75:12 ANÁLISIS NUMÉRICO I

75:12 ANÁLISIS NUMÉRICO ITurnos:

Angel MenéndezMiguel Cavaliere

Pablo Tarela

PROGRAMA

1. Errores en el Análisis Numérico2. Resolución de Sistemas Algebraicos

Lineales3. Raíces de ecuaciones4. Aproximación de funciones5. Integración y Diferenciación Numéricas6. Resolución Numérica de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias

ERRORES EN EL ANÁLISIS NUMÉRICO

1. Fuentes de errores2. Expresión de los errores3. Propagación de errores de entrada4. Estimación de errores de truncamiento5. Generación y propagación de errores de

redondeo6. Estabilidad del problema y del algoritmo7. Estimación de errores mediante

perturbaciones experimentales

FUENTES DE ERRORES

1. Errores de entrada2. Errores de truncamiento3. Errores de redondeo4. Otras fuentes de error

FUENTES BÁSICASDATOS

(ENTRADA)PROCESO

PRECISIONRESULTADOS

(SALIDA)

PROCESO DE CALCULO

PROCESO IDEAL

Exactos ExactosInfinitoInfinita

Con errores Con erroresInfinitoInfinita

ERRORES DE ENTRADA

Exactos FinitoERRORES DE TRUNCAMIENTO

Con erroresInfinita

ERRORES DE REDONDEO

Exactos InfinitoFinita Con errores

OTRAS FUENTES

1. Errores en el modelo2. Errores humanos

EXPRESIÓN DE LOS ERRORES

1. Error absoluto y relativo2. Cotas de error3. Sistemas de números4. Decimales y dígitos significativos5. Redondeo simétrico y truncado


aδ Error absoluto

exacto aâa δ+=

aaraδ

=

Error relativo

exacto arâa−

=1

aΔ Cota de error

absoluto aâa Δ±=

âaRa

Δ=

Cota de error

relativo

( )aRâa ±= 1


1. Error absoluto y relativo2. Cotas de error3. Sistemas de números4. Decimales y dígitos significativos5. Redondeo simétrico y truncado

DECIMALES Y DÍGITOS SIGNIFICATIVS

t â t decimales significativos

≥ 1 1 decimal medianamente significativo (t+1º)

Ultimo dígito significativo en posición 10-t

≤ 0

1 dígito medianamente significativo en posición 10-t-1

0,5 E(-t-1) < Δa < 0,5 x E(-t)

PROPAGACIÓN DE ERRORES DE ENTRADA

1. Propagación en operaciones elementales

2. Fórmula general de propagación3. Cancelación de términos

PROPAGACIÓN EN OPERACIONES ELEMENTALES

Y δ y Δ y x1 + x2 δ x1 + δ x2 Δ x1 + Δ x2

x1 - x2 δ x1 - δ x2 Δ x1 + Δ x2

x1 * x2 r1 + r2 R1 + R2

x1 / x2 r1 - r2 R1 + R2

FÓRMULA GENERAL DE PROPAGACIÓN

)(),...,( 21 PFxxxFy n ==

j

n

j Pj

xxFy δδ

1∑= ∂

∂=

j

n

j Pj

xxFy Δ∂∂

=Δ ∑=

1

ESTIMACIÓN DE ERRORES DE TRUNCAMIENTO

1. Criterio general2. Cancelación de términos

CRITERIOy y Δy

∑∞

=1iia

∑=

N

iia

1

1+Na

)()( 11 xfhxf −+

)( 1xf ′ 2)(

2

1hxf ′′

)(xf

[ ] )(xf N

[ ] [ ] )()(1 xfxf NN −+

GENERACIÓN Y PROPAGACIÓN DE ERRORES DE REDONDEO

1. Representación de números reales2. Unidad de máquina3. Propagación4. Gráfica de procesos

REPRESENTACIÓN INTERNAâ = m x 10q 0,1 ≤ ⎜m⎜ < 1 q entero

Error relativo Unidad de máquina Redondeo 0,5 x 10-t+1 simétrico

=≤− ua

aâ 10-t+1 truncado

GRÁFICA DE PROCESOSx

y

zop

fx

fy

u1

xz op y=

= +rz fx rx rfy +y 1u

xf

F

zx

=z F (x)

1ur=zr fx +x u1

F' (x)=xf xy

ESTABILIDAD DEL PROBLEMA Y DEL ALGORITMO

1. Factores de amplificación para datos de entrada

2. Número de condición del problema3. Factor de amplificación para redondeo4. Número de condición del algoritmo5. Condición de estabilidad del algoritmo

FACTORES DE AMPLIFICACIÓN DE ERRORES DE ENTRADA

op + - * /

f1 yx1

yx1

1

1

f2 y

x2

yx2−

1

-1

21 xopxy =

2211 xfxfry +=

FÓRMULA GENERAL

),...,( 21 nxxxFy =

i

M

iij

n

jjy ugrfr

11∑∑==

+=

∑∑==

=+=M

iiuuj

n

jjy gFuFRfR

11 ;

NÚMEROS DE CONDICIÓN

1∑=

=n

jjP fc

P

uA c

Fc =

aceptable numérico mientocondiciona :uRcA <<

ESTIMACIÓN DE ERRORES MEDIANTE PERTURBACIONES

EXPERIMENTALES

1. Errores de entrada y estabilidad del problema

2. Errores de redondeo y estabilidad del algoritmo

ESTRATEGIA

DATOS(ENTRADA)

PROCESOPRECISION

RESULTADOS(SALIDA)

PROCESO DE CALCULO

CALCULO INICIAL

Medios MediosFinitoFinita (t)

Perturbados Perturbados

CONDICIONAMIENTO DEL PROBLEMA

FinitoCONDICIONAMIENTO DEL ALGORITMO

Finita (2t)

FinitoFinita (t)

Medios Perturbados

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