado en nuestra investigación son de núme-ros positivos, es decir en las que aparece una sumax + y = z o una resta x – y = z, siendo x, y, z positivos.Consideramos cuatro clases de historias aditivas y, portanto, cuatro clases de problemas aditivos: comparación,igualación, cambio y cambio-comparación. Se describenen los siguientes párrafos. Asociados a cada historia osituación aditiva encontramos tres problemas, según cuálsea la incógnita. La historia «J tiene 2 pta y P tiene 5 pta,luego P tiene 3 pta más que J», da lugar a los siguientestres problemas:

• J tiene 2 pta y P tiene 5 pta. ¿Cuántas pta más tiene Pque J?

• J tiene 2 pta y P tiene 3 pta más que J. ¿Cuántas ptatiene P?

• P tiene 3 pta más que J. P tiene 5 pta. ¿Cuántas ptatiene J?

Es bien conocido que dos problemas correspondientes auna misma historia pero con incógnitas distintas poseenporcentajes de éxito diferentes (Carpenter y Moser, 1982;Riley, Greeno y Heller, 1983), lo que en nuestra investiga-ción se confirma.

Comparación (Co)

Consideremos los estados a («J tiene 2 pta») y b («P tiene 5pta»). Ambos se relacionan mediante la diferencia d = b – a(«P tiene 3 pta más que J»). Diremos que este tipo de his-torias tiene el esquema a + d = b, donde, para evitar con-fusiones, tomaremos siempre d > 0; es decir, a es el esta-do menor y b es el estado mayor (a < b). Diremos que unahistoria aditiva (y sus problemas asociados) es de compa-ración si su esquema es a + d = b y la diferencia d seexpresa de alguna de las siguientes maneras:

• Más: cuando se dice cuánto el estado mayor es «másque» el menor.

• Menos: cuando se dice cuánto el estado menor es«menos que» el mayor.

Ejemplo: «J tiene 2 pta y P tiene 5 pta»; la comparaciónpuede expresarse de las siguientes maneras: «P tiene 3 ptamás que J» (Más) y «J tiene 3 pta menos que P» (Menos).Hay tres problemas, según cuál sea la incógnita: a (estadomenor), d (diferencia) o b (estado mayor). Así, «J tiene 3pta menos que P. P tiene 5 pta. ¿Cuántas pta tiene J?» esuno de esos tres problemas.

Igualación (Ig)

En las historias con esquema a + d = b la diferencia d tam-bién puede expresarse de las siguientes formas:

• Añadir: cuando se dice lo que se ha de añadir al esta-do menor para igualar al mayor.

Consideramoscuatro clasesde historias

aditivasy, por tanto,cuatro clasesde problemas

aditivos:comparación,igualación,

cambioy cambio-

comparación.

Es bien conocidoque dos problemascorrespondientes

a una mismahistoria

perocon incógnitas

distintasposeen

porcentajesde éxito diferentes

85

• Quitar: cuando se dice lo que se ha de quitar al esta-do mayor para igualar al menor.

Ejemplo: «J tiene 2 pta y P tiene 5 pta». Luego, «Si J gana 3pta, entonces tiene lo mismo que P» (Añadir) y «Si P pier-de 3 pta, entonces tiene lo mismo que J» (Quitar). Las his-torias de este tipo se llaman de igualación. También eneste caso hay tres problemas asociados a una historia. Enel ejemplo «Si P gana 2 pta, entonces tiene lo mismo queR. R tiene 6 pta. ¿Cuántas pta tiene P?» la incógnita es elestado menor.

Cambio (Cb)

Ahora consideramos un estado inicial i («esta mañana Jtenía 2 pta») que sufre una variación v («J ha ganado 3 pta»)y se obtiene un estado final f («J tiene ahora 5 pta»), demodo que v = f – i. Diremos que este tipo de historias tieneesquema i + v = f. Si la variación se expresa de forma sim-ple («J ha ganado», «J ha perdido»), entonces diremos quees una historia de cambio (Cb). Consideremos el siguienteejemplo: «Por la mañana J tenía 2 pta y por la noche tenía5 pta». Entonces decimos «J ha ganado 3 pta a lo largo deldía» (Simple). Según cuál sea el signo de v hablaremos decambio creciente (CbC) si v > 0 («J ha ganado 3 pta») o decambio decreciente (CbD) si v < 0 («J ha perdido 3 pta»). Enlos problemas de esta clase la incógnita puede ser i (esta-do inicial), v (variación) o f (estado final). En el ejemplo«Antes J tenía 5 pta y ahora tiene 2 pta. ¿Cuántas pta ha per-dido?» la incógnita es la variación v.

Cambio-Comparación (CbCo)

Una historia de cambio-comparación (CbCo) es una situa-ción aditiva con esquema i + v = f en la que la variación vse describe usando las palabras «más que» o «menos que»,expresiones utilizadas para la diferencia en las historias decomparación. Ejemplo: «Por la noche J tiene 3 pta más delo que tenía por la mañana» (Más) y «Por la mañana J tenía3 pta menos de lo que tenía por la noche» (Menos). Lostres problemas asociados a cada historia se determinansegún cuál sea la incógnita (estado inicial, variación, esta-do final). Así, «J tiene por la mañana 2 pta. Por la nochetiene 5 pta. ¿Cuántas pta tiene más por la noche que porla mañana?». En esta clase también se distinguen las histo-rias de Cambio creciente-Comparación (CbCCo) y Cambiodecreciente-Comparación (CbDCo).

Orden de presentación de los númerosen el enunciado

En los problemas con esquema x + y = z, los datos en elenunciado pueden presentarse siguiendo el orden x, y, z(x, y; x, z; y, z) o el orden opuesto (y, x; z, x; z, y). Hemosidentificado los problemas con orden opuesto marcándo-

los con *. Por ejemplo, los siguientesproblemas tienen diferentes orden enlos datos:

• Antes P tenía 6 pta y ahora tiene 4pta. ¿Cuántas pta más de lo quetiene ahora tenía antes?

• (*) P tiene ahora 4 pta y antes tenía6 pta. ¿Cuántas pta más de lo quetiene ahora tenía antes?

Tipos de problemas

Cada problema será clasificado confor-me a las siguientes categorías:

• Tipo de historia: comparación (Co),igualación (Ig), cambio creciente(CbC), cambio decreciente (CbD),cambio creciente-comparación(CbCCo), cambio decreciente-com-paración (CbDCo).

• Tipo de expresión: variación simple(Simple), comparación más (Más),comparación menos (Menos), igua-lar añadir (Añadir), igualar quitar(Quitar).

• Incógnita: estado inicial (Inic),variación (Var), estado final (Final),estado menor (Menor), diferencia(Dif), estado mayor (Mayor).

• Orden de los datos: orden delesquema, orden opuesto (*).

Por ejemplo, la historia de cambio cre-ciente simple (CbC-Simple) «Antes Jtenía 2 pta; ahora tiene 5 pta; luego haganado 3 pta», da lugar a los siguientestres problemas:

• CbC-Simple-Inic. Después de ganar3 pta, ahora J tiene 5 pta. ¿Cuántaspta tenía antes?

• CbC-Simple-Var. Antes J tenía 2 ptay ahora tiene 5 pta. ¿Cuántas ptaganó J?

• CbC-Simple-Fin. Antes A tenía 4pta. Después ganó 3 pta. ¿Cuántaspta tiene ahora?

Tipos de problemasen la investigación

Los enunciados de los 39 problemasque hemos considerado en nuestra

Cadaproblema

será clasificadoconforme

a las siguientescategorías:

Tipode historia,

Tipode expresión,

Incógnitay Orden

de los datos.

86

investigación se recogen en el apéndicey la terminología usada figura en latabla 2. De los 39 problemas, 9 son decambio, 6 de igualación, 6 de compara-ción y 18 de cambio-comparación. Acontinuación analizamos algunas carac-terísticas relevantes de los problemas.

Característica I: lenguaje inconsistente

En las publicaciones sobre problemas,se suele decir que un problema tienelenguaje inconsistente (I) cuando las«palabras clave» usadas en el enunciadosugieren un cálculo diferente del querealmente debe hacerse. Por ejemplo,en el problema:

• Co-Menos-Mayor. T tiene 2 pta. Ttiene 5 pta menos que E. ¿Cuántaspta tiene E?

se debe sumar 2 + 5, pero la expresión«menos que» puede llevar a ciertosalumnos a restar. De modo similar, en elproblema

• CbC-Simple-Inic. Después de ganar3 pta, ahora J tiene 5 pta. ¿Cuántaspta tenía antes?

debemos restar 5 – 3, aunque el término«ganado» puede sugerir una suma. Esdecir, diremos que un problema es delenguaje inconsistente cuando se debe

sumar y aparecen expresiones como «menos que» o «per-der», o si se debe restar y se usan expresiones como «másque» o «ganar». En la tabla 3 se indican con I los problemasde nuestra investigación que tienen lenguaje inconsistente.

…un problematiene

lenguajeinconsistente (I)

cuandolas «palabras clave»

usadasen el enunciado

sugierenun cálculo

diferente delque realmentedebe hacerse.

87

Tabla 2. Tipos de problemas considerados en la investigación

Cambio (Cb) Igualación (Ig)

Cb Creciente (CbC) Cb Decreciente (CbD)

CbC-Simple CbD-Simple CbD-Simple* Ig-Añadir Ig-Quitar

CbC-Simple-Inic CbD-Simple-Inic CbD-Simple*-Inic Ig-Añadir-Menor Ig-Quitar-Menor

CbC-Simple-Var CbD-Simple-Var CbD-Simple*-Var Ig-Añadir-Dif Ig-Quitar-Dif

CbC-Simple-Fin CbD-Simple-Fin CbD-Simple*-Fin Ig-Añadir-Mayor Ig-Quitar-Mayor

Cambio-Comparación (CbCo) Comparación (Co)

Cb Creciente (CbCCo) Cb Decreciente (CbDCo)

CbCCo-Más CbDCo-Más CbDCo-Más* Co-Más

CbCCo-Más-Inic CbDCo-Más-Inic CbDCo-Más*-Inic Co-Más-Menor

CbCCo-Más-Var CbDCo-Más-Var CbDCo-Más*-Var Co-Más-Dif

CbCCo-Más-Fin CbDCo-Más-Fin CbDCo-Más*-Fin Co-Más-Mayor

CbCCo-Menos CbDCo-Menos CbDCo-Menos* Co-Menos

CbCCo-Menos-Inic CbDCo-Menos-Inic CbDCo-Menos*-Inic Co-Menos-Menor

CbCCo-Menos-Var CbDCo-Menos-Var CbDCo-Menos*-Var Co-Menos-Dif

CbCCo-Menos-Fin CbDCo-Menos-Fin CbDCo-Menos*-Fin Co-Menos-Mayor

Tabla 3. Características de los problemas

CbC-Inic CbC-Var CbC-Fin

Simple I I

CbD-Inic CbD-Var CbD-Fin

Simple I

Simple* I

CbCCo-Inic CbCCo-Var CbCCo-Fin

Más IR(d) I

Menos IR(f)

CbDCo-Inic CbDCo-Var CbDCo-Fin

Más I IR(f)

Más* I IR(d)

Menos IR(d)

Menos* IR(f)

Ig-Menor Ig-Dif Ig-Mayor

Añadir I I R

Quitar R I

Co-Menor Co-Dif Co-Mayor

Más IR(d) I

Menos IR(f)

Característica R: el referente es la incógnita

En los problemas de comparación la relación entre los dosestados se expresa tomando uno de ellos como referente.Por ejemplo, en el problema:

• Co-Más-Mayor. T tiene 2 pta. M tiene 5 pta más queT. ¿Cuántas pta tiene M?

el referente es lo que tiene T. Si la comparación se expre-sa con «menos», como en el problema:

• Co-Menos-Mayor. T tiene 2 pta. T tiene 5 pta menosque M. ¿Cuántas pta tiene M?

el referente es ahora lo que tiene M, que coincide con laincógnita. En los problemas de cambio-comparación tam-bién hay un referente. En el problema:

• CbCCo-Menos-Fin. Antes A tenía 3 pta. Antes tenía 5pta menos que ahora. ¿Cuántas pta tiene ahora?

el referente es el número de pta que tiene ahora. En los pro-blemas de cambio no consideraremos que haya referente.

En ciertos problemas ocurre que el referente es la incógni-ta. Entonces diremos que tienen la característica R o queson R-problemas. En la tabla 3 se indican con R los R-pro-blemas de nuestra investigación.

Característica IR: lenguaje inconsistente y el referentees la incógnita

Usamos el símbolo IR cuando un problema tiene las doscaracterísticas anteriores: I y R. Esto sólo puede ocurrir enciertos problemas de cambio-comparación y de compara-ción, en los que la incógnita no es ni la variación ni la dife-rencia (ver tabla 3). En estos problemas, y sólo en ellos, elreferido es el estado conocido, mientras la incógnita es elreferente. En el ejemplo

• CbCCo-Más-Inic. Ahora L tiene 3 pta más que antes.Ahora tiene 5 pta. ¿Cuántas pta tenía antes?

el referido es lo que L tiene ahora y el referente es lo quetenía antes. Consideremos además los siguientes proble-mas, que son también de característica IR:

• CbDCo-Menos-Inic. Ahora M tiene 4 pta menos queantes. Ahora tiene 5 pta. ¿Cuántas pta tenía antes?

• CbCCo-Menos-Fin. Antes A tenía 3 pta. Antes tenía 5pta menos que ahora. ¿Cuántas pta tiene ahora?

• CbDCo-Más-Fin. Antes P tenía 8 pta. Antes tenía 3 ptamás que ahora. ¿Cuántas pta tiene ahora?

• Co-Más-Menor. T tiene 5 pta más que M. T tiene 7 pta.¿Cuántas pta tiene M?

• Co-Menos-Mayor. T tiene 2 pta. T tiene 5 pta menosque E. ¿Cuántas pta tiene E?

En los problemas CbDCo-Más-Fin, CbCCo-Menos-Fin yCo-Menos-Menor la IR-característica aparece de forma

fuerte (f), ya que se usan las expresio-nes repetitivas «Antes... Antes... ahora ...ahora» y «T... T... E... E». Por otro lado, enlos problemas CbCCo-Más-Inic, CbDCo-Menos-Inic y Co-Más-Menor la caracte-rística IR está en forma débil (d):«Ahora... antes. Ahora... antes» y «T... M.T... M». Consideramos de la máximaimportancia la diferencia entre las for-mas fuerte y débil de la característica IRya que, como veremos más adelante, losenunciados en forma fuerte son másdifíciles de comprender para los alum-nos que los de la forma débil.

Debe observarse que si se cambia elorden de los datos en el enunciado deCbDCo-Más-Fin [IR(f)], entonces el pro-blema se convierte en CbDCo-Más*-Fin[IR(d)]:

• CbDCo-Más*-Fin. Antes R tenía 3pta más que ahora. Antes tenía 8pta. ¿Cuántas pta tiene ahora?

Cuando se cambia el orden de presen-tación de los datos en CbDCo-Menos-Inic [IR(d)], entonces se convierte en elproblema CbDCo-Menos*-Inic [IR(f)]:

• CbDCo-Menos*-Inic. Ahora P tiene5 pta. Ahora tiene 4 pta menos queantes. ¿Cuántas pta tenía antes?

Por lo tanto, es claro que si se cambia elorden de presentación de los datos enel enunciado de un problema con carac-terística IR(f), entonces se obtiene unode característica IR(d), y viceversa.

Algunos autores (por ejemplo Verschaffel,1994) dicen que un problema tiene len-guaje inconsistente cuando tiene la IR-característica, lo que supone un uso másestricto de esta terminología.

La investigación:resultados y discusión

Se pasaron varios test a 267 estudiantesde tercero, cuarto, quinto y sexto de laEducación Primaria (8-12 años) a losque se encuestó sobre los 39 problemasaditivos a los que nos hemos referido enlas secciones previas. Constituían 15grupos de dos escuelas públicas deSanta Cruz de Tenerife. Hubo diez tests

Se pasaronvarios test

a 267estudiantes

de tercero, cuarto,quinto y sexto

de la EducaciónPrimaria

(8-12 años)a los que

se encuestósobre los 39problemasaditivos…

88

diferentes, cada uno con seis proble-mas. Los tests fueron aleatoriamente dis-tribuidos en cada grupo y cada alumnorespondió sólo a uno de ellos. De caraa evitar la posible influencia del ordende los problemas, de cada test se hicie-ron diferentes formatos cambiando elorden de los problemas. La respuestausual de los estudiantes fue escribir unaoperación (suma, resta, producto o divi-sión) o simplemente la solución, sinofrecer detalles de las operaciones. Lasrespuestas fueron clasificadas comobien, mal o en blanco.

El principal objetivo de la investigaciónfue la confirmación de que la clase delos problemas de cambio-comparación,que hasta ahora no había sido estudia-da, contiene suficientes elementos pro-pios que la distinguen de las otras tres(cambio, igualación y comparación) yque le confieren interés didáctico. No setrata sólo de una distinción formal entreclases de problemas, sino que la mane-ra de expresar la variación en los pro-blemas de cambio-comparación y cam-

bio es determinante de la dificultad, y que esta dificultadviene influida por las características a las que ya hemoshecho referencia.

En la tabla 4 se recoge el porcentaje de éxito alcanzado encada problema y la característica que posee. La observa-ción de la tabla nos dice que los resultados son muy dife-rentes. Así, los problemas de cambio creciente (CbC) y losde cambio creciente-comparación (CbCCo) de incógnitafin muestran éxitos de 94%, 93% y 37%, según que laexpresión de la variación se haga en las formas simple,más o menos, respectivamente. En el caso de los proble-mas de cambio decreciente-comparación (CbDCo) expre-sados en forma más, los porcentajes de éxito se sitúan enel 70%, 95% y 29% según que la incógnita fuera inic, varo fin, respectivamente. Se requiere, por tanto, un análisisalgo detallado, lo que hacemos a continuación.

Resultados generales

Es evidente que no se puede establecer un nivel estrictode dificultad entre las cuatro clases de problemas que esta-mos considerando. La tabla 4 muestra con claridad la rela-ción de las características I, R e IR, especialmente la últi-ma, con la mayor dificultad. Se puede apreciar que losproblemas IR(f) son generalmente los de menor éxito, par-ticularmente en los problemas de cambio-comparación,

El principalobjetivo

de la investigaciónfue

la confirmaciónde que la clase

de los problemasde cambio-

comparacióncontiene

suficienteselementos propiosque la distinguende las otras tres…

89

% Car % Car % Car

Cambio CbC-Inic CbC-Var CbC-Fin

Simple 77 I 75 I 94

CbD-Inic CbD-Var CbD-Fin

Simple 78 I 100 91

Simple* 81 I 94 94

Cambio Comparación CbCCo-Inic CbCCo-Var CbCCo-Fin

Más 65 IR(d) 78 I 93

Menos 80 90 37 IR(f)

CbDCo-Inic CbDCo-Var CbDCo-Fin

Más 70 95 I 29 IR(f)

Más* 91 64 I 45 IR(d)

Menos 47 IR(d) 94 84

Menos* 21 IR(f) 82 79

Igualación Ig-Menor Ig-Dif Ig-Mayor

Añadir 57 I 75 I 91 R

Quitar 85 R 98 50 I

Comparación Co-Menor Co-Dif Co-Mayor

Más 63 IR(d) 74 I 80

Menos 80 89 59 IR(f)

Tabla 4. Porcentajes de éxito (%) y características (Car) de los problemas

mientras que los IR(d) tienen porcentajes mayores. Lamayor influencia de la forma fuerte sobre los bajos resul-tados se aprecia mejor si nos fijamos en los problemas (*):CbDCo-Más-Fin [IR(f)] tiene un porcentaje de éxito de 29%y CbDCo-Más*-Fin [IR(d)] de 45%; de modo similar, elproblema CbDCo-Menos*-Inic [IR(s)] tiene el 21%, mien-tras que CbDCo-Menos-Inic [IR(d)] tiene el 47%. Lainfluencia de la característica IR en los problemas de com-paración no es tan marcada como en los problemas decambio-comparación.

Orden de los datos

El orden de los datos en el enunciado tiene clara influen-cia sobre el éxito en los problemas de cambio-compara-ción, aunque poco o nada en los de cambio, tal como seve en la tabla 4. Ya hemos indicado que el orden de losdatos en los problemas IR determina que esa característicasea en forma fuerte o débil, lo que tiene repercusión direc-ta en los porcentajes de éxito.

Estos resultados nos permiten formular conjeturas sobreproblemas que no hemos considerado en nuestra investi-gación. Concretamente, pensamos que los problemasCbCCo-Menos*-Fin y Co-Menos*-Mayor, ambos IR(d), sonmás sencillos de resolver que sus correspondientes IR(f),los problemas CbCCo-Menos-Fin y Co-Menos-Mayor, res-pectivamente. De modo similar, creeemos que los proble-mas CbCCo-Más*-Inic y Co-Más*-Menor, ambos IR(f), sonmás difíciles que sus similares IR(d): CbCCo-Más-Inic yCo-Más-Menor, respectivamente.

Cambio

Los problemas de cambio son los que mejores resultadostienen, entre 75% y 100%. Puede que la mayor atenciónen la escuela a este tipo de problemas explique parcial-mente estos porcentajes. Los más bajos valores están rela-cionados con la característica I, lo que confirma un resul-tado que Martínez y Aguilar (1994) obtienen en su inves-tigación. Debe notarse, sin embargo, que los problemasde característica IR o simplemente R no existen en la clasede cambio.

Cambio-comparación

Los tres problemas de esta categoría que poseen resulta-dos de éxito claramente inferiores a los otros (37%, 29% y21%) tienen la característica IR(f). Los tres siguientes conporcentajes más bajos (65%, 47% y 45%) son los de carac-terística IR(d).

En los problemas de cambio creciente–comparación, elmás difícil tras el IR(f) y el IR(d) es el que tiene la carac-terística I: 78%. En los de cambio decreciente-compara-ción, existe una pauta diferente, ya que tras los IR(f) y los

IR(d) viene un problema con caracterís-tica I, pero a él no le sigue el otro conesa misma característica, que llega aalcanzar un porcentaje del 95% de éxito,lo que no podemos explicar claramente.

Comparación

Los dos problemas de comparación conmás bajo éxito (63% y 59%) son los decaracterística IR. También son los quetienen más bajos porcentajes en el estu-dio de Martínez y Aguilar (1994).

Igualación

En esta clase, los más bajos porcentajes(50%, 57% y 75%) se corresponden conproblemas que poseen la característicaI, resultado que coincide con lo obteni-do por Martínez y Aguilar (1994). Losdos R-problemas (Ig-Quitar-Menor e Ig-Añadir-Mayor) no tienen bajos porcen-tajes de éxito. En esta clase de proble-mas, por tanto, los problemas con lacaracterística I son más difíciles deresolver que los de la característica R.Obsérvese que el problema con mayorporcentaje de éxito no tiene ninguna delas características I y R.

Problemas similares

Hay ciertos grupos de problemas quemuestran cierta semejanza, ya que tie-nen porcentajes de éxito similares y,además, sus enunciados pueden obte-nerse uno de otro intercambiando cier-tas palabras. Así ocurre, por ejemplo,con los problemas CbCCo-Menos-Inic(80%), CbDCo-Menos*-Fin (79%) y Co-Menos-Menor (80%). En efecto, si en elproblema:

• CbCCo-Menos-Inic. Antes E tenía 4pta menos que ahora. Ahora tiene 9pta. ¿Cuántas pta tenía antes?

reemplazamos «antes» y «ahora» por«ahora» y «antes», respectivamente, y lasformas verbales se modifican apropia-damente, se convierte en

• CbDCo-Menos*-Fin. Ahora J tiene 2pta menos que antes. Antes tenía 6pta. ¿Cuántas pta tiene ahora?

El ordende los datos

en el enunciadotiene clarainfluencia

sobre el éxitoen los problemas

de cambio-comparación,

aunquepoco o nada

en losde cambio…

90

Si en este último problema, «ahora» y«antes» son reemplazados por «R» y «L»,respectivamente, se obtiene:

• Co-Menos-Menor. R tiene 3 ptamenos que L. L tiene 5 pta.¿Cuántas pta tiene R?

Existen otras posibilidades similares deconjuntos de problemas, como se mues-tra en las tablas 5 y 6, aunque no siem-pre los porcentajes de éxito están tanpróximos como en el ejemplo anterior.

expresar la variación (simple, más que, menos que); losresultados de nuestra investigación muestran que la expre-sión usada es relevante en el nivel de éxito.Análogamente, si el esquema es a + d = b (estado menor+ diferencia = estado mayor), entonces hay cuatro formasde expresar la diferencia (más que, menos que, añadir,quitar) y esa expresión se relaciona con la dificultad delproblema. Con el fin de confirmar nuestra idea sobre laimportancia de la expresión hemos considerado cuatroclases de problemas aditivos con números positivos, tresde las cuales (cambio, comparación e igualación) eranbien conocidas y una cuarta (cambio-comparación) hasido estudiada en este trabajo por primera vez. Los pro-blemas de cambio y de cambio-comparación tienen unesquema común (i + v = f) pero la expresión de la varia-ción es diferente; también los problemas de comparacióny de igualación poseen un mismo esquema (a + d = b),pero la diferencia se expresa de maneras distintas.Además, la expresión para la variación y la diferencia sonsimilares en los problemas de cambio y de igualación, ytambién en los problemas de cambio-comparación y enlos de comparación.

Con el fin de estudiar la influencia de la expresión hemosconsiderado algunas características de los problemas rela-cionadas con dicha expresión. La característica I se refierea un «lenguaje inconsistente», que aparece cuando se usanpalabras en el enunciado que pueden sugerir una sumacuando lo correcto es restar, o una resta cuando lo correc-to es sumar. La característica R indica que el referente esla incógnita. Los resultados de nuestra investigación mues-tran que ambas características tienen relevancia en la reso-lución de los problemas, pero es, sobre todo, la conjun-ción de ambas (IR) la que posee una muy destacadainfluencia, especialmente cuando el orden de los datos enel enunciado hace que adopte la forma fuerte IR(f).

Los resultados nos permiten establecer que la clase de losproblemas de cambio-comparación tiene entidad propia.Por otro lado, los problemas de cambio no tienen la IR-característica, mientras que ésta sí aparece en los de cam-bio-comparación, y consecuentemente los hace más difíci-les. Por otro lado, los problemas de cambio-comparación

91

% % %

CbCCo-Más-Inic 65 CbDCo-Más*-Fin 45 Co-Más-Menor 63

CbCCo-Más-Var 78 CbDCo-Más*-Var 64 Co-Más-Dif 74

CbCCo-Más-Fin 93 CbDCo-Más*-Inic 91 Co-Más-Mayor 80

CbCCo-Menos-Inic 80 CbDCo-Menos*-Fin 79 Co-Menos-Menor 80

CbCCo-Menos-Var 90 CbDCo-Menos*-Var 82 Co-Menos-Dif 89

CbCCo-Menos-Fin 37 CbDCo-Menos*-Inic 21 Co-Menos-Mayor 59

Tabla 5. Ternas de problemas similares

% %

CbDCo-Menos-Inic 47 CbDCo-Más*-Fin 45

CbDCo-Más-Fin 29 CbDCo-Menos*-Inic 21

CbDCo-Más-Inic 70 CbDCo-Menos*-Fin 79

CbDCo-Más*-Inic 91 CbDCo-Menos-Fin 84

Tabla 6. Parejas de problemas similares

Conclusiones

El principal objetivo de la investigaciónque presentamos en este artículo fueponer de relieve que la forma de expre-sar ciertas sentencias de los enunciadosde los problemas también tiene influen-cia en la resolución.

Una situación aditiva simple puedeexpresarse de diversas formas. En lassituaciones asociadas al esquemai + v = f (estado inicial + variación =estado final), hay tres maneras de

difieren de los de comparación en que los IR-problemasestán entre los de menor éxito. Hay otros, sin embargo,con la característica I que tiene éxito similar en ambas cla-ses. Por tanto, se puede decir que la característica IR esuna condición particularmente negativa en los problemasde cambio-comparación, pero de menor influencia en losde comparación e igualación.

En el ámbito de las clases de problemas estudiadas en estainvestigación, creemos que la comprensión de la situaciónnumérica que se describe en el enunciado del problema,de tal forma que resulte posible algún tipo de representa-ción mental, es suficiente para la correcta resolución delmismo. Consecuentemente, pensamos que los menoresporcentajes de éxito en ciertos problemas se explican por-que tienen enunciados que hacen difícil comprender lasituación numérica, de manera que el alumno no es capazde imaginar esa situación y, entonces, responde al proble-ma, si lo hace, haciendo con los datos la operación que leparece más razonable (usando las palabras clave). Estehecho ya había sido descrito por otros autores en los pro-blemas de comparación y nuestra investigación nos llevaa extender esos resultados a los de cambio-comparación.

Parece necesario complementar esta investigación con losaspectos cognitivos en el proceso de resolución de losproblemas por parte de los alumnos. Concretamente, seráde mucho interés estudiar los esquemas conceptuales queusan los alumnos y averiguar si utilizan el mismo esque-ma ante los problemas de cambio-comparación que antelos de cambio, o si, por el contrario, es el mismo que uti-lizan ante los de comparación. La clarificación de estepunto sería decisivo para precisar si, en la resolución delos problemas, lo dominante es la estructura del problema(el esquema) o la forma de expresar la situación.

Podemos obtener de nuestra investigación algunas conse-cuencias para la enseñanza. Con lo que hemos dichoresulta claro que lo decisivo es que el alumno comprendael enunciado del problema y que logre hacer una repre-sentación mental de la situación numérica. En este senti-do, diferentes investigaciones han mostrado que el uso dediagramas y gráficos, o el uso de material manipulativo,puede resultar muy valiosos para la comprensión de losproblemas (Riley, Greeno y Heller, 1983). También resultaeficiente el trabajo directo sobre los enunciados, bienredactando con palabras propias un enunciado dado pre-viamente (Verscahffel, 1994) o bien inventando problemas(Rudnitsky y otros, 1995).

Algunos autores (como Rudnitsky et al., 1995) consideranque el conocimiento de las diferentes clases de problemasdebe formar parte del currículo escolar y que los alumnosdeben ser capaces de identificarlos como de cambio, igua-lación o comparación. Sin necesidad de llegar tan lejos, sínos parece adecuado para mejorar la habilidad de losalumnos para resolver problemas que conozcan que una

misma situación numérica puede serexpresada de muy diferentes maneras.

Finalmente, las conclusiones de este tra-bajo refuerzan las ya comentadas en laliteratura sobre la importancia quedeben conceder los redactores de librosde texto a las expresiones usadas en losenunciados de los problemas. Tambiénlos profesores deben ser conscientes dela relevancia de la expresión, no sólo ala hora de resolverlos, sino también alanalizar las respuestas de los alumnos.

Referencias bibliográficasBRUNO, A. y A. MARTINÓN (1996): «Problèmes

additifs (1): d’etats; (2): de variations; (3):de comparaisons», Math Ecole (1) n.° 171,17-20; (2) n.° 172, 24-27; (3) n.° 173, 33-37.

BRUNO, A. y A. MARTINÓN (1997): «Clasi-ficación funcional y semántica de proble-mas aditivos», Educación Matemática,n.° 9, 33-46.

CARPENTER, T. y J. MOSER (1982): «The deve-lopment of addition and subtraction pro-blem-solving skills», en T. CARPENTER, J.MOSER y T. Romberg (eds.): Addition andsubtraction: A cognitive perspective, LEA,New Jersey, 9-24.

DE CORTE, E. y L. VERSCHAFFEL (1991):«Some factors influencing the solution ofaddition and subtraction problems», enK. DURKIN, y B. SHIRE (eds.): Languagein Mathematical Education. Researchand practice, Open University Press,Buckinghampp, 117-130.

FUSON, K. C. (1992): «Research on wholenumber addition and subtraction», en D. A.GROUWS (ed.): Handbook of Researchon Mathematics Teaching and Lear-ning, Macmillan, New York, 243-275.

FUSON, K. C. y G. B. WILLIS (1986): «Firstand Second Grader’s Performance onCompare and Equalize Word Problems»,en Proceedings of the 10th InternationalConference on the Psychology ofMathematics Education, University ofLondon, Institute of Education, 19-24.

MARTÍNEZ MONTERO, J. y M. AGUILARVILLAGRÁN (1996): «La categoría semán-tica de igualación. Rasgos distintivos res-pecto a las de cambio y comparación»,Suma, n.° 21, 35-39.

RILEY, M., J. GREENO y J. HELLER (1983):«Development of children’s problem-sol-veng ability in arithmetic», en P.GINSBURG, (ed.): The development of

…sínos pareceadecuado

para mejorarla habilidad

de los alumnospara resolver

problemasque conozcan

que una mismasituaciónnuméricapuede serexpresada

de muy diferentesmaneras.

92

mathematical thinkig, Academic Press.Orlando, Florida, 153-196. .

RUDNITSKY, A., S. ETHEREDGE, S. J. M. FRE-EMAN y T. GILBERT (1995): «Learning tosolve addition and subtraction word pro-blems through a structure-plus-writingapproach», Journal for Research inMathematics Education, n.° 26, 467-486.

TEUBAL, E. y P. NESHER,(1991): «Order ofmention vs order of events as determiningfactors in additive word problems: A deve-

lopmental approach», en K. DURKIN y B. SHIRE (eds.):Language in Mathmatical Education. Research and practice,Open University Press, Buckingham, 131-139.

VERSCHAFFEL, L. (1994): «Using retelling data to study elemen-tary school children’s representations and solutions of com-pare problems», Journal for Research in MathematicsEducation, n.° 25, 141-165.

VERSCHAFFEL, L.; DE CORTE, E. (1996): «Number andArithmetic», en A. J. BISHOP y otros (eds.): InternationalHandbook of Mathematics Education, Kluwer, Dordrechet,99-137.

Alicia BrunoAntonio MartinónFidela VelázquezSociedad Canaria

de Profesoresde Matemáticas«Isaac Newton »

93

Cambio creciente

• CbC-Simple-Inic. Después de ganar 3pta, ahora J tiene 5 pta. ¿Cuántas ptatenía antes?

• CbC-Simple-Var. Antes J tenía 2 pta yahora tiene 5 pta. ¿Cuántas pta ganó J?

• CbC-Simple-Fin. Antes A tenía 4 pta.Después ganó 3 pta. ¿Cuántas pta tieneahora?

Cambio decreciente

• CbD-Simple-Inic. Después de perder 3pta, ahora R tiene 4 pta. ¿Cuántas ptatenía antes?

• CbD-Simple*-Inic. Ahora R tiene 4 pta,después de perder 3 pta. ¿Cuántas ptatenía antes?

• CbD-Simple-Dif. Antes J tenía 5 pta yahora tiene 2 pta. ¿Cuántas pta perdióJ?

• CbD-Simple*-Dif. Ahora E tiene 2 pta yantes tenía 5 pta. ¿Cuántas pta perdióE?

• CbD-Simple-Fin. Antes J tenía 9 pta.Después perdió 4 pta. ¿Cuántas ptatiene ahora?

• CbD-Simple*-Fin. Antes de perder 4 pta,J tenía 9 pta. ¿Cuántas pta tiene ahora?

Cambio creciente-Comparación

• CbCCo-Más-Inic. Ahora L tiene 3 ptamás que antes. Ahora tiene 5 pta.¿Cuántas pta tenía antes?

• CbCCo-Más-Var Antes L tenía 4 pta yahora tiene 7. ¿Cuántas pta más tieneahora que antes?

• CbCCo-Más-Fin. Antes P tenía 5 pta.Ahora tiene 4 pta más que antes.¿Cuántas pta tiene ahora?

• CbCCo-Menos-Inic. Antes E tenía 4 ptamenos que ahora. Ahora tiene 9 pta.

¿Cuántas pta tenía antes?

• CbCCo-Menos-Var. Antes L tenía 5 pta yahora tiene 9. ¿Cuántas pta menos teníaantes que ahora?

• CbCCo-Menos-Fin. Antes A tenía 3 pta.Antes tenía 5 pta menos que ahora.¿Cuántas pta tiene ahora?

Cambio decreciente-Comparación

• CbDCo-Más-Inic. Antes L tenía 3 pta másque ahora. Ahora tiene 2 pta. ¿Cuántaspta tenía antes?

• CbDCo-Más*-Inic. Ahora J tiene 2 pta.Antes tenía 3 pta más que ahora.¿Cuántas pta tenía antes?

• CbDCo-Más-Var. Antes P tenía 6 pta yahora tiene 4 pta. ¿Cuántas pta mástenía antes que ahora?

• CbDCo-Más*-Var. P tiene ahora 4 pta yantes tenla 6 pta. ¿Cuántas pta mástenía antes que ahora?

• CbDCo-Más-Fin. Antes P tenía 8 pta.Antes tenía 3 pta más que ahora.¿Cuántas pta tiene ahora?

• CbDCo-Más*-Fin. Antes R tenía 3 ptamás que ahora. Antes tenía 8 pta.¿Cuántas pta tiene ahora?

• CbDCo-Menos-Inic. Ahora M tiene 4 ptamenos que antes. Ahora tiene 5 pta.¿Cuántas pta tenía antes?

• CbDCo-Menos*-Inic. Ahora P tiene 5pta. Ahora tiene 4 pta menos que antes.¿Cuántas pta tenía antes?

• CbDCo-Menos-Var. Antes M tenía 9 ptay ahora tiene 5 pta. ¿Cuántas pta menostiene ahora que antes?

• CbDCo-Menos*-Var. M tiene ahora 5pta y antes tenía 9 pta. ¿Cuántas ptamenos tiene ahora que antes?

• CbDCo-Menos-Fin. Antes A tenía 6 pta.

Ahora tiene 2 pta menos que antes.¿Cuántas pta tiene ahora?

• CbDCo-Menos*-Fin. Ahora J tiene 2 ptamenos que antes. Antes tenía 6 pta.¿Cuántas pta tiene ahora?

Igualación

• Ig-Añadir-Menor. Si P gana 2 pta, enton-ces tiene lo mismo que R. R tiene 6 pta.¿Cuántas pta tiene P?

• Ig-Añadir-Dif. T tiene 3 pta y M tiene 8.¿Cuántas pta tiene que ganar T paratener lo mismo que M?

• Ig-Añadir-Mayor. R tiene 4 pta. Si Rgana 2 pta, entonces tiene lo mismo queP. ¿Cuántas pta tiene P?

• Ig-Quitar-Menor. Si C pierde 5 pta,entonces tiene lo mismo que A. C tiene 7pta. ¿Cuántas pta tiene A?

• Ig-Quitar-Dif. C tiene 2 pta y A tiene 7.¿Cuántas pta tiene que perder A paratener lo mismo que C?

• Ig-Quitar-Mayor. A tiene 4 pta. Si C pier-de 2 pta, entonces tiene lo mismo que A.¿Cuántas pta tiene C?

Comparación

• Co-Más-Menor. T tiene 5 pta más que M.T tiene 7 pta. ¿Cuántas pta tiene M?

• Co-Más-Dif. R tiene 2 pta y A tiene 7pta. ¿Cuántas pta más tiene A que R?

• Co-Más-Mayor. T tiene 2 pta. M tiene 5pta más que T. ¿Cuántas pta tiene M?

• Co-Menos-Menor. R tiene 3 pta menosque L. L tiene 5 pta. ¿Cuántas pta tieneR?

• Co-Menos-Dif. P tiene 4 pta y A tiene 6pta. ¿Cuántas pta menos tiene P que A?

• Co-Menos-Mayor. T tiene 2 pta. T tiene 5pta menos que E. ¿Cuántas pta tiene E?

Anexo: enunciados de los problemas

Aspectos didácticosde matemáticas. 8

INSTITUTO DE CIENCIASDE LA EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

CONTENIDOS

• Geometría y realidad. CLAUDI ALSINA

• El álgebra escolar no es sólo cuestión de contenidos. MARÍA ÁNGELES ORTIZ

• Hacer matemáticas: el juego como recurso. JOSÉ MARÍA GAIRÍN

• Utilización didáctica del vídeo en matemáticas. ANTONIO PÉREZ SANZ

• Recursos de hoy y de ayer para enseñar matemáticas. JOSÉ LUIS ÁLVAREZ

BOLETÍN DE PEDIDO

Deseo me envíen contra reembolso de 1.200 pesetas más gastos de envío, el libro Aspectos didácticos de Matemáticas. 7.

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dirección: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Población: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.P.: . . . . . . . . . . . Provincia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CIF o NIF (a efectos de emitir la obligatoria factura): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remitir a:

Instituto de Ciencias de la Educación. C/ Pedro Cerbuna, 12. 50009 ZARAGOZA. Tno.: (976) 761991. Fax: (976) 761345

RADICIONALMENTE, los profesores de Matemáticas sole-mos decir en clase que las demostraciones sirven para con-vencernos de que el resultado que estamos considerando esverdad. Sin embargo, Bell (1976) advierte tres funciones dela demostración matemática: Verificación o justificación,concerniente con la verdad de la proposición. Iluminación,de tal forma que se espera que una buena demostraciónproporcione ideas de por qué la proposición es cierta. Y,Sistematización, esto es, la organización de los resultados enun sistema deductivo de axiomas, conceptos principales yteoremas, así como los resultados derivados de estos.

De Villiers (1993) desarrolla las ideas de Bell y critica laposición tradicional, mostrando casos en los que la verifi-cación no juega un papel primordial y es superada por otrasfunciones de la demostración. El modelo de De Villiers dis-tingue las siguientes funciones: Verificación, concerniente ala verdad de una afirmación. Explicación, profundizandoen por qué es verdad. Sistematización, la organización devarios resultados dentro de un sistema de axiomas, con-ceptos fundamentales y teoremas. Descubrimiento o inven-ción de nuevos resultados. Y Comunicación, la transmisióndel conocimiento matemático.

Ibañes (1997) adapta este modelo para los estudiantes debachillerato, y analiza el reconocimiento por parte de éstosde las diversas funciones de la demostración en un teorema.

Aquí, nos centraremos en la función de descubrimiento,exponiendo un ejemplo de demostración geométrica quesugiere nuevas proposiciones. Consideremos el siguienteresultado:

TeoremaEn este artículo se expone un

ejemplo de cómo unademostración de un teoremageométrico puede sugerir el

descubrimiento de otrosresultados.

95

Un ejemplo de demostraciónen Geometría como mediode descubrimiento

Marcelino J. Ibañes Jalón

ARTÍCULOS

T

37

junio 2001, pp. 95-98

Los puntos medios de los lados de un romboide definen unrectángulo.

Demostración

Del triángulo ABC de la figura 1 se deduce que PQ//AC,y del triángulo ACD se deduce que SR//AC; por lo tanto,PQ//RS. De la misma forma se prueba que PS//QR. LuegoPQRS es un paralelogramo. Además, puesto que AC _| BDse tiene que PQ _| PS, y, por consiguiente, PQRS es un rec-tángulo.

corresponden, respectivamente, a cadauna de ellas:

• ¿Cómo afectaría a la demostraciónprescindir de algunas condiciones?

• ¿Cómo afectaría a la demostraciónañadir nuevas condiciones?

• ¿Cómo afectaría a la demostraciónsustituir algunas condiciones porotras análogas?

• ¿Cómo afectaría a la demostraciónsustituir algunas condiciones porsus duales?

A continuación, ponemos en prácticaestas ideas en un proceso que está ins-pirado en De Villiers (1996), donde seencuentran algunos de los teoremas quese citan a continuación. Partimos delenunciado [1]:

96

A

C

B D

P S

Q R

Figura 1

Como hace notar De Villiers (1996), la causa de que PQRSsea un paralelogramo es la perpendicularidad de las diago-nales del romboide; pero, en la demostración no se ha utili-zado el hecho de que el romboide tiene un eje de simetría(AC). Esta observación permite enunciar un nuevo teorema:

Teorema

Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero ortodia-gonal (cuadrilátero con diagonales perpendiculares) definenun rectángulo. (Figura 2)

De esta manera, tenemos un primer ejemplo en el que lademostración de un teorema nos ha permitido descubrirun nuevo resultado; pero, nuestro objetivo es obtener ungran número de nuevos teoremas. Para ello, vamos a apli-car las estrategias de descubrimiento que suelen utilizarseen Matemáticas. Polya (1966) menciona la generalización,la particularización y la analogía; nosotros, también con-sideraremos la dualidad. Para aplicarlas con éxito al enun-ciado de un teorema, puede ser útil reflexionar sobre sudemostración haciendo las siguientes preguntas que

A

B D

P S

Q R

C

Figura 2

Al unir consecutivamente los puntosmedios de los lados de un rectángulo(una clase de cuadriláteros con diago-nales iguales), se obtiene un rombo(una clase de cuadriláteros con diago-nales perpendiculares). (Figura 3)

Su demostración es parecida a la expues-ta en el teorema de más arriba, por loque se propone al lector. Únicamente,destacaremos que, ahora, la causa deque PQRS sea un rombo es que el rec-

tángulo tiene las diagonales iguales.Considerando como duales los concep-tos diagonales iguales y diagonales per-pendiculares, si nos preguntamos: ¿cómoafectaría a la demostración sustituir en elcuadrilátero de partida ABCD «diagonalesiguales» por «diagonales perpendicula-res»?, enseguida llegaríamos a la conclu-sión de que también deberíamos hacer lamisma sustitución en el cuadrilátero ob-tenido PQRS. Por lo tanto, a partir de [1],se obtiene, por dualidad, [2]:

Obsérvese que [3] y [4] son duales.

Particularizando estos dos últimosresultados se obtienen, respectivamente,[5] y [6]:

97

A

BD

P S

Q R

S

B C

P R

A D

Q

Figura 3

Al unir consecutivamente los puntosmedios de los lados de un rombo (unaclase de cuadriláteros con diagonalesperpendiculares), se obtiene un rectán-gulo (una clase de cuadriláteros condiagonales iguales). (Figura 4)

S

B

C

P

R

A

D

Q

Figura 4

De la misma manera, se pueden aplicartambién las otras estrategias de descubri-miento, ayudándonos de las correspon-dientes preguntas. Así, generalizando [1] y[2] se obtienen, respectivamente, [3] y [4]:

Al unir consecutivamente los puntosmedios de los lados de un cuadriláteroequidiagonal (cuadriláteros con diago-nales iguales), se obtiene un rombo(una clase de cuadriláteros con diago-nales perpendiculares). (Figura 5) Obsérvese también que [5] y [6] son duales.

Al unir consecutivamente los puntosmedios de los lados de un cuadriláteroortodiagonal (cuadriláteros con diago-nales perpendiculares), se obtiene unrectángulo (una clase de cuadriláteroscon diagonales iguales). (Figura 2)

C

Figura 5

Al unir consecutivamente los puntos medios de los lados deun trapecio isósceles (una clase de cuadriláteros con diago-nales iguales), se obtiene un rombo (una clase de cuadriláte-ros con diagonales perpendiculares). (Figura 6)

Al unir consecutivamente los puntos medios de los lados deun romboide (una clase de cuadriláteros con diagonales per-pendiculares), se obtiene un rectángulo (una clase de cua-driláteros con diagonales iguales). (Figura 1)

A

B

D

P

S

R

CQ

Figura 6

Referencias bibliográficasBELL, A. W. (1976): «A study of pupils’ proof-explanations in mat-

hematical situations», Educational Studies in Mathematics, n.°7, 23-40.

IBAÑES, M. (1997): «Alumnos de Bachillerato interpretan unademostración y reconocen sus funciones», Uno, n.° 13, 95-101.

POLYA, G. (1966): Matemáticas y razonamiento plausible, Tec-nos, Madrid.

VILLIERS, M. de (1993): «El papel y la función de la demostraciónen Matemáticas», Epsilon, 26, 15-30.

VILLIERS, M. de (1996): Some Adventures in Euclidean Geometry,University of Durban-Westville, South Africa.

Marcelino J. Ibañes IES Vega del Prado.

Valladolid

98

Al unir consecutivamente los puntos medios de los lados de uncuadrado (una clase de cuadriláteros con diagonales igualesy perpendiculares), se obtiene un cuadrado. (Figura 7)

Y, por conjunción de [3] y [4], se obtiene [8]:

A

B

D

P

S

R

CQ

Figura 7

Al unir los puntos medios de los lados de un cuadriláteroequiortodiagonal (cuadriláteros con diagonales iguales y per-pendiculares), se obtiene un cuadrado (una clase de cuadri-láteros con diagonales iguales y perpendiculares). (Figura 8)

A

B D

P S

R

C

Q

Figura 8Todo el proceso anterior se resume en el esquema de lafigura 9.

Finalmente, debe destacarse que algunos de estos teoremasno son fácilmente imaginables, por lo que, posiblemente, nose hubieran podido enunciar de no seguir este camino. Asípues, gracias al análisis cuidadoso de las demostraciones, yaplicando las estrategias de descubrimiento citadas, se handescubierto nuevos resultados, y se podrían obtener algunosmás; entre ellos, el conocido teorema de Varignon:

Teorema

A

BD

PS

R

C

Q

Figura 10

Al unir consecutivamente los puntos medios de un cuadriláte-ro cualquiera se obtiene un paralelogramo. (Figura 10)

1

2

7

3

48

5

6

Dualidad Conjunción

Dualidad

Conjunción

Dualidad

Figura 9

Una clase especial de particularización es la conjunción.Por conjunción de [1] y [2], se obtiene [7]:

CTO 1

Entran en el escenario dos angelitos transportando unacaja. Humos-música-juego de luces.

De la caja sale 1. Se apaga todo.

Conseguir el efecto de que ha pasado el tiempo.

Vuelven a encenderse las luces.

La Unidad (1) se pasea por el escenario o permanece acu-rrucada mientras se oye una música tipo «carros de fuego».Se despereza despacio. El uno, en grande, va en el traje,bien pintado o recortado.

1. Qué bien me encuentro... Todos me dicen que soyla mejor... Todos me respetan porque saben quesin mi no serían nada. Miren, ahí viene Dos. Fue elprimero que engendré. Aunque es un enano, es elmayor de mis hijos. A veces pienso que le falta unagüita,… Hola Dos.

2. Hola, mamá. ¿Es cierto lo que me han contado?

1. ¿Qué te dijeron, hijo mío?

2. Que habías sido capaz de engendrar también nadamenos que a 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Entran uno a uno por la izquierda del escenario

1. No me fue difícil. Me repetía una y otra vez y asílos engendré a todos.

2. Entonces, ¿eres hermafrodita?

1. Algo así, algo así.

2. Y, ¿no puedes engendrar a más?

1. No. Hasta ahí llegué y dudo que pueda seguir.

Ruidos. Todos salen corriendo atravesando el escenariohacia la derecha.

El Cero, el Uno y el Dos

Graves autores contaronque en el país de los cerosel uno y el dos entraron,y desde luego trataron

de medrar y hacer dinero.

Pronto el uno hizo cosechapues a los ceros honrabacon amistad muy estrecha,

y, dándoles la derecha,así el valor aumentaba.

Pero el dos tiene otra cuerda:¡todo es orgullo maldito!,y con táctica tan lerda

los ceros pone a su izquierday así no medraba un pito.

En suma: el humilde unollegó a hacerse millonariomientras el dos inoportuno,por su orgullo cual ninguno

no pasó de perdulario

99

La Creación de los Números

Luis Balbuena Castellano

MISCELÁNEA

A

37

junio 2001, pp. 99-104

La Unidad se mueve de un lado para otro expectante, ner-viosa.

Alguien vestido de blanco y aspecto hindú, colocado en elentresuelo. Foco iluminándolo.

Fakir. Escúchame Unidad! No es bueno que estés sola. Tevoy a enviar un compañero. Cuida de él. No lemaltrates. Ámale. Y ya sabes, haciendo bien elamor podréis crecer y multiplicar la estirpe, quebuena falta hace...

1. Pero, ¿cómo se hace el amor? ¿cómo?, por favor, ¡note vayas sin decirme cómo...!

Más ruido y aparece, en medio de bruma, el Cero.

Entra tímido. La Unidad lo mira con curiosidad. Se inten-ta acercar. El Cero le huye. Una vez más y otra…

1. Eh, ¿cómo te llamas?

0. Cero.

1. Qué nombre tan raro. ¿Y tengo que amarte? Sí,tengo que hacer el amor contigo.

0. ¡Oh, qué horror! Jamás he estado con dama algu-na. ¡Socorro! Me quieren violar…

1. Ven acá, no seas tímido. No te haré daño.

Se acercan tímidamente dando vueltas uno alrededor delotro.

1. Oye, Cero ¿tú sabes que tenemos que hacer elamor para aumentar la estirpe? Eso fue lo que medijo un ser misterioso. ¡Pero no me explicó cómohemos de hacerlo!

0. Ni idea. Ya te he dicho que jamás he estado condama alguna.

Se coloca Cero por la izquierda. Entra Dos.

2. Mamá, ¿quién es ese gordinflón? ¿Es acaso uno delos nuestros?

1. ¿Recuerdas el ruido de antes? Presentía que algoiba a pasar. Y lo que pasó es que alguien, desdearriba (señala el entresuelo), me avisó de que meenviaría un compañero para… bueno (carraspea),bueno, cuando seas mayor ya lo entenderás.

1 se acerca lentamente a Cero mientras repite varias veces:

1. ¿Cómo se hará? ¿Cómo se hará?...

1 se mueve lentamente y se sitúa a la derecha de Cero, algolejos y se va acercando poco a poco.

2. ¡Alto! ¡Alto! Pero, ¿qué es lo que veo? (dirigiéndoseal público) ¿Ven ustedes lo mismo que yo? Esto esimpresionante. Mírenlos, qué acaramelados y loque es más grandioso, ahí está el fruto de su amor.Mírenlo ahí, ¿lo ven? Y no han tenido que pasarnueve meses ni diez lunas. ¡Oh, qué alegría! ¡Tengo

un hermanito! ¡Tengo un herma-nito! (Dando saltos y en tonocantarín). Música.

Entran los otros, 3, 4, 5,… por laizquierda.

2. Yo también quiero, yo tambiénquiero…

Y yo, y yo,…

Empiezan a formar números y másnúmeros mientras se van colocandosucesivamente a la derecha de cero ybailan. Música.

Se cierra el telón.

[Telón]

Acto 2

1. ¡Ah! Ahora si que soy feliz deltodo. Podemos llegar a ser tantoscomo queramos, sin límite algu-no. Menos mal que Aquel (seña-lando el entresuelo) me envió aCero (señalándolo). Es gorditopero «funciona» muy bien. Hemoscreado una gran familia ¡la de losnúmeros naturales! Pero, ¡si vierancómo se pone cuando lo coloco ami izquierda! A veces lo hagopara hacerlo enfadar. Ahí viene…

0. ¡Estoy aburrido!

1. ¿Qué te pasa cariñito mío? (Secoloca a su derecha)

0. Oye, te he dicho que no te pon-gas por ese lado. Me haces sen-tir insignificante.

1. Pero, ¿no me vas a decir por quéte aburres? ¿has visto cómo medivierto yo? Antes de que tuvinieras, sí que era un aburri-miento pero ahora, …uuu… hm.

0. Bueno, bueno... (Se quita a unlado). Mira, me aburro porqueesto es siempre igual. Nos repro-ducimos como las hormigaspero nada más.

1. ¿Y qué más quieres?

0. Tú no lo entiendes... A mí megustaría que entre tú y yo hubie-se algo más.

100

Entra Cinco por la izquierda.

5. ¿Qué te pasa, Cero? Te veo carade enfadado.

0. Tu madre no me comprende. Megustaría engendrar algo diferen-te. Estoy cansado de tantonúmero natural. Pero no sécómo lo tengo que hacer. Si esque hay algún método…

Uno se vuelve a colocar a la izquierdadel Cero.

0. Me tienes aburrido. ¿Cómo tetengo que decir que no te colo-ques a ese lado? Ya sé, voy a colo-car este palo entre tú y yo ¡así medejarás tranquilo de una vez!

Toma una coma del suelo y la colocaentre él y 1 formando 0,1. La Unidadempieza a gemir.

0. ¿Oh?, pero… ¿Qué está pasando?

5. (Mirando cada vez con másasombro). ¡Eh chicos!, vengan,¡rápido!¡rápido!

Entran 2, 3, 4,… por la izquierda.

2. ¿Qué pasa?

5. ¿Ustedes ven lo mismo que yo?¿y ustedes? (mirando al público)¡Miren qué hermosa criatura!

2. ¡Oh, es verdad! ¡es verdad!¡Tengo un hermanito! ¡Tengo unhermanito...!

Música… baile,… otros decimalespasándose la coma unos a otros…

[Telón]

Acto 3

Colgado, un cuadro del Cero. Mesa a unlado preparada para la fracción.

La Unidad está sentada detrás de lamesa sobre la que hay un álbum muygrande. Es un bloc de dibujo en el queestán dibujados, o hechos con ordena-dor, unos números grandes, para que elpúblico los pueda ver.

1 ¡Quién me lo iba a decir a mí!(Señalando el cuadro) ¡Ese gor-

dito es una mina! ¡es una joya!. A mi familia, la delos números naturales, ahora le tenemos que aña-dir otra también muy, muy numerosa: le he puestode nombre los números decimales. Es algo raropero le va bien. Es una familia curiosa.

Fíjense, si colocamos a mi gordito a la izquierdapero con aquel palito, que él tan sabiamente usó,podemos formar una familia tan numerosa como lade los números naturales. Vean las fotos que hicede algunos de ellos.

Muestra los números 0’1, 0’001, 0’00001, pasando lashojas de un álbum.

Estos somos el gordito y yo. ¡Quedamos bien ver-dad! Formamos una pareja que ni el Banderas conla «Melenas Grifienta» esa que se trajo deHollywood... (actualizar con la pareja de moda...)

Enseña el 0’2, 0’211, 0’22335,…

¿Ven? Son infinitos

Pero, la curiosidad mayor es que si en lugar delgordito me pongo yo delante del palito ¡tenemosotra infinidad de decimales!

Es grandioso.

Vean algunos de ellos conmigo.

Enseña los números 1,1, 1,001, 1,0002, 1,253, 1,0012,1,859532,…

101

Entra Cero.

1. ¡Hola cariñito mío! ¡Mi gordito relleno y sabroso!¿Tienes alguna otra brillante idea?

0. ¡Yo qué sé! Pregúntale a Aquel. (Señala el entre-suelo).

En ese momento entran en el escenario, siempre por laizquierda, el 2 y el 5 jugando. El 5 intenta coger al 2. Éste sesube a la mesa y el 5 se acerca agachado por debajo de lamesa de forma que desde butacas se ve 2/5. Cuando formanel 2/5 se quedan quietos. Mientras, entran en el escenario losotros, 3, 4, 5,… y al ver a 2/5 se quedan mirando y gritan:

Todos. ¡Tengo un hermanito! ¡Tengo un hermanito!(Imitando el tonillo del 2).

El 0 y el 4 se colocan a la derecha de 2/5 formando 0,4.

1. ¡Miren que preciosidad! ¡Son gemelos! ¡Exactamenteiguales! ¡Con la ilusión que a mí me hacía tenergemelos!

De repente se empieza a oír viento y ruidos. Salen todos delescenario por la derecha excepto 1 y 0.

1. ¿Qué ocurre, gordito mío? ¡Estoy nerviosa!

0. ¡Tranquila! Mira allá.

Miran hacia la derecha.

Entra 3 por la derecha, retrocediendo despacio, como si loempujaran.

0. Eh, tres ¿qué te pasa?

3. No sé, me está arrastrando una fuerza que nopuedo controlar...

Hace mutis por el foro.

Cero pasa al centro del escenario. Gesticula como si pensara.

Aparece Tres por la derecha igual que antes.

3. ¡Socorro! Hagan algo, no puedo más, estoy cami-nando en sentido opuesto y esto me tiene agotado¡ayúdenme! ¡hagan algo!

Desaparece por la izquierda del escenario.

Cero sigue meditando. La Unidad y Cero miran por dondese fue Tres como observándolo. Cero se acerca al centro delescenario y toma una tabla del suelo. Aparece Tres por elmismo lugar.

3. ¡Socorro! ¡Por favor, hagan algo! ¡Me muero!

Cero se acerca y le pone el palito delante para que aparez-ca –3 . Tres se para en seco.

¡Oh! ¿Qué es esto? Ya no me encuentro raro. ¡Estoycomo en otro mundo! ¡Es maravilloso! Soy alguiennuevo, distinto. ¡Ya no soy Tres!

1. Claro, ahora eres Menos Tres

Entra Dos.

2. ¡Olé! ¿otro más? ¡chicos, vengan!¡Tengo otro hermanito! ¡Tengootro hermanito...!

Baile, música.

[Telón]

Acto 4

1. Pues sí. Ya les dije que mi gordi-to es de lo que no hay. Vieron loque pasó. Con un simple palitohorizontal (lo toma del suelo) vay crea nada menos que a losnúmeros negativos. Hasta a míme sienta bien ¿a que sí? Miren.Con esto soy capaz de multipli-carme de nuevo hasta el infinito.¡Ah! Con lo que a mí me gusta...

0. ¿Qué haces cariño?

1. Ya ves mi amor... diabluras. Si túquisieras podríamos tener hijossin parar, ¿verdad?

0. Sí, pero hay algo que me preo-cupa.

1. Déjate de preocupaciones yvente a mi lado. Anda. Olvidalos problemas.

(Entra 2 despistado)

0. No. Déjame ahora. Llevo unbuen rato pensando...

1. Pero, pensando ¿en qué? ¿Vamosa tener más hijos? ¿Sí? ¿Cómo?¡Dímelo ya!

2. ¿Voy a tener más hermanitos?

0. No, no es eso.

Se va Dos.

1. Dime qué es lo que te preocupa

0. Mira Unidad, creo que comobuenos padres que somos, ten-dríamos la obligación de buscaruna casa para nuestros hijos. Vescómo están ahí, de un lado paraotro, como locos. Parecen galli-nas sin nidal... ¡dan pena! Eso eslo que me preocupa.

1. Sí. Te comprendo, pero nuestrosino es procrear, procrear y pro-

102

crear y después que cada cual sebusque la vida....

0. No. Hay que hacer algo. Se meha ocurrido una idea en la quetú me puedes ayudar y mucho.(Saca una cuerda que tiene unamarca –puede ser un trozo decinta de color– en el lugar dondese colocará el cero y una encada lugar de los números a unmetro de distancia unas deotras). Mira, yo me coloco aquí,donde está esta señal. Toma túla cuerda y colócate ahí, a miizquierda. Esta va a ser nuestracasa a partir de ahora. ¿Te gusta?

1. ¡Oh, sí!, me gusta. Sobre todoporque no tiene salón, ni cocina,ni platos que fregar. ¡Qué bien!Pero, y ¿dónde colocamos anuestros hijos?

0. Llama a tu hija.

1. ¡Menos Uno! ¡Menos Uno! Ven

–1. ¿Qué quieres?

0. Toma esta cuerda y ponte a esteotro lado y a la misma distanciade mí que tu madre.

–1. ¿Aquí?

0. Sí (Dirigiéndose a 1) ¿Ves cariño?

Ya está colocada tu hija. (Dirigiéndose a –1) Eseserá tu apartamento para siempre.

1. ¿Y los demás?

0. Llama al zoquete de tu hijo mayor.

1. ¡Dos! ¡Dos! Ven

2. ¿Tengo otro hermanito? ¿Tengo otro hermanito?

0. Nooooo. Esta vez te vamos a dar una casa para queno estés por ahí como un botarate buscando siem-pre hermanitos.

2. ¿Una casa? ¿Dónde? ¿Dónde?

0. Ponte allí, a la izquierda de tu madre. A la mismadistancia que ella está de mí. No, más acá… Nomás allá… ¡Chacho, mide bien de una vez! Ahí.

2. ¿Esta es mi casa?

0. Sí, para siempre…

2. ¡Ya tengo casita.! ¡Ya tengo casita!…

Baile. Música.

[Telón]

Acto 5

La Unidad sola en el escenario.

1. ¡Qué felicidad! Hay que ver como ha crecido estafamilia en tan poco tiempo. ¿Recuerdan cuandonací? Estaba solita en el mundo. Después fui crean-do a mis números naturales; al botarate de 2, luego

ActoresChica (Uno):

Laura Bello del PinoChico (Cero):

Nephtalí Melgarejo Correa

103

a 3, 4,…y así hasta que Aquel (señala el entresue-lo) me anunció la llegada de Cero. Fue algo extra-ordinario. Pero, ya conocen la historia… Ahorahasta tenemos casa. ¡Quién me lo iba a decir a mícuando estaba yo sola en el mundo de los núme-ros! Miren, ahí viene mi numerosa familia.

Pasan números cogidos a la cuerda, la recta real, deizquierda a derecha y salen del escenario.

Cuando pasa el Cero.

1. Cuchi, cuchi. (Al Cero) ¿Por qué no vienes conmigo?

0. No, mi amor ¡Ya tenemos bastante familia! Dejemosla fiesta en paz.

1 se queda sola de nuevo

1. La felicidad nunca puede ser completa. Desde quellegaron los números negativos mi vida ha cambia-do. Mis hijos ya no me necesitan y Cero no quieresaber nada de mí. Tendré que hacer algo para nomorir de aburrimiento y de tristeza.

Camina por el escenario cabizbaja y pensativa.

1. ¡Ya lo tengo! La casa que me hizo Cero no me gustamucho porque sólo tiene una dimensión.Reconozco que es útil porque cada uno tiene sucasa unifamiliar. Pensaré para construirme una casadistinta, con más dimensiones. ¡Un chalecito!

Camina por el escenario recogiendo barras del suelo yempieza a enlazarlas. Son unas varillas de madera de un

metro de largas con agujeros para unirunas con otras con unas palometas queestán a la vista.

Construye un cuadrado de lado 1.

1. Esta casa que me he construidoes un cuadrado cuyo lado tienemi tamaño, ¿lo ven? tiene unaunidad de lado. Miren qué gra-ciosa es.

Dirigiéndose al público

¿Cuánto mide este lado?…

(Esperando la respuesta del público)

No lo oigo, ¿cuánto? ¡Uno! Eso es¿Y este otro lado? (se dirige alpúblico)… No oigo ¡Uno! Muybien.

Y, si este lado mide uno y esteotro también (Al mismo tiempoentra 2 y mira lo que hace 1)mide 1, ¿cuánto mide esta dis-tancia?

Recoge del suelo una varilla que tiene eltamaño de la diagonal y la coloca.

¿Cuánto? ¿Dijeron raíz cuadradade dos? Síiii, raíz cuadrada de dos.

Le coloca a 2 encima el símbolo de laraíz cuadrada que está en el escenario.

2. ¡Ya tengo otro hermanito! ¡Yatengo otro hermanito!

Entran todos.

Todos. ¡Ya tengo otro hermanito!…

Algunos números naturales se colocanel símbolo de la raíz cuadrada.

Música, luces, ruidos.

[Telón]

Por fuera del telón y por la derecha salela Unidad con el cartel de Fin y por laizquierda –1 con el símbolo de la raízcuadrada.

La unidad al ver la raíz cuadrada de –1duda en quedarse o marcharse. Por finopta por sacar otro cartel que dice con-tinuará.

Se levanta el telón y todos los númerosestán colocados en la recta real. 1 y –1tiran los carteles y se colocan en suslugares respectivos de la recta.

FIN

Luis BalbuenaIES Viera y Clavijo

La Laguna.Sociedad Canaria

de Profesores de Matemáticas«Isaac Newton»

104

N EL NÚMERO 36 DE SUMA (Isoperímetros: Ficha didáctica en Geometría.Métodos trigonométricos) proponíamos una serie de actividades de intro-ducción al Método Trigonométrico para el tratamiento de ciertos proble-mas de isoperímetros. El objetivo que perseguimos en esta nueva aporta-ción es la utilización del Álgebra para resolver este tipo de problemas.Pretendemos mostrar cómo se puede abordar un mismo problema desdeeste otro bloque de contenidos del currículo de Matemáticas, y con otraprofundidad, para incidir en el carácter cíclico que todo aprendizaje debetener a lo largo de toda la ESO.

El problemaDispones de un listón de madera de tres metros de longitud para enmarcar una lámi-na con cuatro lados. ¿Cuál es la lámina de mayor superficie que puedes enmarcar?

En la Ficha didáctica de Geometría se afirmaba que de entre todos loscuadriláteros de perímetro 3 metros, el cuadrado es el de mayor área. ¿Sejustificaba la afirmación en la demostración realizada? Realmente, lademostración geométrica dada es sólo válida para paralelogramos. Ahoracompletaremos la demostración haciendo uso del Álgebra y de la teoríasobre enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas de Van Hiele.

Diagnóstico

Comenzamos planteando al alumnado distintas cuestiones con las querecordaremos los conceptos fundamentales con los que vamos a trabajar:

• ¿Qué es un cuadrilátero?

• ¿Qué es un rectángulo?

• ¿Qué es un cuadrado?

• ¿Qué significa la palabra perímetro?

• ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado?

• ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo? Si conoces el valor de unlado de un rectángulo, ¿puedes deducir el del otro?

105

Isoperímetros:Ficha didáctica en álgebra.Desigualdades

Grupo Construir las Matemáticas*

TALLERDE

PROBLEMAS

E

37

junio 2001, pp. 105-110

* Los componentes del Grupo Construir las Matemáticas son Rafael Pérez, IsabelBerenguer, Luis Berenguer, Belén Cobo, M.a Dolores Daza, Francisco Fernández,Miguel Pasadas y Ana M.a Payá.

que es justamente la desigualdad que queríamos probar.

¿Cuándo y sólo cuándo se verifica la igualdad?

Acabamos de justificar que el área de cualquier rectángu-

lo de perímetro 3 metros es siempre menor o igual que el

área del cuadrado de lado 3/4. Luego el cuadrado de lado

3/4 metros es el «rectángulo» de perímetro 3 metros que

tiene mayor área.

• ¿Cuál es el perímetro de un cuadrilátero? Si conoces elvalor de un lado de un cuadrilátero, ¿puedes deducirlos de los otros?

De entre las distintas láminas que podríamos enmarcarcon un listón de 3 metros, ¿tienen todas igual área?

Primera orientación dirigida

Un heurístico recomendable para abordar un problema esempezar por un caso sencillo. Si la lámina que queremosenmarcar es rectangular, ¿cuál es la de mayor superficie?

Otro heurístico aplicado frecuentemente en la resoluciónde problemas consiste en organizar la información enuna tabla. Dando valores a a se rellena la siguiente tablaen la que aparecen áreas asociadas a distintas dimensiones:

106

a

b Figura 1

En este momento conviene organizar la clase en grupos decuatro. Llamemos a y b a las longitudes de los lados del rec-tángulo. ¿Pueden tomar a o b valores negativos? ¿Por qué?¿Puede ser 2a mayor que 3? ¿Puede ser 2a igual a 3? ¿Por qué?¿Puede ser 2b mayor que 3? ¿Puede ser 2b igual a 3? ¿Por qué?

Por tanto, observa que los valores de a y b estarán com-prendidos entre 0 y 3/2

Recordemos que en Matemáticas para escribir «mayor que»convenimos en utilizar el símbolo «>», para escribir «menorque» utilizamos «<» y para escribir «mayor o igual» y «menoro igual» escribimos respectivamente «≥» y «≤ ».

Utilizando esta notación podremos decir que si a y b sonlas longitudes de los lados de un rectángulo de perímetro3 metros, entonces 0 < a < 3/2 y 0 < b < 3/2.

Puesto que el listón del que disponemos mide 3 metros,resulta que 2a + 2b = 3; conociendo a podemos determi-nar b, puesto que de la igualdad anterior obtenemos que:

ba= -3 2

2

S aa= -Ê

ËÁˆ¯

3 2

2

Así pues, el área de un rectángulo de perímetro igual a 3metros, de lados a y b, es

Lado a 1/6 3/4

Lado b

Área

Si a = 3/4, ¿qué forma tiene la lámina? ¿Qué parece queocurre con el valor de su área?

Los heurísticos utilizados ya han dado su fruto: ¡la elabora-ción de una conjetura! No se puede avanzar en la resolu-ción de un problema si no hay una intuición a validar.¿Qué conjetura puede establecerse?

Conjetura 1

Entre los rectángulos de perímetro igual a 3 m, el cuadrado delado 3/4 es el que tiene mayor área.

El área de un rectángulo de perímetro 3 metros y lados ay b es ab, donde sabemos que 2a + 2b = 3. Observa que elárea del cuadrado de perímetro 3 metros es (3/4)2. Paraprobar que la conjetura que hemos hecho es cierta, tene-mos que justificar que ab ≤ (3/4)2 siempre que 2a + 2b = 3.

Observar que si a y b verifican que 2a + 2b = 3, entonces

ba= -3 2

2y queremos probar si se verifica que:

[*]aa3 2

2

3

4

2-ÊËÁ

ˆ¯

£ ÊËÁ

ˆ¯

Si operamos, la desigualdad [*] será cierta si se verifican lassiguientes desigualdades:

8a(3 – 2a) ≤ 32

24a – 16a2 ≤ 32

0 ≤ 16a2 – 24a + 32

0 ≤ (4a – 3)2 [**]

¿Se verifica la desigualdad [**]?

Razonemos ahora «directamente»:

Puesto que el cuadrado de cualquier número es siempremayor o igual que cero, resulta que 0 ≤ (4a – 3)2 y portanto 0 ≤ 16a2 – 24a + 32. Sumando en ambos miembros dela desigualdad anterior 24a – 16a2 se tiene 24a – 16a2 ≤ 32.

Sacando factor común 8a en el miembro de la izquierda,obtenemos que

8a(3 – 2a) ≤ 32

Dividiendo los dos miembros de la desigualdad anteriorentre 42, tendremos que

aa3 2

2

3

4

2-ÊËÁ

ˆ¯

£ ÊËÁ

ˆ¯

107

Problema

Queremos enmarcar ahora una lámina triangular que tiene unlado que mide 2 metros con un listón de madera de 5 metros.¿Cuál es la lámina de mayor superficie que puedes enmarcar?

Tercera orientación dirigida

Construyamos un triángulo de perímetro 5 metros conbase fija de 2 metros de longitud (figura 2). Llamemos a yb a los otros dos lados del triángulo. Observa que comoa + b + 2 = 5, entonces b = 3 – a.

Primera explicitación

Cada grupo redactará un informe en el que se organicetodo el trabajo realizado y se expliquen claramente losresultados obtenidos. Dicho informe será expuesto por unmiembro del grupo en clase.

Orientación libre

Se pretende generalizar el resultado anterior, con lo que secompleta el primer heurístico utilizado: trabajar sobre uncaso más sencillo y, después, generalizar. Si el perímetro dela lámina rectangular que queremos enmarcar es P metros,¿cuál es la lámina de mayor superficie que puedes enmarcar?

Conjetura 2

De entre todos los rectángulos de perímetro P metros, el cuadra-do de lado P/4 metros es el que tiene mayor área.

El área de un rectángulo de perímetro P metros y lados ay b es ab, donde podemos decir que 2a + 2b = P. Observaque el área del cuadrado de perímetro P metros es (P/4)2.

Para probar la veracidad de esta nueva conjetura tendre-mos que justificar que (P/4)2 ≥ ab siempre que 2a + 2b = P.

Si a y b verifican que 2a + 2b = P, entonces:

bP a= - 2

2y observemos que entonces queremos probar si se veri-fica que:

aP a P-Ê

ËÁˆ¯

£ ÊËÁ

ˆ¯

2

2 4

2[*]

Si operamos, la desigualdad [*] será cierta si se verifican lassiguientes desigualdades:

8a(3 – 2a) ≤ P2

24a – 16a2 ≤ P2

0 ≤ 16a2 – 24a + P2

0 ≤ (4a – P)2 [**]

¿Se verifica la desigualdad [**]?

Segunda explicitación

Ídem a primera explicitación.

Hemos justificado que entre todos los rectángulos de perí-metro fijo P metros, el cuadrado es el que tiene mayor área.Nuestro interés está en demostrar que el mismo resultado seobtiene entre todos los cuadriláteros de perímetro fijo Pmetros. Una herramienta útil en el trabajo con polígonos es«triángularizarlos» para así trabajar con triángulos. Esto es loque vamos a hacer nosotros para simplificar el problema.Abordamos ahora el siguiente problema que «a priori» puedaparecer que no tiene mucho que ver con el que teníamos.Cambiaremos las dimensiones para evitar confusiones.

2 metros

abFigura 2

Recuerda la Fórmula de Herón

El área de un triángulo de lados a, b y c es

s s a s b s c( )( )( )- - -

s a b c= + +2

Para las láminas triangulares que estamos considerando,¿cuál es el semiperímetro? Observa que el área de cadauna de estas láminas triángulares, en función del lado a es:

Área a a= -ÊËÁ

ˆ¯

- +ÊËÁ

ˆ¯

-ÊËÁ

ˆ¯

5

2

5

2

5

23

5

22

Área a a= -ÊËÁ

ˆ¯

- +ÊËÁ

ˆ¯ÊËÁ

ˆ¯

5

2

5

2

1

2

1

2

donde es el semiperímetro.

Tratamos de nuevo de establecer una conjetura.Procedemos igual que antes elaborando una tabla. Para ellocada grupo va a dar seis valores a a, rellenando la siguien-te tabla para láminas triangulares de distintas dimensiones:

Área a a= -ÊËÁ

ˆ¯

- +ÊËÁ

ˆ¯

5

4

5

2

1

2

Área a a= - + -5

4

15

4

25

162

Lado a

Área

Entre todos los triángulos posibles (con perímetro 5metros y base 2 metros) parece intuirse que el isósceles(con lados iguales a 1,5 m) es el que tiene mayor área.

Conjetura 3

De entre todos los triángulos de perímetro 5 metros y base fija de2 metros, el triángulo isósceles de lados iguales 3/2 metros es elque tiene mayor área.

Cuarta orientación dirigida

Veamos ahora cómo justificar que de entre todos los cua-driláteros de perímetro 3 metros, el cuadrado es el demayor área. Para resolver este problema isopérimetricocomenzaremos dándonos cuenta que el cuadrilátero deperímetro 3 metros con mayor área tiene que ser convexo.

108

Recordar

Si l es un número positivo, una elipse de focos F1 y F2 y semiejel es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a losfocos es 2l.

Construyamos un triángulo de perímetro 5 metros conbase fija 2 metros y llamamos V1 y V2 a los extremos dela base y V3 al otro vértice (figura 3).

2 metrosV1 V2

V3

ab

Figura 3

d metrosV1 V2

V3

Figura 4

Para entender mejor el concepto de convexidad, los alum-nos pueden comparar los cuadriláteros de la figura 5 ydecir cuales de ellos son convexos y cuales no.

Si el perímetro del triángulo es 5 metros, entonces a + b = 3;es decir, la suma de las distancias desde V3 a V1 y res-pectivamente, a V2, debe ser igual a 3. Dicho de otromodo, si queremos construir un triángulo de perímetro 5metros y base fija 2 metros, el vértice V3 será un punto dela elipse de focos los extremos de la base del triángulo ysemieje 3/2 metros. Puesto que la longitud de la base esigual para todos los triángulos que construyamos de perí-metro 5 metros y base 2 metros, y puesto que el área untriángulo es la mitad del producto de base por altura,entre todos estos triángulos, el de mayor área será el quetenga mayor altura. Es decir, cuando el triángulo sea isós-celes y los lados iguales midan 3/2 metros, el triángulotendrá mayor área.

Tercera explicitación

Ídem a explicitaciones 1 y 2.

Orientación libre

Pretendemos ahora generalizar el resultado anterior: deentre todos los triángulos de perímetro P’ metros y basefija de d metros ¿cuál es el de área mayor?

De forma análoga a lo hecho antes, construyamos un trián-gulo de perímetro P’ metros con base fija d metros y lla-memos V1 y V2 a los extremos de la base y V3 al otro vér-tice (figura 4). Si el perímetro del triángulo es P’ metros,entonces a + b = P’ – d; es decir, la suma de las distanciasdesde V3 a V1 y, respectivamente, a V2, debe ser igual aP’ – d. Puesto que la longitud de la base es fija, razonandoigual que antes, el área será mayor cuando la altura seamayor. Por tanto, entre todos los triángulos de perímetro P’metros y base fija de d metros, el triángulo isósceles delados iguales (P’ – d)/2 metros es el que tiene mayor área.

Figura 5

Recordar

Un cuadrilátero es convexo, si todo segmento que conecte dospuntos situados en el interior está enteramente contenido en elinterior del cuadrilátero.

En primer lugar, hay que observar que a partir de un cua-drilátero no convexo, por simetría podemos generar otronuevo cuadrilátero cómo se muestra en la figura 6.

(a) (b) (c)

Figura 6

El alumnado realizaría el mismo proceso descrito en lafigura 6 con los cuadriláteros no convexos de la figura 5.

¿Qué puedes decir de los cuadriláteros de las figuras 6a y 6c?¿Son convexos? ¿Tienen igual perímetro? ¿Tienen igual área?

El cuadrilátero de perímetro 3 metros que tenga mayorárea, ¿será convexo?, ¿por qué?

Paso 1: Consideremos el triángulo V1V2V4. Si este trián-gulo V1V2V4 es isósceles no realizamos este paso pues eltriángulo V1V2V4 será el triángulo de mayor área entretodos los que tienen el mismo perímetro que él y base fijaV2V4. En este caso el cuadrilátero del que partíamos escómo el de la figura 8. En caso contrario, considerandocomo base de dicho triángulo el segmento V2V4, entre lostriángulos de igual perímetro que el triángulo V1V2V4 ybase fijada V2V4, el que encierra mayor área es el isósce-les con lados iguales de longitud e = (a + b)/2. Por tanto,si el triángulo V1V2V4 no es isósceles, el cuadrilátero dela figura 8 es un cuadrilátero que tiene el mismo períme-tro y mayor área que el de la figura 7.

Paso 2: Razonemos ahora igual con el cuadrilátero de lafigura 7. Consideremos el triángulo V2V4V3 de la figura 7.Si este triángulo V2V4V3 es isósceles no realizamos estepaso y el cuadrilátero que obtenemos después de realizarel paso 1 es como el de la figura 9. En caso contrario, sila base del triángulo de vértices V2V4V3 es el segmentoV2V4, entre los triángulos de igual perímetro que dichotriángulo y base fija V2V4, el que encierra mayor área esel isósceles con lados iguales de longitud f = (c + d)/2. Portanto, si el triángulo V2V4V3 no es isósceles, el cuadrilá-tero de la figura 9 es un cuadrilátero que tiene el mismoperímetro y mayor área que el de las figuras 7 y 8.

Paso 3: Consideremos ahora el triángulo V’1V4V’3 de lafigura 9. Tomando como base de dicho triángulo el seg-mento V’1V’3, entre los triángulos de igual perímetro queel de vértices V’1V’3, el que encierra mayor área es el isós-celes con lados iguales de longitud:

109

Veamos, pues, que de entre todos los cuadriláteros conve-xos, el de mayor área es el cuadrado.

Consideremos un cuadrilátero convexo de perímetro 3 yde lados a, b, c y d y vértices V1, V2, V3 y V4 (figura 7).

V3

V2

V1

V4

a

b

c

d

V3

V2

V’1

V4

e

c

d

e

Figura 7

Figura 8

V’3

V2

V’1

V4

e

f

e

f

Figura 9

lf e a b c d= + = + + + =

2 2

3

4

Por tanto, si el triángulo V’1V4V’3 no es isósceles el cua-drilátero de la figura 10 tiene el mismo perímetro y mayorárea que los de las figuras 7, 8 y 9. Si el triángulo V1’V4V3’no es isósceles, no realizamos este paso.

Paso 4: Consideremos ahora el triángulo V’1V2V’3 de lafigura 10. Considerando como base de dicho triángulo elsegmento V’1V’3, entre los triángulos de igual perímetroque el de vértices V’1V2V’3 y base fija V’1V’3, el que encie-rra mayor área es el isósceles con lados iguales de longitud

lf e= + =

2

3

4Por tanto, si el triángulo V’1V2V’3 no es isósceles, el cua-drilátero de la figura 11 es un cuadrilátero que tiene elmismo perímetro y mayor área que los de las figuras 7, 8,9, 10 y 11. Si el triángulo V’1V2V’3 es isósceles, no reali-zamos este paso. Observar que el cuadrilátero de la figu-ra 11 tiene los cuatro lados iguales (rombo).

V’3

V2

V’1e

fl

lV’4 V’3

V’1

l

lV’4

V’2l

l

Figura 11Figura 10

V’3

V’1

V’4

V’2

Figura 12

Paso 5: Si el cuadrilátero de la figura 11 no es un cuadra-do, construyamos un cuadrado de perímetro 3 metrossobre uno de los lados del rombo de la figura 11 (ver figu-ra 12). Observar que el cuadrado construido sobre uno delos lados de la figura 11 tiene mayor altura que el romboy por tanto mayor área. En consecuencia cualquier cua-drilátero de perímetro 3 metros tiene área menor o igualque el cuadrado de perímetro 3 metros. En consecuencia,entre todos los cuadriláteros de perímetro dado, el cua-drado es el de mayor área.

Cuarta explicitación

Ídem a explicitaciones 1, 2 y 3.

Orientación libre

Planteamos ahora generalizar el razonamiento anterior paraprobar que entre todos los cuadriláteros de perímetro fijo Pmetros, el cuadrado de lado P/4 metros, es el de mayorárea. El razonamiento es completamente análogo al hecho.

110

Quinta orientación dirigida

Una vez que hemos comprobado que de entre todos loscuadriláteros de perímetro 3 metros es el cuadrado de lado3/4 metros el de mayor área, podríamos preguntarnos sientre todos los pentágonos de perímetro 3 metros, el pentá-gono regular es el de mayor área, o si entre todos los hexá-gonos de perímetro 3 metros, el hexágono regular es el quetiene mayor área, etc. Sin embargo, no es este momento eladecuado para dar respuesta a estas cuestiones.

Otras preguntas interesantes que podemos formularnosson las siguientes:

• ¿Tiene mayor área que el héxagono regular de perí-metro 3 m el pentágono regular de perímetro 3 m?

• ¿Tiene mayor área que el octógono regular de períme-tro 3 m el héxagono regular de perímetro 3 m?

• En general, ¿qué relación existe entre las áreas de dospolígono regulares con distinto número de lados y deperímetro fijo 3 m?

• Entre todos los polígonos regulares de perímetro 3metros, ¿existe alguno que tenga área máxima?

Llamemos Pol(n) al polígono regular de n lados de perí-metro 3 metros. Obsérvese que para construir un polígo-no tiene que ser n ≥ 3. Considerando el centro de dichopolígono, podemos descomponerlo en n triángulos isós-celes iguales y como hicimos en la Ficha Didáctica deGeometría, obtener que el área de Pol(n) es

l

360∞/n

l/2

180∞/n

a

Figura 13

nlado apotema¥

2

Como el polígono es regular, el lado es 3/n, y entonces

ÁreaPol napotema

( ) = ¥3

2

Como

tanº180

3

2n

napotema

ÊËÁ

ˆ¯

=

resulta que

apoteman

n

=ÊËÁ

ˆ¯

3

2180

tanº

y, en consecuencia

ÁreaPol nn

n

( )tan

º=

ÊËÁ

ˆ¯

3

4180

2

Utilizando lo que acabamos de deducir, completar lasiguiente tabla:

Polígono Perímetro

Triánguloequilátero

3 metros

Cuadrado 3 metros

Pentágonoregular

3 metros

Hexágonoregular

3 metros

Héptágonoregular

3 metros

Número delados

Longitud dellado

Área

Por lo tanto:

tanº

tanº180 180

0m n

ÊËÁ

ˆ¯

> ÊËÁ

ˆ¯

>

Además

3

0180 180 4

1804

180£ <

< ÊËÁ

ˆ¯

< ÊËÁ

ˆ¯

ÏÌÔ

ÓÔ

fi ÊËÁ

ˆ¯

< ÊËÁ

ˆ¯

n m

n m

nn

mmtan

ºtan

º tanº

tanº

Luego

ÁreaPol nn

nm

m

ÁreaPol m( )tan

º tan º( )=

ÊËÁ

ˆ¯

> ( ) =3

4180

3

4180

2 2

Ordenando, de mayor a menor, las áreas de los distintospolígonos regulares de perímetro 3 metros de la tablaanterior, ¿qué se puede deducir?

Conjetura 4

Para dos polígonos regulares de perímetro 3 metros, el que tienemayor área es el que tiene mayor número de lados.

Si 3 ≤ m < n, entonces: 60180

3

180 1800º

º º º= ≥ > >m n

Acabamos de justificar el siguiente resultado:

Para dos polígonos regulares de perímetro 3 metros, el que tienemayor área es el que tiene mayor número de lados.

Orientación libre

Hacer lo mismo para polígonos de perímetro fijo P metros.

S DIFÍCIL que un profesor de matemáticas no haya encontrado algún«error» en alguna gráfica de la prensa (y si no lo ha hecho en las de latelevisión es por la fugacidad del medio). Y no me estoy refiriendo a losfamosos duendes de la imprenta (ahora informáticos porque los ordena-dores son omnipresentes en las redacciones) que explican casi todo loque va mal en un periódico, sino a severos problemas de fondo que noson el efecto de un despiste ocasional, sino causa habitual de disfuncio-nes en las gráficas. Porque dando por supuesto la perspicacia del profe-sorado de matemática, lo cierto es que los errores menores abundan enlas gráficas de prensa y no son raros los errores de bulto.

Creo que esa constatación nos tiene que llevar de entrada a dos refle-xiones complementarias. La primera, puesto que los periodistas no sonunos personajes atrasados, sino una muestra representativa de lo másculto de la sociedad, es la extensión y profundidad del anumerismosocial. En el que es de suponer que el colectivo de profesores al que per-tenecemos –no es cuestión de que todo sean flores– tiene alguna culpa,puesto que desde hace bastante tiempo todos los ciudadanos pasanvarios años en nuestras manos en las obligatorias clases de matemáticas.Entendiendo el anumerismo como correlato matemático del analfabetis-mo: conocer los números, las operaciones y algunas nociones aisladas deotras partes de las matemáticas, pero no ser capaces de sacar ningunaconsecuencia práctica de esos conocimientos en la vida diaria.

Y la segunda reflexión es que uno de nuestros objetivos como profeso-res tiene que ser lograr que nuestros alumnos y alumnas también veanahora esos errores que nosotros detectamos sin necesidad de que los lle-vemos de la mano y lo continúen haciendo cuando pasen a ser ciuda-danos, cuando dejen el sistema escolar (en la línea de lo que recogía uninforme del ICMI de que la educación matemática debería capacitar paramanejar la masa de datos con que nos bombardea la sociedad de la infor-mación). E incluso que presionen a los medios para que les den unamejor información, que incluye el hecho de que sea correcta matemáti-camente hablando. Porque hay que decir que en los periódicos no tie-nen un gran interés en el tema. Por ejemplo, cuando se les dice que delhecho de que no se midan bien las unidades de los ejes hace que cam-bien los ritmos de crecimiento suelen responder que con que se vea que

111

Las gráficas de la prensa

Fernando Corbalán

M A T E SY

M E D I O S

E

37

junio 2001, pp. 111-112

sube y baja ya vale, que el hecho de que sea más o menosrápido da lo mismo.

Las gráficas serán cada día más frecuentes en los periódi-cos, porque es una forma rápida de transmitir una grancantidad de información gastando poco espacio. Y comouno de los problemas actuales en todos los medios es lasuperabundancia de información, que hace un problema laselección y trasmisión de la misma con la mayor economíaposible, las gráficas palian el problema. Porque, efectiva-mente, una gráfica bien hecha y leída por alguien que seacapaz de decodificarla proporciona de forma rápida, de unsolo golpe de vista, una imagen global inmediata.

Y si la educación matemática debe servir para entender elmundo que nos rodea, es de primera necesidad que losactuales alumnos aprendan a entender las gráficas, y lasgráficas de la prensa son un medio de lo más adecuado.Pero no hay que dar por supuesto que las gráficas seentienden sin un entrenamiento adecuado. Recuerdo loque le oí hace muchos años a Claude Janvier referido a lasgráficas cartesianas (que creo que es ampliable a todas lasdemás). Decía que los profesores damos por supuesto quenuestros alumnos entienden las gráficas, pero que la reali-dad es que mientras estamos explicando algún concepto–como puede ser el de derivada– nos van siguiendo condificultad pero sin descolgarse del todo, hasta que decimosque todo eso queda claro en la gráfica y sin mayor expli-cación dibujamos un gráfico cartesiano y en ese momentoel alumno medio dice , «¡puf, ahora si que ya no entiendonada!». Es decir, que las gráficas suponen un código sofis-ticado difícil de entender, cuya comprensión hay que entre-nar dedicándole tiempo y haciéndolo de forma planificada(como casi todo lo que tiene que ver con la enseñanza quequeramos que tenga un efecto duradero).

La presencia masiva de medios informáticos en los perió-dicos, junto con la formación de grandes grupos multime-dia, ha hecho aparecer en los diarios la infografía, con loque hay en la misma lámina diversas presentaciones delmismo tema. Y paralelamente hay nuevos tipos de gráfi-cos junto con los cartesianos (sobre todo pictogramas ydiagramas de sectores), con lo que no cabe duda de quese ha mejorado la presentación y el atractivo, pero tam-bién han multiplicado las posibilidades de errores.

Mi propuesta educativa sobre gráficas incluye proporcio-nar al alumnado una carpeta o dossier con tipos variadosde gráficos (con y sin errores) junto con una guía paradetectar los errores en las mismas –del tipo de la que apa-rece a continuación– con los que iniciar un inventario per-sonal que cada alumno tendrá que ir completando con lasque vaya viendo en periódicos y revistas e incorporandoa su dossier personal. Que puede (y debería) continuardurante años hasta que llegue a desarrollar el reflejo con-dicionado de analizar con detalle las gráficas (al menos lasque le interesen) para ver su corrección. En cuanto a la

plasmación práctica, puede ser planteado como un juego

de pistas en el que cada cierto tiempo (una vez al mes por

ejemplo) se pongan en común las nuevas gráficas intere-

santes que se hayan encontrado para que todo el mundo

pueda detectar los errores (o los hallazgos) de las mismas.

Hay que decir que una guía del tipo de la que hay a con-

tinuación ya ha aparecido en varios medios de comunica-

ción, pero sus consecuencias prácticas no son muy gran-

des, por desgracia. Se impone aquí, como en tantos otros

aspectos del devenir social, una concienciación de capas

amplias de la población que presionen a los medios de la

importancia de una información matemática correcta. Para

así intentar lograr que disminuyan drásticamente los erro-

res matemáticos (y en particular los de gráficas), como ya

ha pasado con las faltas de ortografía.

112

GUÍA DE URGENCIAPARA LAS GRÁFICAS DE LA PRENSA

La que aparece a continuación es una Guía para detectar ycorregir los posibles errores en las gráficas de la prensa (outilizando terminología médica, una guía para el diagnósti-co y tratamiento de las gráficas).

1. Estudia con atención la gráfica para ver si entiendes aqué se refiere y qué fenómeno representa. Observa lasunidades, los puntos destacados, las uniones entre ellos,si las variables son continuas o discretas... Si no estásmuy seguro de entenderla, coméntala con algún amigo oguárdala para cuando estés más entrenado.

2. No consideres de entrada que la gráfica es correcta.Mírala detenidamente para ver si encuentras alguna inco-rrección. Pueden ser, entre otras, de los tipos siguientes:uniones de puntos por segmentos; distintas unidades enun mismo eje; que no aparezca ninguna unidad en algu-no de los ejes; que la suma no sea 100 cuando hay por-centajes; que no haya relación entre las medidas y lossectores que las representan, que no haya relación entrela longitud de las barras y las magnitudes que represen-tan; que no sean proporcionales las medidas de los pic-togramas y las magnitudes que representan.

3. Si hay algún error (o errata) en la gráfica, haz de nuevola gráfica corrigiéndolo y mira si el efecto es el mismo.

4. Si consideras que alguna gráfica no es apropiada (por eltipo elegido, las unidades o cualquier otro factor), hazotra que consideres más pertinente para formarte unamejor idea de la información.

5. Si hay más de una gráfica sobre un mismo fenómeno (enel mismo o en diferentes periódicos), estudia las concor-dancias o discordancias entre ellas, tanto en los datoscomo en la forma.

6. Estudia las concordancias o discordancias entre la infor-mación que proporcionan los titulares o el texto de la noti-cia y la que da la gráfica.

UCHOS SON LOS JUEGOS con los que nos entretenemos en nuestrainfancia y que conservan su atracción e interés a medida que nos hace-mos mayores. En algunas personas se convierten en un verdadero hobby,como vemos en el caso de los puzzles. Algunos de esos puzzles paraadultos que se encuentran en cualquier tienda de juegos, tienen aplica-ción didáctica en Matemáticas, sobre todo en el apartado correspondien-te a la geometría. Los más corrientes son, en el aspecto plano el TangramChino y los Pentominós, y en la parte espacial los Policubos, que per-miten construir un cubo, siendo sin duda el más conocido el Cubo Soma.

Todos estos puzzles espaciales están formados por piezas construidascada una de ellas a partir de varios cubitos (en total constan de 27); pie-zas que al unirse permiten obtener un cubo de lado triple al de los cubi-tos que las forman.

El Cubo Soma, formado por los seis tetracubos menos regulares (es decir,todos menos el 2x2x1 y el 4x1x1) y el tricubo no lineal, es el más cono-cido por encontrarse en los comercios con facilidad (no sabemos si losdemás están comercializados) y porque además hay una gran colecciónde figuras que se pueden construir con él, desde formas geométricashasta figuras de animales, muebles, arquitecturas, etc. Sin embargo, exis-ten muchas otras disecciones del cubo que se pueden encontrar, bien enlos libros (Corbalán, 1994) o a través de Internet. Entre ellos podemosencontrar aquellos cuyas piezas tienen varias alturas, pues se sitúan enmás de un plano de los tres superpuestos que forman el cubo, como lesocurre a los cubos de Media-Hora, Lesk, Steinhaus o Nob; por otro lado,hay policubos en los que todas sus piezas son planas, entre los que qui-zás el más conocido sea el de O'Berine que está formado por nueve pie-zas iguales al tricubo en ángulo, o el Cubo Diabólico que es progresivo,es decir, sus piezas tienen todas distinto número de cubos, desde doshasta siete.

113

Cubo de Muñoz

Grupo Alquerque*

J U E G O S

M

37

junio 2001, pp. 113-115

* Los componentes del Grupo Alquerque de Sevilla son Juan Antonio HansMartín (C.C. Santa María de los Reyes), José Muñoz Santonja (IESMacarena), Antonio Fernández-Aliseda Redondo (IES Camas), José BlancoGarcía (IES Alcalá del Río) y Josefa M.a Aldana Pérez (C.C. InmaculadoCorazón de María –Portaceli–).

Nosotros comenzamos a diseñar particiones del cubo apartir del uso en clase del Cubo Soma. Uno de nuestrosalumnos pretendía construir con las piezas del Soma unaplancha rectangular, algo que evidentemente es imposible,pues varias de sus piezas tienen más de una altura. Con elfin de satisfacer las ansias de ese alumno, se diseñó el quellamamos Cubo de Hans formado por un tricubo, dostetracubos, dos pentacubos y un hexacubo (Fernández-Aliseda y otros, 2000) que, aparte de la plancha rectangu-lar de 3x9x1 y del cubo de lado 3, permite construirmuchas otras figuras. Este cubo se encuentra, además,comercializado por la SAEM Thales dentro de la serie demateriales que ha comenzado a producir.

Para incluir en estas páginas un ejemplo de división delcubo no conocida, hemos seleccionado el Cubo deMuñoz. Los que conozcan los materiales de los que hemoshablado al principio, sabrán que si los doce pentominós seconstruyen con cubos, se obtienen los doce pentacubosplanos con los que se pueden construir varios poliedros.Basados en esa idea, elegimos los policubos planos conmenos de cinco cubitos, y así este cubo está formado porel dicubo, los dos tricubos y los cuatro tetracubos planosque pueden formar parte del cubo de lado 3 (es decir, sinlos cuatro cubos puestos en línea). Como se necesitabantres cubitos más para formar el cubo grande, se repite lapieza correspondiente al tricubo en ángulo. Las piezas sonpor tanto las siguientes:

de la motivación esto es primordial pues están tra-bajando con algo que han creado ellos mismos y,además, no pueden copiarse unos de otros. Se pue-den imponer las restricciones que se quieran a lahora de diseñar las disecciones del cubo: que laspiezas sean planas o no (no es aconsejable que unapieza tenga cubos en las tres alturas posibles puesaunque simplifica el reconstruir el cubo dificulta elapartado 3 del proyecto); que no haya piezas conmenos de tres cubos; que el número total de piezassea cinco o seis; etc. Aspectos interesantes en estafase son el dibujar a escala las piezas y la elecciónde una notación clara para reconstruir el cubo, algoque no es nada trivial.

2) Fase de construcción. A la hora de construirlo sepueden hacer las piezas con bloques multilink,pero nuestra experiencia nos aconseja utilizar cubi-tos de madera (que se pueden comprar a granel enalguna carpintería, especialmente si el carpintero esamigo o padre de algún alumno) que uniéndoloscon cola blanca quedan perfectamente (y muchomás presentables y duraderos si después se pintany barnizan).

3) Fase de manipulación. En la que los alumnos, ade-más de reconstruir el cubo de lado 3, inventan y dibu-jan a escala figuras –y sus soluciones– con el cuboque han construido. En esta fase influye mucho ladisección que se haya escogido.

4) Fase de juego. Los alumnos se intercambian los cubosy han de conseguir en primer lugar el cubo 3x3x3 yluego las figuras propuestas por sus compañeros.

5) Fase de trabajo matemático. Una vez familiarizadoscon las distintas disecciones del cubo se pueden rea-lizar actividades matemáticas como las siguientes:

a) ¿Cuántos monocubos, dicubos, tricubos, tetracu-bos,… distintos hay?

b) Tomando como unidad la del lado de los cubitosbase, calcular el área y el volumen de cada uno delos policubos que forman el cubo elaborado por elalumno.

c) Tomando como unidad el cubo 3x3x3, ¿qué frac-ción del total representan cada uno de los policubos?

d) …Y muchas otras cuyo desarrollo excede del espa-cio de esta sección sobre juegos y que merecen untratamiento específico.

Este proyecto puede plantearse como una actividad inter-disciplinar entre las áreas de Educación Plástica y Visual,Tecnología y Matemáticas.

Existen actividades a mitad de camino entre utilizar unadisección ya existente y crear una nueva, por ejemplo uti-lizar los pentacubos planos que antes hemos comentado

114

Esta sencilla disección permite varias soluciones diferen-tes para el cubo 3x3x3, y construir muchas figuras distin-tas y fáciles, entre ellas hemos seleccionado las que apa-recen en la página siguiente, algunas que se puedenconstruir también con el Soma y otras nuevas.

Lo interesante de este tipo de material es no tanto traba-jar con cubos conocidos, como que sean los propiosalumnos quienes diseñen sus propias disecciones. Esapropiado proponerlo como proyecto de trabajo con lassiguientes partes:

1) Fase de diseño. En primer lugar los alumnos crearí-an sus propios policubos. Desde el punto de vista

que permitían construir poliedros. Se le da a los alumnos

un dicubo y los doce pentacubos, y han de elegir cinco

piezas para que junto al dicubo puedan formar un cubo

de lado tres. Para ello primero tienen que descartar los

que no pueden entrar a formar parte de ese cubo y des-

pués seleccionar, entre los que quedan, las piezas que son

encajables.

ReferenciasCORBALÁN YUSTE, F. (1994): Juegos matemáticos para Secun-

daria y Bachillerato, Síntesis, Madrid.

FERNÁNDEZ-ALISEDA, A., J.A. HANS, J. MUÑOZ, J. BLANCO y J.

ALDANA (2000): «Bricolaje matemático: una alternativa en la

búsqueda de recursos didácticos», Epsilon, n.° 46-47, Sevilla,

61-70.

115

PUBLICACIONES DE LA FEDERACIÓN

AS NUEVAS TECNOLOGÍAS y en concreto el ordenador e Internet, nosofrecen magníficas posibilidades para tratar de forma diferente lasMatemáticas en el aula.

En la Red podemos encontrar todo tipo de recursos relacionados conMatemáticas, y para cualquier etapa educativa: actividades y software,ejercicios y problemas (con su solución comentada en algunos casos),apuntes, exámenes, publicaciones en formato digital... El problema conel que nos encontramos es la enorme cantidad de información existenteen la red. Si utilizamos un buscador para localizar páginas que conten-gan la palabra matemáticas, por ejemplo Altavista, nos encontramos conque en 75.000 de éstas aparece de alguna manera. Este hecho no debedesanimarnos. Nos pueden ayudar los buscadores realizando peticionesde búsqueda más finas, o consultando páginas que contengan recursosya clasificados, como

http://www.redemat.com

En algunas ocasiones necesitamos interactividad por lo que buscamospáginas diferentes de las que contienen información con apuntes, ejerci-cios o incluso actividades. Al manipular o interactuar vemos lo que ocu-rre en cada instante y si tenemos en cuenta el atractivo que supone eluso del ordenador, podemos intentar trabajar con nuestros alumnos algu-nos aspectos concretos del currículo de forma diferente.

El uso de este recurso didáctico favorece los siguientes aspectos:

• Facilita la motivación de los alumnos.

• Ayuda al profesor a procurar una mejor atención a la diversidad den-tro del aula.

• Favorece y aumenta la autoestima de los alumnos al comprobar suspropios progresos durante el proceso de aprendizaje.

• Puede modificar en algunos casos la visión negativa de la asignatu-ra que tienen algunos alumnos.

Existen numerosos recursos de este tipo para todas las etapas educativas.Este artículo pretende dar una visión general de las posibilidades queofrece esta herramienta de trabajo y en concreto este tipo de páginas.

117

Matemáticas interactivasen Internet

Falvio Piñeiro Sarille

RECURSOSEN

INTERNET

L

37

junio 2001, pp. 117-124

Una pequeña muestra aparece a continuación atendiendoa diferentes etapas educativas, seguida de un cuadro resu-men de recursos con su dirección en Internet.

Infantil

¿Quieres aprender y reconocer los números? ¿Ademásquieres sonido? En la página

http://www.elosiodelosantos.com

puedes encontrar, entre otras actividades manipulativas,una llamada «Los Primeros Números» para aprender losnúmeros con dos opciones diferentes. Al pasar el punterodel ratón sobre los números (que pueden aparecer orde-nados o no, según desee el usuario), éstos aumentan detamaño. En la opción «aprender», al hacer un clic sobre

una cifra, el tamaño de esta aumenta considerablementedurante un segundo, viéndose el texto correspondiente aese número y escuchándose su nombre. En la otra opciónllamada «preguntar» nos preguntan uno de los númerosque aparecen en la pantalla. Si la respuesta es correcta, eltamaño del numero aumenta durante un tiempo determi-nado para luego desaparecer. Esta página contiene ade-más otros recursos para otros niveles educativos quepodemos ver en el cuadro adjunto.

Primaria

Para aprender y mejorar las habilidades con las operacio-nes básicas, podemos utilizar la página

http://www.aplusmath.com

118

Figura 1. www.elosiodelosantos.com

Figura 2. www.elosiodelosantos.com

Figura 3

que nos ofrece muchas utilidades interactivas. Aunqueestá escrita en inglés es muy fácil moverse por su conte-nido, y los juegos que contiene son fácilmente manipula-bles. Podemos acceder directamente desde su página deinicio a sus cuatro secciones:

• «FlashCards» contiene actividades relacionadas conadición, multiplicación, raíces cuadradas y redondeoexistiendo la posibilidad de crear nuestras propiasactividades sobre fracciones, prioridad de operacio-nes, álgebra, superficies y fracciones equivalentes.

• «Juegos» interactivos relacionados con las operacionesbásicas.

• »Ayuda para el trabajo en casa» (suma, resta, divisióny división entera).

• «Hojas de trabajo» para imprimir con las respuestasrelacionadas también con las operaciones básicas.

119

Secundaria

En la página Educaplus

http://www.educaplus.net

tenemos la posibilidad de utilizar un recurso sobre movi-mientos rectilíneos: introducción, vectores, suma de vec-tores, posición de un punto, vector de posición, trayecto-ria, distancia y desplazamiento, rapidez y velocidad, ace-leración, ecuaciones, relatividad del movimiento. Por otraparte, podremos hacer un estudio gráfico de la pendientede una curva, gráficas relacionadas con espacio, velocidadaceleración y tiempo.

En la página del Departamento de Matemáticas del IESMarqués de Santillana

http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana//matem/inddep.htm

podemos encontrar recursos sobre temas geométricos clási-cos y sobre otros de interés matemático aplicables al Tallerde Matemáticas. Disponemos también de una unidad didác-tica interactiva sobre funciones cuyos objetivos y metodolo-

gía aparecen comentados en la misma página, abarcando sucontenido desde una introducción al concepto de funciónhasta interpolación, simetrías y funciones importantes.

Otros recursos interactivos disponibles en esta página nospermiten trabajar con los siguientes temas: mediatriz de unsegmento, mediatrices de los lados de un triángulo, cir-cuncentro de un triángulo, bisectriz, circunferencia tan-gente a dos rectas no paralelas, bisectrices de un triángu-lo, incentro de un triángulo…

Bachillerato

En las páginas del Departamento de Matemáticas del IESMaría Moliner

http://www.terra.es/personal2/matemoliner/

disponemos de unidades didácticas interactivas utilizandocomo base los applets del Proyecto Descartes (comentadoen el cuadro adjunto). Disponemos de los siguientes temas:continuidad de funciones, vectores y números complejos.

Figura 4. www.aplusmath.com

Figura 6. www.educaplus.net

Figura 5. www.educaplus.net

Figura 7. Página del Departamento de Matemáticasdel I.E.S. Marqués de Santillana

120

Figura 8. Página del Departamento de Matemáticasdel IES Marqués de Santillana

Figura 9. Página del Departamento de Matemáticasdel IES Marqués de Santillana

Figura 10. Página del Departamento de Matemáticasdel IES María Moliner

El tema de continuidad de funciones comienza por elestudio de funciones particulares, continuando con ladefinición de continuidad y su interpretación geométricapara finalmente trabajar con los distintos tipos de discon-tinuidades.

En cuanto a la unidad didáctica de vectores está dedicadaa movimientos en el plano: vector de posición, vector fijo,vector libre, traslación de un punto y de una figura, sumade vectores y finalmente traslaciones y suma de vectores.

La última unidad, pensada para el Bachillerato de Cienciasde la Naturaleza y de la Salud, está dedicada a losNúmeros Complejos y dividida en formas, representacióny operaciones.

Otra sección dentro de estas páginas está dedicada a laMatemática Recreativa. Según los autores de estas páginas«en todos estos juegos clásicos debes utilizar la lógica y elingenio, bien para resolver puzzles o para ganar al orde-

Figura 11. Página del Departamento de Matemáticasdel IES María Moliner

nador». Estos contenidos recreativos aparecen clasificadosen tres apartados: ilusiones ópticas, acertijos matemáticosy juegos on-line, siendo este último bastante extenso einteractivo.

Universidad

En la página NonEuclid Hyperbolc Geometry Article +Software Applet cuya dirección es

http://math.rice.edu/~joel/NonEuclid/

encontramos abundante documentación sobre Geome-tría no Euclídea, desde conceptos básicos (Geometría noEuclídea, Geometría Esférica, Geometría Hiperbólica,pseudoesfera, líneas paralelas, forma del espacio: espa-cio curvo), axiomas y conceptos avanzados. Contienetambién una amplia sección dedicada a bibliografía y un

121

applet java con suficiente documentación para poder uti-lizarlo.

Las actividades que podemos realizar utilizando esteapplet java abarcan temas como ángulos, ángulos adya-centes, distintos tipos de triángulos, paralelogramos, polí-gonos y círculos.

Sin lugar a dudas la implementación de aplicaciones java,javascirpt, cabrijava, cabriweb o Shockwave en las pági-nas web nos permiten esta interactividad comentada en lospárrafos anteriores. No nos debe preocupar qué tipo deprogramación usa el autor de la página que estemos visi-tando. Lo verdaderamente interesante es que funcione y lapodamos aplicar en nuestras clases. Figura 12. /math.rice.edu/~joel/NonEuclid/

Dirección Descripción

http://www.xtec.es/recursos/mates/aqui/index.htm Recursos, enlaces, agenda y trabajos. Software en inglés y catalán.Olimpiadas en Cataluña. Canguro Matemático. Mathplets (appletsmatemáticos: fracciones, integrales, vectores, transformaciones geomé-tricas, trigonometría, reglas de cálculo, cálculo del día juliano, repre-sentación de funciones, geometría sólida constructiva, Descartes,Distribución Normal, cálculo simbólico, estadística).

http://www_sfb288.math.tu_berlin.de/eg_models/index.html Página en inglés cuyo contenido se basa en una colección de modelosgeométricos manipulables clasificados en curvas, matemáticas discre-tas, geometría elemental, construcciones geométricas, nudos, geome-tría no euclídea, sólidos y superficies.

http://sites.uol.com.br/sandroatini/ Página procedente de Brasil con contenido matemático clasificado endesafíos (problemas con solución), publicaciones y textos electrónicos,colección de applets java (ángulos, funciones trigonométricas, triángulos yvarios), juegos, gráficos (representación gráfica de funciones utilizando unapplet java), software, debate, actividades para los más pequeños

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4 Entretenimiento, currículo, experiencias, recursos y enlaces. Software,libros, Escher. Fibonacci: el Número de Oro. Problemas: taller de mate-máticas. IRC: canal sobre educación. Historia: principales símbolos através del tiempo. TVE2: La Aventura del Saber (Matemáticas), títulos delos 10 programas de 24 minutos de duración. Acertijos. Problemas deSelectividad Logse de Madrid en formato zip. Juegos: juego en java.Vídeo y Matemáticas.

http://www.mb.hs_wismar.de/Mitarbeiter/Pawletta/00Uwe/formel.html Esta página contiene un applet java que permite realizar operaciones decálculo simbólico: derivadas, integrales, Series de Fourier, Series de Taylor.

http://www.scienceacademy.com/maestro/index.html Páginas interactivas con preguntas y respuestas sobre: sumas, restas,multiplicación, división, redondeo, escribir números, prioridad de ope-raciones, factores comunes, perímetros, distacia_tiempo, problemascon palabras, mapas, resta de decimales, división de decimales, expo-nentes, gráficas de barras, problemas de ingenio.

http://www.vnet.es/~iesarroyo/matematicas.htm Página del Departamento de Matemáticas del IES Arroyo de la Miel.Taller de Matemáticas. Proyecto conjunto: problemas y cuestiones plan-teadas en un intercambio sobre la enseñanza de las Matemáticas conun centro inglés y otro francés. Applets Java sobre la función cuadráti-ca y el Teorema de Pitágoras. Enlaces.

http://www.arrakis.es/~jasaiz/Cambio.htm Página con una calculadora (en java) que permite convertir euros apesetas y viceversa.

122

Dirección Descripción

http://info.lboro.ac.uk/departments/ma/gallery/index.html Página con imágenes relacionadas con las matemáticas. El contenidoestá clasificado en categorías: El Conjunto de Mandelbrot. Conjunto deJulia. Dinámica molecular. Applet java: iteración en sistemas de funcio-nes. Idioma: inglés.

http://www.ctv.es/USERS/iescandas/ Página de Matemáticas del IES de Candás (Asturias). Applets java paragenerar ejercicios y comprobar las soluciones sobre rangos de matri-ces, fracciones, matrices inversas, factorizar, determinantes, contrase-ñas y sistemas de ecuaciones. Disponible también en Gallego.

http://vitalsoft.org.org.mx/~jlabreu/ Applets java clasificados en Nippes de simulación. (Descartes.Difracción de la luz: la doble ranura. Una mesa de billar.) Nippes dedatos. (Nippe de figuras. Nippe de composiciones. Comarcas deCataluña). Otros ejemplos de nippes. (Los poliedros regulares. El con-junto de Mandelbrot. El triángulo de Pascal. Constelaciones y Estrellas.Superficies en 3D). Applets con imágenes. (Zoom por el espacio. Cubocon fotos. Video 360 en un applet)

http://www.coe.tamu.edu/%7Estrader/math166H/LeastSquares/ls2.html Esta página contiene un applet java que permite trabajar con correla-ción utilizando tablas o directamente desde la nube de puntos.

http://www.pntic.mec.es/Descartes/index.html Unidades Didácticas que se están desarrollando en el PNTIC con elnippe Descartes. Estas unidades están clasificadas por niveles: primery segundo de ESO, 4.° de ESO opción A y B, primer y segundo cursode los Bachilleratos de la modalidades de Humanidades y Cienciassociales, y de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud o Tecnológico.Otros niveles y aplicaciones (Las cónicas, función exponencial y loga-rítmica, la tirolina, la gaussiana, los polinomios, ecuación de tercergrado en dos variables y curvas en coordenadas polares). Páginascon java.

http://www.arrakis.es/~fcoquiles/index.htm Actividades y recursos clasificados en ESO y Bachillerato. Sobre laESO, los contenidos son: Ángulos de un triángulo. Geometría en eltriángulo. Cuadrilátero cíclico. Tha. de Pitágoras (1). Tha. de Pitágoras(2). Triángulo rec. inscrito. Sólidos de Platón . En cuanto a Bachillerato,los recursos se clasifican en: Ec. vectorial de una recta. Vector en R3(Repres). COU (con ejercicios de selectividad, software (Geo3, ejerci-cios e instrucciones) y ejercicios de programación lineal y examen decálculo matricial). Gráfica/Función (Puzzle1). Utilidades Derive.Func.Trig. elementales. Utiliza applets java.

http://www.xtec.es/~jlagares/integral.esp/integral.htm Página (con applets Java) para aprender todo lo relacionado con laintegral definida. Forma parte de la Página de recursos educatius d´enJordi Lagares Roset.

http://www.cut_the_knot.com Puzzles, probabilidad y geometría. Página del profesor AlexanderBogomolny especialista en algoritmos numéricos, herramientas de pro-gramación y gráficos. Aplicación de applets java. Gran colección dejuegos y puzzles (en java). Problemas y teoremas. Animaciones en for-mato avi (banda de Moebius, transformación de un cubo en una esfe-ra, creación de un toro, de la botella de Klein...). Enlaces.

http://www.homewood.net/java/index.html Esta página contiene un applet java que permite resolver ecuaciones detercer y cuarto grado.

http://www.ies.co.jp/math/java/index.html Colección de 264 applets java de contenido matemático clasificadosen siete categorías. Aplicaciones en CabriJava que también permiteninteractividad.

http://www.matemagia.com Matemática recreativa: test multidisciplinar con varios niveles, series,enigmas, pruebas para pensar y razonar (oráculo, supéralo), personajeoculto (descubrir un personaje con varias pistas). Juegos con applets java.

http://liebre.itcj.mx/paginas/matematicas/ Extensos apuntes de cálculo vectorial, diferencial e integral. Índice dedefiniciones y teoremas. Utiliza Java.

123

Dirección Descripción

http://xavier.gourdon.free.fr/Constants/constants.html Completa página en inglés dedicada a las constantes clásicas y sus algo-ritmos de cálculo. La información está clasificada en constantes(Arquímedes, e, log(2), raíz cuadrada de 2, Constante de Arpery, recordsde cálculo de constantes. Algoritmos (Precisión arbitraria en lenguajes deprogramación, FFT –Fast Fourier Transform– algoritmo para la multiplica-ción de números grandes), método binario de división de series, cálculode la inversa y raíz cuadrada con alta precisión, Método de Newton, ace-leración de convergencia de series incluyendo series alternadas, cálculodel n-simo dígito de pi sin calcular los demás). Programas (PiFast: para cal-cular los dígitos de pi, programa para calcular pi con 12 billones de cifras,código de programas en C para calcular diversas constantes, programaon line en java script para calcular Pi, e, raíz cuadrada de 2, el Númerode Oro, logaritmo de 2 y logaritmo de 3). Varios (clasificación de losnúmeros –irracionales, trascendentes,...–, comprobaciones de que Pi ylog(2) son irracionales, Función Gamma, Función Z de Riemann, Númerosde Bernoulli, constantes de la teoría de números y notas históricas sobreconstantes). Teoría de Números (calculando primos, proyecto pi(x), cálcu-lo on line de los primos menores de 1000, 5000, 10000 y 30000mediante java script). Bibliografía y enlaces sobre el tema.

http://www.seanet.com/~ksbrown/ Esta página (en inglés) contiene artículos clasificados en teoría denúmeros, combinatoria, geometría, álgebra, cálculo y ecuaciones dife-renciales, probabilidad y estadística y teoría de conjuntos. Contieneuna extensa sección sobre historia de las matemáticas. Animaciones enJava: poliedro y dodecaedro de Kepler.

http://www.fortunecity.es/imaginapoder/vente/628/ Página sobre triángulos en catalán. Elementos y propiedades de lostriángulos. Criterios de igualdad y clasificación. Teoremas con appletsen CabriJava: Teorema de Pitágoras, Recta de Euler, Napoleón,Teorema de Ceva, Teorema de Viviani, Circuferencia de Euler.

http://www.uv.es/~buso/index.html Modelos globales y simulación con gran cantidad de documentaciónrelacionada (en varios formatos). Escher (biografía _ selección de gra-bados _ otros grabados _hagamos mosaicos _ enlaces y bibliografía).Tangram: appleet java para jugar en línea. Otras propuestas con solu-ción en archivo comprimido zip. IQ test.

http://www.geocities.com/campis1/conics.html Esta página (Secciones Cónicas y Geometría Analítica) tiene por obje-tivo apoyar al aprendizaje de las matemáticas y en especial la geo-metría analítica utilizando un recurso que nos permite manipular (utili-za applets java) elementos claves de cada figura con la única intenciónde descubrir qué pasa al modificar alguno. Puntos en el plano, rectas,parábolas, secciones de cónicas.

http://centros5.pntic.mec.es/ies.marques.de.santillana/matem/inddep.htm Páginas dedicadas a temas matemáticos generales, de tipo didáctico ydivulgativo, hojas de problemas para alumnos, soluciones a problemas,modelos de exámenes, curiosidades, etc. Concurso Matemático Año2000. Páginas interactivas que utilizan applets Java y CabriWeb sobrealgunos temas geométricos clásicos y sobre otros de interés matemático:1. Circunferencia de los nueve puntos. 2. Punto de Fermat. 3. TriánguloÓrtico. 4. Triángulo de Morley. 5. Teorema de Ceva. 6. Recta de Simson.7. Recta de Euler. 8. Triángulos de Napoleón. 9.Teorema de lasBisectrices. 10. Circunferencia de Apolonio. 11-12. Hipocicloides y epici-cloides. 13. Cuadratura del rectángulo. 14. Triángulo de Pascal yTriángulo de Sierpinski. 15. Teorema de Bolzano. Unidad didáctica intro-ducción al concepto de función (con applet java). Problemas para alum-nos de 1.° de Bachillerato (Matemáticas aplicadas a las CienciasSociales). Software matemático comercial y freeware comentado con links.

http://www.arrakis.es/~fcalbet/index.htm Problemas (algunos con solución). Ejercicios de cálculo. Programas enjava y Vbasic. Programa en java sobre fractales.

http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/home.htm Unidades didácticas: vectores (con Java). Proyectos educativos.Intercambio de problemas. Apuntes (números complejos). Enlaces enespañol e inglés. Recursos para el aula con Java. IRC de educación delCPR de Hortaleza (Madrid).

124

Dirección Descripción

http://olmo.pntic.mec.es/~aserra10/ Podemos encontrar entre otras cosas, una sección de problemas consolución (El abuelo de Evaristo, El abuelo y la abuela de Evaristo, ElPaís de las Maravillas, Homenaje a Fermat, El Teorema de Tales).Trabajos (teoría de números y problemas (aún no disponible) para laasignatura Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, de segun-do de Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales). Enlaces y pro-gramas en javascript: Diofanto (resuelve ecuaciones diofánticas),Congruencias (resuelve sistemas de congruencias lineales), Suma devectores (animación geométrica), Diferencia de vectores (Animacióngeométrica), Producto número x vector (animación geométrica).

http://www.mja.org.mx/Prometeo/index.html Prometeo _ Educación Interactiva en la Red. Utiliza applets muy senci-llos de configurar que permiten desarrollar interacciones con los datosmás diversos. Figuras geométricas. Las funciones reales. Conjuntos deMandelbrot. Poliedros Regulares y Superficies en 3D. Conjunto deMandelbrot.

http://www.malhatlantica.pt/mat/ También localizable en http://matematica.web.com/ Excelente páginaportuguesa en la que se trata la utilización de las nuevas tecnologíasen el proceso de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas (Java,Sketchpad, Excel y Cabri). Noticias y novedades. Materiales en formade ficha con formato pdf clasificados en 7.°, 8.°, 9.° año y otros mate-riales, con explicaciones sobre el software utilizado para su desarrolloy aplicación en el aula. Cada año está clasificado en unidades didác-ticas. Enlaces en portugués, inglés, geometría para profesores, proble-mas y actividades. Enlaces para alumnos. Software. Applets Java(Teorema de Pitágoras). Publicaciones y Debate.

http://www.math.uah.edu/stat/ Página (muy completa, abarca todo: desde espacios de probabilidad,combinatoria, distribuciones, estimación, test de hipótesis… en formatohtml) en inglés sobre probabilidad y estadística . Contiene una extensacolección de applets java utilizados para simulación.

http://vinci.inesc.pt/lp/ Página en inglés que contiene un applet java que permite resolver losproblemas de programación lineal.

http://www.almide.demon.co.uk/html/Complex/Complex_for_Java.html Contiene un applet java que nos permite trabajar con números com-plejos de forma gráfica. Inglés.

http://kalamation.com/Fitter/ Página en inglés que contiene diversos utilidades interactivas (appletsjava): matrices, regresión…

http://www.javathings.com/graphapplet.asp Potente applet java que permite representar funciones de forma similara una calculadora gráfica. Inglés.

http://www.poliplus.com/javaproducts.htm#Math Potente applet java (gratuito con fines educativos) que permite trabajarcon cálculo simbólico de forma similar al Derive. Inglés.

http://www.best.com/~ddee/MathIndex.html Página en inglés con applets java para trabajar las matemáticas deforma alternativa a la tradicional. Esta web está dirigida a edades com-prendidas entre los 5 y 12 años. Los alumnos pueden trabajar de formaautónoma (el profesor configura previamente las tareas y el nivel dedificultad) delante del ordenador que analiza su progreso.

http://www.geocities.com/campis1/conics.html Página sobre geometría analítica utilizando un recurso que nos permitemanipular elementos: applets java. Rectas, parábolas y secciones cónicas.

http://www.ibad-laspalmas.com/cei_archivos/cei.htm Encontrarás un curso de inferencia estadística para bachillerato, queincluye actividades, hojas de cálculo y el uso del applet interactivoDescartes. Introducción, teoría de muestras. Teorema Central del Límite.Estimación. Estimación de la media. Estimación de la proporción. Testde contraste de hipótesis. Naturaleza del contraste de hipótesis.Método del p-valor. Cálculo del error del tipo II. Márgenes de error.Bibliografía. Documentos y recursos.

http://www.quia.com/jg/7263.html Página en inglés que contiene juegos en java para aprender los núme-ros romanos.

N EL ARTÍCULO ANTERIOR de esta sección –«Leyendo entre líneas la

Historia»– planteábamos el problema de la continuidad entre el álgebra

de Babilonia (probablemente su arranque más prometedor en la Anti-

güedad) y la de Bagdag (el comienzo de un brillante desarrollo). Se suele

establecer a partir de un posible camino cuyas etapas serían Meso-

potamia-Alejandría (Diofanto)-comunidades nestorianas1 instaladas en

Oriente Próximo y en Jundishapur2 (Irán)–Bagdad, pero no hay docu-

mentos que prueben nada de forma fehaciente. Y hay que añadir, ade-

más, las permanentes relaciones de Persia con India y las posibles de ésta

con la antigua Mesopotamia3. Un hipotético –aunque probable– y acci-

dentado viaje de ida y vuelta para volver a nacer en el mismo suelo mil

quinientos años después. Por nuestra parte, hemos aprovechado para

recordar las aportaciones matemáticas de Mesopotamia, y hemos selec-

cionado dos temas.

El sistema de base 60

¿Cómo explicar la elección de un número tan alto como base del siste-

ma de numeración? Se suele alegar su interés aritmético, dada la gran

cantidad de divisores que tiene, pero a pesar de su pedigrí (ya la insinuó

Teón de Alejandría en el s. IV4) nos parece una explicación filosófica-

mente idealista en exceso. En los comienzos influye más lo experimen-

tal que la teoría. Otra posibilidad es conectar el 60 con la Astronomía. Si

el Sol tarda 360 días –un número habitual en calendarios de la Anti-

güedad– en dar una vuelta completa alrededor de los sacerdotes obser-

vadores, éstos podrían haberse decidido por 60, un valor más manejable

pero igualmente relacionado con sus números y por tanto con el esote-

rismo cultivado sin duda por su casta. El problema en esta conexión, que

probablemente todos hemos sugerido en clase alguna vez, es decidir qué

fue primero, el huevo o la gallina. Para anotar regularidades es necesa-

rio un mínimo sistema numérico previo, pero, en contrapartida, nada

impide pensar que fuera perfeccionado o modificado como consecuen-

cia de las mismas.

125

Por una lectura detenidade la Historia

Carlos Usón VillalbaÁngel Ramírez Martínez

DESDELA

HISTORIA

E

37

junio 2001, pp. 125-128

En cualquier caso, esta segunda explicación5 vuelve a con-fiar demasiado en las ideas como instrumento decisorio enelecciones complicadas pero muy conectadas con elmundo material. G. Ifrah (1997) propone otra tan naturalque sorprende no haber pensado en ella anteriormente:doce falanges en una mano y un pulgar para contarlas, ycinco dedos en la otra para cada bloque de doce. En total60. La técnica de recuento con las falanges está hoy vigen-te en amplias zonas, desde Egipto hasta la India, y por loque hace a la base 5 ha sido una de las más utilizadas, porsu naturalidad y como forma de abreviar la representaciónde números en base 10. De la combinación de las dos tra-diciones surgiría la base 60. Se puede pensar incluso quese produjo una confluencia de modelos procedentes dedos de los pueblos que coincidieron en la región, segúnel clásico proceso invasión6–mestizaje cultural.

Dentro de esta misma línea de razonamiento de cortematerialista resulta atractiva una simplificación de la pro-puesta que hizo Neugebauer –el gran investigador de lasmatemáticas egipcias y babilónicas– en 1927. Podemospensar en una unidad de medida de longitud cualquiera,antropomórfica (codo, palmo, paso) o no, estandarizadasobre un trozo de madera, en el que se van dibujando lasmuescas que se corresponden con 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 y 1/6.Una vez dibujadas todas, la distancia más pequeña entredos de ellas corresponde a 1/60.

Ninguno de estos argumentos es concluyente por símismo. En cualquier caso, sí parecen obvios los inconve-nientes prácticos derivados de adoptar un número excesi-vamente alto como base del sistema de numeración. Elmás inmediato surge a la hora de multiplicar. ¿Cómomemorizar 60 tablas de 60 resultados cada una?7 Sabíamosque en Babilonia se habían usado tablas de mutiplicarcomo auxiliar para el cálculo8, pero no nos habíamosplanteado lo que eso suponía ni el porqué. Como siemprela vida va por delante, y la reflexión ha venido motivadapor un hallazgo casual.

Evidentemente no estamos hablando de una tablilla cunei-forme de barro cocido, sino de una página de la «TabulaSexagenaria» de las Efemérides de A. Argoli (1659)9. Porfortuna no miramos el título, lo que nos permitió el placer(ingenuo, sí, pero placer) de descubrir de qué se trataba.La construcción de los objetos –aunque sean teóricos–aporta una información casi sensorial diferente de la queproporciona la mera lectura informativa. Resultó divertidooperar con la tabla –hay calculadoras para evitar el tra-bajo tedioso– y resultó también útil para comprender elavance que supuso esta primera «máquina» de calcular arti-ficial10.

Da la impresión de que la Tabula de Argoli incluiría losproductos de los treinta primeros números por todos losnúmeros desde 1 hasta 60. La propiedad distributiva evitalos otros 1800 resultados. En base 10, claro, no es necesa-

rio recurrir a ella. Acostumbrados a conceder a las ideas

toda la capacidad explicativa de los distintos aconteceres,

consideramos muy poco las consecuencias obligadas de la

plasmación práctica de los diferentes pasos que se dieron

al ir avanzando. Y, desde luego, si se hubiera optado por

la base 2 o la base 5, las tablas no habrían sido necesarias.

Ya lo hicimos una vez11, pero entonces no disponíamos de

la tabla. ¿Por qué no jugar de nuevo?

126

Muestra de la tabla sexagenaria(Argoli, A. (1659). «Efemérides», págs. 508-509)

33; 35; 09x 22

3; 1812; 50

12; 06

12, 18; 53; 18

¡La tabla lo resuelve todo! Sólo es necesario para efectuarmultiplicaciones con su ayuda, saber sumar y, por supues-to, entender cómo funciona un sistema posicional. Comonuestra tabla es incompleta hemos tenido que recurrir a lapropiedad distributiva para 22 x 09.

22 x 09 = 22 x 40 – 22 x 31 = 14; 40 – 11; 22 = 3; 18

Sin molestarnos en pensar hemos obtenido respuesta a uncálculo complicado. En sistema decimal,

120909 x 22 = 2659998.

Fracciones poco periódicas

La sombra de la tradición es alargada. Los árabes emplea-ron a la vez dos sistemas de numeración: decimal para elcomercio y decimal y sexagesimal para los cálculos cientí-ficos. Pero a mediados del s. XVII ya hacía 200 años queal-Kashi había propuesto emplear solamente fraccionesdecimales. Sin duda no fueron las ventajas aritméticas queinsinuaba Teón de Alejandría las valedoras de esta pervi-vencia pero, una vez más, nos vamos a dejar fascinar porlas maravillas del sistema sexagesimal.

En efecto, en base 60, de todas las fracciones unitarias condenominador hasta 12 (1/n, con 1 ≤ n ≤ 12), sólo son dosperiódicas, mientras que en base 10 lo son seis. Si emplea-mos la notación 3,12;11 para expresar 3 + 12/60 + 11/602,podemos comparar sus expresiones en las dos bases.

revisar lo que ya se conoce para adaptarlo. Y lo mismo paraotra cuestión que ha quedado abierta: ¿qué denominadoresproducen decimales periódicos en base 60?

El olvido de la heurística

¿Ha sido Ifrah el primero en elaborar la conjetura citadasobre el origen de la base 60? La hemos encontrado en ély en G. Gheverghese Joseph, pero ninguno de los dos citaa otros autores. En cualquier caso nos sorprende la pocapopularidad que tiene (entre el público en el que puedetenerla, claro), y nos parece que es una muestra más de lareticencia de la comunidad de historiadores de las mate-máticas a proponer explicaciones de tinte «materialista». Loempírico, lo material, la vida real, está subliminalmentemarginado en el entorno de las matemáticas. Veamos otroejemplo en un campo distinto.

En Taton (1971) se comenta un problema recogido en unatablilla cuneiforme, la denominada AO 6484, en el que sepropone sumar la serie 1 + 2 + 22 + ... + 29. Y afirma el autor:

Se da la respuesta sin comentario: se toma el último término dis-minuido en 1 unidad y se añade el número resultante al últimotérmino. De hecho, el cálculo realizado por el escriba correspon-de a la fórmula moderna:

S = a(qn–1)/(q–1), siendo q=2, a=1 y n=10; o sea:

S = 210 – 1 = 29 + (29 – 1)

La notación en los manuales de historia suele estar a vecesmenos matizada, no se sabe si por autores o por editores.Seguramente habríamos deseado ver Sn y a1, pero la fór-mula es tan conocida que no plantea ninguna dificultad decomprensión. Pero lo que interesa es que, en realidad, elcálculo que se detalla literariamente no corresponde a unaaplicación directa de la fórmula, como demuestra el últi-mo paso. La fórmula da 210 – 1, y lo descrito 29 + (29 –1).No imaginamos al escriba obteniendo la primera expre-sión (por supuesto retóricamente) y modificándola paraobtener la segunda. Si el escriba, por tanto, estaba enposesión de una fórmula aritmética científica (sic), nodebía tener ésta el aspecto en formato retórico que tienela que manejamos hoy día en simbolismo algebraico. Esdecir, el listado de operaciones es distinto en las dosredacciones del método para alcanzar la respuesta.

Dada la forma en que se redactaban papiros y tablillas, elproblema de cómo obtuvieron sus resultados los sabios dela Antigüedad permanecerá inevitablemente abierto. Losmanuales recogen en algunos casos conjeturas metodológi-cas que, no puede ser de otra manera, están sesgadas porla ideología matemática de su autor. En este caso en elTaton no se llega a sugerir una explicación. Simplemente secomprueba que nuestra actual rutina de resolución terminaconduciendo a la misma respuesta. En realidad, si olvida-mos la obsesión por ir siempre de lo general a lo particular,y actuamos a la inversa; si recuperamos algo tan natural

127

FRACCIÓN BASE 10 BASE 60

1/2 0,5 0,30

1/3 0,3– 0,20

1/4 0,25 0,15

1/5 0,2 0,12

1/6 0,16– 0,10

1/7 0,142857 0,8;34;17

1/8 0,125 0,7;30

1/9 0,1– 0,6;40

1/10 0,1 0,6

1/11 0,09 0,5;27;16;21; 10;54;32;43;38

1/12 0,083– 0,5

¿Qué interés podía tener esto para el cálculo? Los escribasde la antigua Mesopotamia efectuaban las divisiones mul-tiplicando el dividendo por el inverso del divisor, para locual existían tablas con los inversos de los primeros núme-ros, y no parece que tuvieran una idea muy clara sobre losdecimales periódicos. De hecho, en las tablas de inversosfaltan 1/7 y 1/11, y en todas las tablillas que han llegadohasta nosotros solamente en una aparece una acotación de1/7 por defecto: 0,8;34;16;59 y otra por exceso: 0,8;34;18.Los decimales exactos, por tanto, además de facilitar elcálculo permitían evitar resultados aproximados.

Pero abandonemos la Historia un momento a favor de ladidáctica. La elaboración del cuadro anterior puede ser unabuena propuesta para alumnos y alumnas de 4.° ESO o 1.°de bachillerato. ¿Cómo definir y justificar un algoritmo quepermita obtener los períodos en base 60? Evidentemente,igual que en base 10, pero el cambio de contexto obliga a

desde el punto de vista de la heurística como la inducción,

la «fórmula» del escriba aparece sin ningún problema. Basta

con anotar resultados y observar regularidades.

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 4 = 7

1 + 2 + 4 + 8 = 15

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

No hace falta ser especialmente observador para detectar

el zigzag que relaciona el resultado de una fila con el de

la anterior. La suma global de una fila más el último núme-

ro de la suma de la siguiente fila da el resultado global de

esta última. Es decir, para la fila quinta:

1 + 2 + 22 + 23 + 24 = 16 + 15 = 24 + (24 – 1)

Por este camino sí se obtiene la solución del escriba, pero

igualmente podíamos haber elegido el formato 210 – 1, que

también «salta a la vista» en el proceso anterior. La cone-

xión entre las dos expresiones, además, no parece un paso

difícil para calculistas que dejaron probada muestra de su

habilidad en la resolución de otros problemas. Nos incli-

naríamos por buscar una explicación en la escritura cunei-

forme de los números, basada solamente en dos símbolos,

que quizás hiciera más fácil ver que quedaban obligados

a repetir el último término menos uno.

Intentaremos visualizar lo que queremos decir empleando

nuestros símbolos para la suma y la igualdad y represen-

tando cada marca del cálamo en la arcilla con I.

IIII

I + II = III I + II + IIII = III

Es cierto que en el siguiente paso, puesto que la suma par-

cial da 15 y el símbolo para 10 era una cuña horizontal dis-

tinta, se pierde la «visión directa» del proceso, pero la idea

ya ha quedado sugerida.

Nos atrevemos, por tanto, a responder sólo en parte a la

pregunta del historiador: ¿cómo habían obtenido las fór-

mulas? Sin duda por un método tan natural de construc-

ción de rutinas como la inducción. Y la experiencia didác-

tica nos dice que la mayoría de quienes llegan a sumar la

serie de potencias de 2 lo hace también con la de 3 y la

de cualquier número natural.

Los sesgos interpretativos de los historiadores de las mate-

máticas están influenciados no sólo por su ideología sobre

el devenir histórico o su interpretación filosófica de las

matemáticas, sino también por la forma en que conciben

los procesos de creación del conocimiento matemático. A

falta de documentos sólo se puede conjeturar, pero las

conjeturas no son asépticas.

Obras citadasIFRAH, G. (1997): Historia universal de las cifras, Espasa.

JOSEPH, G.G. (1996): La cresta del pavo real, Pirámide.

TATON, R. (director) (1971): Historia general de las ciencias (tomoI), Destino.

Notas1 Néstor fue condenado en el Concilio de Éfeso (431) por sostener que Cristo

tiene dos naturalezas, una divina y otra humana. Todavía su doctrina tienehoy partidarios en Irán y Turquía. Su éxodo fue uno más de los que provocóla ortodoxia bizantina.

2 En esta ciudad, en la que la dinastía sasánida había fundado una Escuela deMedicina, se refugió no sólo parte del primer éxodo nestoriano, sino también,más tarde, profesores de la Universidad de Atenas clausurada por Justiniano(529). Aunque el nivel científico de Bizancio nunca fue alto, se supone queestos exiliados contribuyeron con sus traducciones al siríaco, del que poste-riormente se harían traducciones al árabe, al contacto del mundo islámico conla ciencia griega.

3 Utilizaremos indistintamente las palabras Mesopotamia y Babilonia. No sonlo mismo, evidentemente, pero la producción matemática de las distintas épo-cas en esta región puede quedar bien representada por la ciudad deBabilonia. (Véanse G. Gheverghese Joseph (1991) y R. Taton (1971)).

4 Más adelante, según Ifrah (1997), insistieron en ella John Wallis, en el s. XVII,y Löffler en el s. XX.

5 También con pedigrí: Formaleoni (1789); Cantor (1880).

6 Imposible evitar cierto pesimismo antropológico ante la evidencia de los cami-nos seguidos por la cultura y el conocimiento en sus avances.

7 Las criaturas de Primaria lo consiguen, incluso perdiendo el sentido de lo quedicen. Se puede (¡y se debería!, por tanto) mantener este sentido e ir más des-pacio. Pero, ¡qué dificultades para ello con 60 tablas de 60 resultados!

8 Ahora se obliga a memorizarlas pero se prohibe su función auxiliar. Conven-dría reflexionar un poco sobre el uso que se hace de una tabla en cualquiertrabajo. Da la impresión de que sólo en las aulas se memorizan para apli-carlas posteriormente en una segunda etapa. La calle, como casi siempre,actúa de otra manera: a fuerza de usar la tabla en cuestión se llega a memo-rizarla.

9 La hemos encontrado en Ángel Aguirre Álvarez: El astrónomo cellenseFrancisco M. Zarzoso (1556). Instituto de Estudios Turolenses. 1980.

10 Consideramos las manos como instrumentos naturales para el cálculo, ante-riores, claro está, a las tablas de Mesopotamia.

11 En el artículo «¿Por qué seguir anclados en Egipto?», en el número 35 deSuma.

RectificaciónLas colaboraciones continuadas con Suma nos están permitiendo conocer la sen-sación de autismo resultante del silencio de los hipotéticos lectores o lectoras.Cierto, a veces llega algún aviso de alguien que se ha disgustado con algunaafirmación, e incluso también de alguna persona que por el contrario se mani-fiesta de acuerdo con lo escrito. Pero en las frases que nosotros hemos lamenta-do a posteriori, cuando ya no ha tenido remedio, nadie parece haberse deteni-do. Puesto que no nos ha llegado la crítica nos rectificaremos a nosotros mismos.

En el número 35 (noviembre del 2000) firmamos un artículo, «¿Por qué seguiranclados en Egipto?», en el que se deslizó la siguiente afirmación: Seguimosmetodológicamente anclados en Egipto, pero con una diferencia social quehace la situación sangrante: los matemáticos de la Antigüedad y de la EdadMedia escribían para usuarios analfabetos. Hay sugerencias dolorosas poreste camino que preferimos no detallar. Ocurre que el párrafo es rechazabledesde dos puntos de vista:

• En primer lugar hay una frase que es contradictoria en sí misma: no se escri-be para analfabetos.

• En segundo lugar, no es razonable llamar analfabetos, por ejemplo, a loscomerciantes medie-vales.

En realidad, lo que pretendíamos era establecer una comparación que nosparece que sigue siendo válida, pero que es difícil de ajustar en poco espa-cio. La frase debería decir: los matemáticos de la Antigüedad y de la EdadMedia, cuando escribían manuales de instrucciones pretendían la perviven-cia, la transmisión de rutinas que permitían dar respuesta a los enunciados delos problemas. Tres mil años después parece claro el arcaísmo de una didác-tica basada en este objetivo.

128

HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

Julio Rey Pastor y José Babini

2 volúmenes

Prefacio de Juan Vernet

Gedisa Editorial

Barcelona, 2000

216 y 230 páginas

129

RECENSIONES

Una historia de bolsillo 37

junio 2001

Es un hecho curioso que aparezca por tercera vez la primera edición de esta obra. Primero fueen 1951, editada en Buenos Aires por Espasa-Calpe, luego en 1985, bajo el sello editorialGedisa que opera en Barcelona. Agotada esta edición, la misma editorial ha lanzado otra, en elpaso del ecuador del Año Mundial de las Matemáticas 2000, que califica otra vez como prime-ra porque aparece en una nueva serie. La obra cambió al pasar de Espasa-Calpe a Gedisa, perola tercera aparición es una reedición de la segunda con la presentación material mejorada. Enella se mantiene la división en dos volúmenes y la paginación que estableció Gedisa en 1985,pero se amplía el formato, de modo que el texto queda menos apretado y más agradable de leer.También cambian el diseño de las cubiertas, ahora más vistoso, y el texto informativo de contra-

* Publicado simultáneamente en esta revista y en Saber y Tiempo, la revista de la Asociación Biblioteca José Babini,Buenos Aires (Argentina).

portada, que da más protagonismo a Babini, del que se desta-can las dos monografías sobre historia de la ciencia que estáncitadas en el prefacio de Juan Vernet. En dicho texto arregladose ha suprimido la mención a la fecha de fallecimiento de ReyPastor, tal vez porque se había deslizado un error de siete añosen la edición anterior. No hay comentarista que no disfrute malé-volo anotando alguna errata. Una de las que perduran está enla tabla cronológica inserta al final del volumen segundo, dondehay un deslizamiento de un siglo: «1790. Rolle expone el teore-ma que lleva su nombre». Ahora que llegan las ediciones digi-tales de los libros, fabricados en pequeñas cantidades siguiendode cerca la demanda, los lectores nos tenemos que ir acostum-brando a comunicar los gazapos descubiertos para que lasobras se vaya corrigiendo poco a poco, siempre que el editornos ofrezca un euro por errata más o menos, como ya se hacea través de la red en ciertos casos.

130

chaba entusiasmado un joven estudiante deingeniería llamado Babini, nueve años másjoven que el conferenciante. Desde enton-ces, maestro y discípulo formaron un equi-po de trabajo que recorrió la matemática—así, en singular, como ellos la aprecia-ban— su enseñanza y su historia, ademásde la historia de la ciencia en general.

La versión de Gedisa de Historia de lamatemática es más de Babini que de ReyPastor si la comparamos con la original acargo de Espasa-Calpe. Para explicar estocomenzaremos observado la tabla siguien-te en la que se recogen en paralelo los índi-ces respectivos.

Espasa-Calpe, 1951 Gedisa, 1985/2000

Introducción Prefacio (Juan Vernet)Bibliografía

Capítulos Capítulos del tomo I

1. La matemática empírica 1. La matemática empírica2. La matemática prehelénica2. El periodo helénico 3. La matemática helénica3. El periodo helenístico 4. La matemática helenística5. El periodo grecorromano4. La matemática medieval 6. La época medieval

y el despertar renacentistaTabla cronológica.Índice de autores

Capítulos del tomo II

5. La matemática renacentista 7. La matemática renacentista6. Nacimiento de la matemática 8. El siglo XVII

moderna en el siglo XVII7. El siglo XVIII. Apogeo de la 9. El siglo XVIII

ciencia newtoniana8. El siglo XIX 10. El siglo XIX9. La matemática finisecular 11. Hacia la matemática del siglo XX

(1870-1900)10. La matemática abstracta del s. XXApéndiceÍndice alfabético Tabla cronológica.

Índice de autores

Foto 1Retrato de José Babini (Sergio Sergi, Santa Fe 1935) que seencuentra en la habitación principal del local que ocupa laAsociación Biblioteca José Babini en la Sociedad CientíficaArgentina en Buenos Aires.Los libros que rodean al retrato forman parte de la bibliotecaque fue de Babini y ahora gestiona, a través de dichaAsociación, su hijo Nicolás.

En el título de la obra, mantenido invariable desde 1951, losautores se muestran partidarios de designar en singular a la másantigua de las ciencias, poniendo el énfasis en su unidad interna,que se manifiesta, sobre todo, en los procesos de abstracción cre-ciente generados en el siglo XIX. Para Rey y Babini, usar el pluralresulta «anticuado» desde entonces y, consecuentes con esta opi-nión, escriben «matemática», en el título y también en el interiordel libro. La tradición dieciochesca que habla de «matemáticaspuras y mixtas» se refleja en el título que Echegaray puso a supolémico discurso de ingreso en la Academia de Ciencias en1866: «Historia de las Matemáticas Puras en nuestra España».Años después, en torno al cambio de siglo, García de Galdeanoescribía sobre el «fusionismo» que imperaba en la matemáticafinisecular, ejemplificado por la síntesis geométrica de Klein o enla unificación conceptual producida a partir de la teoría de con-juntos. Rey Pastor, en tantas cosas continuador avanzado de lasideas de su maestro Galdeano, hablaba en sus célebres confe-rencias de 1915 en el Ateneo de Madrid de la «sistematización»de las «teorías capitales de la matemática moderna» —que paraél era entonces la posterior a Riemann y Weierstrass— «agru-pándolas en torno a estas tres ideas: Conjuntos, Funciones yGrupos». Dos años después difundió esta visión de la matemáti-ca reciente durante su primer viaje a Buenos Aires, donde le escu-

La introducción ha sido sustituida por el pró-logo que Vernet redactó «por deferencia delProf. J. Babini y del Sr. Rey Pastor, hijo». Elapéndice que aparece en la tabla anteriorestá dedicado a historiar brevemente la pro-pia historia de las matemáticas, incluyendouna nota bibliográfica, que cambia la queaparecía al comienzo de la edición de 1951,que aspiraba a ser casi exhaustiva según elestilo de Rey Pastor, por otra más reducidadedicada a reseñar lo que Babini considerómás esencial «en un campo bibliográficoespecial: la edición, generalmente comenta-da y anotada, de las obras matemáticas clá-sicas o las Opera Omnia de grandes mate-máticos». Cada volumen tiene su propia tablacronológica y se cierra con un índice de auto-res. En total son cuatrocientas cincuenta pági-nas, repartidas casi por igual en los dos volú-menes, sólo unas páginas a favor del prime-ro, subtitulado «De la antigüedad a la bajaEdad Media», que contiene los seis primeroscapítulos. Los otros cinco y el apéndice vanen el segundo volumen, cuyo contenido cubre«Del Renacimiento a la actualidad».

Además de la indudable autoría de lasvariantes introducidas en la edición de 1985,parece que fue la pluma de Babini la queescribió realmente la obra desde el principio,tras el «aporte básico inicial» de Rey Pastor.La experiencia curricular en historia de laciencia es más intensa en Babini desde fina-les de los años treinta, cuando se unió a losproyectos del exiliado italiano Aldo Mieli entorno a la revista Archeion. Por otro lado, suhijo Nicolás —que ahora dirige laAsociación Biblioteca José Babini, instaladaen la sede bonaerense de la SociedadCientífica Argentina, en la que quien suscribeha podido consultar el epistolario de Babini,utilizado en parte para escribir esta nota—recuerda a su padre ocupado intensamenteen la preparación de la obra que comenta-mos. También corrió a cargo de Babini laHistoria sucinta de la matemática que apare-ció por entonces (1952) en la serie marrón de«Austral», la popular colección de bolsillo deEspasa-Calpe, donde ya había publicadoArquímedes e Historia sucinta de la ciencia.

En la dilatada obra de Rey Pastor, buenaparte dedicada a la historia de la ciencia ya su epistemología, no hay muchos trabajosque se ocupen específicamente de la histo-

ria de la matemática universal, aunque sus libros están perma-nentemente salpicados de notas históricas. Su conocida leccióninaugural del curso 1913-14 en la Universidad de Oviedo sobre«Los matemáticos españoles del siglo XVI» —que fue libro en1925— indica que desde bien joven estudió la matemáticaeuropea del Renacimiento, sobre la que produjo un par de artí-culos de contenido matemático, también en 1925. Dos añosdespués, con motivo del centenario de Newton, publicó el artí-culo «Los orígenes del cálculo infinitesimal» en la revista Síntesisy escribió sobre el sabio inglés en el diario La Nación. Su aten-ción a este tema se aprecia en el análisis crítico que publicó en1940, en Archeion, del libro de Carl B. Boyer «The concepts ofthe calculus. A critical and historical discussion of the derivativeand the integral». Cabe mencionar por último, de 1944, el artí-culo «Análisis comparativo de los matemáticos suizos» en larevista Helvetia. Pero lo que más interesó a Rey Pastor, sobretodo a partir de los años cuarenta, fue la matemática del sigloXIX que llevó a la gran abstracción que triunfó en el XX. Esta esla preocupación que volcó en su libro de historia con Babini,publicado el mismo año que La matemática superior. Métodos yproblemas del siglo XIX, una versión ampliada de las conferen-cias dadas por Rey Pastor en el Ateneo de Madrid el año 1915.

El aporte de Rey a Historia de la matemática bien pudo consis-tir en el planeamiento inicial de la obra, la revisión de la mismadurante su elaboración y, ya en la fase final, con seguridad laintroducción y los dos últimos capítulos sobre la matemática máscontemporánea; además de la influencia que significó su famapersonal y su posición en la compañía editora, en la que dirigíajunto a Desiderio Papp la serie «La ciencia. Su historia y sus pro-blemas», así como la serie marrón de la colección «Austral».Esta aportación explícita del hispano en la primera edición es laque desaparece en la edición siguiente, en la que Babini susti-tuyó la introducción, de típico estilo reypastoriano, por el prefa-cio de Vernet y elaboró su propio final de la obra, que tienecomo antecedente un librito de setenta y cinco páginas, de títu-lo Historia de las ideas modernas en matemática, publicado en1970, corregido y actualizado cuatro años después y con unatercera edición de 1980. En la bibliografía de esta obra, Babinirecomienda la lectura de los dos últmos capítulos de la historiaque escribiera con Rey Pastor, al que atribuye la paternidad delos mismos. En efecto, el texto de estos capítulos es, tal cual, lacomunicación de Rey Pastor al Congreso de la AsociaciónEspañola para el Progreso de las Ciencias celebrado en Lisboaen 1950. Rey se lamentó en una carta de que las prisas del edi-tor, mientras él estaba de viaje por Europa, le impidieran intro-ducir algunas modificaciones de última hora. Este remate dellibro, al parecer algo improvisado, y la introducción —que,como veremos, enlaza con los capítulos finales y por eso tuvie-ron que desaparecer también juntos— sirven para conocer laspreocupaciones del matemático hispano-argentino, quizás asu-midas por Babini de modo más templado, en relación con laabstracción extrema que se había apoderado de la matemática.Por eso no es extraño que, cambiada la introducción por el pró-logo de Vernet, el historiador catalán afirme allí que una de las

Tambiéncorrió a cargode Babini la

Historia sucinta dela matemática

que apareció porentonces (1952)

en la serie marrónde «Austral»,la popularcolecciónde bolsillo

de Espasa-Calpe

131

reestructuraciones del texto clásico se ha producido en la parce-la de la matemática contemporánea. Este cambio, más el habi-do en el tema de «la antigua ciencia babilónica», son atribuidospor Vernet a las innovaciones producidas en estos dos extremosde la historia por las investigaciones más recientes.

De modo que, en la obra que comentamos, el orden alfabéticoharía más justicia a la autoría real de la obra, sobre todo en susegunda versión. Pero Babini nunca renunció a ser discípulo deRey Pastor y no se le ocurriría, impedimentos legales o ventajascomerciales aparte, renunciar a la compañía preferente en losrótulos de su maestro, a pesar de retirar sus dos aportacionesexplícitas al preparar la edición de Gedisa, que Babini no llegóa ver porque falleció en mayo de 1984, un año y pico antes deque saliera el libro de la imprenta. Aquí me van a permitir loslectores un pequeño inciso personal. Babini, que trabajó en lapreparación de la segunda versión hasta el final, ya se encon-traba débil unos meses antes de su muerte. Estaba anunciada supresencia en Logroño para participar en un simposio sobre ReyPastor, en noviembre de 1983, que se iba a ver altamente dig-nificado con su presencia. Todo estaba preparado para su lle-gada, pero pocos días antes llamó por teléfono para renunciarporque se encontraba débil y le asustaba un viaje tan largo.Agradeció la invitación, reafirmó la ilusión que había puesto eneste viaje, lamentó la perturbación que pudiera causar su renun-cia tan tardía y se justificó diciendo: «la única disculpa quepuedo darle es que por mis venas corre sangre del siglo pasa-do» —había nacido en mayo de 1897.

Al acusar recibo del envío de la primera edi-ción de Historia…, Sarton dejó escrito que«es difícil analizar un libro que discute todala historia de las matemáticas —historiainmensa— en algunos centenares de pági-nas». Mis limitadas capacidades encuentranen tan autorizada opinión una eficaz coar-tada para evitar un análisis de la obra, conmás motivo siendo ésta insensible a toda crí-tica por la definitiva ausencia de sus auto-res. Pero no dejaré de decir que es una sín-tesis bien escrita, que se lee fluidamente apesar de la notable densidad de datos quecontiene y de estar orientada hacia losaspectos internos de las matemáticas. Así loreconocieron los autores en la primera intro-ducción, en la que defendían su libro como«algo más que sus homónimos y muchomenos de lo que entendemos por historia dela matemática, en su más lato significado»,el cual, explicaban más adelante, se da «sise concibe el quehacer científico como acti-vidad humana desarrollada en distintasatmósferas culturales con las que mantieneinteracciones de diversa índole, cuyo escla-recimiento es la misión de la historia, pecu-liar análisis científico de la total aventurahumana». Por el contrario, el libro era, paralos autores, mucho menos que esto porquesu contenido no trascendía las fronteras dela propia matemática. No obstante, era«más que los clásicos compendios de aná-logo volumen, no ,solamente por prolongarhasta nuestros días el esbozo histórico, […]sino precisamente porque esa matemáticade hoy, condenada por el misoneísmo comodesviación patológica, es por el contrariometa y cumbre hacia la que propendía engradual ascensión, desde su remoto origenempírico. […] El análisis cronológico de esteproceso conduce a la cabal comprensión deesas desconcertantes álgebra y topologíaabstractas, cuya arbitrariedad irrita a loseducados en la matemática clásica que nocompletaron su formación con el estudio his-tórico». Este planteamiento, «casi epistemo-lógico» según los autores, consistente en verla historia de la matemática como una expli-cación o justificación de la abstracción quetenía que llegar en el siglo XX, fue el que sepropuso como eje del libro. En la mismalínea de aceptación de la matemática comociencia de las estructuras —eso sí, una vezlimpia de «borra»— se expresó Rey Pastor

Pero Babininunca renuncióa ser discípulode Rey Pastor

y nose le ocurriría,impedimentos

legaleso ventajas

comercialesaparte,

renunciara la compañía

preferenteen los rótulos

de su maestro…

132

Foto 2Retrato de Julio Rey Pastor (Santiago Paz, Baricloche 65)que se encuentra en la biblioteca del Departamento deMatemáticas de la Universidad de Buenos Aires.

en el prólogo de la ya mencionada obracoetánea Introducción a la matemática supe-rior. Resultan sorprendentes estas afirmacio-nes, alineadas con la visión bourbakista dela matemática y su historia, siendo que poresas fechas Rey Pastor más bien manteníauna radical oposición a la tendencia estruc-tural imperante, al menos en lo que a los tra-tados se refiere, como se ve en los prólogosde Lecciones de álgebra, en las edicionesde 1947 y 1957, sobre todo esta última.

El carácter interno del contenido deHistoria… se ve acrecentado por las «notascomplementarias» distribuidas con profusióna lo largo de toda la obra. En la introduc-ción repetidamente citada eran presentadasasí: «Y para completar el índice de valorespositivos con que pretendemos compensarnotorias deficiencias, nos permitimos seña-lar la inclusión de las Notas complementa-rias, en que sin salir del marco elementaldesarrollamos técnicamente algunas cuestio-nes, que en el texto del libro figuran en susrasgos esenciales, como corresponde a lafinalidad de la obra, pero cuyo desarrollocon pormenores técnicos facilitará a los lec-tores más ilustrados la comprensión máscompleta y profunda del problema históri-co». Vernet las encuentra «especialmenteinteresantes» por lo útiles que son «comoejemplificación de la materia tratada y, aveces, para conocer incluso el estilo delautor comentado». Apunta el prologuistaque las notas están realizadas «con todalibertad», lo que tal vez escribió teniendopresentes, aunque no las mencione, las críti-cas que recibieron de Beppo Levi, que lasconsideraba demasiado breves y no sufi-cientemente fieles al original. La crítica nodeja de ser certera en términos absolutos,pero Rey proponía, en una carta a Babini,responder en estos términos al matemáticoitaliano exiliado en Rosario: «cabe muy bienque […] sean malas, como Ud. dice, pero elmétodo sea bueno y defendible». En efecto,el mérito de las notas ha de buscarse notanto en la precisión histórica cuanto en sin-tonía con el carácter general de la obra,como invitación al lector a completar sudesarrollo bien desde la óptica matemáticaactual o bien, lo que es mejor desde el puntode vista histórico, atreviéndose con lasobras originales. Hay bastantes cambiosentre las notas incluidas en la edición de

Espasa-Calpe y las que van en la de Gedisa, algunas desapare-cen y otras son nuevas, muchas se mantiene con una nuevaredacción más breve, prescindiendo incluso de alguna figura, talvez para controlar el tamaño final del libro; pero sería muy pro-lijo enumerar todas las variaciones y descubrir la razón últimaque los motivó. Los cambios en estas notas y el apéndice biblio-gráfico sobre textos clásicos de autor bien pududieran ser, enparte al menos, la respuesta de Babini a las críticas de Levi.

Llega el momento de terminar esta reseña, que más ha sido unaaproximación a la historia del propio libro que un comentariosobre el mismo, cambio de enfoque que estará justificado si loslectores han encontrado el relato interesante. Ahora que se cum-ple medio siglo de su aparición formando un sólido volumenúnico, esta obra veterana reaparece porque, en el más modestoformato actual, sigue teniendo compradores, lo cual es un acier-to de los autores, la editorial y los lectores. Pero es una pena queen tan dilatado tiempo no hayan aparecido en nuestra lenguanuevos historiadores dispuestos a recluir la obra de Babini y ReyPastor en el anaquel de los libros venerables superados por otrosmás recientes y actualizados. Entretanto, el público interesadopuede acudir con devoción a comprar el libro del insigne ReyPastor seguro de que disfrutará con el buen trabajo del eminen-te Babini.

Luis Español González

Universidad de La Rioja

LECTURA MATEMÁTICADE UN PERIÓDICO

A. Fernández-Aliseda, D. Aceituno;, J.Muñoz, A. Jiménez y M. del Pozo

Centro de ProfesoradoCastilleja de la Cuesta (Sevilla), 2000

ISBN: 84-699-4013-944 páginas

Dentro de una carpeta titulada «Ciencia paratodos» del Centro de Profesorado de Castilleja de la

Cuesta (Sevilla), que recoge temas tan diversos e interesantescomo los vinos de Jerez, el olivo, el cáncer o la arqueología,aparece el cuadernillo que nos ocupa. Que es modesto en suapariencia (poco más de 40 páginas y destinado en principio atener una difusión limitada) pero que recoge una propuesta cui-dada, estimulante y atractiva de actividades para ayudar alalumnado a avanzar en una de sus tareas más importantes en laasignatura de matemática: la comprensión de los medios decomunicación que nos rodean.

Se puede pensar que el trabajo de matemáticas con un periódicose acaba pronto. Quienes nos hemos ocupado de ello estamos con-vencidos de lo contrario: que no se acaba nunca, que se podríahacer todo un curso y varios cursos sin más apoyatura que los perió-

…el públicointeresado

puede acudircon devoción

a comprarel libro

del insigneRey Pastorseguro de

que disfrutarácon el buen

trabajodel eminente

Babini.

133

dicos de cada día. No pretendo convencer a nadie (porque nosería sensato) de que ese sea el camino único a seguir, pero sí unadirección a tener siempre en cuenta, a no olvidar. Y trabajos comoel que comentamos aportan material fresco y (lo que es muy impor-tante) utilizable directamente en clase sin ningún esfuerzo por partedel profesorado, para hacer ver de forma palpable, sin necesidadde discursos teóricos, la necesidad de conocer matemáticas paradescifrar la realidad y disfrutar del conocimiento.

Como un muestrario de las muchas posibilidades (que aparecenen el folleto en forma de propuestas para usar directamente enclase) enunciamos el contenido de Lectura matemática del perió-dico. En la primera parte, «Para empezar»: Búsqueda de ele-mentos matemáticos, concretando un poco más, números, ele-mentos geométricos, gráficas, funciones, azar y buscando erro-res-erratas. Y como «Trabajos de aula» los siguientes: ¿Cuántoes? ¿Cuánto era?; logotipos geométricos, interpretando gráficas,gráficos estadísticos, pirámides de población, edades, el juego,noticias matemáticas, noticias culturales, imágenes matemáticas,publicidad, pasatiempos y humor matemático. Y acaba con unaselección bibliográfica para quien quiera ampliar sus conoci-mientos del tema o sus aplicaciones en clase.

Se ve que no exagerábamos cuando decíamos que había mate-rial para trabajar mucho tiempo. Y todo eso aderezado con elgracejo de sus autores, detrás del cual hay un largo y serio tra-bajo de aplicación en clase y de búsqueda de los ejemplos opor-tunos de los periódicos en los que apoyar las actividades a rea-lizar por los alumnos y alumnas. Mi consejo es que lo busquéisy una vez que llegue a vuestras manos que no se quede en ellassino que lo llevéis a clase y lo utilicéis en ella. Tanto vosotroscomo vuestros alumnos quedaréis satisfechos.

Fernando Corbalán

UNA RECREACIÓN MATEMÁTICA:HISTORIAS, JUEGOS Y PROBLEMASJordi DeulofeuEditorial PlanetaBarcelona, 2001ISBN: 84-08-03842-7266 páginas

Quizás por la formación en letras de la prácticatotalidad de las personas que toman decisiones enlas grandes editoriales (que parece llevar aparejadaen nuestro país no sólo el desconocimiento sino laaversión hacia las ciencias), o por el miedo al cambio que lleva-mos impreso en el código genético, o por otras razones que seme escapan, lo cierto es que no son frecuentes los libros de mate-máticas en colecciones «normales» de editoriales fuertes, enten-diendo por tal esas con las que te topas en las mesas de nove-

dades de las librerías sin tener que pedirlaso sin dirigirte (si existe) al estante de cienciaso de matemáticas. Y las pocas veces que seabren paso se suele ir sobre seguro con tra-ducciones de libros que han sido éxitos enotros países. Y a pesar de que aquí tambiénlo son (baste recordar El diablo de los núme-ros, El teorema del loro o El tío Petros y laConjetura de Goldbach) no se cambia la ten-dencia... o quizás se haya abierto una grie-ta en el muro de la costumbre.

Porque lo cierto es que acaba de apareceren la editorial Planeta (en la colección«Prácticos») el volumen que comentamos. Talvez, también, como consecuencia de losesfuerzos de tantas personas en el 2000 seha logrado que se empiece a considerar alas matemáticas como una parte de la cultu-ra actual (aunque haya que seguir luchan-do para que se acepte como fundamental).Y hay que decir desde el principio que laelección para (esperemos) romper el fuegoha sido acertada, porque el libro de JordiDeulofeu tiene muchas virtudes, que no sor-prenderán a quienes siguieron su estupendasección «Para pensar de un minuto a unahora» del suplemento de ciencia del perió-dico La Vanguardia de Barcelona, apareci-da durante los años 1991 al 96 y en la queestá el germen de este volumen.

Como recoge el título, hay una misceláneade temas matemáticos (magia numérica, for-mas geométricas planas, las matemáticas dela vida, medidas del Universo y del tiempo,juegos matemáticos,...) de lo que se suelellamar Matemática recreativa que lo hacena la vez, y aunque parezca contradictoriodenso y ligero. Denso porque hay muchostemas, ligados de forma inteligente y convariadas conexiones. Y ligero porque es deagradable y placentera lectura, distendida yestimulante. Lo que no impide que con fre-cuencia haya que pararse a pensar sobrelas variadas preguntas, problemas o juegosque se proponen (a veces incluso más de lahora que decía el título de su sección). Queunas veces son más conocidos y otras nove-dosos, y que conforman un volumen muyinteresante para uno mismo, que es el desti-no principal del libro, pero también para suuso en diferentes niveles educativos. Porquehay que señalar que tiene un amplio capítu-lo final con soluciones y comentarios a lasmuchas actividades que se proponen.

134

Así pues este libro os lo podéis topar sindesearlo en cualquier librería, quiosco ogran almacén, que esa es la ventaja de lasgrandes editoriales, que te salen al pasoincluso sin quererlo. Pero si no es así, nodudéis en buscarlo o en pedirlo, porqueseguro que no os va a defraudar. Ya queestá escrito con un espíritu lúdico y se tras-parenta el gozo que se ha experimentadoen su gestación. Seguro que después de sulectura y disfrute pasáis a ser uno más entrelos próximos «con quienes comparto el pla-cer de resolver problemas» a los que elautor dedica el libro.

Fernando Corbalán

FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA“ANDALÁN”P. Alonso, J. Antolín, V. Bernardo,R. Esteban, J. García yMª Concepción Pastor(coord.)Diputación Provincialde Zaragoza y Diputación Generalde Aragón.Zaragoza, 200172 páginas

Editado por la Consejería de Educación yCiencia del Gobierno de Aragón y la Dipu-tación de Zaragoza, este libro-catálogo pre-senta las fotografías premiadas en las seisprimeras ediciones del Concurso de Foto-grafía Matemática que cada curso organizael Departamento de Matemáticas del IESAndalán de Zaragoza.

Este concurso, que este año ha celebrado suséptima edición, convoca a todos los esco-lares aragoneses de ESO, Bachillerato yCiclos (aunque las dos primeras fueron res-tringidas a los alumnos del Centro) con elobjetivo de que reconozcan y plasmen enimágenes la presencia de las matemáticasen su entorno inmediato.

Ésta, que es una de las finalidades de laeducación matemática, es captada y conse-guida por los alumnos por múltiples y varia-dos caminos. Los hay que observan y foto-

grafían formas geométricas que, de modo explícito, aparecen ensu barrio o en la ciudad (algunos aprovechan incluso viajesvacacionales o de otro tipo para conseguir imágenes «más ori-ginales»). Otros van algo más lejos y abstraen formas y concep-tos separándolos de su entorno y provocan una visión diferentede aquel lugar por el que tantas veces hemos pasado. Otrasveces es la Naturaleza la que promueve el interés por sus for-mas, a veces repetidas, a veces caprichosas.

Sin embargo hay un nexo de unión entre tantas y variadas for-mas de captar la realidad: la estética y la composición de la ima-gen fotográfica que consigue hacer perdurable ese instantefugaz en el que alguien, un joven alumno, supo ver y distinguirentre el paisaje cotidiano, algo, una forma, una idea, un puntode vista diferente, que le llamó la atención y conectó con suconocimiento matemático. El simple hecho de que nuestros alum-nos miren, vean y descubran con los ojos críticos del que sabees ya un objetivo que justifica una iniciativa como ésta.

Cada fotografía va acompañada por un texto realizado poradultos de muy diversos oficios y ocupaciones. Aunque predo-mina el campo de la educación (profesores y profesoras de dis-tintas áreas), han aportado también su comentario otros profe-sionales de la escritura, pintura, escultura, fotografía e inclusoalgunos de los propios autores de las fotografías. La elaboraciónde los textos no ha estado condicionada más que por el espaciodisponible. Los autores se han encontrado ante una imagen yhan realizado un trabajo de creación sobre la misma. De estaforma el resultado ha sido tan variado como rico. Se ha hechoevidente, por si no lo era ya, las múltiples lecturas que puedetener una imagen y las diversas formas de explicitarlas: poema,evocación, referencia, descripción… creación en todo caso.

Así, el conjunto de imagen y palabra, de palabra e imagen,acaba fraguando en un todo compacto en el que no cabe pen-sar en una sin la otra, pues ambas se complementan y parececomo si se necesitaran.

Julio García

ESTIMAR LES MATEMÀTIQUESClaudi Alsina i Català

Editorial Columna - AssaigEines 4

Barcelona, 2000ISBN: 84-664-007-6

186 páginas

Claudi Alsina hace, en las primeras páginas deeste libro, una declaración cuyo contenido creoque casi nadie se atrevería a desmentir en públi-co: «Forman parte de la cultura, entendida en unsentido amplio, un poema, una melodía, una

receta de cocina, un baile antiguo, una estatua, un cuadro, unteorema, una películo, un motor de coche, una fotografía galác-

135

tica… ¿no son todas ellas productos de la creatividad humana?».Se podría pensar que el hecho de que esta afirmación venga deuna persona capaz de escribir una carta de amor a un rectán-gulo o a los códigos de barras —que con su simplicidad numé-rica permiten la perfecta identificación de los innumerables obje-tos de consumo—, le quita fuerza como prueba. Es como cuan-do en un juicio la coartada del sospechoso la proporciona suamante: el testigo no es objetivo; tiene motivos personales paradeclarar a favor del acusado, en este caso de las matemáticas.Nos gustaría oir estos testimonios en boca de otras personasmenos sospechosas de tener un interés personal para prestar suapoyo a las matemáticas. Sin embargo, el desarrollo del pasadoAño Mundial de las Matemáticas muestra bien a las claras quemás allá de las declaraciones sobre la importancia de las mate-máticas para el progreso humano (y lo poco competentes queeran los declarantes cuando las estudiaron), es difícil encontrarapoyos fuera del gremio matemático. Por eso, mientras estasituación se mantenga, seguirán siendo precisos libros comoeste, cuyo propósito es ayudar a comprender a todo el públicoque existen razones muy importantes para apreciar a las mate-máticas, para profesarles un profundo amor como el que se lestiene a otras manifestaciones de la cultura humana.

La obra está dividida en tres grandes apartados que se corres-ponden con los tres grandes motivos que Claudi da para apre-ciar a las matemáticas:

• Porque son divertidas, es decir porque proporcionan grancantidad de retos con los que la mente puede disfrutar yentretenerse y también por las anécdotas y personajes sor-prendentes por sus cualidades humanas que se puedenencontrar entre los protagonistas de las matemáticas.

• Porque son curiosas y sorprendentes, puesto que puedencaptar nuestra atención y sorprender nuestras expectativaso alterar nuestro sentido de lo que es lícito esperar y luegoresulta no serlo.

• Porque son útiles y están presentes en cantidad de situacio-nes de la vida cotidina, pero en más ocasiones en cosasque son posibles gracias a las matemáticas que usan y queestán ocultas a una mirada simple. Y, también, por lo for-mativas que resultan, es decir por las consecuencias positi-vas que tiene para la gente pensar y hacer matemáticas.

A lo largo de la obra se presentan muchos ejemplos que apoyanestas tres razones, tratados con sencillez por lo que su lecturaestá al alcance de cualquiera, ya que sólo presuponen los cono-cimientos propios del aprendizaje escolar.

Escrita en catalán —pero no por ello difícil de leer para un caste-llano parlante que haga un pequeño esfuerzo—, un aspecto espe-cialmente interesante de los ejemplos propuestos en el libro es surelación con la cultura catalana. Se habla de la aritmética sarda-nista, los castellers, el poema escrito por el ingeniero FredericMasallé i Guarné dedicado a «pi» y que resulta ser una clavenemotécnica de sus 30 primeras cifras decimales, los poemas deJoan Brossa, la defensa «matemática» que hace el ingeniero

Ildefons Cerda de su plan urbanístico, losgrandes números del fabricante de embutidosde Sat Feliu de Pallerols, Josep Font, las escul-turas generativas de Javier Carvajal, los dise-ños geométricos que se encuentran bajo laaparente fantasía de las creaciones deGaudi, las coordenadas de Barcelona, o elpapel de los números en los dichos popularescatalanes. A mi me ha impresionado muchola anécdota protagonizada por Gaudí,Maragall y Unamuno que es una maravillosamuestra de la dificultad de comunicaciónentre las culturas, en esta caso ciencias y tec-nología frente a las humanidades.

Destacaré otro aspecto del libro que puedeparecer poco relevante: incluye un índice decuriosidades matemáticas, que puede facili-tar la búsqueda de una de ellas en concre-to, útil instrumento para actualizar su recuer-do sin necesidad de repasar todo el libro.

En definitiva, otra obra interesante de unautor que nunca nos decepciona.

Julio Sancho

LABERINTOS, N.° 2Dossier: Año Mundial

de las MatemáticasIES ÉlaoisZaragoza

Diciembre 2000

Estoy seguro de que a lolargo del pasado Año Mun-dial han aparecido muchaspublicaciones interesantes,que, por su ámbito de influen-cia local, no han tenido larepercusión que merecían.

Entre ellas hay que destacar las muchas quese hacen en centros de eduación secundariacon un nivel, tanto formal como de conteni-do, que no tiene nada que envidiar a otraspublicaciones más profesionales. Sirva estapequeña referencia, de un interesante núme-ro especial de la revista Laberintos parareconocer no sólo su mérito, sino también elde las otras muchas que, a mi pesar, no hanpasado por mis manos.

Los interesados pueden dirigirse a su correoelectrónico: elaios@CentrosII.pntic.mec.es.

Julio Sancho

136

ARÍA PILAR PLAZA QUERALT: II PremioGonzalo Sánchez Vázquez

La Comisión Ejecutiva de la Federación Española de Socie-

dades de Profesores de Matemáticas acordó por unanimi-

dad, en su reunión de 28 de abril de 2001, conceder el «II

Premio Gonzalo Sánchez Vázquez a los valores humanos»

a Pilar Plaza Queralt, propuesta por la Sociedad Aragonesa

de Profesores de Matemáticas «Pedro Sánchez Ciruelo».

Algunas notas biográficas de Pilar Plaza

Nace en Zaragoza el 21 de diciembre de 1951. Por moti-

vos familiares se desplaza a Alicante en 1957. Estudia pri-

maria y secundaria en el Colegio María Auxiliadora de

Alicante y hace el curso Preuniversitario en el Instituto

Jorge Juan también en Alicante.

Hace Selectivo de Ciencias en el CEI (centro de estudios

universitarios) de Alicante, dependiente de la Universidad

de Valencia. El segundo curso de Matemáticas lo hace en

la Universidad de Zaragoza. En el año 1977 obtiene la li-

cenciatura en Matemáticas y hace el Curso de Aptitud Pe-

dagógica (CAP).

Desde 1978 hasta 1994 es profesora de Matemáticas y

Ciencias en el Colegio El Buen Pastor de Zaragoza.

Es profesora voluntaria de Matemáticas y Ciencias en el

Graduado Escolar para personas adultas del barrio de la

Paz de Zaragoza desde 1974 hasta que el Ministerio de

Educación y Ciencia asume estos cursos.

En el año 1992 participa con un equipo de profesores y

profesoras en la elaboración del Diseño Curricular de

Matemáticas de Aragón, por encargo de la Diputación

General de Aragón.

137

II Premio Sánchez Vázquez,Concurso de problemas,Problemas XXXVII Olimpiada

CRÓNICAS

M

37

junio 2001

Ha participado también en numerosos cursos y seminariospermanentes de didáctica de las Matemáticas, JAEM y enlas Jornadas Iberoamericanas de Sevilla.

Es miembro de ASA (Acción Solidaria Aragonesa) desde1987, trabajando en la Comisión de Proyectos, que es laque elabora proyectos de desarrollo y estudia y decidecuáles son los que debe apoyar y financiar prioritariamen-te la organización.

Como miembro de ASA participa también en la Comisióncontra la celebración del Quinto Centenario de la Con-quista española de América con otras entidades socialesde la ciudad y del estado.

En enero de 1994 se traslada a Colombia para apoyarcomo profesora voluntaria de Matemáticas y Ciencias elInstituto Cooperativo Regional Alcides Fernández deGilgal, pueblo del municipio de Unguía en el Urabá cho-coano. Durante su estancia, y por su titulación, el colegiologra la aprobación oficial de los grados superiores debachillerato agropecuario. El Colegio es una obra social deeducación de la Cooperativa de las Tribus, que se planteóen 1983 la necesidad de dar respuesta a la problemáticaeducativa de la juventud de la zona.

Actualmente Pilar Plaza lleva desde febrero de 1998 cola-borando en el proceso de comunidades de Paz. Está tra-bajando en Apartadó.

Las Comunidades de Paz surgen como una iniciativa de loscampesinos desplazados de sus tierras por los agentes arma-dos, para volver a ellas. La violencia ha provocado el des-plazamiento de la población civil –en el municipio deRiosucio había más de diez mil campesinos desplazados porla violencia– de forma que se habían ido hacinando en cam-pos de refugiados, en los que las posibilidades de vidadependían de la colaboración organizaciones de solidaridad.

Este proceso de Comunidades de Paz es apoyado por dife-rentes ONG, por distintos organismos internacionales ypor algunos sectores de la Iglesia colombiana.

Pilar Plaza lleva el último año coordinando el trabajo y losapoyos a las comunidades de paz desde la diócesis deApartadó. Su misión es organizativa y de acompañamien-to a distintas organizaciones internacionales que apoyanesta iniciativa y la visitan y la de organización de los apo-yos y recursos que necesitan las nueve comunidades depaz instaladas a lo largo del río Atrato. Inicialmente estu-vo en los emplazamientos de los campesinos en el río. Losacompañantes internacionales hacen un poco de escudoante las invasiones de los actores armados, si hay suerte,y ayudan a organizarse a la población.

De vez en cuando viene por España, a ver a su familia oa plantear algún proyecto para el que se necesitan apoyosespeciales. Por ahora se siente suficientemente bien coneste trabajo y no se plantea volver definitivamente.

En enero de 1994se trasladaa Colombiapara apoyar

como profesoravoluntaria

de Matemáticasy Cienciasel InstitutoCooperativo

RegionalAlcides Fernández

de Gilgal,pueblo

del municipiode Unguíaen el Urabáchocoano.

138

Concurso de problemasde ingenio de la SAEMThales de Almería Este año, concretamente el pasado día10 de marzo, tuvo lugar en la localidadalmeriense de Carboneras, cuyo Ayun-tamiento mantiene una línea de apoyoy colaboración decidida con la SAEMTHALES desde hace muchos años, la IXedición del Concurso de Problemas deIngenio Thales, dirigida al alumnado de4.° de ESO de los centros públicos,concertados y privados de la provinciade Almería.

Es importante resaltar que esta activi-dad está sirviendo también como expe-rimento de cara a una posible reestruc-turación de la Olimpiada matemáticaque la SAEM Thales organiza desdehace 18 años en Andalucía para 2.° deESO. 4° de ESO es un curso terminal yel alumnado que participa en nuestrosC. de P. de I. lo ha hecho antes, en sumayor parte, en la Olimpiada Matemá-tica Thales.

A lo largo de estos diez años que vienefuncionando la actividad se han produ-cido cambios y mejoras:

• Hemos sacado la prueba a la calle.

• Se añade una prueba por equipos,potenciando el trabajo cooperativo.Antes sólo había una prueba indi-vidual.

• Se ofrece comida a los participantes.

• Se añaden actividades LRM (lúdico-recreativo-matemáticas: Bingo ma-temático, juegos topológicos,...).

• Se potencia la componente de di-vulgación y popularización de lasMatemáticas a través del impacto queproduce esta actividad en los pue-blos en donde se organiza cada año.

• Se organizan visitas guiadas al con-junto histórico en el que se desa-rrolla la actividad.

• Se proporciona a los participantesmaterial didáctico.

• Se potencian las actividades deconvivencia y las relaciones huma-nas entre los participantes, profeso-rado y alumnado.

• Y, la más relevante, utilizamos estaactividad para dar a conocer,mediante las Matemáticas, el patri-monio histórico-cultural de Almeríay provincia a nuestro alumnado y ala Sociedad en general.

En 1999 y 2000 hemos desarrollado laactividad en la Alcazaba de Almería y en2001 lo hicimos en el casco histórico deCarboneras. En 2002 ya se ha compro-metido la localidad de Adra para que lodesarrollemos allí y en 2003 se hará enHuércal-Overa.

Los objetivos que nos marcamos son lossiguientes:

• Divulgar y popularizar las Mate-máticas.

• Tratar de hacer perder el temor alas Matemáticas a nuestro alumna-do, mostrándolas como algo conec-tado con el mundo en el que vivi-mos y como un instrumento útilpara desenvolvernos en él y hacién-doles ver que son también fuenteinagotable de diversión.

• Utilizar pasatiempos lógico-mate-máticos, problemas de ingenio,rompecabezas lógicos, situacionesproblemáticas..., para hacer que losparticipantes se cuestionen, experi-menten, estimen, exploren, haganconjeturas y sugieran explicacionespara la resolución de los mismos.

• Desarrollar la capacidad de pensary elaborar estrategias de resoluciónbasadas en el razonamiento lógico-matemático y en la intuición.

• Contribuir a la mejora de la ense-ñanza y el aprendizaje de las Ma-temáticas.

• Apoyar y fomentar entre el profeso-rado la investigación y la innova-ción en la E-A de las Matemáticas ymotivarlo para investigar sobre nue-vas perspectivas metodológicas.

• Propiciar la introducción de la reso-lución de problemas en el aula dematemáticas como recurso metodo-lógico fundamental.

• Fomentar el trabajo en equipo, lasolidaridad y el espíritu crítico.

• Propiciar el intercambio de experiencias e impresio-nes entre los participantes (alumnado y profesorado)así como la convivencia entre ellos.

• Educar en termas transversales: coeducación, intercul-turalidad, respeto al medio ambiente…

• Dar a conocer a los participantes y a la sociedad, a tra-vés de las Matemáticas, el patrimonio artístico e históri-co-cultural de nuestra provincia y enseñar a apreciarlo.

El equipo organizador ha estado integrado por: Pedro JoséMartínez (Coordinador), Ricardo Contreras, Manuel Ron-dón, Francisco Morales, José Villegas, Francisco Villegas,José Ignacio Tijeras y Ángeles López.

Matemáticas y patrimonio se dieron la mano una vez más,y se fundieron en un abrazo infinito, permitiendo a losasistentes a esta actividad resolver problemas matemáticos,algunos de ellos relacionados con el castillo y el esplen-doroso parque andaluz, a la vez que conocer un poco dela historia de Carboneras y desarrollar relaciones de amis-tad con compañeros de otros institutos. Fue ésta, en suma,una oportunidad preciosa de conocer, apreciar y valorar elpatrimonio artístico de Carboneras; de poner a prueba sucapacidad de pensar, tan importante en el desarrollo denuestros alumnos para llegar a ser efectivamente ciudada-nos con capacidad crítica; de respetar el entorno; deadquirir destrezas sobre trabajo cooperativo; de aprendera respetar otras culturas y maneras de pensar y de ser feli-ces que es, desde nuestro punto de vista, uno de los obje-tivos más importantes que debe pretender la Escuela.

Como ejemplo de problemas que había que resolver en laprueba individual podemos citar aquel en el que los alum-nos debían averiguar la superficie del término municipalde Carboneras a partir de un mapa a escala; o este otro:¿en qué año nació una famosa mujer matemática hija deLord Byron, Ada Byron, conociendo la respuesta que ellamisma dio cuando le preguntaron su edad «si intercambia-mos el orden de las dos cifras de mi edad y elevamos alcuadrado, sale justo este año»; o este: ¿cómo conseguir el6 con tres unos usando las operaciones matemáticas quequieras? Los demás problemas propuestos se puedenencontrar en la página web http://thales.cica.es/almeria.

En la prueba por equipos, grupos de 6 niños y niñas de dis-tintas localidades tuvieron que aunar su ingenio y trabajarde manera cooperativa para resolver dos situaciones pro-blemáticas. La primera de ellas consistía en calcular lasuperficie en planta del Castillo, la segunda averiguar cuán-to costaría llenar el estanque del parque con agua de ladesaladora. Equipados con reglas, cintas métricas, calcula-doras, imaginación e ingenio, los grupos tuvieron que des-plazarse por el pueblo, ante el estupor y expectación de lasgentes, hacer mediciones, preguntar datos que no se cono-cían, hacer cálculos,... hasta averiguar lo que se les pedía.

Pedro José Martínez Fernández

…ponera prueba

su capacidadde pensar,

tan importanteen el desarrollo

de nuestrosalumnos

para llegara ser

efectivamenteciudadanos

con capacidadcrítica…

139

XXXVII Olimpiada MatemáticaEspañola

Problemas propuestos en la Fase nacional celebrada enMurcia:

1. Probar que la gráfica del polinomio P (x) es simétricarespecto del punto A (a, b) si y sólo si existe un poli-nomio Q (x) tal que:

P (x) = b + (x–a)Q ((x–a)2).

2. Sea P un punto en el interior del triángulo ABC, demodo que el triángulo ABP verifica:

AB = BP

Sobre cada uno de los otros dos lados de ABC seconstruyen exteriormente triángulos BQC y CRA,ambos semejantes al triángulo ABP cumpliendo

BQ = QC y CR = RA

Probar que los puntos P, Q, C y R o están alineados oson los vértices de un paralelogramo.

3. Se tienen cinco segmentos de longitudes a1, a2, a3, a4

y a5 tales que con cualesquiera de ellos es posibleconstruir un triángulo.

Demostrar que al menos uno de esos triángulos tienetodos sus ángulos agudos.

4. Los números enteros desde 1 hasta 9 se distribuyen enlas casillas de una tabla 3x3.

Después se suman seis números de tres cifras: los tresque se leen en filas de izquierda a derecha y los tresque se leen en columnas de arriba abajo.

¿Hay alguna distribución para la cual el valor de esasuma sea 2001?

5. ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferen-cia de radio 1 de modo que AB es un diámetro y elcuadrilátero admite circunferencia inscrita.

Probar que: CD ≤ 2√5–

– 4.

6. Determinar la función f: N Æ N (siendo N = 1, 2, 3…el conjunto de los números naturales) que cumple,para cualesquiera s, n Œ N, las siguientes condiciones:f (1) = f (2s) = 1 y si n < 2s, entonces f (2s+n) = f(n)+1.

Calcular el valor máximo de f (n) cuando n ≤ 2001.

Hallar el menor número natural n tal que f (n) = 2001.

140

FE DE ERRATAS N.° 36

En el artículo «La magia de las matemáticas» deBrian Bolt aparecido en las páginas 5-15 del n.°36 de SUMA, aparece por error Nùria Planascomo traductora del mismo, cuando deberíaponer Nùria Gorgorió.

JORNADAS para el Aprendizaje yEnseñanza de las MatemáticasYa se están perfilando los últimos detalles de las X JAEMque se van a celebrar en Zaragoza los próximos días 7, 8y 9 de septiembre.

Las sesiones se van a realizar en el Auditorio de Zaragoza(los actos plenarios de la mañana del viernes, día 7) y enla Facultad de Ciencias y el ICE de la Universidad deZaragoza, ambos situados en el Campus de la Plaza de SanFrancisco. Las jornadas se clausurarán el domingo, día 9,al mediodía.

Se han homologado las Jornadas, con dos créditos de for-mación, por la Consejería de Educación y Ciencia delGobierno de Aragón.

En su reunión del mes de mayo, el Comité de Programasha admitido para su presentación en las JAEM 52 comuni-caciones, 19 talleres y 11 trabajos en el Zoco Matemático,lo que junto a las 3 conferencias plenarias y 32 ponencias(pueden verse los títulos y los autores en el n.° 36 deSUMA) forman el Programa Científico diseñado y prepara-do por el Comité de Programas.

Además, la Comisión Organizadora ha preparado unaserie de actividades complementarias al Programa Cien-tífico. Éstas son:

Programa cultural

Se pronunciarán ocho conferencias sobre el tema general«Matemáticas y… Humanidades»:

• Matemáticas y vanguardias artísticas. Ángel Azpeitia.

• Matemáticas y poesía: seducciones. Emilio Pedro Gómez.

• Un paseo matemático por la Zaragoza mudéjar.Carlos Usón y Ángel Ramírez.

141

X JAEM y XII Olimpiada

CONVOCATORIAS

X

37

junio 2001

• La presencia de los números en la música. José Garay.

• Proporciones, números sistemáticos y simbólicos en laarquitectura del siglo XI. Juan Francisco Esteban.

• Matemáticas y arte contemporáneo. Pedro PabloAzpeitia.

• Matemáticas y música. Álvaro Zaldívar.

Videomaratón

Durante todo el día 8 se proyectarán vídeos didácticosmatemáticos, de acuerdo con un programa diseñado alefecto por Antonio Pérez Sanz, Coordinador del mismo.Esta actividad está dedicada a Felipe Mellizo, periodistarecientemente fallecido.

En la página de las Jornadas (www.unizar.es/ice/jaem),que se actualiza periódicamente, puede obtenerse másinformación.

XII Olimpiada de la Federación

Como ya es costumbre todos los años al comenzar el vera-no, entre los días 22 y 27 de junio se va a celebrar enCantabria la XII Olimpiada Matemática Nacional, comoculminación de las múltiples fases autonómicas que cele-bran las distintas sociedades federadas. Esta Olimpiadadirigida a estudiantes de 2.° de ESO está convocada por laFederación Española deSociedades de Profesoresde Matemáticas y organiza-da, en esta ocasión, por laSociedad Matemática deProfesores de Cantabria.

En esta edición participan54 estudiantes procedentesde Andalucía, Andorra,Asturias, Canarias, Canta-bria, Castilla-La Mancha,Castilla-León, Cataluña,Melilla, Colegios Españolesde Marruecos, Galicia, Ex-tremadura, La Rioja, Ma-drid, Murcia, Navarra yValencia.

Junto al programa dirigi-do especialmente a losparticipantes se han orga-nizado una serie de expo-siciones de tema matemá-ticos abiertas a toda lasociedad cántabra. Son lassiguientes:

142

Programa de actividadesViernes, 22• Hasta las 14 horas. Recepción en

Viérnoles de los participantes.• 17 horas. Acto de apertura. Bien-

venida y entrega de documenta-ción. Dinámica de grupos y cuentacuentos matemáticos. Inicio delconcurso de fotografía matemática.

Sábado, 23• Prueba por equipos en la penínsu-

la de la Magdalena en Santander.• Visita a la exposición Filatelia y

Matemáticas en la Escuela Supe-rior de Marina Civil y conferencia.

• Visita al parque de la Natura-leza de Cabárceno.

• Verbena de San Juan en los Corra-les de Buelna.

Domingo, 24• Excursión a Potes y subida al teleféri-

co de Fuente Dé. Senderismo por lazona, acompañados por alumnos yprofesores del IES Jesús de Monaste-rio de Potes.

• Recepción de carretes de la pruebafotográfica.

Lunes, 25• Prueba individual en el IES Gutié-

rrez Aragón de Viérnoles.• Excursión a Santillana (taller), Comi-

llas y San Vicente de la Barquera.• Visita a las exposiciones matemáti-

cas en el Castillo del Rey en SanVicente.

• Fiesta de despedida con música derabel.

Martes, 26• Conferencia del profesor José

Antonio Cordón de la Universidadde Cantabria, acto de clausura yentrega de premios.

• Comida de despedida.

• Instrumentos y unidades de medi-da tradicionales en Extremadura.

• Fotografía y matemáticas.

• Filatelia matemática.

• Geometría mudéjar en Aragón,Patrimonio de la Humanidad.

• Chistes sobre las Matemáticas.

• Grabados de M.C. Escher.

NORMAS DE PUBLICACIÓN

1. Los artículos se remitirán por triplicado a la redacción de SUMA (Revista SUMA, ICE de Universidad de Zaragoza, C./Pedro Cerbuna 12, 50009 Zaragoza), impresos a doble espacio, por una sola cara, en formato Din A-4.

2. Los datos de identificación del autor no deben figurar en el texto original ya que éste será enviado a asesores para serreferenciado. Estos en ningún caso serán informados de la identidad del autor o autores del trabajo y aconsejarán laconveniencia o no de la publicación del trabajo, o recomendarán posibles modificaciones, etc.

3. Los gráficos, diagramas y figuras se enviarán en hojas separadas (una para cada gráfico), en tinta negra sobre papelblanco. Así mismo, podrán incluirse fotografías. En el texto debe figurar el lugar donde deben ser colocadas; de igualforma, si tiene que llevar un pie de ilustración, éste se reseñará en la hoja donde aparece la ilustración.

4. Adjunto al artículo se redactará un resumen, de entre cinco y diez líneas, que no necesariamente tiene que coincidircon la Introducción al artículo. Debe ir escrito en hoja aparte. En ese mismo folio aparecerán los datos de identifica-ción del autor o autores: nombre y apellidos; dirección completa; lugar de trabajo; teléfono de contacto; sociedad fede-rada a la que pertenecen (si procede).

5. Si se usa procesador de texto, agradeceremos que además se envíe un disquette con el archivo de texto que contengael artículo, así como tantos archivos gráficos, como figuras elaboradas con el ordenador se quiera incluir. La etiquetadel disquette debe identificarlo sin lugar a dudas. En cuanto al formato de los archivos de texto, se recomienda MS-Word (hasta versión 5.0) en Macintosh, o WordPerfect (hasta versión 5.1) en PC. Los archivos gráficos es preferibleque tengan formato EPS o TIFF.

6. En cualquier caso, tanto un ejemplar del texto como los gráficos, si proceden de impresoras, deben ser originales y nofotocopias.

7. Los trabajos se enviarán completos, aunque por necesidades de edición pudieran publicarse por partes.

8. Las notas a pie de página deben ir numeradas correlativamente, numeradas con superíndices a lo largo del artículo.

9. La bibliografía se dispondrá al final del artículo, por orden alfabético de apellidos, indicando autor(es), año, título delartículo, título de la revista completo (en cursiva o subrayado), volumen y páginas del mismo. Por ejemplo:

TRIGO, V. (1995): «Generación de números aleatorios», Suma, n.° 20, 91-98.

En el caso de libros se indicará el autor(es), año, título completo (en cursiva o subrayado), editorial y lugar de edición.Por ejemplo:

GARDNER, M. (1988): Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas, Labor, Barcelona.

En el caso de artículos que se encuentran en una obra colectiva se indicará el autor(es), año, título del artículo (entrecomillas), título del libro (en cursiva), editorial y lugar de edición. Por ejemplo:

VILLARROYA, F. (1987): «Geometría: construir y explorar», en Aspectos didácticos de matemáticas, 2, ICE Universidadde Zaragoza, Zaragoza.

10. Dentro del texto, las referencias a la bibliografía se indicarán con el apellido del autor y el año entre paréntesis. Porejemplo: …supone un gran avance (Hernández, 1992).

Si el autor aparece explícitamente en el texto tan sólo se pondrá entre paréntesis el año. Por ejemplo: …según Rico(1993).

11. Posteriormente, se notificará a los interesados la aceptación o no del artículo, así como -–en caso afirmativo– la posi-ble fecha de su publicación. En ese momento los autores se comprometerán a retirar el artículo de otras publicacionesa las que lo hayan remitido. No se mantendrá correspondencia sobre las causas de no aceptación de un artículo.

TarifaSuscripción Número

anual sueltoParticulares 3.500 pts. 1.700 pts.Centros 5.000 pts. 1.700 pts.Europa 38,5 C 13,5 CAmérica y resto del mundo $50 USA $17 USA

BOLETÍN DE SUSCRIPCIÓN

Deseo suscribirme a la revista SUMA:Nombre y apellidos:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dirección: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tno.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Población: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CP: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Provincia/país . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CIF/NIF: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Importe

Suscripción a partir del n.° (3 números)

N.os sueltos:

Total

Domiciliación bancaria (rellenar boletín adjunto).

Transferencia bancaria (Ibercaja: 2085-0168-50-03-000415-98).

Talón nominativo a nombre de FESPM-Revista Suma. Firma y fecha:

Giro postal dirigido a Revista Suma.

Nombre y apellidos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Código Cuenta Cliente

Entidad Oficina DC Cuenta

Banco/Caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Agencia n.°: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dirección: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Población: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Provincia: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Señores, les ruego atiendan, con cargo a mi cuenta/libreta y hasta nueva orden, los recibos que periódica-mente les presentará la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) para elpago de mi suscripción a la revista SUMA.

Atentamente (Fecha y firma):

Fotocopiar y enviar a: Revista SUMA. ICE Universidad de Zaragoza. C./ Pedro Cerbuna, 12. 50009-ZARAGOZA