Actividad 6 - Universidad Autónoma de Nuevo Leónjagarza.fime.uanl.mx/Enero/Enero...

FIME UANL M.C. Juan Ángel Garza Garza

Actividad 6, febrero de 2015 , Sistemas Digitales y Electrónica Digital I

1

Actividad 6 El propósito de esta actividad contar con una guía de estudios que te permitan prepárate para próximo examen. La entrega de este documento es el día correspondiente a él examen de medio curso y antes de presentarlo.

Temas y ponderación del examen de medio termino

Sistemas Numéricos Conversiones entre los sistemas numéricos de notación posicional 6%

Álgebra Booleana

Operadores (And, Or, Not, Nand, Nor, Exor y Exnor)

Símbolo, característica, expresión matemática, Tabla de verdad

Propiedades Distributiva, Asociativa y Conmutativa e Identidades

Circuito, Ecuación, Tabla de verdad y Diagrama de tiempos

Teorema de D’ Morgan

Minitermino forma SOP (And/Or), Maxitermino forma POS (Or/And)

Las Ocho Formas estándar

40%

Minimización de Funciones Booleanas

Manipulación Algebraica

Mapas de Karnaugh POS y SOP

34%

Planteamiento del problema, Tabla de verdad, circuito y ecuaciones mínimas 20

Índice Pag.

Lista de cotejo (checklist) ...................................................................................................... 2

Calendario ............................................................................................................................. 2

1.- Sistemas numéricos ......................................................................................................... 3

2 Resumen conceptual .......................................................................................................... 4

Horizontal .............................................................................................................................. 5

Vertical ................................................................................................................................... 5

3.- Identidades ...................................................................................................................... 6

4.- Operadores Lógicos ......................................................................................................... 7

5.- Operaciones Booleanas. .................................................................................................. 7

6.- Representación gráfica de las ecuaciones ....................................................................... 8

7 Identificación de funciones Booleanas ................................................................................ 9

8. - Manipulación algebraica ................................................................................................ 10

9.- Mapas de Karnaugh ....................................................................................................... 14

10 Las ocho formas estándar .............................................................................................. 19

11.- Problema propuesto ..................................................................................................... 20

12.- Conclusiones de la actividad ........................................................................................ 25

Formulario ........................................................................................................................... 26



2

Lista de cotejo (checklist)

No Tema Respuestas Cotejado

Portada

1 Sistemas Numéricos a b c d e Pag. 3

2 Crucigrama 53 Pag. 4

3 Identidades 1 2 3 4 5 Pag. 6

4 Operadores Lógicos a b c d Pag. 7

5 Operaciones Booleanas a b c Pag. 7

6 Representación gráfica de las ecuaciones

A B Pag. 8

S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4

7 Identificación de Funciones Booleanas

a b c Pag. 9

8 Manipulación Algebraica 1 2 3 4 5 6 Pags 10 a

13

9 Mapas de Karnaugh F1 F2 F3 F4 Pags 14 a

18

10 8 Formas estándar Pag. 19

11 Problema propuesto

Diagrama de bloques Pag .21

Tabla de verdad Pag. 22

Ecuaciones mínimas SOP y POS por K Map (tres)

Pag .23

Diagramas Pag. 24

Forma And/Nor Pag. 25

Conclusiones Pag. 26

Calendario

Lunes Martes Miercoles Jueves Viernes Sábado Domingo

23

24 25 26 27 28 29

Marzo 3 4 5 6 7 8

2

9 10 11

M1

12

M2

13

M3

14 15

16

17

M4



3

1.- Sistemas numéricos

a) ¿Selecciona el valor en decimal del siguiente número en hexadecimal 29D(16)

A B C D

614 669 966 696

b) ¿Selecciona el valor en octal del siguiente número en decimal 458(10)

A B C D

409 915 712 470

c) ¿Selecciona el valor en binario del siguiente número en hexadecimal F9A(16)

A B C C

110010111 101101111 110011111 111110011010

d) Convierte los siguientes números a decimal y ordénalos de mayor a menor

a) 110011111(2)

b) 637(8)

c) 18F(16)

d) 440(5)

Mayor Menor

e) Efectué las siguientes conversiones sin importar el orden.

4A (11) = N(2) = N(5) = N(7) = N(16)

N11 N2 N5 N7 N16

3A



4

2 Resumen conceptual

Con el propósito de recordar las definiciones de los términos y conceptos utilizados en el curso resuelva el siguiente crucigrama.



5

Horizontal

1. Propiedad del algebra booleana en donde A+B = B+A.

3. Reducir la ecuación lo más posible.

6. Conjunto de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a determinado objeto.

7. La salida es cero cuando cualquiera de sus entradas es cero.

9. Representación de una función booleana por medio de una tabla de ?

11. Joint Electron Device Engineering Council

12. Técnica de simplificación matemática, descomposición de una expresión en forma de factores.

15. Siglas de Zero Insertion Force

16. Extensión del archivo de texto para la simulación.

19. el número adquiere valor dependiendo la posición relativa. Notación ?

20. Nombre del creador del teorema de D' Morgan.

22. Procedimiento gráfico para la simplificación de funciones boolenas mapa de ?.

24. Nombre del programa con el que se realiza la captura esquemática.

26. Programmable Logic Devices, dispositivo lógico programable

27. Extensión del archivo JEDEC con el cual programaos el dispositivo.

29. Operación Booleana de una sola entrada y su propósito es negar.

30. Sistema numérico compuesto de dos elementos.

32. Nombre de proceso en donde se enlazan la captura esquemática con el dispositivo.

35. Nombre del creador del algebra booleana

36. Forma matemática en donde se expresan varios maxiterminos Productos de Suma.

40. Era de la Información y las Telecomunicaciones, 'Era ?.

41. Cualidad o circunstancia para que un evento ocurra.

42. Es la forma de identificar una operación booleana en un diagrama esquemático.

44. Sistema de numeración, que tiene como base el número 16.

Vertical

2. Instrumento de medida: Que la representa mediante variables continuas,

3. Procedimiento que se sigue en las ciencias para hallar la verdad y enseñarla.

4. Salir cierto y verdadero lo que se dijo o pronosticó.

5. Hardware Description Language iniciales.

7. Propiedad del algebra booleana en donde A(B C) = (A B) C.

8. Advanced Boolean Expression Language (iniciales).

9. Comando para obtener la simulación de un diseño test_?

10. Términos algebraicos que tengan las mismas letras y con igual exponente.

13. Su salida es cero cuando cualquier entrada es uno.

14. Recurso para comprobar el buen funcionamiento de un diseño antes de implementarlo físicamente.

17. Voltaje de Corriente Continua iniciales

18. Término producto que contiene todas las variables de la función ya sea afirmadas o negadas.

21. Forma matemática en donde se expresan varios miniterminos Suma de Productos

23. Matriz Lógica Genérica

25. La salida es uno cundo un número impar de variables de entrada es igual a uno.

28. Teorema que establece que AB+A´C+BC = AB+A´C.

31. Su salida es uno cuando cualquier entrada es cero.

32. Diodo emisor de luz iniciales en inglés.

33. La salida es cero solamente cuando todas sus entradas son cero.

34. Sistema numérico de base diez.

36. Nombre de la terminal de un circuito integrado en inglés.

37. Extensión del archivo de captura esquemática.

38. Opción entre dos cosas, una, otra o ambas.

39. Tierra o terminal negativa iniciales.

42. Considerado como el creador de la era digital Claude E. ?

43. Sistema de numeración Posicional: Que tiene como base el número ocho.



6

3.- Identidades

Obtenga la Ecuación y el Valor de la salida para las siguientes identidades

Ecuación Valor de salida

Ejemplo

A + B + A’ 1

1

2

3

4

5



7

4.- Operadores Lógicos

Considerando las operaciones And, Or, Nand, Nor y Exor todas ellas de tres

entradas resuelva lo siguiente:

a) Si las entradas son A=0, B=0 y C=0. Que operadores tendrán la salida igual a

uno:

A b c d

Nand y OR And y Nor Nand y Exor Nor y Nand

b) Si solo una de las tres entradas A, B o C toma el valor de uno:

A b c d

Nor, Or y Exor And, Nor y Exor Nand, Or y Exor Nand, And y Exor

c) Si dos de las tres entradas A, B o C toma el valor de uno:

A b c d

Or y Exor Nand, y Or And y Exor And y Or

d) Si las tres entradas A, B o C toman el valor de uno A=1, B=1 y C=1:

A b c d

And, Exor y Or Or y Exor, Nand Nand, Or y Exor And y Or y Nor

5.- Operaciones Booleanas.

Identifique la operación y dibuje el símbolo correspondiente a cada una de las siguientes aseveraciones:

Símbolo

a La Salida es Alta solamente cuando sus tres entradas son Bajas.

B La Salida es Baja cuando cualquiera de sus cuatro entradas es Baja

c La Salida es Alta solamente cuando sus dos entradas son diferentes



8

6.- Representación gráfica de las ecuaciones

Considere en los siguientes diagramas de tiempos las entradas A, B, C, y D y como

salidas S1, S2, S3, y S4, para determinar la función booleana (operador o ecuación)

corresponde cada una de las salidas mencionadas, tome en cuenta que las entradas

no están en orden numérico.

Ejemplo:

S1 = A’ + B’ + C

S2 = A B C

S3= A’ B’ C’ o ( A+B+C)’

S4=A’B’C’+A’BC’+AB’C+ABC’ o C’

S1= ____________________________

S2 =____________________________

S3=____________________________

S4 = ___________________________



9

7 Identificación de funciones Booleanas

Seleccione la respuesta correcta de las siguientes proposiciones:

a) .- La función F(X,Y) = X’ + X Y’ es igual a:

Y’ + X’ Y

Y + X Y’

X + X’ Y

X’ + X Y

b) .- La función F(A, B,C) = (A+B)(A’+C)(B+C) es igual a:

(A+B)(A+C’)

(A+B)(A’+C)

(A+B)(A’+C’)

(A+B’)(A’+C)

c) La función booleana F(x,y,z) =∑m (0, 2, 3, 7) puede ser expresada por:

x’y’z’ + x’yz’ + x’yz

x’y’z’ + x’yz’ + xyz

x’z’ + yz

x’z + yz’



10

8. - Manipulación algebraica

Recursos para la minimización de funciones Booleanas

Por medio de la manipulación algebraica se puede simplificar una Función Booleana y obtener su mínima expresión, para reducir así la complejidad del circuito a implementar, los recursos disponibles de este método algebraico se listan a continuación:

a).- Identidades

AND OR

A A=A A + A=A

A 0 =0 A + 0 = A

A 1 =A A + 1 =1

A A’ =0 A+A’ =1

b).- Factorización para la minimización, se efectúa entre dos términos semejantes y cuando solo cambia una variable y esta variable se elimina.

A B C + A’ B C= B C (A+A’) = B C

c).- Duplicando un término ya existente

A+A = A AB’C + AB’C + AB’C = AB’C

d).- Propiedad Distributiva

X+YZ = (X+Y) (X+Z) X(Y+Z)= X Y + X Z

e).- Teorema del consenso

And/Or Or/And

AB+A’C+BC = AB + A’C (A+B)(A’+C)(B+C)= (A+B)(A’+C)

f).-Teorema de D´Morgan

And AB = (A´+B’)’ And por Nor, negando las entradas

Nor (A+B) = A’ B’ Nor por And, negando las entradas

Or A+B = (A’ B’)’ Or por Nand, negando las entradas

Nand (AB)’ = A’+ B’ Nand por Or, negando las entradas

g).- Equivalencias del Exor y Exnor

A B = A’ B + A B’ (A B)’ = A’ B’ + A B



11

Obtenga la mínima expresión de los siguientes problemas por medio de

manipulación algebraica y compruebe el resultado con la solución propuesta.

1 Resultado

A’ + B’ + C + D

Procedimiento:

2 Resultado

F (A, B, C, D) = (A’+B+C’+D’)(A+B+C)(A+C+D’)(C’D’)’ A C ’D+ B C + C D’+A’ C

Procedimiento



12

3 Solución

A’B’C+(A+B+C’)’+A’B’C’D A’ B’ (C + D)

Procedimiento

4 Solución

F(X,Y,Z) = X’ Y’ Z’ + X’ Y’ Z+ X’ Y Z’ + X’ Y Z +X Y Z X´+ Y Z

Procedimiento



13

5 Solución

Z= XY’+X’Y’Q = Y’ (X+Q)

Procedimiento

6 Solución

a´b´c + a’ c d’ + b d a’ c + b d

Procedimiento



14

9.- Mapas de Karnaugh

Simplifique las siguientes funciones por mapas de Karnaugh obteniendo la mínima

expresión en las en las formas SOP (agrupando unos) y POS (agrupando ceros) y

compruebe sus resultados por medio del software LogicAid.

F1 (A,B,C,D) = m (0, 5, 7, 13, 15)

Resultados



15

F2 (A,B,C,D) =m (0, 4, 5, 6, 7,)



16

F3 (A,B,C,D) =A’ B + B’ C’ D’ + A C’ D + A C



17

F4 (A,B,C,D) = (B + D’ ) ( A’ +B’ +C )( A +B +C)( B +D)



18

Identifique los resultados de los Mapas de Karnaugh indicando a que número

de función corresponden.

F? Resultados SOP y POS

B C + A'B

(A'+ B'+ C + D)(A + B + C')(A + B + D')

B D' + B'D + A D' + C D'

A'B + A'C'D'

B D' + B'D + A B' + B'C

B (A'+ C)

B D' + B'D + A B' + C D'

A C + A D + B'C'D' + A'B

(B'+ D') (A + B + C + D )

A' (B + C') (B + D')

A B' + B C + B D + A'C'D'

B D' + B'D + A D' + B'C



19

10 Las ocho formas estándar

Actividad: Obtenga las ecuaciones mínimas y el diagrama en las formas estándar

And/Or, Or/And y And/Nor de la siguiente función:

a).- FX (A, B, C)= (A +C) (C + B) (A’ + B)

Forma Ecuación Mínima Diagrama

And/Or

Or/And

And/Nor



20

11.- Problema propuesto

Piedra, papel o tijera

Diseñe un sistema electrónico digital capaz de mostrar al ganador entre dos adversarios del tradicional concurso piedra, papel o tijera.

El sistema estará definido por las entradas de los jugadores A (A1, A0) y B (B1, B0) y dos salidas Ga y Gb

Se recomienda usar el siguiente código.

00 no hay propuesta

01 piedra

10 papel

11 Tijera

Se requiere de tres salidas SA, SB y N que indiquen que jugador gano, en el caso de que uno o los dos concursantes no tengan propuesta encenderá solo la salida N=1, el caso de empate deberá de mostrarse por medio de un 11 en la salidas SA y SB y N=0.

Ejemplo

Entradas Salidas

m A1 A0 B1 B= N SA SB

5 0 1 0 1 0 1 1

Para este diseño obtenga:

1.- el Dibujo del Diagrama de bloques



21

2.- La tabla de verdad.

Entradas Salidas

m A1 A0 B1 B0 N SA SB

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15



22

3 .- Las Ecuaciones Mínimas

.- Para cada una de las tres salidas N, SA y SB, obtenga las ecuaciones mínimas SOP y POS utilizando mapas de Karnaugh.



23

4.- Diagrama esquemático

Dibuje el diagrama esquemático de los dos resultados SOP y POS mínimos obtenidos para cada una de las salidas N, SA, SB.



24

5.- Las ecuaciones Mínimas

Obtenga las ecuaciones de la forma estándar And/Nor partiendo de los resultados mínimos SOP y POS y dibuje los Diagramas para cada una de las salidas N, SA, SB.



25

12.- Conclusiones de la actividad



26

Formulario

1.- Sistemas numéricos

Métodos:

N(x) →N(10) Multiplicar por la Base y Sumar (para números enteros)

N(x) →N(10) Fórmula General (preferentemente para números con decimales)

N(10) →N(X) Residuos (para números enteros)

N(10) →N(X) Extracción de potencias (preferentemente para números con decimales)

N(2) ↔N(8) O N(2) ↔N(16) Múltiplo

2.- Algebra Booleana a).- Identidades

AND OR

A A=A A+ A=A

A 0 =0 A +0 =A

A 1 =A A +1 =1

A A’ =0 A + A’ =1

b).- Factorización para la minimización Se efectúa entre dos términos semejantes y cuando cambia solo una variable y

esta variable se elimina: A B C D+ A’ B C D= B C D (A +A’)= B C D

c).- Duplicando un término ya existente A+A=A,

AB’+ AB’+ AB’= AB’ d).- Propiedad Distributiva

X+YZ = (X+Y) (X+Z) X(Y+Z)= XY+XZ

d).-Teorema del consenso

And/Or Or/And

AB+A’C+BC = AB + A’C (A+B)(A’+C)(B+C)= (A+B)(A’+C)



27

f).-Teorema de D´Morgan

And AB = (A´+ B’)’

And por Nor negando las entradas

Or A+B = (A’ B’)’

Or por Nand negando las entradas

Nor (A+B)’ = A’B’

Nor por And negando las entradas

Nand (A B)’ = A’+ B’

Nand por Or negando las entradas

g).- Igualdades del Exor y Exnor

A B = A’ B + A B’

(A B)’ = A’ B’ + A B



28

h) Mapas de Karnaugh

Reglas para el uso del Kmap

1.- Formar el menor número de grupos

2.- Cada grupo lo más grande posible

3.- Todos los unos deberán de ser agrupados

4.- Un solo uno puede formar un grupo

5.- Casillas de un grupo pueden formar parte de otro grupo

Grupo = Unos adyacentes enlazados (paralelogramos) en una cantidad igual a

una potencia entera de dos, eje. (1, 2, 4, 8,…).

Dos Variables Tres Variables Cuatro Variables

4.- Las ocho formas estándar

Minitérminos (SOP) Maxitérminos (POS)

And/Or

Or/And

Nand/Nand Nor/Nor

Or/Nand And/Nor

Nor/Or Nand/And



29

Ejemplo: obtener las formas And/Or, Or/And y And/Nor de la siguiente función

Booleana:

m A B C S

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 1

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1

Obteniendo las ecuaciones a partir de la tabla de verdad:

a) Miniterminos (unos de FS) en las formas canónica y SOP (And/Or)

b) Maxitérminos (ceros de FS) en sus formas canónica y POS (Or/And)

a) b)

FS (A,B,C) =∑m(1,2,4,5,7)

FS (A,B,C) = A’B’C+A’BC’+AB’C’+AB’C+ABC

FS (A,B,C) = πm(0,3,6)

FS (A,B,C) =(A+B+C)(A+ B’+ C’)(A’+B’+C)



30

También se pueden expresar las formas SOP y POS en forma simplificada por medio de mapas de Karnaugh (o LogicAid)

FS (A,B,C) = A C + A B’ +A’B C’ + B’C FS (A,B,C) =(A’+B’+C)(A+B’+C’)(A+B+C)

Para obtener la forma And/Nor partimos de la forma Or/And aplicando el teorema de

D’morgan en los dos niveles como se indica a continuación.

1.- Or por Nand negando las entradas

2.- And por Nor negando las entradas

3.- Se cancelan los negados al mismo nivel

(ABC’)’(A’BC)’ (A’B’C’)’ [(ABC’)’’+(A’BC)’’+ (A’B’C’)’’]’ [(ABC’)+(A’BC)+ (A’B’C’)]’

Actividad 6 - Universidad Autónoma de Nuevo Leónjagarza.fime.uanl.mx/Enero/Enero...

Documents

Transcript of Actividad 6 - Universidad Autónoma de Nuevo Leónjagarza.fime.uanl.mx/Enero/Enero...