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18. DOMINIO FRECUENCIA – CRITERIO DE NYQUIST

18.1. DIAGRAMAS POLARES

En análisis dinámico de sistemas en el dominio de la frecuencia, además deemplearse los diagramas y el criterio de Bode, se utilizan las representaciones de lasfunciones de transferencia sinusoidales en coordenadas polares que sirven de base

para otros criterios de estabilidad como son el de Nyquist y el de Nichols

El diagrama polar de una función de transferencia sinusoidal G(jw) es una gráfica dela magnitud de G(jw) con respecto al ángulo de fase de G(jw) en coordenadas

polares, cuando “w” varía de cero a infinito. Por tanto, el diagrama polar es el lugar geométrico de los vectores )()( jwG jwG ∠ cuando “w” varía de cero a infinito. Cada

punto en el diagrama polar de G(jw) representa el punto terminal de un vector en un

valor determinado “w”. En el diagrama polar, es importante mostrar la graduaciónde la frecuencia del lugar geométrico. Las proyecciones de G(jw) en los ejes real eimaginario son sus componentes real e imaginaria. En las gráficas polares, losángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario al de lasagujas del reloj (en el sentido de las agujas) a partir del eje real positivo. Eldiagrama polar se denomina, a menudo, “ Diagrama de Nyquist”

Una ventaja de utilizar un diagrama polar es que representa, en una sola gráfica, lascaracterísticas de la respuesta, en el dominio de la frecuencia, de un sistema en elrango de frecuencia completo. Una desventaja es que el diagrama no indica en formaclara la contribución de todos los factores individuales de la función de transferenciaen lazo abierto.

18.2. DIAGRAMAS DE NYQUIST

Los diagramas de Nyquist de algunos de los sistemas componentes de un proceso se presentan a continuación:

Sistema Integrador

Para un sistema integrador con función de transferencia de la forma

s sG

1)( = (18.1)

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Mach

La expresión para la función de transferencia sinusoidal es

°90111

)(ww

j jw

jwG (18.2)

De acuerdo a la ecuación (18.2), el diagrama polar de la función de transferenciasinusoidal de un sistema integrador es el eje imaginario negativo. La Figura 18.1muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistema integrador como el de la ecuación (18.1)

Figura 18.1. Diagrama de Nyquist para un sistema integrador

Sistema Derivativo

Para un sistema derivativo con función de transferencia de la forma

s sG =)( (18.3)

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Mach


°90)( w jw jwG (18.4)

De acuerdo a la ecuación (18.4), el diagrama polar de la función de transferenciasinusoidal de un sistema derivativo es el eje imaginario positivo. La Figura 18.2muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistema derivativocomo el de la ecuación (18.3)

Figura 18.2. Diagrama de Nyquist de un sistema derivativo

Sistema con Atraso de Primer Orden

Para una función de transferencia con atraso de primer orden de la forma

1)(

+

=

s

K sG

τ (18.5)

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Mach

La expresión para la función de transferencia sinusoidal es:

2222 11)(

w

w K j

w

K jwG

τ

τ

τ +

−+

+(18.6)

Ó )(tan1

)( 1

22w

w

K jwG τ

τ

−−+

= (18.7)

Para 0=w °0)0( K jG y

Paraτ

1=w °45

2)

1(

K jGτ

Si “w” tiende a infinito, la magnitud de G(jw) tiende a cero y el ángulo de fasetiende a -90°. El diagrama polar de esta función de transferencia es un semicírculocuando la frecuencia varía de cero a infinito. El centro se localiza en K/2 sobre el ejereal y el radio es igual a K/2.

Figura 18.3. Diagrama de Nyquist para un sistema con atraso de primer orden(K = 5, τ = 1)

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Mach

Para probar que el diagrama polar de un sistema con atraso de primer orden es unsemicírculo de radio K/2 y centro en el punto K/2 sobre el eje real, se define a

jY X jwG +=)( siendo X, Y, las partes real e imaginaria, respectivamente, de laecuación (6) y, se tiene en cuenta que si son las coordenadas de un círculo debensatisfacer su ecuación analítica, es decir:

222

2r Y

K X =

− (18.8)

Siendo el “r”, el radio del círculo e igual a K/2. Sustituyendo las expresiones paraX, Y, observadas en la ecuación (18.6), en la ecuación (8) se demuestra que el radioes igual a K/2 y, con ello, que el gráfico es un círculo. El semicírculo inferior corresponde a ∞w0 y el semicírculo superior corresponde a .0w LaFigura 3 muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistemacon atraso de primer orden

Sistema con Adelanto de Primer Orden

Para una función de transferencia con adelanto de primer orden de la forma

)1()( s K sG τ += (18.9)

La expresión para la función de transferencia sinusoidal es:

w jK K jwG τ )( (18.10)

ó )tan(1)( 22 ww K jwG τ τ ∠ (18.11)

El diagrama polar de la función de transferencia de un sistema con adelanto de primer orden es simplemente la mitad superior de la recta que pasa por el punto (K,0) en el plano complejo y paralelo al eje imaginario. El diagrama polar de un sistemacon adelanto de primer orden tiene un aspecto completamente diferente del de unsistema con atraso de primer orden. La Figura 18.4 muestra el Diagrama de Nyquist,construido con Matlab, para un sistema con adelanto de primer orden

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Mach

Figura 18.4. Diagrama de Nyquist para un sistema con adelanto de primer orden(K = 5, τ = 1)

Sistema de Segundo Orden

Para un sistema de segundo orden con función de transferencia en la forma

12)( 22

++

=

s s

K sG

τζ τ (18.12)

La expresión para la función de transferencia sinousoidal es

22222222

22

)2()1(

)2(

)2()1(

)1()(

ww

w K j

ww

w K jwG

ζτ τ

ζτ

ζτ τ

τ

+

−+

+

−= (18.13)

ó

−

−∠

+= −

221

2222 1

2tan

)2()1()(

w

w

ww

K jwG

τ

ζτ

τζ τ (18.14)

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Mach

El diagrama polar de esta función de transferencia sinusoidal empieza en °0 K ycuando la frecuencia toma un valor infinito la función de transferencia sinusoidal es

°1800 , es decir, que el diagrama termina en forma tangente al eje real negativo.

Sistema de Segundo Orden Subamortiguado

La Figura 18.5 muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para unsistema de segundo orden subamortiguado para varios factores de amortiguamiento

Figura 18.5. Diagrama de Nyquist para un sistema de segundo ordensubamortiguado (K = 5, τ = 1)

La forma exacta de un diagrama polar para un sistema de segundo orden dependedel valor del factor de amortiguamiento, pero la forma general del diagrama es igualtanto para el caso subamortiguado como para el caso sobreamortiguado

Para el caso subamortiguado, para una frecuencia w = 1/τ, la función detransferencia sinusoidal corresponde a K/2 °90ζ , es decir, que el diagramaintercepta al eje imaginario negativo. Por lo tanto, se observa que la frecuencia en laque el lugar geométrico de G(jw) corta al eje imaginario es la frecuencia natural no

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amortiguada. En el diagrama polar, el punto de frecuencia cuya distancia al origenes la máxima, corresponde a la frecuencia de resonancia. El valor pico de G(jw) seobtiene como el cociente entre la magnitud del vector en la frecuencia de resonanciay la magnitud del vector en w = 0.

Sistema de Segundo Orden Sobreamortiguado

Para el caso sobreamortiguado, cuando el factor de amortiguamiento aumentamucho mas allá de la unidad, el lugar geométrico de G(jw) tiende a un semicírculo.Esto se observa porque para un sistema muy amortiguado, las raíces característicasson reales y una es mucho más pequeña que la otra. Debido a que para uncoeficiente de amortiguamiento suficientemente grande, el efecto de la raíz mayor (mayor en su valor absoluto) sobre la respuesta se vuelve muy pequeño, el sistemase comporta como uno de primer orden. La Figura 18.6 muestra los Diagramas de

Nyquist, construidos con Matlab, para sistemas de segundo ordensobreamortiguados con factores de amortiguamiento de 1, 2 y 20. Se observa elcírculo correspondiente al de un factor de amortiguamiento de 20

Figura 18.6. Diagrama de Nyquist para un sistema de segundo ordensobreamortiguado

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Mach

Sistema de tiempo muerto puro

Para un sistema de tiempo muerto puro con función de transferencia de la forma

st o Ke sG −=)( (18.15)


w jt o Ke jwG−=)( (18.16)

Mediante las correspondientes expansiones en serie de Taylor de las funcionesexponencial, seno y coseno se puede transformar la ecuación (18.16) como unaexpresión compleja con la siguiente forma

ó )sin()cos()( wt jK wt K jwG oo − (18.17)

ó wt K jwG o)( (18.18)

Las ecuaciones (18.17) y (18.18) indican que el Diagrama de Nyquist de la funciónde transferencia exponencial sinusoidal correspondiente a un sistema de tiempomuerto puro es un círculo de radio K con centro en el origen del sistema decoordenadas polares.

Sistema de Tercer Orden

La siguiente función de transferencia de lazo abierto corresponde a un sistema con

dinámica de tercer orden. El diagrama de Nyquist correspondiente es el que semuestra en la Figura 18.7

)18.0(

1)( 2 + s s s

sG

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Mach

Figura 18.7. Diagrama de Nyquist para un Sistema de Tercer Orden

18.3 MATLAB: Diagramas de Nyquist

Los diagramas de Nyquist, al igual que los diagramas de Bode, suelen utilizarse enla representación de la respuesta, en el dominio de la frecuencia, de sistemas decontrol lineal, invariante en el tiempo y realimentados. Los diagramas de Nyquistson gráficas polares mientras que los diagramas de Bode son gráficas rectangularesUno u otro diagrama puede ser más conveniente para una operación específica, perouna determinada operación siempre puede realizarse en cualquier diagrama

El comando “nyquist” calcula la respuesta en el dominio de la frecuencia parasistemas en tiempo continuo, lineales e invariantes en el tiempo. Cuando seintroduce el comando “nyquist” a la computadora (sin argumentos en el ladoizquierdo), Matlab produce el diagrama de Nyquist en la pantalla definiendo elnumerador y el denominador de la función de transferencia ya sea previamente odirectamente como argumentos, es decir en la forma de

nyquist(num, den)

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Si se define la función de transferencia en el sistema LTI con un nombre, por ejemplo, sys, entonces el comando ”nyquist” solo incluye como argumento elnombre de la función de transferencia, es decir

nyquist(sys)

En forma similar a lo anterior, también se puede introducir la función detransferencia en el sistema LTI directamente como argumento del comando.

Con el comando “nyquist” se representan repuestas de varios sistemas LTI sobreuna misma figura. Todos los sistemas deben tener el mismo número de entradas ysalidas. La sintaxis es de la forma

nyquist(sys1, sys2,…, sysN)

Se pueden especificar los estilos de las representaciones para cada uno de lossistemas con la siguiente sintaxis

nyquist(sys1,’PlotStyle’,…, sysN, ‘PlotStyleN’)

Cuando se invoca el comando “nyquist” con argumentos en el lado izquierdo en laforma

[re, im, w] = nyquist(sys)

Matlab retorna la respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia en lasmatrices re, im y w. No aparece una gráfica en la pantalla. Las matrices re e im contienen las partes real e imaginaria de la respuesta del sistema en los puntos defrecuencia especificados en el vector “w”. Obsérvese que re e im tienen tantascolumnas como salidas y una fila para cada elemento de “w”

18.4. CASOS DE ESTUDIO

1. Construya los archivos M-files en Matlab para construir los diagramas de Nyquist de las Figuras 1 a la 6

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2. Construya el diagrama de Nyquist para los sistemas con la siguientesfunciones de transferencia en lazo abierto

A.

1

5.0)(

2 +

+=

s s

s sG

B.45

64)( 2

2

+

+=

s s

s s sG

C. )102)(5(

)1(20)( 2 +

+=

s s s s

s sG

18.5 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST

El criterio de estabilidad de Nyquist determina la estabilidad de un sistema en lazocerrado a partir de la respuesta de la función de transferencia en lazo abierto y de los polos de ésta.

Este criterio se basa en el Teorema de la transformación de la teoría de la variablecompleja, y es útil en la ingeniería de control porque en su aplicación, paradeterminar la estabilidad de un sistema, no se necesita la determinación de los polosde su función de transferencia en lazo cerrado.

Para el estudio del criterio de estabilidad de Nyquist, considere un sistema en lazocerrado como el que muestra la Figura 18.8

Figura 18.8. Sistema en lazo cerrado

y su correspondiente función de transferencia

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)()(1

)(

)(

)(

s H sG

sG

s R

sC

+(18.19)

Se supone que la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) se representacomo un cociente de polinomios en “s”. Para un sistema que puede materializarsefísicamente, el grado del polinomio del denominador de la función de transferenciaen lazo cerrado debe ser mayor o igual que el del polinomio del numerador. Estosignifica que el límite de G(s)H(s), cuando “s” tiende a infinito, es cero o unaconstante para cualquier sistema que pueda materializarse físicamente.

Para la estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica

0)()(1 = s H sG (18.20)

deben estar en el semiplano izquierdo del plano “s”. [Se debe señalar que, aunquelos polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) pueden estar en el semiplano derecho del plano “s”, el sistema solo es estable si todos los polosde la función de transferencia en lazo cerrado (es decir, las raíces de la ecuacióncaracterística) están en el semiplano izquierdo del plano “s”].

El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta, en el dominio de lafrecuencia, de la función de transferencia en lazo abierto G(jw)H(jw) con el númerode ceros (Z) y polos (P) de 1 + G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano derechodel plano “s”.

Enunciado del Criterio de estabilidad de Nyquist

Si la trayectoria de Nyquist en el plano “s” encierra Z ceros y P polos de 1 +G(s)H(s) y no pasa por los polos ni los ceros de 1 + G(s)H(s) conforme un puntorepresentativo “s” se mueve en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de latrayectoria de Nyquist, el controrno correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea en

un círculo N = Z – P veces el punto -1 + j0 en el sentido de las agujas del reloj. (Losvalores negativos de N implican rodeos en sentido contrario al de las agujas delreloj)

Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio deestabilidad de Nyquist, se observa que se pueden presentar tres casos:

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1. El punto -1 + j0 no está rodeado. Esto implica que el sistema es estable si nohay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano “s”; de locontrario, el sistema es inestable

2. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en sentido contrario al de

las agujas del reloj. En este caso, el sistema es estable si el número de rodeosen sentido contrario al de las agujas del reloj es igual al número de polosG(s)H(s) en el semiplano derecho del plano “s”; de lo contrario, el sistemaes inestable

3. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en el sentido de las agujasdel reloj. En este caso el sistema es inestable

18.6. ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE SISTEMAS

El análisis de la estabilidad de sistemas mediante el criterio de Nyquist se explica, acontinuación, a partir del estudio de varios casos con los cuales se aclaren losenunciados incluidos en el apartado anterior

Caso 1

Mediante el criterio de Nyquist, analice la estabilidad del sistema en lazo cerradocuya función de transferencia en lazo abierto correspondiente es

)13)(12(

10)()(

+ s s s H sG (18.21)

El diagrama de Nyquist para la función de transferencia en lazo abierto (18.21) semuestra en la Figura 18.9. Debido a que G(s)H(s) no tiene polos en el sentidoderecho del plano “s” y el punto -1 + j0 (observe la cruz) no está rodeado por ellugar geométrico de G(jw)H(jw), este sistema es estable para cualquier valor

positivo de ganancia y atrasos dinámicos

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Figura 18.9. Diagrama de Nyquist para el Caso 1

Figura 18.10. Respuesta Paso Unitario Estable – Caso 1

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Para un lazo cerrado con G(s) y H(s) definidas de tal manera que su producto seaigual a la ecuación (18.21) se puede comprobar que el lazo cerrado conformado por ellas es estable ante un cambio paso en la variable de entrada, como se observa en laFigura 18.10

Caso 2

La función de transferencia en lazo abierto de un sistema es

)14)(15()()(

+ s s s

K s H sG (18.22)

Mediante el diagrama de Nyquist analice la estabilidad del sistema para lossiguientes valores de la ganancia: a) K = 0.1; b) K = 10

a) Para una ganancia con un valor pequeño de 0.1 el diagrama de Nyquist es el quese observa en la Figura 18.11

Figura 18.11. Diagrama de Nyquist – Caso 2a (K = 0.1)

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El número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano “s” es cero. Por lo tanto, para que este sistema sea estable, es necesario que N = Z = 0 o que el lugar geométrico de G(s)H(s) no rodee el punto -1 + j0, condición esta que se observa enla Figura 18.11

Para un lazo cerrado con G(s) y H(s) definidas de tal manera que su producto seaigual a la ecuación (18.22), con K = 0.1, se puede comprobar que el lazo cerradoconformado por ellas es estable ante un cambio paso en la variable de entrada, comose observa en la Figura 18.12

Figura 18.12. Respuesta Paso – Caso 2a ( K = 0.1 )

b) Para una ganancia con un valor grande de 10 el diagrama de Nyquist es el que seobserva en la Figura 18.13. El punto -1 + j0 es rodeado dos veces, en el sentido de

las agujas del reloj, por el lugar geométrico de G(s)H(s) y, por lo tanto, el sistema esinestable. Se puede comprobar que la ecuación característica del lazo cerrado 1 +G(s)H(s) tiene dos raíces en el semiplano derecho del plano “s”, lo que indica lainestabilidad

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Figura 18.12. Diagrama de Nyquist – Caso 2b ( K = 10 )

Figura 18.13. Respuesta Paso Unitario – Caso 2 b ( K = 10 )

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Mach

Para un lazo cerrado con G(s) y H(s) definidas de tal manera que su producto seaigual a la ecuación (18.22), con K = 10, se puede comprobar que el lazo cerradoconformado por ellas es inestable ante un cambio paso en la variable de entrada,como se observa en la Figura 18.13

Caso 3

La estabilidad de un sistema en lazo cerrado con la siguiente función detransferencia en lazo abierto

)1(

)1()()(

12

2

+

+=

s s

s K s H sG

τ

τ (18.23)

depende de las magnitudes de τ1 y τ2. Para los siguientes casos, construya losdiagramas de Nyquist y analice la estabilidad del sistema (K = 10): a) τ1 = 1 seg y τ2 = 4 seg; b) τ1 = τ2 = 1 seg; c)τ1 = 1 seg y τ2 = 0.5 seg

a) El diagrama de Nyquist para cuando τ1 < τ2 se muestra en la Figura 18.14.

Figura 18.14. Diagrama de Nyquist – Caso 3a

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El lugar geométrico de G(s)H(s) no rodea el punto -1 + j0 y el sistema en lazocerrado es estable. La Figura 18.15 muestra la estabilidad de la respuesta pasounitario para un lazo cerrado cuyas G(s) y H(s) multiplicadas corresponden a laecuación (18.23)

Figura 18.15. Respuesta Paso Unitario – Caso 3a

b) El diagrama de Nyquist para cuando τ1 = τ2 se muestra en la Figura 18.16. Ellugar geométrico de G(s)H(s) pasa por el punto -1 + j0 lo cual indica que hay polosde lazo cerrado sobre el eje “jw”. La Figura 18.17 muestra la respuesta paso unitario para un lazo cerrado cuyas G(s) y H(s) multiplicadas corresponden a la ecuación(18.23) con iguales valores para τ1 y τ2. Se observa un comportamiento sinusoidal

c) El diagrama de Nyquist para cuando τ1 > τ2 se muestra en la Figura 18.18. Ellugar geométrico de G(s)H(s) rodea en un círculo al punto -1 + j0 dos veces en elsentido de las agujas del reloj. Por tanto, el sistema en lazo cerrado tiene dos polosen lazo cerrado en el semiplano derecho del plano “s” y el sistema es inestable. LaFigura 18.19 muestra la respuesta paso unitario para un lazo cerrado cuyas G(s) yH(s) multiplicadas corresponden a la ecuación (18.23) con valores para τ1 > τ2.

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Figura 18.16. Diagrama de Nyquist – Caso 3b

Figura 18.17. Respuesta Paso Unitario – Caso 3b

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Figura 18.18. Diagrama de Nyquist – Caso 3c

Figura 18.19. Respuesta Paso Unitario – Caso 3c

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Caso 4

Analice la estabilidad del sistema en lazo cerrado que tiene la siguiente función detransferencia en lazo abierto

)1(

5)()(

− s s s H sG (18.24)

La función G(s)H(s) tiene un polo en +1, es decir, en el semiplano derecho del plano“s”. El diagrama de Nyquist para la función de transferencia en lazo abierto (6) semuestra en la Figura 18.20 e indica que el diagrama rodea el punto -1 + j0 una vezen el sentido de las agujas del reloj. Por lo tanto, N = 1 y Z = 2 debido a que Z = N +P. Esto significa que el sistema en lazo cerrado tiene dos polos en el plano derechodel plano “s” y que es inestable. La respuesta de un sistema en lazo cerrado a uncambio paso unitario se observa en la Figura 18.21

Figura 18.20. Diagrama de Nyquist – Caso 4

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Figura 18.21. Respuesta Paso Unitario – Caso 4

Caso 5

Analice la estabilidad de un sistema en lazo cerrado con la siguiente función detransferencia en lazo abierto

)1(

)3(5)()(

−

+=

s s

s s H sG (18.25)

La función de transferencia en lazo abierto tiene un polo +1 en el semiplano derechodel plano “s”. El sistema en lazo abierto es inestable. El diagrama de Nyquist

correspondiente mostrado en la Figura 18.22, indica que el lugar geométrico deG(s)H(s) rodea al punto -1 + j0 una vez en sentido contrario al de las agujas del relojy, por lo tanto, N = -1. De acuerdo a lo anterior, se obtiene que Z = 0 porque Z = N+ P y esto indica que no hay un cero en la ecuación característica de la función detransferencia en lazo cerrado localizado en el semiplano derecho del plano “s” y queel sistema en lazo cerrado es estable. Este es uno de los ejemplos para los cuales unsistema en lazo abierto se vuelve estable cuando se cierra el lazo

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Figura 18.22 Diagrama de Nyquist – Caso 5

Figura 18.23. Respuesta Paso Unitario – Caso 5

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La respuesta de un sistema en lazo cerrado a un cambio paso unitario se muestra enla Figura 18.23

18.7. CASOS DE ESTUDIO

1. Construya el diagrama de Nyquist para cada una de las siguientes funciones detransferencia en lazo abierto y haga el análisis de estabilidad para el sistema enlazo cerrado:

12.0

1)()( 23 + s s s

s H sG

12.0

)12)()( 23

2

+

+

= s s s

s s s H sG

)10)(1(

)2()()(

+

+=

s s s

s K s H sG Para K = 1, 10 y 100.

sk s s s H sG

)105(6

10)()(

23 +Para K = 0.3, 0.5 y 0.7

2. Considere el sistema en lazo cerrado de la Figura 18.24. Dibuje los diagramas deBode y de Nyquist de G(s)H(s) para K = 0.2, 0.5 y 2. También dibuje la gráficadel lugar de las raíces de la función de transferencia en lazo abierto y localice los polos en lazo cerrado del sistema para K = 0.2, 0.5 y 2. Haga un análisis deestabilidad para cada uno de los casos

Figura 18.24. Sistema en lazo cerrado

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