5-ANÁLISIS COMBINATORIO

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ALGEBRA – IB – 5° Secundaria IEP “Ingeniería”

JUEGOS DE INGENIO

LA CLAVE DE LOS CONTRABANDISTAS

Dos contrabandista astutos operaban hábilmente en la impunidad por medio de cajones numerados del 1 al 9. Cuando una de ellos dejaba mercaderías de contrabando colocaba los cajones en clave: tres en el centro, dos a cada costado y uno en cada extremo.

El secreto fincaba en que multiplicando el número de cada extremo por el que formaban los dos cajones adyacentes, el resultado era igual a la cantidad representada por los tres centrales.

Cuando estaban ordenados así:

2 por 78 igual a 156 y 39 por 4 igual a 156, el compinche retiraba los cajones sabiendo que haría provechoso negocio.

Un día encontró alterada la distribución de la siguiente forma:

Si bien 7 por 28 es 196, no respondían en igual forma 34 por 5.

Considerándolo como estos resultados, se retiró sin llevarse los cajones.

Cuando volvió el socio advirtió que los cajones no habían sido recogidos y que manos anónimas habían alterado su distribución. Para corregir el error, sin ser advertido, hizo el menor número de cambios posibles, ordenándolos otra vez de acuerdo con la clave.

¿Cuántos movimientos hizo y qué cajones cambió?

Respuesta:

Hizo cinco cambios y movió los cajones 7, 2, 5, 9 y 4.

Explicación:

El segundo lo pasó al primer lugar y primero al segundo; el último lo colocó en medio de los tres centrales; el que estaba allí lo colocó en reemplazo del octavo, y el octavo pasó al último lugar.

Prof. Carlos A. Boza Durand Excelencia educativa con valores

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ANÁLISIS COMBINATORIO

Ejemplo:

“Si usted tiene a su disposición manzanas, naranjas y piñas, y desea prepararse un jugo, ¿dé cuántas maneras diferentes podría preparar dicho jugo?”

Solución:

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...........................................................................

...........................................................................

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...........................................................................

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Del ejemplo concluimos que “Análisis combinatorio” consiste en averiguar de cuántas maneras diferentes puede ocurrir cierto experimento que se esté realizando.

CONCEPTOS PREVIOS

I. FACTORIAL DE UN NÚMERO. El factorial de un número “n”, denotado por n! ó | n , se calcula de la siguiente manera:

| n = n! = 1x2x3x4x ...... x(n-1)xn

Donde: n |N

Ejemplos:

1! = 12! = 1x2 = 33! = 1x2x3 = 64! = 1x2x3x4 = 245! = 1x2x3x4x5 = 1206! = 1x2x3x4x5x6 = 7207! = 1x2x3x4x5x6x7 = 50408! = 1x2x3x4x5x6x7x8 = 403209! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9 = 36288010! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 = 3628800

Observaciones:

7!

1. 8! = 1x2x3x4x5x6x7x8

6!

8! = 7! x 88! = 6! x 7 x 8

n! = n x(n –1)!

2. Por convención:

0! = 1! = 1

Ejemplos:

a. Calcular:

E =

Solución:

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

b. Simplificar:

Solución:

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

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II. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO:

1. Principio de Adición: (O). Ocurre uno o ocurre el otro, más ocurren simultáneamente.

Suceso o Evento

“m” “n”Maneras O Maneras

# de maneras que puede ocurrir = m + n


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2. Principio de Multiplicación: (Y). Ocurre uno y a continuación ocurre el otro, es decir sí ocurren simultáneamente.

Suceso o Evento

“m” “n”Maneras Y Maneras

# de maneras que puede ocurrir = m x n

Ejemplos:

a. Para viajar de una ciudad a otra una persona lo puede hacer por río, tierra o aire.Si se encuentra con 3 líneas terrestres, 2 líneas fluviales y 4 líneas aéreas, ¿de cuántas maneras diferentes puede viajar?

Solución:

..............................................................

..............................................................

..............................................................

..............................................................

b. Para vestirse Carlos cuenta con 3 pantalones distintos y 4 polos de diferentes tipos. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá vestir considerando dichas prendas?

Solución:

..............................................................

..............................................................

..............................................................

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PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

El siguiente esquema nos indica la diferencia entre una permutación y una combinación:

Ordenar “K” Elementos P

“Si importa el orden “n” Elementos de los elementos”

Agrupar “K” Elementos C

“No importa el ordende los elementos”

I. PERMUTACIÓN. Es un arreglo u ordenamiento que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una permutación si interesa el orden como se tomen los elementos. Los principales tipos de permutación son:

1. Permutación Lineal:

a) Ordenar ......

Linealmente “K” Elementos

“n” Elementos P ; 0 < Kn

b)Ordenar ......

Linealmente “n” Elementos

“n” Elementos Pn = n!


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Ejemplos:

a. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 personas en una fila de 7 asientos numerados?

Solución:

.....................................................

.....................................................

.....................................................

.....................................................

.....................................................

b. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 personas en una fila de 4 asientos numerados?

Solución:

.....................................................

.....................................................

.....................................................

.....................................................

.....................................................

2. Permutación Circular:

a) Ordenar

Circularmente “K” Elementos

“n” Elementos P

0 < Kn

b)Ordenar

Circularmente “n” Elementos

“n” Elementos Pc(n) = (n – 1)!

Ejemplos:

a. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 8 personas alrededor de una mesa que tiene asientos numerados del 1 al 5?

Solución:

.....................................................

.....................................................

.....................................................

.....................................................

.....................................................

b. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 5 personas alrededor de una mesa que tiene asientos numerados del 1 al 5?

Solución:

.....................................................

.....................................................

.....................................................

.....................................................

.....................................................

3. Permutación con Repetición:

“n” elementos

... ... ... ........ ...

“K1” Elem. “K2” Elem. “K3” Elem. “Kr” Elem.

Donde:

n: # total de elementos a ordenarK1, K2, K3, .... Kr: # de elementos repetidos de cada claseK1 + K2 + K3 + .... + Kr n

P

Ejemplo:

¿De cuántas maneras se puede ordenar linealmente 5 dichas blancas, 2 verdes, 3 azules, 1 amarilla y 1 roja?

Solución:

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

II. COMBINACIÓN. Es una agrupación que se puede formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto. En una combinación no interesa el orden como se tomen los elementos.

Agrupar “K” Elementos

“n” Elementos C

Donde:


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0 < Kn

Ejemplo:

De un grupo de 10 niños se quiere formar un equipo de fulbito. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar dicho equipo?

Solución:

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..................................................................

..................................................................

..................................................................

..................................................................

Observaciones:


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PROBLEMAS

1. Si hay candidatos para presidente y 4 para alcalde, ¿de cuántas maneras se pueden elegir estos dos cargos?

Rpta: ........................................

2. De mi casa al colegio hay 8 caminos. ¿De cuántas maneras puedo ir y regresar si de regreso no puedo usar el camino de ida?

Rpta: ........................................

3. ¿De cuantas maneras podrá vestirse una persona que tiene 6 camisas (3 iguales), 6 pantalones (2 iguales) y 4 pares de zapatos (2 iguales)?

Rpta: ........................................

4. 4 viajeros llegan a una ciudad en donde hay 5 hoteles. ¿De cuantas formas se pueden hospedar cada uno en un hotel diferente?

Rpta: ........................................

5. Si hay 8 jugadores, ¿cuántos pases podrán intercambiar?

Rpta: ........................................

6. Un árbitro ante el reclamo de 5 jugadores al cobrar un penal, muestra 3 tarjetas amarillas y 2 rojas. ¿De cuántas maneras podrá mostrar dicho castigo?

Rpta: ........................................

7. Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres en una fila de modo que los hombres y mujeres estén intercalados. ¿De cuántas formas podrán hacerlo?

Rpta: ........................................

8. ¿Cuántos sonidos distintos pueden producirse con 7 teclas de un piano, si sólo se tocan 3 de ellas:a. Simultáneamente?b. Una tras otra?

Rpta: ........................................

9. ¿Cuántas matrices distintas de 4 elementos se pueden formar tal que entren los mismos números dados?

Rpta: ........................................

10. Una persona tiene 6 libros diferentes de matemática y otra tiene 6 libros diferentes de letras. ¿De cuántas maneras diferentes pueden intercambiarse un libro de matemática por un libro de letras uno por uno?

Rpta: ........................................

11. ¿De cuántas formas se puede ubicar 6 niños en una fila, si dos de ellos deben estar siempre juntos?

Rpta: ........................................

12. 6 personas se ubican alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas formas podrán ubicarse si 3 de ellas deben estar siempre juntas?

Rpta: ........................................

13. Si en una olimpiada 6 atletas A, B, C, D, E y F compiten en una carrera, ¿de cuántas formas el atleta “A” ganará la carrera? Considerar que no hay empates.

Rpta: ........................................

14. Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de 4 dígitos diferentes, solamente sabe que los dígitos posibles son 3; 5; 7 y 9. ¿Cuál es el mayor número de combinaciones erradas que podrá intentar?

Rpta: ........................................

15. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de “A” a “B” sin retroceder en ningún momento?

A

B

Rpta: ........................................


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PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una provinciano desea viajar de Lima a Cuzco y tiene a su disposición 4 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar?

Rpta. 24

2. Se puede adquirir un producto en 3 mercados diferentes. En el primero es posible en 6 tiendas, en el segundo en 5 y en el tercer mercado en 4 tiendas. ¿De cuántas maneras podrá adquirir dicho producto?

Rpta. 15

PRACTICANDO N° 1

1. En una carrera participan 4 atletas. ¿De cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta, si llegan uno a continuación del otro?

a) 16 b) 26 c) 24d) 20 e) 28

2. ¿De cuántas maneras 5 parejas de novios pueden ubicarse alrededor de una mesa circular de modo que las parejas siempre estén juntas?

a) 628 b) 768 c) 742d) 736 e) 754

3. Con 7 sumandos, ¿cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrían efectuar?

a) 12 b) 18 c) 21d) 35 e) 42

4. Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 3 para secretario. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres puestos?

a) 72 b) 64 c) 52d) 120 e) 90

5. Hallar “n”

C + C + C = 27

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

6. Se lanzaron 3 dados, ¿de cuántas maneras hay, que salga como suma de los 3 dados 11 y los números sean diferentes?

a) 18 b) 12 c) 13d) 27 e) 19

7. En una oficina se requieren 6 abogados, 7 secretarias y 2 administradores. ¿De cuántas maneras se pueden elegir si se presentan 8 abogados, 11 secretarias y 5 administradores?

a) 92 400 b) 90 600 c) 90 800d) 92 600 e) 92 500

8. Una pareja de enamorados y 4 amigos se ubican en una fila de 6 asientos. ¿De cuantas maneras se podrán ubicar dichas personas, si la pareja debe estar en el centro?

a) 40 b) 46 c) 45d) 50 e) 48

9. Se va a escoger al azar un comité de 4 personas entre 5 varones y 6 mujeres. ¿De cuántas maneras se podrá escoger el comité si entre ellos debe haber por lo menos 2 hombres?

a) 320 b) 360 c) 680d) 370 e) 410

10. 10 habitaciones se han dividido en dos grupos de 5 para ocupar 2 mesas. ¿Cuántas maneras diferentes hay para repartir a los invitados?

a) 336 b) 364 c) 525d) 720 e) 420

11. Una orquesta debe interpretar cuatro piezas musicales, dentro de un total de nueve. ¿Cuántas de éstas pueden ejecutarse?

a) 148 b) 134 c) 132d) 126 e) 420


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12. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden repartir los 10 miembros de un club en tres comités de 5; 3 y 2 miembros respectivamente?

a) 5 040 b) 2 520 c) 2 430d) 2 610 e) 2 720

13. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. ¿De cuantas maneras diferentes el profesor puede escoger un comité de cuatro alumnos?

a) 208 b) 180 c) 240d) 210 e) 205

14. Si se lanza cuatro dados legales, ¿cuál es el número de maneras diferentes que la suma sea igual a ocho?

a) 34 b) 35 c) 36d) 37 e) 40

15. Se tiene un conjunto de 11 elementos, ¿cuántos subconjuntos no ternarios y diferentes se pueden formar con dichos elementos?

a) 2 015 b) 1 814 c) 2 013d) 1 883 e) 1 923

16. Hallar “x”

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

17. Hallar la suma de soluciones posibles de “a”

a) 16 b) 17 c) 19d) 20 e) 18

PRACTICANDO N° 2

1. ¿De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas sabiendo que ambos premios no pueden concederse a la misma persona?

a) 84 b) 90 c) 80d) 72 e) 104

2. Tres viajeros llegan a una ciudad en la que hay hoteles. ¿De cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos debiendo estar cada uno en hoteles diferentes?

a) 20 b) 6 c) 12d) 24 e) 30

3. ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe estar en el centro?

a) 1 440 b) 360 c) 1 450d) 2 160 e) 720

4. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras desde el 1 hasta el 7 en el siguiente esquema?

a) 820 b) 710c) 840 d) 860e) 740

5. ¿De cuántas maneras se pueden permutar las letras de la palabra ”PROMOCIÓN” de modo que no haya 2 letras “O” juntas?

a) 70560 b) 70480 c) 70520d) 70610 e) 10910

6. ¿Cuántas sumas de dinero distintas se pueden sacar de una caja que contiene 5 billetes de: 1; 5; 25; 50 y 100 dólares, una de cada clase?

a) 30 b) 32 c) 29d) 31 e) 28

7. ¿De cuantas formas se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que ellas ocupen los ligares pares?

a) 2 410 b) 2 670 c) 2 890d) 2 880 e) 2 420

8. Una asociación está compuesta por 8 hombres y 7 mujeres. ¿De cuántas maneras pueden formarse una comisión de 3 hombres y 2 mujeres?

a) 1 176 b) 1 128 c) 1 294d) 1 286 e) 1 474

9. ¿De cuántas maneras pueden ubicarse 6 personas alrededor de una mesa?

a) 120 b) 720 c) 360d) 480 e) 460

10. ¿Cuántos paralelogramos se pueden formar al intersectar un sistema de 9 rectas paralelas, por otro sistema de 5 rectas paralelas?


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a) 720 b) 350 c) 540d) 840 e) 320

11. ¿Cuántos números de tres cifras utilizan al menos una cifra par o cero en su escritura?

a) 774 b) 775 c) 772d) 770 e) 779

12. Se tienen 4 libros de aritmética y 3 libros de álgebra. ¿De cuántas formas se podrán ubicar en un estante donde sólo entran 5 libros y deben estar alternados?

a) 216 b) 218 c) 214d) 212 e) 219

13. ¿De cuántas maneras diferentes: 2 peruanos, 4 argentinos y 3 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?

a) 1 642 b) 1 710 c) 1 728d) 1 810 e) 1 832

14. ¿Cuántas placas de automóviles de 7 símbolos pueden hacerse, siendo las primeras vocales y las 4 últimas, dígitos?

a) 1 250 000 b) 1 230 000c) 1 256 000 d) 1 240 000e) 1 248 000

15. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 4 aspas en los casilleros

del siguiente cuadro de tal manera que no coincidan 2 ó más aspas en una misma fila ni en una misma columna, por ejemplo:?

XX

XX

a) 14 b) 18 c) 13d) 16 e) 19

16. Un tablero está constituido por 5 columnas y 4 filas. Se desean colocar 4 fichas de diferentes colores en el tablero de modo que haya a lo más una sola ficha por fila y por columna. ¿De cuántas maneras pueden colocarse las fichas?

a) 20 b) 45 c) 54

d) (4!)5 e) 4! .5!

17. Se tienen los dígitos: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 y 8, ¿cuántos números diferentes de 4 cifras se pueden obtener?

a) 1 680 b) 70 c) 210d) 1 640 e) 1 910

18. Hallar “n”

a) 8 b) 10 c) 12d) 13 e) 19


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