ANÁLISIS DIMENSIONAL Y MODELADO

Introducción

En la mecánica de los fluidos es posible obtener importantes resultados a partir de un enfoque dimensional del flujo fluido. Las variables involucradas en cualquier situación física real pueden ser agrupadas en un cierto número de grupos adimensionales independientes los cuales permiten caracterizar fenómeno físico.

La caracterización de cualquier problema mediante grupos adimensionales, se lleva cabo mediante un método denominado análisis dimensional.

El uso de la técnica de análisis dimensional adquiere relevancia sobre todo en la planificación de experimentos y presentación de resultados en forma compacta, sin embargo se utiliza con frecuencia en estudios de tipo teórico.

Esencialmente, el análisis dimensional es una técnica que permite reducir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado.

Por otra parte el análisis dimensional permite relacionar los datos medidos en u modelo experimental con la información requerida para el diseño de un prototipo a escala real. Al proporcionar las leyes de escala correspondientes, cuyo componente principal es la similitud geométrica y la igualdad de los parámetros adimensionales que caracterizan el objeto de estudio, entre modelo y prototipo.

Sin embargo debe quedar claro que la técnica del análisis dimensional no puede predecir qué variables son importantes ni permite explicar el mecanismo involucrado en el proceso físico. Si no es con ayuda de las pruebas experimentales. Pese a ello constituye una valiosa herramienta para el ingeniero mecánico.

En este capítulo se muestran medios de evaluación de los parámetros adimensionales y ciertos aspectos de similitud para predecir el comportamiento de flujo de un equipo en base a los resultados experimentales obtenidos de modelos a escala de laboratorio.

Dimensiones, unidades y homogeneidad dimensional.

Dimensiones y Unidades

En los cursos de física básica el estudiante de ingeniería ha aprendido a manejar sistemas de dimensiones y unidades, por lo que seguramente estos conceptos le resultan muy familiares. Sin embargo dada la importancia de este tema en la solución de problemas de mecánica de fluidos que exigen respuestas concretas, se presenta en estas notas un breve repaso de dimensiones y unidades.

En la mecánica de fluidos, como en otras ramas de las ciencias de ingeniería, se usan magnitudes de diferente naturaleza con la característica común de que son susceptibles de medición. Unas son de naturaleza abstracta, como el tiempo, la longitud, la velocidad, etc. y otras son una medida de las manifestaciones moleculares globales de las sustancias como por ejemplo: la densidad, la presión, la temperatura, etc.

Un grupo pequeño de estas magnitudes se seleccionan como magnitudes independientes (tabla 1.1) las mismas que sirven de base para definir el grupo de magnitudes dependientes (tabla 1.2). La relación entre las magnitudes dependientes e independientes (fundamentales) se establece mediante los principios y/o las definiciones. Así la velocidad se relaciona con la longitud y el tiempo mediante la definición de velocidad y la fuerza se relaciona con la masa, la longitud y el tiempo mediante la segunda ley de Newton.

Cada una de las magnitudes utilizadas en la mecánica está asociada con una dimensión física, se puede decir que la dimensión es la medida de una magnitud física. En tanto que la unidad es cantidad numérica que se le asigna a una dimensión y cuyo valor depende del sistema de unidades utilizado. Lo que significa que a una dimensión dada se le pueden asociar diferentes números. Así por ejemplo la dimensión de la aceleración de la gravedad es L/θ2 pero la expresión numérica puede ser: 9.81 o 32.2 según el sistema de unidades que se use.

En este cuaderno de apuntes se usa con preferencia el Sistema Internacional de unidades (SI). Pero debido a que todavía existe en las industrias de nuestro medio mucha literatura técnica como manuales de operación, de diseño, etc. donde se utiliza el sistema británico de unidades se recomienda al estudiante revisar este sistema de unidades.

Homogeneidad Dimensional

Todos hemos escuchado el viejo refrán: “No puedes sumar manzanas con naranjas” En realidad ésta es una expresión simplificada de una ley matemática más global y fundamental para ecuaciones, la Ley de homogeneidad dimensional, que se enuncia como:

Todo término aditivo en una ecuación debe tener las mismas dimensiones.

Considere, por ejemplo, el cambio en energía total de un sistema cerrado compresible simple de un estado y/o tiempo (1) a otro (2), como se ilustra en la figura.

El cambio en energía total del sistema está dado por:

Cambio de energía total de un sistema: ……. EC.1

Donde E tiene tres componentes: energía interna (U), energía cinética (EC) y energía potencial (EP). Dichos componentes se pueden escribir en términos de la masa del sistema (m); las cantidades mensurables y las propiedades termodinámicas en cada uno de los dos estados, como la velocidad (V), elevación (z) y la energía interna específica (u) y la conocida constante de aceleración gravitacional (g).

……… EC.2

Es sencillo verificar que el lado izquierdo de la ecuación 1 y los tres términos aditivos en el lado derecho de la ecuación 1 tienen las mismas dimensiones: las de energía. Cuando se usan las definiciones de la ecuación 2, se escriben las dimensiones primarias de cada término,

Si en alguna etapa de un análisis se encuentra uno mismo en una situación en la que dos términos aditivos en una ecuación tienen diferentes dimensiones, esto sería una clara indicación de que se ha cometido un error en alguna etapa anterior de éste. Además de homogeneidad dimensional, los cálculos son válidos sólo cuando las unidades también son homogéneas en cada término aditivo. Por ejemplo, las unidades de energía en los términos anteriores pueden ser J, N · m o kg · m2/s2, todos los cuales son equivalentes. Sin embargo, suponga que se usaron kJ en lugar de J para uno de los términos. Este término estaría desfasado por un factor de 1 000 en comparación con los otros términos. Es aconsejable escribir todas las unidades cuando se realicen cálculos matemáticos con la finalidad de evitar tales errores.

Análisis Dimensional y Similitud

Eliminar las dimensiones de una ecuación por medio de análisis por inspección es útil sólo cuando uno sabe con cuál ecuación comenzar. Sin embargo, en muchos casos en la ingeniería de la vida real, las ecuaciones o no se conocen o son demasiado difíciles de resolver; la mayoría de las veces la experimentación es el único método de obtener información confiable. En la mayoría de los experimentos, para ahorrar tiempo y dinero, las pruebas se realizan en un modelo a escala geométrica, en lugar de en un prototipo de tamaño real. En tales casos, se debe tener cuidado de escalar adecuadamente los resultados. Aquí se introduce una poderosa técnica llamada análisis dimensional. Aunque de manera usual se piensa en la mecánica de fluidos, el análisis dimensional es útil en todas las disciplinas, especialmente cuando es necesario diseñar y realizar experimentos. Se alienta al lector a usar esta poderosa herramienta también en otras materias, no sólo en la mecánica de fluidos. Los tres propósitos principales del análisis dimensional son:

• Generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos (físicos y/o numéricos) y en el reporte de los resultados experimentales.

• Obtener leyes de escalamiento de modo que se pueda predecir el desempeño del prototipo a partir del desempeño del modelo.

• Predecir (a veces) las tendencias en la relación entre parámetros.

Antes de estudiar la técnica del análisis dimensional, primero se explica el concepto subyacente de análisis dimensional: el principio de similitud. Existen tres condiciones necesarias para similitud completa entre un modelo y un prototipo. La primera condición es la similitud geométrica: el modelo debe tener la misma forma que el prototipo, pero se le puede escalar por algún factor de escala constante. La segunda condición es la similitud cinemática, lo que significa que la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser proporcional (por un factor de escala constante) a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo. Específicamente, para similitud cinemática la velocidad en puntos correspondientes debe escalar en magnitud y debe apuntar en la misma dirección relativa. La similitud geométrica se puede considerar como equivalencia en escala de longitud y la similitud cinemática como equivalencia en escala de tiempo. La similitud geométrica es un requisito para la similitud cinemática. Tal como el factor de escala geométrica puede ser menor que, igual a, o mayor que uno; del mismo modo puede ser el factor de escala de velocidad. El factor de escala geométrico es menorque uno (el modelo es más pequeño que el prototipo), pero la escala de velocidad es mayor que uno (las velocidades alrededor del modelo son mayores que las que están alrededor del prototipo). Recuerde que las líneas de corriente son fenómenos cinemáticos; por lo tanto, el patrón de líneas de corriente en el flujo del modelo es una copia a escala geométrica de las líneas en el flujo del prototipo cuando se logra la similitud cinemática.

Fig. La similitud cinemática se logracuando, en todas las posiciones, lavelocidad en el flujo del modelo esproporcional a la de lascorrespondientes posiciones en el flujodel prototipo, y apunta en la mismadirección.

La tercera y más restrictiva condición de similitud es la de similitud dinámica. La similitud dinámica se logra cuando todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo equivalencia en escala de fuerza). Al igual que con las similitudes geométrica y cinemática, el factor de escala para fuerzas puede ser menor que, igual a, o mayor que uno. Por ejemplo, el factor de escala de fuerza es menor que uno dado que la fuerza sobre el edificio modelo es menor que el del prototipo. La similitud cinemática es una condición necesaria pero insuficiente para similitud dinámica. Por lo tanto, es posible para un flujo de modelo y un flujo de prototipo lograr tanto similitud geométrica como cinemática, pero no similitud dinámica. Para garantizar similitud completa deben existir las tres condiciones de similitud.

En un campo de flujo general, la similitud completa entre un modelo y un prototipo se logra sólo cuando existen similitudes geométricas, cinemática y dinámica.

Se usa la letra griega mayúscula pi ( ) para denotar un parámetro adimensional. El lector ya está familiarizado con una , a saber, el número de Froude, Fr. En un problema general de análisis dimensional, existe una que se llama dependiente, a la que se le da la notación 1. El parámetro 1 es, en general, una función de otras varias , que se llaman independientes. La relación funcional es:

…… EC. 3donde k es el número total de

Considere un experimento en el que un modelo a escala se pone a prueba para simular un flujo de prototipo. Para garantizar la similitud completa entre el modelo y el prototipo, cada independiente del modelo (subíndice m) debe ser idéntico a la correspondiente

independiente del prototipo (subíndice p); es decir:

Para garantizar similitud completa, el modelo y el prototipo deben ser geométricamente similares, y todos los grupos independientes deben coincidir entre modelo y prototipo.

En estas condiciones, se garantiza que la dependiente del modelo se iguale también con la dependiente del prototipo . Matemáticamente, se escribe un enunciado condicional para lograr similitud,

……EC.4Considere, por ejemplo, el diseño de un nuevo auto deportivo, cuya aerodinámica se pondrá a prueba en un túnel de viento. Para ahorrar dinero, lo ideal es probar un modelo pequeño, escalado geométricamente, del auto en lugar de un prototipo a tamaño real. En el caso de la fuerza de arrastre sobre un automóvil, se evidencia que, si el flujo se aproxima como incompresible, sólo existen dos en el problema:

….EC.5

El procedimiento para generar dichas se expone en la siguiente sección. En la ecuación 5, FD es la magnitud de la fuerza de arrastre sobre el auto, p es la densidad del aire, V es la velocidad del auto (o la velocidad del aire en el túnel de viento), L es la longitud del auto y es la viscosidad del aire. 1 es una forma no estándar del coeficiente de arrastre y 2 es el número de Reynolds, Re. El lector observará que muchos problemas en mecánica de fluidos involucran un número de Reynolds

El número de Reynolds es el parámetro adimensional más útil y conocido en toda la mecánica de fluidos.

En el problema a mano sólo existe una independiente, y la ecuación 4 garantiza que,

si las independientes coinciden (los números de Reynolds coinciden:

entonces las dependientes también coinciden Esto permite a los ingenieros medir la fuerza de arrastre sobre el auto modelo y luego usar este valor para predecir la fuerza de arrastre sobre el auto prototipo.

Método de repetición de variables y el teorema Pi de Buckingham

Método de repetición de variables

El lector ha visto varios ejemplos de la utilidad y poder del análisis dimensional. Ahora está preparado para aprender cómo generar los parámetros adimensionales; es decir: las . Existen varios métodos para este propósito, pero el método más popular (y más simple) es el método de repetición de variables, popularizado por Edgar Buckingham (1867-1940). El método lo publicó por primera vez el científico ruso Dimitri Riabouchinsky (1882-1962) en 1991. Se puede considerar a este como un procedimiento paso a paso o “receta” para obtener parámetros adimensionales. Existen seis pasos, que se mencionan concisamente en la figura y con más detalle en la Tabla 7-2. Dichos pasos se explicarán con mayor detalle conforme se trabaje a través de algunos problemas ejemplo.

Como ocurre con la mayoría de los procedimientos nuevos, la mejor forma de aprender es mediante ejemplos y práctica. Como un primer ejemplo simple, considere una bola que cae en un vacío, como se comentó en la Sección 7-2. Imagine que no sabe que la ecuación 7-4 es apropiada para este problema ni que conoce mucha física en relación con los objetos que caen. De hecho, suponga que todo lo que sabe es que la elevación

instantánea z de la bola debe ser función del tiempo t, de la velocidad vertical inicial , de la elevación inicial y de la constante gravitacional g. La belleza del análisis dimensional es que la único otro dato que se necesita conocer son las dimensiones primarias de cada una de dichas cantidades. Conforme se avance a través de cada paso del método de repetición de variables, se explicarán algunas de las sutilezas de la técnica con más detalle utilizando como ejemplo la bola que cae.

TABLA 7-2Descripción detallada de los seis pasos del método de repeticiónde variables*Paso 1

Haga una lista de los parámetros (variables dimensionales, variablesadimensionales y constantes dimensionales) y cuéntelos. Sea n el númerototal de parámetros en el problema, inclusive la variable dependiente.Cerciórese de que cualquier parámetro independiente en la lista sea dehecho independiente de los demás; es decir: no se le puede expresar ensus términos. (Por ejemplo, no incluya el radio r y el área , porquer y A no son independientes.)

Paso 2

Haga una lista con las dimensiones primarias para cada uno de los n parámetros.

Paso 3

Suponga la reducción j. Como primera suposición, haga j igual al númerode dimensiones primarias representadas en el problema. El númeroesperado de (k) es igual a n menos j, de acuerdo con el teorema Pi deBuckingham,Teorema Pi de Buckingham: k =n - j EC.6Si en este paso, o durante algún paso subsecuente, el análisis no funciona,verifique que haya incluido suficientes parámetros en el paso 1. Deotro modo, regrese y reduzca j por uno e intente de nuevo.

Paso 4

Elija los j parámetros repetitivos que usará para construir cada P. Dado quelos parámetros repetitivos tienen el potencial para aparecer en cada cerciórese de elegirlos atinadamente (Tabla 7-3).

Paso 5 Genere las una a la vez mediante el agrupamiento de los j parámetros

repetitivos con uno de los parámetros restantes, y fuerce el producto a seradimensional. De esta manera, construya todas las k Por costumbre,la primera ,designada 1, es la dependiente (la que está en el ladoizquierdo de la lista). Utilice las como sea necesario para lograr establecergrupos adimensionales (Tabla 7-5).

Paso 6 Verifique que todas las de hecho sean adimensionales. Escriba la relación

funcional final en la forma de la ecuación 3.* Éste es un método paso a paso para encontrar los grupos adimensionales cuando se realiza un análisis dimensional.

Paso 1

En este problema existen cinco parámetros (variables dimensionales, variables adimensionales y constantes dimensionales); n = 5. Se mencionan de manera funcional, con la variable dependiente citada como función de las variables Independientes y constantes:

Paso 2

Aquí se presenta una lista con las dimensiones primarias de cada parámetro. Se recomienda escribir cada dimensión con exponentes porque esto ayuda después con el álgebra.

Paso 3Como primera suposición, j se hace igual a 2, el número de dimensiones primariasrepresentadas en el problema (L y t).

Si este valor de j es correcto, el número de j es correcto, el número de predicho por el teorema Pi de Buckingham es:

Número esperado de k = n - j = 5 - 2 = 3

Paso 4Es necesario elegir dos parámetros repetitivos porque j = 2. Dado que con frecuencia ésta es la parte más difícil (o al menos la más misteriosa) del método de repetición de variables, en la Tabla 7-3 se indican algunos lineamientos acerca de cómo elegir los parámetros repetitivos.Cuando se siguen los lineamientos de la Tabla 7-3 de la página siguiente, la selección

más apropiada de dos parámetros repetitivos es

Paso 5Ahora se combinan dichos parámetros repetitivos en productos con cada uno de los parámetros restantes, uno a la vez, para crear las .La primera siempre es la dependiente y se forma con la variable dependiente z.

….EC.6Donde a1 y b1 son exponentes constantes que es necesario determinar. Las dimensiones primarias del paso 2 se aplican a la ecuación 7-15 y se fuerza a la a ser adimensional cuando se establece el exponente de cada dimensión primaria en cero:

Dado que las dimensiones primarias son, por definición, independientes unas de otras, se igualan los exponentes de cada dimensión primaria de manera independiente para resolver los exponentes a1 y b1.

La ecuación 6 entonces se convierte en

….EC.7

TABLA 7-3Lineamientos para elegir parámetros repetitivos en el paso 4 del método de repetición de variables*Lineamiento Comentarios y aplicación a este problema1. Nunca tome la variable dependiente.De otro modo, podría aparecer en todaslas , lo que es indeseable.

En este problema no se puede elegir z, sino que se debe elegir de entre los restantes cuatro parámetros. Por lo tanto, debe elegir dos de los siguientes parámetros:

2. Los parámetros repetitivos elegidos nodeben ser susceptibles de formar ellosmismos un grupo adimensional. De otromodo, sería imposible generar el restode las .

En este problema, cualesquiera de los parámetros independientes sería válido de acuerdo con este lineamiento. Sin embargo, para propósitos ilustrativos,suponga que se tomaron tres en lugar de dos parámetros repetitivos. No podría, por ejemplo, elegir porque pueden formar una por su cuenta

3. Los parámetros repetitivos elegidos debenrepresentar todas las dimensionesprimarias en el problema.

Suponga, por ejemplo, que existieran tres dimensiones primarias (m, L y t) y se tuvieran que elegir dos Parámetros repetitivos. No podría elegir, por decir, unalongitud y un tiempo, porque la dimensión primaria masa no estaría representada en las dimensiones de los parámetros repetitivos. Una elección apropiada sería una densidad y un tiempo, que en conjunto representan las tres dimensiones primarias en el problema.

4. Nunca escoja parámetros que ya seanadimensionales. Éstos ya son , por su cuenta.

Suponga que un ángulo u fuese uno de los parámetros independientes. No se podría elegir u como un parámetro repetitivo pues los ángulos no tienen dimensiones (radián y grado son unidades adimensionales). En tal caso, una de las ya se conoce, a saber, u.

5. Nunca escoja dos parámetros con lasmismas dimensiones o con dimensionesque difieran sólo por un exponente.

En este problema, dos de los parámetros, z y ,tienen las mismas dimensiones (longitud). No se pueden elegir ambos parámetros. (Note que la variable dependiente z ya se ha eliminado por el lineamiento 1.) Suponga que un parámetro tiene dimensiones de longitud y otro p tiene dimensiones de volumen. En el análisis dimensional, el volumen sólo contiene una dimensión primaria (longitud) y no es dimensionalmente distinto de la longitud: no se pueden elegir ambos de estos parámetros.

6. Siempre que sea posible, elija constantesdimensionales sobre las variables dimensionales, de modo que sólo una contenga la variable dimensional.

Si se elige el tiempo t como un parámetro repetitivo en el problema presente, aparecería en las tres , Aunque esto no sería erróneo, no sería inteligente porque se sabe que, finalmente, se quiere cierta altura adimensional como una función de algún tiempo adimensional y otro(s) parámetro(s) adimensional(es). A

partir de los cuatro parámetros independientes, esto restringe a

7. Escoja parámetros comunes porqueellos aparecen en cada una de las .

En problemas de flujo de fluido por lo general se elige una longitud, una velocidad y una masa o densidad. No es aconsejable escoger los parámetros menos comunes como la viscosidad u o la tensión superficial ss,porque en general no se querría que m o ss aparecieran en cada una de las ,En este problema, son elecciones más inteligentes que g.

8. Escoja parámetros simples sobre losparámetros complejos siempre que seaposible.

Es mejor escoger parámetros con sólo una o dos dimensiones básicas (porejemplo, una longitud, un tiempo, una masa o una velocidad) en lugar deparámetros que estén formados por varias dimensiones básicas (por ejemplo,una energía o una presión).

*Estos lineamientos, aunque no son infalibles, ayudan a escoger parámetros repetitivos que usualmente conducen a establecer grupos dimensionales con esfuerzo mínimo.

De manera similar se crea la primera independiente ( 2), por medio de la combinación de los parámetros repetitivos con la variable independiente t.

Cuando se igualan los exponentes:

Por lo tanto, 2 es

………EC.8

Finalmente, se crea la segunda independiente ( 3) cuando se combinan los parámetros repetitivos con g y fuerza a ser adimensional.

……..EC.9

Está garantizado que los grupos queresultan del método de repetición devariables son adimensionales porquese fuerzan que sean cero losexponentes globales de las sietedimensiones primarias

Se han encontrado tres , pero en este punto es prudente examinarlas para ver si se necesita alguna operación. Inmediatamente se ve que 1 y 2 son lo mismo que las variables adimensionales z* y t* definidas por medio de la ecuación 7-6: para ellas no se necesita manipulación. Sin embargo, se reconoce que la tercera se debe elevar a la Potencia de para ser de la misma forma que un parámetro adimensional establecido, es decir, el número de Froude de la ecuación 7-8:

……EC.10

Con frecuencia es necesaria dicha operación para poner las en la forma apropiada establecida. La de la ecuación 9 no está equivocada, y ciertamente no hay ventaja matemática de la ecuación 10 sobre la ecuación 9. En lugar de ello, es preferible decir que la ecuación 10 es más “socialmente aceptada” que la ecuación 9 . porque es un parámetro adimensional establecido y nombrado que se usa comúnmente en la literatura. En la Tabla 7-4 se mencionan algunos lineamientos para trabajar con grupos

adimensionales en parámetros adimensionales establecidos. En la tabla 7-5 se indican algunos de los parámetros adimensionales establecidos, la mayoría reciben su nombre en honor de un científico o ingeniero notable. Por ningún motivo esta lista es exhaustiva. Siempre que sea posible, debe utilizar sus

como sea necesario con la finalidad de convertirlas en parámetros adimensionales establecidos.

Paso 6Debe comprobar dos veces que las de hecho son adimensionales. Esto lo puede verificar por su cuenta para este ejemplo. Finalmente está listo para escribir la relación funcional entre los parámetros adimensionales. Cuando se combinan las ecuaciones 7,8,y 9 en la forma de la ecuación 3.

O, en términos de las variables adimensionales z* y t* definidas con anterioridad por la ecuación 3. y la definición del número de Froude,

……EC.11

Es útil comparar el resultado del análisis dimensional, ecuación 11 con el resultado analítico exacto, ecuación 7-10. El método de repetición de variables predice de manera adecuada la relación funcional entre grupos adimensionales. Sin embargo:

El método de repetición de variables no puede predecir la forma matemáticaexacta de la ecuación.

Pruebas experimentales y similitud incompleta

Una de las aplicaciones más útiles del análisis dimensional está en el diseño de experimentos físicos y/o numéricos, y en el reporte de los resultados de tales experimentos. En esta sección se tratan ambas aplicaciones y se puntualizan situacionesen las que la similitud dinámica completa no es alcanzable.

Configuración de un experimento y correlación de los datos experimentales

Como ejemplo genérico, considere un problema en el que existan cinco parámetros originales (uno de los cuales es el parámetro dependiente). Se lleva a cabo un conjunto completo de experimentos (llamado matriz de prueba factorial completa) para probar toda posible combinación de varios niveles de cada uno de los cuatro parámetros independientes. Una prueba factorial completa con cinco niveles de cada uno de los cuatro parámetros independientes exigiría 54 = 625 experimentos. Aunque las técnicas de diseño experimental (matrices de prueba factorial fraccional; ver Montgomery, 1996) pueden reducir significativamente el tamaño de la matriz de prueba, el número de experimentos necesario todavía sería grande. Sin embargo, si se supone que en el problema se representan tres dimensiones primarias, se puede reducir el número de parámetros de cinco a dos (k = 5 – 3 = 2 grupos adimensionales), y el número de parámetros independientes de cuatro a uno. Por lo tanto, para la misma resolución (cinconiveles de prueba de cada parámetro independiente) se necesitaría entonces realizar un total de sólo 51 = 5 experimentos. El lector no tiene que ser un genio para darse cuenta de que sustituir 625 experimentos por 5 experimentos tiene un costo efectivo y puede ver por qué es prudente realizar un análisis dimensional antes de realizar un experimento.

Al continuar con el estudio de este ejemplo genérico (un problema de dos ), ya que los experimentos estén completos, se grafica el parámetro adimensional Dependiente (

1) como función del parámetro adimensional independiente ( 2), como en la figura 7-37. Entonces se determina la función que relaciona las por medio de la realización de un análisis de regresión sobre los datos. Si es afortunado, los datos se pueden correlacionar linealmente. Si no, puede intentar regresión lineal sobre coordenadas log-lineal o log-log, ajuste de curva polinomial, etcétera, para establecer una relación aproximada entre las dos . Véase Holman (2001) para detalles acerca de estas técnicas de ajuste de curvas. Si en el problema existen más de dos (por ejemplo, un problema de tres o un problema de cuatro ) es necesario establecer una matriz de prueba para determinar la relación entre la dependiente y las independientes. En muchos casos se descubre que una o más de las independientes tiene efecto despreciable sobre la dependiente y se puede eliminar de la lista de parámetros

adimensionales necesarios. Como se ha visto (Ejemplo 7-7), el análisis dimensional a veces produce sólo una En un problema de una se conoce la forma de la relación entre los parámetros originales hasta dentro de cierta constante desconocida. En tal caso, sólo se necesita un experimento para determinar dicha constante.

Similitud incompleta

Se han mostrado varios ejemplos en los que los grupos adimensionales se obtienenfácilmente con papel y lápiz a través del uso directo del método de repetición de variables. De hecho, el lector después de suficiente práctica, debe ser capaz de obtener las con facilidad, a veces en su cabeza o en el “reverso de un sobre”. Por desgracia, con frecuencia es una historia muy diferente cuando se van a aplicar los resultados del análisis dimensional a los datos experimentales. El problema es que no siempre es posible empatar todas las de un modelo con las correspondientes del prototipo, inclusive si se tiene cuidado para lograr similitud geométrica. Esta situación se llama similitud incompleta. Por fortuna, en algunos casos de similitud incompleta, inclusive se tiene la posibilidad de extrapolar las pruebas del modelo para obtener razonables predicciones a escala completa.

Pruebas en el túnel de viento

La similitud incompleta se ilustra con el problema de medir la fuerza aerodinámica de arrastre de un modelo de camión en un túnel de viento (Fig. 7-38). Suponga que se compra un modelo a un dieciseisavo de escala de un tractocamión (18 llantas). El modelo es geométricamente similar al prototipo, inclusive en los detalles como espejos laterales, salpicaderas, etcétera. El modelo de camión mide 0.991 m de largo, que corresponde a una longitud de prototipo de tamaño real de 15.9 m. El modelo de camión se probará en un túnel de viento que tiene una velocidad máxima de 70 m/s. La sección de prueba del túnel de viento tiene 1.0 m de alto y 1.2 m de ancho, lo suficientemente grande como para acomodar el modelo sin necesidad de preocuparse por la interferencia de las paredes de túnel o de efectos de bloqueo. El aire en el túnel de viento está a la misma temperatura y presión que el aire que fluye alrededor del prototipo. Se quiere simular flujo a Vp _ 60 mi/h (26.8 m/s) sobre el camión prototipo a tamaño real. La primera actividad que se realiza es igualar los números de Reynolds:

que se puede resolver para la velocidad de túnel de viento necesaria para las pruebas de modelo Vm,

Por ende, cuando se iguala el número de Reynolds entre modelo y prototipo, el túnel de viento debe correr a 429 m/s (a tres cifras significativas). Obviamente, aquí se tiene un problema, porque esta velocidad es más de seis veces mayor que la máxima velocidad del túnel de viento alcanzable. Más aún, incluso si se pudiera correr el túnel de viento a dicha velocidad, el flujo sería supersónico, dado que la velocidad del sonido en el aire a temperatura ambiente es cercana a 346 m/s. Mientras que el número de Mach del camión prototipo que se desplaza a través del aire es de 26.8/335 =0.080, la del aire del túnel de viento que corre sobre el modelo sería 429/335 =1.28 (si el aire en el túnel de viento pudiera fluir así de rápido). Por supuesto es imposible empatar el número de Reynolds del modelo con el del prototipo usando este modelo y el túnel de viento. ¿Qué se puede hacer? Existen varias opciones:

• Si se tuviera un túnel de viento más grande, se podrían hacer pruebas con un modelo más grande. Los fabricantes de automóviles usualmente prueban con modelos de autos a una escala de tres octavos y con modelos de tractocamiones y autobuses a un octavo de escala en túneles de viento muy grandes. Algunos túneles de viento son incluso lo suficientemente grandes como para probar automóviles a tamaño real (Fig. 7-39). Sin embargo, como podrá imaginar el lector, mientras más grandes sean el túnel de viento y el modelo, más costosas serán las pruebas. También se debe tener cuidado en que el modelo no sea demasiado grande para el túnel de viento. Una regla empírica útil es que el bloqueo (la razón del área frontal del modelo al área transversal de la sección de prueba) debe ser menor que 7.5 por ciento. De otro modo, las paredes del túnel de viento afectarán contrariamente las similitudes tanto geométrica como cinemática.

• Se podría usar un fluido diferente para las pruebas del modelo. Por ejemplo, los túneles de agua pueden lograr números de Reynolds más altos que los que pueden lograr túneles de viento del mismo tamaño, pero son mucho más costosos de construir y operar.• Se podría presurizar el túnel de viento y/o ajustar la temperatura del aire para aumentar la capacidad del máximo número de Reynolds. Aunque estas técnicas pueden ayudar, el aumento en el número de Reynolds es limitado. • Si todo esto falla, se podría correr el túnel de viento a diversas velocidades cercanas a la velocidad máxima, y luego extrapolar los resultados al número de Reynolds a tamaño real.

Por fortuna, se hace evidente que, para muchas pruebas en el túnel de viento, la última opción es bastante viable. Aunque el coeficiente de arrastre CD es una fuerte función del número de Reynolds a valores bajos de Re, los CD con frecuencia se estabilizan para Re mayores de cierto valor. En otras palabras, para flujo sobre numerosos objetos, en especial objetos “exagerados” como tractocamiones, edificios, etcétera, el flujo es independiente del número de Reynolds sobre algún

valor umbral de Re (Fig. 7-40), usualmente cuando la capa límite y la estela son ambas totalmente turbulentas.

Flujos con superficies libres

Para el caso de pruebas de flujos de modelos con superficies libres (botes y barcos, inundaciones, flujos de río, acueductos, desagües de presas hidroeléctricas, interacción de ondas con malecones, erosión de suelo, etcétera), surgen complicaciones que evitan la similitud completa entre modelo y prototipo. Por ejemplo, si se construye un modelo de río para estudiar inundaciones, con frecuencia el modelo es varios cientos de veces más pequeño que el prototipo debido al limitado espacio del laboratorio. Si las dimensiones verticales del modelo se escalaran proporcionalmente, la profundidad del río modelo sería tan pequeña que los efectos de tensión superficial (y el número de Weber) se volvería importante, e incluso dominaría al flujo del modelo, aun cuando los efectos de tensión superficial sean despreciables en el flujo prototipo. Además, aunque el flujo en el río verdadero puede ser turbulento, el flujo en el modelo del río puede ser laminar, especialmente si la pendiente del banco es geométricamente similar a la del prototipo. Para evitar estos problemas, los investigadores usan con frecuencia modelosdistorsionados, donde la escala vertical del modelo (por ejemplo, profundidad del río) se exagera en comparación con la escala horizontal del modelo (por ejemplo, ancho del río). Además, la pendiente del banco del río modelo por lo general se hace proporcionalmente más pronunciada que la del prototipo. Estas modificaciones resultan en similitud incompleta debido a la falta de similitud geométrica. Las pruebas de modelo son útiles en estas circunstancias, pero se necesitan otros trucos (como hacer rugosas las superficies del modelo deliberadamente) y correcciones y correlaciones empíricas para escalar adecuadamente los datos del modelo. En muchos problemas prácticos que incluyen superficies libres, tanto el número de Reynolds como el número de Froude aparecen como relevantes grupos independientes en el análisis dimensional (Fig. 7-42). Es difícil (en ocasiones imposible) equiparar simultáneamente ambos parámetros adimensionales. Para un flujo de superficie libre con escala de longitud L, la escala de velocidad V y la viscosidad cinemática n, el número de Reynolds coincide entre modelo y prototipo cuando:

El número de Froude coincide entre modelo y prototipo cuando:

Para igualar Re y Fr, se resuelven simultáneamente las ecuaciones 7-21 y 7-22para el factor de escala de longitud requerido

Razón necesaria de viscosidades cinemáticas para igualar tanto Re como Fr:

Por lo tanto, para garantizar similitud completa (si se supone que es alcanzable la similitud geométrica sin los efectos indeseados de tensión superficial comentados anteriormente), se necesitaría usar un líquido cuya viscosidad cinemática satisficiera la ecuación 7-24. Aunque a veces es posible encontrar un líquido apropiado para usar con el modelo, en la mayoría de los casos es o impráctico o imposible, como lo ilustra el Ejemplo 7-11.

BibliografíaChávez, P. E. (s.f.). http://erivera-2001.com/. Obtenido de

http://erivera-2001.com/files/Introduccion.pdf

DULHOSTE, J.-F. (s.f.). http://webdelprofesor.ula.ve/. Obtenido de http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/cramirez/documentos/MF_Tema_5_Analisis_dimensional_y_semejanza.pdf

YUNUS A. ÇENGEL, J. M. (2006). MECÁNICA DE FLUID O S: FUNDAMENTOS Y APLICACIONES. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.