ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA.

1. INTRODUCCION

El análisis dimensional es un método de análisis que parte de la premisa que debe existir una relación dimensionalmente homogénea entre las variables involucradas en la descripción de un fenómeno físico. Es un proceso mediante el cual se examinan las dimensiones de los fenómenos físicos y de las ecuaciones asociadas, para tener una nueva visión de sus soluciones.A partir de este análisis surge la importancia que tiene el uso de distintos parámetrosAdimensionales.El método presenta ventajas y desventajas:

Ventajas: Reducir el numero de variables Permite abordar problemas complejos Requiere de información mínima Simplifica la investigación, reduciendo la experimentación Dar una guía de como realizar experiencias sobre modelos a escala.

Desventajas:

Entrega una solución incompleta del problema en estudio No se gana un conocimiento respecto al mecanismo del fenómeno estudiado

Para describir cualquier fenómeno físico, necesitamos referirnos a ciertos conceptos oentidades físicas, tales como fuerza, masa, velocidad, aceleración, tiempo, temperatura,etc. Para cada una de estas entidades físicas se ha aceptado una unidad de medida.

En este último caso, no existen soluciones directas en muchos casos de problemas que se nos pueden plantear, por ejemplo, siempre tenemos el problema de la valoración de la altura de pérdidas (h fricción), por lo que se ha de recurrir al análisis experimental, es decir, al trabajo de laboratorio para poder encontrar las correlaciones que nos hacen falta.En general se aplican estas técnicas cuando se conocen las variables que intervienen en el problema (fenómeno físico), mientras que la relación que existe entre ellas se desconoce.

Pensemos que quiere determinar la fuerza de arrastre de una pelota lisa de diámetro D, que se mueve a una cierta velocidad v en un fluido viscoso. Otras variables involucradas son las que nos definen el fluido, es decir, la densidad y la viscosidad absoluta (por lo que podemos establecer que la fuerza de arrastre F, es una función desconocida de estas variables:

F = f ( D, v,

Para determinar experimentalmente la relación se requeriría un trabajo considerable, ya que sólo una de las variables entre paréntesis debe modificarse cada vez, lo que resulta la acumulación de muchas gráficas, el uso de diferentes pelotas con diferentes diámetros, y la utilización de muchos fluidos con diferentes densidades y viscosidades.

Lo que implica que para un problema físico casi pueril, una investigación larga y costosa. Así en nuestro caso, si hacemos 10 pruebas, entre dos variables, manteniendo el resto de variables constantes, deberíamos realizar, el siguiente número de pruebas experimentales:

Se supone que la fuerza de arrastre F tendrá la siguiente forma: F = f (ρ, μ, V, D)

El trabajo experimental para evaluar la función f sería el siguiente: Determinar la influencia de cada una de las 4 variables (ρ, μ,V, D)enF, manteniendo fijos los valores de las 3 variables restantes. Repetir cada prueba al menos para 10 valores diferentes de la variable

Modificando las 4 variables, el número de pruebas es 10x10x10x10

Trabajo experimental LARGO Y COSTOSO

El ANÁLISIS DIMENSIONAL permite agrupar las variables implicadas en un fenómeno en parámetros adimensionales, y expresar el problema en términos de la relación funcional de estos parámetros. En el caso anterior, solo hay dos parámetros adimensionales independientes, que como se verá después, son:

El ANÁLISIS DIMENSIONAL ha reducido el número de pruebas inicial de 10.000 a 10 La forma de la función f se puede determinar experimentalmente, pero con mucho menos trabajo experimental, ya que se reduce en número de variables independientes (en este caso de 4 a 1). Para variar el parámetro independiente, es suficiente variar la velocidad de la corriente de fluido, y basta con usar solo un fluido (por ejemplo el aire) y un solo tamaño de esfera.

En donde podemos representar en abscisas el diámetro, y en ordenadas la velocidad, representando cada curva, una determinada fuerza de arrastre, esto realizado para una densidad y una viscosidad de fluido constante, en total se han realizado 100 pruebas de laboratorio, después realizaríamos este mismo cuadro de pruebas para 10 densidades diferentes, con lo que ya tenemos 1000 pruebas, y después realizaríamos 10 series pruebas más para encontrar la relación con la viscosidad (viscosidad variable) con lo que obtendríamos un total de 10.000 pruebas experimentales.Para evitar esta tediosa tarea, se ha creado un procedimiento denominado análisis dimensional.

2. ANALISIS DIMENSIONAL.Mediante el análisis dimensional, el problema o fenómeno físico, se representa por una función de los denominados “grupos adimensionales”, en vez de por las variables que intervienen. Con este procedimiento, se reduce el número de variables, con lo que el coste de la experimentación disminuye.Nosotros podemos expresar una dimensión dependiente en función de un conjunto seleccionado de dimensiones básicas independientes, en nuestro caso como utilizamos el Sistema Internacional de unidades, estas dimensiones básicas son:

L, longitud. M, masa. T, tiempo. K, grados kelvin.

Así podemos expresar, por ejemplo, la velocidad dimensionalmente como:

vL

T

Como una longitud entre un tiempo.Se denomina grupo adimensional, aquel cuya dimensión es 1; es decir, cuando el producto de un grupo de cantidades expresadas dimensionalmente es igual a 1.Por ejemplo:

* ** *

*

v DM

L

L

TL

M

L T

3

1

Este grupo adimensional recibe un nombre particular, el número de Reynolds.La manera de relacionar estos grupos adimensionales y las variables que afectan a un fenómeno físico en cuestión, nos viene relacionado por el teorema de Buckingham o teorema de .

2.1 TEOREMA DE BUCKINGHAN

“Existe un número de parámetros adimensionales independientes fijo para un problema dado, y es igual a la diferencia entre número total de variables menos el número de dimensiones fundamentales.”

I = N –R

Donde: I: número de parámetros adimensionales independientesN: número de variables implicadas en el problema R: número de dimensionales fundamentales (Ej.: Masa, Longitud, Tiempo)

Si se sabe que un proceso físico es gobernado por una relación dimensionalmente homogénea que comprende a n parámetros dimensionales, tales como:

x1 = f (x2, x3,...., xn)

Donde las “x” son variables dimensionales, existe una relación equivalente que contiene un número (n - k) de parámetros adimensionales, tales como:

f’ (n-k)

Donde los “” son grupos adimensionales que se construyen a partir de las “x”. La reducción “k” generalmente es igual al número de dimensiones fundamentales contenidas en “x”, pero nunca mayor que él”.

El Teorema de Buckinghan establece que en un problema físico en el que se tienen n variables linealmente independientes, que incluye m dimensiones, las variables se pueden agrupar en (n-m) parámetros adimensionales, linealmente independientes.

Algunas de las variables que pueden intervenir en un determinado fenómeno son,

F, fuerza ; L, longitud ; u, velocidad ; densidad ; viscosidad dinámica ; g, gravedad ; cs velocidad del sonido ; tensión superficial ; kF conductividad térmica del fluido ; cF calor específico a presión constante ; hC coeficiente de convección.

Las dimensiones son, Longitud L, masa M, tiempo t y temperatura T.Las fuerzas F pueden ser,

Finercia (debida a un gradiente de presiones) Felástica Fgravedad Fviscosidad (rozamiento) Fcapilaridad (tensión superficial).

Si A1, A2,..., An son las variables consideradas, como presión, velocidad, viscosidad, etc., que se supone son esenciales a la hora de resolver un problema, podemos suponer vienen relacionadas mediante una expresión funcional de la forma:

F (A 1, A2,..., A n) = 0

Y si, 1, 2,..., n-m, representan los parámetros adimensionales que agrupan a las variables, A1, A2,..., An, que incluyen, entre todas ellas, las m dimensiones, el Teorema de Buckinghan establece la existencia de una ecuación, función de estos parámetros, de la forma:

f (1, 2,..., nm) = 0

El método que permite obtener los parámetros consiste en seleccionar m de las n variables Ai, las cuales pueden tener diferentes dimensiones, pero deben ser linealmente independientes, de forma que contengan entre todas ellas las m dimensiones, pudiéndose emplear como variables repetitivas al combinarlas con las variables A restantes, formándose así cada parámetro adimensional .

Por ejemplo se puede suponer que A1, A2 y A3 contienen las dimensiones (M, L, t), masa, longitud y tiempo, no necesariamente en cada una de ellas, pero sí en forma colectiva.

El primer parámetro adimensional es: 1 = A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4

El segundo parámetro adimensional es: 2 = A1 y1 A2y 2 A3 y3 A5

y así sucesivamente hasta el parámetro: nm = A1 z1 A2 z2 A3 z3 An

Los exponentes de estas ecuaciones se tienen que examinar de tal manera que cada parámetro resulte adimensional; se sustituyen las dimensiones de las variables Ai y los exponentes de M, L, t,... Seigualan a cero por separado, formándose un sistema de ecuaciones (tres para el ejemplo propuesto), contres incógnitas para cada parámetro , pudiéndose determinar los exponentes x, y, z, y por lo tanto, los parámetros correspondientes.

NOTA1.-El teorema Π sólo sienta la base teórica para afirmar que la reducción de N a R parámetros se puede hacer, pero no indica cómo hacerla, ni cuanto vale R. Ni tan siquiera existe una única reducción para cada problema.

2.-El conjunto de parámetro adimensionales debe escogerse de manera que sean INDEPENDIENTES. Aunque existe un número fijo de estos parámetros para cada problema, éstos se pueden combinar formando nuevos parámetros también adimensionales, pero que en este caso NO serán independientes

2.2 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PI.

El teorema pi, lo único que nos dice es el número mínimo de grupos adimensionales. Para la construcción completa de un sistema de grupos adimensionales, se debe seguir con el siguiente método:

1) Escribir una relación funcional para la relación dimensional que se investiga, asegurándose de incluir todos los parámetros dimensionales relevantes.Así podemos escribir la pérdida de altura por fricción (Hfricción) en una tubería recta de sección circular, que depende de:

Donde es la rugosidad absoluta de la tubería (dimensión longitud).

2) Determinar el número de parámetros adimensionales que se requieren construir.Para ello cada variable la expresamos dimensionalmente:Hfricción = LL = LD = LV = L/T = M/L3

= M/(L*T) = LEn donde tenemos 7 variables (n) y 3 dimensiones (k). Por tanto el número de grupos adimensionales que tendremos según el teorema de “pi” es de:

n – k = 7 – 3 = 4 grupos adimensionales.

3) Cálculo de los grupos adimensionales.

La relación funcional se expresa dimensionalmente, elevando las variables dependientes a coeficientes:

[L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d, [M*L-1*T-1]e, [L]f)

Como debe ser una ecuación dimensionalmente homogénea, el lado izquierdo de la igualdad tiene que tener la misma dimensión que el lado derecho de la igualdad, por tanto se cumple:

[L]1 = a + b + c – 3d – e + f

[T]0 = - c – e

[M]0 = d + e

Nos produce un sistema de 3 ecuaciones con 6 incógnitas, por lo que se escogen tres variables (que queramos que se repitan en los diferentes grupos adimensionales), y se ponen en función de las demás.En este caso escogeremos la densidad (d), la velocidad (c) y el diámetro (f):

d = - ec = - e1 = a + b – e – 3*(- e) – e + f1 = a + b + e + ff = 1 – a – b – e

Sustituyendo en la misma relación:

[L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]-e, [M*L-3]-e, [M*L-1*T-1]e, [L]1-a-b-e)

y agrupando las potencias se obtiene:

Con lo que hemos obtenido cuatro grupos adimensionales, tales como habíamos deducido por la aplicación del teorema de pi.

2.3 GRUPOS ADIMENSIONALES IMPORTANTES EN MECÁNICA DE FLUIDOS.

En todos los problemas relacionados con la Mecánica de Fluidos, aparece siempre un número determinado de grupos adimensionales. Veamos cuales son, y por qué son estos y no otros.Así, a nivel general, sabemos que la suma de fuerzas que actúan sobre un fluido, puede provocar una aceleración del mismo:

Esta fuerza de inercia se puede expresar como:

Las fuerzas que componen el sumatorio de fuerzas, son las másicas y las superficiales, y pueden ser:

a) Fuerzas másicas:1) Fuerzas debido a la gravedad:

b) Fuerzas superficiales:1) Fuerzas normales o de presión:

2) Fuerzas tangenciales o de fricción debido a la viscosidad:

3) Fuerzas tangenciales debido a la tensión superficial:

4) Fuerzas normales debido a la compresibilidad:

Sumando todas las fuerzas e igualando a las de inercia, obtenemos:

Esta es una expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:

Como intervienen 3 magnitudes básicas (masa, longitud y tiempo), se han de obtener 5 grupos adimensionales:Dividiendo la ecuación del por las fuerzas de inercia, obtendremos:

Estos cinco números adimensionales, en general, se les da otra forma y se les asigna unos nombres particulares:

Número de Reynolds.

; es el cociente entre las fuerzas de inercia y las de fricciones

producidas por la viscosidad.

Número de Euler.

; representa la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y

las de presión.

Número de Froude.

; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de

gravedad.

Número de Mach.

; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de

elasticidad. Siendo la velocidad del sonido en el fluido en cuestión.

Número de Weber.

; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las debidas a

la tensión superficial.

3. SEMEJANZAS DE MODELOS.

Muchas veces, con la experimentación; en vez de examinar un fenómeno físico, que ocurre en un objeto particular o en un conjunto de objetos, nos interesa estudiar un conjunto de fenómenos, sobre un objeto o conjunto de objetos. Por ejemplo, se quiere predecir el campo de presiones en un pilar de un puente que está sobre un río. Para ello tenemos dos opciones:

a) Construirlo a escala 1:1, y medir directamente las presiones. Si la resistencia es adecuada dejarlo, y si no, destruirlo y volverlo a construir adecuadamente.

b) Construir un modelo a escala, por ejemplo 1:60, y realizar pruebas en un laboratorio de hidráulica, y extrapolar los resultados para construir un pilar adecuado.

Como es obvio la opción a) es inviable y tendremos que recurrir a la opción b).Para ello deberemos relacionar el modelo a escala con el prototipo real, de alguna manera; para poder predecir el comportamiento de éste a partir de los resultados

obtenidos experimentalmente en el modelo a escala. Por ello debemos hablar de las leyes de semejanza.

3.1. – LEYES DE SEMEJANZA.

Con las herramientas del análisis dimensional pueden establecerse criterios de semejanza, muy útiles a la hora de realizar experimentos. En efecto, los prototipos de flujos que se diseñan y estudian -por ejemplo en una válvula de muy grandes dimensiones, en turbinas hidráulicas, en autos, en la circulación sanguínea, etc.- tienen a menudo condiciones geométricas o físicas que dificultan su ensayo desde un punto de vista técnico.Es posible llevar estas condiciones de flujos reales a condiciones de laboratorio más manejables.Para ello, la condición de semejanza es que los números adimensionales quegobiernan las leyes del fenómeno en estudio de un prototipo deberán ser los mismos que en un modelo de laboratorio. En símbolos: _mi = _pi.

La condición de semejanza asegurara semejanza geométrica, cinemática y dinámica, esto es:

Semejanza Geométrica: Modelo y prototipos son semejantes, uno es la escala de

otro. Esta relación deberá respetarse también en el caso de valores rugosidad,radios, etc. Semejanza cinemática: Las líneas de corriente son iguales y la razón

entre losmódulos de velocidad entre prototipo y modelo debe ser constantes en todo elcampo. Semejanza dinámica: La razón entre los módulos de las fuerzas

presentes en el flujo del prototipo y del modelo debe ser constantes en todo el campo.

a) El modelo ha de ser geométricamente igual que el prototipo.Por tanto, las longitudes L, superficies A y volúmenes V deben ser homólogos entre el prototipo y el modelo, y han de verificar la siguiente relación:

Siendo la escala del prototipo en relación al modelo.

b) El modelo ha de ser dinámicamente semejante al prototipo.Para que los fenómenos en el modelo y en el prototipo sean comparables no basta que los modelos de estructuras o máquinas hidráulicas sean geométricamente semejantes a los prototipos, sino que también los flujos, o sea las líneas de corriente, han de ser semejantes. Para ello es necesario que las velocidades, aceleraciones, y fuerzas sean semejantes.

Cuando se cumple la semejanza geométrica y dinámica se dice que el modelo tiene semejanza cinemática con el prototipo.Por lo tanto para una semejanza completa, supuesta la intervención de todas las fuerzas señaladas anteriormente, se debería cumplir:

Eup = Eum; Frp = Frm; Map = Mam; Rep = Rem; Wep = Wem

Esta condición sólo se cumple cuando el modelo y el prototipo tienen el mismo tamaño.Afortunadamente, en un buen número de casos puede prescindirse de la influencia de tres de las fuerzas y consecuentemente, de sus tres adimensionales correspondientes.

3.2 MODELACION

El conocer que ciertas leyes entre magnitudes dimensionales se cumplen para otras adimensionales es muy útil en la modelación; un prototipo es un objeto que se desea estudiar mientras que un modelo lo representa a una escala menor o mayor, por ejemplo una maqueta de un edificio, un barco de plástico o un avión de metal son modelos de sus correspondientes objetos reales.Si se ha establecido que una ley entre magnitudes dimensionales es equivalente a una entre magnitudes adimensionales e involucra a la magnitud adimensional ¦ = ha en donde h y a se dan en metros, también se cumple para h y a dados en centímetros, es decir, para un objeto semejante pero de menores dimensiones; se habla entonces de objetos similares.La similaridad del prototipo y del modelo debe darse a varios en cuanto a su forma las estructuras deben ser similares, lo mismo se debe cumplir para las trayectorias que describan prototipo y modelo, si realizan movimientos, y para las fuerzas involucradas, que deben ser proporcionales; así, si la segunda ley de Newton se cumple para el prototipo, se cumplirá también para el modelo y es posible entonces experimentar con este para conocer lo que pudiera pasarle realmente al prototipo; cuando hay similitud geométrica, cinemática y dinámica se habla de similitud dinámica; por ejemplo en el caso de fluidos esta se da a través de las magnitudes adimensionales conocidas como numeró de Reynolds (razón de fuerzas inerciales y viscosas), de Froude (que expresa la relación entre fuerzas de inercia y gravedad), de Weber (razón de fuerzas de inercia y tensión superficial) y de Mach (razón de fuerzas inerciales y elásticas), que deben ser las mismas para modelo y prototipo.

Prototipo

Modelo

1.-Elaborar un listado con las variables significativas implicadas en el problema.2.-Calcular la expresión dimensional equivalente de cada una de las variables obtenidas en el punto 1.3.-Determinar las dimensiones fundamentales usadas en las variables del problema.4.-Determinar el número de parámetros adimensionales independientes en los que se pueden agrupar las variables del problema mediante el Teorema de Π. 5.-Generar los parámetros adimensionales.6.-Comprobar que cada parámetro adimensional obtenido no tiene dimensiones

Conocer bien la física del fenómeno- Determinar el número de variables involucradas (n)- Seleccionar las variables básicas (r ), o base repetitiva (las dimensiones delas variables básicas deben ser independientes)- Formar (n-r) parámetros adimensionales, de tal manera que cada uno deellos involucre una combinación de las variables básicas

Las magnitudes son parámetros mesurables. Según la  forma de medirlas, pueden ser:- fundamentales: se miden por comparación directa con una réplica de la unidad elegida.- derivadas: se obtienen a partir de productos o cocientes de magnitudes fundamentales.

Un conjunto de Magnitudes Fundamentales y sus Unidades constituye un Sistema de Unidades. Así, por ejemplo, en el Sistema Internacional de Unidades, entre otras, son magnitudes fundamentales: longitud (L), masa (M), tiempo (T) y temperatura (θ ), siendo sus unidades  m , Kg. ,  s y K , respectivamente.

Las magnitudes según su cualidad, pueden ser:- escalares: quedan definidas conociendo su valor numérico y las unidades en que se expresa éste.- vectoriales: a parte de conocer su valor numérico y las unidades en que se expresa (módulo), es necesario conocer su dirección y sentido, para que la magnitud quede perfectamente definida.

El Análisis dimensional es una herramienta eficaz para el estudio de múltiples problemas físicos, tanto de índole teórico como experimental. El Análisis Dimensional se basa en que las ecuaciones físicas deben ser homogéneas, es decir, las dimensiones de las magnitudes a ambos lados de una igualdad deben ser idénticas.El método a seguir consiste en reducir cada una de las magnitudes presentes en la igualdad a productos y cocientes entre magnitudes fundamentales.

APLICACIONES

MODELADO DE BARCOS

Escala:

Para semejanza se debe cumplir que:

Por lo tanto, ajustando la velocidad en el modelo se garantiza la semejanza de las fuerzas gravitacionales:

Toman importancia los números de Reynolds y Froude:

Por lo tanto, ajustando la viscosidad cinemática en el modelo se garantiza la semejanza de las fuerzas viscosas:

No existe tal fluido!

Fig. 1 cinemática viscosa común de los fluidos (A presión atmosférica) en función de la temperatura

Conclusión: No se puede obtener un modelo a escala que sea semejante completamente.

Aproximación:_ Patrón de las ondas de superficie (resistencia de las ondas) coincide modelo – prototipo si Frm = Frp Ok, viable._ Arrastre viscoso se determina usando métodos analíticos._ La resistencia de onda superficial en el modelo se determina de la diferencia entre el arrastre total y el arrastre estimado por fricción.

Fig. 2 Datos de prueba de 1:80 escala modelo de la armada de misiles de los Estados Unidos fragata Oliver Hazard Perry (FFG-7). (Datos de prueba de la Academia Hidromecánica, cortesía del profesor Bruce Jonson

Nota: 1) Resistencia total2) Resistencia de viscosidad3) Resistencia de olas

1.-Elaborar un listado con las variables significativas implicadas en el problema.2.-Calcular la expresión dimensional equivalente de cada una de las variables obtenidas en el punto 1.3.-Determinar las dimensiones fundamentales usadas en las variables del problema.4.-Determinar el número de parámetros adimensionales independientes en los que se pueden agrupar las variables del problema mediante el Teorema de Π. 5.-Generar los parámetros adimensionales.6.-Comprobar que cada parámetro adimensional obtenido no tiene

LEYES DE BOMBAS

Una bomba centrífuga tiene _ = 80 % en su punto de diseño, velocidad específica Ns = 2000 (rpm, gpm, ft). El diámetro del impulsor es 8”. A condiciones de flujo del punto de diseño, Q = 300 gpm de agua @ 1170 rpm. Para obtener una mayor capacidad se ajusta la velocidad a 1750 rpm.

_Determine el comportamiento de la bomba a esta condición, Q, h, W._Muestre que Ns se mantiene constante.

Análisis: Como el flujo es semejante, los coeficientes de caudal,potencia y carga se mantendrán constantes

Carga:

scu N2000 scu

Potencia W2& g Q2 H2 o,

Note que Ns,cu se mantiene constante:

BIBLIOGRAFIA

Frank white 5ta edición Fox, McDonald 1 & Pritchard http://www.amf.uji.es/Teoria_Tema5_910.pdf http://eime.univalle.edu.co/cursos/mec_fluidos/

ch05_Analisis_dimensional_y_semejanza.pdf