Análisis Numérico 1- 2.ppt

7/26/2019 Anlisis Numrico 1- 2.ppt

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Mtodos Numricos

para Ingeniera

Ing. Miguel Aquino


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MTODOS NUMRICOS - INTRODUCCIN

El anlisis numrio o lulo numrio es la rama !elas ma"em"ias que enarga!a !e !ise#ar algori"mos $ara% a "ra&s!e n'meros ( reglas ma"em"ias sim$les% simular $roesosma"em"ios ms om$le)os a$lia!os a $roesos !el mun!o real.

El anlisis numrio o*ra es$eial im$or"ania on la llega!a !e los

or!ena!ores. +os or!ena!ores son '"iles $ara lulos ma"em"iose,"rema!amen"e om$le)os% $ero en 'l"ima ins"ania o$eranon n'meros *inarios ( o$eraiones ma"em"ias sim$les.

Deini!o el error% )un"o on el error a!misi*le% $asamos al one$"o

!e es"a*ili!a! !e los algori"mos. Muas !e las o$eraiones ma"em"ias$ue!en lle&arse a!elan"e a "ra&s !e la generai/n !e una serie !en'meros que a su &e0 alimen"an !e nue&o el algori"mo 1ee!*a23. Es"o$ro$oriona un $o!er !e lulo ( reinamien"o im$or"an"4simo a lamquina que a me!i!a que &a om$le"an!o un ilo &a llegan!o a la

solui/n.


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El $ro*lema ourre en !e"erminar as"a un!o !e*er on"inuar on elilo% o si nos es"amos ale)an!o !e la solui/n !el $ro*lema.

5inalmen"e% o"ro one$"o $aralelo al anlisis numrio es el !ela re$resen"ai/n% "an"o !e los n'meros omo !e o"ros one$"osma"em"ios omo los &e"ores% $olinomios% e".En general% es"os m"o!os se a$lian uan!o se neesi"a un &alornumrio omo solui/n a un $ro*lema ma"em"io% ( los$roe!imien"os 6e,a"os6 o 6anal4"ios6 1mani$ulaiones alge*raias%"eor4a !e euaiones !iereniales% m"o!os !e in"egrai/n% e".3 sonina$aes !e !ar una res$ues"a. De*i!o a ello% son $roe!imien"os !euso reuen"e $or 4sios e ingenieros% ( u(o !esarrollo se a &is"oa&orei!o $or la neesi!a! !e s"os !e o*"ener soluiones% aunque la$reisi/n no sea om$le"a. De*e reor!arse que la 4sia e,$erimen"al%

$or e)em$lo% nuna arro)a &alores e,a"os sino in"er&alos que englo*anla gran ma(or4a !e resul"a!os e,$erimen"ales o*"eni!os% (a que no esa*i"ual que !os me!i!as !el mismo en/meno arro)en &alorese,a"amen"e iguales.


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C+ASI5ICACIN ATENDIENDO A SU NATURA+E;AO MOTI


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Tipo de problema matemtico. Se analizan varios tipos deproblemas matemticos.

a) Races de ecuacionesb) Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales simultneasc) Optimizacind) Ajuste de curvase) Integracin numricaf) cuaciones di!erenciales ordinarias

g) cuaciones di!erenciales parciales


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En los 'l"imos a#os la menia "e/ria ( a$lia!a an e,$erimen"a!o ungran !esarrollo% $rini$almen"e !e*i!o al $ereionamien"o !e

las om$u"a!oras ( a la !is$oni*ili!a! !e nue&os m"o!os !e lulo. Esas4 /mo% en las naiones al"amen"e !esarrolla!as% se a llega!o a que$r"iamen"e "o!o $ro!u"o inal sea el resul"a!o !ire"o o in!ire"o !ealguna a$liai/n om$u"aional !e los $rini$ios !e la menia. Es"anue&a !isi$lina om*ina la menia "e/ria ( a$lia!a on los m"o!os

numrios( la inorm"ia. In"ernaionalmen"e se la !enomina meniaom$u"aional.

A7+ICACIN DE +OS MTODOS NUMRICOS EN+A ACTUA+IDAD


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Des!e "iem$os anes"rales el $a$el !el ingeniero a si!o *siamen"e el mismo%"ra"ar !e onoer e in"er$re"ar los meanismos !e la na"urale0a $ara as4 $o!ermo!iiarla al ser&iio !el om*re. 7ara ello a u"ili0a!o sus onoimien"os%

in"uii/n% e,$erienia ( los me!ios na"urales a los que en a!a momen"o a "eni!o!is$oni*les. Con el gran $o!er !e /m$u"o que se "iene en es"os !4as% el ingeniero!is$one !e gran!es &en"a)as $ara $o!er lle&ar a a*o su misi/n ( a*or!ar a!a !4are"os mas am*iiosos en la solui/n !e nue&os $ro*lemas% u(os as$e"os$ol4"ios% eon/mios% ien"4ios o "enol/gios $ue!en "ener un ma(or im$a"o enla me)ora !e la ali!a! !e &i!a !el om*re.

+as in!us"rias manua"ureras la u"ili0an $ara el anlisis ( !ise#o !e es"ru"uras (equi$amien"o menio. Tiene gran rele&ania en ingenier4a nulear% $ues"o que$ara el !ise#o !e rea"ores son un!amen"ales el anlisis es"ru"ural% la menia!e suelos% la lui!o menia% e". +a in!us"ria au"omo"ri0 mun!ial em$lea lamenia om$u"aional omo $roe!imien"os a*i"ual $ara el anlisis !e"ensiones% el !ise#o es"ru"ural ( el anlisis !inmio !e &e4ulos% u"ili0an!o"am*in las &en"a)as !el mo!ela!o ( simulai/n. +os sis"emas !e !eensa !e lasnaiones !esarrolla!as !e$en!en en gran $ro$ori/n !e es"a !isi$lina% u"ili0a!a$ara resol&er $ro*lemas aero!inmios% !e *al4s"ia% es"u!ios !e $ene"rai/n eim$a"o% a*lai/n !e me"ales% ra"ura% in"egri!a! es"ru"ural ( !inmia ( on"rol!e sa"li"es.


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Es *ien sa*i!o que el anlisis es"ru"ural !e aerona&es% na&4os oenios (sis"emas !e "rans$or"e erro&iario ons"i"u(e un as$e"o esenial !e su !ise#o=sin em*argo% su !esarrollo a"ual u*iera si!o im$osi*le sin la $ar"ii$ai/n !e lamenia om$u"aional.

A es"a lis"a $ue!e agregarse el uso !e la menia om$u"aional $ara anali0armo!elos i!rulios% es"u!ios en la *a)a a"m/sera ( en el mar $ara $re!eirel lima ( las orrien"es marinas% omo as4 "am*in $ro*lemas!e on"aminai/n !el aire ( !el agua% reu$erai/n asis"i!a !e $e"r/leo (gas% *iomenia% e".


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Mecnica de Slidos

Malla !e Elemen"os 5ini"os $ara el mo!ela!o !elE!iiio

Diagrama !e momen"os !el e!iiio% resul"a!o!e la mo!elai/n numria u"ili0an!o elemen"os

ini"os


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Mecnica de Slidos

Simulai/n numria !e una $resa en aro.


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Mecnica de Slidos

Simulai/n !e un gol$e so*re un rneo umano


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Mecnica de Fluidos

Mo!elo ( resul"a!os !e la simulai/n so*re el "eleso$io


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Mecnica de Fluidos

Simulai/n !e aero!inmia !e &e4ulos.


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Mecnica de Fluidos

Simulai/n numria !e la in"erai/n lui!o-es"ru"ura.


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Medios de Transporte

Mo!ela!o !el $roeso !e em*u"ii/n !e un $un0/n so*re una $uer"a!e un oe.


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Medios de Transporte


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Procesamiento de Imgenes Mdicas.

E)em$lo !e a$liai/n al $roesamien"o !e imgenes me!ias $arasegmen"ai/n !el ere*elo. a3 Imagen Des"ino% *3 Imagen 5uen"e% 3 Imagen5uen"e Transorma!a% !3 Imagen Des"ino on msara !e ere*ro alula!a% e3Imagen 5uen"e on msara !e ere*elo !eini!a a mano 3 !ierenias en"re

Imagen 5uen"e Transorma!a e Imagen Des"ino.


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ptimi!acin Multiob"eti#o

E)em$lo !e o$"imi0ai/n !e orma. De una &iga s/li!a% se *usa lame)or geome"r4a $ara un $uen"e.


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Un modelo matemtico se de"ne# de manera general#como una !ormulacin o una ecuacin $ue e%presa las

caractersticas esenciales de un sistema !sico o de unproceso en trminos matemticos. n general# el modelo serepresenta mediante una relacin !uncional de la !orma&

donde la variable dependiente es una caracterstica $uegeneralmente re'eja el comportamiento o estado de unsistema( las variables independientesson# por lo comn#dimensiones tales como tiempo * espacio# a travs de lascuales se determina el comportamiento del sistema( losparmetros son el re'ejo de las propiedades o lacomposicin del sistema( * las funciones de fuerza sonin'uencias e%ternas $ue actan sobre el sistema.


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+a e,$resi/n ma"em"ia% o el mo!elo% !e la segun!a le( es la (a onoi!aeuai/n

F = ma

F es la !uerza neta $ue acta sobre el objeto +,)# m es la masa delobjeto +-g) * a es su aceleracin +ms/).

Di&i!ien!o% sim$lemen"e% am*os la!os en"re m

!on!e a es la &aria*le !e$en!ien"e que rele)a el om$or"amien"o !elsis"ema% F es la uni/n !e uer0a ( m es un $arme"ro que re$resen"a una$ro$ie!a! !el sis"ema. O*ser&e que en es"e aso es$e4io no e,is"e&aria*le in!e$en!ien"e $orque a'n no se $re!ie /mo &ar4a la aelerai/non res$e"o al "iem$o o al es$aio.


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0aractersticas tpicas de los modelos matemticos del mundo!sico&

>.Desri*e un $roeso o sis"ema na"ural en "rminos ma"em"ios.

$. Re$resen"a una i!eali0ai/n ( una sim$liiai/n !e la reali!a!. Es!eir% ignora los !e"alles insigniian"es !el $roeso na"ural ( se onen"raen sus manies"aiones eseniales. 7or en!e% la segun!a le( !e Ne?"onno inlu(e los ee"os !e la rela"i&i!a!% que "ienen una im$or"ania

m4nima uan!o se a$lian a o*)e"os ( uer0as que in"era"'an so*re oalre!e!or !e la su$eriie !e la Tierra% a &eloi!a!es ( en esalas &isi*lesa los seres umanos.

%. 5inalmen"e% on!ue a resul"a!os re$ro!ui*les (% en onseuenia%llega a em$learse on la inali!a! !e $re!eir. 7or e)em$lo% !a!a la uer0a

a$lia!a so*re un o*)e"o !e masa onoi!a% se em$lea $ara alular laaelerai/n.


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c coeciente de resistencia o arrastre


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1onde v+t) es la variable dependiente# t es la variableindependiente# c * m son parmetros# * g es la !uncin de !uerza.

LEYES DE CONSER!C"#N E "N$EN"ER%!

0ambio 2 incremento 3 decremento

+e !aremos a la euai/n el nom*re es$eial !e lulo !e variable-tiempo 1otransitorio3.

Si el cambio es cero

Inremen"o @ !eremen"o

Clulo en estado estacionario


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1ispositivos * tipos de balances $ue se usan comnmente en las cuatrograndes reas de la ingeniera. n cada caso se especi"ca la le* deconservacin en $ue se !undamenta el balance.


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E&ercicios propuestos

4a tasa de 'ujo volumtrico a travs deun tubo est dado por la ecuacin Q 2

vA# donde v es la velocidad promedio *Aes el rea !e la sei/n "rans&ersal. U"ilie laon"inui!a! &olum"ria $ara resol&er ul es elrea requeri!a en el "u*o .

Se ilustran !ormas distintas en las $ue un 5ombrepromedio gana o pierde agua durante el da. Seingiere un litro en !orma de comida# * el cuerpoproduce en !orma metablica 6.7 4. Al respiraraire# el intercambio es de 6.68 4 al in5alar# * 6.94 al e%5alar# durante el periodo de un da. l

cuerpo tambin pierde 6./# :.9# 6./ * 6.78 4 atravs del sudor# la orina# las 5eces * por la piel#respectivamente. 0on objeto de mantener lacondicin de estado estacionario# ;cunta aguadebe tomarse por da. Esoger &alores iniiales Ja ( J* !e "al manera que la uni/n am*ie !e

signo so*re el in"er&alo.K. +a $rimera a$ro,imai/n se !e"ermina on la /rmula

. Se e&al'a el $ro!u"o !e 1Ja31J3Si 1Ja31J3 L la ra40 es" en el >er su*in"er&alo J* @ JSi 1Ja31J3 la ra40 es" en el K!o su*in"er&alo Ja @ JSi 1Ja31J3 @ la ra40 es J. +a ra40 es e,a"a.

B. Se !e"ermina el error 1s"e luego !e la K!a i"erai/n3.

. Se e&al'a el error aumula!o. Si es menor o igual al error !e "olerania% 5in. Sies ma(or% &ol&er al $aso K.


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:.C 0onsiderando la ecuacin

calcular los cruces por cero dentro del intervalo [9# /6]( usar el mtodo debiseccin con un error absoluto de /39.

'RO-LE(!S

/.C 4ocalice la primera raz positiva de Ea H .>

*!-L! 0 ()*ODO DE L! RE$L! ,!LS!


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aD26.668

aD26.66/8

+manual)=resicion!+%)D:6e8

+manual)


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()*ODOS !-"ER*OS

+os m"o!os erra!os se enuen"ra !en"ro !e un in"er&alo$re!e"ermina!o $or un l4mi"e inerior ( o"ro su$erior. Se !ieque "ales m"o!os son on&ergen"es $orque se aeran$rogresi&amen"e a la ra40 a me!i!a que se a&an0a en ellulo. +os m"o!os a*ier"os se *asan en /rmulas que

requieren 'niamen"e !e un solo &alor !e iniio queem$ieen on un $ar !e ellos% $ero que no neesariamen"eenierran la ra40. s"os% algunas &ees !i&ergen o se ale)an!e la ra40 &er!a!era a me!i!a que se a&an0a en el lulo.

Sin em*argo% uan!o los m"o!os a*ier"os on&ergen% engeneral lo aen muo ms r$i!o que los m"o!oserra!os.


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()*ODO DE L! NE1*ON 2 R!'SON


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'RO-LE(!S


*!-L! 0 ()*ODO DE NE1*ON R!'SON


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aD26.668

aD26.66/8


+manual)


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()*ODO DE L! SEC!N*E


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'RO-LE(!S



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aD26.668

aD26.66/8


+manual)


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(E*ODO DEL 'UN*O ,"3O O !'RO4"(!C"ONES SUCES"!S


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'RO-LE(!S

4ocalice la primera raz positiva de Ea H .>

Er H .>

xc=g(x)


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aD26.66/8+manual)

=resicion

!+%)D:6e8

+manual)


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(E*ODO DEL (ULLER


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Siguientes iteraciones p:anterior2p6nuevo p/anterior2p:nuevop7anterior2p/,uevo

p/ valor entre p6 * p: al inicio


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'RO-LE(!S

aD26.66/8+manual)

=resicion!+%)D:6e8

+manual)

Er H .>


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R!%CES (5L*"'LES

4as races mltiples o!recen algunas di"cultades a muc5os de los

mtodos abiertos para lo cual se establece $ue el calculo de laderivada de

sto permitir tener ma*or precisin al calcular races mltiplessiempre * cuando las derivadas no sean cero

Ne6ton Rapson (odi7cado


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Se debe notar $ue 5a* manera de desarrollar una versinmodi"cada del mtodo de la secante para races mltiples


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Criterios de paro 8 estimaciones deerrores4os mtodos numricos son repetitivos 5asta acercarse a un valor

pr%imo al real# por lo tanto es importante desarrollar un criteriopara decidir cundo debe terminar el mtodo.

9:2 Se puede calcular el error relativoporcentual

Gomando en cuenta lo siguiente&


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En los metodos cerrados se conoce;


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:2 Se puede tomar en cuenta la apro>imacion a cero def?>c@

Si >c es el valor cercano a la raiz# mientras mas cercano sea estevalor a la raiz f?>c@ debe apro%imarse mas a cero# para detenerel proceso iterative se puede estable cer una presicion ej& :6eC7

=ara $ue el proceso se detenga

!+%c)D2:6eC7

A:2 Cuando de establece un numero 7&o de itereraciones arealizarse

!'L"C!C"#NES ! L! "N$EN"ER%!


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!'L"C!C"#NES ! L! "N$EN"ER%!

4as tcnicas numricas son importantes en aplicaciones prcticas# *a

$ue con !recuencia los ingenieros encuentran problemas $ue no esposible resolver usando tcnicas analticas.

"N$EN"ER%! BU%("C! Y -"OBU%("C!

Hna ecuacin de estado alternativa para los gases est dadapor&

0onocida como la ecuacin de van der Waals# donde v = n es elvolumen molar# a * b son constantes empricas $ue dependen del gas$ue se analiza.

Un $ro(e"o !e !ise#o en ingenier4a qu4mia requiere que se alule e,a"amen"eel &olumen molar 1v3 !el !i/,i!o !e ar*ono ( !el o,4geno $ara !ieren"esom*inaiones !e "em$era"ura ( $resi/n% !e "al orma que los rei$ien"es queon"engan !ios gases se $ue!an seleionar a$ro$ia!amen"e.


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si Q 2 8 m7s# ! 2 /6 m# n 2 6.67 * S 2 6.666/

"N$EN"ER%! EL)C*R"C!


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"N$EN"ER%! EL)C*R"C!0ircuitos de naturaleza transitoria# donde sbitamente ocurrencambios temporales.


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*!LLER


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Se muestra un circuito con una resistencia# un inductor * un


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capacitor en paralelo. =ara e%presar la impedancia del sistema seemplean las le*es de Jirc55oK# as&


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LOC!L"!C"#N DE R!%CES CON


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LOC!L"!C"#N DE R!%CES CON-"-L"O*EC!S Y '!BUE*ES DE SO,*1!RE


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clc

clear

syms x

xo=[xmin xmax]

f=funcionf=inline(f)

fzero(f,xo)

clc

clear

syms x

xo= Xc

f=funcionf=inline(f)

fzero(f,xo)

'RO-LE(!S


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'RO-LE(!S


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clc

clear

p=[a b c d ...... m] coeficientes

roots(p)


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S"S*E(!S DE ECU!C"ONES NO


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L"NE!LESLasta a$u nos 5emos ocupado de determinar las races de una sola

ecuacin no lineal.Hn problema relacionado con ste consiste en obtener las races de unconjunto de ecuaciones simultneas.4as ecuaciones simultneas son lineales# es decir# $ue se puedane%presar en la !orma general

A las ecuaciones algebraicas * trascendentes $ue no se puedene%presar de esta !orma se les llama ecuaciones no lineales.

(E*ODO DEL NE1*ON R!'SON


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->


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METODO GRAFICO 2EC. 2 INCOGNITAS (lineal o no lineal)

clc

clear

!old off

syms xy

f"= funci#n "

f$=funci#n $

ezplot(f",[xmin,xmax,ymin,ymax])grid on

!old on

ezplot(f$,[%,&,'$,&])

(E*ODO DEL 'UN*O ,"3O


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Consis"e en !es$e)ar las &aria*les $ara enon"rar nue&as uniones

g1,3%g>1,>3%..gn1,n3Se $ar"ira !e &alores iniiales su$ues"os


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